有关周期函数定积分问题的几点探讨
定积分的计算方法与技巧解析
定积分的计算方法与技巧解析因为有牛顿-莱不尼兹公式（或者微积分基本定理），求定积分差不多就是一个求不定积分或者原函数的问题，再由牛顿-莱不尼兹公式，就可以得到定积分的值。
但是，定积分也有一点点不定积分所没有的计算方法或者技巧，我们简单介绍一下。
第一点，换元必换限，不必回代原来变量。
这是与不定积分所不同的地方。
我们在使用换元法求定积分的时候，不必回代原来的变量，直接利用新的上下限，代入牛顿-莱不尼兹公式即可。
我们看一个例子。
例1：求定积分解：做代换，则,.所以从这里看到，我们换元的时候，积分上下限也换了。
在最后求出新的变量下的原函数后，直接以新变量的上下限代入就可以得到原积分的值，而不必代回原来的变量。
当然，你也可以求出原来变量下的原函数，再代入原来变量的上下限。
不过这样的话就多了一个步骤。
第二点，奇函数在对称区间上的积分为0。
这个结论还有另外一半，就是偶函数在对称区间上的积分，等于两倍正数部分的积分。
只不过，偶函数在对称区间上的积分，我们能直接用到的机会不多，只在一些特殊的情形我们会用到，这里我们不展开讲了。
奇函数在对称区间上的积分为0，这个性质很有用，特别在一些函数看起来找不到原函数的情形下，只要积分区间是对称的，就可以考虑利用这个性质，我们来看一个例子。
例2：求积分解：这样的积分，要想利用牛顿-莱不尼兹公式来求它的值，基本上是不可能的事。
因为我们没有办法求得出它的原函数。
但是很显然，这个函数是个奇函数。
因为都是偶函数，而是奇函数，从而被积函数是奇函数，根据对称区间上奇函数积分为零的结论，我们有最后一点，注意函数的值。
我们在求不定积分的时候，我们并不太在意函数的取值问题，例如开根号，我们总是默认开出来的函数是正的，但是在定积分，这是不一定对的。
我们在开根号等会产生多种结果的时候，就要注意函数的值，否则会产生错误的结果。
我们来看一个例子：例3：求积分分析：我们在根号里提出因子，放到根号外面，就变成了，这个没有问题，因为在上是正的。
定积分的自我见解和认识
定积分的自我见解和认识
定积分是微积分中的一个重要概念，用于计算曲线下的面积或者
描述物理现象的量。
它在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
我个人对定积分的理解是，它是通过对一个函数在某个区间上的
各个小矩形面积的无限累加，来计算曲线下面积的方法。
通常我们将
这个区间分成无穷多个小区间，并在每个小区间内选择一个点代表该
区间内的函数值，然后将这些小矩形的面积相加，最后得到的就是曲
线下的面积。
定积分有着严格的数学定义和计算公式，但它的本质是在数轴上
进行积分运算，将一个函数映射到一段区间上的数值。
在计算定积分时，可以使用不同的方法，如基本公式、换元积分法、分部积分法等。
除了计算曲线下的面积，定积分还可以用于求函数的平均值、质量、重心等物理量，以及求解一些实际问题，如定积分可以用于计算
物体的体积、电荷的总量等。
总的来说，定积分是一种强大的数学工具，通过将曲线下的面积
划分为无数个小矩形，可以精确地计算出数学模型或物理现象中的量。
通过学习和理解定积分的概念和方法，我们可以更好地理解和应用微
积分在各个领域中的作用。
定积分中奇偶函数和周期函数处理方法
定积分计算中周期函数和奇偶函数的处理方法一、基本方法一、奇偶函数和周期函数的性质在定积分计算中,根据定积分的性质和被积函数的奇偶性,及其周期性,我们有如下结论1、若()x f 是奇函数即()()x f x f --=,那么对于任意 的常数a,在闭区间][a a ,-上,()0=⎰-aa dx x f ;2、若()x f 是偶函数即()()x f x f -=,那么对于任意的常数a,在闭区间][a a ,-上()()⎰⎰-=a aadx x f dx x f 02;3、若()x f 为奇函数时,()x f 在][a a ,-的全体原函数均为偶函数；当()x f 为偶函数时,()x f 只有唯一原函数为奇函数即()⎰xdt t f 0.事实上：设()()C dt t f x d x f x+=⎰⎰0,其中C 为任意常数;当()x f 为奇函数时,()⎰xdt t f 0为偶函数,任意常数C 也是偶函数⇒()x f 的全体原函数()C dt t f x+⎰0为偶函数；当()x f 为偶函数时,()⎰xdt t f 0为奇函数,任意常数0≠C 时为偶函数⇒()C dt t f x +⎰0既为非奇函数又为非偶函数,⇒()x f 的原函数只有唯一的一个原函数即()⎰xdt t f 0是奇函数;4、若()x f 是以T 为周期的函数即()()x f x T f =+,且在闭区间][T ,0上连续可积,那么()()()⎰⎰⎰+-==Ta aTTT dx x f dx x f dx x f 022;5、若()x f 是以T 为周期的函数即()()x f x T f =+,那么()⎰xdt t f 0以T 为周期的充要条件是 ()00=⎰Tdt t f事实上：()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰+=+=++Tx Tx xTx x dt t f dt t f dt t f dt t f dt t f 0,由此可得()()⎰⎰=÷x Tx dt t f dt t f 0⇔()⎰Tdt t f 0;二、定积分中奇偶函数的处理方法1. 直接法：若果被积函数直接是奇函数或者偶函数,之间按照奇偶函数的性质进行计算即可,但要注意积分区间;2. 拆项法：观察被积函数,在对称区间如果被积函数复杂但可以拆成奇偶函数和的形式,则分开积分会简化计算;3. 拼凑法：被积函数在对称区间直接积分比较困难,并且不能拆项,可以按照如下方法处理：设()()()x f x f x p -+= ,()()()x f x f x q --=,则()()()2x q x p x f +=,从而就转换为了奇函数和偶函数在对称区间的计算;三、定积分中周期函数的处理方法对于周期函数的定积分,最主要是能够确定被积函数的周期特别是三角函数与复合的三角函数的周期,并熟悉周期函数的积分性质,基本上就能解决周期函数定积分的问题; 二、典型例题例1 设()x f f 在][a a ,-上连续可积,证明：1若f 为奇函数则()0=⎰-aadx x f 2若f 为偶函数,则()()⎰⎰-=aaadx x f dx x f 02;证明：1因为()()x f x f --=,而()()()⎰⎰⎰+=--aaa adx x f dx x f dx x f 0()()()()()⎰⎰⎰⎰--+-=+-=aaa adx x f x d x f dx x f dx x f 0对前一项中令x t -=,则()()()()()⎰⎰⎰⎰-=-=-=--aaaadx x f dx x f dt t f x d x f 0000 所以()()()00=+-=⎰⎰⎰-aaaadx x f dx x f dx x f .2因为()()x f x f -=, 而 ()()()⎰⎰⎰+=--aaa adx x f dx x f dx x f 0()()()()()⎰⎰⎰⎰--+-=+-=aaa adx x f x d x f dx x f dx x f 0,对前一项中 令t x -=相似的有()()()()⎰⎰⎰=-=---aa adx x f dt t f x d x f 0,所以()()⎰⎰-=aaadx x f dx x f 02.例2 设f 在)(∞∞-,上连续,且以T 为周期,证()()()⎰⎰⎰+-==Ta aTT T dx x f dx x f dx x f 022;证明： 由()()()()⎰⎰⎰⎰++++=Ta aaTTa Tdx x f dx x f dx x f dx x f 0,在上式右端最后一个积分中,令t T x +=则有 ()()()()⎰⎰⎰⎰-==+=+0aTa Ta a dx x f dt t f dt t T f dx x f ,即有()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰+=-+=Ta aaTaTdx x f dx x f dx x f dx x f dx x f 0,成立再证()()⎰⎰-=22T T Tdx x f dx x f ,因为()()()⎰⎰⎰+=TT T Tdx x f dx x f dx x f 220对于()⎰TT dx x f 2令T x t -= 则()()⎰⎰+=TT T T dtT t f dx x f 22,因为()()x f T x f =+所以有()()⎰⎰--=+0202T T dx x f dt T t f ,()()()()⎰⎰⎰⎰-=+=20222T TT T T Tdx x f dx x f dx x f dx x f ;例3 求定积分 ()dx x x xI cos 2411++=⎰-;解：被积函数为偶函数,()()dx x x x dx x x xI ⎰⎰++=++=-1242411cos 2cos⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=1sin 158201sin 3151235x x x例4 求定积分⎰=πn dx x I 0sin ,其中n 为自然数;解：注意到x sin 是偶函数且以π为周期,因此利用性质可以简化计算n xdx n dx x n dx x n dx x n dx x I n 2sin 2sin 2sin sin sin 20222======⎰⎰⎰⎰⎰-ππππππ.例5]3[ 计算：⎰π20cos sin xdx x m n 自然数n 或m 为奇数;解 ：由周期函数积分性质得⎰⎰-==πππxdx x xdx x I m n m n m n cos sin cos sin 20,当n 为奇数时,由于被积函数为奇函数,故0,=m n I 当m 为奇数时设2,1,0,12=+=k k m …时=m n I ,()()0sin sin sin 1sin 2==---⎰ππππx R x d x x n 其中()u R 为u 的某个多项式不含常数项 因此0,=m n I例6 求定积分 dx x xx x ⎰-+++44231sin ;解：因为被积函数是为奇函数,且在对称区间故01sin 4423=+++⎰-dx x xx x 例7 求定积分I=dx x x x x ⎰--+-2225242cos ;解：I=dx xx x dx xx ⎰⎰---+--+2225222242cos 42,因为2542cos xx x -+是奇函数,而2242x x -+是偶函数,所以I=2()dx xx x dx x x ⎰⎰--=+-+2222222422042=()π28422202-=--⎰dx x例8 求定积分I=()()dx x x 3arctan 3604--⎰; 解：设3-=x t 则I=()()dx x x 3arctan 3604--⎰=tdt t arctan 334⎰- 因为()x x x f arctan 4=是奇函数所以0=I例9 求定积分I=⎰+π2cos 1sin dx x xx ;解：令t x +=2π,则dt dx =,因为][π,0∈x ,所以⎢⎣⎡⎥⎦⎤-∈2,2ππt , dt t t dt t t t dt t t dt t t t I ⎰⎰⎰⎰---+=+++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222022222222sin 1cos sin 1cos sin 1cos 2sin 1cos 2ππππππππππ ()4]sin arctan [sin sin 1122022πππππ==+=⎰t t d t例10 求定积分 I=⎰-+-+++1122231)1ln(dx x x x x ; 分析：若此题采用常规求法,会发现过程相当复杂,但是利用奇偶函数的性质就能很容易求出;原函数可以看做一个奇函数fx=3)1ln(22+++x x x 和一个偶函数ux=3122+-x x 之和;解：I= ⎰-+-+++1122231)1ln(dx x x x x = ⎰-+++11223)1ln(dx x x x + dx x x ⎰-+-112231 =+02 dx x x ⎰+-12231 =2=+-⎰dx x 102)341(10]3arctan 34[2x x - π3942-= 例11 求定积分I=⎰-+-+-21212)11lncos 41(dx xxx ; 分析：如果此题按照一般解法直接进行求解,那么会发现很繁琐,注意到()xxx f +-=11lncos 为奇函数在对称区间上积分为零,因此就可以简化积分,而241x -在⎢⎣⎡⎥⎦⎤-21,21上积分恰好是以原点为圆心,半径为21的上半圆周面积, s=2)21(21π= 8π 解：I=⎰-+-+-21212)11ln cos 41(dx x xx = dx x ⎰--2121241+dx xx⎰-+-212111lncos=dx x ⎰--2121241÷ 0 = 2dx x ⎰--2121241 = 2⨯8π = 4π 例12 设()x f 在][a a ,-()0>a 上连续,证明()()()dx x f x f dx x f aaa][0-+=⎰⎰-,并由此计算⎰-+44sin 11ππdx x ;解：若记()()()x f x f x p -+=,()()()x f x f x q --=,显而易见()x p 为偶函数,()x q 为奇函数,而且()()()2x q x p x f +=.所以有()()()()()()dx x f x f dx x p dx x q dx x p dx x f a a aa a a aa ⎰⎰⎰⎰⎰-+==+=---00][2121 利用上述公式可得2][tan 2sec 2cos 2]sin 11sin 11[sin 11404024024440====-++=+⎰⎰⎰⎰-ππππππx xdx dx x dx x x dx x例13 求定积分I=⎰-+22)1ln(dx e x x ;分析：此题的积分区间][2,2-关于原点对称,从这一点性质中我们可以联想到奇偶函数的性质,但注意到被积函数既不是奇函数也不是偶函数,我们可以将其凑成奇偶函数;按照上一题的结果我们可以知道()()()][21x f x f x u --=为奇函数,而()()()][21x f x f x w -+=为偶函数解：()()()()()()2211ln ]1ln 1ln [21][21x e x e x e x x f x f x u x x x -+=+++=--=-()()()dx x e x dx x x e x dx e x I x x x ⎰⎰⎰---⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+-+=+=222222222211ln ]21211ln [1ln3821202102222=+=+⎰⎰-x dx x dx x 例14 求定积分⎰=πn n dx x x I 0sin 其中N n ∈;分析：被积函数不是周期函数,无法直接用周期函数的定积分性质计算,采用分部积分比较繁琐,可以考虑还原; 令t x n =-π 则dt dx -=()()⎰⎰---==ππππn n n dt t n t n dx x x I 0sin sin⎰⎰⎰⎰⋅+-=+-=ππππππ000sin sin sin sin dx x n n dx x x dt t n dt t t n n n移向得：πππππ20222sin sin 2n xdx n dx x n I n ===⎰⎰ 所以 π2n I n =例15 求定积分 ()⎰+=ππ20sin dx x x I n ;解：()⎰⎰⎰+=+=πππππ0sin sin 2sin 2dx x dx x x dx x x I n[]ππππππππ4222sin cos 2sin sin 200=+=+--=+=⎰⎰x x x xdx xdx x例16 求定积分 ⎰+=π02222cos sin dx xb x a dxI解：注意到被积函数是以π为周期的偶函数,因此可用定积分中相应性质简化计算()⎰⎰⎰+=+=+=-2022222222202222tan tan 2cos sin cos sin ππππdx x a b x d dx x b x a dx dx x b x a dx I()[]abx b a ab x ba ab x d πππ=⎪⎭⎫⎝⎛=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-⎰222tan arctan 2tan 1tan 2例17 求定积分()⎰-+22223cos sin ππxdx x x ;解：注意到是对称区间,函数可以应用定积分的奇偶性来计算()()d xx x xdx x xdx x xdx x x⎰⎰⎰⎰-+=+=+---20222222222322223sin 1sin 20cos sin cos cos sin πππππππ8sin 2sin 2204202πππ=-=⎰⎰xdx xdx例18 证()x f 是以T 为周期的周期函数,则()()⎰⎰=TnTdx x f n dx x f 0;证明：因为()()()∑⎰⎰-=+=110n k Tk kTnTdx x f dx x f 故只需证明()()()⎰⎰=+TTk kTdx x f dx x f 01由题设可知()()kT x f x f += 现令kT t x +=,当kT x =时,0=t ； 当()T k x 1+=时,T t =且dt dx = ()()()()⎰⎰⎰=+=+TT T k kTdt t f dt kT t f dx x f 01所以有()()()⎰∑⎰⎰==-=Tn k TnTdx x f n dx x f dx x 0100 例19 设()x f 是以π为周期的周期函数,证明()()()()⎰⎰+=+πππ0202sin dx x f x dx x f x x ;分析:()()()()⎰⎰+=+πππ0202sin dx x f x dx x f x x 等价于()()++⎰dx x f x x π0sin()()()()⎰⎰+=+ππππ022sin dx x f x dx x f x x 所以 ()()⎰+ππ2sin dx x f x x = ()()⎰-+ππ0sin dxx f x x 即()()()()⎰⎰-+=+ππππ02sin sin dxx f x x du u f u u 由题设()()x f n x f =+π 可令 π+=x u证明：()()⎰+π20sin dx x f x x()()()()()()()()⎰⎰⎰⎰+++=+++=ππππππ2020sin sin sin sin duu f u u dx x f x x dx x f x x dx x f x x 令π+=x u ,则()()()()()()()⎰⎰⎰-+=+++++ππππππππ002sin sin sin dx x f x x dx x f x x du u f u u ()()()()()()⎰⎰⎰-+++=+ππππ0020sin sin sin dx x f x x dx x f x x dx x f x x()()⎰+=ππ02dx x f x例20 设函数()⎰=xdt t x s 0cos1 当n 为正整数,且()ππ1+≤≤n x n 时,证明()()122+≤≤n x s n ； 2求()xx s x +∞→lim证明：1因为0cos ≥x ,且()ππ1+≤≤n x n ,所以()⎰⎰⎰+<≤ππ10cos cos cos n xn dx x dx x dx x ,又因为具有周期,在长度的积分区间上积分值相等：⎰⎰=+ππcos cos dx x dx x a a,从而⎰⎰=ππcos cos dx x n dx x n()()n n xdx xdx n 211cos cos 220=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰⎰πππ 同理可得到()()12cos 10+=⎰+n dx x n π2由1有()()()ππn n x x s n n 1212+≤≤+,当∞→n 去极限,由夹逼定理得,()π2lim =+∞→x x s x例21 设函数()x f 在)(∞∞-,上连续,而且()()()dt t f t x x F x ⎰-=02;证明：1若()x f 为偶函数,则()x F 也是偶函数；2若()x f 单调不减,则()x F 单调不减1证明：令u t -=,则()()()()()()()()x F du u f u x du u f u x dt t f t x x F xx x =-=--=--=-⎰⎰⎰-000222故()x F 为偶函数;2 由于被积函数连续,所以()x F 可导,且()()()()()()()()x xf dt t f x f x x dt t f dt t tf dt t f x x F xx x x -=-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰⎰⎰⎰00'00'22()()[]00≥-=⎰xdt x f t f ,因此()x F 在)(∞∞-,上单调不减例22 设()x f 在)(∞∞-,上连续,以T 为周期,令()()⎰=xdt t f x F 0,求证：1()x F 一定能表成：()()x kx x F ϕ+=,其中k 为某常数,()x ϕ是以T 为周期的周期函数； 2()()⎰⎰=∞→Tx x dx x f T dt t f x 0011lim ； 3若有())(()∞∞-∈≥,0x x f ,n 为自然数,则当()T n x nT 1+<≤时,有()()()()⎰⎰⎰+<≤Tx T dx x f n dt t f dx x f n 01;证明:1 即确定常数k,使得()()kx x F x -=ϕ以T 为周期,由于T 因此,取()⎰=Tdt t f Tk 01,()()kx x F x -=ϕ,则()x ϕ是以T 为周期的周期函数; 此时 ()()()x x dt t f Tx F Tϕ+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰12 ()()()x dt t f Tx dt t f Txϕ+=⎰⎰00.且()x ϕ在)(∞∞-,上连续并以T 为周期,于是()x ϕ在()x ϕ在[]T ,0有界,在()+∞∞-,也有界;因此()()()()⎰⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞→∞→Tx T x x dt t f T x x dt t f T dt t f x 00011lim 11lim ϕ 3因()0≥x f ,所以当()T n x nT 1+<≤时,()()()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰+=<≤=+ToTn xonTT dt t f n dt t f dt t f dt t f dt t f n 110例23 设()x f 是)(∞∞-,上的连续函数,试运用周期函数性质证明()()⎰⎰-+=+222220sin 2sin cos πππdx x b afdx x b x a f ;证明：因为()α++=+x b a x b x a sin sin cos 22,其中ba=αtan ,令tx =+α,()()()()⎰⎰⎰++=++=+πααππα222202220sin sin sin cos dt t b afdx x b afdx x b x a f()()⎰⎰++++=απππα2222222sin sin dt t b a ftd b a f令t x =-π2,则()()⎰⎰+=++ααππ222222sin sin dt t b a f dt t b af,所以左端=()⎰+π2022sin dx x b af,按照周期函数的性质知⎰⎰⎰+-==ππππ202332c c所以左端=()()⎰⎰+++-232222222sin sin ππππdx x b afdx x b af,x t -=π,知()()d x x b afdx x b af⎰⎰-+=+222223222sin sin ππππ故()⎰-+=2222sin 2ππdx x b a f例24 设()⎰+=2sin πx xdt t x f ,证明1()()x f x f =+π；2求出()x f 的最大最小值;证明：1()⎰++=+23sin πππx x dt t x f ,设π+=u t ,当π+=x t 时,x u =；当23π+=x t 时,2π+=x u ,则()()x f du u dt t x f x x x x ===+⎰⎰+++232sin sin ππππ 2 因为右端连续,故()x f 可导,()x x x f sin cos '-=,又()x f 为周期函数,故只讨论一个周期内即可,现讨论][π,0∈x 当40π≤≤x 时,()0'≥x f ,当434ππ≤<x 时,()0'<x f ,当ππ≤≤x 43时,()0'≥x f 所以当4π=x 时取最大值,2sin 4434==⎪⎭⎫⎝⎛⎰πππdt t f ；当43π=x 时取最大值,2sin 434543-==⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰πππdt t f ;参考文献1曹绳武,王振中,于远许高等数学重要习题集大连理工大学出版社 2001 2郝涌,卢士堂考研数学精解华中理工大学出版社 19993李永乐,李正元考研复习全书国家行政出版社 20124林益,邵琨,罗德斌等数学分析习题详解 2005课程论文成绩考核表学生姓名专业班级题目评审者考核项目评分指导教师1 平时态度与遵守纪律的情况满分20分2 掌握基本理论、专业知识、基本技能的程度和水平满分20分3 抽签答题的正确性满分20分4 完成任务的情况与水平按规范化要求满分20分5 答辩时讲述的条理性与系统性满分20分总评成绩总评成绩等级优、良、中、及格、不及格指导教师签字：。
定积分中奇偶函数和周期函数处理方法
定积分计算中周期函数和奇偶函数的处理方法一、基本方法(一)、奇偶函数和周期函数的性质在定积分计算中，根据定积分的性质和被积函数的奇偶性，及其周期性，我们有如下结论1、若()x f 是奇函数（即()()x f x f --=），那么对于任意的常数a ，在闭区间][a a ,-上，()0=⎰-aa dx x f 。
2、若()x f 是偶函数（即()()x f x f -=），那么对于任意的常数a ，在闭区间][a a ,-上()()⎰⎰-=aaadx x f dx x f 02。
3、若()x f 为奇函数时，()x f 在][a a ,-的全体原函数均为偶函数；当()x f 为偶函数时，()x f 只有唯一原函数为奇函数即()⎰xdt t f 0.事实上：设()()C dt t f x d x f x+=⎰⎰0，其中C 为任意常数。
当()x f 为奇函数时，()⎰xdt t f 0为偶函数，任意常数C 也是偶函数⇒()x f 的全体原函数()C dt t f x+⎰0为偶函数；当()x f 为偶函数时，()⎰xdt t f 0为奇函数，任意常数0≠C 时为偶函数⇒()C dt t f x +⎰0既为非奇函数又为非偶函数，⇒()x f 的原函数只有唯一的一个原函数即()⎰xdt t f 0是奇函数。
4、若()x f 是以T 为周期的函数（即()()x f x T f =+），且在闭区间][T ,0上连续可积，那么()()()⎰⎰⎰+-==Ta aTTT dx x f dx x f dx x f 022。
5、若()x f 是以T 为周期的函数（即()()x f x T f =+），那么()⎰xdt t f 0以T 为周期的充要条件是 ()00=⎰Tdt t f事实上：()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰+=+=++Tx Tx xTx x dt t f dt t f dt t f dt t f dt t f 0，由此可得()()⎰⎰=÷x Tx dt t f dt t f 0⇔()⎰Tdt t f 0。
高等数学教学中定积分的计算方法的总结与探讨
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【例 1】计算 0 4 x dx 分析：对于这个问题，如果我们按着定积分的换元积分法 来计算的话，计算量比较大，观察到函数 y 4 x 2 的几何图形 是一个半圆，所以可以转化为求四分之一圆的面积，圆的半径 为 2，所以 0 三、利用特殊的换元公式 这种方法适用于被积函数很难求不定积分的问题，常见的 特殊换元公式有： ① ②
f ( x ) dx 表示由曲线 y f ( x ) ， x
b
1．函数在对称区间上的积分
对称区间上非奇非偶函数 f ( x ) 的积分常常利用 f ( x) f ( x) 常数，这类函数的类型有： f ( x ) 1 ， arctan e x x
1 a
等等 2. 周期函数 I． a T
定积分的计算是高等数学的重要内容，定积分的计算方法 多，题型灵活；在教学过程中发现，学生在学习过程中，对于 牛顿 - 莱布尼茨公式的掌握还是比较容易，然而在具体解题过 程中却会遇到很多的困难，基于此本文结合多年教学经验，通 过对定积分常见的计算问题进行分析和总结，旨在创设有效的 学习途径促进学生掌握定积分的计算方法与技巧，对定积分的 计算方法有一个全局性的认识，同时拓展一些技巧性强，难度 大的计算。 一、利用不定积分 + 牛顿莱布尼茨公式 一、利用不定积分 + 牛顿莱布尼茨公式 这类问题的关键在于不定积分计算方法与计算技巧的掌握， 在这里不再赘述。 二、利用定积分的几何意义 定积分的几何意义： a a ， x b 以及 x 轴所围图形面积的代数和，当遇到被积函数的图 形是规则几何图形的情形时用定积分的几何意义来计算积分值 更为方便，譬如说
2
4 lnsin x lnsin( 2 x ) dx 0 lnsin x cos x dx 1 4 lnsin 2 x dx 4 ln 2 dx 02 lnsin x dx ln 2 0 0 2 4
定积分中奇偶函数和周期函数处理方式
性质进行计算即可，但要注意积分区间。
2. 拆项法：观察被积函数，在对称区间如果被积函数复杂但可以拆成奇偶
函数和的形式，则分开积分会简化计算。
3. 拼凑法：被积函数在对称区间直接积分比较困难，并且不能拆项，可以
按照如下方法处理：设 px f x f x
， qx f x f x，则
0
f xdx
T 2
T
事实上： xT f x f tdt T f tdt ，由此可得
0
0
x
f
2
T
f xdx 。
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
高考数学一轮总复习积分与定积分应用常见错误与解题技巧
高考数学一轮总复习积分与定积分应用常见错误与解题技巧一. 积分与定积分应用的概念和基本原理在高考数学中，积分与定积分应用是一个重要的考点。
积分是微积分的一个重要概念，它可以用来求解曲线下的面积、曲线的长度、空间曲面的面积和体积等问题。
定积分应用则是积分的一种具体应用形式，用于解决实际问题。
二. 常见错误分析1.忽略曲线方程的定义域限制在解题过程中，有时候我们会遇到曲线方程具有一定的定义域限制的情况，这时候我们需要仔细分析曲线方程的定义域，并在进行积分计算的时候切不可忽略它。
否则，我们很可能得到错误的结果。
2.未进行合理的变量代换变量代换是积分计算中的一个重要技巧，可以帮助我们简化计算过程。
然而，有些同学在解题时未能进行合理的变量代换，导致计算变得繁琐，错误率增加。
因此，在解题过程中要善于运用变量代换，合理简化计算。
3.错误地确定积分上下限在定积分应用问题中，我们需要根据实际问题来确定积分的上下限。
但有些同学在此过程中容易出错，导致结果不准确。
因此，在解题过程中，我们要仔细分析问题，并确定积分的正确上下限。
三. 解题技巧总结1.合理利用换元法换元法在解决积分计算问题中是非常常见的技巧。
我们可以通过合理的换元，将积分转化为容易计算的形式，从而简化计算过程。
在进行换元时，要根据问题的特点选择合适的代换变量，并注意变量的变化范围。
2.注意积分上下限的确定积分上下限的确定是定积分应用问题中关键的一步。
在确定上下限时，要根据问题的要求来选择合适的区间，并注意区间的取值范围。
如果确定不准确，很可能得到错误的结果。
3.提炼问题核心在解决定积分应用问题时，有时候问题比较复杂，涉及多个因素。
为了避免计算过程的复杂性，我们可以尝试提炼出问题的核心内容，化繁为简。
通过将问题简化，可以更容易找到解题的思路和方法。
四. 练习题示例1.已知一条曲线的方程为y = x^2 - 2x + 1，求曲线与x轴所围成的面积。
解题思路：首先，我们需要确定曲线与x轴的交点，即解方程x^2 - 2x + 1 = 0。
定积分中奇偶函数与周期函数处理方法
定积分计算中周期函数和奇偶函数的处理方法一、基本方法(一)、奇偶函数和周期函数的性质在定积分计算中，根据定积分的性质和被积函数的奇偶性，及其周期性，我们有如下结论1、若()x f 是奇函数（即()()x f x f --=），那么对于任意的常数a ，在闭区间][a a ,-上，()0=⎰-aa dx x f 。
2、若()x f 是偶函数（即()()x f x f -=），那么对于任意的常数a ，在闭区间][a a ,-上()()⎰⎰-=aaadx x f dx x f 02。
3、若()x f 为奇函数时，()x f 在][a a ,-的全体原函数均为偶函数；当()x f 为偶函数时，()x f 只有唯一原函数为奇函数即()⎰xdt t f 0.事实上：设()()C dt t f x d x f x+=⎰⎰0，其中C 为任意常数。
当()x f 为奇函数时，()⎰xdt t f 0为偶函数，任意常数C 也是偶函数⇒()x f 的全体原函数()C dt t f x+⎰0为偶函数；当()x f 为偶函数时，()⎰xdt t f 0为奇函数，任意常数0≠C 时为偶函数⇒()C dt t f x +⎰0既为非奇函数又为非偶函数，⇒()x f 的原函数只有唯一的一个原函数即()⎰xdt t f 0是奇函数。
4、若()x f 是以T 为周期的函数（即()()x f x T f =+），且在闭区间][T ,0上连续可积，那么()()()⎰⎰⎰+-==Ta aTTT dx x f dx x f dx x f 022。
5、若()x f 是以T 为周期的函数（即()()x f x T f =+），那么()⎰xdt t f 0以T 为周期的充要条件是 ()00=⎰Tdt t f事实上：()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰+=+=++Tx Tx xTx x dt t f dt t f dt t f dt t f dt t f 0，由此可得()()⎰⎰=÷x Tx dt t f dt t f 0⇔()⎰Tdt t f 0。
周期函数的定积分
周期函数的定积分定积分是数学中非常重要的概念，它是一种将定曲线下的某问题转化为一个简单计算的方法，而周期函数是一类重要的定积分的典型例子。
本文将从定积分的概念出发，介绍定积分的定义、特性及计算方法，并以正弦、余弦函数为例介绍周期函数的定积分计算方法。
一、定积分1.念与定义定积分是数学中非常重要的概念，它是一种将定曲线下的某问题转化为一个简单计算的方法。
定积分有两个微分形式的定义，即几何定义和分部积分定义。
其中，几何定义是最为常用的，它指的是连续曲线下特定区域内，特定长度自变量的函数的积分。
2.性定积分的主要特性是可以将某些不容易计算的复杂函数转化为可以易于计算的定积分，从而求出结果。
例如，若需要求解某函数f(x)在定区间[a，b]上的定积分，则可以先将函数f(x)拆分为多个定积分，再求出每一部分的定积分，最后将每一部分的定积分结果累加求出最终结果。
3.算方法定积分计算方法分为几类，包括几何、特殊函数法、变换法、乘法法、基尔霍夫椭圆法等。
二、周期函数的定积分1.述周期函数是一类重要的定积分的典型例子，它表示某种周期性变化的现象，常见的周期性函数有正弦函数、余弦函数等。
2.算方法以正弦函数为例，求解正弦函数在定区间[a,b]上的定积分，可以利用变换法：（1）将正弦函数转化为余弦函数：int_a^bsin(x)dx=int_a^bcos(x+frac{pi}{2})dx（2）先求余弦函数的定积分：int_a^bcos(x+frac{pi}{2})dx=sin(x+frac{pi}{2})|_a^b （3）计算得出结果：int_a^bsin(x)dx=sin(b+frac{pi}{2})-sin(a+frac{pi}{2}) 由此可见，求解某一周期函数的定积分，可以利用变换法将其转化为余弦函数的求解，从而求出定积分的值。
三、总结本文从定积分的概念出发，介绍了定积分的定义、特性及计算方法，并以正弦、余弦函数为例介绍周期函数的定积分计算方法。
周期函数的定积分
周期函数的定积分周期函数的定积分是数学中一个基本的概念，它是分析函数属性特征的重要工具。
它的计算通常使用积分法，可以从定积分的基本概念开始来理解其原理。
积分法是一种数学分析工具，用于分析和解决有关函数变化问题。
它可以用来计算函数的总和，也可以用来计算函数的积分，这是定积分的基本概念。
积分可以理解为函数的累积，也就是将连续的函数区间按照特定的规则进行分割，并将各个区间上的函数值进行累加，计算函数在某一区间上的总和，这就是积分。
定积分是积分的一种特殊形式，它是在规定的区间范围内将函数值累加。
它有一个固定的范围，一般来说，积分的范围是从一个指定的数字到另一个指定的数字。
考虑一个周期函数的定积分，比如一个正弦函数的定积分，首先要计算的是它的一段区间，我们称其为它的定积分区间。
由于正弦函数是周期函数，它的定积分就是从0到它的周期内取值的求和。
正弦函数在定积分区间内可以写成：$$int_{0}^{T}f(x)dx=int_{0}^{T}sin(x)dx$$它的积分值可以用如下积分公式表示：$$int_{0}^{T}sin(x)dx=left[ -cos(x)right]_{0}^{T}=-cos(T)-(-cos(0))=cos(T)-1$$由于正弦函数是周期函数，它的定积分只要计算一次就可以得到，它的定积分值不随周期的变化而变化。
此外，其他的周期函数也是一样可以计算出定积分值的，比如余弦函数，可以用以下方法计算出它的定积分：$$int_{0}^{T}cos(x)dx=left[ sin(x)right]_{0}^{T}=sin(T)-sin(0)=sin(T)$$周期函数的定积分可以用积分法计算出来，它是求解周期函数特性的重要工具，也是常用的数学分析工具之一。
通过正确的计算步骤，它可以帮助我们更加深入地了解函数的特性，为数学研究和实际问题的解决提供有益的指导，有助于更好的理解函数的变化。
定积分思想的总结
定积分思想的总结定积分是微积分中的重要概念之一，它是对无穷小量的累加求和的一种推广，能够解决许多实际问题。
在学习定积分的过程中，我深刻体会到了其思想的重要性和广泛应用的价值。
定积分的思想可以概括为“分割、求和、取极限”。
它的核心思想是将一个区间分割成无穷多个无穷小的小区间，然后对每个小区间上的函数值进行求和，最后取极限得到定积分的值。
这个思想的重要性在于，它使得我们能够通过有限的计算一步步逼近无穷的过程，从而解决实际问题。
定积分使我们能够计算曲线下的面积、求解平均值等，广泛应用于物理、经济、生物等领域。
在定积分的思想中，分割是关键的一步。
通过将一个区间分割成无限多个小区间，可以使得问题更易于处理。
在分割的过程中，我们需要选择适当的分割方式，可以是等距分割、等差分割等。
分割后，每个小区间的长度趋近于零，也即取极限得到“无穷小”。
这种分割的思想使得我们能够处理连续变化的问题，将其离散化从而能够进行计算。
求和是定积分思想的另一个重要环节。
在分割后的每个小区间中，我们要对函数的值进行求和。
这个求和过程需要运用数学知识，包括加法和乘法的运算规则等。
通过将每个小区间上的函数值进行求和，我们可以得到一个近似值，这个近似值越来越接近真实值。
取极限是定积分思想的最后一步。
当我们分割越来越多的小区间，并对这些小区间上的函数值进行求和后，我们要取极限得到定积分的值。
这个极限是对无穷过程的一种抽象，它使得我们能够掌握无穷大和无穷小的概念，从而能够进行精确的计算。
在取极限的过程中，我们需要运用数理逻辑的知识，包括极限的定义和性质等。
定积分思想的应用非常广泛。
在几何学中，我们可以通过定积分计算曲线下的面积。
在物理学中，我们可以通过定积分求解质量、力、功等问题。
在经济学中，我们可以通过定积分计算消费和生产的成本、利润等。
在生物学中，我们可以通过定积分计算生物种群的增长情况等。
这些应用都是基于定积分的思想，通过将实际问题离散化，进行有限的计算后，再取极限得到结果。
定积分解题技巧浅析
定积分解题技巧浅析定积分是数学中的一个重要的概念，是解决复杂问题的有效方法之一。
学习定积分不仅有助于我们更好地理解数学基础，也有助于我们更好地解决实际问题。
解决定积分的重要方法是合理利用定积分的定义，合理应用“加法、减法、积法和商法”，利用定积分的性质，以及充分使用其他数学知识。
首先，在解决定积分问题时，要搞清楚定积分的定义，即把一个函数f(x)从定义域内的一点a到另一点b的积分，记作F(b)-F(a)其中F(x)是f(x)的一个递增的函数。
实际上，解决定积分问题的关键是找出适当的F(x)从而将被积函数f(x)转换为方便求解的形式。
例如，当我们知道f(x)是可导函数时，可以使用它的极限值和微分来求F(x)；如果f(x)是指数函数，则可以使用指数函数的性质来求F(x)；如果f(x)是对称函数，则可以使用对称函数的性质来求F(x)等等。
其次，解决定积分问题时，要充分利用“加法、减法、积法和商法”的定理，让函数f(x)的计算变得更容易。
其中，“加法、减法”定理指出，如果F(x)为可积函数，则F(x)的积分等于它的积分的和；“积法”定理则指出，若F(x)为可积函数，则F(x)的积分的乘积等于它的积分的积分；而“商法”定理则指出，如果F(x)为可积函数，则F(x)的商积分等于它的积分的商。
此外，在解决定积分问题时，也要充分使用定积分的性质，对定积分的分解与合并、积分类型的转换等现象，应用其特有的性质，以此求解定积分.例如，当定积分不存在时，可以利用“零定理”，即当函数f(x)的定义域是定积分的定义域的交集且f(x)=0时，定积分的结果等于零；当不存在积分的一般形式时，可以使用“幂定理”，即当函数f(x)有一定形式时，可以将定积分转换为更容易计算的形式。
最后，当解决定积分问题时，要充分利用其他数学知识，如微积分、高等数学、几何学等，将定积分的计算变得更容易和更有效。
例如，在求解双重积分的问题时，要根据定积分的定义域具体情况，将双重积分积分区域划分为几何图形的若干部分，以此求出双重积分的结果；而在解决定积分的积分类型转换的问题时，则可以应用定积分的变换公式，使问题求解更容易。
有关周期函数定积分问题的几点探讨
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定积分计算中应当注意的几个问题
定积分计算中应当注意的几个问题辛 开 远定积分计算是高等数学中很重要的内容，本文针对应当注意的几个问题，通过求解例题，让读者掌握解题技巧。
一、利用函数奇偶性简化计算若)(x f 在],[a a -上连续并且为偶函数，则有⎰⎰=-aa adx x f dx x f 0)(2)( ， （)(x f 是偶函数）若)(x f 在],[a a -上连续并且为奇函数，则有0)(=⎰-a adx x f ， （)(x f 是奇函数）例1：计算⎰-2210sin ππxdx x解 ：因为x x x f sin )(10=是奇函数，积分区间对称于原点，所以，原式＝0。
例2：计算⎰---a adx x a x a 22解：原式＝⎰⎰-----a aa adx xa x dx xa a 2222右边第一个积分的被积函数是偶函数，第二个积分的被积函数是奇函数，积分区间对称于原点，从而 原式＝a a x a dx x a aaa π=⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⎰0022arcsin 22例3：计算()dx x x x x ⎰-++-11341cos sin 95200解：原式＝()5121214=+⎰dx x二、利用函数的周期性简化计算设)(x f 是以T 为周期的连续函数，则有 ⎰⎰=+TT a a dx x f dx x f 0)()(⎰⎰=+TnT a adx x f n dx x f 0)()( （n 为整数）例4：计算⎰+-21002100222sin ππxdx x tg解：因为被积分函数以π为周期，所以 原式＝⎰⎰+-+-=2242222sin 42sin ππππxdx xdx x tg＝23sin 824ππ=⎰+xdx 例5：计算⎰-02cos πn dt dttd 解：原式＝n tdt n dt t n 4sin 2sin 020==⎰⎰ππ三、计算分段函数的定积分例6：设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≤-+=其它,010,101,1)( x x x x x f 计算⎰-11)(dx x xf解：原式＝0)1()1(101=-++⎰⎰-dx x x dx x x四、计算含有绝对值的函数的定积分例7：计算dx x x ⎰-π53sin sin解：x x x x x x cos sin )sin 1(sin sin sin 232353=-=- ， 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上，x x cos cos = ， 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,2上，x x cos cos -= ，于是原式＝⎰⎰-+πππ2232023)cos (sin cos sin dx x x xdx x＝54sin 52sin 522252025=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππx x 在计算含有绝对值的函数的定积分时，应当根据该函数的正负值将积分区间分开。
周期函数的定积分
周期函数的定积分在数学和物理学中，定积分是一种重要的概念，用于研究变化量的求法。
今天我们将以周期函数的定积分为主题，探讨定积分的应用。
定积分的最基本定义是将一个函数的图形划分成多个小的区域，对每个区域求出质量积分，然后求出总和来计算函数的积分值。
定积分是求取某变量的变化量的重要工具。
周期函数的定积分是指将周期函数的曲线分成多个小区域，对每个区域求质量积分，再求出积分值作为周期函数的定积分值。
周期函数包括正弦函数和余弦函数，以及其他具有特定周期性的函数形式，它们都可以利用定积分来计算。
在正弦函数的定积分中，我们首先把函数曲线划分成多个小区域，然后对每个小区域求出积分值，最后将所有的积分值相加求出结果，即为正弦函数的定积分值。
类似的，余弦函数的定积分也是分成很多个小区域，对每个区域分别求出质量积分，最后求得函数的定积分值。
此外，还有一类叫做复杂周期函数的函数，它们的定积分也可以用定积分的方法求得，比如双曲线函数。
复杂周期函数的定积分运算比普通周期函数的定积分要更复杂一些，但原理依然是将曲线分割成多个小区域，对每个区域求出积分值，最后将所有的积分值相加求得结果。
定积分的应用可以满足各种各样的物理学和数学应用的需求。
比如在计算物体运动轨迹或流体流动情况时，需要将其看作一系列位移函数，利用定积分来解决。
此外，定积分还可以用来计算光照度、角度及其他各种变量的变化情况，也可以用来计算连续变化率、加速度等。
总之，定积分在物理学和数学中都有着重要的意义。
以上就是本文关于周期函数的定积分的介绍，我们已经介绍了定积分的概念，以及正弦函数、余弦函数和复杂周期函数的定积分的计算方法。
最后，我们也提一下定积分在物理学和数学中的广泛应用。
希望上述介绍能够给大家一个大概的了解，以便今后更好地运用定积分来解决各种问题。
定积分的几类特殊解题技巧
∫ ln 1 − x dx
0
1
1
∫
ln(1 + x ) dx x
∫x
0
1
p −1
ln(1 − xq )dx
例 ５ ∫0 解
+∞
xdx e x +1
∫
+∞
0
xdx 等 e2 π x − 1
我们无法用求不定积分的方法来求得他们的原 莱布尼兹公式计算定积分的值 首先我们来证
∫
+∞
0
+∞ xe − x +∞ xdx = dx = ∫ xe− x (1− e−x + e− 2x − ⋅ ⋅ ⋅)dx 0 e x +1 ∫0 1 + e− x +∞ +∞
T 0
它必须要求被积函数存在原函数 它要 莱布尼兹公式并不能
求被积函数是连续函数
求出所有可积函数的定积分 下面介绍一些特殊的方法 计算 很方便的计算出来 分的解题能力
设 f(x) 在 (-∞,+ ∞ ) 可积 这些解题技巧不仅可以简化 会大大提高对定积
a+ T
而且还可以将一些无法求出被积函数原函数的定积分 熟练掌握这些方法
sin 2 x + cos 2 x = 1 等等
如 sin x = sin(π − x)
1 1 + +⋅⋅⋅] ( n + 1)( n + 2) (n + 2)( n + 3) 1 1 1 1 = − [( − )+ ( − ) +⋅⋅⋅] n +1 n + 2 n+2 n+3 1 =− n +1
定积分证明题方法总结
定积分证明题方法总结定积分证明题方法总结总结就是把一个时间段取得的成绩、存在的问题及得到的经验和教训进行一次全面系统的总结的书面材料，它可以给我们下一阶段的学习和工作生活做指导，为此我们要做好回顾，写好总结。
那么你知道总结如何写吗？以下是小编整理的定积分证明题方法总结，希望对大家有所帮助。
定积分证明题方法总结11、原函数存在定理●定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F(x)，使对任一x∈I都有F’(x)=f(x);简单的说连续函数一定有原函数。
●分部积分法如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数和指数函数为u，这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。
如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可设对数和反三角函数为u。
2、对于初等函数来说，在其定义区间上，它的原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数。
定积分1、定积分解决的典型问题(1)曲边梯形的面积(2)变速直线运动的路程2、函数可积的充分条件●定理设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积，即连续=>可积。
●定理设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积。
3、定积分的若干重要性质●性质如果在区间[a,b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0。
●推论如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx。
●推论|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx。
●性质设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，则m(b-a)≤∫abf(x)dx≤M(b-a),该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。
●性质(定积分中值定理)如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点，使下式成立：∫abf(x)dx=f()(b-a)。
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胡汉涛： 有关周期函数定积分问题的几点探讨
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［证明］ ： 先证
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有关周期函数定积分问题的几点探讨
胡汉涛
（塔里木农垦大学文理学院， 新疆 阿拉尔 ’+))""）
众所周知， 在高等数学中经常遇到有关周期函数求定积分的问题。此时， 积分限往往与 , 有关， 这 就使得定积分增加了难度， 其实， 无论积分限的形式多么复杂， 只要按照周期函数和定积分的有关性质 求定积分即可， 本文就周期函数求定积分的问题进行几点探讨， 希望对读者有所帮助。 ! !-! 周期函数定积分问题的几点探索
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