对数导学案
对数导学案
4.3 对数导学案(一)学习目标1、理解对数的概念,理解常用对数和自然对数的概念;掌握利用计算器求对数值的方法;了解积、商、幂的对数.2、会进行指数式与对数式之间的互化; 会运用函数型计算器计算对数值;培养计算工具的使用技能.重点、难点:指数式与对数式的关系;对数的概念.一、创设情景 兴趣导入1、问题2的多少次幂等于8? 2的多少次幂等于9? 2、推广已知 ,如何求出 ,如何用 表示出 的问题. 3、解决为了解决这类问题,引进一个新数——二、动脑思考 探索新知1、概念如果 ,那么 b 叫做 ,记作lo g a b N= ,其中a 叫做 ,N 叫做 .例如,328=写作3l o g 82=,3叫做以2为底8的对数;1293=写作 ,12叫做以 ;3100.001-=写作 ,−3叫做以 对数.2、指数式与对数式形如 的式子叫做指数式,形如 的式子叫做对数式. 当0,1,0>≠>N a a 时3、对数的性质:(1) ;(2) ; (3)N >0, .三、巩固知识 典型例题⇔=N abb N a=log例1 将下列指数式写成对数式: (1)411()216=; (2)13273=; (3)31464-=; (4)10xy=.分析 依照上述公式由左至右对应好各字母的位置关系.解 (1) ;(2) ;(3) ;(4) . 例2 将下列对数式写成指数式: (1)2log 325=; (2)31lo g 481=-; (3)10log 10003=;(4)21lo g 38=-.分析 依照上述公式,由右至左对应好各字母的位置关系.解 (1) ;(2) ;(3) ;(4) . 例3 求下列对数的值. (1)3lo g 3; (2)7log 1.分析 (1)题可以利用性质(2);(2)题可以利用性质(1).解 (1)由于 相同,由对数的性质(2)知3log 3= .(2)由于 为 ,由对数的性质(1)知7log 1= .四、运用知识 强化练习1. 将下列各指数式写成对数式: (1)35125=; (2)20.90.81=; (3)0.20.008x=; (4)1313437-=.2.把下列对数式写成指数式: (1)12lo g 42=-; (2)3log 273=; (3)5log 6254=;(4)0.011lo g 102=-.3.求下列对数的值:(1)7lo g 7; (2)0.5log 0.5; (3)13lo g 1; (4)2log 1.4.3 对数导学案(二)学习目标1、理解对数的概念,理解常用对数和自然对数的概念;掌握利用计算器求对数值的方法;了解积、商、幂的对数.2、会进行指数式与对数式之间的互化; 会运用函数型计算器计算对数值;培养计算工具的使用技能.重点、难点:指数式与对数式的关系;对数的概念. 一、复习引入 1、对数的概念如果 ,那么 b 叫做 ,记作lo g a b N= ,其中a 叫做 ,N 叫做 . 2、指数式与对数式形如 的式子叫做指数式,形如 的式子叫做对数式. 当0,1,0>≠>N a a 时3、对数的性质:(1) ;(2) ; (3)N >0, . 二、动脑思考 形成新知1、常用对数:以 叫做常用对数,10lo g N简记为 .如10lo g 2记为 .2、自然对数:以 (e= ,在科学研究和工程计算中被经常使用)为底的对数叫做自然对数,e lo g N简记为 .如e log 5记为 .三、创设问题 自我探究 问题等式lg 2lg 5+=lg 7、lg 2lg 5+=lg 10是否成立?等式222log 12log 4log 8-=、222log 12log 4log 3-=是否成立?等式333log 2log 6=、333log 2log 8=是否成立?解决⇔=N abb N a=log请利用计算器验证. 结论lg 2lg 5+= ; =-4log12log 22 ;=2log33;四、动脑思考 探索新知1、对数的运算法则法则1: (M >0,N >0); 法则2: (M >0,N >0); 法则3:lg nM= (n 为整数,M >0).五、巩固知识 典型例题例5 用lg x ,lg y ,lg z 表示下列各式:(1)lg xyz ; (2)lgx y z; (3)lgz分析 要正确使用对数的运算法则. 解 (1) lg xyz=(2)lgx yz= = = ;(3)lgz= + — = .六、运用知识 强化练习1、用lg x ,lg y ,lg z 表示下列各式:(1)lg ; (2)lgxy z; (3)2lg()y x.2、归纳小结 强化思想本次课学了哪些内容?重点和难点各是什么?4.3 对数导学案(习题课)班级: 姓名: 评价:学习目标1、进一步理解对数的概念,理解常用对数和自然对数的概念;掌握利用计算器求对数值的方法;了解积、商、幂的对数.2、学会进行指数式与对数式之间的互化; 会运用函数型计算器计算对数值;培养计算工具的使用技能.重点、难点:指数式与对数式的关系;对数的概念.对数的运算法则。
4.4.2对数函数的图象和性质导学案
4.4.2对数函数的图象和性质导学案学习目标:1、通过画图,归纳出对数函数的性质,培养直观想象和逻辑推理的素养.2、掌握对数函数的图象及性质,初步会用对数函数的性质解决简单问题.3、理解反函数的概念,知道指数函数和对数函数互为反函数的关系. 学习重点:对数函数的图像与性质.学习难点:利用指数函数与对数函数的关系研究对数函数的图像与性质,体会类比、转化的思想.学习过程: 一、课前准备复习指数函数图象及性质;对数函数的定义 二、新课导学 1、温故知新(1) 对数函数的概念:_______________________________________________ (2) 对数的由来:_______________________________________________ (3) 学习指数函数的图象与性质时的研究方法和过程:_________________________________ 2、学习探究(1) 用列表、描点、连线的方法在同一坐标系中画出x y 2log =和x y 21log =函数图象思考:这两个函数的图象有什么关系呢?(2) 在同一直角坐标系内画出相应的对数函数的图象)log log log log log log (413121432x y x y x y x y x y x y ======、、、、、三、合作探究(一)根据图象,类比研究指数函数性质的方法,归纳对数函数的图象特征和性质,完成下列四、合作探究(二)小组探究讨论P135《探究与发现》五、典例解析例1、比较对数值的大小:6log 7log )3(;2log 2log )2(;34log 43log )1(76513155与与与例2、对数函数的图象问题,比较a 、b 、c 、d 、1的大小。
例3、函数f(x)=lg(|x|-1)的大致图象是( )A B C D变式、画出函数y=|log 2(x+1)|的大致图象,并写出函数的值域和单调区间例4、解对数不等式)10)(14(log )72(log )3(;2)2(log )2();4(log log )1(37171≠>->+<+->a a x x x x x a a ,且六、总结提升 七、课后作业1、课本P135的1~3题,P160的2题,P161的11题2、选做题),1()1,0.()1,21.()21,0.()1,0(.)(02log )1(log 2+∞<<+ D C B A a a a a a 的取值范围是,则若x y 0 1y =log a x y =log b x y =log c xy =log d x。
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2.2.1对数与对数运算(一)一【学习目标】 (一) 教学知识点1.对数的概念;2.对数式与指数式的互化. (二) 能力训练要求1.理解对数的概念;2.能够进行对数式与指数式的互化;3.培养学生数学应用意识. 二、教学重点:对数的定义. 三、教学难点:对数概念的理解. 四【新课讲授】(导学)假设2002年我国国民生产总值为a 亿元,如果每年平均增长8%,那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍?列出表达式: (自学)知识点1 : 对数的概念1.对数定义:一般地,如果 ,)1,0(≠>a a 且则数 b 叫做以a 为底 N 的对数, 记作 ,其中a 称为对数的底,N 称为真数. (b N N a a b =⇔=log )(1)底数的取值范围 ;真数的取值范围(2)对数式和指数式关系式 子名称 a b N指数式 对数式思考1.将下列指数式写成对数式: (1)62554= (2)64126=- (3)273=a(4)73.531=m )(知识点2 两种重要对数1.常用对数:以10为底的对数叫做常用对数N 10log 简记作 . 思考2:5log 10简记作; 5.3log 10简记作2.自然对数:用以无理数e=2.71828……为底的对数叫自然对数, N e log 简记作思考3:3log e 简记作 10log e 简记作 思考4. 将下列对数式写成指数式:(1)416log 21-=; (2)7128log 2=; (3)201.0lg -=; (4)303.210ln =.知识点三 : 重要公式:⑴负数与零没有对数; ⑵01log =a , 1log =a a ⑶对数恒等式N aNa =log五【典例欣赏】(互学) 1对数概念应用例1.求下列各式中x 的取值范围:(1)log 2(x -10);(2)log (x -1)(x +2);(3)log (x +1)(x -1)2.2对数基本运算例2求下列各式中的x 的值:(1)32log 64-=x ;(2)68log =x ;(3)x =100lg ;(4)x e =-2ln 。
对数导学案
3.2 对数函数 第一课时 对数一、学习目标1、熟练地进行指数式与对数式的互化;2、了解常用对数与自然对数以及这两种对数的记法; 二、课前预习1、一般地,如果(0,1)a a a >≠的b 次幂等于N ,即 那么就称b 是以a 为底的对数(logarithm ),记作 ,其中,a 叫做对数的底数(base of logarithm ),N 叫做真数(proper number )。
2、对数的性质:① 零和负数没有对数 ② log 10a = ③ log 1a a = 3、两种特殊的对数①常用对数:以10作底 10log N 简记为lg N ;②自然对数:以e 作底(为无理数),e = 2.718 28…… , log e N 简记为ln N4、对数恒等式(1)log ba a = (2)log a Na=三、典型例题例1 将下列指数式改写成对数式:(1)4216= (2)31327-=(3)520a=(4)10.452b⎛⎫= ⎪⎝⎭例2 将下列对数式改写成指数式(1)5log 1253= (2)13log32=-(3)lg 0.012=- (4)ln10 2.303= 例3 求下列各式的值 (1)2log 64 (2)21log 16(3)lg10000 (4)31log 273(5)(23)log (23)+-例4 求未知数x 的值 (1)33log 4x =-(2)()2221log 3211x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-+-=四、检测反馈1、完成下列指数式与对数式的互化: (1)26416=-⇔ , (2)73.5)31(=m ⇔ , (3)0.5log 164=-⇔ , (4)7128log 2=⇔ , (5)201.0lg -=⇔ , (6)303.210ln =⇔ . 2、求下列对数的值(1)1162log = ,(2)01.0lg = ,(3)ln e = , (4) 2.5log 6.25= ,(5)(21)log (322)-+=3、对数式的值为 12log 21+- ( )(A ) 1 (B )-1 (C ) (D )-4、若log 7[ log 3( log 2x)] = 0,则x 21-为( ).(A).321 (B).331 (C).21 (D).425、计算 (1)3(2log 2)3+= (2)52log 35=6、计算284log log 5a b +=,且284log log 7b a +=,则ab =7、已知0a >且1a ≠,log 2a m =,log 3a n =,求2m na +的值。
2.2 对数与对数函数导学案
必修一 2.2.1 对数与对数运算导学案(课时一)一.合作探究:假设2002年我国国民生产总值为a 亿元,如果每年平均增长8%,那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍? ()?2%81=⇒=+⋅x a a x也就是已知底数和幂的值,求指数.你能看得出来吗?怎样求呢? 新知:1. 对数的概念.一般地,如果N a x=)1,0(≠>a a ,那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数. 记作 ,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数. 2. 对数与指数的关系.一般地,如果(a >0, a ≠1)的b 次幂等于N ,就是N a b =,那么数b 叫做以a 为底N 的对数,记作b N a =log ,3. 常用对数.我们通常将以10为底的对数叫做常用对数,并把常用对数10log N 简记为lg N例如:5log 10简记作lg5; 5.3log 10简记作 .4. 自然对数.在科学技术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数,以e 为底的对数叫自然对数,并把自然对数N e log 简记作N ln例如:3log e 简记作3ln ; 10log e 简记作 . 反思:1.是不是所有的实数都有对数?b N a =log 中的N 可以取哪些值?负数与零是否有对数?为什么? 2.=1log a , =a a log .3.底数的取值范围是 ,真数的取值范围 .4.=na a log ,=na alog .【典型例题】例1.将下列指数式写成对数式,对数式写成指数式.(1)62554=;(2)73.531=m )( ;(3)416log 21-= ;(4)303.210ln =.⇔=N a b例2.求下列各式中的x 的值.(1)32log 64-=x ; (2)68log =x ; (3)x =100lg ; (4)x e =-2ln .例3.计算.(1)27log 9; (2)81log 3; (3)125log 5; (4)()()32log 32-+.课堂检测 1. 若2log 3x =,则x =_____2.若1)12(log -=+x ,则x =_____3. 将下列指数式写成对数式,对数式写成指数式.(1)823= (2)3131=- (3)29log 3= (4)241log 2-=4. 求下列各式的值:(1)1log 4.0 (2)32log 2 (3) 1000lg (4)343log 7(选做)(3))23(log )23(+-; (4)625log35.2.2.1 对数与对数运算(课时二)【预习指导】 复习回顾:1.对数定义:如果N a x =(0,1)a a >≠,那么数 x 叫做 ,记作 .2.指数式与对数式的互化:N a x =⇔ .3.幂的运算性质.(1)n m a a = ;(2)n m a )(= ;(3)n ab )(= . 合作探究:问题:由q p q p a a a +=,如何探讨)(log MN a 和M a log 、N a log 之间的关系?设p M a =log , q N a =log ,由对数的定义可得:p a M =,q a N =∴q p q p a a a MN +==,∴q p MN a +=)(log ,即得N M MN a a a log log )(log +=.新知:对数运算性质.如果1,0≠>a a ,M > 0, N > 0 有:(1)N M MN a a a log log )(log +=;(2) ; (3))(log log R n M n M a n a ∈=.反思:1.性质的证明思路.2.对数的运算性质可否逆用? 【知识链接】【典型例题】例1.用x a log ,y a log ,z a log 表示下列各式.32log )2(;(1)log zyx zxyaa .例2.计算.(1)25log 5; (2))24(log 572⨯; (3)5100lg ;例3.计算. (1) 18lg 7lg 37lg 214lg -+-; (2) 2lg 5lg 2lg )5(lg 2+⋅+.(选讲)例4.已知3010.02lg =,4771.03lg =, 求108lg .课堂检测1. 下列等式成立的是( ).A .222log (35)log 3log 5÷=-B .222log (10)2log (10)-=-C .5log 3log )53(log 222⋅=+D .3322log (5)log 5-=-2. 如果c b a xlg 5lg 3lg lg -+=,那么( ).A .x =a +3b -cB .35ab x c= C . 35ab x c = D .x =a +b 3-c 33. 计算(1))927(log 23⨯ (2)3log 6log 22-(3)15lg lg 23+=; (4) =+27log 3log 99.4. 计算(1)2lg 2lg2lg5lg5+⋅+; (选做)(2) lg8lg1.2-.2.2.1 对数与对数运算(课时三)【预习指导】 复习回顾:对数的运算法则如果 a >0,a ≠ 1,M >0, N >0 有:=)(log MN a ,=NM a log ,=n a M log .新知:1.对数的换底公式:aNN b b a log log log =;证明:设 a log N = x , 则 x a = N .两边取以b 为底的对数:N a x N a b b b x b log log log log =⇒=从而得:a N x b b log log = ∴ aNN b b a log log log =.2.对数的倒数公式:ab b a log 1log =;(选讲)3.对数恒等式:N N a n a n log log =;N N a nn a m log log =;1log log =⋅a b b a .【典型例题】例1.20世纪30年代,查尔斯.里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度,就是使用测震仪衡量地震能量的等级,地震能量越大,测震仪记录的地震曲线的振幅就越大. 这就是我们常说的里氏震级M ,其计算公式为:0lg lg M A A =-,其中A 是被测地震的最大振幅,0A 是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中距离造成的偏差).(1)假设在一次地震中,一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20,此时标准地震的振幅是0.001, 计算这次地震的震级(精确到0.1); (2)5级地震给人的振感已比较明显,计算7.6级地震最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍?(精确到1)例2.计算. (1);25log 20lg 100+ (3)4log 16log 327.课堂检测1.计算(1)8log 4log 3log 432∙∙⋅ (2) ()2log 2)(log 3log 3log 9384++2.已知 2log 3 = a , 3log 7 = b ,用b a ,表示42log 56.(选做)3.计算: 3log 12.05+;2.2.2对数函数及其性质导学案(1)复习1 :画出 x y 2= x y )21(=的图象,并以这两个函数为例,说说指数函数的性质复习2 :生物机体内碳 的“半衰期”为 5730年,湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时,碳14 的残余量为P ,试推算马王堆古墓的年代(列式)二、新课导学※探究任务一:对数函数的概念讨论: 复习2中t 与 P 的关系?(对每一个碳14 的含量 P 的取值,通过对应关系P t 573021log=,生物死亡年数 t 都有唯一的值与之对应,从而 t 是 P 的函数)新知:一般当a>0且 ≠1 时,形如 叫做对数函数,,函数的定义域是 判断: x y 2log 2= ,)5(log 5x y =为对数函数吗?试一试:同一坐标系中画出下列对数函数的图象(1)x y 2log = (2)x y 21log =例1 求下列函数的定义域 (1))32(log 2-+=x x y a (2)xy 311log 7-=练1求下列函数的定义域(1))6(log 5--=x y (2) 1log 2-=x y例2比较下列各题中两个数值的大小(1)5.3log 3log 22和 (2) 7.2log 8.2log 3.03.0和 (3) 9.5log 1.5log a a 和练2:比较下列各题中两个数值的大小 (1)5.8ln 4.3ln 和 (3) 8.1log 61.1log 7.07.0和(2) 4log 7.0log 3.02.0和 (4)2log 3log 32和当堂检测1. 函数)3(log )1(x y x -=-的定义域是 2. 比大小(1)6log 7log 76和 (2)5.1log 8.0log 32和 3. 函数)1(log 22≥+=x x y 的值域为4. 不等式21log 4>x 解集是2.2.2 对数函数及其性质导学案(2)复习1:对数函数log (0,1)y x a a =>≠且图象和性质.一.学习探究探究任务1:阅读教材 P 73探究,答:关系式是_________________________探究任务2:理解指数函数2x y =与对数函数2log y x =互为反函数反函数,课本P 73(不必抄写,理解既可)探究任务3:在同一平面直角坐标系中,画出指数函数2x y =及其反函数2log y x =图象,发现什么性质?(这个问题是课本P76“探究与发现”的问题)由上述过程可以得到结论:互为反函数的两个函数的图象关于 对称. 典型例题例1求函数3x y =的反函数练1. 求下列函数的反函数.(1) y =x (x ∈R ); (2)y =log a 2x (a >0,且a ≠1,x >0)小结:求反函数的步骤(解x →习惯表示→定义域) .五、当堂检测1.函数0.5log y x =的反函数是( ).A. 0.5log y x =-B. 2log y x =C. 2xy = D.1()2xy = 2. 函数2(0)y x x =<的反函数是( ).A. (0)y x =>B. (0)y x =>C. (0)y x =>D.。
3.2 对数函数 导学案优秀教案精讲例题教案
3.2 对数函数3.2.1 对数课标知识与能力目标1.掌握对数的概念和运算性质,理解对数运算与指数运算互为逆运算.2.能运用对数的概念及其与指数的关系推导几个常见的公式和运算性质,并能熟练运用.3.掌握换底公式,了解用换底公式可以讲给对数式转换成自然对数或常用对数.知识点1 对数1.对数的概念:一般地,如果a(a>0,a≠1)的b 次幂等于N ,即N a b =,那么就称b 是以a 为底N 的对数,记作b N a =log ,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数.2.常用对数:通常以10为底的对数称为常用对数,为了方便起见,对数N 10log ,简记为N lg .3.自然对数:以e 为底的对数称为自然对数.其中e =2.718 28…是一个无理数,正数N 的自然对数N e log 一般简记为N ln .4.换底公式:一般地有aNN c c a log log log =,其中a>0,a≠1,N>0,c>0,c≠1,这个公式称为对数的换底公式. 典型例题考点1:指数式与对数式的互化1.并非所有指数式都可以直接化为对数式,如(-3)2=9就不能直接写成log (-3)9=2,只有a>0,a≠1,N>0时,才有a x =N ⇔x =log a N . 2.对数式log a N =b 是由指数式a b =N 变化得来的,两式底数相同,对数式中的真数N 就是指数式中的幂的值,而对数值b 是指数式中的幂指数,对数式与指数式的关系如图:例1 (1)将下列指数式化为对数式:①3-3=127;②348=16;③a 5=15.(2)将下列对数式化为指数式:①5243log 3=;②3271log 31=;③1-1.0lg =.例2 log (0,1,0)b N a b b N =>≠>对应的指数式是____________.考点2:求对数的值例1 计算下列各式的值:(1)001.0lg ;(2)8log 4;(3)e ln .例2 求下列各式的值:(1)3log 9;(2)25.0log 2;(3)393log ;(4)35.02log .考点3:对数的基本性质及对数恒等式 例1 计算:(1))5(log log 52; (2)2231log 12+-; (3)c b b a b a log log ⋅(a ,b >1,c>0).考点4:对数运算中的转化思想 例1 求下列各式中的x :(1)27log x =32; (2)x 2log =-23; (3))223(log +x =-2; (4))(log log 25x =0.例2 求下列各式中x 的取值范围:(1))10lg(-x ; (2))2(lg )1(+-x x ; (3)2)1()1(lg -+x x .考点5:对数运算性质的应用 1.基本性质:(10≠a a ,且>)(1)1log =a a ; (2)01log =a ; (3)N a Na=log ; (4)N a N a =log .2.运算性质:(10≠a a ,且>) (1)N M MN a a a log log )(log +=; (2)N M NMa a log log log a-=; (3)M n M a n a log log =.例1 求下列各式的值: (1)245lg 8lg 344932lg 21+-; (2)22)2(lg 2lg 2)5(lg -+.例2 计算下列各式的值:(1)lg 3+2lg 2-1lg 1.2; (2)log 28+43+log 28-43.考点6:换底公式的应用 例1 (1)计算6log 16log 194+=________; (2)已知log 23=a,3b =7,则log 1256=________.(用a ,b 表示).例2 (1)化简:532111log 7log 7log 7++; (2)设23420052006log 3log 4log 5log 2006log 4m ⋅⋅⋅=,求实数m 的值.例3 (1)已知18log 9a =,185b =,试用a 、b 表示18log 45的值;(2)已知1414log 7log 5a b ==,,用a 、b 表示35log 28.考点7:对数的应用题步骤:1.依据题意建立等量关系;2.利用对数的定义及运算性质对上述等量关系变形;3.借助已知数据(或计算器)估值;4.下结论.例1 某化工厂生产化工产品,去年生产成本50元/桶,现使生产成本平均每年降低28%,那么几年后每桶生产成本为20元?(lg 2≈0.301,lg 3≈0.477 1,精确到1年).例2 光线每通过一块玻璃板,其强度要损失10%,把几块这样的玻璃板重叠起来,设光线原来的强度为a,通过x块玻璃板以后的强度值为y.(1)试写出y关于x的函数关系式;(2)通过多少块玻璃板以后,光线强度减弱到原来强度的一半以下?(根据需要取用数据lg 3≈0.477 1,lg 2≈0.301 0)能力提优题型1:指数与对数的互化例1 把x x xx ee e e y --+-=转化为用含y 的式子表示x 的形式.题型2:相等幂指数式问题 例1 设3643=+b a ,求ba 12+的值.例2 设),0(,,+∞∈z y x ,且z y x 643==. (1)比较z y x 6,4,3的大小; (2)求证:yxz2111=-.。
对数函数导学案(全章)
对数函数导学案(全章)导学目标本章主要介绍对数函数及其性质,通过研究,你将了解以下内容:- 对数函数的定义与表示方法;- 对数函数的性质及其与指数函数之间的关系;- 对数函数在实际问题中的应用。
1. 对数函数的定义与表示方法1.1 对数函数的定义对数函数是一种能够描述指数运算逆运算的数学函数。
设正数a > 0 且a ≠ 1,b > 0,则以 a 为底 b 的对数,记作logₐb,定义为满足a^logₐb = b 的实数。
1.2 对数函数的表示方法对数函数可以用不同的表示方法来表示,常见的有以下两种:- 指数形式:logₐb = x,表示以 a 为底 b 的对数为 x;- 运算形式:logₐb = logc b / logc a,表示以 a 为底 b 的对数,等于以任意正数 c 为底 b 的对数与以 c 为底 a 的对数的商。
2. 对数函数的性质与关系2.1 对数函数的性质对数函数具有以下性质:- logₐa = 1;- logₐa^x = x,其中 a > 0,a ≠ 1;- logₐ1 = 0,其中 a > 0,a ≠ 1;- log₁₀10 = 1,log₂2 = 1。
2.2 对数函数与指数函数的关系对数函数与指数函数之间存在着紧密的联系:- 若 a^x = b,则logₐb = x;- 若logₐb = x,则 a^x = b。
3. 对数函数的应用对数函数在实际问题中有广泛的应用,例如:- 在经济学中,对数函数可以用来描述利率、复利和指数增长等问题;- 在物理学中,对数函数可以用来描述声音的音量、地震的震级等问题;- 在计算机科学中,对数函数可以用来描述算法的时间复杂度等问题。
总结本章主要介绍了对数函数的定义与表示方法,对数函数的性质与指数函数的关系,以及对数函数在实际问题中的应用。
通过研究,你可以更好地理解并运用对数函数解决相关的数学问题。
参考资料:- 张宇老师. (2021). 《高中数学》. 北京师范大学出版社.。
2.2.1对数与对数运算 导学案
2.2.1对数与对数运算 导学案教学目标 :1.理解对数的概念,了解对数与指数的关系;2.掌握对数式与指数式的关系。
教学重点 对数的定义及对数式与指数式的互化 教学难点 对数概念的理解及对数式与指数式的互化一、学生自学,教师巡导 1. 对数的概念.一般地,如果N a x=)1,0(≠>a a ,那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数.记作 ,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数. 2. 对数与指数的关系.一般地,如果(a >0, a ≠1)的b 次幂等于N ,就是N a b=,那么数b 叫做以a为底N 的对数,记作bN a =log ,3. 常用对数.我们通常将以 为底的对数叫做常用对数,并把常用对数10log N 简记为 例如:5log 10简记作 ;5.3log 10简记作 .4. 自然对数.在科学技术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数,以e 为底的对数叫自然对数,并把自然对数Ne log 简记作例如:3log e 简记作 ; 10log e 简记作 .5.是不是所有的实数都有对数?bN a =log 中的N 可以取哪些值?负数与零是否有对数?为什么?6.指数式化为对数式:(1) ,221= 331= 551= 21)21(1=通过以上对数式,你发现的结果是 。
为什么?⇔=N a b(2) 120= 130= 150= 1)21(0=通过以上对数式,你发现的结果是 。
为什么?•(3).把对数式N N a a log log =化为指数式 (提示:第二个对数看成一个数)把指数式n n a a =化为对数式 (同上) 二.学生展示,教师精导例1.将下列指数式写成对数式:对数式写成指数式。
(教材P63例题1基础上补充)(1)62554= (2)64126=- (3)273=a(4) 73.531=m )((5)416log 21-=; (6)7128log 2=; (7)201.0lg -=; (8)303.210ln =.(做一做):教材P64 练习1、2例2.求下列各式中的x 的值:(教材P63 例题2) (1)32log 64-=x ; (2)68log =x (3)x =100lg (4)x e =-2ln(做一做):教材P64 练习3、4•例3.计算: ⑴27log 9,⑵81log 43,⑶()()32log 32-+,⑷625log 345.解:(1)解法一:设 =x 27log 9 则 ,279=x3233=x , ∴23=x (按照范例,求解(2)、(3)(4)题)三、边练边清,巩固提升1.把下列各题的指数式写成对数式:(1)24=16; (2)03=1; (3)x 4=2; (4)x 2=0.5;(5)45 =625; (6)23- =91; (7)2)41(- =16.2.把下列各题的对数式写成指数式:(1)x=27log 5; (2)x=7log 8 (3)x=3log 4 (4)x=31log 7(5)16log 2 =4; (6)27log 31 =-3; (7)x 3log=6; (8)64log x =-6;(9)128log 2 =7; (10)27log 3 =a.3.求下列各式中x 的值:(1)x 8log =32-; (2)27log x =43; (3) x 4log =21;(4) )(log log 52x =1 (5))(lg log 3x =0. (6))(log log 105x =1.4.以下四个命题中,属于真命题的是( ) (1)若x 5log =3,则x=15 (2)若x 25log =21,则x=5 (3)若5log x =0,则x=5(4)若x 5log =-3,则x=1251A.(2)(3)B.(1)(3)C.(2)(4)D.(3)(4) 5.(1)求4log 8的值;(2)已知log a 2=m,log a 3=n,求a 2m +n 的值.四.总结提炼,提出问题南州中学高一年级数学学科导学案(累计课时 )班级 姓名 组号 学案评价教学目标 :1. 通过具体实例引入,推导对数的运算性质2. 准确运用对数的运算性质进行运算、化简、求值3. 初步掌握化简求值的技能 教学重点:对数运算性质与对数知识的应用。
第5课时《对数》导学案
.
(2)设经过 x 年国民生产总值达到翻两番的 目标,那么 (1+8%)x=4,两边取常用对数可 得:xlg 1.08=lg 4, 解得 x=
������������������ ≈ ������������������.������������
18 (年).
导.学. 固. 思
=
lg3
=log3m,
2 2
∴有 log3m=log44 =2,即 m=3 =9. b (2)(法一)因为 18 =5,所以 log185=b, 于是 log3645=
lo g 18 45 lo g 18 36 lo g 18 (18×2) lo g 9+lo g 18 5 a+b = 18 . 18 = 2 -a 1+lo g 18
【解析】根据对数式的意义得不等式组 a-2 > 0, 5-a > 0,∴2<a<5 且 a≠3. a-2 ≠ 1,
2
式子
lo g 8 9 的值为( A lo g 2 3 2 3 A. B. 3 2
). C.2
= log23,∴原式= .
3 2
D.3
【解析】∵log89=
lo g 2 32 2 lo g 2 23 3
多长?(2)取多少次,还有0.125尺?
实例2:假设2008年我国国民生产总值为a亿元,如果每 年平均增长8%,那么经过多少年国民生产总值达到翻两 番的目标?
导.学. 固. 思
问题1
根据上述情境,我们由指数函数来了解对数函数 1 ������ 4 的意义:(1)取 4 次之后,还剩下( ) = ,我 ������ 16 们设取 x 次后还剩下 0.125 尺,那么列出方程 ( )x=0.125⇒x= 3
对数的概念(导学案)
§5.1对数的概念预习案一、三维目标:知识与技能(1)通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,体会对数函数是一类重要的函数模型。
(2)了解指数函数xay=(a>0, 1≠a)与对数函数xyalog=(a>0, a1≠)互为反函数。
2、过程与方法在解决简单实际问题的过程中,体会对数函数是一类重要的函数模型。
能运用现代信息技术学习、探索和解决问题。
情感、态度与价值观通过对对数函数的研究,使学生深刻认识到函数是一种通过某一事物的变化信息可推知另一事物信息的对应关系的数学模型,结合实际问题,感受运用对数函数概念建立模型的过程与方法。
二、学习重点:理解对数函数的概念。
三、学习难点:指数函数xay=(a>0, 1≠a)与对数函数xyalog=(a>0, a1≠)互为反函数。
四、知识链接:1、对数函数的概念我们把函数叫做对数函数,a叫做。
特别地,我们称为常用对数函数;称为自然对数函数。
指数函数xay=(a>0, 1≠a)与对数函数xyalog=(a>0, a1≠)有什么关系?探究案例1计算:计算对数函数xy2log=对应于x取1,2,4时的函数值;计算常用对数函数xy lg=对应于x取1,10,100,0.1时的函数值。
变式: 计算对数函数xy 21log =对应于x 取0.25,0.5,1,2,4,8,16时的函数值;计算常用对数函数x y lg =对应于x 取0.1,0.001.,1,1000时的函数值。
例2 写出下列函数的反函数:(1)x y lg = (2)x y 31log = (3)x y 5= (4)x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=43训练案1、计算对数函数x y 3log =对应于x 取1,3,9时的函数值。
2、列函数的定义域:(1)5lg )2(222-=-x x x f (2)求函数)3lg(562+--=x x x y 的定义域。
人教版数学高二-2.2.1《对数的概念》导学案
课 题:2.2.1 对数的概念学习目标:1.理解对数的概念2.能够进行对数式与指数式的互化;一、复习引入:1、庄子:一尺之棰,日取其半,万世不竭(1)取4次,还有多长?(2)取多少次,还有0.125尺?2、假设2002年我国国民生产总值为a 亿元,如果每年平均增长8%,那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍?抽象出:1. 421⎪⎭⎫ ⎝⎛=?,x⎪⎭⎫ ⎝⎛21=0.125⇒x=? 2. ()x %81+=2⇒x=?也是已知底数和幂的值,求指数你能看得出来吗?怎样求呢?二、新授内容:自学课本62页,完成下面问题:一般的,如果__________________,那么x 叫做以a 为底N 的对数,记作: ,其中a 叫做 ,N 叫做 ,即log x a a N x N =⇔=(对数与指数间的关系) 例如:由于1642=,所以以4为底的对数是2,记作 ; 100102=⇔______100log 10=2421= ⇔_______2log 4= ; 01.0102=-⇔_____01.0log 10= 探究:⑴负数与零为什么没有对数?⑵______1log =a ,_____log =a a⑶对数恒等式如果把 N a b = 中的 b 写成 N a log , 则有______log =N a a ⑷常用对数:我们通常将以10为底的对数叫做常用对数为了简便,N 的常用对数N 10log 简记作例如:5log 10简记作 ; 5.3log 10简记作⑸自然对数:在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……为底的对数,以e 为底的对数叫自然对数,为了简便,N 的自然对数N e log 简记作 例如:3log e 简记作 ; 10log e 简记作(6)底数的取值范围 ;真数的取值范围三、讲解范例:例1将下列指数式写成对数式:(1)45=625 (2)62-=641 (3)a 3=27 (4) m )(31=5.73例2 将下列对数式写成指数式:(1)416log 21-=; (2)7128log 2=;(3)lg0.01=-2; (4)ln10=2.303例3计算: ⑴27log 9,⑵81log 43,⑶()()32log 32-+,⑷625log 345例4求下列各式中x的值32x log 164-=)(68log 2x =)( (3)lg1000=x (4) -ln 2e =x四、谈收获:1、对数的定义:注意:(1)对数的真数N 0;(2)真数为1,对数为____,即 ;(3)真数等于底,对数为____,即log a a 12、指数式与对数式互换3、求对数式的值。
《2.2对数函数》导学案1
《2.2对数函数》导学案1解读对数概念及运算对数是中学数学中重要的内容之一,理解对数的定义,掌握对数的运算性质是学习对数的重点内容.现梳理这部分知识,供同学们参考.一、对数的概念对数概念与指数概念有关,指数式和对数式是互逆的,即a b =N ⇔log a N =b (a >0,且a ≠1),据此可得两个常用恒等式:(1)log a a b =b ;(2)alog a N =N .例1 计算:log 22+log 51+log 3127+9log 32.分析 根据定义,再结合对数两个恒等式即可求值.解 原式=1+0+log 33-3+(3log 32)2=1-3+4=2.点评 解决此类问题关键在于根据幂的运算法则将指数式和对数式化为同底数. 二、对数的运算法则常用的对数运算法则有:对于M >0,N >0. (1)log a (MN )=log a M +log a N ;(2)log a MN =log a M -log a N ;(3)log a M n =nlog a M .例2 计算:lg 14-2lg 73+lg 7-lg 18. 分析 运用对数的运算法则求解. 解 由已知,得原式=lg (2×7)-2(lg 7-lg 3)+lg 7-lg (32×2) =lg 2+lg 7-2lg 7+2lg 3+lg 7-2lg 3-lg 2=0.点评 对数运算法则是进行对数运算的根本保证,同学们必须能从正反两方面熟练应用.三、对数换底公式根据对数的定义和运算法则 可以得到对数换底公式: log a b =log c blog c a (a >0且a ≠1,c >0且c ≠1,b >0). 由对数换底公式又可得到两个重要结论:(1)log a b ·log b a =1;(2)log an b m=mn log a b .例3 计算:(log 25+log 4125)×log 32log35.分析 在利用换底公式进行化简求值时,一般是根据题中对数式的特点选择适当的底数进行换底,也可选择以10为底进行换底.解 原式=(log 25+32log 25)×log 322log 35 =52log 25×12log 52=54.点评 对数的换底公式是“同底化”的有力工具,同学们要牢记.通过上面讲解,同学们可以知道对数的定义是对数式和指数式互化的依据,正确进行它们之间的相互转换是解题的有效途径.对数的运算性质,同学们要熟练掌握,在应用过程中避免错误,将公式由“正用”“逆用”逐步达到“活用”的境界.对数换底公式的证明及应用设a >0,c >0且a ≠1,c ≠1,N >0,则有log a N =log c Nlog c a ,这个公式称为对数的换底公式,它在对数的运算中有着重要的应用,课本中没有给出证明,现证明如下:证明 记p =log a N ,则a p =N .**式两边同时取以c 为底的对数(c >0且c ≠1)得 log c a p =log c N ,即plog c a =log c N . 所以p =log c N log c a ,即log a N =log c Nlog c a . 推论1:log a b ·log b a =1.推论2:log an b m=mn log a b (a >0且a ≠1,b >0).例4 (1)已知log 189=a ,18b =5,求log 3645的值; (2)求log 23·log 34·log 45·…·log 6364的值. 解 (1)因为log 189=a ,18b =5, 所以lg 9lg 18=a .所以lg 9=alg 18,lg 5=blg 18. 所以log 3645=lg5×9lg 1829=lg 5+lg 92lg 18-lg 9 =b lg 18+a lg 182lg 18-a lg 18=b +a 2-a .(2)log 23·log 34·log 45·…·log 6364 =lg 3lg 2·lg 4lg 3·lg 5lg 4·…·lg 64lg 63 =lg 64lg 2=6lg 2lg 2=6.点评 对数运算法则中,对数式都是同底的,凡不同底的对数运算,都需要用换底公式将底统一,一般统一成常用对数.例5 已知12log 8a +log 4b =52,log 8b +log 4a 2=7,求ab 的值. 解 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧16log 2a +12log 2b =52,13log 2b +log 2a =7,即⎩⎪⎨⎪⎧log 2a +3log 2b =15,3log 2a +log 2b =21.解得⎩⎪⎨⎪⎧log 2a =6,log 2b =3.所以a =26,b =23.故ab =26·23=512.点评 发现底数“4”,“8”与“2”的关系,将底数统一成“2”,解决问题比较简单. 此外还有下面的关系式:log N M =log a M log a N =log b Mlog b N ;log a M ·log b N =log a N ·log b M ;log a M log b M =log a Nlog b N =log a b ;Nlog a M =Mlog a N .对数函数图象及性质的简单应用对数函数图象是对数函数的一种表达形式,形象显示了函数的性质,为研究它的数量关系提供了“形”的直观性.它是探求解题思路、获得问题结果的重要途径.能准确地作出对数函数的图象是利用平移、对称的变换来研究复杂函数的性质的前提,而数形结合是研究与对数函数的有关问题的常用思想.一、求函数的单调区间例6 画出函数y =log 2x 2的图象,并根据图象指出它的单调区间. 解 当x ≠0时,函数y =log 2x 2满足 f (-x )=log 2(-x )2=log 2x 2=f (x ),所以y =log 2x 2是偶函数,它的图象关于y 轴对称. 当x >0时,y =log 2x 2=2log 2x ,因此先画出y =2log 2x (x >0)的图象为C 1,再作出C 1关于y 轴对称的图象C 2,C 1与C 2构成函数y =log 2x 2的图象,如图所示.由图象可以知道函数y =log 2x 2的单调减区间是(-∞,0),单调增区间是(0,+∞). 点评 作图象时一定要考虑定义域,否则会导致求出错误的单调区间,同时在确定单调区间时,要注意增减区间的分界点,特别要注意区间的开与闭问题.二、利用图象求参数的值例7 若函数f (x )=log a (x +1)(a >0,a ≠1)的定义域和值域都是[0,1],则a 等于( ) A .13B . 2C .22D .2解析 当a >1时,f (x )=log a (x +1)的图象如图所示. f (x )在[0,1]上是单调增函数,且值域为[0,1], 所以f (1)=1,即log a (1+1)=1, 所以a =2,当0<a <1时,其图象与题意不符,故a 的值为2,故选D . 答案 D点评 (1)当对数的底数不确定时要注意讨论; (2)注意应用函数的单调性确定函数的最值(值域). 三、利用图象比较实数的大小例8 已知log m 2<log n 2,m ,n >1,试确定实数m 和n 的大小关系.解 在同一直角坐标系中作出函数y =log m x 与y =log n x 的图象如图所示,再作x =2的直线,可得m >n .点评 不同底的对数函数图象的规律是:(1)底都大于1时,底大图低(即在x >1的部分底越大图象就越接近x 轴);(2)底都小于1时,底大图高(即在0<x <1的部分底越大图象就越远离x 轴).四、利用图象判断方程根的个数例9 已知关于x 的方程|log 3x |=a ,讨论a 的值来确定方程根的个数.解 因为y =|log 3x |=⎩⎪⎨⎪⎧log 3x , x >1,-log 3x , 0<x <1,在同一直角坐标系中作出函数与y =a 的图象,如图可知: (1)当a <0时,两个函数图象无公共点,所以原方程根的个数为0; (2)当a =0时,两个函数图象有一个公共点,所以原方程根有1个; (3)当a >0时,两个函数图象有两个公共点,所以原方程根有2个.点评 利用图象判断方程根的个数一般都是针对不能将根求出的题型,与利用图象解不等式一样,需要先将方程等价转化为两端对应的函数为基本函数(最好一端为一次函数),再作图象.若含有参数,要注意对参数的讨论,参数的取值不同,函数图象的位置也就不同,也就会引起根的个数不同.三类对数大小的比较一、底相同,真数不同例10 比较log a 2与log a 33的大小.分析 底数相同,都是a ,可借助于函数y =log a x 的单调性比较大小. 解 由(2)6=8<(33)6=9,得2<33. 当a >1时,函数y =log a x 在(0,+∞)上是增函数, 故log a 2<log a 33; 当0<a <1时,函数y =log a x 在(0,+∞)上是减函数, 故log a 2>log a 33.点评 本题需对底数a 的范围进行分类讨论,以确定以a 为底的对数函数的单调性,从而应用函数y =log a x 的单调性比较出两者的大小.二、底不同,真数相同例11 比较log 0.13与log 0.53的大小.分析 底数不同但真数相同,可在同一坐标系中画出函数y =log 0.1x 与y =log 0.5x 的图象,借助于图象来比较大小;或应用换底公式将其转化为同底的对数大小问题.解 方法一 在同一坐标系中作出函数y =log 0.1x 与y =log 0.5x 的图象,如右图. 在区间(1,+∞)上函数y =log 0.1x 的图象在函数y =log 0.5x 图象的上方, 故有log 0.13>log 0.53.方法二 log 0.13=1log 30.1,log 0.53=1log 30.5. 因为3>1,故y =log 3x 是增函数, 所以log 30.1<log 30.5<0. 所以1log 30.1>1log 30.5. 即log 0.13>log 0.53.方法三 因为函数y =log 0.1x 与y =log 0.5x 在区间(0,+∞)上都是减函数,故log 0.13>log 0.110=-1,log 0.53<log 0.52=-1,所以log 0.13>log 0.53.点评 方法一借助于对数函数的图象;方法二应用换底公式将问题转化为比较两个同底数的对数大小;方法三借助于中间值来传递大小关系.三、底数、真数均不同 例12 比较log 323与log 565的大小.分析 底数、真数均不相同,可通过考察两者的范围来确定中间值,进而比较大小. 解 因为函数y =log 3x 与函数y =log 5x 在(0,+∞)上都是增函数, 故log 323<log 31=0,log 565>log 51=0, 所以log 323<log 565.点评 当底数、真数均不相同时,可找中间量(如1或0等)传递大小关系,从而比较出大小.综上所述,比较两个(或多个)对数的大小时,一看底数,底数相同的两个对数可直接利用对数函数的单调性来比较大小,对数函数的单调性由“底”的范围决定,若“底”的范围不明确,则需分“底数大于1”和“底数大于0且小于1”两种情况讨论,如例10;二看真数,底数不同但真数相同的两个对数可借助于图象,或应用换底公式将其转化为同底的对数来比较大小,如例11;三找中间值,底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值(如1或0等)来比较,如例12.初学对数给你提个醒对数函数是函数的重要内容之一,由于同学们对概念、定义域、值域、图象等知识点掌握得不够好,经常出现解题错误,现将这些错误进行归纳并举例说明.一、忽视0没有对数例13 求函数y =log 3(1+x )2的定义域. 错解 对于任意的实数x ,都有(1+x )2≥0, 所以原函数的定义域为R .剖析 只考虑到负数没有对数.事实上,由对数的定义可知,零和负数都没有对数. 正解 {x |x ≠-1} 二、忽视1的对数为0 例14 求函数y =1log 22x +3的定义域.错解 由2x +3>0,得x >-32, 所以定义域为{x |x >-32}.剖析 当2x +3=1时,log 21=0,分母为0没有意义,上述解法忽视了这一点. 正解 {x |x >-32且x ≠-1}三、忽视底数的取值范围例15 已知log (2x +5)(x 2+x -1)=1,则x 的值是( ) A .-4 B .-2或3 C .3D .-4或5错解 由2x +5=x 2+x -1,化简得x 2-x -6=0, 解得x =-2或x =3.故选B .剖析 忽视了底数有意义的条件:2x +5>0且2x +5≠1.当x =-2时,2x +5=1,应舍去,只能取x =3.正解 C四、忽视真数大于零例16 已知lg x +lg y =2lg (x -2y ),求log 2xy 的值.错解 因为lg x +lg y =2lg (x -2y ), 所以xy =(x -2y )2,即x 2-5xy +4y 2=0,所以x =y 或x =4y ,即x y =1或xy =4, 所以log 2x y =0,或log 2xy =4.剖析 错误的原因在于忽视了原式中的三个对数式隐含的条件,x >0,y >0,x -2y >0,所以x >2y >0,所以x =y 不成立.正解 因为lg x +lg y =2lg (x -2y ), 所以xy =(x -2y )2,即x 2-5xy +4y 2=0, 所以x =y 或x =4y ,因为x >0,y >0,x -2y >0,所以x =y 应舍去,所以x =4y ,即xy =4, 所以log 2xy =4.五、对数运算性质混淆例17 下列运算:(1)log 28log 24=log 284; (2)log 28=3log 22;(3)log 2(8-4)=log 28-log 24;(4)log 243·log 23=log 2(43×3).其中正确的有( ) A .4个 B .3个 C .2个D .1个错解 A剖析 (1)log 28log 24真数8与4不能相除;(3)中log 2(8-4)不能把log 乘进去运算,没有这种运算的,运算log 284=log 28-log 24才是对的;(4)错把log 提出来运算了,也没有这种运算,正确的只有(2).正解 D六、忽视对含参底数的讨论例18 已知函数y =log a x (2≤x ≤4)的最大值比最小值大1,求a 的值. 错解 由题意得log a 4-log a 2=log a 2=1, 所以a =2.剖析 对数函数的底数含有参数a ,错在没有讨论a 与1的大小关系而直接按a >1解题. 正解 (1)若a >1,函数y =log a x (2≤x ≤4)为增函数, 由题意得log a 4-log a 2=log a 2=1, 所以a =2,又2>1,符合题意.(2)若0<a <1,函数y =log a x (2≤x ≤4)为减函数, 由题意得log a 2-log a 4=log a 12=1, 所以a =12,又0<12<1,符合题意, 综上可知a =2或a =12.巧借对数函数图象解题数形结合思想,就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维与形象思维相结合.通过对图形的认识、数形转化,来提高思维的灵活性、形象性、直观性,使问题化难为易、化抽象为具体.它包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面.一、利用数形结合判断方程解的范围方程解的问题可以转化为曲线的交点问题,从而把代数与几何有机地结合起来,使问题的解决得到简化.例1 方程lg x +x =3的解所在区间为( ) A .(0,1) B .(1,2) C .(2,3)D .(3,+∞)答案 C解 在同一平面直角坐标系中,画出函数y =lg x 与y =-x +3的图象(如图所示).它们的交点横坐标x 0显然在区间(1,3)内,由此可排除选项A 、D .实际上这是要比较x 0与2的大小.当x 0=2时,lg x 0=lg 2,3-x 0=1.由于lg 2<1,因此x 0>2,从而判定x 0∈(2,3).点评 本题是通过构造函数用数形结合法求方程lg x +x =3的解所在的区间.数形结合,要在结合方面下功夫.不仅要通过图象直观估计,而且还要计算x0的邻近两个函数值,通过比较其大小进行判断.二、利用数形结合求解的个数例2已知函数f(x)满足f(x+2)=f(x),当x∈[-1,1)时,f(x)=x,则方程f(x)=lg x的根的个数是________.解析构造函数g(x)=lg x,在同一坐标系中画出f(x)与g(x)的图象,如图所示,易知有4个根.答案4点评本题学生极易填3,其原因是学生作图不标准,尤其是在作对数函数的图象时没有考虑到当x=10时,y=1.因此,在利用数形结合法解决问题时,要注意作图的准确性.三、利用数形结合解不等式例3使log2x<1-x成立的x的取值范围是______________________________________.解析构造函数f(x)=log2x,g(x)=1-x,在同一坐标系中作出两者的图象,如图所示,直接从图象中观察得到x∈(0,1).答案(0,1)点评用数形结合的方法去分析解决问题,除了会读图外,还要会画图,绘制图形既是利用数形结合方法的需要,也是培养我们动手能力的需要.对数函数常见题型归纳一、考查对数函数的定义例4已知函数f(x)为对数函数,且满足f(3+1)+f(3-1)=1,求f(5+1)+f(5-1)的值.解设对数函数f(x)=log a x(a>0,a≠1),由已知得log a(3+1)+log a(3-1)=1,即log a[(3+1)×(3-1)]=1⇒a=2.所以f (x )=log 2x (x >0).从而得f (5+1)+f (5-1)=log 2[(5+1)×(5-1)]=2. 二、考查对数的运算性质 例5 log 89log 23的值是( ) A .23B .1C .32D .2解析 原式=log 29log 28·1log 23 =23·log 23log 22·1log 23=23. 答案 A三、考查指数式与对数式的互化例6 已知log a x =2,log b x =3,log c x =6,求log abc x 的值. 解 由已知,得a 2=x ,b 3=x ,c 6=x , 所以a =x 12,b =x 13,c =x 16. 于是,有abc =x 12+13+16=x 1, 所以x =abc ,则log abc x =1.四、考查对数函数定义域和值域(最值)例7 (江西高考)若f (x )=1log 122x +1,则f (x )的定义域为( )A .⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,0B .⎝ ⎛⎦⎥⎤-12,0C .⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,+∞D .(0,+∞)答案 A解析 要使f (x )有意义,需log 12(2x +1)>0=log 121, ∴0<2x +1<1,∴-12<x <0.例8 已知函数f (x )=2+log 3x (1≤x ≤9),则函数g (x )=f 2(x )+f (x 2)的最大值为________,最小值为________.解析 由已知,得函数g (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤9,1≤x 2≤9⇒1≤x ≤3.且g (x )=f 2(x )+f (x 2)=(2+log 3x )2+2+log 3x 2 =log 23x +6log 3x +6.则当log 3x =0,即x =1时,g (x )有最小值g (1)=6; 当log 3x =1,即x =3时,g (x )有最大值g (3)=13. 答案 13 6 五、考查单调性例9 若函数f (x )=log a x (0<a <1)在区间[a ,2a ]上的最大值是最小值的3倍,则a 为( ) A .24B .22C .14D .12解析 由于0<a <1,所以f (x )=log a x (0<a <1)在区间[a ,2a ]上递减,在区间[a ,2a ]上的最大值为f (a ),最小值为f (2a ),则f (a )=3f (2a ),即log a a =3log a (2a )⇒a =24.答案 A六、考查对数函数的图象例10 若不等式x 2-log a x <0在(0,12)内恒成立,则a 的取值范围是________.解析 由已知,不等式可化为x 2<log a x . 所以不等式x 2<log a x 在(0,12)内恒成立,可转化为当x ∈(0,12)时,函数y =x 2的图象在函数y =log a x 图象的下方,如图所示. 答案 [116,1)点评 不等式x 2<log a x 左边是一个二次函数,右边是一个对数函数,不可能直接求解,充分发挥图象的作用,则可迅速达到求解目的.巧比对数大小一、中间值法若两对数底数不相同且真数也不相同时,比较其大小通常运用中间值作媒介进行过渡. 理论依据:若A >C ,C >B ,则A >B . 例11 比较大小:log 932,log 8 3.解 由于log 932<log 93=14=log 822<log 83, 所以log 932<log 8 3.点评 以14为纽带,建立起放缩的桥梁,解题时常通过观察确定中间值的选取. 二、比较法比较法是比较对数大小的常用方法,通常有作差和作商两种策略. 理论依据:(1)作差比较:若A -B >0,则A >B ;(2)作商比较:若A ,B >0,且AB >1,则A >B .例12 比较大小:(1)log 47,log 1221; (2)log 1.10.9,log 0.91.1.解 (1)log 47-log 1221=(log 47-1)-(log 1221-1) =log 474-log 1274=1log 744-1log 7412,由于0<log 744<log 7412,所以1log 744>1log 7412,即log 47>log 1221.(2)由于log 1.10.9,log 0.91.1都小于零, 所以|log 1.10.9||log 0.91.1|=(log 1.10.9)2=(-log 1.10.9)2 =(log 1.1109)2>(log 1.11110)2=1, 故|log 1.10.9|>|log 0.91.1|, 所以log 1.10.9<log 0.91.1.点评 将本例(1)推广延伸为:若1<A <B ,C >0,则log A B >log AC (BC ),进而可比较形如此类对数的大小.三、减数法将对数值的大概范围确定后,两边同减去一个数,通过局部比较大小.理论依据:若A -C >B -C ,则A >B . 例13 比较大小:log n +2(n +1),log n +1n (n >1). 解 因为log n +2(n +1)-1=log n +2n +1n +2>log n +2n n +1>log n +1nn +1=log n +1n -1.所以log n +2(n +1)>log n +1n .点评 将本例推广延伸为:若1<A <B ,C >0,则log A +C (B +C )>log A B ,进而可比较形如此类对数的大小.四、析整取微法将对数的整数部分分别析取出来,通过比较相应小数部分的大小使得问题获解. 理论依据:若A =log a M =k +x ,B =log b N =k +y ,且x >y ,则A >B . 例14 比较大小:log 123,log 138. 解 令log 123=-2+x ,log 138=-2+y , 于是2-(-2+x )=3,3-(-2+y )=8, 则2-x-3-y=34-89<0,故2-x <3-y .两边同时取对数,化简得xlg 2>ylg 3,则x y >lg 3lg 2>1,即x >y ,故log 123>log 138.点评 这种方法便于操作,容易掌握,并且所涉及的知识又都是通性通法,有利于“回归课本,夯实基础”,此法值得深思.例15 对于函数y =f (x ),x ∈D ,若存在一常数c ,对任意x 1∈D ,存在惟一的x 2∈D ,使f x 1+f x 22=c ,则称函数f (x )在D 上的均值为c .已知f (x )=lgx ,x ∈[10,100],则函数f (x )=lg x 在[10,100]上的均值为( )A .32B .34C .110D .10分析 该题通过定义均值的方式命题,以定义给出题目信息,是当前的一种命题趋势.其本质是考查关于对数和指数的运算性质和对定义的理解与转化.解析 首先从均值公式可得lg (x 1x 2)=2c , 所以x 1x 2=102c =100c . 因为x 1,x 2∈[10,100],所以x 1x 2∈[100,10 000].所以100≤100c ≤ 10 000.所以1≤c ≤2. 从选项看可知成为均值的常数可为32.故选A . 答案 A例16 函数y =|log 2x |的定义域为[a ,b ],值域为[0,2],则区间[a ,b ]的长度b -a 的最小值为( )A .3B .34C .2D .23分析 对函数的性质的分析研究一直是高中数学的重点,尤其是二次函数、指数函数和对数函数等重点函数的形态研究.本题正是以函数y =log 2x 为基础而编制,从定性分析和定量的计算中刻划a ,b 的关系.结合函数的图象(图象是函数性质的立体显示)数形结合易于寻找、确定二者的关系.解析 画出函数图象如图所示. 由log 2a =-2得a =14. 由log 2b =2得b =4.数形结合知a ∈[14,1],b ∈[1,4].考虑函数定义域,满足值域[0,2]的取值情况可知, 当b =1,a =14时,b -a 的最小值为1-14=34.故选B . 答案 B解题要学会反思解题中的反思是完善解题思路的有效方法,面对一道较为综合的题,寻找解题思路时,想一步到位,往往不太现实;边解边反思,逐步产生完善、正确的解题思路,却是可行的,请看:题目:已知函数f (x )=log m x -3x +3,试问:是否存在正数α,β,使f (x )在[α,β]上的值域为[log m (β-4),log m (α-4)]?若存在,求出α,β的值;若不存在,说明理由.甲:在[α,β]上的值域为[log m (β-4),log m (α-4)],也就是⎩⎪⎨⎪⎧log m α-3α+3=log mβ-4,log mβ-3β+3=logmα-4⇒⎩⎪⎨⎪⎧αβ-5α+3β=9,αβ-5β+3α=9⇒α=β,与α<β矛盾,故不存在.乙:你的解答不全面,你的求解建立在一个条件的基础上,就是函数f (x )是增函数,而题目并没有说明这个函数是增函数呀!丙:没错,应该对m 进行讨论. 设0<α≤x 1<x 2≤β,由于x 1-3x 1+3-x 2-3x 2+3=6x 1-x 2x 1+3x 2+3<0, 那么0<x 1-3x 1+3<x 2-3x 2+3.讨论:(1)若0<m <1,则log m x 1-3x 1+3>log m x 2-3x 2+3,即f (x 1)>f (x 2),得f (x )为减函数.(2)若m >1,则log m x 1-3x 1+3<log m x 2-3x 2+3,即f (x 1)<f (x 2),得f (x )为增函数. 若m 存在,当0<m <1时,则⎩⎪⎨⎪⎧log m β-3β+3=log mβ-4,log mα-3α+3=logmα-4⇒⎩⎪⎨⎪⎧β2-2β-9=0,α2-2α-9=0.显然α,β是方程x 2-2x -9=0的两根,由于此方程的两根中一根为正,另一根为负,与0<α<β不符,因此m 不存在;当m >1时,就是甲的解题过程,同样满足条件的α,β不存在.老师:乙和丙实质上是对甲的解法做了个反思.通过你们的讨论可以看出,反思的作用相当大,它可以使思路逐步完善,最终形成完美的解题过程.对数函数高考考点例析对数函数是高中数学函数知识的重要组成部分,关于对数函数的考查在高考中一直占有重要的地位.下面我们针对近几年高考中考查对数函数知识的几个着眼点作一一剖析,希望对大家的学习有所帮助.考点一 判断图象交点个数1.(湖南高考)函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧4x -4, x ≤1,x 2-4x +3, x >1的图象和函数g (x )=log 2x 的图象的交点个数是( )A .1B .2C .3D .4解析 作出函数f (x )与g (x )的图象,如图所示,由图象可知:两函数图象的交点有3个. 答案 C考点二 函数单调性的考查2.(江苏高考)函数f (x )=log 5(2x +1)的单调增区间是________.解析 函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,+∞,令t =2x +1(t >0).因为y =log 5t 在t ∈(0,+∞)上为增函数,t =2x +1在⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,+∞上为增函数,所以函数y =log 5(2x +1)的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,+∞. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,+∞考点三 求变量范围3.(辽宁高考)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧21-x, x ≤1,1-log 2x , x >1,则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A .[-1,2]B .[0,2]C .[1,+∞)D .[0,+∞)解析 当x ≤1时,由21-x≤2,知x ≥0,即0≤x ≤1.当x >1时,由1-log 2x ≤2,知x ≥12,即x >1,所以满足f (x )≤2的x 的取值范围是[0,+∞).答案 D考点四 比较大小(一)图象法4.(天津高考)设a ,b ,c 均为正数,且2a=log 12a ,⎝ ⎛⎭⎪⎫12b =log 12b ,⎝ ⎛⎭⎪⎫12c =log 2c ,则( )A .a <b <cB .c <b <aC .c <a <bD .b <a <c解析由2a >0, ∴log 12a >0, ∴0<a <1. 同理0<b <1,c >1, ∴c 最大在同一坐标系中作出y =2x,y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12x,y =log 12x 的图象如图所示,观察得a <b .∴a <b <c . 答案 A (二)排除法当我们面临的问题不易从正面入手直接挑选出正确的答案或解题过程繁琐时,可以从反面入手,因为选择题的正确答案已在选项中列出,从而逐一考虑所有选项,排除其中不正确的,则剩下的就是正确的答案.5.(全国高考)若a =ln 22,b =ln 33,c =ln 55,则( ) A .a <b <c B .c <b <a C .c <a <bD .b <a <c解析 首先比较a ,b , 即比较3ln 2,2ln 3的大小, ∵3ln 2=ln 8<ln 9=2ln 3, ∴a <b .故排除B 、D .同理可得c <a . 答案 C (三)媒介法对于直接比较困难时,常插入媒介,以此为桥梁进行比较,常插入0或1. 6.(山东高考)下列大小关系正确的是( ) A .0.43>30.4<log 40.3 B .0.43<log 40.3<30.4 C .log 40.3<0.43<30.4 D .log 40.3<30.4<0.43 解析 分析知0<0.43<1,30.4>30=1, log 40.3<log 41=0, 故log 40.3<0.43<30.4.故选C . 答案 C (四)特值法对于有些有关对数不等式的选择题,通过取一些符合条件的特殊值验证,往往也能简便求解.7.(青岛模拟)已知0<x <y <a <1,则有( ) A .log a (xy )<0 B .0<log a (xy )<1 C .1<log a (xy )<2D .log a (xy )>2解析 取x =18,y =14,a =12,代入log a (xy )检验即可得D . 答案 D。
532对数的运算(导学案)
5.3.2 对数的运算预习探究:知识点1 对数的运算性质思考1:在积的对数运算性质中,三项的乘积式log a (MNQ )是否适用?你能得到一个怎样的结论? 提示:适用,log a (MNQ )=log a M +log a N +log a Q ,积的对数运算性质可以推广到真数是n 个正数的乘积. 知识点2 换底公式若a >0,且a ≠1;b >0;c >0,且c ≠1,则有log a b =log c b log c a. 思考2:对数的换底公式用常用对数、自然对数表示什么形式?提示: log a b =lg b lg a ,log a b =ln b ln a. 考点类析:题型一 对数的运算性质的应用例1 用log a x ,log a y ,log a z 表示:(1)log a (xy 2);(2)log a (x y );(3)log a3x yz 2. [解析] (1)log a (xy 2)=log a x +log a y 2=log a x +2log a y .(2)log a (x y )=log a x +log a y =log a x +12log a y . (3)log a3x yz 2=13log a x yz 2=13[log a x -log a (yz 2)] =13(log a x -log a y -2log a z ). [归纳提升] 对对数式进行计算、化简时,一要注意准确应用对数的性质和运算性质.二要注意取值范围对符号的限制.【变式】 用log a x 、log a y 、log a z 表示下列各式:(1)log a (x 3y 5); (2)log ax yz . [解析] (1)log a (x 3y 5)=log a x 3+log a y 5=3log a x +5log a y .(2)log a x yz=log a x -log a (yz ) =log a x 12-(log a y +log a z )=12log a x -log a y -log a z . 题型二 利用对数的运算性质化简、求值例2 (1)(lg5)2+2lg2-(lg2)2;(2)log 535-2log 573+log 57-log 51.8. [分析] 熟练掌握对数的运算性质并能逆用性质是解题的关键.进行对数运算,要注意法则的正用和逆用.在化简变形的过程中,要善于观察、比较和分析,从而选择快捷、有效的运算方案.[解析] (1)原式=(lg5)2+(2-lg2)lg2=(lg5)2+(1+lg5)lg2=(lg5)2+lg2·lg5+lg2=(lg5+lg2)·lg5+lg2=lg5+lg2=1.(2)原式=log 5(5×7)-2(log 57-log 53)+log 57-log 595=log 55+log 57-2log 57+2log 53+log 57-2log 53+log 55=2log 55=2.[归纳提升] 利用对数运算性质化简与求值的原则和方法(1)基本原则:①正用或逆用公式,对真数进行处理,②选哪种策略化简,取决于问题的实际情况,一般本着便于真数化简的原则进行.(2)两种常用的方法:①“收”,将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数;②“拆”,将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).【变式】 计算下列各式的值:(1)12lg 3249-43lg 8+lg 245; (2)lg25+23lg8+lg5×lg20+(lg2)2. [解析] (1)法一:原式=12(5lg2-2lg7)-43×32lg2+12(2lg7+lg5) =52lg2-lg7-2lg2+lg7+12lg5 =12lg2+12lg5=12(lg2+lg5) =12lg10=12. 法二:原式=lg 427-lg4+lg75 =lg42×757×4=log(2·5)=lg 10=12. (2)原式=2lg5+2lg2+lg5×(2lg2+lg5)+(lg2)2=2lg10+(lg5+lg2)2=2+(lg10)2=2+1=3.题型三 换底公式的应用例3 (1)计算log 2125·log 318·log 519; (2) log 927.[分析] (1)对数的底数不同,如何将其化为同底的对数?(2)等式左边前一个对数的真数是后面对数的底数,利用换底公式很容易进行约分求解m 的值.[解析] (1)原式=lg 125lg2·lg 18lg3·lg 19lg5=(-2lg5)·(-3lg2)·(-2lg3)lg2·lg3·lg5=-12. (2)log 927=log 327log 39=log 333log 332=3log 332log 33=32. [归纳提升] 关于换底公式的用途和本质:(1)换底公式的本质是化异底为同底,这是解决对数问题的基本方法.(2)在运用换底公式时,若能结合底数间的关系恰当选用一些重要的结论,如log a b =1log b a;log a a n =n ,log am b n =n mlog a b ;lg2+lg5=1等,将会达到事半功倍的效果. 【变式】 计算下列各式的值:(1)log 89·log 2732;(2)log 21125·log 3132·log 513.[解析] (1)log 89·log 2732=lg9lg8·lg32lg27=lg32lg23·lg25lg33=2lg33lg2·5lg23lg3=109. (2)log 21125·log 3132·log 513=log 25-3·log 32-5·log 53-1=-3log 25·(-5log 32)·(-log 53)=-15·lg5lg2·lg2lg3·lg3lg5=-15.当堂自测:1.2log 510+log 50.25的值为( C )A .0B .1C .2D .4 [解析] 原式=log 5100+log 50.25=log 5(100×0.25)=log 525=log 552=2.2. lg25+lg4+(19)-12的值为( B )A .73B .5C .313D .13[解析] 原式=lg(25×4)+(3-2)-12=lg100+3=2+3=5.3.12log 612-log 62=12.[解析] 原式=12log 612-12log 62 =12log 6122=12log 66=12. 4.计算下列各式的值:(1)2lg5+lg4+e ln2+log 222;(2)(log 23+log 89)(log 34+log 98+log 32).[解析] (1)原式=2lg5+2lg2+2+3=2(lg5+lg2)+5=7.(2)原式=(log 23+log 29log 28)(log 322+log 38log 39+log 32) =(log 23+23log 23)(2log 32+32log 32+log 32) =53log 23×92log 32=152.。
对数函数导学案
对数函数导学案编制人:张宇审核人:程国栋学习目标:1、理解对数函数与指数函数的互逆关系,并在此基础上研究对数函数的图象与性质。
2、掌握对数函数的图象和性质。
3、了解函数图象的变换。
4、能利用对数函数的增减性解决有关问题。
【预习案】(一)复习回顾(1)指数函数的定义(2)指数函数的图像(3)指数函数的性质【探究案】我们指数函数基础上来理解对数函数的概念、性质与图象。
1、对数函数的概念2、对数函数的图象与性质a>1 0<a<1图象性质定义域值域过点)1,0(∈x时)1,0(∈x时),1(+∞∈x 时 ),1(+∞∈x 时在(0,+∞)上是在(0,+∞)上是【课堂练习】1:求下列函数的定义域: (1)32logx y = (2)y=x3log1(3)34log50-=⋅x y (4) )32()5(log--=x x y2:求下列函数的值域: (1)41212-=--x y (2))(log 2x x y a --=)10(<<a(3))52(log 22++=x xy (4))54(log 231++-=x x y评析:(1)当底数相同且确定时,根据对数函数的单调性比较大小(2)当底数相同不确定时,分底数大于1和小于1两种情况 (3)当底数不同真数相同时,根据对数函数图象特点比较大小 (4)当底数、真数都不相同时,通过中间变量比较大小4、求函数)32(log 221--=x x y 的单调区间,并用单调定义给予证明5、已知函数)32(log)(221+-=ax x x f(1)若函数的定义域为R ,求实数a 的取值范围; (2)若函数的值域为R ,求实数a 的取值范围; (3)若函数在]1,(-∞内为增函数,求实数a 的取值范围8.0loglog )5(;6log7log4;3.2log3.2log)3(;9.5log 1.5log )2(;5.8log 4.3log 1323764322与与)(与与与)(、比较下列值的大小πaa。
对数与对数运算导学案
高一数学A2.2.1对数与对数运算导学案(一)主备人:刘玉明 审核人:王建美 使用时间:2014、12一.学习目标1.知道对数的定义;2.会进行对数式与指数式的互化;3.会用对数的运算性质进行对数运算。
二.教学重点1.用对数的运算性质进行运算。
三.自主学习 1、一般地,如果 那么数x 叫做以a 为底N 的对数, 记作 。
其中a 叫做对数的 ,N 叫做 。
2.通常我们将 的对数叫做常用对数,记为 。
3.以无理数e=2.71828------ 为底的的对数,称为 ,记为 。
4.根据对数的定义,可以得到对数与指数的关系。
5.两个结论:(1)负数和零没有对数;(2) 。
四.精讲精练例1.将下列指数式化成对数式,对数式化成指数式。
(1)54=625; (2)2-6=641 (3)(31)m =5.73(4)log 2116= -4 (5) lg0.01=-2 (6)ln10=2.303例2.求下列各式中x 的值:(1)log 64x= -32; (2)log x 8=6;(3)lg100=x; (4)-lne 2=x五、巩固练习64页1、2、3、4、高一数学A2.2.1对数与对数运算导学案(二)主备人:刘玉明 审核人:王建美 使用时间:2014、12一.思考:从指数与对数的关系以及指数的运算性质,你能得出相应的对数运算性质吗?思考后在黑板上共同推导对数的运算性质。
如果a>0,且a ≠1,M>0,N>0,那么:(1)(2)(3)(4) 推导换底公式log a b=cacblog log (a>0,且a ≠1;c>0,且c ≠1,b>0) 二、精讲精练例3、用log a x , log a y , log a z 表示下列各式: (1)log a z xy; 2)log a 32zy x例4、求下列各式的值:(1)log 2(47×25) (2)lg 5100三、巩固练习1、课本68页练习1、2、3、4、 2、不用计算器,求下列各式的值 (1)64log 2 (2)27log 9 (3)aa 1log (4)1log 2.03.求值:(1)2log 161 (2)16log 2-9log 3 (3)51log a a4求值:(1)3log 9log 28 (2)5log 177- (3))2lg 9lg 21(100-。
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2.3.1对数(导学案)
(在教师讲新课前,请同学们先结合课本预习并完成学案的例题及练习) 阳志鹏2009-10-19
教学目标:理解对数的概念及其运算性质,会熟练地进行指对数式的互化,能灵巧准确的运用对数的运算性质进行对数式的化简与计算;了解对数恒等式,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数和常用对数;
教学重点:指数式与对数式之间的互化;对数性质及换底公式的运用 教学难点:对a >0,且a 1≠规定的讨论;对数性质的运用 教学方法:二先二后,师生共议 教学课时:2节 教学工具:常规
教学过程:
一、 相关知识回顾
在前面,我们由初中学过的整数指数幂先推广了分数指数幂(即有理指数幂),
又进一步推广到了无理指数幂,这样x a (a >0)中的x 可取任意实数,且满足如下运算性质:
s a t a ∙=t s a +;(s a )t =st a ;(ab )t =t a ∙t a 其中s ,t ∈R,a >0,b>0.
对y=x a (a >0),只要知道a 和x 的值就可以求出y 的值。
在x a =y 中,若已知a 与y 的值,x 的值能够确定么?答案是肯定的。
下面我们就来学习已知底数和幂的值求指数的问题。
二、 有关对数的概念 1、对数的定义
一般地,如果一个数a (a >0,且a 1≠)的b 次幂等于N ,即b a =N,那么就称b 是以a 为底N 的对数,记a log N=b ,其中a 叫做对数的 ,N 叫做 。
2、有关对数概念的理解
(1) 对数式与指数式的关系
对数式b=a log N 是由指数式b a =N 变化来的,是同一种数量关系的两种不同的表示形式,在两式中,底数相同,指数式中的幂值N 是对数式中的真数,指数是对数值,在指数式b a =N 中,若已知a ,N 的值,求幂指数的值,便是对数运算。
例如:23=93log ⇔9=;
2 4log 5.045.02⇔==;2
练习:例题1,将下列指数式改写成对数式:
(1)42=16; (2)33-=271; (3)a 5=20; (4)(21
)b =0.45
例题2:将下列对数式改写成指数式:
(1)5log 125=3; (2)3
1log 3=-2; (3)10log a=-1.699
例题3:求下列各式的值:
(1)2log 64; 9log 27;
(2) 对数的表示式
对于a log N 只有在a >0,且a 1≠,N>0时才有意义。
思考:为什么当a=1或者a ≤0时无意义?为什么N 一定要大于零? 讨论:
注意;并不是每一个指数式都能直接改写成对数式。
如: (-2)2=4, 就不能改写成
2log -4=2,只有a >0且a 1≠,N>0时,才有b a =N ⇔b=a log N 。
(3) 对数的性质 1、0和负数没有对数。
2、a log 1=0(a >0,且a 1≠). 3、a log a=1(a >0,且a 1≠).
4、N
a log
a
=N (a >0,且a 1≠)
(4) 常用的两种对数 1、常用对数
定义:对数a log N (a >0,且a 1≠)在底数a=10时,叫做常用对数,记为lgN 。
例如:log 1010=lg10=1;log 10100=lg100=2;
2、自然对数
定义:底数为a=e 时,叫做自然对数,记作lnN ,其中e 是一个无理数,即e=2.71828. 例如:log e 10=ln10;log e 3=ln3;log e e=lne=1;
三、对数的运算性质
1、 正因数的积的对数,等于同一底数各个因数的对数的和。
Log a (MN )= Log a M+ Log a N
(a >0,且a 1≠,M>0,N>0)
2、两个正数的商的对数,等于被除数的对数减去除数的对数。
Log a (
N
M
)= Log a M-Log a N (a >0,且a 1≠,M>0,N>0)
3、正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘幂指数。
Log a
N
M =n log a M;
(a >0,且a 1≠,M>0)
3、 正数的正的方根的对数等于被开方数的对数除以根指数。
Log a n M =n
1 Log a M
(a >0,且a 1≠,M>0)
例题4:求下列各式的值:
(1)log 2(3
2*5
4); (2)log 5125;
四、换底公式
Log a N=
,a
log log c c N
其中a >0,且a 1≠,N>0,c>0,c 1≠。
例题:求log 89*log 332的值。
综合练习:1、根据对数的定义,写出下列各对数的值(a >0,且a 1≠):
Log 10100= , log 255= ,
Log 2
2
1
= , log 51= , Log 33= , log 3
13= , Log a 1= , log a a= ,
2、 用lgx ,lgy ,lgz 表示下列各式:
(1)lg (xy 2
z 3
) (2)lg 2
yx x
3、 求下列各式的值:
(1)log 3(9*27); (2)log
2
1(45*82
)
(3)lg25+lg4 (4)log 3
127-log 3
19。