湖北省恩施巴东县第一高级中学高中数学 2.3.1离散型随机变量的均值教案 新人教版选修2-3

p1 p2 „ p n
均值
1 1 ， E ( x1 x2 „ x n ) ，所以 ξ 的数学期望又称为平均数、 n n
4. 均值或期望的一个性质: 若 a b (a、b 是常数)，ξ 是随机变量，则 η 也是随机变量，它们的分布列为 ξ η P x1 x2 „ „ „ xn „ „ „
例 3.随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点数 的期望 解：∵ P( i) 1 / 6, i 1,2, ,6 ，
E 1 1 / 6 2 1 / 6 6 1 / 6 =3.5
例 4.随机的抛掷一个骰子，求所得骰子的点数 ξ 的数学期望． 解：抛掷骰子所得点数 ξ 的概率分布为 ξ 1 2 3 4 5 P 所以
例 2. 一次单元测验由 20 个选择题构成，每个选择题有 4 个选项，其中有且仅有一个选项是 正确答案，每题选择正确答案得 5 分，不作出选择或选错不得分，满分 100 分学生甲选对任 一题的概率为 0.9，学生乙则在测验中对每题都从 4 个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙 在这次英语单元测验中的成绩的期望 解：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是 , ，则 ~ B （20,0.9）, ~ B(20,0.25) ,
5.若ξ B（n,p） ，则 Eξ =np 证明如下： ∵ ∴
k k k k n k P( k ) Cn p (1 p)nk Cn pq ， 0 0 n 1 1 n 1 2 2 n2 k k nk E 0 × Cn p q ＋1× C n p q ＋ 2 × Cn p q ＋„＋k× Cn p q ＋„＋n×
§2．3 离散型随机变量的均值与方差 §2．3．1 离散型随机变量的均值
教学目标： 知识与技能： 了解离散型随机变量的均值或期望的意义， 会根据离散型随机变量的分布列求出 均值或期望． 过程与方法：理解公式“E（aξ +b）=aEξ +b” ，以及“若ξ B（n,p） ，则 Eξ =np”.能熟练 地应用它们求相应的离散型随机变量的均值或期望。 情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文 价值。 教学重点：离散型随机变量的均值或期望的概念 教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望 授课类型：新授课 课时安排：1 课时 教学过程： 一、复习引入： 1.离散型随机变量的二项分布: 在 一 次 随 机试 验 中， 某 事 件可 能 发生 也 可能 不 发 生 ， 在 n 次独立重复试验中这个事件发生的次数 ξ 是一个随机变量．如果在一次试验中某事件 发生的概率是 P，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是
n n 0 Cn p q ．
又∵
k kCn k
n! n (n 1)! k 1 nCn 1 ， k!(n k )! (k 1)![(n 1) (k 1)]!
∴
0 0 n 1 1 1 n2 k 1 k 1 ( n 1) ( k 1) E np( Cn ＋ „ ＋ Cn ＋ „ ＋ q 1 p 1 p q ＋ C n 1 p q
(4 0.02 5 0.04 10 0.22) n ，
从而，预计 n 次射击的平均环数约为
4 0.02 5 0.04 10 0.22 8.32 ．
这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的，只与射击环数的可能取值及其相应的概 率有关的常数，它反映了射手射击的平均水列， 即已知各个 P( i )（i=0， 1， 2， „， 10） ，我们可以同样预计他任意 n 次射击的平均环数:
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③根据分布列，由期望的定义求出 Eξ 的随机变量的期望 Eξ =np 六、布置作业：练习册 七、板书设计（略） 八、教学反思：
公式 E（aξ +b）= aEξ +b，以及服从二项分布
(1) 离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平； (2)求离散型随机变量 ξ 的期望的基本步骤： ①理解 ξ 的意义，写出 ξ 可能取的全部值； ②求 ξ 取各个值的概率，写出分布列； ③根据分布列，由期望的定义求出 Eξ 布的随机变量的期望 Eξ =np 。 公式 E（aξ +b）= aEξ +b，以及服从二项分
P( 4) n 0.02n P( 5) n 0.04n
„„„„
次得 4 环； 次得 5 环；
-1-
P( 10) n 0.22n
故在 n 次射击的总环数大约为
次得 10 环．
4 0.02 n 5 0.04 n 10 0.22 n
ax1 b
p1
ax2 b
p2
axn b
pn
于是 E (ax1 b) p1 (ax2 b) p2 „ (axn b) pn „
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＝ a( x1 p1 x 2 p 2 „ xn pn „) b( p1 p 2 „ pn „) ＝ aE b ， 由此，我们得到了期望的一个性质: E (a b) aE b
n 1 n 1 0 Cn q ) np( p q) n1 np ． 1 p
故
若 ξ ～B(n，p)，则 E np．
三、讲解范例： 例 1. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得 1 分，罚不中得 0 分，已知他命中的概率为 0.7， 求他罚球一次得分 的期望 解：因为 P( 1) 0.7, P( 0) 0.3 ， 所以 E 1 0.7 0 0.3 0.7
6
1 6
1 6
1 6
1 6
1 6
1 6
E 1×
1 1 1 1 1 1 ＋2× ＋3× ＋4× ＋5× ＋6× 6 6 6 6 6 6 1 ＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)× ＝3.5． 6
抛掷骰子所得点数 ξ 的数学期望，就是 ξ 的所有可能取值的平均值． 四、课堂练习： 1. 口袋中有 5 只球，编号为 1，2，3，4，5，从中任取 3 球，以 表示取出球的最大号 码，则 E （ ）
0 P( 0) 1 P( 1) „ 10 P( 10) ．
1. 均值或数学期望: 一般地，若离散型随机变量 ξ 的概率分布为 ξ P x1 p1 x2 p2 „ „ xn pn „ „
则称 E x1 p1 x 2 p 2 „ xn pn „ 为 ξ 的均值或数学期望，简称期望． 2. 均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水 平 3. 平均数、均值: 一般地，在有限取值离散型随机变量 ξ 的概率分布中，令 p1 p2 „ pn ，则有
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服 从 二 项分 布 ，记 作 ξ ～ B(n ， p) ，其中 n ， p 为参数，并记
k k n k Cn p q ＝b(k；n，p)．
二、讲解新课： 根据已知随机变量的分布列，我们可以方便的得出随机变量的某些制定的概率，但分布 列的用途远不止于此，例如：已知某射手射击所得环数 ξ 的分布列如下 ξ 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0. 22 在 n 次射击之前，可以根据这个分布列估计 n 次射击的平均环数．这就是我们今天要学 习的离散型随机变量的均值或期望 根据射手射击所得环数 ξ 的分布列， 我们可以估计，在 n 次射击中，预计大约有
k k n k （k＝0,1,2,„，n， q 1 p ） ． Pn ( k ) Cn p q ，
于是得到随机变量 ξ 的概率分布如下： ξ 0 1 P
0 0 n Cn pq 1 1 n 1 Cn pq
„ „
k
k k n k Cn p q
„ „
n
n n 0 Cn p q
称 这 样 的随 机 变量 ξ
A．4； B．5； C．4.5； D．4.75 答案：C 2. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中的 1 分， 罚不中得 0 分． 已知某运动员罚球命中的概 率为 0.7，求 ⑴他罚球 1 次的得分 ξ 的数学期望； ⑵他罚球 2 次的得分 η 的数学期望； ⑶他罚球 3 次的得分 ξ 的数学期望． 3．设有 m 升水，其中含有大肠杆菌 n 个．今取水 1 升进行化验，设其中含有大肠杆菌的 个数为 ξ ，求 ξ 的数学期望． 五、小结 ： (1) 离散型随机变量的期望，反映了 随机变量取值的平均水平； (2)求离散型随机变量 ξ 的期望的基本步骤： ①理解 ξ 的意义，写出 ξ 可能取的全部值； ②求 ξ 取各个值的概率，写出分布列；
E 20 0.9 18, E 20 0.25 5
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由于答对每题得 5 分， 学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是 5 和 5 所以， 他们 在测验中的成绩的期望分别是：
E (5 ) 5E ( ) 5 18 90, E (5 ) 5E ( ) 5 5 25