多解题
一元一次方程多解问题
一元一次方程多解问题一、什么是一元一次方程呢？一元一次方程啊，就是那种只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程。
比如说3x+5 = 14，这里面x就是那个唯一的未知数，它的次数是1，这个方程就是一元一次方程啦。
二、为什么会有一元一次方程的多解问题呢？有时候啊，方程的条件可能不是那么直白。
就像有些实际问题转化过来的一元一次方程，可能会有多种情况符合这个方程。
比如说，一个关于行程的问题，小明和小红从两地相向而行，速度不一样，但是我们设一个未知数来表示时间，由于没有明确说明是相遇前还是相遇后，可能就会得出两个不同的解。
这就好像在生活中，同一件事情可能有不同的发展方向，反映到方程里就是多个解。
三、一元一次方程多解的例子1. 来个简单的例子哈，|x - 3|= 5。
这个方程看起来就有点意思。
当x - 3 = 5的时候，那x就等于8。
可是呢，当-(x - 3)=5的时候，也就是x - 3=-5，这时候x就等于 - 2啦。
你看，一个方程就有两个解呢。
2. 再比如说，一个工程问题，甲单独做一项工程需要x天，乙单独做需要比甲多3天。
如果他们合作完成这项工程需要5天，根据工作量 = 工作效率×工作时间这个关系，我们列出方程就可能有不同的解。
假设总工作量是1，甲的工作效率就是1/x，乙的工作效率就是1/(x + 3)，那方程就是5(1/x+1/(x + 3))=1。
解这个方程的时候，我们经过计算会得到两个不同的x值，这两个值在这个工程问题的背景下都是合理的。
四、如何检验一元一次方程的多解对于解出来的多个解啊，我们得检验一下。
就拿前面|x - 3|= 5这个例子来说。
当x = 8的时候，把x = 8代入方程左边，|8 - 3|= 5，右边也是5，等式成立。
当x = - 2的时候，把x = - 2代入方程左边，|-2 - 3|= 5，右边也是5，等式也成立。
所以啊，对于一元一次方程的多解，检验的方法就是把解代入原方程，看看等式两边是不是相等。
【中考复习】初中数学典型一题多解试题汇编(含解析)
初中数学一题多解（试题）1、若()16x 3-m 2x 2++ 是关于x 的完全平方公式（或完全平方数），则m=2、4的平方根为 ，16的平方根为 3、若2a =时， a 为 。
在数轴上，到原点的距离为3个单位的数有 。
4、若64x 1x 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ ，则代数式=+x 1x 5、若关于x 的方程16-x 3m 4x m 4-x 12+=++无解，则m 的值为 6、在平面直角坐标系xoy 中，已知点A （3,4），点P 在x 轴上，若△AOP 为等腰三角形，则点P 的坐标是7、在一个等腰三角形中，有一个角为70°，则另两个角分别为8、已知直角三角形的两边长分别为5和12，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为9、 在△ABC 中，AB=15，AC=13，BC 边上的高为12，求BC 边的边长为10、在平行四边形ABCD 中，∠A 的角平分线把BC 边分为3和4的两条线段，则此平行四边形ABCD 的周长为11、若⊙O 的半径为5cm ，某个点A 到圆上的距离为2cm ，则圆心到点A 的距离为12、 若⊙O 中的某条弦AB 所对的圆心角为120°，则弦AB 所对的圆周角为13、已知x满足62x1x22=+，则x1x+的值是14、当-2≤x≤1时，二次函数()1mm-x-y22++=有最大值4，则实数m 的值为15、在平面直角坐标系中有一点M，点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点M的坐标为16、若某条线段AB长为2，则该线段AB的黄金分割点离A点的距离为17、若△OAB与△OCD是以坐标原点O为位似中心的位似图形，相似比为3:4，∠OCD=90°，∠AOB=60°，若点B的坐标为（6,0），则点A的对应点C的坐标为18、如下图在△ABC中，AB=5，AC=4，点Q从点A出发向点B以2个单位/s的速度出发，点P从点C向点A以1个单位/s的速度出发，若要使△ABC 与△AQP相似，则运动的时间为s。
24点试题集萃与多解题
24点试题多解部分（答案不一定全对啊，特别是注意和我们比赛要求的规则不相符合。
）（1）1、1、3、81 - 1 + 3 × 8， (1 - 1 + 3) × 8，1 × 1 × 3 × 8，1 ÷ (1 ÷ 3) × 8，1 ÷ ((1 ÷3) ÷ 8)，(1 + (3 - 1)) × 8(1 × (3 ÷ 1)) × 8， 1 × 3 ÷(1 ÷ 8)，1 × (8 ÷ 1 × 3)（2）1、2、2、61: (1 + 2) × (2 + 6)，2: (1 × 2 + 2) × 6， 1 × 2 × 2 × 6，1 × (2 + 2) × 6，(2 ÷ 1 + 2) × 6，2 ÷ 1 ×(2 × 6)，2 ÷ (1 ÷ 2 ÷ 6)，(2 + 1) × (6 + 2)， (2 + 2) × 6 ÷ 1（3）1、2、3、101 +2 × 10 + 3，1 × (3 × (10 - 2))，2 × (3 + 10 - 1)， (3 ÷ 1) × (10 - 2)， 3 ÷ (1 ÷ (10 - 2))3 × (10 - (1 × 2))，（4）2、2、3、9(2 + 2 ÷ 3) × 9，(2 + 2) × (9 - 3)，2 × 2 ×(9 - 3)，2 × 3 + 2 × 9，(9 - 2 ÷2) × 3，（5）2、2、4、62 - 2 + 4 × 6，(2 - 2 + 4) × 6， 2 × (2 + 4 + 6)，2 ÷ 2 × 4 × 6， (2 ÷ (2 ÷4)) × 62 ÷ ((2 ÷ 6) ÷ 4)， (4 + 2) × (6 - 2)， (6 - 2 + 2) × 4， 6 ÷ (2 ÷ (2 × 4))（6）3、4、4、63 ×4 + 6 + 6，(3 × (4 + 6)) – 6，3 × ((6 - 4) + 6)， 6 × 6 - 4 × 3，（6÷3+4）×4，（3×4－6）×4，4÷（（4－3）÷6），6×（4÷4＋3）（7）3、6、7、83 + 7 + 6 + 8，3 × (7 - 6) × 8，3 ÷ (7 - 6) × 8， 3 ÷ ((7 - 6) ÷ 8)， (3 - 7 + 8) × 6，（8）4、5、7、84 + 7 +5 + 8，4 × (5 - 7 + 8)， (7 + 5) ÷ 4 × 8，(8 + 4) × (7 - 5)，(7 + 5) × 8 ÷ 4（9）4、6、9、104 × 6 ×(10 - 9)， 4 × (6 ÷ (10 - 9))， 4 ÷ ((10 - 9) ÷ 6)，6 ÷ 4 × 10 + 9，(6 ÷ (4 ÷ 10)) + 9(10 ÷ (4 ÷ 6)) + 9，6 ÷ ((10 - 9) ÷ 4)（10）6、6、6、96 × 6 ×(6 ÷ 9)， 6 + 6 ×(9 - 6)，6 × 6 ÷ 9 × 6，(9 - 6) × 6 + 6，6 ÷ (9 ÷ 6 ÷ 6)，（11）2.2.4.8（自己完成）（12）3.3.5.6（自己完成）（13）2.2.4.10（自己完成）“24点”数学邀请赛活动方案为了推动学校的数学课外活动的开展和提高学生的计算能力，举办第三届面对四、五、六三个年级的“24点”数学邀请赛。
初中数学一题多解题
初中数学一题多解题例题一、两个连续奇数的积是323，求出这两个数方法一、设较小的奇数为x,另外一个就是x+2x(x+2)=323解方程得：x1=17,x2=-19所以，这两个奇数分别是：17、19，或者-17，-19方法二、设较大的奇数x,则较小的奇数为323/x则有：x-323/x=2解方程得：x1=19,x2=-17同样可以得出这两个奇数分别是：17、19，或者-17，-19方法三、设x为任意整数，则这两个连续奇数分别为：2x-1,2x+1(2x-1)(2x+1)=323即4x^2-1=323x^2=81x1=9,x2=-92x1-1=17,2x1+1=192x2-1=-19,2x2+1=-17所以，这两个奇数分别是：17、19，或者-17，-19方法四、设两个连续奇数为x-1,x+1则有x^2-1=323x^2=324=4*81x1=18,x2=-18x1-1=17,x1+1=19x2-1=-19,x2+1=-17所以，这两个奇数分别是：17、19，或者-17，-19例题二、某人买13个鸡蛋、5个鸭蛋、9个鹌鹑蛋，共用去9.25元；如果买2个鸡蛋，4个鸭蛋，3个鹌鹑蛋，则共用去3.20元，试问只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需多少钱？解：设鸡、鸭、鹌鹑三种蛋的单价分别为x 、y 、z 元，则根据题意，得135992512433202x y z x y z ++=<>++=<>⎧⎨⎩.. 分析：此方程组是三元一次方程组，由于只有两个三元一次方程，因而要分别求出x 、y 、z 的值是不可能的，但注意到所求的是x y z ++的代数和，因此，我们可通过变形变换得到多种解法。
1. 凑整法解1：<>+<>123，得5344153x y z ++=<>.<>+<>23，得7735().x y z ++=∴++=x y z 105.答：只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需1.05元（下面解法后的答均省略） 解2：原方程组可变形为134292522320()().()().x y z y z x y z y z ++-+=++++=⎧⎨⎩解之得：x y z ++=105.2. 主元法解3：视x 、y 为主元，视z 为常数，解<1>、<2>得x z =-0505..，y z =-05505..∴++=+-+=x y z z z 05505105...解4：视y 、z 为主元，视x 为常数，解<1>、<2>得y x z x =+=-00512.，∴++=+-+=x y z x x x 1052105..解5：视z 、x 为主元，视y 为常数，解<1>、<2>得x y z y =-=-005112..，∴++=-++-=x y z y y y 005112105...3. “消元”法解6：令x =0，则原方程组可化为5992543320051y z y z y z +=+=⎧⎨⎩⇒==⎧⎨⎩...∴++=x y z 105.解7：令y =0，则原方程组可化为1399252332000511x z x z x z +=+=⎧⎨⎩⇒=-=⎧⎨⎩....∴++=x y z 105.解8：令z =0，则原方程组可化为1359252432005055x y x y x y +=+=⎧⎨⎩⇒==⎧⎨⎩.... ∴++=x y z 105.4. 参数法解9：设x y z k ++=，则1359925124332023x y z x y z x y z k ++=<>++=<>++=<>⎧⎨⎪⎩⎪..∴<>-<>⨯123，得x y -=-<>0054.<>⨯-<>332，得x y k -=-<>3325.∴由<4>、<5>得332005k -=-..∴=k 105.即x y z ++=105.5. 待定系数法解10. 设x y z a x y z b x y z a b x a b y a b z ++=+++++=+++++<>()()()()()135924313254931则比较两边对应项系数，得1321541931121421a b a b a b a b +=+=+=⎧⎨⎪⎩⎪⇒==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 将其代入<1>中，得x y z ++=⨯+⨯=⨯=121925421321212205105....附练习题1. 有大小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.5吨；5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨。
一题多解问题(高中数学经典题型)
1.已知y x ,为正实数，且4142=++y x xy ，则y x +的最小值为.解法一：消元因为⎪⎭⎫⎝⎛∈+-=241,04241x x x y ，所以()8644944492449424241≥-+++=++-=+++-+=+-+=+x x x x x x x x x x y x 当且仅当5,3==y x 时，等号成立。
解法二：因式分解因为4142=++y x xy ，所以()()9424=++y x ，()()()()86242624=-++≥-+++=+y x y x y x 当且仅当5,3==y x 时，等号成立。
解法三：判别式法设0,>=+t t y x ，则x t y -=代入条件得，()()4142=-++-x t x x t x ，化简得,()041422=-+-+-t x t x ,方程有根的必要条件是0≥∆，()0016-12164-16222≥+=+-=∆t t t t 解得8≥t ，经检验，8=t 时，5,3==y x 可以取得。
2.若将函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin πx x f 的图象沿x 轴向右平移()0>ϕϕ个单位后所得的图象与()x f 的图象关于x 轴对称，则ϕ的最小值为.解法一：图象法实线是原函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin πx x f ，虚线是新图象，很明显，当实线向右至少平移半个周期2π即可.解法二：特殊值法由图可知，要使得新图象()⎪⎭⎫⎝⎛-+=ϕπ232sin x x g 与原图象()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin πx x f 关于x 轴对称，只要原图象的最高点对应新图象的最低点。
于是取原图象()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin πx x f 在12π=x 处取得1，此时-112=⎪⎭⎫⎝⎛πg ，即12cos 22sin 12-==⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛ϕϕππg ，Z k k ∈+=,22ππϕ，Z k k ∈+=,2ππϕ，所以ϕ的最小正值为2π.解法三：函数对称关系若()()x g x f -=，则函数()x f 与()x g 关于x 轴对称.新图象()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=ϕπ232sin x x g 与原图象()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin πx x f 关于x 轴对称，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ϕππ232sin -32sin x x ，即⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+32-2sin 32sin πϕπx x 只要Z k k ∈+=,22ππϕ即可，所以ϕ的最小值正值为2π.3.在ABC ∆中，BC =+，若ABC ∆的面积的最大值为2，则边BC 的长为.解法一：建系，研究动顶点A 的轨迹建立如图坐标系，设a BC =，()y x A a C a B ,,0,2,0,2⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-，=+，所以2226a y a x =+⎪⎭⎫ ⎝⎛-，即当顶点位于最远离x 轴位置时，此时高为a ，2212max ==a S ，所以2=a 。
圆的一题多解
圆中多解问题
1、已知⊙O中，半径为5，AB、CD是两条平行弦，且AB=8，CD=6，则弦AC
的长为，co s∠CAB= ，ta n∠CAB= 。
2、点P到⊙O上一点A的最大距离为5，到⊙O上一点B的最短距离为3，AC
为弦，且∠CAB=30°，则弦AC的长为。
3、已知⊙O的直径为4，弦AB、AC的长分别为2
2，则∠BOC的度数
2和3
为。
4、相交两圆的公共弦长为6，两圆的半径分别为2
3和5，则两圆的圆心距为。
5、在⊙O中，弦AB为圆内接六边形的边长，弦AC为圆内接正方形的边长，
那么∠BAC= °。
6、⊿ABC中，AB=AC=5cm，面积为12cm2，则⊿ABC的外接圆半径等
于。
7、已知⊙O的半径为5，⊿ABC内接于⊙O中，若AB=AC，BC=8，则
AB= 。
8、在梯形ABCD中，A D∥BC，AC⊥CD，以AB为直径的⊙O与CD相切于E，边
BC比AD大6，在直径AB上有一点P,使A、D、P为顶点的三角形与⊿BCP相似，则AP的长为。
9、直线l上有两点A、B，点A在点B的左侧，AB=6cm，把半径为1cm 的⊙
O的圆心O与A重合，以点B为圆心，以2cm为半径画⊙B，将⊙O的圆心O沿射线AB向右以1cm/s的速度运动，当两圆相交时，⊙O的运动时间t(s) 的取值范围是。
10、两个半径都为1cm的⊙A和⊙B的圆心都在直线l上，且⊙A在⊙B的左侧，
开始时AB=4cm，现⊙A、⊙B同时沿直线l以每秒2cm的速度相向移动，当两圆相切时，⊙A运动的时间为秒。
在⊿ABC中，AB=13，AC=5，BC边上的高为4，则⊿ABC的外接圆半径等于。
(完整)初中数学一题多解题
初中数学一题多解题例题一、两个连续奇数的积是323，求出这两个数方法一、设较小的奇数为x,另外一个就是x+2x(x+2)=323解方程得：x1=17,x2=-19所以，这两个奇数分别是：17、19，或者-17，-19方法二、设较大的奇数x,则较小的奇数为323/x则有：x-323/x=2解方程得：x1=19,x2=-17同样可以得出这两个奇数分别是：17、19，或者-17，-19方法三、设x为任意整数，则这两个连续奇数分别为：2x-1,2x+1(2x-1)(2x+1)=323即4x^2-1=323x^2=81x1=9,x2=-92x1-1=17,2x1+1=192x2-1=-19,2x2+1=-17所以，这两个奇数分别是：17、19，或者-17，-19方法四、设两个连续奇数为x-1,x+1则有x^2-1=323x^2=324=4*81x1=18,x2=-18x1-1=17,x1+1=19x2-1=-19,x2+1=-17所以，这两个奇数分别是：17、19，或者-17，-19例题二、某人买13个鸡蛋、5个鸭蛋、9个鹌鹑蛋，共用去9.25元；如果买2个鸡蛋，4个鸭蛋，3个鹌鹑蛋，则共用去3.20元，试问只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需多少钱？解：设鸡、鸭、鹌鹑三种蛋的单价分别为x 、y 、z 元，则根据题意，得135992512433202x y z x y z ++=<>++=<>⎧⎨⎩.. 分析：此方程组是三元一次方程组，由于只有两个三元一次方程，因而要分别求出x 、y 、z 的值是不可能的，但注意到所求的是x y z ++的代数和，因此，我们可通过变形变换得到多种解法。
1. 凑整法解1：<>+<>123，得5344153x y z ++=<>.<>+<>23，得7735().x y z ++=∴++=x y z 105. 答：只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需1.05元（下面解法后的答均省略） 解2：原方程组可变形为134292522320()().()().x y z y z x y z y z ++-+=++++=⎧⎨⎩ 解之得：x y z ++=105.2. 主元法解3：视x 、y 为主元，视z 为常数，解<1>、<2>得x z =-0505..，y z =-05505.. ∴++=+-+=x y z z z 05505105...解4：视y 、z 为主元，视x 为常数，解<1>、<2>得y x z x =+=-00512.，∴++=+-+=x y z x x x 1052105..解5：视z 、x 为主元，视y 为常数，解<1>、<2>得x y z y =-=-005112..， ∴++=-++-=x y z y y y 005112105...3. “消元”法解6：令x =0，则原方程组可化为5992543320051y z y z y z +=+=⎧⎨⎩⇒==⎧⎨⎩... ∴++=x y z 105.解7：令y =0，则原方程组可化为1399252332000511x z x z x z +=+=⎧⎨⎩⇒=-=⎧⎨⎩.... ∴++=x y z 105.解8：令z =0，则原方程组可化为1359252432005055x y x y x y +=+=⎧⎨⎩⇒==⎧⎨⎩.... ∴++=x y z 105.4. 参数法解9：设x y z k ++=，则1359925124332023x y z x y z x y z k ++=<>++=<>++=<>⎧⎨⎪⎩⎪..∴<>-<>⨯123，得x y -=-<>0054.<>⨯-<>332，得x y k -=-<>3325.∴由<4>、<5>得332005k -=-..∴=k 105.即x y z ++=105.5. 待定系数法解10. 设x y z a x y z b x y z a b x a b y a b z ++=+++++=+++++<>()()()()()135924313254931则比较两边对应项系数，得1321541931121421a b a b a b a b +=+=+=⎧⎨⎪⎩⎪⇒==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 将其代入<1>中，得x y z ++=⨯+⨯=⨯=121925421321212205105....附练习题1. 有大小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.5吨；5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨。
解三角形中的多解问题
解三角形中的多解问题解三角形中的多解问题是几何学中一个重要的概念。
在传统的平面几何中，一个三角形的三个角度和三条边是唯一确定的，也即三个已知量可以唯一确定一个三角形。
然而，在某些情况下，给定的条件并不能唯一确定一个三角形，而是存在多个可能的解，这就是多解问题。
多解问题主要存在于两种情况下：一是给定的条件不足以唯一确定一个三角形，二是在解三角形时引入了非唯一解的假设或方法。
这两种情况下，都需要我们进一步分析和探讨，以便获得准确的解答。
首先，让我们探讨第一种情况，即给定的条件不足以唯一确定一个三角形的情况。
一个明显的例子是只给出了三个角度，而未给出任何边长的情况。
根据三角形内角和定理，三角形的三个内角之和始终为180度。
因此，如果我们知道三个角度分别是60度、60度和60度，我们可以确定这是一个等边三角形。
然而，如果我们只知道三个角度分别是60度、60度和120度，由于存在多个三角形可以满足这三个角度，我们就无法唯一确定一个三角形。
在第二种情况下，我们会引入非唯一解的假设或方法来解三角形。
一个典型的例子是使用正弦定理来解直角三角形。
正弦定理表明，在一个任意的三角形ABC中，边长a、b、c和其相对应的角A、B、C之间满足以下关系：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)在一个直角三角形中，我们可以使用正弦定理来解决未知的边长或角度。
然而，在这种情况下，我们通常会得到两个可能的解。
例如，如果我们知道一个直角三角形的两个边长分别为3和4，我们可以使用正弦定理求解第三个边长。
根据正弦定理，我们有：3/sin(A) = 4/sin(90°) = 5/sin(B)通过求解这个方程，我们得到两个可能的解：角A可以是30度或150度，角B可以是60度或120度。
这就是多解问题在解直角三角形时的一个常见情况。
除了上述两种情况，多解问题还可以出现在其他几何学问题中，例如解二次曲线与直线的交点或解三维几何体的重心等。
中考数学专题复习之一题多解题
三角形，分为三种情况：DA＝DP，PA＝PD，AP＝AD(此时点P在边AB的延长
线上，不合题意)．①如解图，当DA＝DP＝8时(点P为图中的点P1，E为图中的点
E1)，由题意得BD＝ AB2 AD2＝ 62 82＝10，BP1＝BD－DP1＝10－8＝2，由
△P1BE1∽△DBC得
P1E1 ＝
DC
例3解题图
专题三 多解题
类型三 裁剪、拼接
例4 在一张三角形纸片上，取其一边的中点，沿着过这点的两条中位线分别剪去 两个小三角形，剩下的部分就是如图所示的平行四边形ABCD，经测量这个平行四 边形的相邻两边长为5、3，一条对角线的长为4，则原三角形纸片的周长是 __2_4_或__1_6_＋_4___13__．
33
n)，抛物线y＝ax2－x＋2(a≠0)与线段MN有两个不同的交点，则a的取值范围
是_a_≤_－__1_或____14_≤_a_<__13__．
【解析】∵直线y＝－1 x＋5 经过点M(－1，m)和点N(2，n)，∴m＝－1 ×(－1)
＋5
1
35 3
3
3
＝2，n＝－
3
×2＋
3
＝1，∴M(－1，2)1，N(25，1)，∵抛物线y＝ax2－x＋2
例4题图
专题三 多解题
【解析】如解图①，当以过点A的中位线AB、AD剪去两个小三角形时，有EC＝ 2AB＝2×5＝10，FC＝2AD＝2×3＝6，EF＝2DB＝2×4＝8，∴原三角形纸片 的周长为10＋6＋8＝24；如解图②，当以过点B的中位线BA、BC剪去两个小三 角形时，有DF＝2AB＝2×5＝10，DE＝2BC＝2×3＝6，∵DC2＝52＝BC2＋DB2 ＝32＋42，∴∠DBC＝90°，∴∠EDB＝90°，∴BE＝ DB2 DE2 ＝2 13， ∴EF＝24BE1＝3 ，∴原三角形纸片的周长为10＋4 61＋3 ＝41613＋ .综上所述， 原三角形纸片的周长为24或4161＋3 .
圆周运动多解问题
多解问题v ，并沿直线匀速穿过圆筒.若子弹一个弹孔，则圆筒运动的角速度为多少？.则圆筒上只的时间内，圆筒转过的角度为ππ+n 2,其中 3,2,1,0=n ，即ωππ+=n v d 2.2所示，周期为T 。
当P 经过图中D 点时，有一质量为m .为使P 、Q 两质点在某时刻的速度相同，则F 的大小的旋转情况可知，只有当P 运动到圆周上的C 点时P 、Q 速度方向才相同，即质点P 转过)43(+n 周)3,2,1,0( =n 经历的时间)3,2,1,0()43( =+=n T n t ①质点P 的速率T R v π2=②在同样的时间内，质点Q立以上三式,解得2,1,0()34(82=+=n T n mR F π3. 如图3所示,在同一竖直平面内,A 物体从物体在b 点相遇,求A 的角速度。
解析：A 、B 两物体在b 点相遇，则要求A 从a 匀速转到b 和B 从O 自由下落到b 用的时间相等。
A 从a 匀速转到b 的时间T n t )43(1+=)3,2,1,0(2)43( =+=n n ωπB 从O 自由下落到b 点的时间g R t 22=由21t t =，解得)3,2,1,0(2)43(2 =+=n R g n πω4。
如图，半径为R 的水平圆盘正以中心O 为转轴匀速转动，从圆板中心O 的正上方h 高处水平抛出一球，此时半径OB 恰与球的初速度方向一致。
要使球正好落在B 点,则小球的初速度及圆盘的角速分别为多少？解析:要使球正好落在B 点,则要求小球在做平抛运动的时间内，圆盘恰好转了n 圈（ 3,2,1=n )。
对小球221gt h =①t v R 0= ② 对圆盘)3,2,1(2 ==n t n ωπ ③联立以上三式，解得)3,2,1(2 ==n h g n πωh gR v 20=5。
一辆实验小车可沿水平地面（图中纸面）上的长直轨道匀速向右运动，一台发出细光束的激光器装在小转台M 上，到轨道的距离MN 为d=10m ，转台匀速转动，使激光束在水平面内扫描，扫描一周的时间为T=60s,光束转动方向如图箭头所示.当光束与MN 的夹角为45°时，光束正好射到小车上，如果再经过△t=2.5s 光束又射到小车上，则小车的速度为多少？（结果保留二位数字）［分析]激光器扫描一周的时间T=60s ，那么光束在△t=2。
高中数学一题多解例题
1、解不等式523<<3-x解法一：根据绝对值的定义，进行分类讨论求解（1）当03-≥x 2时，不等式可化为53-<<x 2343<<x ⇒（2）当03-<x 2时，不等式可化为0x -1⇒53-2x <<<+<3 综上：解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法二：转化为不等式组求解原不等式等价于 014353232<<<<<>x x x x ⇒-3-或且 综上：解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法三：利用等价命题法原不等式等价于-33-2x 5-53-<<<<或x 23，即0x 1-<<<<或43x 解集为}{0x 1-<<<<或43x x解法四：利用绝对值的集合意义原不等式可化为2523<<23-x ，不等式的几何意义时数轴上的点23到x 的距离大于23，且小于25，由图得， 解集为}{0x 1-<<<<或43x x2、已知n s 是等比数列的前n 想项和，963s s s ,,成等差数列，求证：852a a a ,,成等差数列 法一：用公式qq a s n n 一一111)(=， 因为963s s s ,,成等差数列，所以9632s s s =+且1≠q 则 6396391613121121121111q q q q q q qq a q q a q q a =+=+=+⇒)≠(⇒)()()(一一一一一一 所以8716141152222a q a q q a q a q a a a ===+=+)( 所以 852a a a ,,成等差数列｀法二用公式q q a a s n n 一一11=，qq a a q q a a q q a a s s s 一一一一一一12112916131963)(∴,=+=+ 则q a q a q a a a a 85296322=+⇒=+8522a a a =+⇒，所以 852a a a ,,成等差数列｀证法三：（用公式)(),(n n n n n n n q q s s q s s 23211++=+=） 3333213654361s q q a a a s a a a s s )()(+=+++=+++=)()()(633333963633912121q q s q s s s s s q q s s ++=++⇒=+++=解得213一=q （下略）。
初中数学 一题多解
一题多解题1.已知a、b为实数，且ab≠0＝.2.小明等五名同学四月份参加某次数学测验（满分为120）的成绩如下：100、100、x、x、80．已知这组数据的中位数和平均数相等，那么整数x的值为．3.“五一”期间，某超市推出如下购物优惠方案：（1）一次性购物在100元（不含100元）以内时，不享受优惠；（2）一次性购物在100元（含100元）以上，300元（不含300元）以内时一律享受九折的优惠；（3）一次购物在300元（含300元）以上时，一律享受八折的优惠.在此期间某顾客一次性购物付款252元，那么该顾客比平时购买总价相同的商品（没有优惠的时候）优惠了元.4.已知，如图1：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为.5.线段AB的两端点的坐标为A（-1，0），B（0，-2）现请你在坐标轴上找一点P，使得以P、A、B为顶点的三角形是直角三角形，则满足条件的P点的坐标是6.如图2，在直角坐标系中，已知A（1，0）、B（－1，－2）、C（2，－2）三点坐标，若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，那么点D的坐标可以是7.已知矩形的长为3，宽为1，现将四个这样的矩形用不同的方式拼成一个面积为12的大矩形，那么这个大矩形的周长是8.如图4，在边长为1的正方形网格中画有一个圆心为O的半圆,请在网格中以O为圆心,画一个与已知半圆的半径不同,且面积相等的扇形．9. 题a：如图5，AB=AC，AD⊥BC于点D，请你在△ABC内部，仅用圆规确定E、F两点，使∠BEC=∠BFC=90°.题b：如图6，四边形ABCD是一个等腰梯形,请直接在图中仅用直尺,准确．．画出它的对称轴.10.把一个等边三角形分成四个等腰三角形，要求：1.除图a外再画出三种互不相同的分法，2.像图a一样，注明每个等腰顶角的度数.11..如图8是由三个小正方形组成的图形，现再给你一个同样的小正方形拼接在原图上，使原图形变为一个轴对称图形，请你分别在图a、b、c中画出不同的拼接方案，并画出对称轴.12.甲同学用如图9所示方法作出了C点，在△OA B中，∠OAB＝90°，OA＝2，AB＝3，且点O、A、C在同一数轴上，OB＝OC．（1）C点所表示的数是；（2）仿照甲同学的做法，在如下所给数轴上描出表示－29的点C．13.如图10，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出△A1B1C1和△A2B2C2；（1）先作△ABC关于直线l成轴对称的图形，再向上平移1个单位，得到△A1B1C1；（2）以图中的O为位似中心，将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2．14.甲、乙两同学对关于y 、x 的抛物线f: 22222y x mx m m =-++进行探讨交流时，各得出一个结论.甲同学：当抛物线f 经过原点时，顶点在第三象限平分线所在的直线上;乙同学：不论m 取什么实数值，抛物线f 顶点一定不在第四象限.(1)请你求出抛物线f 经过原点时m 的值及顶点坐标，并说明甲同学的结论是否正确？(2)乙同学的结论正确吗？若你认为正确，请求出当实数m 变化时，抛物线f 顶点的纵横坐标之间的函数关系式，并说明顶点不在第四象限的理由；若你认为不正确，求出抛物线f 顶点在第四象限时，m 的取值范围.15.已知抛物线2141y x x =++的图象向上平移m 个单位（0m >）得到的新抛物线过点（1，8）.（1）求m 的值，并将平移后的抛物线解析式写成22()y a x h k =-+的形式；（2）将平移后的抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，与平移后的抛物线没有变化的部分构成一个新的图象.请写出这个图象对应的函数y 的解析式，在所给的平面直角坐标系中直接画出简图，并直接写出y 与1y 之间关系式.16. 已知抛物线m 、n 的解析式分别是关于y 与x 的关系式：2222m y x mx =--22222m y x mx +=--与. （1）对上述两个抛物线说法正确的序号是 ；①两条抛物线与y 轴的交点一定不在x 轴的上方②在抛物线m、n中，可以将其中一条抛物线经过向上或向下平移得到另一条抛物线③在抛物线m、n中，可以将其中一条抛物线经过向左或向右平移得到另一条抛物线④两条抛物线的顶点之间的距离为1（2）若这两条抛物线中，只有一条与x轴交于A、B（A点在左）两个不同的点，问是哪条抛物线经过A、B两点？为什么？并求出A、B两点的坐标.17. 某校七年级学生准备去购买《英汉词典》一书，此书的标价为20元，现A，B两书店都有此书出售，A店按如下方法促销：若只购1本则按标价销售，若一次性购买多于1本，但不多于20本时，每多购1本，每本售价在标价的基础上优惠2％(例如买两本,每本价优惠2％;买3本每本价优惠4％,依此类推)，若多于20本时，每本售价为12元；B书店一律按标价的7折销售.（1）试分别写出在两书店购此书总价y，B y与购书本数x之间的函数关系式；A（2）若某班一次性购买多于20本时，那么去哪家书店购买更合算，为什么？若要一次性购买不多于20本时，先写出y（y=y-B y）与购书本数x之间的函数式，画出其函数图象，再利用函数图象分析去哪家书店买更合算.。
初中数学一题多解习题
初中数学一题多解习题练习一、思维定势干扰例 1.直角三角形的两条边长分别为6和8,那么这个三角形的外接圆半径等于。
例2.已知实数a、b满足a2+ 2a = 2,b2 + 2b = 2，求1 + 1的值。
a b二、审题草率例3. 一组数据5,7,7，x的中位数与平均数相等，则x的值为例4. 一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是- 3< x < 6，相应函数值的取值范围是-5 < y <-2，则这个函数的解析式为。
三、忽视了数学的一些规定例5.当a 取什么数时，关于未知数x 的方程ax 2 + 4x -1 = 0只有正实数根?四、忽视图形的位置或形状例6.若圆O 的直径AB 为2,弦AC 为五，弦AD 为也，则S 扇形0co （其中 2s 扇形OCD < S 圆。
）为 ---------------------- 。
例7.为美化环境，计划在某小区内用30m 2的草皮铺设一块边长为10m 的等 腰三角形绿地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。
五、忽视了比例线段之间的不同对应关系例8.（江西）如图6所示，已知4ABC内接于圆O, AE切圆O于点A, BC//AE。
（1）求证：△ ABC是等腰三角形；（2）设AB=10cm，BC=8cm，点P是射线AE上的点，若以A、P、C为顶点的三角形与4ABC相似，求AP的长。
一、圆的多解题型1、平面上一点到圆的最大距离、最小距离分别感和2,求圆的直径。
2、圆的两条弦长6和8,半径5,求两条弦的距离。
3、半径是4的圆中，长是4的弦所对的圆周角是多少度？4、相切两圆半径分别是4和6,求圆心距。
5、相交两圆半径分别是25和39,公共弦长30,求圆心距。
6、三角形ABC的外接圆半径是4, BC=4,求角A的度数。
二、数的多解题型1、a的相反数是本身，b的倒数是本身，则a-b的值是多少？2、平方是本身的数是____3、a的立方根是2, a的平方根是几？4、a、b的平方相等，a+2=3, b-2的差是几？5、绝对值是5的数与平方根是3的数的和是几？6、数轴上，与表示2的点距离等于6的点表示的数，是倒数等于1.5的数的多少倍?三、三角形的多解题型1、等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，求顶角。
初中数学一题多解
初中数学一题多解一、圆的多解题型1、平面上一点到圆的最大距离、最小距离分别是6和2，求圆的直径。
（分点在圆内和圆外两种情况，直径是6+2或6-2）2、圆的两条弦长6和8，半径5，求两条弦的距离。
（分弦在圆心的同旁和两旁两种情况，距离是4+3或4-3）3、半径是4的圆中，长是4的弦所对的圆周角是多少度？（分弦所对的优弧和劣弧对的圆周角两种情况，度数是30或150）4、相切两圆半径分别是4和6，求圆心距。
（分内切、外切两种情况，圆心距是6-4或6+4）5、相交两圆半径分别是25和39，公共弦长30，求圆心距。
（分两圆心在公共弦的同旁和两旁两种情况，是36-20或36+20）6、三角形ABC的外接圆半径是4，BC=4，求角A的度数。
（分圆心在三角形内部和外部两种情况，是30度或150度)二、数的多解题型1、a的相反数是本身，b的倒数是本身，则a-b的值是多少？（倒数是本身的数有1和-1，结果是-1或1）2、平方是本身的数是_____(是0或1）3、a的立方根是2，a的平方根是几？（正数的平方根都有两个，是正负2根号2）4、a、b的平方相等，a+2=3，b-2的差是几？（平方相等的数要么相等要么互为相反数，b是1或-1，差是-1或-3）5、绝对值是5的数与平方根是3的数的和是几？（绝对值是正数的数有两个，和是8或-2）6、数轴上，与表示2的点距离等于6的点表示的数，是倒数等于1.5的数的多少倍？（距离是6的点表示的数是原数加上6或减去6，结果是-6倍或12倍）三、三角形的多解题型1、等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，求顶角。
（分锐角三角形和钝角三角形两种情况，顶角30°或150°）2、等腰三角形两边长5和6，求周长。
（两边分别是腰和底两种情况，得周长16或17）3、直角三角形两边长3和4，求第三边。
（第三部边是斜边、直角边两种情况，是5或根号7）4、三角形的一个30°角对的边为5，一条邻边是8，求面积。
一题多解的例题
一题多解的例题比如说有这么一道题：小明去商店买文具，一支铅笔3元，一个笔记本5元，他买了2支铅笔和3个笔记本，一共花了多少钱？一种解法呢，我们可以先算出铅笔的总价，2支铅笔，每支3元，那就是2乘以3等于6元。
再算出笔记本的总价，3个笔记本，每个5元，3乘以5等于15元。
最后把铅笔的总价和笔记本的总价加起来，6加上15等于21元。
这就像我们把买铅笔和买笔记本当成两件事分开算，最后合起来。
还有一种解法哦。
我们可以把一支铅笔和一个笔记本看成一组，这一组的价格就是3加上5等于8元。
小明买了2支铅笔和3个笔记本，那我们可以看成是买了2组还多一个笔记本。
2组的价格就是2乘以8等于16元，多的那个笔记本是5元，16加上5也等于21元。
这种解法就像是把东西组合起来算，是不是很有趣呀？再给大家讲个故事吧。
从前有个小木匠，他要做一些小凳子和小桌子。
做一个小凳子需要2块木板，做一个小桌子需要4块木板。
他要做3个小凳子和2个小桌子。
我们可以像第一种解法那样，先算小凳子用的木板数，3个小凳子，每个2块木板，3乘以2等于6块。
再算小桌子用的木板数，2个小桌子，每个4块木板，2乘以4等于8块。
最后把它们加起来，6加上8等于14块木板。
也可以换个思路，我们把一个小凳子和一个小桌子看成一套，一套就需要2加上4等于6块木板。
这里有3个小凳子和2个小桌子，就相当于有2套还多一个小凳子。
2套就需要2乘以6等于12块木板，多的那个小凳子需要2块木板，12加上2还是等于14块木板。
同学们，一题多解可有意思啦。
它能让我们的小脑袋变得更灵活，就像给我们的思维打开了好多扇小窗户。
当我们遇到一道题的时候，不要只想一种方法，要多动动小脑筋，想想看有没有其他的办法。
这就像我们去一个地方，不要只走一条路，可以多探索探索，说不定会发现更多好玩的东西呢。
而且呀，一题多解还能帮助我们检查答案呢。
如果我们用两种方法算出的答案是一样的，那这个答案就很可能是正确的。
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南岗区数学教师技能大赛解题培训（一）
折叠问题
1、 在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD <BC ，∠B=900，AD=AB=12，点E 在BC 边上，
将梯形沿DE 折叠，使得点C 落在边AB 上的F 点，且∠CDF=900，若EF=10，则线段BF 的长为_________________.
2、 在矩形ABCD 中，AB=10，AD=4，点E 在CD 边上，折叠该矩形ABCD ，使得点A
与点E 重合，所得的折痕与AB 边相交于点G ，若AG=5，则DE 的长是______________. 3、 直角梯形ABCD 中，∠A=∠B=900，AB=BC=4，CD=5，沿过点C 的直线CD 折叠，
使点D 落在直线AB 上，折痕直线交AD 于点F ，则CF 长为______________________.
锐角与钝角问题
4、 在ABC ∆中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，直线AD 、CE 交于点H ，已
知EH=EB=3，AE=4，则线段DH 的长为__________________. 5、 在ABC ∆中，AB=15，AC=20，高AD=12，AE 为角平分线，则线段AE 的长___________.
直线与延长线问题
6、 已知直角三角形ABC 中，点D 为斜边BC 的中点，AC=4，BC=8，直角EDF 的两边
分别与直线AC ，直线AB 交于点E 和点Ｆ，BF=7，则AE 的长为___________________. 7、 点E 是平行四边形ABCD 的边AB 上一点，AE=3BE ，点Ｆ是直线AD 上一点，AF=2FD ，
EF 交AC 于点G ，AG ：CG 的值是_______________________.
8、 已知正方形ABCD 中，边长为4，点E 在直线AD 上，DE=2，过E 作射线EF ⊥BE ，
交射线CD 与点F ，射线BD 交射线EF 于点M ，则线段MD 的长为__________________. 9、ABC ∆中，AB=AC ，∠BAC=900，点D 为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的左侧作正方形ADEF ，设直线EF 与直线BC 交于点O ，若22=AB ，CD=3，则CO= .
等腰三角形问题
10、在ABC ∆中，AB=AC=6，作边AC 的垂直平分线，与AC 交于点D ，与直线AB 交于点E ，与直线BC 交于点F ，若DE=4，则CF= .
一个图形列一元二次方程得双解问题
11、在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC >AD ，∠D=900，BC=CD=6，点E 在线段DC 上，
且∠ABE=450
，若AE=5，则CE 的长度为 . 两侧位置问题
12、平行四边形ABCD ，∠A 的平分线分对边CD 为5cm 和4cm 两段，∠A 的余弦是
5
3，
平行四边形ABCD 的面积是 .
13、ABC ∆中，AB=AC ，∠BAC=900，AM ⊥BC 于M ，点D 为射线AB 上一点，点E
为直线AC 上一点，BD=CE ，连接DE 交线段BC 于点F ，交AM 于点G ，若AB=3，AF=5，则线段DG 的长为 .
圆有关多解问题
14、已知等边三角形ABC 内接于⊙O ，D 为直线AB 上一点，若3=
AB ，
4
3=∆BCD S ，
则OD 的长为 .
15、已知点P 是半径为2的⊙O 外一点，PA 是⊙O 的切线，切点为A ，且PA=2，在⊙O
内作出长为22 的弦AB ，连接PB ，则PB 的长为 . 16、已知ABC ∆内接于⊙O ，D 为BC 所对弧的中点，点A 、D 分别在BC 的异侧，连接
BD ，若⊙O 半径为5，BC=8，则BD 的长为 .
17、AB 为⊙O 的直径，AB=10，将⊙O 沿MN 翻折，翻折后点'B 与点B 对应，M 、N 均
在⊙O 上，且MN ⊥AB ，当2'=AB 时，'MB 的长为 .
相似问题 18、将三角形纸片ABC 折叠，使点B 落在边AC 上，记为点'B ，折痕为EF ，已知AB=AC=3，
BC=4，若以点C 、F 、'B 为顶点的三角形与ABC ∆相似，那么BF 的长度是 . 19、已知直角三角形ABC 中，090=∠ACB ，AC=6，BC=8，点D 是AB 的中点，点E 是直线AC 上一点，若以C 、D 、E 为顶点的三角形与三角形ABC 相似，则AE 的长度为 .
直角坐标系问题
20、在平面直角坐标系中，OEFG 为正方形，点F 的坐标为（1，1），将一个最短边长大于2的直角三角形纸片的直角顶点放在对角线FO 上，且直角顶点不与点O 、F 重合，两条直角边与正方形相邻两边相交，当这个三角形纸片与正方形OEFG 重叠部分的面积是正方形面积的一半时，则三角形纸片直角顶点的坐标为 .
答案：1、6或8 2、2或8 3、
7
4、3215
5
或
5、
7
6、44+或 8、3
5
9、
11232
2
或
11352
2
或
1352
2
或
10、2
11、2或 3 12、144365
或
13、
3
3
14、
3
3
15、2 16、 17、
18、1227
或
19、3或
73
20、
（，）或（1-1-
）2
2
2
2。