广义容斥原理及其应用教学资料

广义容斥原理
例如，对于n=3,m=2
a (2 ) A 1 A 2 A 1 A 3 A 2 A 3
b(2)A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3
利用这些记号 b(1)=a(1)-2a(2)+3a(3) b(2)=a(2)-斥原理）：
b(m)a(m)mm 1a(m1) (1)nmm na(n)
同理：记
Y1= A B C B B A B C A B C Y2= A B C C C A C B A B C
Z=Y+Y1+Y2
容斥原理与广义容斥原理
容斥原理解 决的问题：
|_A 1 _ _A _2 A _n_|
|A1A2 An|
广义容斥原理解决的问题：
__
__
|A 1 A 2 A i A i 1 A n|
广义容斥原理
设有与性质１,2,···,n相关的元素N个，Ai为有第 i 种性质的元素的 集合.i=1,2,…,n
定义a(0)=n；当m>1时
a (m ) AA i1 i2 A im
b(m)是正好具有m个性质的元素的个数。
__ __
__
b( 0 |A 1 ) A 2 A n|
__
__
b ( |A i 1 m A i2 ) A im A im 1 A in|
s(4,2)=11
第二类Stirling数的展开式
n个有区别的球放到m个相同的盒子中（n>m），要求无一空盒，其 不同的方案数用S(n,m)表示，称为第二类Stirling数。即S(n,m) 也就是将n个数拆分成非空的m个部分的方案数。
S(m n,)1m( 1 )kC (m ,k)m (k)n
m !k 0
m
a(2)
i1
ji
Ai Aj
m2 (m 2)n
…………
m
a(k)
... A i1A i2 .. .A ik mk (m k)n
i1 1i2i1 ikik 1
第二类Stirling数的展开式
m S m ） ( ! A 1 n A 2 . , . A m . b ( 0 ) a ( 0 ) a ( 1 ) a ( 2 ) . . ( 1 ) . n a ( n )
广义容斥原理及其应用
文氏图简单解决问题
A:借《组合数学》 B:借《西游记》 C:借《算法导论》
同时借这三本书的人数设为M M=|A∩B∩C|
A
20
24 3
15
B
15
7
C8
若将问题修改成“只借《组合数学》的人数Y？”，“只借一本 书的人数Z？”
Y= A B C A A B A C A B C
knm(1)kmm ka(k)
推论：当m=0时
b ( 0 ) a ( 0 ) a ( 1 ) a ( 2 ) ( 1 ) n a ( n )
广义容斥原理一个应用
第二类Stirling数的展开式
在组合数学，Stirling数可指两类数，都是由18世纪数学家James Stirling提 出的。 第一类Stirling数是有正负的，其绝对值是n个元素的项目分作k个环排列的方 法数目S(n,k)。换个较生活化的说法，就是有n个人分成k组，每组内再按特定 顺序围圈的分组方法的数目。 第二类Stirling数是n个元素的集定义k个等价类的方法数目S(n,k)。换个较生 活化的说法，就是有n个人分成k组的分组方法的数目。
第二类Stirling数的展开式
Ai表示第i个盒为空,其它盒任意的方案数（i=1,2,…,m）。考虑n 个有标志的球，放进m个有区别的盒子，得到无一空盒的方案数 为
m S!(m n ） ,A 1 A 2 .. .A m
第二类Stirling数的展开式
a(0)Nmn a(1 )A 1A 2.. .A m m1 (m1)n
m
(1)kC(m,k)m ( k)n k0
n个有标志的球，放进m个无区别的盒子，无一空盒的方案数为：
S(m n,)1m( 1 )kC (m ,k)m (k)n
m !k0
此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢