高一数学指数与指数函数

2．结合指数函数 y＝ax(a>0，a≠1)的图象和性质说明 ax>1(a>0，a≠1)的解集是否与 a 的取 值有关． 提示 当 a>1 时，ax>1 的解集为{x|x>0}；当 0<a<1 时，ax>1 的解集为{x|x<0}．
题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
11 7．已知实数 a，b 满足等式 2 a＝ 3 b，下列五个关系式
①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b，不可能成立的是________．
答案 ③④
1
1
解析 在同一坐标系内，作出函数 y＝ 2 x 和 y＝ 3 x 的图象(如图)．
11 当 a>b>0 时， 2 a＝ 3 b 可能成立．
答案 D
解析 ∵y＝(1－a)x 是减函数， ∴(1－a)a>(1－a)b， 又 y＝xb 在(0，＋∞)上是增函数，1－a>1－b，
∴(1－a)b>(1－b)b， ∴(1－a)a>(1－b)b.D 对，其余皆错．
命题点 2 解简单的指数方程或不等式
4x，x≥0，
例 3 (1)已知实数 a≠1，函数 f (x)＝
-4x 3
有最大值
3，则
a＝________.
答案 1
1 解析 令 h(x)＝ax2－4x＋3，f (x)＝ 3 h(x)，
由于 f (x)有最大值 3，所以 h(x)应有最小值－1，
a>0， 因此必有 12a－16＝－1，
4a
解得 a＝1，
即当 f (x)有最大值 3 时，a 的值为 1.
思维升华 (1)利用指数函数的函数性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原
所以 f (x)在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．故选 B.
1 (3) 已 知 函 数 f (x) ＝ － 2 x，a≤x<0，
－x2＋2x，0≤x≤4
的 值 域 是 [ － 8,1] ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是
________．
答案 [－3,0)
解析 当 0≤x≤4 时，f (x)∈[－8,1]，
答案 {x|x>4 或 x<0}
解析 ∵f (x)为偶函数，f (x)在[0，＋∞)上递增，
且 f (2)＝0，∴|x－2|>2，解得 x>4 或 x<0.
命题点 3 指数函数性质的综合应用
1 x2 +2x1
例 4 (1)函数 f (x)＝ 2
的单调减区间为________．
答案 (－∞，1]
11 当 a<b<0 时， 2 a＝ 3 b 可能成立．
11 当 a＝b＝0 时， 2 a＝ 3 b 显然成立．
11 当 0<a<b 时，显然 2 a> 3 b.
11 当 b<a<0 时，显然 2 a< 3 b. 综上可知，③④不可能成立.
指数幂的运算
1．计算 2 3×3 1.5×6 12＝________.
(1)n an＝(n a)n＝a(n∈N*)．( × )
(2)分数指数幂
a
m n
可以理解为m个
a
相乘．(
×
)
n
(3)函数 y＝3·2x 与 y＝2x＋1 都不是指数函数．( √ )
(4)若 am<an(a>0，且 a≠1)，则 m<n.( × )
题组二 教材改编
2．化简4 16x8y4(x<0，y<0)＝________.
若 f (1－a)＝f (a－1)，则 a 的值为______．
2a－x，x<0，
答案 1 2
解析 当 a<1 时，41－a＝21，解得 a＝1； 2
当 a>1 时，代入不成立．故 a 的值为1. 2
(2)若偶函数 f (x)满足 f (x)＝2x－4(x≥0)，则不等式 f (x－2)>0 的解集为________________．
答案 －2x2y
3．若函数
f
(x)＝ax(a>0，且
a≠1)的图象经过点
P
2，1 2
，则
f
(－1)＝________.
答案 2
解析 由题意知1＝a2，所以 a＝ 2，
2
2
2
2
所以 f (x)＝ 2 x，所以 f (－1)＝ 2 －1＝ 2.
4．已知
a＝
3 5
1 3
，b＝
3 5
1 4
，c＝
3 2
B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞)
D．(－∞，－2]
答案 B
解析 由 f (1)＝1，得 a2＝1，
9
9
1
所以 a＝1或 a＝－1(舍去)，即 f (x)＝ 3 |2x－4|.
3
3
1 由于 y＝|2x－4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，y＝ 3 x 在(－∞，＋∞)上
单调递减，
答案 C
解析 ∵0<a<1，a－b<0， ∴aa＝aa－b>1，即 aa>ab，
ab 同理可得，ba>bb，
又∵aa＝ ba
a b
a<1，
∴ba>aa，即 ba 最大．
(2)若函数 f (x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)满足 f (1)＝1，则 f (x)的单调递减区间是( ) 9
A．(－∞，2]
§2.5 指数与指数函数
1．分数指数幂
(1)
m
an
＝n
am(a>0，m，n∈N*，且
-m
n>1)； a n
＝
1
m
(a>0，m，n∈N*，且 n>1)；0 的正分数指
an
数幂等于 0；0 的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中 a>0，b>0，r，s∈Q.
∴2a＋2c<2，故选 D. 思维升华 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点， 若不满足则排除． (2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别 地，当底数 a 与 1 的大小关系不确定时应注意分类讨论． 跟踪训练 1 (1)函数 y＝a|x|(a>1)的图象是( )
________．
答案 (－∞，4]
m，＋∞
－∞，m
解析 令 t＝|2x－m|，则 t＝|2x－m|在区间 2
上单调递增，在区间
2 上单调递
减．而 y＝2t 在 R 上单调递增，所以要使函数 f (x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有m≤2， 2
即 m≤4，所以 m 的取值范围是(－∞，4]．
答案 B
解析 函数 y＝a|x|(a>1)是偶函数，当 x≥0 时，y＝ax，又已知 a>1，故选 B.
| | 1
(2)若曲线 y＝ 3 x－1 与直线 y＝b 有两个公共点，则 b 的取值范围是________．
答案 (0,1)
| | | | 1
1
解析 曲线 y＝ 3 x－1 与直线 y＝b 图象如图所示，由图象可得：如果曲线 y＝ 3 x－1 与
1 2
4
3
，函数
y＝
1 2
x在
R
上为减函数，4>2>1，所以 333
4
1 3 2
<
2
1 3 2 <
1 2
1
3
，
即 b<a<c.
(2)已知 0<a<b<1，则( )
1
A． (1-a)b >(1－a)b
b
B．(1－a)b> (1-a)2
C．(1＋a)a>(1＋b)b
D．(1－a)a>(1－b)b
答案 6
1
解析
原式＝2×
1
32
3 2
3
1
12 6
=2
1
32
1
33
-1
23
1
36
1
23
=2
111
32 3 6
-11
23 3
=6.
2．(2019·沧州七校联考)
1 4
1 2
·
(4ab1)3
1
(0.1)1 (a3 b3)2
(a>0，b>0)＝________.
答案 8 5
解析
3 3 3
242 a2b 2
A．a<0，b<0，c<0
B．a<0，b≥0，c>0
C．2－a<2c
D．2a＋2c<2
答案 D
解析 作出函数 f (x)＝|2x－1|的图象，如图，
∵a<b<c 且 f (a)>f (c)>f (b)，结合图象知， 0<f (a)<1，a<0，c>0， ∴0<2a<1. ∴f (a)＝|2a－1|＝1－2a， ∴f (c)<1，∴0<c<1. ∴1<2c<2，∴f (c)＝|2c－1|＝2c－1， 又∵f (a)>f (c)， ∴1－2a>2c－1，
原式＝
3 3
＝8. 5
10a 2b 2
3．若
1
x2
1
x2
＝3，则
3
x2 x2
3
x 2 3 x2 2
＝________.
答案 1 3
1
1
解析 由 x 2 x 2 ＝3，两边平方，得 x＋x－1＝7，
再平方得 x2＋x－2＝47.
∴x2＋x－2－2＝45.
3
x2
x
3 2
=(x
1 2
)3
+(x
1 2
则，比较大小还可以借助中间量；(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数
的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．
跟踪训练 2 (1)(2020·蚌埠质检)已知 0<a<b<1，则在 aa，ab，ba，bb 中，最大的是( )
A．aa B．ab C．ba D．bb
)3
=(x
1 2
1
x 2 ) (x－1＋x－1)＝3×(7－1)＝18.
3
3
∴
x2 x2
x2 x 2
3 2
＝1. 3
思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，
还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加；
②运算的先后顺序．
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数． (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
解析 设 u＝－x2＋2x＋1，
1 ∵y＝ 2 u 在 R 上为减函数，
∴函数
f
(x)＝
1 2
x2
+2x 1
的减区间即为函数
u＝－x2＋2x＋1
的增区间．
又 u＝－x2＋2x＋1 的增区间为(－∞，1]，
∴f (x)的减区间为(－∞，1]．
(2)已知函数 f (x)＝2|2x－m|(m 为常数)，若 f (x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则 m 的取值范围是
3 4
，则
a，b，c
的大小关系是________．
答案 c<b<a
3 解析 ∵y＝ 5 x 是 R 上的减函数，
∴
3 5
1 3
>
3 5
1 4
>
3 5
，即
a>b>1，
又
c＝
3 2
3 4
<
3 2
＝1，∴c<b<a.
题组三 易错自纠
3
5．计算：
1＋
23＋4 1－
24＝________.
答案 2 2
6．已知函数 f (x)＝ax(a>0，a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a，则 a 的值为________． 2
答案 1或3 22
解析 当 0<a<1 时，a－a2＝a， 2
∴a＝1或 a＝0(舍去)． 2
当 a>1 时，a2－a＝a，∴a＝3或 a＝0(舍去)．
2
2
综上所述，a＝1或3. 22
2．指数函数的图象与性质
y＝ax
a>1
0<a<1
图象
定义域 值域
性质
(1)R
(2)(0，＋∞)
(3)过定点(0,1)
(4)当 x>0 时，y>1；
(5)当 x>0 时，0<y<1；
当 x<0 时，0<y<1
当 x<0 时，y>1
(6)在(－∞，＋∞)上是增函数
(7)在(－∞，＋∞)上是减函数
概念方法微思考 1.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx 的图象，则 a，b，c，d 与 1 之 间的大小关系为 c>d>1>a>b>0.
函数 f (x)＝4x－2x＋1 的值域是________． 答案 [－1，＋∞) 解析 设 t＝2x(t>0)，则 y＝t2－2t＝(t－1)2－1(t>0)． 当 t＝1 时，ymin＝－1，无最大值． ∴函数 f (x)＝4x－2x＋1 的值域为[－1，＋∞)．
若函数
f
(x)＝
1 3
ax2
直线 y＝b 有两个公共点，则 b 的取值范围是(0,1)．
指数函数的性质及应用
命题点 1 比较指数式的大小
2
1
例2
(1)(2020·黄冈模拟)已知
a＝
1 2
3
，b＝
-
2
Biblioteka Baidu4 3
，c＝
1 2
3
，则下列关系中正确的是(
)
A．c<a<b
B．b<a<c
C．a<c<b
D．a<b<c
答案 B
解析
因为
b＝
－ 1 ，－1
当 a≤x<0 时，f (x)∈ 2a
，
所以 －21a，－1 [－8,1]，
即－8≤－21a<－1，即－3≤a<0.
所以实数 a 的取值范围是[－3,0)．
1．若实数 a>0，则下列等式成立的是( )
A．(－2)－2＝4
B．2a－3＝ 1 2a3
C．(－2)0＝－1
D．
(a
1 4
)4
指数函数的图象及应用 例 1 (1)定义运算 ab＝ a，a≤b， 则函数 f (x)＝12x 的图象是( )
b，a>b，
答案 A
解析 因为当 x<0 时，1>2x；
当 x≥0 时，1≤2x.
则 f (x)＝12x＝ 2x，x<0， 故选 A. 1，x≥0，
(2)已知函数 f (x)＝|2x－1|，a<b<c 且 f (a)>f (c)>f (b)，则下列结论中，一定成立的是( )