【2014-2015学年高中数学(人教A版,选修2-3)备选练习：2.3.2离散型随机变量的方差
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-3)配套课件第二章 2.3.1 离散型随机变量的均值
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自 测 自 评
1．分布列为 ξ P 的期望值为( C ) A．0 B．－1 C．－ 2．设 ξ 的分布列为： 1 1 P 6 又设 η＝2ξ＋5，则 E(η)＝( 7 17 17 32 A. B. C. D. 6 6 3 3 ξ 2 1 6 3 1 3 4 1 3 －1 1 2 0 1 3 1 1 6 1 3 D. 1 2
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每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机 确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求： (1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；
(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与数
学期望．
解析：只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事 件数． (1)设 A 表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则－ A 表示 “甲、乙的演出序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得 C2 1 4 3 － P(A)＝1－P( A )＝1－ 2＝1－ ＝ . C6 5 5 (2)ξ 的所有可能值为 0,1,2,3,4，且 5 1 4 4 3 1 2 P(ξ＝0)＝ 2＝ ， P(ξ＝1)＝ 2＝ ， P(ξ＝2)＝ 2＝ ， P(ξ＝3)＝ 2 C6 3 C6 15 C6 5 C6 2 1 1 ＝ ，P(ξ＝4)＝ 2＝ . 15 C6 15
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(1)求 m 的值； (2)求 E(X)； (3)若 Y＝2X－3，求 E(Y)．
解析：(1)由随机变量分布列的性质，得 1 1 1 1 1 ＋ ＋ ＋m＋ ＝1，解得 m＝ . 4 3 5 20 6
2014-2015学年人教A版选修2-1高中数学《2.3.2双曲线方程及性质的应用(2)》课件
2 y2 x 1 ， 由 消去y并整理得x2+4x-6=0, 2 y x 2
因为Δ>0,所以直线与双曲线有两个交点，
设D(x1,y1),E(x2,y2),则x1+x2=-4,x1·x2=-6，
故|DE|=
x1 x 2 y1 y 2
2 2
2
2 x (2)①双曲线C1： y 2 1，左顶点 A( 2 ，， 0) 渐近线方程： 1 2 2 y 2x.
过点A与渐近线 y 2x 平行的直线方程为
2 ), 即 y 2x 1. 2 2 x ， y 2x ， 4 解方程组 得 y 1， y 2x 1 2 所求三角形的面积为 S 1 OA y 2 . 2 8 y 2(x
3 3 3
共点，经验证②④表示的直线与双曲线有交点 . 答案：②④
2 3 c2 4 (2)①由 e 可得 2 ，所以a2=3b2,故双曲线方程可化为 3 a 3 2 2 x y 2=1. 将点 代入双曲线 C 的方程，可解得 b 1 ， P( 6 ， 1) 3b 2 b 2 2 x 所以双曲线C的方程为 y 2 1. 3
6 3m2 6 由根与系数的关系得 x1 x 2 m, x1x 2 5 10
①
又|AB|= x1 x 2 2 y1 y 2 2 =
1 4 x1 x 2
2
4.
所以5［(x1+x2)2-4x1x2］=16 将①式代入②，解得 m 210 .
y1 y 2 标为 ( x1 x 2 ， ). 2 2
2.|AB|=
x1 x 2
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 2.3 数学归纳法课件 新人教A版选修2-2
即n=k+1时等式也成立. 综合(1)(2)知，对任意n≥2，n∈N*等式恒成立.
【补偿训练】用数学归纳法证明：
1 1 1 1 n (n N*). 2 4 4 6 68 2n(2n 2) 4(n 1) 1 1 【证明】(1)当n=1时，等式左边= ， 2 1 (2 1 2) 8 1 1 等式右边= . 4 (1 1) 8
n∈N*)，这个n0，就是我们要证明的命题对象对应的最小正整
数，这个正整数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基
要稳”是第一个关键点.
(2)递推是关键. 数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k+1”的过程中， 要正确分析式子项数的变化.关键是弄清等式两边的构成规律，
弄清由n=k到n=k+1时，等式的两边会增加多少项.增加怎样的
【知识拓展】数学归纳法证题的口诀 数归证题真是妙， 递推基础不可少， 归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉.
【微思考】 (1)用数学归纳法证明不等式时是否通常与直接证明的方法同 时使用? 提示：是.尤其是证明n=k+1这一步时，会经常使用分析、综合、 放缩等方法. (2)与正整数n无关的数学命题能否应用数学归纳法? 提示：不能.数学归纳法是证明与正整数n有关的数学命题的一 种方法.
(2k 1)(2k 2) =2(2k+1). k 1
f (k)
答案：2(2k+1)
(2)证明如下：当n=1时，左边= 1 1 1 ，右边= 1 ，所以等式
2 2 2
成立. 假设n=k(k≥1，k∈N*)时命题成立，即 1 1 1 1
1 1 1 成立，那么n=k+1时， k 1 k 2 2k 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 2k 1 2k 2(k 1) 1 2(k 1) 1 1 1 1 1 k 1 k 2 2k 2k 1 2(k 1) 1 1 1 1 1 1 [ ] k 2 k 3 2k 2k 1 k 1 2(k 1) 1 1 1 1 ， (k 1) 1 (k 1) 2 (k 1) k 2(k 1) 2 3 4 1 1 2k 1 2k
【讲练测】2014年高中数学人教a版选修2-3教学课件：3、3-1-1
与冶炼时间y(从炉料熔化完毕到出钢的时间)的一列数据，
如下表. x (0.01 104 180 190 177 147 134 150 191 204 121 %) y(min) 100 200 210 185 155 135 170 205 235 125
第三章 统计案例
(选修2-3)
(1)作出散点图，你能从散点图中发现含碳量与冶炼时
间的关系吗？ (2)求回归直线方程； (3)预测当钢水含碳量为160时，应冶炼多长时间？
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[分析]
求回归方程前先画散点图，由散点图判断 y
^
与 x 是否线性相关，若线性相关，根据公式求回归系数b， ^，得回归直线方程，并根据回归直线方程进行预测． a
第三章 统计案例
(选修2-3)
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第三章 统计案例
(选修2-3)
3．1
回归分析的基本思想及其初 步应用
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第三章 统计案例
(选修2-3)
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第三章 统计案例
(选修2-3)
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第三章 统计案例
(选修2-3)
1．通过典型案例的探究，了解回归分析的基本思想、
第三章 统计案例
(选修2-3)
三、解答题
6．为研究弹簧自身重量x(单位：克)对弹簧长度y(单位： 厘米 ) 的影响，对不同重量的 6 根弹簧进行测量，数据如下 表： x y 5 7,25 10 15 20 25 30 8.12 8.95 9.90 10.9 11.8
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(1)画出散点图； (2)如果散点图中的各点大致分布在一条直线的附近， 求y与x之间的回归直线方程； (3)对x，y两个变量进行相关性检验．
人教A版高中数学选修2-3全册同步练习及单元检测含答案
⼈教A版⾼中数学选修2-3全册同步练习及单元检测含答案⼈教版⾼中数学选修2～3 全册章节同步检测试题⽬录第1章《计数原理》同步练习 1.1测试1第1章《计数原理》同步练习 1.1测试2第1章《计数原理》同步练习 1.1测试3第1章《计数原理》同步练习 1.2排列与组合第1章《计数原理》同步练习 1.3⼆项式定理第1章《计数原理》测试（1）第1章《计数原理》测试（2）第2章同步练习 2.1离散型随机变量及其分布列第2章同步练习 2.2⼆项分布及其应⽤第2章测试（1）第2章测试（2）第2章测试（3）第3章练习 3.1回归分析的基本思想及其初步应⽤第3章练习 3.2独⽴性检验的基本思想及其初步应⽤第3章《统计案例》测试（1）第3章《统计案例》测试（2）第3章《统计案例》测试（3）1. 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理测试题⼀、选择题1．⼀件⼯作可以⽤2种⽅法完成，有3⼈会⽤第1种⽅法完成，另外5⼈会⽤第2种⽅法完成，从中选出1⼈来完成这件⼯作，不同选法的种数是（）Ａ．8 Ｂ．15Ｃ．16 Ｄ．30答案：Ａ2．从甲地去⼄地有3班⽕车，从⼄地去丙地有2班轮船，则从甲地去丙地可选择的旅⾏⽅式有（）Ａ．5种Ｂ．6种Ｃ．7种Ｄ．8种答案：Ｂ3．如图所⽰为⼀电路图，从A 到B 共有（）条不同的线路可通电（）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4答案：Ｄ4．由数字0，1，2，3，4可组成⽆重复数字的两位数的个数是（）Ａ．25 Ｂ．20 Ｃ．16 Ｄ．12答案：Ｃ5．李芳有4件不同颜⾊的衬⾐，3件不同花样的裙⼦，另有两套不同样式的连⾐裙．“五⼀”节需选择⼀套服装参加歌舞演出，则李芳有（）种不同的选择⽅式（）Ａ．24 Ｂ．14 Ｃ．10 Ｄ．9答案：Ｂ 6．设A ，B 是两个⾮空集合，定义{}()A B a b a A b B *=∈∈，，|，若{}{}0121234P Q ==，，，，，，，则P *Q 中元素的个数是（）Ａ．4 Ｂ．7 Ｃ．12 Ｄ．16答案：Ｃ⼆、填空题7．商店⾥有15种上⾐，18种裤⼦，某⼈要买⼀件上⾐或⼀条裤⼦，共有种不同的选法；要买上⾐，裤⼦各⼀件，共有种不同的选法．答案：33，2708．⼗字路⼝来往的车辆，如果不允许回头，共有种⾏车路线．答案：129．已知{}{}0341278a b ∈∈，，，，，，，则⽅程22()()25x a y b -+-=表⽰不同的圆的个数是．答案：1210．多项式123124534()()()()a a a b b a a b b ++++++··展开后共有项．答案：1011．如图，从A →C ，有种不同⾛法．答案：612．将三封信投⼊4个邮箱，不同的投法有种．答案：34三、解答题 13．⼀个⼝袋内装有5个⼩球，另⼀个⼝袋内装有4个⼩球，所有这些⼩球的颜⾊互不相同．（1）从两个⼝袋内任取⼀个⼩球，有多少种不同的取法？（2）从两个⼝袋内各取⼀个⼩球，有多少种不同的取法？解：（1）549N =+=种；（2）5420N =?=种．14．某校学⽣会由⾼⼀年级5⼈，⾼⼆年级6⼈，⾼三年级4⼈组成．（1）选其中1⼈为学⽣会主席，有多少种不同的选法？（2）若每年级选1⼈为校学⽣会常委，有多少种不同的选法？（3）若要选出不同年级的两⼈参加市⾥组织的活动，有多少种不同的选法？解：（1）56415N =++=种；（2）564120N =??=种；（3）56644574N =?+?+?=种15．已知集合{}321012()M P a b =---，，，，，，，是平⾯上的点，a b M ∈，．（1）()P a b ，可表⽰平⾯上多少个不同的点？（2）()P a b ，可表⽰多少个坐标轴上的点？解：（1）完成这件事分为两个步骤：a 的取法有6种，b 的取法也有6种，∴P 点个数为N =6×6=36(个)；（2）根据分类加法计数原理，分为三类：①x 轴上（不含原点）有5个点；②y 轴上（不含原点）有5个点；③既在x 轴，⼜在y 轴上的点，即原点也适合，∴共有N =5+5+1=11（个）．1. 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理测试题⼀、选择题 1．从集合{ 0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a ，b 组成复数a bi +，其中虚数有（） A ．30个 B ．42个 C ．36个 D ．35个答案：Ｃ2．把10个苹果分成三堆，要求每堆⾄少1个，⾄多5个，则不同的分法共有（） A ．4种 B ．5种 C ．6种 D ．7种答案：Ａ3．如图，⽤4种不同的颜⾊涂⼊图中的矩形A ，B ，C ，D 中，要求相邻的矩形涂⾊不同，则不同的涂法有（） A ．72种 B ．48种 C ．24种 D ．12种答案：Ａ4．教学⼤楼共有五层，每层均有两个楼梯，由⼀层到五层的⾛法有（） A ．10种 B ．52种Ｃ．25种Ｄ．42种答案：Ｄ5．已知集合{}{}023A B x x ab a b A ===∈，，，，，|，则B 的⼦集的个数是（）Ａ．4 Ｂ．8 Ｃ．16 Ｄ．15答案：Ｃ6．三边长均为正整数，且最⼤边长为11的三⾓形的个数为（）Ａ．25 Ｂ．26 Ｃ．36 Ｄ．37答案：Ｃ⼆、填空题7．平⾯内有7个点，其中有5个点在⼀条直线上，此外⽆三点共线，经过这7个点可连成不同直线的条数是．答案：128．圆周上有2n 个等分点（1n >），以其中三个点为顶点的直⾓三⾓形的个数为．答案：2(1)n n -9．电⼦计算机的输⼊纸带每排有8个穿孔位置，每个穿孔位置可穿孔或不穿孔，则每排可产⽣种不同的信息．答案：25610．椭圆221x y m n+=的焦点在y 轴上，且{}{}123451234567m n ∈∈，，，，，，，，，，，，则这样的椭圆的个数为．答案：20 11．已知集合{}123A ，，ü，且A 中⾄少有⼀个奇数，则满⾜条件的集合A 分别是．答案：{}{}{}{}{}13122313，，，，，，，12．整数630的正约数（包括1和630）共有个．答案：24三、解答题 13．⽤0，1，2，3，4，5六个数字组成⽆重复数字的四位数，⽐3410⼤的四位数有多少个？解：本题可以从⾼位到低位进⾏分类．（1）千位数字⽐3⼤．（2）千位数字为3：①百位数字⽐4⼤；②百位数字为4： 1°⼗位数字⽐1⼤；2°⼗位数字为1→个位数字⽐0⼤．所以⽐3410⼤的四位数共有2×5×4×3+4×3+2×3+2=140（个）．14．有红、黄、蓝三种颜⾊旗⼦各(3)n n >⾯，任取其中三⾯，升上旗杆组成纵列信号，可以有多少种不同的信号？若所升旗⼦中不允许有三⾯相同颜⾊的旗⼦，可以有多少种不同的信号？若所升旗⼦颜⾊各不相同，有多少种不同的信号？解： 1N =3×3×3=27种； 227324N =-=种； 33216N =??= 种．15．某出版社的7名⼯⼈中，有3⼈只会排版，2⼈只会印刷，还有2⼈既会排版⼜会印刷，现从7⼈中安排2⼈排版，2⼈印刷，有⼏种不同的安排⽅法．解：⾸先分类的标准要正确，可以选择“只会排版”、“只会印刷”、“既会排版⼜会印刷”中的⼀个作为分类的标准．下⾯选择“既会排版⼜会印刷”作为分类的标准，按照被选出的⼈数，可将问题分为三类：第⼀类：2⼈全不被选出，即从只会排版的3⼈中选2⼈，有3种选法；只会印刷的2⼈全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有3×1=3种选法．第⼆类：2⼈中被选出⼀⼈，有2种选法．若此⼈去排版，则再从会排版的3⼈中选1⼈，有3种选法，只会印刷的2⼈全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有2×3×1=6种选法；若此⼈去印刷，则再从会印刷的2⼈中选1⼈，有2种选法，从会排版的3⼈中选2⼈，有3种选法，由分步计数原理知共有2×3×2=12种选法；再由分类计数原理知共有6+12=18种选法．第三类：2⼈全被选出，同理共有16种选法．所以共有3+18+16=37种选法．1． 1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合卷⼀．选择题：1．⼀个三层书架，分别放置语⽂书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出⼀本，则不同的取法共有（）（A ） 37种（B ） 1848种（C ） 3种（D ） 6种2．⼀个三层书架，分别放置语⽂书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出语⽂、数学、英语各⼀本，则不同的取法共有（）（A ） 37种（B ） 1848种（C ） 3种（D ） 6种3．某商业⼤厦有东南西3个⼤门，楼内东西两侧各有2个楼梯，从楼外到⼆楼的不同⾛法种数是（）（A ） 5 （B ）7 （C ）10 （D ）124．⽤1、2、3、4四个数字可以排成不含重复数字的四位数有（）（A ）265个（B ）232个（C ）128个（D ）24个5．⽤1、2、3、4四个数字可排成必须含有重复数字的四位数有（）（A ）265个（B ）232个（C ）128个（D ）24个6．3科⽼师都布置了作业，在同⼀时刻4名学⽣都做作业的可能情况有（）（A ）43种（B ）34种（C ）4×3×2种（D ） 1×2×3种7．把4张同样的参观券分给5个代表，每⼈最多分⼀张，参观券全部分完，则不同的分法共有（）（A ）120种（B ）1024种（C ）625种（D ）5种8．已知集合M={l ，－2，3}，N={－4，5，6，7}，从两个集合中各取⼀个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直⾓坐标系中可表⽰第⼀、⼆象限内不同的点的个数是（）（A ）18 （B ）17 （C ）16 （D ）109．三边长均为整数，且最⼤边为11的三⾓形的个数为（）（A ）25 （B ）36 （C ）26 （D ）3710．如图，某城市中，M 、N 两地有整齐的道路⽹，若规定只能向东或向北两个⽅向沿途中路线前进，则从M 到N 不同的⾛法共有（）（A ）25 （B ）15 （C）13 （D ）10 ⼆．填空题：11．某书店有不同年级的语⽂、数学、英语练习册各10本，买其中⼀种有种⽅法；买其中两种有种⽅法．12．⼤⼩不等的两个正⽅形玩具，分别在各⾯上标有数字1，2，3，4，5，6，则向上的⾯标着的两个数字之积不少于20的情形有种．13．从1，2，3，4，7，9中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数和真数，可得到个不同的对数值．14．在连结正⼋边形的三个顶点组成的三⾓形中，与正⼋边形有公共边的有个．15．某班宣传⼩组要出⼀期向英雄学习的专刊，现有红、黄、⽩、绿、蓝五种颜⾊的粉笔供选⽤，要求在⿊板中A 、B 、C 、D 每⼀部分只写⼀种颜⾊，如图所⽰，相邻两块颜⾊不同，则不同颜⾊的书写⽅法共有种．三．解答题：16．现由某校⾼⼀年级四个班学⽣34⼈，其中⼀、⼆、三、四班分别为7⼈、8⼈、9⼈、10⼈，他们⾃愿组成数学课外⼩组．（1）选其中⼀⼈为负责⼈，有多少种不同的选法？（2）每班选⼀名组长，有多少种不同的选法？（3）推选⼆⼈做中⼼发⾔，这⼆⼈需来⾃不同的班级，有多少种不同的选法？17．4名同学分别报名参加⾜球队，蓝球队、乒乓球队，每⼈限报其中⼀个运动队，不同的报名⽅法有⼏种？［探究与提⾼］1．甲、⼄两个正整数的最⼤公约数为60，求甲、⼄两数的公约数共有多个？2．从{－3，－2，－1，0，l，2，3}中，任取3个不同的数作为抛物线⽅程y=ax2＋bx＋c（a≠0）的系数，如果抛物线过原点，且顶点在第⼀象限，这样的抛物线共有多少条？3．电视台在“欢乐今宵”节⽬中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的群众来信，甲信箱中有30封，⼄信箱中有20封．现由主持⼈抽奖确定幸运观众，若先确定⼀名幸运之星，再从两信箱中各确定⼀名幸运伙伴，有多少种不同的结果？综合卷1．A 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．D 8．B 9．B 10．B11．30；300 12．513．17 14．40 15．1801． 2排列与组合1、排列综合卷1．90×9l ×92×……×100=（）（A ）10100A （B ）11100A （C ）12100A （D ）11101A 2．下列各式中与排列数mn A 相等的是（）（A ）!(1)!-+n n m （B ）n(n －1)(n －2)……(n －m) （C ）11m n nA n m --+ （D ）111m n n A A --3．若 n ∈N 且 n<20，则(27－n )(28－n)……(34－n)等于（）（A ）827n A - （B ）2734nn A -- （C ）734n A - （D ）834n A -4．若S=123100123100A A A A ++++，则S 的个位数字是（）（A ）0 （B ）3 （C ）5 （D ）85．⽤1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）（A ）24个（B ）30个（C ）40个（D ）60个6．从0，l ，3，5，7，9中任取两个数做除法，可得到不同的商共有（）（A ）20个（B ）19个（C ）25个（D ）30个7．甲、⼄、丙、丁四种不同的种⼦，在三块不同⼟地上试种，其中种⼦甲必须试种，那么不同的试种⽅法共有（）（A ）12种（B ）18种（C ）24种（D ）96种8．某天上午要排语⽂、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第⼀节，那么这天上午课程表的不同排法共有（）（A ）6种（B ）9种（C ）18种（D ）24种9．有四位司机、四个售票员组成四个⼩组，每组有⼀位司机和⼀位售票员，则不同的分组⽅案共有（）（A ）88A 种（B ）48A 种（C ）44A ·44A 种（D ）44A 种10．有4位学⽣和3位⽼师站在⼀排拍照，任何两位⽼师不站在⼀起的不同排法共有（）（A ）(4!)2种（B ）4!·3!种（C ）34A ·4!种（D ）3 5A ·4!种11．把5件不同的商品在货架上排成⼀排，其中a ，b 两种必须排在⼀起，⽽c ，d 两种不能排在⼀起，则不同排法共有（）（A ）12种（B ）20种（C ）24种（D ）48种⼆．填空题:：12．6个⼈站⼀排，甲不在排头，共有种不同排法．13．6个⼈站⼀排，甲不在排头，⼄不在排尾，共有种不同排法．14．五男⼆⼥排成⼀排，若男⽣甲必须排在排头或排尾，⼆⼥必须排在⼀起，不同的排法共有种．15．将红、黄、蓝、⽩、⿊5种颜⾊的⼩球，分别放⼊红、黄、蓝、⽩、⿊5种颜⾊的⼝袋中，但红⼝袋不能装⼊红球，则有种不同的放法．16．（1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每⼈各⼀本，共有种不同的送法；（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每⼈各⼀本，共有种不同的送法．三、解答题：17．⼀场晚会有5个唱歌节⽬和3个舞蹈节⽬，要求排出⼀个节⽬单（1）前4个节⽬中要有舞蹈，有多少种排法？（2）3个舞蹈节⽬要排在⼀起，有多少种排法？（3）3个舞蹈节⽬彼此要隔开，有多少种排法？18．三个⼥⽣和五个男⽣排成⼀排．（1）如果⼥⽣必须全排在⼀起，有多少种不同的排法？（2）如果⼥⽣必须全分开，有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排⼥⽣，有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排⼥⽣，有多少种不同的排法？（5）如果三个⼥⽣站在前排，五个男⽣站在后排，有多少种不同的排法？综合卷1．B 2．D 3．D 4．C 5．A 6．B 7．B 8．C 9．D 10．D 11．C12．600 13．504 14．480 15．9616．(1) 60；(2) 12517．(1) 37440；(2) 4320；(3) 1440018．(1) 4320；(2) 14400；(3) 14400；(4) 36000；(5) 7202、组合综合卷⼀、选择题：1．下列等式不正确的是（）（A ）!!()!mn n C m n m =- （B ）11mm n n m C C n m++=- （C ）1111m m n n m C C n +++=+ （D ）11m m n n C C ++= 2．下列等式不正确的是（）（A ）m n m n n C C -= （B ）11m m mm m m C C C -++=（C ）123455555552C C C C C ++++= （D ）11 111m m m m n n n n C C C C --+--=++3．⽅程2551616x x x C C --=的解共有（）（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个4．若372345n n n C A ---=，则n 的值是（）（A ）11 （B ）12 （C ）13 （D ）145．已知7781n n n C C C +-=，那么n 的值是（）（A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）15 6．从5名男⽣中挑选3⼈，4名⼥⽣中挑选2⼈，组成⼀个⼩组，不同的挑选⽅法共有（）（A ）3254C C 种（B ） 3254C C 55A 种（C ） 3254A A 种（D ） 3254A A 55A 种7．从4个男⽣，3个⼥⽣中挑选4⼈参加智⼒竞赛，要求⾄少有⼀个⼥⽣参加的选法共有（）（A ）12种（B ）34种（C ）35种（D ）340种8．平⾯上有7个点，除某三点在⼀直线上外，再⽆其它三点共线，若过其中两点作⼀直线，则可作成不同的直线（）（A ）18条（B ）19条（C ）20条（D ）21条9．在9件产品中，有⼀级品4件，⼆级品3件，三级品2件，现抽取4个检查，⾄少有两件⼀级品的抽法共有（）（A ）60种（B ）81种（C ）100种（D ）126种10．某电⼦元件电路有⼀个由三节电阻串联组成的回路，共有6个焊点，若其中某⼀焊点脱落，电路就不通．现今回路不通，焊点脱落情况的可能有（）（A ）5种（B ）6种（C ）63种（D ）64种⼆．填空题：11．若11m m n n C xC --=，则x= ．12．三名教师教六个班的课，每⼈教两个班，分配⽅案共有种。
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-3)配套课件第二章 2.2.3 独立重复试验与二项分布
)
栏 目 链 接
C．0.84×0.2 96 D．0.24×0.296
解析：由题意可知中靶的概率为 0.8，故打 100 发子
4 96 弹有 4 发中靶的概率为 C4 1000.8 ×0.2 .故选 A.
答案：A
自 测 自 评
3．在 4 次独立试验中，事件 A 出现的概率相同，若事件 65 A 至少发生 1 次的概率是 ，则事件 A 在一次试验中发生的 81 概率是( A ) 1 2 5 2 A. B. C. D. 3 5 6 3
33 32 216 3 P＝C5× ×1－ ＝ . 5
栏 目 链 接
5
625
(3)该射手射击了 5 次，其中恰有 3 次连续击中目标，而 其他两次没有击中目标，应用排列组合知识，把 3 次连续击
1 中目标看成一个整体可得共有 C3 种情况．
故所求概率为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
32 1 33 · 1－ ＝ P＝C3·
5
5
324 . 3 125
栏 目 链 接
点评：解决此类问题的关键是正确设出独立重复试验中 的事件 A，接着分析随机变量是否满足独立重复试验概型的
k n－k 条件，若是，利用公式 P(ξ＝k)＝Ck p (1 － p ) 计算便可． n
变 式 迁 移 1．某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设 每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中 任一个片区的房源是等可能的．该市的4位申请人中恰
各次之间 重复地 ________地进行的一种试验，也叫贝努里试验． 相互独立
特点：每一次试验的结果只有
______________________________，且任何一次试验中发
2014-2015学年 高中数学 人教A版选修2-3 排列组合二项式课后作业
第一章 计数原理§1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理(一)一、基础过关1．某班有男生26人，女生24人，从中选一位同学为数学科代表，则不同选法的种数有( ) A ．50 B ．26 C ．24 D ．6162．已知x ∈{2,3,7}，y ∈{－3，－4,8}，则x ·y 可表示不同的值的个数为( )A ．8B ．12C ．10D ．9 3．某班小张等4位同学报名参加A 、B 、C 三个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，且小张不能报A 小组，则不同的报名方法有( ) A ．27种B ．36种C ．54种D ．81种 4．如图，一条电路从A 处到B 处接通时，可构成线路的条数为()A ．8B ．6C ．5D ．35．张华去书店，发现3本好书，决定至少买其中1本，则购买方式共有________种．6．4名学生参加跳高，跳远，游泳比赛，4人都来争夺这三项冠军，则冠军分配的种数有________． 二、能力提升7．植树节那天，四位同学植树，现有3棵不同的树，若一棵树限1人完成，则不同的植树方法种数有( ) A ．1×2×3 B ．1×3 C ．34 D ．43 8．现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( )A ．56B ．65C ．5×6×5×4×3×22D ．6×5×4×3×29．如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中与正八边形有公共边的三角形有________个．10. 如图是某校的校园设施平面图，现用不同的颜色作为各区域的底色，为了便于区分，要求相邻区域不能使用同一种颜色．若有6种不同的颜色可选，问有多少种不同的着色方案？11．已知集合M ＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P (a ，b )表示平面上的点(a ，b ∈M )， （1）P 可以表示平面上的多少个不同点？ （2）P 可以表示平面上的多少个第二象限的点？ （3）P 可以表示多少个不在直线y ＝x 上的点？12．设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，a ∈{1,2,3,4,5,6,7}，b ∈{1,2,3,4,5}，这样的椭圆共有多少个？三、探究与拓展13．某艺术小组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴与会小号的各1人，有多少种不同的选法？§1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理(二)一、基础过关1．火车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的可能方式有( )A ．510种B ．105种C ．50种D ．500种 2．已知集合M ＝{1，－2,3}，N ＝{－4,5,6,7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是 ( ) A ．18 B ．17 C ．16 D ．10 3．由数字0,1,2,3,4可组成无重复数字的两位数的个数是( )A ．25B ．20C ．16D ．124．某城市的电话号码，由六位升为七位(首位数字均不为0)，则该城市可以增加的电话部数是________．5．从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个不同元素分别作为直线方程Ax ＋By ＋C ＝0中的A ，B ，C ，所得经过坐标原点的直线有________条．6．从1,2,3,4,7,9六个数中，任意两个不同数作对数的底数和真数，则所有不同的对数的值的个数为________． 二、能力提升7．如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路，其中有6个焊接点A ，B ，C ，D ，E ，F ，如果某个焊接点脱离，整个电路就会不通，现发现电路不通了，那焊接点脱落的可能性共有( ) A ．63种 B ．64种 C ．6种 D ．36种 8．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，则这样的四位数有()A ．36个B ．18个C ．9个D ．6个9．A ＝{－1,0,1}，B ＝{2,3,4,5,7}，若f 表示从集合A 到集合B 的映射，那么满足x ＋f (x )＋xf (x )为奇数的映射有________个．10．用数字1,2,3可以写出多少个小于1 000的正整数？11．某体育彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元．某人想先选定吉利号18，然后从01至17中选3个连续的号，从19至29中选2个连续的号，从30至36中选1个号组成一注．若这个人要把符合这种要求的注全买下，至少要花多少元钱？12．电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的选择？三、探究与拓展13．已知集合A ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合B ＝{b 1，b 2}，其中a i ，b j (i ＝1,2,3,4，j ＝1,2)均为实数．（1）从集合A 到集合B 能构成多少个不同的映射？（2）能构成多少个以集合A 为定义域，集合B 为值域的不同函数？习题课 分类加法计数原理与分步乘法计数原理一、基础过关1．如图，小圆点表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A 向结点B 传递信息，信息可沿不同的路径同时传递，则单位时间传递的最大信息量是()A ．26B ．24C ．20D ．19 2．已知x ∈{1,2,3,4}，y ∈{5,6,7,8}，则xy 可表示不同值的个数为( )A ．2B ．4C ．8D ．153．从0,1,2，…，9这10个数字中，任取两个不同数字作为平面直角坐标系中点(a ，b )的坐标，能够确定不在x 轴上的点的个数是( ) A ．100B ．90C ．81D ．724．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 ( ) A ．48B ．18C ．24D ．365．现有4种不同颜色对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有( )A ．24种B ．30种C ．36种D ．48种6．将1,2,3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，如图是一种填法，则不同的填写方法共有()A ．6种B ．12种C ．24种D ．48种二、能力提升7．五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案有________种．8．有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取两本不同类的书，共有______种不同的取法．9．某班从6名学生中选出4人分别参加数、理、化、生四科竞赛且每科只有1人，其中甲、乙两人不能参加生物竞赛．则不同的选派方法共有________种．10．若把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有________对． 11．三边长均为整数，且最大边长为11的三角形个数是多少？12．从{－3，－2，－1,0,1,2,3}中，任取3个不同的数作为抛物线方程y ＝ax 2＋bx ＋c 的系数，如果抛物线经过原点，且顶点在第一象限，则这样的抛物线共有多少条？三、探究与拓展13．（1）从5种颜色中选出三种颜色，涂在一个四棱锥的五个顶点上，每个顶点上染一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，求不同的染色方法总数．（2）从5种颜色中选出四种颜色，涂在一个四棱锥的五个顶点上，每个顶点上染一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，求不同的染色方法总数．§1.2 排列与组合 1.2.1 排列(一)一、基础过关1．A 67－A 56A 45等于( )A ．12B ．24C ．30D ．36 2．18×17×16×…×9×8等于( )A ．A 818B ．A 918C ．A 1018D ．A 1118 3．若x ＝n ！3！，则x 等于( )A ．A 3nB ．A n －3nC ．A n 3D ．A 3n －3 4．与A 310·A 77不等的是( ) A ．A 910B ．81A 88C ．10A 99D ．A 1010 5．若A 5m ＝2A 3m ，则m 的值为( )A ．5B ．3C ．6D ．76．计算：2A 59＋3A 699！－A 610＝________； (m －1)！A n －1m －1·(m －n )！＝________. 7．若A m n ＝17×16×15×…×5×4，则n ＝________，m ＝________.8．若n ∈N *，且55<n <69，则(55－n )(56－n )…(68－n )(69－n )用排列数符号表示为________. 二、能力提升9．将5本不同的数学用书放在同一层书架上，则不同的放法有 ( ) A ．50 B ．60 C ．120 D ．90 10．由数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为( )A ．8B ．24C ．48D ．12011．有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有________种不同的招聘方案(用数字作答)．12．若2<(m ＋1)！A m －1m －1≤42，则m 的解集是________． 13．判断下列问题是否为排列问题：（1）北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)； （2）选2个小组分别去植树和种菜； （3）选2个小组去种菜； （4）选10人组成一个学习小组；（5）选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员； （6）某班40名学生在假期相互通信．三、探究与拓展14．两名老师和两名学生合影留念，写出老师不在左端且相邻的所有可能的站法，并回答共有多少种？1.2.1 排列(二)一、基础过关1．把4个不同的黑球，4个不同的红球排成一排，要求黑球、红球分别在一起，不同的排法种数是 ( ) A ．A 88B ．A 44A 44C ．A 44A 44A 22D ．以上都不对 2．6个停车位置，有3辆汽车需要停放，若要使3个空位连在一起，则停放的方法总数为( ) A ．A 33 B ．A 36 C ．A 46D ．A 443．某省有关部门从6人中选4人分别到A 、B 、C 、D 四个地区调研十二五规划的开局形势，要求每个地区只有一人，每人只去一个地区，且这6人中甲、乙两人不去A 地区，则不同的安排方案有 ( ) A ．300种 B ．240种 C ．144种D ．96种4．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为( )A ．A 88A 29 B ．A 88A 210 C ．A 88A 27D ．A 88A 265．5人站成一排，甲必须站在排头或排尾的不同站法有______种．6．从0、1、2、3这四个数中选三个不同的数作为函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 中的参数a 、b 、c ，可组成不同的二次函数共有________个． 二、能力提升7．用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20 000大的五位偶数共有 ( )A ．48个B ．36个C ．24个D ．18个 8．五名男生与两名女生排成一排照相，如果男生甲必须站在中间，两名女生必须相邻，符合条件的排法共有( )A ．48种B ．192种C ．240种D ．288种9．5名大人要带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头、尾，则共有________种排法(用数字作答)． 10．3个人坐8个位置，要求每人的左右都有空位，则有______种坐法．11．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有________种．12．7名班委中有A 、B 、C 三人，有7种不同的职务，现对7名班委进行职务具体分工．（1）若正、副班长两职只能从A 、B 、C 三人中选两人担任，有多少种分工方案？ （2）若正、副班长两职至少要选A 、B 、C 三人中的一人担任，有多少种分工方案？三、探究与拓展13．用0,1,2,3,4,5这六个数字：（1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？（2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？ （3）能组成多少个比1 325大的四位数？1.2.2 组合(一)一、基础过关1．下列计算结果为21的是( ) A ．A 24＋C 26B ．C 77 C ．A 27D ．C 272．下面几个问题中属于组合问题的是( )①由1,2,3,4构成的双元素集合；②5个队进行单循环足球比赛的分组情况；③由1,2,3构成两位数的方法；④由1,2,3组合无重复数字的两位数的方法． A ．①③ B ．②④ C ．①②D ．①②④3．已知平面内A 、B 、C 、D 这4个点中任何3点均不共线，则由其中任意3个点为顶点的所有三角形的个数为( ) A ．3B ．4C ．12D ．24 4．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有( )A ．A 310种B ．C 310种 C ．C 310A 310种D ．30种5．甲、乙、丙三位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有( )A ．36种B ．48种C ．96种D ．192种 6．组合数C r n (n >r ≥1，n 、r ∈Z )恒等于( )A ．r ＋1n ＋1C r －1n －1B ．(n ＋1)(r ＋1)C r －1n －1C ．nr C r －1n －1D ．n r C r －1n －1二、能力提升7．已知集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{1,2}．若集合M 满足B M A ，则这样的不同的集合M 共有( ) A ．12B ．13C ．14D ．158．集合A ＝{x |x ＝C n 4，n 是非负整数}，集合B ＝{1,2,3,4}，则下列结论正确的是( ) A ．A ∪B ＝{0,1,2,3,4} B ．A B C ．A ∩B ＝{1,4}D ．A B9．设x ∈N *，则C x －12x －3＋C 2x －3x ＋1的值为________．10．从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________． 11．从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m 个不同的积；任取两个不同的数相除，有n 个不同的商，则m ∶n ＝________12．已知集合A ＝{0,2,4,6,8}，从集合A 中取出两个元素组成集合B ，试写出所有的集合B .三、探究与拓展13．第20届世界杯足球赛将于2014年夏季在巴西举办，共32支球队有幸参加，它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强(每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级16强)，这16支球队按确定的程序进行淘汰赛，最后决出冠、亚军，此外还要决出第三名、第四名，问这届世界杯总共将进行多少场比赛？1.2.2 组合(二)一、基础过关1．凸十边形的对角线的条数为( )A ．10B ．35C ．45D ．90 2．在直角坐标系xOy 平面上，平行直线x ＝m (m ＝0,1,2,3,4)，与平行直线y ＝n (n ＝0,1,2,3,4)组成的图形中，矩形共有( ) A ．25个B ．100个C ．36个D ．200个3．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为( ) A ．14B ．24C ．28D ．484．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为 ( ) A ．232B ．252C ．472D ．4845．在50件产品中有4件是次品，从中任意抽出5件，至少有3件是次品的抽法共有___种．6．某运动队有5对老搭档运动员，现抽派4个运动员参加比赛，则这4人都不是老搭档的抽派方法数为________． 二、能力提升7．编号为1、2、3、4、5、6、7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有( ) A ．60种 B ．20种 C ．10种 D ．8种8．已知圆上9个点，每两点连一线段，所有线段在圆内的交点有( )A ．36个B ．72个C ．63个D ．126个 9．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排两名学生，那么互不相同的分配方案共有( ) A ．252种B ．112种C ．20种D ．56种10．空间有10个点，其中有5个点共面(除此之外再无4点共面)，以每4个点为顶点作一个四面体，一共可作________个四面体．(用数字作答)11．在某次数字测验中，记座号为n (n ＝1,2,3,4)的同学的考试成绩为f (n )．若f (n )∈{70,85,88,90,98,100}，且满足f (1)<f (2)≤f (3)<f (4)，则这4位同学考试成绩的所有可能有________种．12．在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？ （1）任意选5人；（2）甲、乙、丙三人必须参加； （3）甲、乙、丙三人不能参加； （4）甲、乙、丙三人只能有1人参加； （5）甲、乙、丙三人至少1人参加．三、探究与拓展13．将1,2,3，…，9这9个数字填在如图所示的九个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下依次增大．当3,4固定在图中位置时，所填写空格的方法有()A ．6种B ．12种C ．18种D ．24种习题课 排列与组合一、基础过关 1．若C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，则n 等于 ( ) A ．12 B ．13 C ．14 D ．15 2．C 03＋C 14＋C 25＋C 36＋…＋C 1720的值为( ) A ．C 321B ．C 320C ．C 420D ．C 421 3．5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为 ( )A ．480种B ．240种C ．120种D ．96种4．某施工小组有男工7人，女工3人，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工队，不同的选法有 ( ) A ．C 310种 B ．A 310种 C ．A 27·A 13种 D ．C 27·C 13种 5．从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为 ( )A ．300B ．216C ．180D ．1626．下面给出了4个式子：①C n ＋2m ＋2＝C n ＋2m ＋1＋C n ＋1m ＋1； ②C n ＋1m ＋1＝C n ＋1m ＋C nm ；③C n －1m －1＝C n －1m －2＋C n －2m －2；④C m n ＝C m n －1＋C m －1n －1.其中正确式子的代号为________(将正确的代号全填上)． 二、能力提升7．房间里有5个电灯，分别由5个开关控制，至少开一个灯用以照明，则不同的开灯方法种数为 ( ) A ．32B ．31C ．25D ．108．将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )A ．12种B ．18种C ．36种D ．54种 9．将0,1,2,3,4,5这六个数字，每次取三个不同的数字，把其中最大的数字放在百位上排成三位数，这样的三位数有( ) A ．40个B ．120个C ．360个D ．720个10．某公司为员工制定了一项旅游计划，从7个旅游城市中选择5个进行游览．如果M 、N 为必选城市，并且在游览过程中必须按先M 后N 的次序经过M 、N 两城市(M 、N 两城市可以不相邻)，则不同的游览线路种数是( ) A ．120B ．240C ．480D ．60011．某公司计划在北京、上海、兰州、银川四个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该公司不同的投资方案种数是________种．(用数字作答) 12．要从7个班中选10人参加数学竞赛，每班至少1人，共有多少种不同的选法？13．赛艇运动员10人，3人会划右舷，2人会划左舷，其余5人两舷都能划，现要从中选6人上艇，平均分配在两舷上划浆，有多少种不同的选法？三、探究与拓展14．4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？ （2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？ （3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？§1.3 二项式定理 1.3.1 二项式定理一、基础过关1．(x ＋2)6的展开式中x 3的系数是( )A ．20B ．40C ．80D ．160 2．⎝⎛⎭⎫2x －12x 6的展开式的常数项是( )A ．20B ．－20C ．40D ．－40 3．若(1＋2)4＝a ＋b 2 (a 、b 为有理数)，则a ＋b 等于( )A ．33B ．29C ．23D ．19 4．在(1－x )5－(1－x )6的展开式中，含x 3的项的系数是 ( ) A ．－5 B ．5C ．－10D ．105．(x －2y )10的展开式中x 6y 4项的系数是( )A ．840B ．－840C ．210D ．－210 二、能力提升6．设S ＝(x －1)3＋3(x －1)2＋3(x －1)＋1，则S 等于( )A ．(x －1)3B ．(x －2)3C ．x 3D ．(x ＋1)3 7．(1＋2x )3(1－3x )5的展开式中x 的系数是( )A ．－4B ．－2C ．2D ．48．在⎝⎛⎭⎫3x 2－12x 3n 的展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值为( )A ．4B ．5C ．6D ．79．若(1－2x )5的展开式中，第2项小于第1项，且不小于第3项，则x 的取值范围是( )A ．x <－110B ．－110<x ≤0C ．－14≤x <110D ．－14≤x ≤010．(1＋x ＋x 2)(x －1x)6的展开式中的常数项为________．11．⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋23x n 展开式第9项与第10项二项式系数相等，求x 的一次项系数．12．设a >0，若(1＋ax 12)n 的展开式中含x 2项的系数等于含x 项的系数的9倍，且展开式中第3项等于135x ，求a 的值．三、探究与拓展13．已知f (x )＝(1＋2x )m ＋(1＋4x )n (m ，n ∈N *)的展开式中含x 项的系数为36，求展开式中含x 2项的系数最小值．1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质一、基础过关1．已知(a ＋b )n 的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n 等于 ( )A ．11B ．10C ．9D ．82．已知⎝⎛⎭⎪⎫x ＋33x n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于( )A ．4B ．5C ．6D ．7 3．(x －1)11展开式中x 的偶次项系数之和是( ) A ．－2 048B ．－1 023C ．－1 024D ．1 0244．(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n 的展开式中各项系数和为( )A ．2n ＋1 B ．2n －1 C ．2n ＋1－1 D ．2n ＋1－25．若⎝⎛⎭⎫x ＋1x n 展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 ( )A ．10B ．20C ．30D ．1206．(1＋2x )n 的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，展开式中二项式系数最大的项为第____项． 二、能力提升 7．在⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋51x 3n 的展开式中，所有奇数项系数之和为1 024，则中间项系数是( ) A ．330 B ．462 C ．682 D ．7928．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第______行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3.第0行 1 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1 第5行 1 5 10 10 5 19．已知(1＋2x )100＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 100(x －1)100，求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99的值．10．已知(1＋3x )n 的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中二项式系数最大的项．11．设(1－2x )2 011＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 011·x 2 011 (x ∈R )（1）求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 011的值； （2）求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 011的值； （3）求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2 011|的值．三、探究与拓展12．已知(3x ＋x 2)2n 的展开式的系数和比(3x －1)n 的展开式的系数和大992，求⎝⎛⎭⎫2x －1x 2n 的展开式中： （1）二项式系数最大的项； （2）系数的绝对值最大的项．习题课 二项式定理一、基础过关1．已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 3n ＋C 5n 的值等于( ) A ．64 B ．32 C ．63 D ．31 2．233除以9的余数是( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．83．(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中x 3项的系数是( )A ．74B ．121C ．－74D ．－1214．若(1＋a )＋(1＋a )2＋(1＋a )3＋…＋(1＋a )n ＝b 0＋b 1a ＋b 2a 2＋b 3a 3＋…＋b n a n ，且b 0＋b 1＋b 2＋…＋b n ＝30，则自然数n 的值为( ) A ．3B ．4C ．5D ．65．若(x ＋3y )n的展开式中各项系数的和等于(7a ＋b )10的展开式中二项式系数的和，则n 的值为( ) A ．15B ．10C ．8D ．56．(x ＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数为________．二、能力提升7．(1＋2x )2(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，则a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5－a 6＋a 7等于( ) A ．32B ．－32C ．－33D ．－31 8．(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数是( )A ．－4B ．－3C ．3D ．49．已知(1＋x ＋x 2)⎝⎛⎭⎫x ＋1x 3n 的展开式中没有．．常数项，n ∈N *，且2≤n ≤8，则n ＝________. 10．求证：32n ＋2－8n －9 (n ∈N *)能被64整除．11．已知⎝⎛⎭⎪⎫x ＋23x n的展开式的前三项系数的和为129，试问这个展开式中是否有常数项？有理项？如果没有，请说明理由；如果有，求出这一项．12．在二项式⎝⎛⎭⎫12＋2x n 的展开式中， （1）若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；（2）若展开式前三项的二项式系数的和等于79，求展开式中系数最大的项．三、探究与拓展13．若等差数列{a n }的首项为a 1＝C 11－2m5m－A 2m －211－3m (m ∈N *)，公差是⎝ ⎛⎭⎪⎫52x －253x 2n 展开式中的常数项，其中n 为7777－15除以19的余数，求数列{a n }的通项公式．章末检测一、选择题1．若A 3m ＝6C 4m ，则m 等于( )A ．9B ．8C ．7D．62．男、女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有 ( ) A ．2人或3人 B ．3人或4人 C ．3人 D ．4人3．若100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法的种数是( )A ．C 16C 294 B ．C 16C 299 C ．C 3100－C 394D ．C 3100－C 2944．已知集合M ＝{1，－2,3}，N ＝{－4,5,6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中，第一、第二象限不同点的个数是( ) A ．18B ．16C ．14D ．10 5．三名教师教六个班的数学，则每人教两个班，分配方案共有( )A ．18种B ．24种C ．45种D ．90种 6．在(1－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a n x n 中，若2a 2＋a n －5＝0，则自然数n 的值是( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．107．某人有3个不同的电子邮箱，他要发5个电子邮件，发送的方法的种数为 ( ) A ．8 B ．15 C ．243 D ．125 8．设(2－x )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|的值是( )A ．665B ．729C ．728D ．639．将A ，B ，C ，D 四个小球放入编号为1,2,3的三个盒子中，若每个盒子中至少放一个球且A ，B 不能放入同一个盒子中，则不同的放法有( ) A ．15种B ．18种C ．30种D ．36种10．(x 2＋2)⎝⎛⎭⎫1x 2－15的展开式的常数项是 ( )A ．－3B ．－2C ．2D ．311．12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排(这样就成为前排6人，后排6人)，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是( )A ．C 28A 23B ．C 28A 66C ．C 28A 26D ．C 28A 2512．设n ∈N *，则7C 1n ＋72C 2n ＋…＋7n C nn 除以9的余数为( )A ．0B ．2C ．7D ．0或7二、填空题13.⎝⎛⎭⎫2x －1x 6的二项展开式中的常数项为______．(用数字作答)14．8次投篮中，投中3次，其中恰有2次连续命中的情形有________种．15．5个人排成一排，要求甲、乙两人之间至少有一人，则不同的排法有________种．16．某药品研究所研制了5种消炎药a 1，a 2，a 3，a 4，a 5,4种退烧药b 1，b 2，b 3，b 4，现从中取出两种消炎药和一种退烧药同时使用进行疗效实验，但又知a 1，a 2两种药必须同时使用，且a 3，b 4两种药不能同时使用，则不同的实验方案有________种． 三、解答题17．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫41x ＋3x 2n 展开式中的倒数第三项的系数为45，求：（1）含x 3的项； （2）系数最大的项．18．利用二项式定理证明：49n ＋16n －1(n ∈N *)能被16整除．19．已知(1－2x ＋3x 2)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 13x 13＋a 14x 14.（1）求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 14； （2）求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13.20．一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，（1）从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？（2）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？21．已知(1－2x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n (n ∈N *)，且a 2＝60.（1）求n 的值；（2）求－a 12＋a 222－a 323＋…＋(－1)n a n2n 的值．22．用0,1,2,3,4,5这六个数字，完成下面三个小题．（1）若数字允许重复，可以组成多少个不同的五位偶数；（2）若数字不允许重复，可以组成多少个能被5整除的且百位数字不是3的不同的五位数；（3）若直线方程ax ＋by ＝0中的a 、b 可以从已知的六个数字中任取2个不同的数字，则直线方程表示的不同直线共有多少条？。
2014-2015学年人教A版选修2-1高中数学《3.2.4空间向量与空间距离》课时提升作业(含答案解析)
课时提升作业(二十八)空间向量与空间距离(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014·济宁高二检测)如图所示,在空间直角坐标系中,有一棱长为a的正方体ABCO-A′B′C′D′,A′C的中点E与AB的中点F的距离为( )A. aB. aC.aD.a【解析】选B.由图易知A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A′(a,0,a),所以F,E.所以|EF|=== a.2.已知直线l过点A(1,-1,2),和l垂直的一个向量为n=(-3,0,4),则P(3,5,0)到l的距离为( )A.5B.14C.D.【解析】选C.因为=(-2,-6,2).所以·n=(-2,-6,2)·(-3,0,4)=14,|n|==5.所以点P到直线l的距离为=.3.已知向量n=(2,0,1)为平面α的法向量,点A(-1,2,1)在α内,则P(1,2,-2)到α的距离为( )A. B. C.2 D.【解析】选 A.因为=(-2,0,3),所以点P到平面α的距离为d===.4.(2014·安顺高二检测)正四面体ABCD的棱长为1,G是△ABC的中心,M在线段DG上,且∠AMB=90°,则GM的长为( )A. B. C. D.【解析】选D.设=a,=b,=c,=+λ=-a+(a+b+c)=a+b+c,=+=(a-b)+a+b+c=a+b+c.由·=0,a·b=b·c=a·c=,可解得λ=.||=||=.【一题多解】取AB的中点N,由正四面体的对称性可知△AMB为等腰三角形,所以MN=AB=.又G为△ABC的中心,所以NG=,故MG==.5.(2014·南宁高二检测)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是1,则直线DA1与AC 间的距离为( )A. B. C. D.【解析】选C.建立以A为原点,以AB,AD,AA1为x,y,z轴的空间直角坐标系,则得A(0,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),=(1,1,0),=(0,-1,1),设线段MN为两直线DA1与AC的公垂线段,且设=(x,y,z),则⊥,⊥,得x+y=0,-y+z=0,令y=t,则=(-t,t,t),另可设M(m,m,0),N(0,a,b),=(-m,a-m,b)N(0,2t,t),2t+t=1,t=,=,==.6.(2014·邯郸高二检测)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上且=, N为BB1的中点,则|MN|的长为( )A. aB. aC. aD. a【解析】选A.设=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|=a,a·b=b·c=c·a=0,由条件知,=-=(+)-=(++)-(++)=(2a-c)-(-c+a+b)=a-b-c,||2==(2a-b-c)2=(4|a|2+|b|2+|c|2-4a·b-2a·c+b·c)=,所以||= a.【变式训练】正四面体ABCD棱长为2,E,F分别为BC,AD的中点,则EF的长为.【解析】||2==(++)2=+++2(·+·+·)=12+22+12+2[1×2×cos 120°+0+2×1×cos 120°]=2,所以||=,所以EF的长为.答案:二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·延安高二检测)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,如果AB=BC=1,AA1=2,那么A 到直线A1C的距离为.【解析】建立如图所示空间坐标系A1xyz,则A1(0,0,0),A(0,0,2),C(1,1,2),=(1,1,2),=(0,0,2),又cos∠AA1C===.设A到直线A1C的距离为d,则d=||sin∠AA1C=2×=.答案:8.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BC,CD的中点,则BD到平面EFD1B1的距离为 .【解析】以D为原点,直线DA,DC,DD1分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,易求平面EFD1B1的法向量n=,又=,所以d==.答案:9.(2014·石家庄高二检测)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱A1B1,BB1的中点,则异面直线AM与CN的距离为.【解析】以A为原点,直线AB,AD,AA1分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,易知=,=,设n=(x,y,z),且n⊥,n⊥,所以n·=x+z=0,n·=-y+z=0,所以x=-2z,y=z.取z=2,则n=(-4,1,2),所以AM与CN的距离d==.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014·黄山高二检测)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=4,点M 在A1C1上,|MC1|=2|A1M|,N为D1C的中点,求M,N两点间的距离.【解题指南】建立空间直角坐标系表示出点M,N的坐标,利用空间两点的距离公式求出距离.【解析】建立如图所示空间直角坐标系,据题意有|A1C1|=2,因为|MC1|=2|A1M|,所以|A1M|=.所以M.又C(2,2,0),D1(0,2,4),N为CD1的中点,所以N(1,2,2),所以|MN|==.11.三棱柱ABC-A1B1C1是各条棱长均为a的正三棱柱,D是侧棱CC1的中点.(1)求证:平面AB1D⊥平面ABB1A1.(2)求点C到平面AB1D的距离.【解析】(1)如图所示,取AB1中点M,则=++,又=++.所以2=+=+.2·=(+)·=0,2·=(+)·(-)=||2-||2=0, 所以DM⊥AA1,DM⊥AB.所以DM⊥平面ABB1A1.因为DM⊂平面AB1D,所以平面AB1D⊥平面ABB1A1.(2)因为A1B⊥DM,A1B⊥AB1.所以A1B⊥平面AB1D.所以是平面AB1D的一个法向量.所以点C到平面AB1D的距离为d===== a.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2013·济南高二检测)已知点A(1,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若=2,则空间P,D两点间的距离为( )A. B. C. D.【解题指南】先利用=2的关系求出P点坐标,再求两点间的距离.【解析】选D.设P(x,y,z),因为=2,所以(x-1,y-2,z-1)=2(-1-x,3-y,4-z),所以所以所以P(-,,3),=(,-,-2),所以||=.2.(2014·衡水高二检测)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=,||=1,点E是棱PB的中点.直线AB与平面ECD的距离为( )A.1B.C.D.【解析】选B.如图,以A为坐标原点,射线AB,AD,AP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴,建立空间直角坐标系Axyz.则B(,0,0),P(0,0,),E.由||=1,得D(0,1,0),C(,1,0),从而=(,0,0),=,=,设平面DEC的法向量n=(x,y,z),则n·=0,n·=0.故所以x=0,z=y.可取y=1,则n=(0,1,).故点A到平面ECD的距离d===,又直线AB∥平面ECD,所以直线AB到平面ECD的距离为.【变式训练】在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中,侧棱PA⊥底面ABCD,BC∥AD,∠ABC=90°,PA=AB=BC=2,AD=1,则AD到平面PBC的距离为( )A. B.3 C.2 D.【解析】选D.由已知AB,AD,AP两两垂直.所以以A为坐标原点,AB,AD,AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2),=(2,0,-2).=(0,2,0),设平面PBC的法向量为n=(a,b,c),则所以n=(1,0,1),又=(2,0,0),所以d==.3.(2014·昆明高二检测)ABCD为正方形,P为平面ABCD外一点,PD⊥AD,PD=AD=2,二面角P-AD-C的大小为60°,则P到AB的距离是( )A.2B.C.2D.【解析】选D.如图建立直角坐标系,易知∠PDC为二面角P-AD-C的平面角,PD=AD=2,得P(0,1,),A(2,0,0),B(2,2,0),=(-2,1,),=(0,2,0),设点P到AB的距离为d,则d=||sin∠PAB,cos∠PAB===,sin∠PAB===,所以d=×=.4.(2014·西安高二检测)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是底面A1B1C1D1的中心,则O到平面ABC1D1的距离是( )A. B. C. D.【解析】选B.以D为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则有D1(0,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),A1(1,0,1), C1(0,1,1).因O为A1C1的中点,所以O,=,设平面ABC1D1的法向量为n=(x,y,z),则有即取n=(1,0,1),所以O到平面ABC1D1的距离为:d===.二、填空题(每小题5分,共10分)5.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,2AC=AA1=BC=2.若二面角B1-DC-C1的大小为60°,则AD的长为.x【解析】以C为坐标原点,CA,CB,CC轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(1,0,0),B1(0,2,2),C1(0,0,2).设AD=a,则D点坐标为(1,0,a),=(1,0,a),=(0,2,2),设平面B1CD的一个法向量为m=(x,y,z).则⇒令z=-1,得m=(a,1,-1),又平面C1DC的一个法向量为n=(0,1,0),则由cos60°=得=,即a=,故AD=.答案:6.(2014·南京高二检测)等腰Rt△ABC斜边BC上的高AD=1,以AD为折痕将△ABD 与△ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出以下结论:①BD⊥AC;②∠BAC=60°;③异面直线AB与CD之间的距离为;④点D到平面ABC的距离为;⑤直线AC与平面ABD所成的角为45°.其中正确结论的序号是.【解析】因为AD⊥BD,AD⊥CD,平面ABD⊥平面ACD,所以∠BDC=90°,所以BD⊥平面ACD,所以BD⊥AC,所以①正确;又知AD=BD=CD=1,所以△ABC为正三角形,∠BAC=60°,所以②正确;以D为原点,DB,DC,DA分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系, 易知A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),所以=(1,0,-1),=(0,1,-1),=(0,1,0),设n=(x,y,z),由n·=0,n·=0得x-z=0,y=0,令z=1得n=(1,0,1),所以异面直线AB与DC之间的距离d==,故③正确;因为△ABC边长为,所以S△ABC=,由V A-BDC=V D-ABC得×(×1×1)×1=××h,所以h=,故④正确;因为CD⊥平面ABD,所以∠CAD为直线AC与平面ABD所成的角,易知∠CAD=45°,故⑤正确.答案:①②③④⑤三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2014·泰安高二检测)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点M,N分别为A1A和B1B的中点.(1)求异面直线CM与D1N所成角的余弦值.(2)求点D1到平面MDC的距离.【解析】(1)分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.则M(2,0,1),C(0,2,0),N(2,2,1),D1(0,0,2).所以=(-2,2,-1),=(2,2,-1),cos<,>==,所以异面直线CM与D1N所成角的余弦值为.(2)=(2,0,1),=(0,2,0),=(0,0,2).设面DMC的法向量为n=(x,y,z),则⇒n=(1,0,-2),所以点D1到平面MDC的距离h===.【变式训练】(2014·安庆高二检测)如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截得到的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1,AEC1F为平行四边形.(1)求BF的长.(2)求点C到平面AEC1F的距离.【解析】(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(2,4,0),A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3),设F(0,0,z). 因为四边形AEC1F为平行四边形,所以由=得,(-2,0,z)=(-2,0,2),所以z=2.所以F(0,0,2).所以=(-2,-4,2).于是||=2.即BF的长为2.(2)设n1为平面AEC1F的法向量,显然n1不垂直于平面ADF,故可设n1=(x,y,1),所以所以即所以又=(0,0,3),设与n1的夹角为α,则cosα===.所以C到平面AEC1F的距离为d=||·cosα=3×=.【拓展延伸】用向量法求点面距离的方法与步骤8.(2014·石家庄高二检测)已知正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC的中点.(1)求点D到平面PEF的距离.(2)求直线AC到平面PEF的距离.【解析】(1)建立以D为坐标原点,DA,DC,DP分别为x轴,y轴,z轴的空间直角坐标系,如图所示.则P(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),E(1,,0),F(,1,0),=,=,设平面PEF的法向量n=(x,y,z),则n·=0且n·=0,所以令x=2,则y=2,z=3,所以n=(2,2,3),所以点D到平面PEF的距离为d===,因此,点D到平面PEF的距离为.(2)因为=,所以点A到平面PEF的距离为d===,所以AC到平面PEF的距离为.【变式训练】如图所示,已知边长为4的正三角形ABC中,E,F分别为BC和AC 的中点,PA⊥平面ABC,且PA=2,设平面α过PF且与AE平行,求AE与平面α间的距离.【解析】设,,的单位向量分别为e1,e2,e3,选取{e1,e2,e3}作为空间向量的一组基底,易知e1·e2=e2·e3=e3·e1=0,=2e1,=2e2,=2e3,=+=+=+(+)=-2e1+e2+e3,设n=x e1+y e2+e3是平面α的一个法向量, 则n⊥,n⊥,所以⇒⇒所以n=e1+e3.所以直线AE与平面α间的距离为。
高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.3.2 离散型随机变量的方差学案(含解析)新人教A版选修2-
2．3.2 离散型随机变量的方差[目标] 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.3.掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法．[重点] 离散型随机变量的方差和标准差的概念和计算；方差的性质以及两点分布、二项分布的方差的求法．[难点] 离散型随机变量的方差的计算与应用．知识点一 离散型随机变量的方差、标准差[填一填]1．方差及标准差的定义 设离散型随机变量X 的分布列为X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n(1)方差D (X )＝∑i ＝1n(x i －E (X ))2·p i . (2)标准差为D (x ). 2．方差的性质 D (aX ＋b )＝a 2D (X )．[答一答]1．方差与标准差有什么实际意义？提示：随机变量X 的方差和标准差都反映了随机变量X 取值的稳定与波动、集中与离散的程度．D (X )越小，稳定性越高，波动越小．显然D (X )≥0，随机变量的标准差与随机变量本身有相同的单位．2．你能类比样本数据方差的计算公式，理解离散型随机变量方差的计算公式吗？ 提示：设x 1、x 2、…、x n 为样本的n 个数据，x ＝x 1＋…＋x n n ，则该样本数据的方差s 2＝∑i ＝1n(x i －x )2·1n ，由于x 相当于离散型随机变量中的E (X )，而1n相当于每个数据出现的频率(概率)p i ，故离散型随机变量X 的方差可定义为：D (X )＝∑i ＝1n(x i －E (X ))2·p i (i ＝1,2，…，n )．3．随机变量的方差与样本方差有什么关系？提示：随机变量的方差即为总体的方差，它是一个客观存在的常数，不随抽样样本的变化而变化；样本方差则是随机变量，它是随着样本的不同而变化的．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体方差．知识点二 两个常见分布的方差[填一填]1．若X 服从两点分布，则D (X )＝p (1－p )． 2．若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p )．[答一答]4．两点分布的方差同二项分布的方差存在什么关系？提示：由于两点分布是特殊的二项分布，故两点分布的方差同二项分布的方差存在特殊与一般的关系．1．对随机变量X 的方差、标准差的理解(1)随机变量X 的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同的．(2)随机变量X 的方差和标准差都反映了随机变量X 取值的稳定性和波动、集中与离散程度．(3)D (X )越小，稳定性越高，波动越小．(4)标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛． 2．剖析方差的性质当a ，b 均为常数时，随机变量η＝aξ＋b 的方差D (η)＝D (aξ＋b )＝a 2D (ξ)．特别地： (1)当a ＝0时，D (b )＝0，即常数的方差等于0.(2)当a ＝1时，D (ξ＋b )＝D (ξ)，即随机变量与常数之和的方差等于这个随机变量的方差本身．(3)当b ＝0时，D (aξ)＝a 2D (ξ)，即随机变量与常数之积的方差，等于这个常数的平方与这个随机变量方差的乘积．类型一 离散型随机变量的方差及性质【例1】 已知η的分布列如下：η 0 10 20 50 60 P1325115215115(1)求η(2)设Y ＝2η－E (η)，求D (Y )．【分析】 (1)首先求出均值E (η)，然后利用D (η)的定义求方差；(2)由于E (η)是一个常数，所以D (Y )＝D [2η－E (η)]＝22D (η)．【解】 (1)∵E (η)＝0×13＋10×25＋20×115＋50×215＋60×115＝16，∴D (η)＝(0－16)2×13＋(10－16)2×25＋(20－16)2×115＋(50－16)2×215＋(60－16)2×115＝384，∴D (η)＝8 6.(2)∵Y ＝2η－E (η)，∴D (Y )＝D [2η－E (η)]＝22D (η)＝4×384＝1 536.(1)求离散型随机变量的均值或方差的关键是列分布列，而列分布列的关键是要清楚随机试验中每一个可能出现的结果，同时还要正确求出每一个结果出现的概率．(2)利用离散型随机变量X 的方差的性质：当a ，b 为常数时，随机变量Y ＝aX ＋b ，则D (Y )＝D (aX ＋b )＝a 2D (X )，可以简化解答过程，提高解题效率．某校从6名学生会干部(其中男生4人，女生2人)中选3人参加市中学生运动会志愿者． (1)所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及方差． (2)在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率． 解：(1)ξ的可能取值为0,1,2. 由题意P (ξ＝0)＝C 34C 36＝15，P (ξ＝1)＝C 24C 12C 36＝35，P (ξ＝2)＝C 14C 22C 36＝15，所以ξ的分布列为ξ 0 1 2 P153515E (ξ)＝0×15＋1×35＋2×15＝1，D (ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2×15＝25.(2)设在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的事件为C ，男生甲被选中的种数为C 25＝10，男生甲被选中，女生乙也被选中的种数为C 14＝4，所以P (C )＝C 14C 25＝410＝25，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为25.类型二 二项分布的方差【例2】 已知某运动员投篮命中率p ＝0.6. (1)求一次投篮命中次数ξ的数学期望与方差；(2)求重复5次投篮时，命中次数η的数学期望与方差．【分析】 解本题的关键是正确地判断出第(1)小题属于两点分布，第(2)小题属于二项分布，利用相应的公式计算可得解．【解】 (1)投篮一次命中次数ξ的分布列为：ξ 0 1 P0.40.6则E (ξ)＝0×0.4＋1×0.6＝0.6，D (ξ)＝(0－0.6)2×0.4＋(1－0.6)2×0.6＝0.24.(2)由题意知重复5次投篮，命中的次数η服从二项分布，即η～B (5,0.6)． 由二项分布的数学期望与方差的公式得： E (η)＝5×0.6＝3，D (η)＝5×0.6×0.4＝1.2.解此类题的一般步骤如下：第一步，判断随机变量X 服从什么分布(两点分布还是二项分布).第二步，代入相应的公式，X 服从两点分布时，D (X )＝p (1－p )；X 服从二项分布，即X ～B (n ，p )时，D (X )＝np (1－p ).甲、乙比赛时，甲每局赢的概率是p ＝0.51，乙每局赢的概率是p ＝0.49.甲乙一共进行了10次比赛，当各次比赛的结果是相互独立时，计算甲平均赢多少局，乙平均赢多少局，哪一个技术比较稳定？解：用X 表示10局中甲赢的次数，则X 服从二项分布B (10,0.51)．E (X )＝10×0.51＝5.1，即甲平均赢5.1局．用Y 表示10局中乙赢的次数，则Y 服从二项分布B (10,0.49)．E (Y )＝10×0.49＝4.9，于是乙平均赢4.9局．又D (X )＝10×0.51×0.49＝2.499，D (Y )＝10×0.49×0.51＝2.499.所以他们技术一样稳定．类型三 离散型随机变量方差的应用【例3】 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：枝，n ∈N )的函数解析式．(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数10201616151310以100①若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润(单位：元)，求X 的分布列，数学期望及方差．②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．【解】 (1)当n ≥16时，y ＝16×(10－5)＝80. 当n ≤15时，y ＝5n －5(16－n )＝10n －80.得：y ＝⎩⎨⎧10n －80(n ≤15)，80(n ≥16)(n ∈N )．(2)①X可取60,70,80.P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝0.7.X的分布列为X 607080P 0.10.20.7E(X)＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76，D(X)＝162×0.1＋62×0.2＋42×0.7＝44.②购进17枝时，当天的利润的期望值为y＝(14×5－3×5)×0.1＋(15×5－2×5)×0.2＋(16×5－1×5)×0.16＋17×5×0.54＝76.4.由76.4>76得，应购进17枝．有甲、乙两名同学，据统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的分数在80分，90分，100分的概率分布大致如下表所示：试分析甲、乙两名同学谁的成绩好一些．解：在解答同一份数学试卷时，甲、乙两人成绩的均值分别为E(X甲)＝80×0.2＋90×0.6＋100×0.2＝90，E(X乙)＝80×0.4＋90×0.2＋100×0.4＝90.方差分别为D (X 甲)＝(80－90)2×0.2＋(90－90)2×0.6＋(100－90)2×0.2＝40， D (X 乙)＝(80－90)2×0.4＋(90－90)2×0.2＋(100－90)2×0.4＝80. 由上面数据，可知E (X 甲)＝E (X 乙)，D (X 甲)<D (X 乙)．这表示甲、乙两人所得分数的均值相等，但两人的分数的稳定程度不同，甲同学分数较稳定，乙同学分数波动较大，所以甲同学的成绩较好．离散型随机变量期望与方差的综合应用【例4】 设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a ＝3，b ＝2，c ＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E (η)＝53，D (η)＝59，求abc .【思路分析】 第一问关键是分清取出2个球所得分数之和的所有情况，然后分类讨论，根据情况算出相应的概率、写出分布列；第二问类似地写出分布列，根据期望、方差的公式建立方程求解．【解】 (1)由题意得ξ＝2,3,4,5,6. 故P (ξ＝2)＝3×36×6＝14，P (ξ＝3)＝2×3×26×6＝13，P (ξ＝4)＝2×3×1＋2×26×6＝518，P (ξ＝5)＝2×2×16×6＝19，P (ξ＝6)＝1×16×6＝136.所以ξ的分布列为ξ 2 3 4 5 6 P141351819136(2)由题意知η的分布列为η 1 2 3 paa ＋b ＋cba ＋b ＋cca ＋b ＋c所以E (η)＝a a ＋b ＋c ＋2b a ＋b ＋c ＋3c a ＋b ＋c ＝53，D (η)＝(1－53)2·a a ＋b ＋c ＋(2－53)2·b a ＋b ＋c ＋(3－53)2·c a ＋b ＋c ＝59.化简得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －4c ＝0，a ＋4b －11c ＝0，解得a ＝3c ，b ＝2c ，故abc ＝321.【解后反思】 离散型随机变量的分布列和期望是理科数学考题中的高频考点之一，其中，浙江省又多以摸球为背景，以对立事件、相互独立事件、两点分布、二项分布等知识为载体，综合考查事件发生的概率及随机变量的分布列、数学期望与方差．解题时首先要理解关键词，其次要准确无误地找出随机变量的所有可能取值，计算出相应的概率，后面一般就是计算问题．若随机事件A 在1次试验中发生的概率为p (0<p <1)，用随机变量ξ表示A 在1次试验中发生的次数．(1)求方差D (ξ)的最大值； (2)求2D (ξ)－1E (ξ)的最大值．解：随机变量ξ的所有可能取值为0,1，并且有P (ξ＝1)＝p ，P (ξ＝0)＝1－p ，从而E (ξ)＝0×(1－p )＋1×p ＝p ， D (ξ)＝(0－p )2×(1－p )＋(1－p )2×p ＝p －p 2.(1)D (ξ)＝p －p 2＝－(p 2－p ＋14)＋14＝－(p －12)2＋14，∵0<p <1，∴当p ＝12时，D (ξ)取得最大值，最大值为14.(2)2D (ξ)－1E (ξ)＝2(p －p 2)－1p ＝2－(2p ＋1p )，∵0<p <1，∴2p ＋1p≥2 2.当2p ＝1p ，p ＝22时，取“＝”，因此，当p ＝22时，2D (ξ)－1E (ξ)取得最大值2－2 2.1．下面说法中正确的是(D)A．离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值B．离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的平均水平C．离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的波动水平D．离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的波动水平解析：由于离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映的是随机变量的平均取值水平，而不是概率的平均值，故A错．而D(ξ)则反映随机变量的集中(或稳定)的程度，即波动水平．2．若X～B(n，p)，且E(X)＝1.6，D(X)＝1.28，则(A)A．n＝8，p＝0.2 B．n＝4，p＝0.4C．n＝5，p＝0.32 D．n＝7，p＝0.45解析：由E(X)＝np＝1.6，D(X)＝np(1－p)＝1.28，可知1－p＝0.8，所以p＝0.2，n＝8.3．已知随机变量ξ，D(ξ)＝19，则ξ的标准差为13.解析：D(ξ)＝19＝13.4．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量ξ1，ξ2，已知E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)，则自动包装机乙的质量较好．解析：均值仅体现了随机变量取值的平均大小，如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的取值如何在均值周围变化，方差大说明随机变量取值较分散；方差小，说明取值较集中．故乙的质量较好．5．已知随机变量X的分布列是X 0123 4P 0.2m n 0.20.1且E(X)＝1.8.(1)求D(X)；(2)设Y＝2X－1，求D(Y)．解：(1)由分布列可知0.2＋m＋n＋0.2＋0.1＝1，且E(X)＝0×0.2＋1×m＋2×n＋3×0.2＋4×0.1＝1.8.即⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝0.5，m ＋2n ＝0.8，解得m ＝0.2，n ＝0.3. ∴D (X )＝(0－1.8)2×0.2＋(1－1.8)2×0.2＋(2－1.8)2×0.3＋(3－1.8)2×0.2＋(4－1.8)2×0.1＝1.56.(2)∵D (X )＝1.56，∴D (2X －1)＝4D (X )＝6.24.。
高中数学选修2-3(人教A版)第二章随机变量及其分布2.2知识点总结含同步练习及答案
第二章随机变量及其分布 2.2二项分布及其应用
一、学习任务 1. 了解条件概率的定义及计算公式，并会利用条件概率解决一些简单的实际问题． 2. 能通过实例理解相互独立事件的定义及概率计算公式，并能综合利用互斥事件的概率加法公 式即对立事件的概率乘法公式． 3. 理解独立重复试验的概率及意义，理解事件在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 公式，并能利用 n 次独立重复试验的模型模拟 n 次独立重复试验． 二、知识清单
（2）设事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次均不命中”的概率为 P1 ，则
¯ ∩ ¯¯ ¯ ∩ ¯¯ ¯ ∩ ¯¯ ¯) P1 = P (¯¯ A A B B ¯ ) ⋅ P (¯¯ ¯ ) ⋅ P (¯¯ ¯ ) ⋅ P (¯¯ ¯) = P (¯¯ A A B B 1 2 = (1 − )2 (1 − )2 2 5
n−k k P (X = k) = Ck , k = 0, 1, 2, ⋯ , n. n p (1 − p)
此时称随机变量 X 服从二项分布（binnomial distribution），记作 X ∼ B(n, p)），并称 p 为 成功概率． 例题： 下列随机变量 X 的分布列不属于二项分布的是（ ） A．投掷一枚均匀的骰子 5 次，X 表示点数 6 出现的次数 B．某射手射中目标的概率为 p ，设每次射击是相互独立的，X 为从开始射击到击中目标所需要 的射击次数 C．实力相等的甲、乙两选手举行了 5 局乒乓球比赛，X 表示甲获胜的次数 D．某星期内，每次下载某网站数据后被病毒感染的概率为 0.3，X 表示下载 n 次数据后电脑被 病毒感染的次数 解：B 选项 A，试验出现的结果只有两个：点数为 6 和点数不为 6 ，且点数为 6 的概率在每一次试验 都为
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-3)配套课件第一章 1.1.2 两个原理的应用
变 式 迁 移 1．(1)4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每 人报一项，共有多少种报名方法？ (2)4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有 多少种可能的结果？ 解析：(1)要完成的是“4名同学每人从三个项目中选 一项报名”这件事，因为每人必报一项，四人都报完才算 完成，于是按人分步，且分为四步，又每人可在三项中选
栏 目 链 接
分类完成 加法原理是“ __________”，即任何一类办法中的任何一
分步完成 个方法都能完成这件事．乘法原理是“ __________”，即 这些方法需要分步，各个步骤顺次相依，且每一步都完成
了，才能完成这件事情．
基 础 梳 理 2．根据具体情况选择应用不用的原理． (1)完成一件事情有n类办法，若每一类办法中的任何 一种方法均能将这件事情从头至尾完成，则计算完成这件 事情的方法总数用__________ 加法原理 ． (2)完成一件事情有n个步骤，若每一步的任何一种方 法只能完成这件事的一部分，并且必须且只需完成互相独 立的这n步后，才能完成这件事，则计算完成这件事的方
栏 目 链 接
乘法原理 ． 法总数用__________
基 础 梳 理 3．正确区分完成一件事情是分类还是分步． 例如：(1)十字路口来往的车辆，如果不允许回头，则 行车路线共有__________ 种． 12 (2)从－1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x) 18 ＝ax2＋bx＋c的系数，可组成不同的二次函数共有________ 6 个，其中不同的偶函数共有__________ 个(用数字作答)． 4．一些非常规计数问题的解法．
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第一章 1.7 1.7.3 定积分(习题课)
栏 目 链 接
点评：(1)求曲边形的面积、变速运动的路程、 力所做的功等均可用定积分来完成．
b (2)用定积分 a f(x)dx 计算时，关键是要找到满
栏 目 链 接
足 F′(x)＝f(x)的函数 F(x)，通常用求导公式和导 数的四则运算法则从反方向求出 F(x)．
跟 踪 训 练
1． 抛物线 y＝－x2＋4x－3 及其在点 A(1,0)和点 B(3,0)处的 切线所围成图形的面积为________．
2
栏 目 链 接
又直线 x＋y＝4 与抛物线 y＝ax2＋bx 相切，即它们有 唯一的公共点，
跟 踪 训 练
x＋y＝4， 由方程组 得 2 y＝ax ＋bx
ax2＋(b＋1)x－4＝0，其判别式为 0，即 (b＋1) ＋16a＝0. 1 于是 a＝－ (b＋1)2，代入①式得： 16 128b23－b 256b3 S(b)＝ (b>0)，S′(b)＝ . 6b＋14 3b＋15
跟 踪 训 练
3．抛物线 y＝ax2＋bx 在第一象限内与直线 x＋y＝4 相 切．此抛物线与 x 轴所围成的图形的面积记为 S.求使 S 达到 最大值的 a，b 值，并求 Smax.
解析：依题设可知抛物线为凸形，它与 x 轴的交点的横 b 坐标分别为 x1＝0，x2＝－a，所以 S＝ 1 3 (ax ＋bx)dx＝ 2b .① 6a
10 0 5－t＋
栏 目 链 接
55 1＋tdx
10 12 │0 ＝55ln 11(m)． 5 t － t ＋ 55ln 1 ＋ t ＝ 2
跟 踪 训 练
2．物体 A 以速度 v＝2t＋1 在一直线上运动，在此直线上与 物体 A 出发的同时， 物体 B 在物体 A 的正前方 6 m 处以 v＝6 m/s 的均匀速度与 A 同向运动，问两物体何时相遇？相遇时物体 A 走过的路程是多少(时间单位为 s，速度单位为 m/s)?
2014-2015学年高中数学选修2-3 第2章 随机变量及其分布第二章2.3.1(二)
研一研·题型解法、解题更高效
题型一
本 课 时 栏 目 开 关
二项分布的均值
例 1 一次单元测验由 20 个选择题构成，每个选择题有 4 个选 项，其中仅有一个选项正确．每题选对得 5 分，不选或选错 不得分，满分 100 分．学生甲选对任意一题的概率为 0.9，学 生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个．分别 求学生甲和学生乙在这次测验中成绩的均值． 解 设学生甲和学生乙在这次单元测验中选对的题数分别是 X1
研一研·题型解法、解题更高效
小结
本 课 时 栏 目 开 关
本题是随机变量期望的应用问题，解题的关键是正确地
设出随机变量，然后求出该随机变量的所有可能的取值，在实 际问题中应综合考虑问题的各种情形，如本题中既要考虑到这 个人的收入，又要考虑到其支出，因此就一次摸球而言，这个 人的收入情况是不确定的，有－19 元，－1 元，0.5 元，1 元四 种可能．
研一研·题型解法、解题更高效
题型二 超几何分布的均值
例 2 一名博彩者， 放 6 个白球和 6 个红球在一个袋子中， 定下 规矩：凡是愿意摸彩者，每人交 1 元作为手续费，然后可以 一次从袋中摸出 5 个球，中彩情况如下表：
本 课 时 栏 目 开 关
摸 5 个球 有 5 个白球 恰有 4 个白球 恰有 3 个白球 其他
本 课 时 栏 目 开 关
解
设甲和乙不会的题得分分别为随机变量 ξ 和 η.
由题意知 ξ～B(80,0.25)，η～B(20,0.25)，
故 E(ξ)＝80×0.25＝20，E(η)＝20×0.25＝5.
于是 E(ξ＋20)＝E(ξ)＋20＝40， E(η＋80)＝E(η)＋80＝85. 故甲、乙在这次测验中得分的期望分别为 40 分和 85 分．
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-3)配套课件第一章 1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
计数原理
1.3 二项式定理
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
栏 目 链 接
1．掌握二项式系数的性质． 2．会运用二项式系数的性质解决相关的问题．
栏 目 链 接
栏 目 链 接
基 础 梳 理
1．二项式系数的性质．
自 测 自 评 解析：令x＝－1，则1＝a0＋a1＋a2＋…＋a11，故选 B. 答案：B
栏 目 链 接
栏 目 链 接
题型一
“杨辉三角”的变形及引申问题用
例1 如图，在“杨辉三角”中，斜线AB的上方，从
1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列： 1,2,3,3,6,4,10,5，…，记其前n项和为Sn，求S19的值．
栏 目 链 接
变 式 训 练
2n 2．(1)(2013· 哈尔滨高二检测)若x＋x 的展开式中各项系
数和为 99－n，则展开式中系数最大的项为( A．第 3 项 B．第 4 项 C．第 5 项 D．第 6 项
)
栏 目 链 接
(2)(2x－1)10 展开式中 x 的奇次幂项的系数之和为( 310－1 1－310 A. B. 2 2 1－210 210－1 C. D. 2 2
13 n 14 n
栏 目 链 接
解得 n 34 . 答案：34
题型二 例2
求展开式的系数和
已知(1－2x)7＝a0＋a1 x＋a2x2＋…＋a7x7.求：
栏 目 链 接
(1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6； (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|. 解析：(1)令x＝0，则a0＝17＝1； 令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a7＝(1－2)7＝－1.① ∴a1＋a2＋…＋a7＝－1－1＝－2. (2)令x＝－1，则
人教版A版高中数学选修2-3：2.3离散型随机变量的均值与方差
反),(反正),(反反),所以试验一次成功的概率为 1-
1 2
2
= 3.
4
所以在 2 次试验中成功次数 X 的取值为 0,1,2,
其中 P(X=0)=
1 4
2 = 116,
P(X=1)=C21
×
3 4
×
1 4
=
38,
P(X=2)=34
×
3 4
=
196,
所以在 2 次试验中成功次数 X 的均值是 E(X)=0× 116+1×
他们考核所得的等次相互独立.
(1)求在这次考核中,志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率;
(2)记这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量ξ,求随机变 量ξ的分布列和均值E(ξ).
思考怎样求离散型随机变量X的均值与方差?
解 (1)记“甲考核为优秀”为事件A,“乙考核为优秀”为事件B,“丙考核为优秀”为 事件C,“志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀”为事件E,
请同学们阅读课本，通过自学完成以下问题：
• 1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.
• (1)均值是算术平均数概念的推广,与概率无关.( ) • (2)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况,因此它们是一回 事.( ) • (3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度, 方差或标准差越小,则偏离均值的平均程度越小.( ) • (4)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布,参数μ是正态分布的均值,σ 是正态分布的标准差.( )
(2)从招聘职工(人数很多)中任意选取3人,记X为这3名职工中参加这种技能培 训时间不少于90小时的人数.试求X的分布列、均值E(X)和方差D(X).
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-3)配套课件第二章 2.4 正态分布
栏 目 链 接
递减 当 x＞0 时，f(x)单调____________ ；
递增 ． 当 x＜0 时，f(x)单调__________
基 础 梳 理
(μ－3σ，μ＋ 3σ) 4．3σ原则：正态总体几乎取值于区间___________ 之
内，而在此区间以外取值的概率只有________ ，通常认为 0.002 6 这种情况在一次试验中几乎不可能发生.
第二章
随机变量及其分布
2．4 正态分布
栏 目 链 接
1．利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线
的特点及曲线所表示的意义． 2．了解变量落在区间(μ－s，μ＋s]，(μ－2s，μ＋ 2s]，(μ－3s，μ＋3s]的概率大小． 3．会用正态分布去解决实际问题．
栏 目 链 接
栏 目 链 接
基 础 梳 理
μ σ 总体的平均数和标准差，即 E(ξ)＝________ ，D(ξ)＝______.
2
(2)其函数图象称为正态曲线．
基 础 梳 理
例如：如果随机变量 ξ 的概率密度函数为：φμ，σ(x)＝ 1 e 2π
标准正态分布． ， x∈(－∞， ＋∞)， 则称 ξ 服从______________ 此
栏 目 链 接
栏 目 链 接
)
解析：因为随机变量 ξ 服从正态分布 N(3,4)，因为 P(ξ<2a－3)＝p(ξ>a＋2)，所以 2a－3 与 a＋2 关于 x＝3 7 对称，所以 2a－3＋a＋2＝6，所以 3a＝7，所以 a＝ . 3 故选 A. 答案：A
栏 目 链 接
题型一 正态分布的相关概念用
例1 把一条正态曲线C1沿着横轴方向向右移动2个
栏 目 链 接
A．μ1＜μ2 B．曲线 C1 与 x 轴相交 C．σ1＞σ2 D．曲线 C1、C2 分别与 x 轴所夹的面积相等
【讲练测】2014年高中数学人教a版选修2-3教学课件：3、3-2
x2
总计 K2＝ 样本容量)．
c
a＋c
c＋d b＋d a＋b＋c＋d
(其中n＝ a＋b＋c＋d 为
d
第三章 统计案例
(选修2-3)
4．利用随机变量K2来确定是否能以一定把握认为“两
个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的
独立性检验 ．
人 教 A 版 数 学
第三章 统计案例
(选修2-3)
人 教 A 版 数 学
(选修2-3)
(2)如何用K2的值判断X与Y之间是否有关？
首先列2×2列联表，当得到的观测数据 a ，b，c，d都 不小于 5时，由 2×2 列联表求出 K2 的观测值 k. 若 k≥10.828 ， 则我们有 99.9% 的把握认为 X 与 Y 有关，这种判断结果出错 的可能性约为 0.1%；若k≥6.635，则我们有99%的把握认为
第三章 统计案例
(选修2-3)
②分类变量是大量存在的，如吸烟变量有吸烟与不吸
烟两种类别，而国籍变量则有多种类别． (2)频率分析：通过对样本中每个分类变量的不同类别 的事件发生的频率大小比较来分析分类变量之间是否有关 联．
人 教 A 版 数 学
第三章 统计案例
(选修2-3)
(3)图形分析：利用三维柱形图及二维条形图来分析分
第三章 统计案例
(选修2-3)
在三维柱形图中，主对角线上两个柱形高度的乘积ad
与副对角线上的两个柱形高度的乘积bc相差越大，说明X与 Y有关的可能性越大，当ad与bc的差趋近于零时，X与Y几 乎没有关系，可以说X与Y是相互独立的．
人 教 A 版 数 学
在二维条形图中，可以估计满足条件 X＝x1 的个体中 a 具有 Y＝y1 的个体所占的比例 ，也可以估计满足条件 a＋b c X＝x2 的个体中具有 Y＝y1 的个体所占的比例 ， 两个比 c＋d 例的值相差越大，X 与 Y 有关的可能性就越大．
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-3)配套课件第一章 1.2.3 组 合 (一)
变 式 迁 移 解析：(1)是排列问题，因为发信人与收信人是有顺 序区别的． (2)是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就是
栏 目 链 接
乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别．
(3)是组合问题，因为每两个队比赛一次，并不需要
Hale Waihona Puke 考虑谁先谁后，没有顺序的区别．
(4)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲
第一章
计数原理
1．2 排列与组合
1．2.3 组
合
(一 )
栏 目 链 接
1．通过实例，理解组合的概念． 2．明确组合与排列的区别与联系． 3．能利用计数原理推导组合数公式，并能解决 简单的实际问题．
栏 目 链 接
栏 目 链 接
8×7×6 5×4 3 2 6 解析：(1)3C8－2C5＋C6＝3× －2× 3×2×1 2×1 ＋1＝149. (2)由已知 x＝2x－6 或 x＋2x－6＝18， 所以 x＝6 或 x＝8. 答案：(1)149 (2)x＝6 或 x＝8
栏 目 链 接
题型三
含组合数的方程或不等式
基 础 梳 理 5
4
栏 目 链 接
4．组合与排列的区别与联系． 例如：从a，b，c三个不同元素中取出两个元素的排
列有________个，而取出两个元素的组合只有__________ 这三种情况．
基 础 梳 理
下列问题是排列问题还是组合问题？
(1)A，B，C，D，E五个人在假期里约定互通一封信，
栏 目 链 接
答案：91
题型三
栏 目 链 接
解析：从 4 名同学中选出 3 人，是从 4 个元素中选 3 出 3 个元素的组合，所以方法数共有 C4 ＝4 种．故选 B. 答案：B
【讲练测】2014年高中数学人教a版选修2-3教学课件：3、2-1-1
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
1．通过实例了解随机变量的概念，理解离散型随机变
量的概念． 2．能写出离散型随机变量的可能取值，并能解释其意 义．
人 教 A 版 数 学
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
人 教 A 版 数 学
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
本节重点：随机变量、离散型随机变量的概念．
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
一、选择题
1．10件产品中有 2件次品，从中任取一件，随机变量 为 ( A．取到次品的个数 )
人 教 A 版 数 学
B．取到产品的个数
C．取到正品的概率 D．取到次品的概率 [答案] A [ 解析 ] 由随机变量的定义知取到次品的个数为随机
变量，故选A.
第二章 随机变量及其分布
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
[解析] 掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或
反面向上，以一个标准如正面向上的次数来描述一随机试 验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0,1， 故选A.而B中实际是总的掷币次数它不是随机变量，C中掷 硬币次数是1，不是随机变量，D中对应的事件是必然事件，
人 教 A 版 数 学
前不知道究竟是哪一个值．
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
[例3]
写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机
人 教 A 版 数 学
变量所取的值所表示的随机试验的结果． (1)从一个装有编号为1号到10号的10个球的袋中任取1
球，被取出的球的编号为X；
(2)一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球， 其中所含红球的个数为X； (3) 投掷甲、乙两枚骰子，所得点数之和为 X ，所得点 数之和是偶数为Y.
2.3.2两点间的距离公式教学设计-2023学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
2.3.2两点间的距离公式教学设计一、教材分析本节课是人教A版高中数学（2019）选修一第二章第二节课2.3.2-两点间的距离公式.本节课是在学习了直线的倾斜角和斜率、直线的方程以及两直线的交点坐标之后进行的，是对前面学习内容的延续与深入，也是后续学习点到直线的距离、圆与圆的位置关系等知识的基础.本节课通过构造直角三角形，使用勾股定理推导两点间距离公式，并应用公式解决简单的平面几何问题，是对学生应用“坐标法”解决几何问题的一次很好的训练.二、学情分析学生对勾股定理十分熟悉，可引导学生构造直角三角形，利用勾股定理推导两点间的距离公式，体会数形结合思想的运用.学生已经初步了解“坐标法”，可引导学生建立平面直角坐标系，用代数的方法解决简单的平面几何问题.三、教学目标1、知识与技能（1）能推导两点间的距离公式并会简单应用.（2）会用代数的方法证明简单的平面几何问题.2、过程与方法（1）通过由特殊到一般的方法引导学生推导两点间的距离公式，使学生体会数形结合的思想方法.（2）引导学生建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题求解，体验转化与化归的数学思想.3、情感态度价值观（1）通过实际问题引入，激发学生学习兴趣.（2）在知识生成过程中，培养学生发散思维，多角度思考问题的能力.（3）培养学生主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度.四、教学重难点1、教学重点：两点间距离公式的推导过程及运用.2、教学难点：使学生明白推导两点之间距离公式时辅助线的构造，运用勾股定理推导两点间距离公式，使学生明白从特殊到一般的思想，以及两点间距离公式的灵活运用.五、教学过程（一）创设情景，引入课题师：我们在初中的时候学过数轴上两点间的距离公式，大家回忆一下怎样求数轴上两点间的距离.问题一：如图，设数轴x上的两点分别为A、B，怎样求|AB|?生：|AB|=|a-b|.师：那么怎样求直角坐标系中两点间的距离呢？这节课我们就来探讨一下直角坐标系中两点间的距离的求法.（在黑板上书写课题）（二）探究新知师：首先我们在直角坐标系中给定两点，看看怎样求它们之间的距离.(师生研讨) 请同学们解决以下问题:问题2：如图，在直角坐标系中，点C （4,3），D （4,0）， E （0,3），如何求C 、D 间的距离|CD|，C 、E 间的距离|CE|及原点0与C 的距离|0C|? (让学生思考一分钟，请学生回答) 生: |CD|=|3-0|=3. |CE|=|4-0|=4在直角三角形CDO 中，用勾股定理解得: |OC|=54322=+ 师:那么，同学们能否用以前所学知识解，决以下问题:问题3:对于直角坐标系中的任意两点P(x1,y1)、P(x2,y2)，如何求P 、P1的距离|P1P2|？ 从p1、p 2这两点的位置来看，我们用以前所学的知识很难解决这个问题师:根据问题2中求原点0到C的距离|OC|，构造直角三角形，再用勾股定理计算的方法，我们想求解问题3是不是也可以构造一个直角三角形.如右图，过点P1分别向轴x和y轴作垂线P1M1和P1N1，垂足分别为M (x，0)和N(0， y1)，过点P2分别向轴x和y轴作垂线时PM和PN，垂足为M2(x2, 0)和N2 (0，y2)，延长直线P1N1与P2M2相交于点Q，则三角形P1QP2是直角三角形.在直角三角形P1QP2中，由勾股定理可以得到，|P1P|^2 =|P1Q|^2+| QP2|^2.要求|P1P2|，必须知道|P1Q|和|QP2|的值.为了计算|P1Q|和|QP2|，就要求Q的坐标，而点Q的横坐标与P2的横坐标相同，纵坐标与P1的纵坐标相同，则Q的坐标为(x2,y1).于是有：|P1Q|=|x2-x2|， |QP2| =|y2-y1|，所以|P1P2|^2=|x2-x1|^2+|y2-y1|^2，则|P1P2|=√|x2−x1|2+|y2−y1|2，这就是我们今天所要学习的两点间的距离公式.(三)讲授新课两点P (x, y)、R (x2, y2) 间的距离公式：|P1P2|=√|x2−x1|2+|y2−y1|2两点间的距离公式在以后的学习中运用很广泛，其中有一种很常见的情况大家一定要注意，那就是原点O（0，0）与任一点p(x,y)距离：|OP|=√x2+y2(四)基础练习练习：求下列两点间的距离：（1）A（6，0），B(-2,0)（2）C(0,-4)，D(0,-2)由学生回答：(1)|AB|=√(−2−6)2+(0−0)2=8(2)|CD|=√(0−0)2+(−2−(−4))2=2(五)巩固练习通过对这个例题的求解，同学们对两件距，离公式的应用有了初步的了解，下面请同学们独立完成一个练习，看大家能不能做，得又快又准.练习：已知A (1,2)，B(5,2) ,若|P4|=√10，|PB|=√2,求点P的坐标.(请一个学生到黑板.上完成，其余学生独立完成，完成后教师讲解)分析：先设P点的坐标为(x，y) .然后用两点间的距离公式表示出|P4|=√10，|PB|=√2，可以得到两个关于x，y的方程，联立方程求解出x，y的值，P点的坐标就求出来了.解:设点p的坐标为(x，y) ，则有：(x-1)^2+(y-2)^2=10；(x-5)^2+(y-2)^2=2解之得： x=4，y=1或3所以，点p的坐标为(4,1)或(4,3)(六)课时小结这节课的内容就是这些，最后我们来回顾一下这节课的内容.同学们总结一一下，这节课学习了什么?(师生一起总结)首先我们用勾股定理推导了直角坐标系中.任意两点间的距离公式，即两点P (x1，y1)、P (x2，y2)间的距离公式: |P1P2|=√|x2−x1|2+|y2−y1|2其次同学们要注意一种特殊的情况:原点o(0，0)与任一点P (x，y)的距离: |OP|=√x2+y2同学们要学会用两点间的距离公式求直角坐标系中两点间的距离，并要掌握它的一些应用. （七）课后作业学案练习 1、2题。
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选修2-3 第二章 2.3 2.3.2
1．设随机变量X ～B (n ，p )，X 的均值与方差分别是15和45
4，则n 、p 的值分别是( )
A ．50，1
4
B ．60，1
4
C ．50，3
4
D ．60，3
4
[答案] B
[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ np ＝15np (1－p )＝454得⎩⎪⎨
⎪⎧
p ＝14
n ＝60
. 2．样本中共有五个个体，其值分别为a 、0、1、2、3.若该样本的平均值为1，则样本方差为( )
A ．
65
B ．65
C ． 2
D ．2 [答案] D
[解析] ∵a ＋0＋1＋2＋3
5
＝1，∴a ＝－1，
故s 2＝1
5
[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.
3．已知总体的各个体的值由小到大依次为2、3、3、7、a 、b 、12、13.7、18.3、20，且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是________．
[答案] 10.5、10.5
[解析] 由题意得a ＋b
2＝10.5，∴a ＋b ＝21，
x ＝
2＋3＋3＋7＋21＋13.7＋18.3＋20＋12
10
＝10，
∴s 2＝
1
10
[(10－2)2＋(10－3)2＋(10－3)2＋(10－7)2＋(10－a )2＋(10－b )2＋(10－12)2＋(10－13.7)2＋(10－18.3)2＋(10－20)2]
＝1
10[82＋72＋72＋32＋(10－a )2＋(10－b )2＋4＋3.72＋8.32＋102] ＝1
10[(10－a )2＋(10－21＋a )2＋…] ＝1
10
[2(a －10.5)2＋…] 当a ＝10.5时，方差s 最小，b ＝10.5.
4．有一批零件共10个合格品、2个不合格品．安装机器时从这批零件中任选1个，取
到合格品才能安装；若取出的是不合格品，则不再放回．
(1)求最多取2次零件就能安装的概率；
(2)求在取得合格品前已经取出的次品数X 的分布列，并求出X 的均值E (X )和方差D (X )(方差计算结果保留两个有效数字)．
[解析] (1)设安装时所取零件的次数是η，则P (η＝1)＝1012＝5
6，这是取1次零件就取到
了合格品，可以安装；
P (η＝2)＝212×1011＝5
33，这是第1次取到不合格品，第2次取到了合格品．
∴最多取2次零件就能安装的概率为 56＋533＝6566
. (2)依题意X 的所有可能取值为0、1、2， P (X ＝0)＝P (η＝1)＝5
6，
P (X ＝1)＝P (η＝2)＝5
33，
P (X ＝2)＝1－56－533＝1
66.
故X 的分布列是
于是E (X )＝0×56＋1×533＋2×166＝2
11，
D (X )＝5
6×⎝⎛⎭⎫2112＋533×⎝⎛⎭⎫9112＋166×⎝⎛⎭⎫20112≈0.18.
所以X 的期望值和方差值分别是2
11
和0.18.
5．设在15个同类型的零件中有2个是次品，每次任取1个，取出后不再放回，共取3次．若以X 表示取出次品的个数，求X 的均值和方差．
[分析] 首先求出各种情况的概率，写出概率分布，注意零件取后不放回．
[解析] P (X ＝0)＝C 313C 315＝2235，P (X ＝1)＝C 12C 2
13C 315＝12
35，
P (X ＝2)＝C 22C 1
13
C 315＝135
，
故X 的分布列为：
则E (X )＝0×2235＋1×1235＋2×135＝2
5
，
D (X )＝⎝⎛⎭⎫0－252×2235＋⎝⎛⎭⎫1－252×1235＋⎝⎛⎭⎫2－252×135＝52175
. 6．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：枝，n ∈N )的函数解析式；
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：
(ⅰ)若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润(单位：元)，求X 的分布列、数学期望及方差；
(ⅱ)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．
[解析] (1)当日需求量n ≥16时，利润y ＝80. 当日需求量n <16时，利润y ＝10n －80， 所以y 关于n 的函数解析式为
y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
10n －80， n <16，
80， n ≥16，(n ∈N )． (2)(ⅰ)X 可能的取值为60,70,80，并且
P (X ＝60)＝0.1，P (X ＝70)＝0.2，P (X ＝80)＝0.7. X 的分布列为
X 的数学期望为E (X )＝60X 的方差为D (X )＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44. (ⅱ)答案一：
花店一天应购进16枝玫瑰花．理由如下：
若花店一天购进17枝玫瑰花，Y 表示当天的利润(单位：元)，那么Y 的分布列为
Y的数学期望为
E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.
Y的方差为
D(Y)＝(55－76.4)2×0.1＋(65－76.4)2×0.2＋(75－76.4)2×0.16＋(85－76.4)2×0.54＝112.04.
由以上的计算结果可以看出，D(X)<D(Y)，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小．另外，虽然E(X)<E(Y)，但两者相差不大．故花店一天应购进16枝玫瑰花．答案二：
花店一天应购进17枝玫瑰花．理由如下：
若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为
Y的数学期望为
E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.
由以上的计算结果可以看出，EX<EY，即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润．故花店一天应购进17枝玫瑰花．。