时间尺度上非Chetaev型非完整系统的Lie对称性及其守恒量
力学系统的对称性和守恒量的应用
(2.6)
ξ ξ ξ I N = L
0
+
∂L ∂q s
(
s − qs
)
0
+G
N
=常数
(2.7)
如果由 Noether 等式可找到生成元ξ 0，ξｓ和规范函数 GN =GN (t,q,q) ，那么便可由
式（2.5）找到守恒量。这类守恒量称为 Noether 守恒量。
英文版上发表。有的文章称形式不变性为 Mei 对称性。形式不变性的优点在
于从力学意义上较易理解。缺点在于由式（2.15），（2.16）找到相应的守恒量
（2.18）较困难。
由 Noether 和 Lie 对称性通过形式不变性可导出守恒量（2.18）；由形式
1992 年的工作，他既不用 Lagrange 函数也不用 Hamilton 函数来构造了一类
新守恒量。由他导出的守恒量被人称为 Hojman 型守恒量。
对 Lagrange 系统（2.1），将其展开为
qs= Fs (t, q, q)
Lie 对称性的确定性方程表为
ξs−q s ξ0−2ξ0Fs = X (1)(F s)
E s{X (1) (L)} = 0
11
(2.15)
如果存在规范函数 GF =GF (t,q,q) 满足结构方程
X~
(1)
(L)
dξ dt
0+
X~
(1){X~ (1) (L)}
+
d dt
GF
=
0
(2.16)
其中
ξ ξ ξ q X~ (1) = ∂ + ∂ + ( d − d ) ∂
Lie对称性和守恒量在结构动力学中的应用
即：
（） ｔ ＋幻 （ ） ｔ ＝０
方程 （ ） ３ 可规范 为标 准形 式 ： ＝ａ ｔ ｑ ） （，，
取时 间和广义坐标 的无 限小变换 ：
ｔ ＝ ｔ ｒ ｔ ｑ ） ＋ｅ （ ， ， ； ｑ ｔ ＝ｑ ｔ ＋ｅ （ ， ） （ ） （ ） ｔ ｑ （） ５
式 （） ８ 左边 ：
（ ７ ） （ ８ ）
Ｌｅ ｉ对称性考虑式 （ ） ４ 在式（ ） ５ 变换作用下共形不 变 ， 即要求 ：
图 １ 单自由度无 阻尼 自由体系
系统的 Ｌ ｇａｇ ａ ｒ ｅ函数 为： ｎ
长 ｑ ） 亭 一 ， ＝ 一 一） ２ ） ＋罄＋ （ 骞｝ ａ， ）［２一 ｅｒ ＋ 一）］妻一 ，＋ ［ 鬻 ｝ ＝ （ ｅ一 ｑ
的应用［ ］公路 ，０３ ３ ：１４ ． Ｊ． ２ ０ （ ）４ —２
［ ］ ｎｏ ｉ ｎ ｉＣ ａｌ ３ Ａ ｔｎ Ｎａｎ， ｈｒ Ｅ．Ｂ ｋｓＥ ｗａ ．０’ ｉ ＴｒｙＯ． ｏ ｓ ｅ ａｉ ｄ ｒ Ｆ ， ｄ Ｎｅ ， ｏ ｌ
Ｔｈ ｘ ｒｍ ｅ ａ ｔ ｄ ｎ ｔ ｌｅ ｅｇ ｕ ａ ｔｒ ｎｃ ｒ ｇ ｙ ｔｍ ｆＦＲ Ｐ ｔｎｄ ｎ ｅｅ ｐｅ ｉ ｎｔ ｌｓｕ ｙ ｏ ｈｅｓｅ ｖ ・ ｌ ｅ ｐ ｔｅ ｎ ａ ｈｏ ａ ｅ ｓ ｓｅ ｏ ｅ ｏ
文献标 识码 ： Ａ
．
ＬＴ ＝ 一 幻 ＝— 丢 １
ｄ ａ ａ Ｖ ￡口 口＝０
一
Ｉ
（ １ ）
、） （ ‘ ２ Ｉ （） ３
系统 的运 动方程 为 ：
ｄ３ Ｌ
轻重的作 用 ， 产生 了许多研究动力学 系统守恒量 的方法。其 中应 用物理学方法 的 Ｌｅ ｉ对称性 的应用是 最著名 的。在 Ｌｅ对称性 的 ｉ 应用 中得到 了许多 经典 的守恒量 结果 ， 它们 是 能量守恒 、 性动 线 量守恒和角动量守 恒。 目前 ， ｉ对 称性 已经在 现代研 究领 域 中 Ｌｅ
准坐标下Poincaré—Chetaev方程的Lie对称性与守恒量
力学 系统 的守 恒 ， 或第 一积分 ， 仅 具有 数学 重 要性 ， 且 表现 为深 刻 的物 理 规律 ， 已成 为近 代 分 析 不 而 它
力 学 的～ 个 重 要研 究方 向 ． ｏｎ ａ４在 １ ０ 年 利 用无 限小 变 换 的 １ｅ可 迁 群 建立 ＿ 整力 学 系统 的 一类 新 Ｐ ｉｃｒ ９１ ． ｉ ｒ完 型 运 动微 分 方 程 ＿ ．０年 代 Ｃ ｅ ｅ 这 种 思想 发展 到变 换 群 为 非可 迁 的 、 束 为非 定常 的 、 量 为 不 独 立 １２ ｊ ｈ ｔ ｖ将 ａ 约 变 的情 形 ＿ ． 位学 者 建 的 方 程称 为 Ｐ ｉｃｒ一 ｈ ｔｅ 方 程 ． ｍｉｏ ２两 Ｊ ｏｎ ａ４Ｃ ｅａｖ Ｈａ ｌ ｎ系统 的 近代 理 论 推 广 经典 理论 所 用 的 ｔ
明 结 果 的 应 用
关 键 词 ： 坐 标 ； ｏｎ ａ６ Ｃ ｅａ ｖ方 程 ； ｉ 称性 ； 准 Ｐ ｉｃ ｒ－ ｈ ｔｅ Ｌｅ对 守恒 量 ； 定 方 程 ； 构 方 程 确 结
中图分类号 ：３６ （ １ ）
文献标识 码 ： Ａ
文 章 编 号 ：０ ８ ６ ２ ２ ０ ）２—０ ０ —０ １０ —２ ６ （０ ２ ０ ０３ ５
Ｚ Ａ ０ Ｈ Ｓｈｕ ｈ ｎｇ —ｏ （ ｇｎ ｅｉｇ Ｃ ｌ ｇ ｆＮＥＡＵ ， ｒ ｉ ０ ３ ， ｉａ Ｅｎ ｉｅｒｎ ｏｌ ｅｏ ｅ Ｈａｂｎ １ ０ ０ Ｃｈｎ ） ５ Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｉ ｓ ｐ ｐ ｒ Ｉ ｙ ｍ ｅ ｒｅ ｎｄ ｃ ｎ ｅ ｖ ｄ ｑｕ ｎ ｉｉｓｏｆＰｏ ｎ ａ ￣ ｃ ｔ ｅ ｑ ａ ｉｎｓｉ ｅ ｍ ｓｏｆｑｕ ｓ— ｓ ｒ ｃ ： ｎ Ｉ ａ ｅ ． Ｓｅ ｓ ｍ ｈｉ ｔｉｓ ａ ｏ ｓ ｒ ｅ ａ ｔｔｅ ｉ ｃ ｒ一 ｈｅ ａ ｖ ｅ ｕ ｔｏ ｎ ｔ ｒ ａ ｉ ｃ￣ ｒ ｉ ａ ｅ ｒ ｔ ｄｉｄ．Ｆｉｓ ｙ ｈｅ ￣）ｄ ｎ ｔ ｓ ｗｅ ｅ ｓ ｕ ｅ ｒ ｔ ，ｔ Ｐｏ ｎ ａｒ— ｈ ｔ ｅ ｅ ａ ｉｎｓ ｏｆ ｏ ｏ ｏ ｉ ｅ ｈａ ｉａ ｓ ｓ ｅ ｓ ｎ ｅ ｍ ｓ ｏ ｉ ｃ ｅ ｃ ｅ ａ ｖ ｑｕ ｔｏ ｈ ｌ ｎ ｍ ｃ ｍ ｃ ｎ ｃ ｌ ｙ ｔ ｍ ｉ ｔ ｒ ｆ ｑｕ ｓ— ｏ ｒ ｎａ ｅ ｅ ｅ ｅ ｔ ｂｌ ｈ ｄ， ｎｄ ｔ ｅ ｉ ｉｉｎ ｏ ｎ ｉ ｉ ｉｅ ｉ ａ ｅ ｅ ａ ｏｒ ｆ ｈ ｅ ｈａ ｃ ｌｓ ｓ ｅ ｓ ｉ ａ ｉｃ ｏ ｄｉ ｔｓ ｗ ｒ ｓａ ｉ ｅ ａ ｈｅ ｄ ｆｎ ｔｏ ｆａ ｎｆｎ ｔｓｍ ｌｇ ｎ ｒ ｔ ｏｒ ｔ ｅ ｍ ｃ ｎｉａ ｙ ｔ ｍ ｎ ｓ
量子力学中的对称性与守恒律
量子力学中的对称性与守恒律量子力学是描述微观世界的一种物理理论，它在20世纪初由一系列科学家共同发展而成。
在量子力学中，对称性与守恒律是两个重要的概念，它们在理论和实验研究中起着重要的作用。
对称性在物理学中具有重要的地位。
在量子力学中，对称性可以分为空间对称性、时间对称性和内禀对称性。
空间对称性指的是物理系统在空间变换下保持不变，例如物理系统的哈密顿量在空间变换下保持不变。
时间对称性指的是物理系统在时间变换下保持不变，例如物理系统的演化算符在时间反演下保持不变。
内禀对称性指的是物理系统在内部变换下保持不变，例如粒子的自旋。
对称性在量子力学中的应用非常广泛。
首先，对称性可以帮助我们简化物理系统的描述。
通过对称性分析，我们可以找到系统的守恒量，从而简化哈密顿量的形式。
例如，如果一个物理系统具有空间平移对称性，我们可以得到动量守恒定律。
如果一个物理系统具有时间平移对称性，我们可以得到能量守恒定律。
其次，对称性还可以帮助我们预测新的物理现象。
例如，根据内禀对称性的理论，科学家预测了反应堆中的中微子振荡现象，并通过实验证实了这一理论。
此外，对称性还可以帮助我们理解量子态的性质。
例如，根据电荷守恒的对称性，我们可以推导出电荷守恒定律，并解释为什么电子和正电子总是以对的方式产生和湮灭。
守恒律是量子力学中的另一个重要概念。
守恒律指的是物理系统在演化过程中某个物理量的守恒。
在量子力学中，守恒律可以通过对称性来推导。
例如，如果一个物理系统具有空间平移对称性，那么动量就是守恒量。
如果一个物理系统具有时间平移对称性，那么能量就是守恒量。
守恒律在量子力学中具有广泛的应用。
例如，电荷守恒定律、能量守恒定律和动量守恒定律都是守恒律的具体表现。
这些守恒定律在物理学中起着重要的作用，它们帮助我们理解物理现象的本质，并且可以用于解释实验结果。
除了对称性和守恒律外，量子力学中还有一些其他重要的概念。
例如，量子态、测量和量子纠缠等。
量子态用于描述量子系统的状态，它可以是一个波函数或一个密度矩阵。
物理学中的时间对称性
物理学中的时间对称性时间对称性是物理学中一个极其重要的概念，它指的是物理系统在时间维度上的对称性。
简单来说，当物理系统在时间维度上发生变化时，它的运动方程所描述的运动过程不能区分时间的正反方向，这种对称性被称为时间对称性。
时间对称性不仅在经典物理学中具有重要意义，在量子力学和相对论理论中也扮演了至关重要的角色。
经典在经典物理学中，牛顿运动定律和哈密顿力学等经典理论以时间为自变量，而物理系统存在一种时间反演（T）对称性，即：如果时间翻转，运动过程不会有任何变化。
这意味着，物理系统的运动方程对于时间的正反方向应当是不变的。
但是，人们发现并不是任何物理现象都符合时间对称性。
例如，理想气体的熵增长是不可逆的，因为当气体从低温热源吸收热能时，气体的熵增加，但当气体向高温热源散发热能时，气体的熵并不会降低，因此无法通过时间反演实现。
随着物理学的发展，人们逐渐认识到，在宏观世界，真正符合时间对称性的现象是非常有限的。
量子力学中的时间对称性在量子力学中，时间对称性扮演了更重要的角色。
量子力学中的粒子可以处于叠加态，并且遵循概率幅的规律进行运动。
在这种情况下，时间演化被一个由薛定谔方程描述的算符所代表。
根据经典费马原理，自然界中最常见的运动轨迹是一条“最小作用量”的路径，而这条路径被我们称为“经典路径”。
但在量子力学中，物质并不沿经典路径运动，而是沿着所有可能路径的“概率幅最大”的路径进行运动，这条路径被称为费曼路径。
时间对称性在量子力学中的表现形式被称为“CPT对称性”，其中C代表电荷共轭对称性，P代表空间反演对称性，T代表时间反演对称性。
量子力学中的大部分对称性都与CPT对称性有关。
相对论中的时间对称性爱因斯坦在提出狭义相对论之后，由于将时间的概念引入物理学中，时间对称性在相对论中也得到了广泛应用。
在狭义相对论中，时间是各观察者之间的相对概念，这种相对性并不存在于经典物理学中。
但相对论中的“洛伦兹不变性”告诉我们，无论物理现象发生在哪里，无论如何改变观测的参考系，物理定律的表现形式都应该是一致的。
变质量单面非Chetaev型非完整系统的Lie对称性和Mei守恒量
摘
要： 究 了变 质量 单 面 非 Ｃ ｅａｖ型非 完 整 系统 的 Ｌｅ 称 性 和 Ｍｅ 守 恒 量 。给 出 了 系统 Ｌｅ对 称 性 的 定 义 ； 研 ｈｔ ｅ ｉ对 ｉ ｉ 研
究 了 系 统 Ｌｅ 称 性 为 Ｍ ｉ 称 性 的 充 分 的 Ｍｅ 守 恒 量 。 最 后举 例说 明 ｉ ｉ
ｍ ｉ ， ， ） （ ， ， ＝ （ ｑ 口 ｌ … Ｎ） ｍ ｔ 系统 的运动 受有 ｇ个 理想单 面 非 Ｃ ｅａ ｖ 非完整 约束 ｈ ｔｅ 型 （） １
（， 口 ＞０ ￡ｑ， ） ＝ ， ，） １ ｌ … ｇ （） ２ （） 中， ２式 当左 边部 分 函数值 为正 时 ， 系统 脱离 约束 ； 当左边 部 分 函数 值等 于零 时 ， 系统 处 于约 束 上 。 当系 统 处 于 约束上 时 ． 约束 加在 虚位 移 上 的限制 为 设
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２ ４
苏 州科技 学院 学报 （ 自然科 学版 ）
２０ ０ ７血
变质 量单 面非 Ｃ ｅａｖ型非 完整 系统 的 Ｒ ｕｈ方 程可 表示 为 ｈ ｔｅ ｏｔ
Ｅ（ ） Ｑ＋ Ａ ， ａ ０ ≥０ Ａ ０（＝ ， ；＝ ， ， ） ￡＝ 。 ＋ Ａ＞ ， ￣ ， ｓ ｌ … ｒ １ … ｇ ， ｔ 其 中 ￡为系统 的 Ｌ ｇａ ｇ ａｒｎ ｅ函数 ， Ｑ 为非 势广义 力 ， 为约 束乘子 ， 为广义 反 推力 ， 有
变 换 群作用 下 的不 变性 。１ ７ ９ ９年 ， ｕｚｙ将 Ｌｅ理论 引入 到力学 研究 领域 ， 出 了使 力学 系统 的运动 微 分 方 Ｌｔ ｋ ｉ 提 程 不 变 的 Ｌｅ 称性 的概 念 。在一 定 的条 件下 ，ｉ ｉ 对 Ｌｅ对称 性 能导致 Ｎ ｅｈ ｒ 恒 量【 】 ｊ ｎ守 恒 量 ［ ， ｏｔｅ 守 ， ｍａ “ Ｈｏ ８ 广 ＇ 义 Ｈｊａ ｏｍ ｎ守 恒量【＇ Ｌ ｔ ｙ守 恒 量 ， 义 Ｌ ｔ ｙ 恒 量【 和 Ｍｅ 守 恒量【１ 笔 者进 一 步研 究 变 质 量 １ ３ ， ｕｚ ｋ 广 ｕｚ 守 ｋ ｉ ８８ Ｉ。 ］ 单 面 非 Ｃ ｅａｖ型非完 整 系统 的 Ｌｅ对称 性 和 Ｍｅ 守 恒量 。 出系统 Ｌｅ ｈ ｔｅ ｉ ｉ 给 ｉ 对称 性 的定义 ， 研究 系统 Ｌｅ 称 性 ｉ对 为 Ｍｅ 对 称性 的充分 必要 条件 ， 到 系统 Ｌｅ ｉ 得 ｉ 对称性 间 接导致 的 Ｍｅ 守恒 量 。 ｉ
变质量非Четаев型非完整系统在相空间的Lie对称性与守恒量
约 束 （ ） 在 虚 位 移 上 的 条 件 为 １加
（ ｑ， 吼 ＝ ０ ， 圣）
一
（ ： １２ … ， ， ． ８ ， ， ｇ）
，
（） ２ Ｂ型 非 完 整 约 束 ．
，
般 来说 ，
与 ａ ／ 无关 ， 别 地 当 ，＝ ａ ／ 时 则 约 束 为 ａ 特 ａ
（ 油 大 学 应 用 物 理 系 ， 东 东 营 ２７ ６ ） 石 山 ５ ０ １
（ 张石 生推 荐 ）
摘 要 ： 在 相 空 间 引 入 无 限 小 群 变 换 ， 究 变 质 量 非 ｑ ｒｅ 研 ｅａｓ型 非 完 整 系 统 的 “ ｅ对 称 和 守 恒 量 ． 利
用 系 统 运 动 微 分 方 程 在 无 限 小 群 变 换 下 的 不 变 性 建 立 Ｉｅ 称 的 确 定 方 程 和 限 制 方 程 ， 到 Ｌｅ对 ｊ对 得 ｉ
果 具有更普遍 的意义 ．
１ 系 统 的 运 动 微 分 方 程
研 究 Ｎ 个 质 点 组 成 的力 学 系 统 ， ｔ 在 时刻 第 ｉ 个质 点 的 质 量 为 ｍ ， ｔ＋ｄ 在 时 刻 由质 点 分
离 （ 并 人 ）的微 粒 的 质 量 为 ｄ 系 统 的位 形 有 ｎ个 广 义 坐 标 吼（ 或 ｍ． ｓ＝ １２ … ， ） 定 ， ｍ ，， ｎ 确 设
对 称 性 与 守 恒 量 的 近 代 理 论 包 括 Ｎ ｅ ｅ 对 称 性 理 论 和 Ｌｅ对 称 性 理 论 ． １ ７ ｏｔ ｒ ｈ ｉ ９ ９年 Ｍ． ｕ ｋ Ｌ ｔ ｙ等 ｚ 人 把 数 学 家 Ｓ Ｌｅ 究 微 分 方 程 不 变性 的 扩 展 群 方 法 引 入 力 学 领 域 加 以研 究 ，提 出 了 使 运 动 ．ｉ研 微 分 方 程 不 变 的 Ｌｅ 称 性 ¨２． 近 年 来 ，对 完 整 系统 和 非 完 整 系 统 在位 形 空 间 的 Ｌｅ对 称 性 ｉ对 １］ ． ｉ 与 守 恒 量 的 研 究 取 得 了一 系 列 成 果 ［ ］ ，文 ［ ］ 究 了常 质 量 非 ｑ ｒｅ ６研 ｅａＢ型 非 完 整 系 统 在 位 形 空 间 的 Ｌｅ 称 性 与守 恒 量 ，文 ［ ］ 究 了变 质 量 完 整 系 统 在 位 形 空 间 的 Ｌｅ对 称 性 与 守 恒 ｉ对 ７研 ｉ 量 ． 文 ［ ］ 究 了 常 质 量 ｑｅａＢ型 非 完 整 系 统 在 相 空 间 的 Ｌｅ对 称 性 与 守 恒 量 ． 本 文 研 究 变 ８研 Ｔｅ ｉ 质 量 非 ｑ Ｔｅ 非 完 整 系 统 在 相 空 间 的 Ｌｅ对 称 性 与 守 恒 量 ，给 出 其 正 则 形 式 的 Ｌｅ 称 性 ｅ ａＢ型 ｉ ｉ 对 质 ． 由于 变 质 量 非 ｑｅａＢ型 非 完 整 系 统 比 常质 量 ｑｅａＢ型 非 完 整 系 统 更 一 般 ， Ｔｅ ｒｅ 因此 本 文 的 结
变质量单面非完整系统的Lie对称性与守恒量
耋
＋耋 扣 ｕ 一
口 ＝ １ … ， （ ．） ， ｇ １ ５
分 别 为第 ｉ个 质 点 的 位矢 和 速 度 ． ｆ Ｈ 为微 粒
ｄ ｍ 相对 于 第 ｉ 质 点的相 对速度 。 个 若 系统 处在 约束上 ，１２ 式取 等号 ， （ ．） 有
％ （ ， ）＝ ０ ｆｑ
２ ０ 年 １ 收 稿 ．０ １点 １ ００ ２月 ２０ １月 定稿 。 ＊高 校 博 士 学科 点专 项 基 金资 助
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第 １ 期
变 质 量 单 面非 完 整 系 统 的 Ｌｅ 称 性 与 守 恒 量 ｉ对
９ １
类 似 可给 出所有 广义 加速 度 ， 作 记
ＩＬ ＋ （一 ， ＋ ＝ｎ （３ ＝ 瓦 Ｇ ｃｔ ３） 宝 ３ Ｌ ｏ ｓ
证 明
ｄ 五 ＿ Ｌ Ｉ＝ 如＋Ｘ ） ） Ｏ（ ＋ Ｌ
在 一级近似 下 ， 其展开 式 为
ｔ ： ｔ＋ Ｅ ０ ｔ 口， ） ｝（ ，
骞 瓦一 （ａ ｊ Ｌａ【 Ｌ
（ ．） ２ １
口 ０ ≥ ｒ ］
＝
１ …， ， ｎ
（．） １ ３
≥０
口＝ ０ ｐ ＝ １ … ， ， ｇ
其 中 Ｌ ＝ Ｔ —Ｖ为 Ｌ ｇａ ｇ ａｒｎ ｅ函数，０ ’ 非势 广义 为
力， 。为约束 乘子 ， 广义反推 力 ， Ｐ为 有形 式
的守 恒量 的途径 ， 而且 大 大 丰 富 了人 们对力 学 系 统 的对 称性及 其 内在性 质的认 识 。虽 然这两种 对称 性
的概 念和研 究 问题 的 出发 点不 尽 一致 ， 它 们 的 目 但
害
） 一 ．
的是相 同的 ， 希 望对 力 学 系 统的 本 质 有更 加清 楚 都 的认识 。在近 十年 来 ， 内许 多学 者 对 力 学 系统 对 国 称性 这 一近 代方法 的研 究 进 展迅 速 ， 不但 研 究双 面 约束 系统 ， 且讨 论 单 面 约 束 系统 ＿ ｌ 本 文研 究 而 １ ＿。 变 质量单 面 非完整 系统 的 Ｌｅ ｉ对称性 与守 匣量 。
相空间中变质量单面非Chetaev型非完整系统的Lie对称性与守恒量
Ｌｅ对称性逆问题 ； ｉ 最后 拳一 实例 说 明结果的应 用。 关键词 ： 分析 力学 ； 空间； 相 变质量 ； 面约束 ； 单 非完整 系统 ；ｉ 对称性 ； Ｌｅ 守恒量
中图分类号 ：３６ Ｏ １ 文 献 标 识 码 ： Ａ ‘
Ｌ ｅＳ ｍｍｅｒｅ ｎ ｎ ｅ ｖ ｄＱｕ ｎｉ ｅ ｆＮｏ ｈ ｌｎ ｍｉ ｉ ｙ ｔｉｓａ ｄ Ｃｏ ｓｒ ｅ ａ ｔ ｉｓｏ ｎ ｏｏ ｏ ｃ ｔ
第２ ８卷 第 ３期
２ （年 ６ 月 ０１ ）
江 Βιβλιοθήκη 西 科 学
Ｖ０ ． １ ２８ Ｎ０． ３
川 ＡＮＧ）Ｉ Ｓ ＥＮＣ （ ＣＩ
时间尺度上Nabla变分问题的非完整力学系统的Noether理论
时间尺度上Nabla变分问题的非完整力学系统的Noether理论祖启航;朱建青【摘要】研究了时间尺度上Nabla变分问题的非完整力学系统的Noether理论。
根据时间尺度上的微积分理论和Delta导数与Nabla导数之间关系，建立了时间尺度上Nabla导数的非完整Lagrange方程。
根据时间尺度上Nabla变分问题的Hamilton作用量在无限小变换下的变换性质，建立了Nabla变分问题的非完整力学系统的Noether等式，并找到了相应的守恒量。
最后，举例说明结果的应用。
%The Noether theorem for nonholonomic mechanical systems of Nabla variational problem on time scales is studied.Firstly,based on the relationship between the Delta calculus and the Nabla calcu-lus on time scales and the theory of time scale,the nonholonomic Lagrange equation for Nabla variational problem on time scales isestablished.Secondly,according to invariance of the Hamilton action under the infinitesimal transformation of Nabla variational problem on time scales,the Noether identity for nonholo-nomic mechanical systems is established,and the corresponding Noether conserved quantity is obtained. Finally,an example is presented to illustrate the application of the results.【期刊名称】《中山大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(056)001【总页数】8页(P58-65)【关键词】时间尺度;Nabla变分;非完整系统;Noether等式;守恒量【作者】祖启航;朱建青【作者单位】苏州科技大学数理学院，江苏苏州215009;苏州科技大学数理学院，江苏苏州215009【正文语种】中文【中图分类】O3161988年德国学者Hilger[1]在他的博士论文中提出时间尺度的微积分理论，其主要目的是把连续和离散进行统一[2-3]。
粒子物理学中的对称性与不变性研究
粒子物理学中的对称性与不变性研究粒子物理学是一门研究自然界构成结构和相互作用的基本粒子的学科。
在粒子物理学中，对称性与不变性被认为是非常重要的概念，对整个学科的发展起到了关键作用。
对称性与不变性是从艾米·居内斯（Emmy Noether）于20世纪初提出的“Noether 定理”中发展起来的。
该定理指出，在物理体系中，对称性存在的同时，也存在一个与之相对应的守恒量。
例如，在空间平移不变的系统中，动量守恒；在时间平移不变的系统中，能量守恒。
这一定理揭示了自然界中的对称性与守恒量之间的密切关系。
粒子物理学中，最著名的对称性之一就是洛仑兹对称性。
它表明物理规律在时间平移、空间平移、空间旋转和洛仑兹变换下是不变的。
它是爱因斯坦的相对论理论的基础，也是现代粒子物理学的核心概念。
洛仑兹对称性的研究为人们理解基本粒子的相互作用提供了重要线索。
另一个在粒子物理学中被广泛研究的对称性是内禀对称性，又称为规范对称性。
内禀对称性是指在场的变换下，拉格朗日量保持不变。
规范对称性的一个重要例子是电磁相互作用中的U(1)对称性，即电荷守恒。
在标准模型中，电弱相互作用采用SU(2) × U(1)规范对称性，它描述了电磁与弱相互作用之间的统一。
研究这些内禀对称性为我们理解基本粒子的相互作用提供了重要线索。
除了对称性之外，不变性也是粒子物理学中另一个重要的概念。
不变性是指在某些变换下，物理规律不发生改变。
在粒子物理学中，最著名的不变性是费米子的玻色化不变性。
根据玻色-爱因斯坦统计与费米-狄拉克统计，玻色子和费米子在交换下具有不同的性质。
但是通过玻色化，我们可以将费米系统转化为对应的玻色系统，从而更容易进行计算和研究。
这种不变性的研究为我们更好地理解粒子性质和相互作用提供了便利。
对称性与不变性的研究在粒子物理学中有着广泛的应用。
通过对称性与不变性的分析，人们可以推测出新的粒子、相互作用和对称性，进而设计实验来验证这些假设。
非惯性系中动力学问题的讨论讲解
包头师范学院本科毕业论文论文题目：非惯性系中动力学问题的讨论院系：物理科学与技术学院专业：物理学姓名：王文隆学号： 0809320007指导教师：鲁毅二〇一二年三月摘要综述了近几十年来国内外学者对非惯性系动力学方面的研究情况 ,以及对非惯性系动力学的实际应用情况。
介绍了在非惯性系中建立动力学方程的方法 ,惯性系中拉格朗日方程在非惯性系中的转换形式 ,以及非惯性系中的能量定理和能量守恒定律的应用等研究成果。
最后 ,概述了一些运用非惯性系动力学的方法来解决非惯性系中的理论和实际工程应用两方面的文献 ,并且对非惯性系的研究和应用进行了展望。
关键词：非惯性系；惯性力；动力学方程；拉格朗日方程；动量定理; 动能定律;守恒定律AbstractAnd under classical mechanics frame, the conservation law, leads into the inertial force concept according to kinetic energy theorem , moment of momenum theorem , mechanical energy in inertia department, equation having infered out now that the sort having translation , having rotating is not that inertia is to be hit by dynamics, priority explains a few representative Mechanics phenomenon in being not an inertia department.Key words：Non- inertia Inertial force Kinetic energy theorem Mechanical energy conserves Apply目录引言 (5)1非惯性系概述 (6)1.1非惯性系 (6)1.2 惯性力 (6)2 动力学方程 (7)2.1 质点动力学方程 (7)2.2 拉格朗日方程 (8)3 能量问题 (9)4 应用研究举例 (9)5 研究展望 (10)参考文献 (11)致谢 (12)非惯性系中动力学问题的讨论引言实际工程中有许多系统处于非惯性系内工作 ,如航空航天、天文和外星空探索等领域的许多转子系统。
二阶非完整力学系统的Lie对称性与守恒量
关
键
词 ： 二 阶 非 完 整 系 统 ； Ｌｅ对 称 ； 守 恒 量 ｉ
文 献 标识 码 ： Ａ
中 圈 分 类 号 ： ０ １ ３６
引
言
力 学 系 统 对 称 性 与 守 恒 量 的 研 究 是 数 学 、 学 、 理 学 等 领 域 的 重 要 课 题 ． 力学 系 统 对 称 力 物 性 与 守 恒 量 的 近代 理 论 包 括 Ｎ ｅｈ ｒ 称 性 理 论 和 Ｌｅ对 称 性 理 论 ． 对 完 整 系 统 、 阶 非 完 整 ｏｔｅ 对 ｉ 一
二 阶 非 完 整 约 束
（ ， 圣， ｔ ｇ， 茸）＝ ０ （ ＝ １２ … ， ． 卢 ， ， ｇ）
根据 二 阶 ｑｅａＢ定 义 ， 束 （ ） 在 变 分 ａ 的 条 件 为 ［ －ｅ ｒ 约 １加 ｑ上 ］
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其 中 为 不 定 乘 子 ， 程 （ ）可 表 示 为 方 ３
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Hale Waihona Puke 收 稿 日期 ： ２ ０ ．１２ ；修 订 日期 ： ２ ０ ．１３ ００ １－６ ０２０ —１ 作 者 简 介 ： 方 建 会 （９７ ） 男 ， 授 （ａｇ ＠ ｈｐ ．ｄ ．ｎ １５ 一 ， 教 ｆ ｊ ｎ ｈ ｄｕｅｕｃ）
系统 Ｎ ｅ ｅ 对 称 性 理 论 和 Ｌｅ 称性 理 论 的 研 究 已取 得 了 一 系 列 成 果 ［ ． 文 献 ［ ０ ｌ ］ ｏｔ ｒ ｈ ｉ对 卜 １ ， １ 研 究 了二 阶 非 完 整 系统 的 Ｎ ｅｈ ｒ 称 性 理 论 ．本 文 研 究 二 阶 非 完 整 系统 的 Ｌｅ 称 性 理 论 ． 首 ｏｔｅ 对 ｉ对
物理学中的对称性
对称性在弦论中的应用
对称性在未来物理学发展 中的作用
对称性在实验 物理中的应用： 如粒子物理、 凝聚态物理等
对称性在实验 设计中的作用： 如实验装置的 对称性设计、 实验结果的对
称性分析等
对称性在实验 数据分析中的 应用：如对称 性分析、对称
性检验等
对称性在实验 物理中的未来 发展：如对称 性在量子计算、 量子通信等领
对称性在人工智 能中的挑战：如 数据不平衡、模 型过拟合等问题
对称性在人工智 能中的创新：如 对称性神经网络、 对称性算法等
对称性在人工智 能中的未来发展： 如对称性在自动 驾驶、智能医疗 等领域的应用前 景
对称性在物理学中的重要 性
对称性在量子力学中的应 用
对称性在粒子物理学中的 应用
对称性在宇宙学中的应用
域的应用等
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汇报人：
大爆炸理论：宇宙起源于一个高度对称的状态称为大爆炸 宇宙学原理：宇宙中的物理定律在不同的时间和空间位置上是对称的
广义相对论：爱因斯坦的广义相对论利用对称性描述了引力如何影响时空结构
宇宙微波背景辐射：通过对称性分析科学家们能够研究宇宙的早期状态和演化历史
对称性的未来发展
对称性在人工智 能中的应用：如 人脸识别、图像 识别等领域
诺特定理：描述对 称性与守恒定律之 间的关系
规范对称性：描述 物理定律在不同规 范下保持不变的性 质
对称性破缺：描述 物理定律在某些条 件下不再保持不变 的现象
物理现象的对称性：物理现 象在空间和时间上的对称性
物理定律的对称性：物理定 律在空间和时间上的对称性
对称性与物理现象的关系：对 称性是物理现象的基础可以预
对称性在物理学中 的应用
相对论性转动变质量非完整系统的Lie对称性与守恒量
２０ ０ ２年
第２ ６卷
石 油大 学学报 （自然科 学版 ）
Ｊ ｕ ａ ｆｔ ｅＵｎ ｖ ｒｉ ｆＰｅｒ ｌｕ ，Ｃｈｎ ｏ ｒ ｌ ｈ ｉｅｓｔ ｏ ｔｏｅ ｍ ｎ ｏ ｙ ｉａ
Ｖｏ ． ６ Ｎｏ． １２ ５
Ｏ ｃ ． ００２ ｔ２
第 ５期
文 章 编 号 ：０ １５ ７ （０ ２ ０ —１ ６０ １０ —８ ０ ２ ０ ） ５０ —３ ３ １
相 对 论 性 转 动 变 质 量 非 完 整 系 统 的 Ｌ ｅ 称 性 与 守 恒 量 ｉ对
方 建 会 ，赵 嵩 卿 ，马 丽 ２
（ ． 油 大 学 应 用 物 理 系 ，山 东 东 营 ２ ７ ６ ； ． 胸 县 营 子 教 委 ， 东 临 朐 ２ ２ １ ） １石 ５０ １ ２ 临 山 ６６９ ． ＋ ＇８ （
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其 中 ， ＝ 丁 一 Ｖ 为相 对 论 性 转 动 变 质 量 系统 的 Ｌ
广 义 Ｌ ｇａ ｇ ａ ｒｎ ｅ函数 。
收 稿 日期 ：０ １０ —３ ２ ０ －９２
基金项目： 石油大学科研基金资画课题
作者简 介 ： 建会 （ ９ ７ ， （ 方 １５ 一）男 汉族 ） 甘 肃兰州人 ， 授 ． 要从事 相对 论性 分 析力 学和 非完整 力学 研 究 ， 教 主
摘 要 ： 究 了相对 论性 转 动变质 量非 完整 系统 的 Ｌｅ 称性 和守 恒量 。给 出了相 对论 性 转动 变 质 量 非 完 整 系统 研 ｉ对 的运 动微分 方程 。利用 其在无 限 小变 换下 的不 变性 ， 立 了相 对论性 转 动变 质 量非 完整 系统 的 Ｌｅ 称 的 确 定方 程 建 ｉ对 和限制 方程 ， 到了结 构方 程 和守恒 量 。并 给 出了应用 实例 。 得 关键 词 ： 相对论 ； 动 ； 转 变质 量 ； 完整 系统 ； ｉ 对称 ； 恒 量 非 Ｌｅ 守
时间尺度上变质量完整系统的Lie对称性及其守恒量
吴 艳 ，傅景礼
( 浙 江 理 工 大 学 理 学 院 ，杭 州 3 10 0 18 )
摘 要 ：将 时 间 尺 度 上 的 微 积 分 理 论 运 用 到 变 质 量 完 整 系 统 ，研 究 了 时 间 尺 度 上 变 质 量 完 整 系 统 的 L ie 对 称 性 及 其 守 恒 量 ，通 过 时 间 尺 度 理 论 将 变 质 量 连 续 与 离 散 系 统 有 效 统 一 起 来 。 首 先 给 出 时 间 尺 度 上 变 质 量 完 整 系 统 的 运 动 微 分 方 程 ；然 后 依 据 微 分 方 程 在 无 限 小 群 变 换 下 的 不 变 性 ，得 到 时 间 尺 度 上 变 质 量 完 整 系 统 的 确 定 方 程 ，建立
收稿日期：2019—03—29 网络出版日期：2019—06—05 基金项目：国家自然科学基金项目（11872335) 作者简介:吴艳(1993 — ），女 ，安 徽颍上人，硕士研究生，主要从事物理学中的现代数学方法方面的研究。 通信作者:傅景礼，E-mail:sqfujingli@
W U Y an ,F U Jin g li
(School of Sciences, Zhejiang Sci-Tech University, Hangzhou 310018, China)
Abstract： In this paper, calculus theory on time scale was applied in the variable mass holonomic system to study Lie symmetry and conserved quantity of variable mass holonomic systemon time scale. The variable mass continuous and discrete systems were effectively unified through time scale. Firstly, the differential equation of motion for the variable mass holonomic system on time scale was given. Secondly, based on the invariance of differential equation under the infinitesimal transformation, the determination equation of the variable mass holonomic system on time scale was gained, and Lie symmetry and conserved quantity of variable mass holonomic system on time scale were established. T h e n , the Lie symmetry of variable mass holonomic system on time scale was discussed to conveniently obtain Lie symmetry theory of variable mass holonomic system under continuous and discrete conditions. Finally, an example was given to illustrate the application of this method.
变质量非Четаев型非完整系统Mei对称性与守恒量
ａＨ
１
１ 系统 运 动 微 分 方 程
研 究 Ｎ个 质 点组 成 的力 学 系统 。 ｔ 刻 ， ｉ 点 在 时 第 质 的质 量 为 ｍ （ ｌ２ … ， ） 在 ｔｄ 时 刻 由质 点 并 入 （ ｉｉ ，， Ｎ ， ＋ ｔ ＿ 或 分 离） 的微 粒 质量 为 ｄ ｉ ｉ ｍ ， 的形 式 为 ｍ ＝ｍ （ ｇ自【 ｍ ｉ ｉｆ ，） 。 ， ” 系统 的位 形 由 ｎ个 广 义坐 标 ｑ ＝ ，， ，） 定 ， 统 ｓ ｌ … 确 ２ 系 的运 动 受到 ｇ 个彼 此 独 立 的非 ｑ Ｔｅ 型 非完 整 约 束 ｅａＢ
Ａｐ ．０ ８ ｒ２ ０
文章 编号 ： ６ ３ １ ４ ２ ０ ０ － ０ ８ ０ １ ７ － ５ ９（０ ８）２ ０ １ － ３
变质量非 Ｈ Ｔ ｅ 型非完整 系统 Ｍｅ 对 称性 与守恒量 ｅａ Ｂ ｉ
朱根 琴 ， 炳全 胡
（ 庆大 学 数 理学 院 ， 庆 ４ ０ ４ ） 重 重 ００ ４
关 键 词 ：变质 量 ； 完整 系统 ； ｉ 称 ； 非 Ｍｅ 对 守恒 量 中图分 类号 ：０ １ Ｏ １ ４ ；３６ 文 献标 识码 ：Ａ
引 言
力 学 系统 的 一种 对 称 性 ，对 应 地 存 在 一 条 守恒 定 律。 寻求 力 学系 统 的 守恒 量 在数 学 和物 理 本 质 上都 有 重 要 的 意义 。近 代 寻求 守恒 量 的方 法 主要 有 Ｎ ｅ ｅ对 称 ｏｔ ｒ ｈ 性 和 Ｌｅ ｉ 对称 性 ， Ｍｅ 对称 性 是近 几 年 由梅 凤 翔 教授 而 ｉ 提 出的一 种对 称 性研 究 的新 方法 。 这种 对 称 性被 迅速 应 用 到 Ｈ ｍｌ ｎ系 统 、 ａｃ 系 统 、ａｒｎｅ 统 、 ｒ ｈｆ ａ ｉｏ ｔ Ｖ ｃｏ Ｌｇａｇ 系 Ｂｉ ｏ ｋ 系 统 、 完整 约 束 系 统 、 异系 统 系 统 、 非 奇 广义 经 典 力 学 系 统 等 。 相 空 间 中变 质 量非 ｑ Ｔｅ 型 非 完整 系 统 的 Ｍ ｉ 但 ｅａＢ ｅ 对称 性 的研 究 尚未见 报 道 ， 变 质 量 比常质 量 更 符合 实 且
非完整约束系统Tzénoff方程Lie对称性的共形不变性与守恒量
非完整约束系统Tzénoff方程Lie对称性的共形不变性与守恒量以非完整动力学系统的Tzénoff方程为基础，给出了该动力学方程在非完整约束下产生Lie对称性共形不变性所需满足的条件，进一步探究了系统Lie对称性共形不变性成立时所能产生的守恒量，得到了该守恒量的表达式及产生这种守恒量的判定方程，最后用一个实例来展示研究结果的应用。
标签：非完整约束；Tzénoff方程；Lie对称性；共形不变性；守恒量动量守恒、动量矩守恒、能量守恒是自然界最基本的守恒规律，不但具有明显而深刻的物理意义，而且在日常生活、工业革新、航天航空技术、国防科技等领域有着极其广泛的应用。
其实，在各种各样的动力学系统中，同样存在着具体的、各自不同的守恒量和守恒规律，它不但包含了上述物理意义明显的守恒量和守恒规律，而且包含了物理意义不明显的守恒量和守恒规律，还有更多的守恒量需我们研究清楚之后才能进一步挖掘其应用，所以，探究动力学系统中未知的守恒量和守恒规律是我们的一个重要任务。
怎样才能找出动力学系统中的守恒量和守恒规律呢？德国科学家Noether给出了一种方法[1] ，即利用对称性和守恒量之间存在的对应关系，通过研究动力学系统中的对称性来找出其存在的守恒量。
进入21世纪以来，对称性和守恒量成为我国学者的一个研究热点，并取得了一系列成果[2-10]。
20世纪末，俄罗斯学者Galiullin等人首次研究了Birkhoff 系统的共形不变性或共形对称性，并给出了共形不变性和共形因子的定义[11]。
我国学者自从2008年开始研究了Lagrange 系统的共形不变性及其守恒规律[12]，从此掀起了共形不变性及其守恒量的研究热潮，现已扩展到了许多领域[13-17] 。
在分析力学中有多种动力学方程，如Lagrange方程、Appell方程、Tzénoff方程、Birkhoff方程、Nielsen方程等，这些动力学方程虽然形式各异，动力学函数也不尽相同，但本质上是等价的、相通的，可通过适当的变换和推导，总可以由一种形式变换成另一种形式，我们可以根据研究方便恰当地选择其中一种。
时间尺度上相空间中非Chetaev型非完整系统的Noether理论
时间尺度上相空间中非Chetaev型非完整系统的Noether理论祖启航;朱建青;宋传静【摘要】研究了时间尺度上相空间中非Chetaev型非完整力学系统的Noether 理论.首先,基于Hamilton原理,建立了时间尺度上非Chetaev型非完整力学系统的Hamilton方程;其次,根据时间尺度上Hamilton作用量在无限小变换下的广义准不变量,得到了时间尺度上相空间中非Chetaev型非完整力学系统的Noether 等式和守恒量;最后,举例说明结果的应用.【期刊名称】《华中师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(051)001【总页数】5页(P23-27)【关键词】时间尺度;相空间;非完整系统;Noether等式;守恒量【作者】祖启航;朱建青;宋传静【作者单位】苏州科技大学数理学院,江苏苏州215009;苏州科技大学数理学院,江苏苏州215009;南京理工大学理学院,江苏南京210094【正文语种】中文【中图分类】O3161988年德国学者Hilger在他的博士论文[1]中提出测度链上的微积分理论，其主要思想就是把连续和离散进行统一[2-3].时间尺度作为测度链的一种特殊形式，非常具有代表性.目前，时间尺度在动态方程、变分原理、最优控制和经济等相关领域都得到了广泛的应用[4-11]．近年来，国内外学者对时间尺度上力学系统的变分问题及其对称性与守恒量进行了研究.Bohner研究了时间尺度上Lagrange方程表达形式及变分问题[12]，Barosiewicz等研究了时间尺度上Lagrange系统的Noether理论[13]，Cai等研究了时间尺度上非保守和非完整力学系统的Noether理论[14]，Song和Zhang建立了时间尺度上Birkhoff方程，给出了Birkhoff系统的Noether等式与守恒量[15].本文基于时间尺度上Hamilton原理，建立了时间尺度上非Chetaev型非完整力学系统的Hamilton方程.根据Hamilton作用量在无限小变换下的准不变量，得到了系统的Noether定理．时间尺度上的微积分理论可参阅文献[6]．假设力学系统的位形由n个广义坐标来确定，其运动受时间尺度上g个双面理想非Chetaev型非完整约束非完整约束(1)加在虚位移上的限制条件为时间尺度上Lagrange函数为则有时间尺度上Lagrange非完整力学系统的微分方程[14]其中,为非势广义力，λβ是约束乘子.假设系统非奇异，即对约束条件(1)求Δ导数，并将方程(4)显示形式表示出来[7],.由(6)式解得代入(7)式，则可解出约束乘子λβ作为t，qσ，qΔ的函数.方程(4)可表示为其中，引进时间尺度上广义动量和Hamilton函数[9]于是在正则变量p，qσ下，(1)、(2)和(9)式变为时间尺度上非保守力学系统的Hamilton原理为其中,，满足以下交换关系和端点条件将(13)式两边同时乘以，代入(15)式，可得对(11)式两边关于广义动量求偏导数，得到将(19)式代入(18)式，根据Dubois-Reymond定理[12]，可得对(20)式求Δ导数，可得方程(19)和(21)称为时间尺度上相空间中非Chetaev型非完整力学系统的运动方程.由(14)式，方程(19)和(21)可进一步表示为称方程(22)为与时间尺度上相空间中非完整系统(12)，(19)和(21)相应时间尺度上相空间中完整系统的运动方程．首先，考虑只含有qs，ps变分的情况.相空间中Hamilton作用量表示为定义1称作用量(23)式在变换下为广义准对称不变量，当且仅当对任意区间[ta，tb]⊆[t1，t2],有，其中，ε为无限小参数，ξs和ηs为无限小变换的生成函数，为全变分，为规范函数并且有G=εG．定理1如果作用量(23)式是变换(24)式下的广义准对称不变量，对所有，那么.证明由定义1，方程(25)在任意区间[ta，tb]⊆[t1，t2]上均成立，则(25)式等价于，对(27)式两边同时关于ε求偏导数并令ε=0，则可以得到(26)式．定理2如果作用量I是定义1下的广义准对称不变量，那么系统的守恒量为证明由(22)和(26)式，可得于是得到(28)式.下面将讨论含时间t的无限小变换下的广义准对称不变量．令U是右稠连续可微函数和的集合.对任意qs，ps∈U和ε，映射∈是右稠连续的，而且它是在新的时间尺度上带有前跳算子σ*和导数Δ*的一个象.同时有交换关系[6]:定义2如果作用量I是变换(30)式下的广义准对称不变量，当且仅当对任意的区间[ta，tb]⊆[t1，t2].t.定理3如果作用量I是变换(30)式下的广义准对称不变量，那么.证明由定义2，可得，由于区间[ta，tb]是[t1，t2]的任意子区间，所以有，对(34)式两边同时关于ε求偏导数并令ε=0，则可得等式(32)．(32)式就称为时间尺度上相空间中非Chetaev型非完整力学系统的Noether等式．定理4如果作用量I是定义2下的广义准对称不变量，那么系统的守恒量为证明令，当时，则根据等式(33)有，t.由于=t，则有，).由定义1可知，泛函是在={}上的无限小变换的准不变量.因此当=t，由定理2可得.又因为，其中，∂1H表示对函数H中第一个变量求偏导数.将(41)、(42)式代入(40)式，则可得(35)式．定理4称为时间尺度上相空间中非Chetaev型非完整系统的广义Noether定理，根据这个定理可由已知的广义准对称不变量得到系统的守恒量．定义时间尺度，假设系统的Lagrange函数为所受的非完整约束为该约束为非Chetaev型的，虚位移满足根据(10)式和(11)式，有广义动量和Hamilton函数，将Hamilton函数代入(21)式，则有由(44)，(46)和(47)式，求得于是有根据(32)式和(2)式，可得对(50)和(51)式进行求解所以根据定理4，可得到守恒量时间尺度将离散和连续进行了统一，研究时间尺度在分析力学的应用并寻求相应的守恒量.本文通过时间尺度上Hamilton原理，建立时间尺度上非Chetaev型非完整Hamilton方程.定义了时间尺度上相空间中的广义准不变量，得到系统的Noether等式和守恒量.本文结果具有普遍性，当约束条件时，结论可退化为时间尺度上相空间中Chetaev型非完整力学系统的Noether的理论.同时，可进一步拓展到时间尺度最优控制，约束Birkhoff力学系统等．致谢：作者对张毅教授的悉心指导深表感谢!【相关文献】[1] HILGER S. Ein maβkettenkalkul mit anwendung auf zentrumsmannigfaltigkeiten[D]. Wurzburg:Universität Wurzburg， 1988．[2] HILGER S. Analysis on measure chains-a unified approach to continuous and discrete calculus[J]. Results Math， 1990， 18(1-2):18-56．[3] HILGER S. Differential and difference calculus-unified[J]. Nonlinear Anal， 1997，30(5):2683-2694．[4] AGARWAL R P， BOHNER M. Basic calculus on time scales and some of its applications[J]. Results Math， 1999， 35(1-2):3-22．[5] AGARWAL R P， BOHNER M， PETERSON A. Inequalities on time scales: a survey [J]. J Math Inequ Appl， 2001， 4(4):535-557．[6] BOHNER M， PETERSON A. Dynamic equations on time scales， An Introduction with applications[M]. Boston: Birkhäuser， 2001．[7] BOHNER M， GUSEINOV G SH. Partial differentiation on time scales[J]. Dyn Syst Appl，2004， 13(3): 351-379．[8] ATICI F M， BILES D C， LEBEDINSKY A. An application of time scales to economics[J]. Math Comput Model， 2006， 43(7-8): 718-726．[9] AHLBRANDDT C D， BOHNER M， RIEDNHOUR J. Hamiltonian systems on time scales[J]. J Math Appl Anal， 2000， 250(2): 561-578．[10] HILSCHER R， ZEIDAN V. Weak maximum principle and accessory problem for control problems on time scales[J]. Nonlinear Anal， 2009， 70(9):3209-3226．[11] HILSCHER R， ZEIDAN V. Calculus of variations on time scales: Weak local piecewise solutions with variable endpoints[J]. J. Math Anal Appl， 2004， 289(1):143-166．[12] BOHNER M. Calculus of variations on time scales[J]. Dyn Syst Appl， 2004，13(12):339-349．[13] BARTOSIEWICZ Z， TORRES D F M. Noether theorem on time scales[J]. J Math Anal Appl， 2007， 342(2): 1220-1226．[14] CAI P P， FU J L， GUO Y X. Noether symmetries of the nonconservative and nonholonomic system on time scales[J]. Sci China: Phys Mech Astron， 2013，56(5):1017-1028．[15] SONG C J， ZHANG Y. Noether theorem for Birkhoffian systems on time scales[J]. J Math Phys， 2015， 56(10): 102701(1-7)．。
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ＴｈｅＬｉｅｓｙｍｍｅｔｒｙａｎｄｃｏｎｓｅｒｖｅｄｑｕａｎｔｉｔｙｆｏｒ ｎｏｎｈｏｌｏｎｏｍｉｃｓｙｓｔｅｍｓｏｆｎｏｎＣｈｅｔａｅｖｓｔｙｐｅｏｎｔｉｍｅｓｃａｌｅｓ
第 ２期
林魏等：时间尺度上非 Ｃｈｅｔａｅｖ型非完整系统的 Ｌｉｅ对称性及其守恒量
７７
其守恒量的研究尚刚刚起步。本文将试图对时间尺 度上非 Ｃｈｅｔａｅｖ型非完整系统的 Ｌｉｅ对称性与守恒 量进行些研究。文章将基于时间尺度上非 Ｃｈｅｔａｅｖ 型非完整系统的运动微分方程在群的无限小变换下 的不变性，建立时间尺度上非 Ｃｈｅｔａｅｖ型非完整系 统的 Ｌｉｅ对称性的确定方程、结构方程以及该系统 下的守恒量形式。并通过算例说明其应用。
对称性与守恒量的研究是近代分析力学发展的 一个重要方向。寻求守恒量的近代方法主要有两 种：一种是基于微分变分原理在无限小群变换下的 Ｎｏｅｔｈｅｒ理论；另 一 种 是 基 于 运 动 微 分 方 程 在 无 限 小变换群下的不变性的 Ｌｉｅ理论。自 Ｌｕｔｚｋｙ等［１］将 Ｌｉｅ对称性推广到了力学系统的研究中，已取得了 很多重要成果［２－９］。
乘子。假设系统பைடு நூலகம்奇异，即
第 ５７卷 第 ２期 ２０１８年 ３月
中山大学学报 （自然科学版） ＡＣＴＡ ＳＣＩＥＮＴＩＡＲＵＭ ＮＡＴＵＲＡＬＩＵＭ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＡＴＩＳ ＳＵＮＹＡＴＳＥＮＩ
Ｖｏｌ５７ Ｎｏ２ Ｍａｒ ２０１８
ＤＯＩ：１０１３４７１／ｊｃｎｋｉａｃｔａｓｎｕｓ２０１８０２０１０
ＬＩＮＷｅｉ，ＺＨＵＪｉａｎｑｉｎｇ （ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＰｈｙｓｉｃｓ，ＪｉａｎｇｓｕＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，
Ｓｕｚｈｏｕ２１５００９，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＴｈｅＬｉｅｓｙｍｍｅｔｒｙａｎｄｃｏｎｓｅｒｖｅｄｑｕａｎｔｉｔｙｆｏｒｎｏｎｈｏｌｏｎｏｍｉｃｓｙｓｔｅｍｓｏｆｎｏｎＣｈｅｔａｅｖｓｔｙｐｅｏｎ ｔｉｍｅｓｃａｌｅｓａｒｅｓｔｕｄｉｅｄ．Ｆｉｒｓｔｌｙ，ｔｈｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓｏｆｍｏｔｉｏｎｆｏｒｎｏｎｈｏｌｏｎｏｍｉｃｓｙｓｔｅｍｓｏｆｎｏｎ Ｃｈｅｔａｅｖｓｔｙｐｅｏｎｔｉｍｅｓｃａｌｅｓａｒｅｇｉｖｅｎ．Ｓｅｃｏｎｄｌｙ，ｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｉｎｖａｒｉａｎｃｅｏｆｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｕｎｄｅｒ ｔｈｅｉｎｆｉｎｉｔｅｓｉｍａｌｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ，ｔｈｅｄｅｔｅｒｍｉｎａｔｉｎｇｅｑｕａｔｉｏｎｉｓｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄａｎｄｔｈｅｒｅｓｔｒｉｃｔｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｆｏｒｎｏｎｈｏｌｏｎｏｍｉｃｓｙｓｔｅｍｓｏｆｎｏｎＣｈｅｔａｅｖｓｔｙｐｅａｒｅｇｉｖｅｎ．Ｔｈｅｎ，ｔｈｅＬｉｅｔｈｅｏｒｅｍａｎｄｃｏｎｓｅｒｖｅｄｑｕａｎｔｉｔｙ ｆｏｒｎｏｎｈｏｌｏｎｏｍｉｃｓｙｓｔｅｍｓｏｆｎｏｎＣｈｅｔａｅｖｓｔｙｐｅｏｎｔｉｍｅｓｃａｌｅｓａｒｅｂｕｉｌｔ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ａｎｅｘａｍｐｌｅｉｓｇｉｖｅｎｔｏ ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｔｈｅａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｔｉｍｅｓｃａｌｅｓ；ｎｏｎＣｈｅｔａｅｖｓｔｙｐｅ；ｎｏｎｈｏｌｏｎｏｍｉｃｓｙｓｔｅｍｓ；Ｌｉｅｓｙｍｍｅｔｒｙ；ｃｏｎｓｅｒｖｅｄｑｕａｎｔｉｔｙ
ｆβｓδｑσｓ ＝０，（ｓ＝１，２，…，ｎ；β＝１，２，…，ｇ）（２） 时间尺度上 Ｌａｇｒａｎｇｅ函数为
Ｌ＝Ｌ（ｔ，ｑσ（ｔ），ｑΔ（ｔ））
（３）
则时间尺度上 Ｌａｇｒａｎｇｅ非完整力学系统的微分方程
为
Δ Ｌ ΔｔｑΔ ｓ
－ｑＬσ ｓ
＝Ｑ″ｓ ＋λβｆβｓ
（４）
其中 Ｑ″ｓ ＝Ｑ″ｓ（ｔ，ｑσ，ｑΔ）为非势广义力，λβ为约束
１９８８年 ＳｔｅｆａｎＨｉｌｇｅｒ提出了测度链上微积分理 论 ［１０－１２］，则将连续 系 统 与 离 散 系 统 的 研 究 统 一 了 起来，使得动力学系统的研究更具一般性。近年 来，时间尺度上微积分理论的应用不仅扩展到了物 理学、最优控制、 工 程 等 领 域 ［１３－１７］， 还 在 动 力 学 系统的对称性与守恒量的研究中取得了一些重要的 成果［１８－２７］。然而，关于时间尺度上 Ｌｉｅ对称性及
时间尺度上非 Ｃｈｅｔａｅｖ型 非完整系统的 Ｌｉｅ对称性及其守恒量
林魏，朱建青
（苏州科技大学数理学院，江苏 苏州 ２１５００９）
摘 要：研究了时间尺度上非 Ｃｈｅｔａｅｖ型非完整系统的 Ｌｉｅ对称性及其守恒量。首先，给出了时间尺度上非
Ｃｈｅｔａｅｖ型非完整系统的运动微分方程；然后，基于微分方程在无限小变换下的不变性，得到了确定方程，给出 了非 Ｃｈｅｔａｅｖ型非完整系统下的限制方程，进而建立了时间尺度上非 Ｃｈｅｔａｅｖ型非完整系统的 Ｌｉｅ对称性及其守恒 量；最后，举例说明其结果的应用。
收稿日期：２０１７－０６－２６ 基金项目：国家自然科学基金 （１１５７２２１２）；苏州科技大学研究生科研创新计划 （ＳＫＣＸ１６＿０５７） 作者简介：林魏 （１９９１年生），女；研究方向：工程中的数学技术；Ｅｍａｉｌ：２２４７８９００６０＠ｑｑｃｏｍ 通信作者：朱建青 （１９６２年生），男；研究方向：应用数学；Ｅｍａｉｌ：ｚｊｑ＠ｍａｉｌｕｓｔｓｅｄｕｃｎ
１ 时间尺度上非 Ｃｈｅｔａｅｖ型非完整 系统的运动方程
文中所涉及时间尺度上的微积分理论的定义及
其相关性质请参阅文献 ［１３］。
假设系统的位形由 ｎ个广义坐标 ｑｓ（ｓ＝１，２， …，ｎ）来确定，系统的运动受时间尺度上 ｇ个双面
理想非 Ｃｈｅｔａｅｖ型非完整约束
ｆβ（ｔ，ｑσ，ｑΔ） ＝０，（β＝１，２，…，ｇ） （１） 非完整约束 （１） 加在虚位移 δｑσ ｓ 上的限制条件为