高一数学指数与指数函数
高一数学上册第二章--指数函数知识点及练习题(含答案)
课时 4 指数函数一 . 指数与指数幂的运算（ 1）根式的观点①假如xna, a R, x R, n 1，且 nN ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根． 当 n 是奇数时， a 的 n 次方根用符号 na 表示；当 n 是偶数时，正数 a 的正的 n 次方根用符号na 表示，负的 n 次方根用符号na表示； 0 的 n 次方根是 0；负数 a 没有 n 次方根．②式子 n a 叫做根式，这里 n 叫做根指数， a 叫做被开方数．当n 为奇数时， a 为随意实数；当 n 为偶数时， a．③根式的性质： (na )n a ；当 n 为奇数时， n a n a ；当 n 为偶数时， n a n | a |a (a 0) ．a (a 0)（ 2）分数指数幂的观点mna m (a①正数的正分数指数幂的意义是：a n 0, m,n N , 且 n 1) ．0 的正分数指数幂等于0．②m(1m1 ) m( a正数的负分数指数幂的意义是：a n)n n (0, m, n N , 且 n1) ．0 的负分数指aa数幂没存心义． 注意口诀： 底数取倒数，指数取相反数．（ 3）分数指数幂的运算性质①a r a s a r s (a 0, r , s R)② (ar) sa rs (a 0, r , s R)③(ab)ra rb r (a0,b 0, rR)二 . 指数函数及其性质（ 4）指数函数函数名称指数函数定义函数 ya x (a 0 且 a1) 叫做指数函数a 1a 1yy a xya xy图象y1y1(0,1)(0,1)OxOx定义域 R值域（0,+ ∞）过定点 图象过定点（0,1 ），即当 x=0 时， y=1．奇偶性非奇非偶单一性在 R 上是增函数在 R 上是减函数函数值的 y ＞ 1(x ＞ 0), y=1(x=0), 0＜ y ＜ 1(x ＜ 0)y ＞ 1(x ＜ 0), y=1(x=0), 0＜ y ＜ 1(x ＞ 0)变化状况a 变化对在第一象限内， a 越大图象越高，越凑近 y 轴； 在第一象限内， a 越小图象越高，越凑近 y 轴； 图象影响在第二象限内，a 越大图象越低，越凑近x 轴．在第二象限内，a 越小图象越低，越凑近x 轴．三 .例题剖析1.设 a 、 b 知足 0<a<b<1,以下不等式中正确的选项是 ( C)A.a a <a bB.b a <b bC.a a <b aD.b b <a b 分析： A 、B 不切合底数在 (0,1) 之间的单一性 ; C 、 D 指数同样 , 底小值小 . 应选 C. 2.若 0<a<1,则函数 y=a x 与 y=(a-1)x 2 的图象可能是 (D )分析： 当 0<a<1 时 ,y=a x 为减函数 ,a-1<0, 因此 y=(a-1)x2张口向下 , 应选 D.3.设指数函数 f(x)=a x (a>0 且 a ≠ 1),则以下等式中不正确的选项是 ( D )A.f(x+y)=f(x)f(y)f (x)B.f(x-y)=f ( y)C.f(nx)= ［ f(x) ］ nD.f ［ (xy) n ］ =［ f(x) ］ n ［ f(y) ］ n (n ∈ N * )分析： 易知 A 、 B 、 C 都正确 .对于 D,f ［(xy)n］ =a (xy)n , 而［ f(x) ］ n ·［f(y) ］ n =(a x ) n ·(a y ) n =a nx+ny , 一般状况下 D 不建立 .11 34.设 a= ( 3) 3,b= ( 4)4,c= ( 3) 4,则 a 、b 、 c 的大小关系是 ( B )43 2A.c<a<b3分析： a= ( )B.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a1 111(8133( 4)3 ( 4) 4=b, b=(4) 4)4(3) 4 =c.∴ a>b>c.3 332725.设 f(x)=4 x -2x+1,则 f -1 (0)=______1____________. 分析： 令 f -1 (0)=a, 则 f(a)=0 即有 4a -2 · 2a =0.2a · (2 a -2)=0, 而 2a >0,∴ 2a =2 得 a=1.6.函数 y=a x-3 +4(a>0 且 a ≠ 1)的反函数的图象恒过定点 ______(5,3)____________.分析： 因 y=a x 的图象恒过定点 (0,1), 向右平移 3 个单位 , 向上平移 4 个单位获得 y=a x-3 +4 的图象 , 易知恒过定点 (3,5).故其反函数过定点 (5,3).10 x 10 x.证明 f(x) 在 R 上是增函数 .7.已知函数 f(x)=x10 x10x1010x102x1,设 x 1<x 2∈ R,则f(x 1)-f(x2)=10x 1 1010x 1 10x 110x 210 x 2102 x 11 102 x 21 2(102 x 1102 x2).x 110x2 10x2 102 x1 1102 x21(102 x11)(102 x 2 1)∵ y=10 x是增函数 ,∴ 10 2x 1 10 2x 2 <0.而 10 2x 1 +1>0, 102 x 2 +1>0,故当 x <x 时 ,f(x)-f(x )<0,1212即 f(x 1)<f(x 2). 因此 f(x) 是增函数 .8.若定义运算 a b=b, ab,则函数 f(x)=3 x3-x 的值域为 ( A )a, a b,A.(0,1]B. ［ 1,+∞ )C.(0,+ ∞ )D.(- ∞ ,+∞ )分析： 当 3x ≥3-x , 即 x ≥ 0 时 ,f(x)=3-x∈(0,1 ］ ;x-x, 即 x<0 时 ,f(x)=3x∈ (0,1).3 x , x 0, 当 3<3∴ f(x)=x值域为 (0,1).3x ,0,9.函数 y=a x 与 y=-a -x (a>0,a ≠1) 的图象 ( C )A. 对于 x 轴对称B.对于 y 轴对称C.对于原点对称D.对于直线 y=-x 对称分析： 可利用函数图象的对称性来判断两图象的关系.10.当 x ∈［ -1,1］时 ,函数 f(x)=3 x-2 的值域为 _______［ -5,1 ］ ___________.3分析： f(x) 在［ -1,1 ］上单一递加 .11.设有两个命题 :(1)对于 x 的不等式 x 2+2ax+4>0对全部 x ∈ R 恒建立 ;(2) 函数 f(x)=-(5-2a) x是减函数 .若命题 (1)和 (2)中有且仅有一个是真命题 ,则实数 a 的取值范围是 _______(- ∞ ,-2)__________.分析： (1) 为真命题=(2a) 2-16<0-2<a<2. (2)为真命题 5-2a>1 a<2.若 (1) 假 (2) 真 , 则 a ∈ (- ∞ ,-2]. 若 (1) 真 (2) 假, 则 a ∈ (-2,2)∩［ 2,+ ∞］=.故 a 的取值范围为 (- ∞ ,-2).12.求函数 y=4 -x -2-x +1,x ∈［ -3,2］的最大值和最小值 .解： 设 2-x=t, 由 x ∈［ -3,2 ］得 t ∈［ 1,8 ］ , 于是 y=t 2-t+1=(t-1)2+3. 当 t= 1时 ,y3 .424有最小值 这时 x=1.当 t=8 时 ,y 有最大值57.这时 x=-3.2413.已知对于 x 的方程 2a2x-2-7a x-1 +3=0 有一个根是 2,求 a 的值和方程其他的根 . 解： ∵ 2 是方程 2a2x-2-9a x-1+4=0 的根 , 将 x=2 代入方程解得 a= 1或 a=4.2(1) 当 a= 1时 , 原方程化为 2· ( 1)2x-2-9(1) x-1 +4=0.①222x-1 2令 y=( 1) , 方程①变成 2y -9y+4=0,2解得 y 1=4,y 2= 1.∴ ( 1) x-1 =42x=-1,2( 1 ) x-1 = 1x=2.22(2) 当 a=4 时 , 原方程化为 2· 42x-2 -9 · 4x-1 +4=0. ②令 t=4 x-1 , 则方程②变成 2t 2-9t+4=0. 解得 t 1=4,t 2= 1.x-12=4x=2,∴44x-1 = 1x=- 1 .22故方程此外两根是当 a= 1时 ,x=-1;1 .2当 a=4 时 ,x=-214.函数 y= (1) 3 4xx 2的单一递加区间是 ( D )3A. ［ 1,2］B.［ 2,3］C.(-∞ ,2]D.［ 2,+∞ )分析： 由于 y=3x2-4x+3 , 又 y=3t 单一递加 ,t=x 2-4x+3 在 x ∈［ 2,+ ∞ ) 上递加 , 故所求的递加区间为［ 2,+ ∞ ).15.已知 f(x)=3 x-b (2≤ x ≤ 4,b 为常数 ) 的图象经过点 (2,1), 则 F(x)=f 2(x)-2f(x) 的值域为 ( B )A. ［ -1,+∞ )B. ［ -1,63)C.［ 0,+∞ )D.(0,63 ］分析： 由 f(2)=1, 得 32-b =1,b=2,f(x)=3 x-2.∴ F (x)= ［ f(x)-1 ］2-1=(3 x-2 -1) 2-1. 令 t=3 x-2 ,2 ≤x ≤4.2∴g(t)=(t-1) - 1,t ∈［ 1,9 ］.2.1 指数函数练习1．以下各式中建立的一项A ． ( n)71n 7 m 7B ．12 ( 3)433m3C ． 4 x 3y 3( x y) 4D ．393321111 1 52．化简 (a 3 b 2 )( 3a 2 b 3 ) ( a 6 b 6 ) 的结果3D ． 9a 2 A ． 6aB ． aC ． 9a3．设指数函数 f ( x)a x ( a 0, a1) ，则以下等式中不正确的选项是f (x) A ． f(x+y)=f(x) ·f(y)B ． f （ x y ）f ( y)C ． f (nx)[ f ( x)]n (nQ )D ． f ( xy) n [ f ( x)] n ·[f ( y)] n1 4．函数 y (x5) 0 ( x 2)2A ． { x | x 5, x 2}B ． { x | x 2}C ． { x | x 5}D ． { x | 2 x 5或 x 5}（）（）（）(n N )（ ）5．若指数函数 y a x 在 [－ 1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数 a 等于 （）A ．15 B ．1 5 C ．15D ．5 122 226．当 a0 时，函数 y axb 和 yb ax 的图象只可能是（）7．函数 f ( x)2 |x| 的值域是（）A ． (0,1]B ． (0,1)C ． (0, )D ． R8．函数 f ( x)2 x 1, x 0，知足 f ( x)1的 x 的取值范围1x 2 , x（）A ． ( 1,1)B ． ( 1, )C ． { x | x 0或 x2}D ． { x | x 1或 x1}9．函数 y(1) x 2x2得单一递加区间是2（）A ．[ 1,1]B ． ( , 1]C ．[2,)D ．[ 1,2]2exe x210．已知 f ( x)（）2 ，则以下正确的选项是A ．奇函数，在 R 上为增函数B ．偶函数，在 R 上为增函数C ．奇函数，在 R 上为减函数D ．偶函数，在 R 上为减函数11．已知函数 f (x)的定义域是（1， 2），则函数 f (2 x ) 的定义域是.12．当 a ＞0 且 a ≠1 时，函数 f (x)=a x －2－ 3 必过定点.三、解答题：13．求函数 y1的定义域 .x5 x 1114．若 a ＞0， b ＞ 0，且 a+b=c ，求证： (1) 当r ＞1时， a r +b r ＜ c r ； (2) 当r ＜ 1时， a r +b r ＞ c r .a x 1 15．已知函数 f ( x)(a ＞1) .a x1（ 1）判断函数 f (x) 的奇偶性；（ 2）证明 f (x)在 (－∞， +∞ )上是增函数 .xa16．函数 f(x) ＝ a (a>0 ，且 a ≠1) 在区间 [1,2] 上的最大值比最小值大2，求 a 的值．参照答案一、 DCDDD AADDA二、 11． (0,1)；12． (2，－ 2) ；三、 13． 解：要使函数存心义一定：x 1 0x 1x0 x 0x 1∴ 定义域为 ： x xR 且 x0, x 1a rrrb r此中a1,0b114． 解：ba，c rcccc.r ＞1 ，a rb ra b 1，r r r当因此+b＜ c ；时c c c crrrrr当 r ＜ 1 时， aba b1， 因此 a +b ＞c .ccc c15． 解 ：(1)是奇函数 .(2) 设x ＜x ，则 f (x 1 )ax11 ax21 。
高一数学指数函数ppt课件
图像法
运算性质法
利用指数函数的运算性质，如乘法公 式和指数法则，推导出奇偶性的判断 方法。例如，若f(x)和g(x)都是奇函数， 则f(x)*g(x)也是奇函数。
通过观察指数函数的图像，判断其是 否关于原点对称或关于y轴对称，从而 确定函数的奇偶性。
06 典型例题解析与 课堂互动环节
典型例题选讲及思路点拨
指数函数的图像关于y轴对称。
当a>1时，函数在定义域内单调递增，图 像上升；当0<a<1时，函数在定义域内单 调递减，图像下降。
指数函数图像特点 函数图像过定点（0,1）。
指数函数性质探讨
指数函数的单调性
01
当a>1时，函数在R上单调递增；当0<a<1时，函数在R上单调
递减。
指数函数的周期性
02
指数函数不是周期函数。
应用举例
$3^4 = (frac{3}{2})^4 times 2^4$
对数转换
当底数不同且难以直接 计算时，可通过对数转 换为相同底数进行计算。
应用举例
比较 $7^{10}$ 和 $10^7$ 的大小，可转 换为比较 $10 times
log7$ 和 $7 times log10$。
复杂表达式化简技巧
利用指数函数构建可持续增长模型，可以预测未来经济发展的趋势和可能遇到的问 题，帮助学生了解经济增长的复杂性和不确定性。
05 指数函数图像变 换与性质变化规 律
平移、伸缩变换对图像影响
平移变换
指数函数图像沿x轴或y轴平移，不改 变函数的形状和周期性，只改变函数 的位置。
伸缩变换
通过改变函数的参数，实现对指数函 数图像的横向或纵向伸缩，从而改变 函数的周期和振幅。
考点12 指数运算和指数函数【考点通关】高一数学题型归纳与解题策略(必修第一册)(原卷版)
考点12指数运算和指数函数1、正确区分n a n与(n a)n(1)(n a)n已暗含了n a有意义，根据n的奇偶性可知a的范围．(2)n a n中的a可以是全体实数，n a n的值取决于n的奇偶性．2、有限制条件根式的化简(1)有限制条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简．(2)有限制条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．3、根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．4、指数幂运算的常用技巧(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算．(2)负指数幂化为正指数幂的倒数．(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数幂的运算性质．5、利用整体代换法求分数指数幂(1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键．(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式．x2＋x－2＝(x±x－1)2∓2，x＋x－1＝(12x±12x-)2∓2，12x＋12x-＝(14x±14x-)2∓2.6、判断一个函数是否为指数函数的方法(1)底数的值是否符合要求．(2)a x前的系数是否为1.(3)指数是否符合要求．7、求指数函数的解析式或函数值(1)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键．(2)求指数函数的函数值的关键是掌握指数函数的解析式．8、解决有关增长率问题的关键和措施(1)解决这类问题的关键是理解增长(衰减)率的意义：增长(衰减)率是所研究的对象在“单位时间”内比它在“前单位时间”内的增长(衰减)率，切记并不总是只和开始单位时间内的比较．(2)分析具体问题时，应严格计算并写出前3～4个单位时间的具体值，通过观察、归纳出规律后，再概括为数学问题，最后求解数学问题即可．(3)在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．9、函数y＝a f(x)定义域、值域的求法(1)定义域：形如y＝a f(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合．(2)值域：①换元，令t＝f(x)；②求t＝f(x)的定义域x∈D；③求t＝f(x)的值域t∈M；④利用y＝a t的单调性求y＝a t，t∈M的值域．注意：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集．(2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论．10、处理函数图象问题的策略(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的x，y的值，即可得函数图象所过的定点．(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．11、比较幂值大小的3种类型及处理方法12、简单的指数不等式的解法(1)利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式．(2)解不等式a f(x)>a g(x)(a>0，a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即a f(x)>a g(x)⇒f(x)>g(x)(a>1)或f(x)<g(x)(0<a<1)．13、指数型复合函数的单调性(1)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考察f(u)和φ(x)的单调性，利用同增异减原则，求出y＝f(φ(x))的单调性．(2)关于指数型函数y＝a f(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝a u，u＝f(x)复合而成．考点一指数与指数幂的运算（一）根式化简求值1．（2022·西藏·拉萨中学高一期末）若a=b=a b+的值为（）π-A．1B．5C．1-D．25x<时，化简x__________. 2．（2022·上海长宁·高一期末）当03．（2022·全国·=_______．（二）利用分数指数幂的运算性质化简求值4．（2022·河南洛阳·高一期末）计算：22332728-⎛⎫⎛⎫⋅+⎪ ⎝⎭⎝⎭______．5．（2022·全国·04(1=___________________．6．（2022·江西·景德镇一中高一期末）化简)()146230.251624820229-=⎛⎫⨯+-⨯+- ⎪⎝⎭____________.7．（2022·全国·高一单元测试）计算：(1)21023213(2)(9.6)(3(1.5)48-----+；10421()0.252-+⨯.（三）整体代换法求分数指数幂8．（2022·江西省铜鼓中学高一期末）已知223x x --=，求44x x -+的值；9．（2022·广东汕头·高一期末）已知11223x x -+=，求1x x --的值．10．（2022·辽宁·大连二十四中高一期末）已知11223a a --=，求33221122a a a a----的值；考点二指数函数的概念（一）指数函数的概念11．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室高一期末）若()233xy a a a =-+是指数函数，则有（）A ．1a =或2B ．1a =C ．2a =D ．0a >且1a ≠12．（2022·甘肃·甘南藏族自治州合作第一中学高一期末）已知函数()()33x f x k a b ⋅=++-(0a >，且1a ≠)是指数函数.(1)求k ，b 的值；(2)求解不等式()()2743f x f x ->-.（二）求指数函数的解析式或函数值13．（2022·湖南·高一课时练习）已知函数()f x 是指数函数，且35225f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()3f =________.14．（2022·浙江大学附属中学高一期末）已知函数1(),02()0xx f x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则[(4)]f f =________.15．（2022·陕西·铜川阳光中学高一期末）设0a >且1a ≠，函数()1,0,0x x x f x a x -≤⎧=⎨>⎩，若()()11f f =-，则a 的值为________．16．（2022·福建·厦门一中高一期末）已知函数()221,1,,1,x x f x x ax x ⎧+<=⎨+≥⎩若()()03f f a =，则a 的值为______．17．（2022·云南昆明·高一期末）已知函数()x f x a =，()xg x b =，若()()115f g +=，()()111f g -=．(1)求()f x ，()g x 的解析式；(2)若()()f m g n =，试比较m ，n 的大小．18．（2022·广东汕头·高一期末）已知函数()1x f x a =-（0a >，且1a ≠）满足()()14129f f +=-.(1)求a 的值；(2)解不等式()2f x >.考点三指数函数的定义域和值域（一）指数函数的定义域19．（2022·全国·高一课时练习）函数y =的定义域为（）A．(-∞B．(-∞C ．[)3,+∞D ．()3,+∞20．（2022·广东广州·高一期末）函数1()1f x x =-的定义域为______．21．（2022·全国·高一课时练习）函数()f x =______________．22．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()f x =[)2,+∞，则=a _________．（二）指数函数的值域23．（2022·吉林·长春外国语学校高一期末）已知集合{}2320A x x x =-+≥，{}3,1x B y y x ==≥，那么A B =（）A ．[]2,3B ．[](]2,3,1-∞C ．()3,+∞D ．[)3,+∞24．（2022·湖南邵阳·高一期末）函数2212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为______．25．（2022·浙江省义乌中学高一期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数":设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也称取整函数，例如:][1.32 3.43⎡⎤-=-=⎣⎦，，已知11()313x f x =-+，则函数[]()y f x =的值域为（）A ．{}0B ．{}10-，C ．{}01，D ．{}101-，，26．（2022·天津南开·高一期末）定义运算a b *为：,(){,(),a ab a b b a b ≤*=>如121*=，则函数()22x x f x -=*的值域为（）A ．RB ．(]0,1C ．()0,∞+D ．[)1,+∞27．（2022·辽宁鞍山·高一期末）若函数()f x =的值域为[0,)+∞，则实数a 的取值范围是（）A ．12⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．[0,)+∞28．（2022·山东烟台·高一期末）已知函数()()112,03,0x a x a x f x x -⎧-+<=⎨≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围为___________.29．（2022·广东湛江·高一期末）已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[1,0]-，则a b +=（）A ．32-B ．1-C ．1D ．32考点四指数函数的图象及应用（一）判断指数型函数图象的形状30．（2022·湖北黄石·高一期末）函数()2||24x x f x =-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．31．（2022·陕西咸阳·高一期末）函数()241x x xf x =+的大致图像为（）A ．B ．C ．D ．32．（2022·福建·莆田一中高一期末）函数3()22x xx xf x --=+的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．33．（2022·河南安阳·高一期末）函数()22xf x x -=⋅在区间[]22-,上的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．34．（2022·云南玉溪·高一期末）函数||()2x f x =，4()g x x =，则函数()()y f x g x =+的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．35．（2022·陕西渭南·高一期末）函数y x a =+与x y a -=（0a >且1a ≠）在同一坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．36．【多选】（2022·吉林吉林·高一期末）已知函数()()()f x x a x b =--的图象如图所示，则()x g x a b =-的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．（二）根据指数型函数图象判断参数范围37．（2022·全国·高一课时练习）已知113xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，23x y =，310x y -=，410x y =，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．38．（2022·全国·高一单元测试）函数①x y a =；②x y b =；③x y c =；④x y d =的图象如图所示，a ，b ，c ，d 分别是下列四个数：5413，12中的一个，则a ，b ，c ，d 的值分别是（）A ．5413，12B 54，13，12C ．12，1354，D ．13，12，5439．【多选】（2022·全国·高一期末）(多选)已知函数()x f x a b =-的图象如图所示，则（）A ．a >1B ．0<a <1C ．b >1D ．0<b <140．（2022·湖南·长沙市雨花区教育科学研究所高一期末）若函数(01,1)x y a a a m =>-≠+的图像在第一、三、四象限内，则（）A ．1a >B ．1a >，且0m <C ．01a <<，且0m >D ．01a <<41．（2022·上海交大附中高一期末）已知函数()()1201x f x a a a +=->≠，，的图象不经过第四象限，则a 的取值范围为__________．42．（2022·全国·高一课时练习）若函数32x y m =-+的图象不经过第二象限，则实数m 的取值范围是（）A ．（-∞，-2）B ．（-∞，-2]C ．（3，+∞）D ．[3，+∞）43．（2022·全国·高一期末）已知函数f (x )＝ax ＋b (a >0，且a ≠1)．(1)若()f x 的图象如图①所示，求a ，b 的值；(2)若()f x 的图象如图②所示，求a ，b 的取值范围；(3)在(1)中，若|()|f x ＝m 有且仅有一个实数解，求出m 的取值范围．（三）指数型函数过定点问题44．（2022·四川泸州·高一期末）函数3x y a =+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点（）A ．()1,0B ．()0,4C ．()4,0D ．()3,345．（2022·江西省铜鼓中学高一期末）函数11x y a -=+，（0a >且1a ≠）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,446．（2022·安徽芜湖·高一期末）已知函数23x y a -=+（0a >且1a ≠）过定点P ，且P 点在幂函数()f x 的图象上，则(3)f 的值为_________．47．（2022·河南焦作·高一期末）已知函数()25x f x a -=-（0a >且1a ≠）的图象过定点(),m n ，则不等式210x mx n +++<的解集为（）A ．()1,3B ．()3,1--C ．()(),31,-∞-⋃+∞D ．()3,1-48．（2022·河南·永城市苗桥乡重点中学高一期末）已知函数42x y a +=+（0a >，且1a ≠）的图象恒过点P ，若角α的终边经过点P ，则cos α的值为（）A ．45-B ．223-C ．23D ．3549．（2022·广东揭阳·高一期末）已知0a >且1a ≠，函数()22x f x a -=-的图象恒经过定点(),m n ，正数b 、c 满足b c m n +=+，则14bc+的最小值为____________.（四）指数函数图象应用50．（2022·全国·高一课时练习）（1）若曲线21x y =-与直线y a =有两个公共点，则实数a的取值范围是______；（2）若曲线21xy =+与直线y b =没有公共点，则实数b 的取值范围是______．51．【多选】（2022·全国·高一课时练习）已知函数()21xf x =-，实数a ，b 满足()()f a f b =()a b <，则（）A ．222a b +>B ．a ∃，b ∈R ，使得01a b <+<C ．222a b +=D ．0a b +<52．（2022·辽宁·高一阶段练习）函数()|21|x f x =-(1)请在下面坐标系中画出函数()f x 的图像．(2)不等式13()44f x x <+的解集为________．（写出结果即可，不需写过程）(3)若()(),m n f m f n <=，求m n +的取值范围．考点五指数型函数的单调性（一）判断指数函数的单调性53．（2022·广西南宁·高一期末）设函数()122xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x （）A ．是偶函数，且在()0,+∞单调递增B ．是偶函数，且在()0,+∞单调递减C ．是奇函数，且在()0,+∞单调递增D ．是奇函数，且在()0,+∞单调递减54．（2022·吉林·长春外国语学校高一期末）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A ．y x=-B ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．3y x x =--D ．1y x=-55．（2022·浙江金华第一中学高一期末）已知函数()f x 的定义域为R ，且满足对任意12x x <，有()()12121f x f x x x ->--，则函数()f x =（）A ．xe -B ．2x x+C ．x e x-D x（二）由指数（型）函数的单调性求参数56．（2022·河北廊坊·高一期末）指数函数()()1xf x a =-在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A ．()2,1--B ．()2,+∞C ．(),2-∞-D ．()1,257．（2022·安徽·歙县教研室高一期末）若函数22113x mx y +-⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间[]1,1-上为增函数，则实数m 的取值范围为______.58．【多选】（2022·重庆市巫山大昌中学校高一期末）若函数,0()3(1),0x a a x f x a x x ⎧+≥=⎨+-<⎩（0a >且1a ≠）在R 上为单调函数，则a 的值可以是（）A ．13B ．23C D ．259．（2022·湖北·沙市中学高一期末）已知函数(),0()23,0x a x f x a x a x ⎧<⎪=⎨-+≥⎪⎩，满足对任意x 1≠x 2，都有()()1212f x f x x x -<-0成立，则a 的取值范围是（）A ．a ∈(0,1)B ．a ∈[34,1)C ．a ∈(0,13]D ．a ∈[34,2)60．（2022·江苏南通·高一期末）已知指数函数()xf x a -=（0a >，且1a ≠），且()()23f f ->-，则a 的取值范围（）A ．()0,1B ．()1,+∞C ．()0,∞+D ．(),0∞-（三）比较指数幂的大小61．（2022·云南丽江·高一期末）若221333111,,252a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则a ､b ､c 的大小关系是（）A ．b a c <<B ．b c a<<C ．c a b<<D ．c b a<<62．（2022·广东汕尾·高一期末）若1312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1314b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1412c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．c a b >>B ．c b a >>C ．b c a >>D ．a b c>>63．（2022·全国·高一专题练习）设函数()21xf x =-，c b a <<，且()()()f c f a f b >>，则22a c +与2的大小关系是（）A ．222a c +>B ．222a c +≥C ．222a c +≤D ．222a c +<（四）解简单的指数不等式64．（2022·黑龙江·哈尔滨市第一六二中学校高一期末）不等式11(93x -≤的解集为_____________.65．（2022·河北张家口·高一期末）已知x R ∈，那么“4x >”是“124x -<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件66．（2022·云南·昆明一中高一期末）设函数2,2()2,2x x x f x x ≤⎧=⎨>⎩，若2(2)(8)f t f t >-，则t 的取值范围是___________.67．（2022·湖南衡阳·高一期末）设函数()1e ,11,1x x x f x x x x -⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩，则满足()()12xf x f ->的x 的取值范围是（）A ．(],1-∞-B ．()0,∞+C ．()1,0-D ．(),0∞-考点六指数函数的最值（一）求已知指数型函数的最值68．（2022·甘肃·兰州一中高一期末）已知02x ≤≤，则函数124325x x y -=-⨯+的最大值为__________.69．（2022·河南开封·高一期末）已知函数()2x f x =的定义域是[]0,3，设()()()22g x f x f x =-+，(1)求()g x 的定义域；(2)求函数()g x 的最大值和最小值.（二）根据指数函数的最值求参数70．（2022·湖北·武汉市第十五中学高一期末）函数()21x x f x a a =++（0a >，且1a ≠）在[]1,1-上的最大值为13，则实数a 的值为___________.71．（2022·上海·高一单元测试）指数函数(0,1)x y a a a =>≠在区间[0,4]上的最大值与最小值之和为17，则=a ______;72．（2022·上海徐汇·高一期末）已知函数()()1,1,,1x a x x f x a x ⎧-≤=⎨>⎩（0a >且1a ≠）在x ∈R 上有最大值，那么实数a 的取值范围为__________73．（2022·全国·高一单元测试）已知242,0()1,0x x m x f x x x x +⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩的最小值为2，则m 的取值范围为______________74．（2022·湖南·高一期末）已知函数()245x xf x a a =+-.(1)求()f x 的值域；(2)当[]1,2x ∈-时，()f x 的最大值为7，求a 的值.（三）指数函数的最值与不等式的综合问题75．（2022·江苏·无锡市教育科学研究院高一期末）已知函数()24,[2,1]x x f x x =-∈-.(1)求()f x 的值域；(2)若对[2,1]x ∀∈-，不等式()22x f x m >-⋅恒成立，求实数m 的取值范围.76．（2022·浙江宁波·高一期中）已知函数()212xxf x a=++(1)若()f x 是奇函数，求a 的值；(2)若()0f x ≥在[]1,1x ∈-上恒成立，求a 的取值范围．77．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()()240,12x x a af x a a a a-+=>≠+是定义在R 上的奇函数．(1)求a 的值；(2)求函数()f x 的值域；(3)当()1,2x ∈时，()220xmf x +->恒成立，求实数m 的取值范围．考点七指数型函数的奇偶性（一）已和函数奇偶性求值78．（2022·内蒙古包头·高一期末）()f x 是定义域为R 的函数，且2()f x x -为奇函数，()2x f x +为偶函数，则(2)f 的值是（）A ．178B ．174C ．478D ．47479．（2022·广东广州·高一期末）已知函数()()2,0,x x f x g x x ⎧<⎪=⎨>⎪⎩为奇函数，则(2)g =______．（二）由函数的奇偶性求解析式80．（2022·福建福州·高一期末）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()23x f x =+．求()f x 的解析式；81．（2022·江西新余·高一期末）已知定义在R 上的偶函数f （x ）和奇函数g （x ）满足()()124x f x g x +-=(1)求函数f （x ）和g （x ）的表达式；(2)当1,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，不等式()()210f x ag x -+≥恒成立，求实数a 的取值范围.（三）已和函数奇偶性求参数82．（2022·辽宁丹东·高一期末）已知函数()22x x af x a-=+是奇函数．(1)求实数a 的值；(2)求()f x 的值域．83．（2022·天津南开·高一期末）已知函数()f x =122xx a b+⋅+是奇函数，并且函数()f x 的图像经过点()1,3.(1)求实数a ，b 的值；(2)求函数()f x 在0x <时的值域.84．（2022·浙江师范大学附属中学高一期中）已知函数()31xx a f x =+（0a >）为偶函数，则函数()f x 的值域为__________．（四）函数的单调性和奇偶性的综合85．（2022·河南·新乡市第一中学高一期末）已知定义在R 上的函数()22x xf x k -=-⋅是奇函数．(1)求实数k 的值；(2)若对任意的R x ∈，不等式()()240f x tx f x ++->恒成立，求实数t 的取值范围．86．（2022·云南丽江·高一期末）已知函数()333x xf x x -=+-，若2(2)(54)0f a a f a -+-<，则实数a 的取值范围为（）A ．(4)(4)-∞-+∞，，B ．(41)-，C ．(1)(4)-∞-+∞，，D ．(14)-，考点八指数函数的综合问题87．【多选】（2022·全国·高一课时练习）（多选）已知函数()24312x x f x ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．函数()f x 的定义域为RB ．函数()f x 的值域为(]0,2C ．函数()f x 在[)2,-+∞上单调递增D ．函数()f x 在[)2,-+∞上单调递减88．（2022·辽宁·大连二十四中高一期末）已知指数函数()()01xf x a a a =>≠,过点()1,2，函数()()()11f xg x x f x -=⋅+.(1)求()1g ，()1g -的值；(2)判断函数()g x 在R 上的奇偶性，并给出证明；(3)已知()g x 在[)0,+∞上是单调函数，由此判断函数()y g x =，R x ∈的单调性（不需证明），并解不等式()1213g x +>.89．（2022·山东·德州市第一中学高一期末）已知定义域为R 的函数()22x x b nf x b +=--是奇函数，且指数函数x y b =的图象过点(2,4)．（Ⅰ）求()f x 的表达式；（Ⅱ）若方程()23()0f x x f a x ++-+=，(4,)x ∈-+∞恰有2个互异的实数根，求实数a 的取值集合；（Ⅲ）若对任意的[1,1]t ∈-，不等式()22(1)0f t a f at -+-≥恒成立，求实数a 的取值范围．考点九指数增长型和指数衰减型函数的实际应用90．（2022·全国·高一课时练习）当生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14的含量不足死亡前的万分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了.若用一般的放射性探测器不能测到碳14，那么死亡生物体内的碳14至少经过的“半衰期”个数是（参考数据：1328192=）（）A ．15B ．14C ．13D ．1291．（2022·全国·高一单元测试）企业在生产中产生的废气要经过净化处理后才可排放，某企业在净化处理废气的过程中污染物含量P （单位：mg /L ）与时间t （单位：h ）间的关系为0ektP P -=（其中0P ，k 是正的常数）．如果在前10h 消除了20%的污染物，则20h 后废气中污染物的含量是未处理前的（）A ．40%B ．50%C ．64%D ．81%92．（2022·全国·高一学业考试）某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量()g μy 与时间()h t 之间近似满足如图所示的图象，则y 关于t 的函数解析式为______；据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25g μ时，治疗疾病有效，则服药一次治疗疾病有效的时间为______h ．93．（2022·重庆·高一期末）基本再生数0R 与世代间隔T 是流行病学基本参数，基本再生数是指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指两代间传染所需的平均时间，在α型病毒疫情初始阶段，可以用指数函数模型(e )rt I t =描述累计感染病例数()I t 随时间t （单位：天）的变化规律，指数增长率r 与0R 、T 近似满足01R rT =+，有学者基于已有数据估计出0 3.22R =，10T =.据此，在α型病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增加至(0)I 的4倍，至少需要（）（参考数据：ln 20.69≈）A ．6天B ．7天C ．8天D ．9天。
高一数学上册 指数函数知识点及练习题含答案
课时4指数函数一. 指数与指数幂的运算（1）根式的概念 ①如果,,,1nxa a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n表示；当n 是偶数时，正数a 的正的nn次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当na =；当n(0)|| (0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m naa m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rs r s aa a a r s R +⋅=>∈②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈二.指数函数及其性质（4）指数函数a 变化对图象影响在第一象限内，a 越大图象越高，越靠近y 轴； 在第二象限内，a 越大图象越低，越靠近x 轴． 在第一象限内，a 越小图象越高，越靠近y 轴； 在第二象限内，a 越小图象越低，越靠近x 轴．三.例题分析1.设a 、b 满足0<a<b<1,下列不等式中正确的是(C) A.a a <a b B.b a <b b C.a a <b a D.b b <a b解析：A 、B 不符合底数在(0,1)之间的单调性;C 、D 指数相同,底小值小.故选C. 2.若0<a<1,则函数y=a x 与y=(a-1)x 2的图象可能是(D)解析：当0<a<1时,y=a x为减函数,a-1<0,所以y=(a-1)x 2开口向下,故选D.3.设指数函数f(x)=a x (a>0且a ≠1),则下列等式中不正确的是(D) A.f(x+y)=f(x)f(y)B.f(x-y)=)()(y f x f C.f(nx)=［f(x)］n D.f ［(xy)n ］=［f(x)］n ［f(y)］n (n ∈N *) 解析：易知A 、B 、C 都正确. 对于D,f ［(xy)n］=a(xy)n,而［f(x)］n·［f(y)］n=(a x )n·(a y)n=anx+ny,一般情况下D 不成立.4.设a=31)43(-,b=41)34(-,c=43)23(-,则a 、b 、c 的大小关系是(B)A.c<a<bB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a解析：a=413131)34()34()43(>=-=b,b=434141)23()278()34(-=>=c.∴a>b>c.5.设f(x)=4x -2x+1,则f -1(0)=______1____________. 解析：令f -1(0)=a,则f(a)=0即有4a-2·2a=0.2a·(2a-2)=0,而2a>0,∴2a=2得a=1.6.函数y=a x-3+4(a>0且a ≠1)的反函数的图象恒过定点______(5,3)____________.解析：因y=a x的图象恒过定点(0,1),向右平移3个单位,向上平移4个单位得到y=a x-3+4的图象,易知恒过定点(3,5).故其反函数过定点(5,3).7.已知函数f(x)=xx xx --+-10101010.证明f(x)在R 上是增函数.证明：∵f(x)=1101101010101022+-=+---x x xx x x , 设x 1<x 2∈R ,则f(x 1)-f(x 2)=)110)(110()1010(21101101101101010101010101010212122112222111122222222++-=+--+-=+--+-----x x x x x x x x x x x x x x x x . ∵y=10x 是增函数, ∴21221010x x -<0. 而1210x +1>0,2210x +1>0, 故当x 1<x 2时,f(x 1)-f(x 2)<0, 即f(x 1)<f(x 2). 所以f(x)是增函数.8.若定义运算a ⊗b=⎩⎨⎧<≥,,,,b a a b a b 则函数f(x)=3x ⊗3-x 的值域为(A)A.(0,1]B.［1,+∞)C.(0,+∞)D.(-∞,+∞)解析：当3x ≥3-x ,即x ≥0时,f(x)=3-x ∈(0,1］;当3x<3-x,即x<0时,f(x)=3x∈(0,1).∴f(x)=⎩⎨⎧<≥-,0,3,0,3x x x x 值域为(0,1).9.函数y=a x 与y=-a -x (a>0,a ≠1)的图象(C) A.关于x 轴对称B.关于y 轴对称 C.关于原点对称D.关于直线y=-x 对称解析：可利用函数图象的对称性来判断两图象的关系.10.当x ∈［-1,1］时,函数f(x)=3x -2的值域为_______［-35,1］___________. 解析：f(x)在［-1,1］上单调递增.11.设有两个命题:(1)关于x 的不等式x 2+2ax+4>0对一切x ∈R 恒成立;(2)函数f(x)=-(5-2a)x 是减函数.若命题(1)和(2)中有且仅有一个是真命题,则实数a 的取值范围是_______(-∞,-2)__________.解析：(1)为真命题⇔Δ=(2a)2-16<0⇔-2<a<2.(2)为真命题⇔5-2a>1⇔a<2.若(1)假(2)真,则a ∈(-∞,-2].若(1)真(2)假,则a ∈(-2,2)∩［2,+∞］=∅. 故a 的取值范围为(-∞,-2).12.求函数y=4-x -2-x +1,x ∈［-3,2］的最大值和最小值. 解：设2-x =t,由x ∈［-3,2］得t ∈［41,8］,于是y=t 2-t+1=(t-21)2+43.当t=21时,y 有最小值43.这时x=1.当t=8时,y 有最大值57.这时x=-3. 13.已知关于x 的方程2a 2x-2-7a x-1+3=0有一个根是2,求a 的值和方程其余的根. 解：∵2是方程2a 2x-2-9a x-1+4=0的根,将x=2代入方程解得a=21或a=4. (1)当a=21时,原方程化为2·(21)2x-2-9(21)x-1+4=0.① 令y=(21)x-1,方程①变为2y 2-9y+4=0, 解得y 1=4,y 2=21.∴(21)x-1=4⇒x=-1,(21)x-1=21⇒x=2. (2)当a=4时,原方程化为2·42x-2-9·4x-1+4=0.② 令t=4x-1,则方程②变为2t 2-9t+4=0.解得t 1=4,t 2=21. ∴4x-1=4⇒x=2, 4x-1=21⇒x=-21. 故方程另外两根是当a=21时,x=-1; 当a=4时,x=-21. 14.函数y=243)31(x x -+-的单调递增区间是(D) A.［1,2］B.［2,3］C.(-∞,2]D.［2,+∞)解析：因为y=3x2-4x+3,又y=3t 单调递增,t=x 2-4x+3在x∈［2,+∞)上递增,故所求的递增区间为［2,+∞).15.已知f(x)=3x-b (2≤x ≤4,b 为常数)的图象经过点(2,1),则F(x)=f 2(x)-2f(x)的值域为(B) A.［-1,+∞)B.［-1,63) C.［0,+∞)D.(0,63］解析：由f(2)=1,得32-b =1,b=2,f(x)=3x-2. ∴F(x)=［f(x)-1］2-1=(3x-2-1)2-1. 令t=3x-2,2≤x≤4.∴g(t)=(t -1)2-1,t∈［1,9］. ∴所求值域为［-1,63］.2.1指数函数练习1．下列各式中成立的一项（）A ．7177)(m n mn= B ．31243)3(-=-C ．43433)(y x y x +=+D ．3339=2．化简)31()3)((656131212132b a b a b a ÷-的结果（）A ．a 6B ．a -C ．a 9-D ．29a3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，则下列等式中不正确的是（） A ．f (x +y )=f(x )·f (y ) B ．)()(y f x f y x f =-）（ C ．)()]([)(Q n x f nx f n∈=D ．)()]([·)]([)(+∈=N n y f x f xy f n n n4．函数21)2()5(--+-=x x y（）A ．}2,5|{≠≠x x xB ．}2|{>x xC ．}5|{>x xD ．}552|{><<x x x 或5．若指数函数x a y =在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a 等于 （）A ．251+B ．251+- C ．251± D ．215± 6．当a ≠0时，函数y ax b =+和y b ax =的图象只可能是 （）7．函数||2)(x x f -=的值域是（）A ．]1,0(B ．)1,0(C ．),0(+∞D ．R8．函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(21x x x x f x ，满足1)(>x f 的x 的取值范围 （）A ．)1,1(-B ．),1(+∞-C ．}20|{-<>x x x 或D ．}11|{-<>x x x 或9．函数22)21(++-=x x y 得单调递增区间是 （）A ．]21,1[-B ．]1,(--∞C ．),2[+∞D ．]2,21[10．已知2)(xx e e x f --=，则下列正确的是 （）A ．奇函数，在R 上为增函数B ．偶函数，在R 上为增函数C ．奇函数，在R 上为减函数D ．偶函数，在R 上为减函数 11．已知函数f (x )的定义域是（1，2），则函数)2(x f 的定义域是. 12．当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )=a x －2－3必过定点. 三、解答题：13．求函数y x x =--1511的定义域.14．若a ＞0，b ＞0，且a +b =c ，求证：(1)当r ＞1时，a r +b r ＜c r ；(2)当r ＜1时，a r +b r ＞c r .15．已知函数11)(+-=x x a a x f (a ＞1).（1）判断函数f (x )的奇偶性；（2）证明f (x )在(－∞，+∞)上是增函数.16．函数f(x)＝a x(a>0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大，求a 的值．参考答案一、DCDDDAADDA二、11．(0,1)；12．(2，－2)； 三、13．解：要使函数有意义必须：∴定义域为：{}x x R x x ∈≠≠且01,14．解：rrrrr c b c a c b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+，其中10,10<<<<cbc a . 当r ＞1时，1=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c a c b c a rr，所以a r +b r ＜c r； 当r ＜1时，1=+>⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c a c b c a rr ，所以a r +b r ＞c r . 15．解：(1)是奇函数.(2)设x 1＜x 2，则1111)()(221121+--+-=-x x x x a a a a x f x f 。
高一数学指数和函数知识点
高一数学指数和函数知识点引言：数学是一门抽象而又实用的学科，在我们的日常生活中无处不在。
数学中的指数和函数是我们学习数学的基础知识点之一，它们具有广泛的应用和重要性。
本文将分析高一数学中涉及指数和函数的几个重要知识点，并探讨其实际应用。
1. 指数的基本概念与运算：在数学中，指数是表示一个数被乘若干次的方法。
例如，2²表示2被乘以2，即2的平方。
指数具有重要的运算法则，如指数相乘时底数相同，则指数相加。
此外，指数还可以是分数或负数，分别代表幂次的开平方和倒数。
2. 指数函数的性质与图像：指数函数是以指数为自变量的函数。
常见的指数函数有f(x) = a^x，其中a为底数，x为指数。
指数函数具有独特的性质，如当底数大于1时，函数呈现增长趋势；当底数介于0和1之间时，函数呈现衰减趋势。
指数函数的图像通常具有一条曲线，并根据底数的不同而呈现不同的形状。
3. 对数的定义与运算：对数是指一个数在某个底数下所得到的指数。
例如，log₂8表示以2为底数，求得8的对数，结果为3。
对数也具有运算法则，如对数相除时，底数相同，则指数相减。
4. 对数函数的性质与图像：对数函数是以对数为自变量的函数。
常见的对数函数有f(x) = logₐx，其中a为底数，x为对数。
对数函数具有特殊的性质，如当底数大于1时，函数呈现增长趋势；当底数介于0和1之间时，函数呈现衰减趋势。
对数函数的图像通常具有一条曲线，并根据底数的不同而呈现不同的形状。
5. 指数方程与对数方程的求解：指数方程和对数方程是数学中常见的方程类型，它们的求解对于解决实际问题非常重要。
求解指数方程和对数方程的关键是运用指数和对数的运算法则，将方程转化为简化形式后进行求解。
6. 指数增长与复利计算：指数增长是指以某个固定比例增长的现象，如人口增长、物质衰变等。
在实际生活中，我们常常需要计算指数增长的结果，这时可以借助指数函数的概念进行计算。
特别是在金融领域，复利的概念与指数增长密切相关。
高一指数基本知识点
高一指数基本知识点引言：在数学的学习过程中，指数是一种非常重要且基础的概念。
在高中阶段，指数的学习更加深入和系统化，掌握好指数的基本知识点对于学习后续数学知识是至关重要的。
本文将介绍高一指数的基本知识点，帮助读者理解和掌握指数的概念、性质和应用。
一、指数的概念指数是数学中常用的一种表示形式，也被称为幂。
指数表示有一个数（底数）连乘若干次自身所得的结果。
指数的定义：若a是任意一个不等于零且不等于1的实数，b是一个自然数（包括零），那么指数b就是以a为底的指数，记作a^b。
例如，2^3表示2的3次方，即2乘以2乘以2，结果为8。
二、指数的性质1. 同底数幂相乘：在指数运算中，如果底数相同，幂相加。
例如，2^3 * 2^4 = 2^(3+4) = 2^7。
2. 同底数幂相除：在指数运算中，如果底数相同，幂相减。
例如，3^5 / 3^2 = 3^(5-2) = 3^3。
3. 幂的指数相乘：在指数运算中，一个数的幂再求幂，指数相乘。
例如，(2^3)^4 = 2^(3*4) = 2^12。
4. 幂的指数相除：在指数运算中，一个数的幂再求幂，指数相除。
例如，(2^4)^3 = 2^(4/3) = 2^(4*3)。
5. 指数为0：任何数的0次方均为1。
例如，3^0 = 1。
6. 指数为负数：如果指数为负数，那么可以将其化为倒数的正指数。
例如，4^-2 = 1 / 4^2。
三、指数的应用在实际生活和学习中，指数有许多重要的应用。
以下介绍两个常见的指数应用。
1. 指数函数：指数函数是一种以常数e为底的指数，记为f(x) = e^x。
指数函数在数学和科学领域中有广泛的应用，如在物理学中描述指数增长、在概率论中描述随机过程等。
2. 科学计数法：科学计数法是一种使用指数来表示较大或较小的数字的方法。
将一个数表示成一个在1和10之间的数与某个幂的乘积的形式。
例如，300,000可表示为3×10^5，0.000002可表示为2×10^-6。
北师大版高中数学课件必修第1册第三章 指数运算与指数函数
2.
3.1 指数函数的概念＋ 3.2 指数函数的图象和性质
刷基础
3．[江苏镇江 2021 高一期中]已知指数函数 f(x)的图象过点(－2，4)，则 f(6)＝( B )
3
1
4
A.
B.
C.
4
64
3
1 D.
12
解析
1
设
f(x)＝ax(a>0
且
a≠1)，∴f(－2)＝a－2＝4，解得
1 a＝ ，∴f(6)＝
3.1 指数函数的概念＋ 3.2 指数函数的图象和性质
刷基础
6．[宁夏大学附属中学 2021 高一期中]已知 f(x)＝ka－x(k，a 为常数，a>0 且 a≠1)的图象过点 A(0，1)，B(－ 3，8)． (1)求 f(x)的解析式；
f（x）－1
(2)若函数 g(x)＝
，试判断 g(x)的奇偶性并给出证明．
10
解析
103x－2y＝103x＝（10x）3＝33＝27，故选 C. 102y （10y）2 42 16
§2 指数幂的运算性质
刷能力
5．已知 ab＝－5，则 a
A．2 5 C．－2 5
解析
b － ＋b
a
a － 的值是( B )
b
B．0
D．±2 5
由题意知 ab<0，a 故选 B.
b － ＋b
a
a － ＝a
2
6＝
1
.故选
B.
2
64
3.1 指数函数的概念＋ 3.2 指数函数的图象和性质
刷基础
4．[福建福州第三中学 2021 高一期中]以下关于函数 f(x)＝2x 的说法正确的是( D ) A．f(mn)＝f(m)f(n) B．f(mn)＝f(m)＋f(n) C．f(m＋n)＝f(m)＋f(n) D．f(m)f(n)＝f(m＋n)
高一数学必修教学课件第三章指数函数的图像和性质
对于形如$y = a^{bx}$的指数函数，可以通过伸缩基本指数函数的图像得到。具体地，当$b > 1$时，图像在纵 坐标方向上进行压缩，同时在横坐标方向上进行拉伸；当$0 < b < 1$时，图像在纵坐标方向上进行拉伸，同时 在横坐标方向上进行压缩。
图像特点总结与对比分析
指数函数图像特点
THANKS
感谢观看
阅读材料
推荐了一些与指数函数相 关的阅读材料，供学生课 后阅读，以拓宽视野。
下节课预习内容提示
下节课内容
简要介绍了下节课将要学 习的内容，包括指数函数 的运算性质和应用等。
预习要求
要求学生提前预习下节课 的内容，了解指数函数的 运算性质和应用场景，为 下节课的学习做好准备。
问题思考
提出了一些与下节课内容 相关的问题，引导学生进 行思考和预习。
解析
考察指数函数$y = 1.7^{x}$的单调性，由于底数大于1，函数在全体实数范围 内单调递增。因此，$1.7^{3} > 1.7^{2.5} > 1.7^{-1.5}$。
例题2
已知函数$f(x) = a^{x}(a > 0$且$a neq 1)$在区间$[-1,2]$上的最大值为4，最 小值为$m$，且函数$g(x) = (1 - 4m)sqrt{x}$在区间$[0, + infty)$上是单调函 数，求$a$和$m$的值。
明确任务要求
教师需要向学生明确任 务的要求，包括任务的 目标、完成时间、提交 方式等。
学生自主查阅资料及整理成果展示
1 2 3
学生自主查阅资料
学生可以利用图书馆、互联网等资源，自主查阅 与指数函数相关的资料，包括教材、参考书、学 术论文等。
高一数学-1-5指数与指数函数
[例 4] 设函数 f(x)＝|2x－1|的定义域和值域都是[a，
b](b>a)，则 a＋b 等于( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：因为 f(x)＝|2x－1|的值域为[a，b]，所以 b>a≥0， 而函数 f(x)＝|2x－1|在[0，＋∞)内是单调递增函数，
因此应有||22ab－－11||＝＝ab ，解得ab＝ ＝01 ， 所以有 a＋b＝1，选 A.
指数幂的运算
[例 1] 化简：
4 (1)(1－a)
a－1 13＝________；
3 (2) xy2· xy－1· xy＝________；
(3)0.25－0.5＋217－
1 3
－6250.25＝________.
解析：(1)原式＝(1－a)(a－1)
－
3 4
＝－(a－1)(a－1)
－
3 4
＝－(a－1)
(2)xn＝a，(n∈N，n>1)⇔x＝n a，n为奇数， x＝±n aa>0，n为偶数.
n (
a)n＝
a
；
a2＝
|a|
；
n
an＝
a |a|
，n为奇数， ，n为偶数.
(3)分数指数幂
m
an
＝nam； Nhomakorabea－
a
m n
＝
1
m
＝
1
.(a>0，m，n∈N，且
a n n am
n>1) (4)指数幂的运算性质
ar·as＝ar＋s，(ar)s＝ar·s，
第五节
指数与指数函数
重点难点 重点：①指数幂的运算法则． ②指数函数的概念、图象与性质． 难点：①根式与分数指数幂的运算． ②a>1 与 0<a<1 时，指数函数图象、性质的区别． ③指数函数图象与性质的应用和简单指数方程、不 等式的求解．
高一数学指数与指数函数试题答案及解析
高一数学指数与指数函数试题答案及解析1.若，则在，，，中最大值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由指数函数的性质，得，；由幂函数的性质得，因此最大的是.【考点】指数函数和幂函数的性质.2.设，，，则（）A．b<a<c B．c<a<b C．c<b<a D．a<c<b【答案】B【解析】,,【考点】指数函数和对数函数的性质.3.设均为正数，且，，.则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】分别为方程的解，由图可知.【考点】函数图像4.若函数的图像与轴有公共点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】函数与轴有公共点，即设函数,,有交点，函数如图:,即,故选B.【考点】函数图像5.已知函数和函数，其中为参数，且满足.（1）若，写出函数的单调区间（无需证明）；（2）若方程在上有唯一解，求实数的取值范围；（3）若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）的单调增区间为，，单调减区间为；（2）或；（3）.【解析】（1）当时，，由二次函数的图像与性质可写出函数的单调区间；（2）先将在上有唯一解转化为在上有唯一解，进而两边平方得到或，要使时，有唯一解，则只须或即可，问题得以解决；（3）对任意，存在，使得成立的意思就是的值域应是的值域的子集，然后分别针对与两种情形进行讨论求解，最后将这两种情况求解出的的取值范围取并集即可.试题解析：（1）时， 1分函数的单调增区间为，，单调减区间为 4分（2）由在上有唯一解得在上有唯一解 5分即，解得或 6分由题意知或即或综上，的取值范围是或 8分（3）则的值域应是的值域的子集 9分①时，在上单调递减，上单调递增，故 10分在上单调递增，故 11分所以，即 12分②当时，在上单调递减，故在上单调递减，上单调递增，故所以，解得.又，所以 13分综上，的取值范围是 14分.【考点】1.二次函数的图像与性质；2.指数函数的图像与性质；3.函数的单调性与最值.6.已知指数函数（且）的图像过点，则实数___________.【答案】【解析】因为指数函数（且）的图像过点，则，得.【考点】指数函数的定义.7.将函数的图像向左平移一个单位，得到图像，再将向上平移一个单位得到图像，作出关于直线对称的图像，则的解析式为 .【答案】【解析】根据平移口诀“上加下减”可得函数解析式为，函数解析式为，因为图像与图像关于直线对称，所以函数与函数互为反函数。
高一数学指数及指数函数基础知识
高一数学指数及指数函数1•根式的性质(3)负数没有偶次方根 (4)零的任何正次方根都是零2•幕的有关概念 (1)正整数指数幕：naa a a ..… n...... a (n N )(2)零指数幕a 01(a 0)1⑶负整数指数幕 a p-(a 0.p N )a pm(4)正分数指数幕a nnma (a0, m, n N ,且 n 1) (5)负分数指数幕a m1 nm(a0, m, n N ,且 n 1)a 石(6)0的正分数指数幕等于0，0的负分数指数幕无意义3•有理指数幕的运算性质rr s⑶(ab) a a ,(a0,b 0, r Q)4、指数函数的定义：函数y a% 0且a °叫做指数函数，其中x 是自变量，函数定义域是R 。
① 若a 0，则当x 0时，『0；当x 0时，a x 无意义.1 1② 若a 0，则对于X 的某些数值，可使a 无意义•如(2)，这时对于 4，2，等等，在实数范围内函数值不存在•③ 若a 1，则对于任何x R ，a x 1，是一个常量，没有研究的必要性• 对于任何x R ，「都有意义，且『0.因此指数函数的定义域是R ，值域是(°)有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如y 『k (a 0且 a 1，k Z )；x有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如y a (a 0且a 1)，因为它可 x1 1 1 0 1 a ，其中a ，且a(1)当n 为奇数时，有n a na(2)当n 为偶数时，有；a" a a, (a 0) a, (a 0)r sr s .八 亠、(1) a a a ,(a 0, r, s Q)/ r、srs , -亠、⑵(a )a ,(a 0,r,s Q)以化为y5、函数的图象(1)①特征点：指数函数y = a x (a > 0且a ^ 1) 的图象经过两点(0 , 1)和(1,a).②指数函数y = a x (a > 0且a 工1)的图象中，y = 1 反映了它的分布特征；而直线x = 1 与指数函数图象的交点(1,a)的纵坐 标则直观反映了指数函数的底数特 征，称直线x = 1和y = 1为指数函 数的两条特征线•(2)、函数的图象单调性当a > 1时，函数在定义域范围内 呈单调递增； 当0v a v 1时，函数在定义域范围 内呈单调递减； 推论：(1)底互为倒数的两个函数图像关于y 轴对称(2)当a > 1时，底数越大，函数图象越靠近丫轴；当0v a v 1时，底数越小， 函数图象越靠近丫轴。
高一数学指数与指数函数试题答案及解析
高一数学指数与指数函数试题答案及解析1.设，则的大小关系是（）.A．B．C．D．【解析】，，，因此.【考点】指数函数和对数函数的性质.2.若点在函数的图象上，则的值为．【答案】【解析】由点在函数的图象上得，所以，故应填入．【考点】指数函数及特殊角的三角函数．3.设，则下列不等式成立的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】A【解析】对于A,B考查函数f（x）=2x+2x，g（x）=2x+3x的单调性与图象：可知函数f（x）、g（x）在R上都单调递增，若2a+2a=2b+3b，则a＞b，因此A正确；对于C,D分别考查函数u（x）=2x-2x，v（x）=2x-3x单调性与图象：当时，u′（x）＜0，函数u（x）单调递减；当时，u′（x）＞0，函数u（x）单调递增．故在x=取得最小值．当0＜x＜时，v′（x）＜0，函数v（x）单调递减；当x＞时，v′（x）＞0，函数v （x）单调递增．故在x＝取得最小值，据以上可画出图象．据图象可知：当2a-2a=2b-3b，a＞0，b＞0时，可能a＞b或a＜b．因此C,D不正确．综上可知：只有A正确．故答案为A．【考点】用导数研究函数的单调性和图象；命题的真假判断与应用．4.若，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由得，所以.【考点】指对数式的互化，指数运算法则.5.若函数的图像与轴有公共点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】函数与轴有公共点，即设函数,,有交点，函数如图: ,即,故选B.【考点】函数图像6.三个数的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】；；。
所以，故D正确。
【考点】指数对数函数的单调性。
7.已知幂函数的图象过点，则．【答案】4【解析】因为为幂函数,所以设因为过点,所以本题易错点在将幂函数的定义写成指数函数的形式,即【考点】幂函数定义,指数的运算8.如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与函数的图象交于A，B两点，过B作y轴的垂线交函数的图象于点C，若AC平行于y轴，则点A的坐标是．【答案】【解析】设，则，因为AC平行于y轴，所以，因此.又三点三点共线，所以由得，因此.【考点】指数函数运算，向量共线.9.已知指数函数（且）的图像过点，则实数___________.【答案】【解析】因为指数函数（且）的图像过点，则，得.【考点】指数函数的定义.10.我国大西北某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长，专家预测经过年可能增长到原来的倍，则函数的图像大致为（）【答案】D【解析】设初始年份的荒漠化土地面积为，则1年后荒漠化土地面积为，2年后荒漠化土地面积为，3年后荒漠化土地面积为，所以年后荒漠化土地面积为，依题意有即，，由指数函数的图像可知，选D.【考点】1.指数函数的图像与性质；2.函数模型及其应用.11.若，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】指数函数、对数函数的底数大于1 时,函数为增函数,反之,为减函数，对于幂函数而言，当时，在上递增，当时，在上递减，而，所以，故选C.【考点】1.指数函数；2.对数函数；3.幂函数的性质.12.设函数,如果，求的取值范围.【答案】【解析】对分段函数需分情况讨论，再解指数及对数不等式时，需将实数转化为同底的指数或对数，然后根据指数、对数的单调性解不等式。
高一数学指数与指数函数
6.已知函数 f(x)=3x 且 f-1(18)=a+2, g(x)=3ax-4x 的定义域为 [0, 1]. (1)求 g(x) 的 解析式; (2)求 g(x) 的单调区间, 确定其增减性并用定义证明; (3)求 g(x) 的值域.
解: (1)∵f(x)=3x 且 f-1(18)=a+2, ∴g(x)=(3a)x-4x=2x-4x.
∵ y=e-x 是 R 上的减函数, ∴ y=-e-x 是 R 上的增函数. 又∵ y=ex 是 R 上的增函数, ∴ y=ex -e-x 是 R 上的增函数. ∴ f(x) 的反函数 f-1(x) 也是 R 上的增函数. 综上所述, f-1(x) 是奇函数, 且是 R 上的增函数.
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∴f(a+2)=3a+2=18. 即 g(x)=2x-4x.
∴3a=2.
(2)令 t=2x, 则函数 g(x) 由 y=t-t2 及 t=2x 复合而得. 由已知 x[0, 1], 则 t[1, 2], ∵t=2x 在 [0, 1] 上单调递增, y=t-t2 在 [1, 2] 上单调递减, ∴g(x) 的定义域区间 [0, 1] 为函数的单调递减区间.
∴ -2≤g(x)≤0 .
故函数 g(x) 的值域为 [-2, 0].
x e 7.设 a>0, f(x)= a - ax 是 R 上的奇函数. (1)求 a 的值; (2)试判 e 断 f(x) 的反函数 f-1(x) 的奇偶性与单调性. 1 解: (1)∵ f(x) 是 R 上的奇函数, ∴f(0)=0, 即 a -a=0. ∴a2=1. ∵a>0, ∴a=1. 此时, f(x)=ex-e-x是 R 上的奇函数. ∴a=1 即为所求. (2)由 (1) 知 f(x)=ex-e-x, xR, f(x)R. ∵ f(x) 是奇函数, ∴ f(x) 的反函数 f-1(x) 也是奇函数.
高一必修一数学指数知识点
高一必修一数学指数知识点在高一的数学课程中，指数是一个重要的概念和工具。
指数是数学中用来表示乘法的简化形式，常用于科学计数法、复利计算、指数函数等领域。
本文将探讨高一必修一数学课程中的指数知识点，以帮助同学们更深入地理解和掌握这一概念。
一、指数的基本概念指数是数学中用来表示乘法的一个重要概念。
在指数表示中，我们使用一个高于基线的小数字表示乘法中的重复几次，称之为指数。
例如，2³表示2乘以自身3次，即2的立方。
指数的一般形式可以表示为aⁿ，其中a称为底数，n称为指数。
在指数中，指数n表示底数a重复相乘的次数。
二、指数的基本运算在高一数学课程中，我们学习了指数的基本运算规则，包括指数幂次运算、指数相乘和指数相除。
对于指数幂次运算，我们有以下规则：1. 任何数的0次幂都是1，即a^0=1。
2. 对于同一个底数的两个指数相乘，我们可以将底数保持不变，指数相加，即a^m * a^n = a^(m+n)。
3. 对于同一个底数的两个指数相除，我们可以将底数保持不变，指数相减，即a^m / a^n = a^(m-n)。
4. 对于指数的指数，我们可以将指数相乘，即(a^m)^n =a^(m*n)。
三、指数的负指数与倒数在指数运算中，指数可以是负数。
一个数的负指数表示将其取倒数后，再按指数幂次运算。
例如，2⁻³表示2的倒数的立方，即1/(2³)。
指数的负指数规则如下：1. 一个数的负指数可以通过取倒数再按照正指数计算。
即a⁻ⁿ= 1/(aⁿ)。
2. 底数为0的数没有意义，因此0的任何负指数都是没有意义的。
四、指数方程与指数函数除了上述基本概念和运算，高一数学课程还涵盖了指数方程和指数函数的知识。
指数方程是含有指数项的方程，形式一般为aⁿ=b。
解指数方程的关键是将其转化为相等底数的指数表达式，然后通过等式的性质来解方程。
指数函数是一个以指数为自变量的函数，通常形式为y=aⁿ，其中a是常数，n是变量。
高一数学必修一讲义之1.4指数及指数函数
1.4指数&指数函数
）和两种不同对于指数式来说，式子
）正整数指数幂
）无理指数幂：
定义若（，
为奇数，用符号表示次方根，这时．
，用符号表示
①
②
③（
④（
一般地，指数函数在底数a>1及0<a<1这两种情况下的图象和性质如下表所示：
6.利用函数单调性比较两实数大小，首先要通过观察分析，构造出适当的函数来，对于幂形数，若同指数不同底数，则考虑幂函数，若同底数不同指数，则考虑指数函数；其次比较大小时不仅要注意函数的单调性，还要注意幂形数比大小的两数是否都在同一函数的同一单调区间内，否则无法比较大小．
三、典型例题剖析
例1. (1)化简.
(2)计算.
例2．若的值．
例3．如图是指数函数（1）（2），（3）（4）的图象，则a,b,c,d与1的大小关系是（）
A．B．
C．D．
例4．已知，求函数的最大值和最小值.
例5．已知f(x)＝（a>0且）．
（1）求f(x)的定义域、值域．
（2）讨论f(x)的奇偶性．
（3）讨论f(x)的单调性．。
2024版高一数学指数函数及其性质PPT课件图文
学习方法建议
深入理解指数函数的概念
掌握指数函数的定义、图像和性质， 理解底数、指数和幂的含义。
多做练习题
通过大量的练习题，加深对指数函数 的理解和掌握，提高解题能力。
系统学习指数函数的运算
学习指数函数的四则运算，掌握运算 规则和技巧。
解题技巧分享
换元法
通过将指数函数中的变量 进行换元，简化问题，使 问题更容易解决。
指数函数在数学模 型中的应用举例
在经济学中，指数函数被用来描 述复利、折旧等问题；在物理学 中，指数函数被用来描述放射性 元素的衰变等问题；在工程学中， 指数函数被用来描述材料的疲劳 寿命等问题。
数学模型在解决实际问题中的价值
提高解决问题的效率
揭示问题的本质和规律
通过建立数学模型，可以将实际问题转化为 数学问题，利用数学方法和技术进行求解， 从而提高解决问题的效率。
05
指数函数与数学模型
数学模型简介
01
数学模型的定义
数学模型是描述客观事物或它的本质和本质的一系列数学形 式。它或能利用现有的数学形式如数学公式、数学方程、数 学图形等加以表述，或能抽象出数学的基本概念和基本结构。
02
数学模型的分类
根据研究目的，可以将数学模型分为描述性模型和预测性模 型。
03
数学模型的作用
指数方程求解
通过对方程两边取相同的底数的对数或者 利用换元法等方法求解指数方程。
指数函数性质应用
利用指数函数的单调性、奇偶性、周期性 等性质解决相关问题。
03
指数函数性质探究
单调性
01
指数函数的单调性取决于底数a的 大小
02
当a>1时，指数函数在整个定义 域上是增函数；
高中高一数学必修1知识点：指数函数、函数奇偶性
高中高一数学必修1知识点：指数函数、函数奇
偶性
数学是利用符号语言研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。
以下是为大家整理的高一数学必修1知识点，希望可以解决您所遇到的相关问题，加油，一直陪伴您。
指数函数的一般形式为，从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得
如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。
可以看到：
(1)指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a 大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。
(2)指数函数的值域为大于0的实数集合。
(3)函数图形都是下凹的。
(4)a大于1，则指数函数单调递增;a小于1大于0，则为单调递减的。
(5)可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0)，函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y 轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。
其中水
平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。
(6)函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴，永不相交。
(7)函数总是通过(0，1)这点。
(8)显然指数函数无界。
最后，希望小编整理的高一数学必修1知识点对您有所帮助，祝同学们学习进步。
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则，比较大小还可以借助中间量；(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数
的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．
跟踪训练 2 (1)(2020·蚌埠质检)已知 0<a<b<1，则在 aa，ab，ba，bb 中，最大的是( )
A．aa B．ab C．ba D．bb
答案 D
解析 ∵y＝(1－a)x 是减函数， ∴(1－a)a>(1－a)b， 又 y＝xb 在(0，＋∞)上是增函数，1－a>1－b，
∴(1－a)b>(1－b)b， ∴(1－a)a>(1－b)b.D 对，其余皆错．
命题点 2 解简单的指数方程或不等式
4x，x≥0，
例 3 (1)已知实数 a≠1，函数 f (x)＝
若 f (1－a)＝f (a－1)，则 a 的值为______．
2a－x，x<0，
答案 1 2
解析 当 a<1 时，41－a＝21，解得 a＝1； 2
当 a>1 时，代入不成立．故 a 的值为1. 2
(2)若偶函数 f (x)满足 f (x)＝2x－4(x≥0)，则不等式 f (x－2)>0 的解集为________________．
1 2
4
3
，函数
y＝
1 2
x在
R
上为减函数，4>2>1，所以 333
4
1 3 2
<
2
1 3 2 <
1 2
1
3
，
即 b<a<c.
(2)已知 0<a<b<1，则( )
1
A． (1-a)b >(1－a)b
b
B．(1－a)b> (1-a)2
C．(1＋a)a>(1＋b)b
D．(1－a)a>(1－b)b
(1)n an＝(n a)n＝a(n∈N*)．( × )
(2)分数指数幂
a
m n
可以理解为m个
a
相乘．(
×
)
n
(3)函数 y＝3·2x 与 y＝2x＋1 都不是指数函数．( √ )
(4)若 am<an(a>0，且 a≠1)，则 m<n.( × )
题组二 教材改编
2．化简4 16x8y4(x<0，y<0)＝________.
B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞)
D．(－∞，－2]
答案 B
解析 由 f (1)＝1，得 a2＝1，
9
9
1
所以 a＝1或 a＝－1(舍去)，即 f (x)＝ 3 |2x－4|.
3
3
1 由于 y＝|2x－4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，y＝ 3 x 在(－∞，＋∞)上
单调递减，
2．结合指数函数 y＝ax(a>0，a≠1)的图象和性质说明 ax>1(a>0，a≠1)的解集是否与 a 的取 值有关． 提示 当 a>1 时，ax>1 的解集为{x|x>0}；当 0<a<1 时，ax>1 的解集为{x|x<0}．
题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
________．
答案 (－∞，4]
m，＋∞
－∞，m
解析 令 t＝|2x－m|，则 t＝|2x－m|在区间 2
上单调递增，在区间
2 上单调递
减．而 y＝2t 在 R 上单调递增，所以要使函数 f (x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有m≤2， 2
即 m≤4，所以 m 的取值范围是(－∞，4]．
2．指数函数的图象与性质
y＝ax
a>1
0<a<1
图象
定义域 值域
性质
(1)R
(2)(0，＋∞)
(3)过定点(0,1)
(4)当 x>0 时，y>1；
(5)当 x>0 时，0<y<1；
当 x<0 时，0<y<1
当 x<0 时，y>1
(6)在(－∞，＋∞)上是增函数
(7)在(－∞，＋∞)上是减函数
概念方法微思考 1.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx 的图象，则 a，b，c，d 与 1 之 间的大小关系为 c>d>1>a>b>0.
－ 1 ，－1
当 a≤x<0 时，f (x)∈ 2a
，
所以 －21a，－1 [－8,1]，
即－8≤－21a<－1，即－3≤a<0.
所以实数 a 的取值范围是[－3,0)．
1．若实数 a>0，则下列等式成立的是( )
A．(－2)－2＝4
B．2a－3＝ 1 2a3
C．(－2)0＝－1
D．
(a
1 4
)4
答案 C
解析 ∵0<a<1，a－b<0， ∴aa＝aa－b>1，即 aa>ab，
ab 同理可得，ba>bb，
又∵aa＝ ba
a b
a<1，
∴ba>aa，即 ba 最大．
(2)若函数 f (x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)满足 f (1)＝1，则 f (x)的单调递减区间是( ) 9
A．(－∞，2]
-4x 3
有最大值
3，则
a＝________.
答案 1
1 解析 令 h(x)＝ax2－4x＋3，f (x)＝ 3 h(x)，
由于 f (x)有最大值 3，所以 h(x)应有最小值－1，
a>0， 因此必有 12a－16＝－1，
4a
解得 a＝1，
即当 f (x)有最大值 3 时，a 的值为 1.
思维升华 (1)利用指数函数的函数性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原
11 7．已知实数 a，b 满足等式 2 a＝ 3 b，下列五个关系式
①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b，不可能成立的是________．
答案 ③④
1
1
解析 在同一坐标系内，作出函数 y＝ 2 x 和 y＝ 3 x 的图象(如图)．
11 当 a>b>0 时， 2 a＝ 3 b 可能成立．
11 当 a<b<0 时， 2 a＝ 3 b 可能成立．
11 当 a＝b＝0 时， 2 a＝ 3 b 显然成立．
11 当 0<a<b 时，显然 2 a> 3 b.
11 当 b<a<0 时，显然 2 a< 3 b. 综上可知，③④不可能成立.
指数幂的运算
1．计算 2 3×3 1.5×6 12＝________.
∴2a＋2c<2，故选 D. 思维升华 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点， 若不满足则排除． (2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别 地，当底数 a 与 1 的大小关系不确定时应注意分类讨论． 跟踪训练 1 (1)函数 y＝a|x|(a>1)的图象是( )
A．a<0，b<0，c<0
B．a<0，b≥0，c>0
C．2－a<2c
D．2a＋2c<2
答案 D
解析 作出函数 f (x)＝|2x－1|的图象，如图，
∵a<b<c 且 f (a)>f (c)>f (b)，结合图象知， 0<f (a)<1，a<0，c>0， ∴0<2a<1. ∴f (a)＝|2a－1|＝1－2a， ∴f (c)<1，∴0<c<1. ∴1<2c<2，∴f (c)＝|2c－1|＝2c－1， 又∵f (a)>f (c)， ∴1－2a>2c－1，
答案 6
1
解析
原式＝2×
1
32
3 2
3
1
12 6
=2
1
32
1
33
-1
23
1
36
1
23
=2
111
32 3 6
-11
23 3
=6.
2．(2019·沧州七校联考)
1 4
1 2
·
(4ab1)3
1
(0.1)1 (a3 b3)2
(a>0，b>0)＝________.
答案 8 5
解析
3 3 3
242 a2b 2
所以 f (x)在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．故选 B.
1 (3) 已 知 函 数 f (x) ＝ － 2 x，a≤x<0，
－x2＋2x，0≤x≤4
的 值 域 是 [ － 8,1] ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是
________．
答案 [－3,0)
解析 当 0≤x≤4 时，f (x)∈[－8,1]，
)3
=(x
1 2
1
x 2 ) (x－1＋x－1)＝3×(7－1)＝18.
3
3
∴
x2 x2
x2 x 2
3 2
＝1. 3
思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，
还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加；
②运算的先后顺序．
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数． (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．