【同步】设k法求比值与黄金分割
6.2 黄金分割-2020-2021学年九年级数学下册同步课堂帮帮帮(苏科版)(解析版)
如图所示，点B把线段AC分成两部分，如果，那么称线段AC被点B黄金分割，点B为线段AC的黄金分割点，AB与AC（或BC与AB，近似值为0.618.1.黄金分割是以线段的比例中项来定义的；2.一条线段有两个黄金分割点，它们是对称存在的；3.数约等于0.618，这个数又被称为黄金数；4.边长之比等于黄金数的图形叫做“黄金图形”.例：点C是AB的黄金分割点，AB＝4，则线段AC的长为 ．【解答】22或6﹣2【解析】①当AC＞BC时，∵点C是线段AB的黄金分割点，∴AC＝AB＝2﹣2；②当AC＜BC时，∵点C是线段AB的黄金分割点，∴BC＝AB＝2﹣2，∴AC＝AB﹣BC＝6﹣2综上所述，线段AC的长为22或6﹣2故答案为22或6﹣2一．选择题1．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝10，那么AP的长是（ ）A．5B．5C．1D【解答】A【解析】由于P为线段AB＝10的黄金分割点，且AP是较长线段；则AP＝―5．故选A．2．如图，已知点E是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，若S1表示AE为边长的正方形面积，S2表示以BC为长，BE为宽的矩形面积，S3表示正方形ABCD除去S1和S2剩余的面积，则S3：S2的值为（ ）A B C D 【解答】A【解析】如图，设AB＝1，∵点E是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，∴AE＝GF∴BE＝FH＝AB﹣AE∴S3：S2＝（GF•FH）：（BC•BE）：（1故选A ．3．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G 将一线段MN 分为两线段MG ，GN ，使得其中较长的一段MG 是全长MN 与较短的一段GN 的比例中项，即满足MGMN =GNMG =“黄金分割”数，把点G 称为线段MN 的“黄金分割”点．如图，在△ABC 中，已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若D ，E 是边BC 的两个“黄金分割”点，则△ADE 的面积为（ ）A B ．―5C D 【解答】A【解析】作AH ⊥BC 于H ，如图，∵AB ＝AC ，∴BH ＝CH =12BC ＝2，在Rt △ABH 中，AH ∵D ，E 是边BC 的两个“黄金分割”点，∴BE ＝2―1）＝―2，∴HE ＝BE ﹣BH ＝―2﹣2＝―4，∴DE ＝2HE ＝8∴S △ADE =12×（8）=故选A ．4．21）的值（ ）A．在1和2之间B．在2和3之间C．在3和4之间D．在4和5之间【解答】B又∵2―1）＝―2，∴4＜5，∴2＜2＜3，∴21）的值在2和3之间；故选B．5．已知点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2，AC＜BC，则AC长是（ ）A B―1C．3―D【解答】C【解析】∵点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2，AC＜BC，BC2＝AC•AB（2﹣AC）2＝2ACAC2﹣6AC+4＝0解得AC＝3+3则AC长是3―故选C．6．如果一个矩形的宽与长的比等于黄金比，则称该矩形为黄金矩形．如图，已知矩形ABCD是黄金矩形，且AD＞AB，AD＝2，点E是AD上一点，点G是CD上一点，将△ABE沿直线BE折叠，使点A落在BC边上的点F处，再将△DEG沿直线EG折叠，使点D落在EF上的点H处，则FH的长为（ ）A1B C．3―D．4【解答】D【解析】∵矩形ABCD 是黄金矩形，且AD ＞AB ，AD ＝2，∴AB =―1，∵△ABE 沿直线BE 折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，∴AB ＝BF 1，∠BFE ＝∠A ＝90°，∴四边形ABFE 为正方形，∴AE ＝EF ＝AB =―1，同理可得四边形DEHG 为正方形，∴EH ＝DE ＝AD ﹣AE ―1）＝3∴HF ＝EF ﹣EH =―1﹣（34．故选D ．7．在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加美感，按此比例，如果雕像的身高为3米，设雕像的上部为x 米，根据其比例关系可得其方程应为（ ）A ．x 2﹣9x +9＝0B ．x 2﹣3x +9＝0C ．x 2+9x ﹣9＝0D ．x 2﹣6x +9＝0【解答】A【解析】根据题意得x ：（3﹣x ）＝（3﹣x ）：3，整理得x 2﹣9x +9＝0．故选A ．8．已知，P 是线段AB 上的点，且AP 2＝BP •AB ，那么AP ：AB 的值是（ ）A B C D 【解答】A【解析】设AB 为1，AP 为x ，则BP 为1﹣x ，∵AP 2＝BP •AB ，∴x 2＝（1﹣x ）×1解得x 1x 2．∴AP ：AB 故选A ．9．如图，Rt △OAB 的直角边OA ＝2，AB ＝1，OA 在数轴上，在OB 上截取BC ＝BA ，以原点O 为圆心，OC 为半径画弧，交数轴于点P ，则OP 的中点D 对应的实数是（ ）A B C 1D 1【解答】A【解析】在Rt △OAB 中，∠OAB ＝90°，AB ＝1，OA ＝2，由勾股定理得：OB =∵BC ＝AB ，AB ＝1，∴BC ＝1，∴OC ＝OB ﹣BC =―1，即OP =―1，∵OP 的中点是D ，∴OD =12OP =12×―1）即点D 故选A ．10．点P 把线段AB 分割成AP 和PB 两段，如果AP 是PB 和AB 的比例中项，那么下列式子成立的是（ ）A ．PBAP =B ．APPB C ．PBAB D ．APAB 【解答】D【解析】∵点P 把线段AB 分割成AP 和PB 两段，AP 是PB 和AB 的比例中项，∴根据线段黄金分割的定义得：APAB =故选D ．11．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b （b ＞a ）以及实数x （0＜x ＜1）确定实际销售价格c ＝a +x （b ﹣a ），这里x 被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得b ac a=c ab c ，据此可得，最佳乐观系数x 的值等于（ ）A ．12B C D【解答】D【解析】∵c﹣a＝x（b﹣a），b﹣c＝（b﹣a）﹣x（b﹣a），b ac a =c ab c，∴[x（b﹣a）]2＝（b﹣a）2﹣x（b﹣a）2，∴x2+x﹣1＝0，解得x∵0＜x＜1，∴x=故选D．12．下列说法：①关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，当a、c异号时，方程一定有实数根；②关于x的方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0有一个根是x＝0，则a＝±2；x＝﹣4或1；④数4和9的比例中项是6；⑤若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝10，则AC＝―5．其中正确的说法的个数是（ ）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】C【解析】①关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，当a、c异号时，方程一定有实数根；正确，此时△＞0；②关于x的方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0有一个根是x＝0，则a＝±2；正确；x＝﹣4或1；错误，x＝﹣4不符合题意，不是最简二次根式；④数4和9的比例中项是6；错误，数4和9的比例中项是±6，⑤若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝10，则AC＝5．错误，若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝10，则AC＝5或BC＝5．故选C．二．填空题130.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐27cm，则其身高大约是 cm．（结果保留整数）【解答】185．【解析】设咽喉至肚脐的长度为xcm，肚脐至足底的长度为ycm，由题意得，27x≈0.618，解得，x≈43.7，∴人体的头顶至肚脐的长度为：27+43.7＝70.7，∴70.7y≈0.618，解得，y≈114.4，其身高＝114.4+70.7≈185（cm），故答案为185．14．如图，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，设以AP为边长的正方形面积为S1，以PB为宽，以AB为长的矩形面积为S2，S1 S2（填“＞”或“＝”或“＜”）．【解答】＝【解析】∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，∴AP2＝BP×AB，又∵S1＝AP2，S2＝PB×AB，∴S1＝S2．故答案为＝．15．如图，C、D是线段AB的两个黄金分割点，且CD＝1，则线段AB的长为 ．【解答】2+【解析】∵线段AB＝x，点C是AB黄金分割点，∴较小线段AD＝BC=，则CD＝AB﹣AD﹣BC＝x﹣2×=1，解得：x＝2+故答案为2+16．点P在线段AB上，且BPAP =APAB．设AB＝4cm，则BP＝ cm．【解答】【解析】∵BPAP =APAB．∴P点为AB的黄金分割点，∴AP4＝2，∴BP＝4﹣（2cm．．17．已知点P是线段AB上的一点，且BP2＝AP•AB，如果AB＝10cm，那么BP＝ cm．【解答】（5）【解析】∵点P是线段AB上的一点∴AP＝AB﹣BP＝10﹣BP，∵BP2＝AP•AB，AB＝10cm，BP2＝（10﹣BP）×10，解得BP＝―5．故答案为（5）．18．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为 cm．【解答】（5）【解析】∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），∴AP10＝―5（cm），故答案为（5）19．电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台AB长为20米，主持人现站在A处，请问主持人应走到离A点至少多少米处才最自然得体？（结果精确到0.1米） ．【解答】7.6米【解析】根据黄金比得：20×（1﹣0.618）≈7.6米，∵黄金分割点有2个，∴20﹣7.6＝12.4，由于7.6＜12.4米∴主持人应走到离A点至少7.6米处才最自然得体．故答案为7.6米．20．如图，以边长为4的等边三角形AOB的顶点O为坐标原点，边OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，点B在第一象限，在边OB上有一点P为OB的黄金分割点（PO＞PB），那么点P的坐标是 ．【解答】（4，【解析】如图，作BD⊥OA，PE⊥OA于点D、E，∵△ABC为边长为+4的等边三角形，∴∠OBD＝∠ODE＝30°，设OE＝x，则OP＝2x，PE，则PB＝+4﹣2x，∵点P为OB的黄金分割点（PO＞PB），根据黄金分割定义，得OP2＝OB•PB4x2＝（4）（4﹣2x）解得x＝4，＝所以P点坐标为（4，．故答案为（4，．21．把长为10cm的线段黄金分割后，其中较短的线段长度是 cm．【解答】5（3―【解析】由题意知，则较短线段＝10×（15（3―．故本题答案为：5（3―．三．解答题22．如图，在△ABC中，点D在边AB上，且BD＝DC＝AC，已知∠ACE＝108°，BC＝2．（1）求∠B的度数；（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；②求AD的长．【解答】（1）∠B的度数为36°；（2）①△ABC、△DBC、△CAD都是黄金三角形；②3―【解析】（1）设∠B＝x，∵BD＝DC，∴∠DCB＝∠B＝x，∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝2x，∵AC＝DC，∴∠A＝∠ADC＝2x，∵∠ACE＝∠B+∠A，∴x+2x＝108°，解得x＝36°，即∠B的度数为36°；（2）①△ABC、△DBC、△CAD都是黄金三角形．理由如下：∵DB＝DC，∠B＝36°，∴△DBC为黄金三角形；∵∠BCA＝180°﹣∠ACE＝72°，而∠A＝2×36°＝72°，∴∠A＝∠ACB，而∠B＝36°，∴△ABC为黄金三角形；∵∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB＝72°﹣36°＝36°，而CA＝CD，∴△CAD为黄金三角形；②∵△BAC为黄金三角形，=∴ACBC而BC＝2，∴AC=―1，∴CD＝CA1，∴BD＝CD1，∴AD＝AB﹣BD1）＝3―23ABCD剪掉一个正方形ADFE后，剩余的矩形BCFE（BC＞BE）是黄金矩形，则原矩形ABCD是否为黄金矩形？请说明理由．【解答】见解析【解析】原矩形ABCD是为黄金矩形．理由如下：设矩形BCFE的长BC为x，∵四边形BCFE为黄金矩形，∴宽FC，∵四边形AEFD是正方形，∴AB＝x，则BCAB∴原矩形ABCD是为黄金矩形．24．（1）已知ab =35，求（2）已知点P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB，AB＝2，求PA、PB的长．【解答】（1）85；（2）PA―1，PB=3―【解析】（1）∵ab =35，∴可设a＝3k，则b＝5k，∴a bb =3k5k5k=85；（2）∵点P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB，AB＝2，∴PA=―1，PB＝3―25．如图，用纸折出黄金分割点：裁一张边长为2的正方形纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落在线段EA上，折出点B的新位置F，因而EF＝EB．类似的，在AB上折出点M使AM＝AF．则M是AB的黄金分割点吗？若是请你证明，若不是请说明理由．【解答】见解析【解答】证明：∵正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，∴BE＝1∴AE=∵EF＝BE＝1，∴AF＝AE﹣EF=―1，∴AM＝AF1，∴AM：AB1）：2，∴点M是线段AB的黄金分割点．26．如图，点C将线段AB分成两部分，若AC2＝BC•AB（AC＞BC），则称点C为线段AB的黄金分割点．某数学兴趣小组在进行抛物线课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金抛物线”，类似地给出“黄金抛物线”的定义：若抛物线y＝ax2+bx+c，满足b2＝ac（b≠0），则称此抛物线为黄金抛物线．（1）若某黄金抛物线的对称轴是直线x＝2，且与y轴交于点（0，8），求y的最小值；（2）若黄金抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点P为（1，3），把它向下平移后与x轴交于A+3，0），B（x，0），判断原点是否是线段AB的黄金分割点，并说明理由．【解答】（1）6；（2）见解析【解析】（1）∵黄金抛物线的对称轴是直线x＝2，=2，∴―b2a∴b＝﹣4a，又b2＝ac∴16a2＝ac．且与y轴交于点（0，8），∴c＝8．∴a =12，b ＝﹣2．∴y =12x 2﹣2x +8=12（x ﹣2）2+6，∵12＞0，∴y 有最小值为6．答：y 的最小值为6．（2）原点是线段AB 的黄金分割点．理由如下：∵黄金抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ＞0）的顶点P 为（1，3），把它向下平移后与x 轴交于A 3，0），B （x 0，0），∴x 0＝﹣1∴OA ＝3OB ＝1+AB ＝OA 2＝（32＝OB •AB ＝（1+）（∴OA 2＝OB •AB ．答：原点是线段AB 的黄金分割点．27．如图，要设计一座高为2米的人体雕像AB ，使雕像的上部AC （腰点C 以上）与下部（腰点C 以下）的高度之比等于下部BC 与全部AB （身高）的高度之比，雕像的下部BC 的长应设计为多少米？【解答】（﹣1+【解析】设下部应设计为x 米，则上部的长度为（2﹣x ）米，根据题意得，2x x =x 2，整理得，x 2+2x ﹣4＝0，解得，x 1＝﹣1+x 2＝﹣1―，所以，雕像的下部应设计为（﹣1+28．如图1，点B 在线段AC 上的黄金分割点，且AB ＞BC ．（1）设AC ＝2，①求AB 的长；填空：设AB ＝x ，则BC ＝2﹣x∵点B 在线段AC 上的黄金分割点，且AB ＞BC ，∴ ，可列方程为 ，解得方程的根为 ，于是，AB 的长为 ．②在线段AC （如图1）上利用三角板和圆规画出点B 的位置（保留作图痕迹，不写作法）；（2）若m 、n 为正实数，t 是关于x 的方程x 2+2mx ＝n 2的一正实数根，①求证：（t +m ）2＝m 2+n 2；②若两条线段的长分别为m 、n （如图2），请画出一条长为t 的线段（保留作图痕迹，不写作法）．【解答】（1）①AB AC =BC AB ，x 2=2x x ，x 1＝﹣1x 2＝﹣1+（2）①见解析，②见解析【解析】（1）①设AB ＝x ，则BC ＝2﹣x∵点B 在线段AC 上的黄金分割点，且AB ＞BC ，∴AB AC =BC AB ，可列方程为：x 2=2x x ，解得：x 1＝﹣1+x 2＝﹣1―∴AB 的长为：﹣1故答案为AB AC =BC AB ，x 2=2x x ，x 1＝﹣1x 2＝﹣1②作图见下图1：（2）①证明：解关于x的方程x2+2mx＝n2：x2+2mx+m2＝m2+n2（x+m）2═m2+n2，∵t是关于x的方程x2+2mx＝n2的一正实数根，∴（t+m）2＝m2+n2；②作图见下图。
2019年福建省厦门市小升初数学考试真题及答案
2019年福建省厦门市小升初数学考试真题及答案一、仔细看题，准确计算．（32分）1．直接写出得数．（8分）5÷＝×＝﹣＝0.75+＝÷＝0.36×＝80%×＝2．脱式计算．（能简算的要简算）（18分）÷9+×2.5÷×÷[﹣（1﹣）] 3．求未知数x（6分）x+20%x＝36﹣2x＝12＝二、细心审题，恰当填空．（28分）4．＝16÷＝：2.5＝%＝（小数）5．某地某一天的最低气温是﹣5℃，最高气温12℃，这一天的最高气温与最低气温相差℃．6．厦门市地铁1号线全长约30.3千米，合米，改写成用“万”作单位的数是万米，精确到十分位约是万米．7．王芳骑自行车，3小时行了75千米，王芳骑自行车的速度是千米/时，她行1千米需小时．8．7只小鸟飞回6个鸟笼，至少有只小鸟要飞回同一个鸟笼．9．一件衣服打九折后售价180元，这件衣服降价元。
10．0.4：1.6的比值是．如果前项加上0.8，要使比值不变，后项应加上．11．把3平方米的纸片平均分成5份，每份占它的，每份的面积是平方米．12．如果3a＝4b（a、b≠0），那么a：b＝：；如果＝27（y≠0），那么x和y成比例．13．在三角形ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：3：2，∠C＝，这个三角形是三角形．14．如图所示，把底面直径6厘米、高10厘米的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体．这个长方体的表面积是平方厘米，体积是立方厘米．15．用铁皮做一个底面直径为8分米，高为6分米的圆柱形无盖水桶，至少要用平方分米的铁皮，这个水桶最多能装水升．16．把边长1厘米的正方形纸片，按规律排成长方形（1）4个正方形拼成的长方形周长是厘米．（2）用a个正方形拼成的长方形周长是厘米．17．如图所示，小华骑车到与他家相距5千米的书店买书，这是他离开家的距离与时间的示意图．可以看出：他在书店的时间是小时，他去时的速度是千米/时．三、反复比较，慎重选择（6分）18．一种饼干包装袋上标着：净重（150±5克），表示这种饼干标准的质量是150克，实际每袋最少不少于（）克．A．160 B．155 C．150 D．14519．某村前年生产粮食500吨，去年粮食丰收，生产粮食600吨，去年粮食增产（）A．一成B．四成C．二成D．十成20．一幢教学楼长40m，在平面图上用8cm的线段表示，这幅图的比例尺是（）A．1：50 B．50：1 C．1：500 D．500：121．完成同一件工作，甲要用5小时，乙要用4小时，甲和乙工作效率的比是（）A．5：4 B．4：5 C．5：9 D．不能确定22．图中正方形的面积（）平行四边形的面积．A．大于B．等于C．小于D．无法判断23．最近一次数学测试，甲、乙两个同学的平均成绩为88分，甲、丙两个同学的平均成绩为90分，乙、丙两个同学的平均成绩为92分，他们三人的平均成绩是（）分．A．88 B．90 C．92 D．94四、按要求填空，并画图．（6分）24．（1）在下面方格图（每个方格的边长表示1cm）中画一个直角三角形，其中两个锐角的顶点分别确定在（5，7）和（1，3）的位置上，那么直角的顶点位置可以是（，）．（2）将这个三角形向右平移5格．（3）将平移后的这个三角形按1：2缩小后画在合适的位置．六、运用所学，解决问题（26分）25．如图所示，在本次体能测试中，成绩优的有90人，则共有多少人参加测试？26．爸爸将5000元存入银行，定期三年，年利率为4.15%，到期时爸爸能拿回多少钱？27．学校图书室购进300本故事书，比科技书的5倍少50本．购进科技书多少本？28．李老师带1000元去商场买篮球，买了15个，还剩40元钱，每个篮球多少元？29．学校要把一批树苗栽到科普基地，如果每行栽10棵，正好是18行，如果每行栽12棵，可以栽多少行？（用比例解）30．一个圆锥形沙堆，底面积28.26平方米，高3米．用这堆沙在10米宽的公路上铺2厘米厚的路面，能铺多少米？31．在比例尺是1：12000000的地图上，量行济南到青岛的距离是4cm．在比例尺是1：8000000的地图上，济南到青岛的距离是多少厘米？32．图中圆的周长是12.56cm，圆的面积正好等于长方形的面积，求阴影部分的面积．参考答案：一、仔细看题，准确计算．（32分）1．【分析】根据整数、小数和分数加减乘除法运算的计算法则进行计算即可求解．【解答】解：5÷＝×＝﹣＝0.75+＝1 ÷＝0.36×＝0.2780%×＝1【点评】考查了整数、小数和分数加减乘除法运算，关键是熟练掌握计算法则正确进行计算．2．【分析】（1）根据加法交换律进行简算；（2）根据乘法交换律和结合律进行简算；（3）根据乘法分配律进行简算；（4）根据除法的性质进行简算；（5）按照从左向右的顺序进行计算；（6）先算小括号里面的减法，再算中括号里面的减法，最后算除法．【解答】解：（1）6.28+3.5+3.72＝6.28+3.72+3.5＝10+3.5＝13.5（2）2.5×3.2×125＝2.5×（4×0.8）×125＝（2.5×4）×（0.8×125）＝10×100＝1000（3）÷9+×＝×+×＝（+）×＝×＝（4）1000÷12.5÷8＝1000÷（12.5×8）＝1000÷100＝10（5）2.5÷×＝4×＝7（6）÷[﹣（1﹣）]＝÷[﹣]＝÷＝【点评】考查了运算定律与简便运算，四则混合运算．注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律进行简便计算．3．【分析】（1）先计算左边，依据等式的性质，方程两边同时除以1.2求解；（2）方程的两边同时加上2x，然后方程的两边同时减去2，再同时除以2求解；（3）根据比例的基本性质，变成 0.2x＝0.75×16，然后等式的两边同时除以0.2求解．【解答】解：（1）x+20%x＝1.2x＝0.41.2x÷1.2＝0.4÷1.2x＝（2）36﹣2x＝1236﹣2x+2x＝12+2x12+2x﹣12＝36﹣122x÷2＝24÷2x＝12（3）＝0.2x＝0.75×160.2x÷0.2＝12÷0.2x＝60【点评】此题考查了运用等式的性质解方程，即等式两边同加上或同减去、同乘上或同除以一个数（0除外），两边仍相等，同时注意“＝”上下要对齐．二、细心审题，恰当填空．（28分）4．【分析】根据分数与除法的关系＝4÷5，再根据商不变的性质被除数、除数都乘4就是16÷20；根据比与分数的关系＝4：5，再根据比的基本性质比的前、后项都乘0.5就是2：2.5；4÷5＝0.8；把0.8的小数点向右移动两位添上百分号就是80%．【解答】解：＝16÷20＝2：2.5＝80%＝0.8．故答案为：20，2，80，0.8．【点评】解答此题的关键是，根据小数、分数、百分数、除法、比之间的关系及商不变的性质、比的基本性质即可进行转化．5．【分析】这是一道有关温度的正负数的运算题目，最高气温与最低气温二者之差，即求这一天的温差，列式为12﹣（﹣5），计算即可．【解答】解：12﹣（﹣5）＝12+5＝17（℃）答：这一天最高气温与最低气温相差17℃．故答案为：17．【点评】本题考查零上温度与零下温度之差的题目，列式容易出错．6．【分析】高级单位千米化低级单位米乘进率1000；即30.3千米合30300米；改写成用“万”作单位的数，就是在万位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，再在数的后面写上“万”字；精确到十分位即把百分位上的数进行“四舍五入”．【解答】解：30.3千米＝30300米30300米＝3.03万米3.03万米≈3.0万米即厦门市地铁1号线全长约30.3千米，合30300米，改写成用“万”作单位的数是3.03万米，精确到十分位约是3.0万米．故答案为：30300，3.03，3.0．【点评】此题考查的知识点有：长度的单位换算、整数的改写、求近似数．7．【分析】首先根据路程÷时间＝速度，用王芳骑自行车行的路程除以用的时间，求出王芳骑自行车的速度是多少千米/时；然后用时间除以路程，也就是用王芳骑75千米用的时间除以75，求出她行1千米需多少小时即可．【解答】解：75÷3＝25（千米/时）3÷75＝0.04（小时）答：王芳骑自行车的速度是25千米/时，她行1千米需0.04小时．故答案为：25、0.04．【点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握，解答此题的关键是弄清楚题中的各个量之间的数量关系．8．【分析】7只小鸟飞进6个笼子，7÷6＝1（只）…1（只），即当每个笼子里平均飞进1只时，还有一只在笼外，根据抽屉原理可知，至少有1+1＝2只小鸟在同一个笼子里．【解答】解：5÷4＝1（只）…1（只）1+1＝2（只）答：至少有 2只小鸟要飞回同一个鸟笼．故答案为：2．【点评】把多于mn（m乘n）个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于（m+1）的物体．9．【分析】打九折是指现价是原价的90%，把原价看成单位“1”，它的90%对应的数量是180元，由此用除法求出原价，进而求出降低的价格．【解答】解：180÷90%＝200（元）200﹣180＝20（元）答：这件衣服降价20元．故答案为：20.【点评】本题关键是理解打折的含义：打几折现价就是原价的百分之几十．10．【分析】比的基本性质，即比的前项和后项同时乘一个数或除以一个数（0除外）比值不变；用比的前项除以后项求出比值，如果前项加上0.8，可知比的前项由0.4变成1.2，相当于前项乘3；根据比的性质，要使比值不变，后项也应该乘3，由1.6变成4.8，相当于后项应加上4.8﹣1.6＝3.2；据此进行解答．【解答】解：0.4：1.6＝0.4÷1.6＝0.25（0.4+0.8）÷0.4×1.6﹣1.6＝1.2÷0.4×1.6﹣1.6＝4×1.6﹣1.6＝4.8﹣1.6＝3.2答：0.4：1.6的比值是 0.25．如果前项加上0.8，要使比值不变，后项应加上 3.2．故答案为：0.25，3.2．【点评】此题考查了求比值、比的性质的运用，比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值才不变．11．【分析】把这张纸片的面积看作单位“1”，把它平均分成5份，每份是这张纸片的；求每份的面积，用这张纸片的总面积除以平均分成的份数．【解答】解：1÷3÷5＝0.6（平方米）答：每份占它的，每份的面积是0.6平方米．故答案为：，0.6．【点评】解决此题关键是弄清求的是“分率”还是“具体的数量”，求分率：平均分的是单位“1”；求具体的数量：平均分的是具体的数量，要注意：分率不能带单位名称，而具体的数量要带单位名称．12．【分析】（1）根据比例的基本性质解答即可；（2）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．【解答】解：（1）3a＝4b（a、b≠0）a：b＝4：3（2）如果＝27（y≠0），比值一定，那么x和y成反比例；故答案为：4、3，反．【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．13．【分析】根据比例设∠A、∠B、∠C分别为k、3k、2k，然后根据三角形的内角和等于180°，列式求出∠C，作出判断即可．【解答】解：设∠A、∠B、∠C分别为k、3k、2k，则k+2k+3k＝180°解得k＝30°即∠A＝30°所以，∠C＝2×30°＝60°∠b＝3×30°＝90°这个三角形是直角三角形．故答案为：60°，直角．【点评】本题考查了三角形内角和定理，利用“设k法”用k表示出∠A、∠B、∠C可以使运算更加简便．14．【分析】把圆柱切成若干等分，拼成一个近似的长方体．这个近似长方体的长等于圆柱的底面周长的一半，宽等于圆柱的底面半径，高等于圆柱的高，体积不变等于圆柱的体积，然后根据长方体的表面积公式：S＝2（ab+ah+bh），体积公式：V＝abh，列式解答即可．【解答】解：长方体的长：3.14×6÷2＝9.42（厘米）；长方体的宽：6÷2＝3（厘米）；表面积是：（9.42×3+9.42×10+3×10）×2＝（28.26+94.2+30）×2＝152.46×2＝304.92（平方厘米）；体积：9.42×3×10＝28.26×6＝282.6（立方厘米）．答：这个长方体的表面积是304.92平方厘米，体积是282.6立方厘米．故答案为：304.92，282.6．【点评】本题重点考查了圆柱体的体积推导公式的过程中的一些知识点：长方体的长等于圆柱的底面周长的一半，宽等于圆柱的底面半径，高等于圆柱的高．15．【分析】由题意可知：做这个水桶需要的铁皮面积就等于水桶的表面积减去上盖的面积，即水桶的侧面积加上下底的面积即可，水桶的底面直径和高已知，利用圆柱的侧面积S＝πdh和圆的面积S＝πr2的计算方法即可求解；再利用圆柱的体积V＝Sh，即可求出这个水桶的容积．【解答】解：3.14×8×6+3.14×（8÷2）2＝3.14×48+3.14×16＝3.14×64＝200.96（平方分米）3.14×（8÷2）2×6＝3.14×16×6＝3.14×96＝301.44（立方分米）301.44立方分米＝301.44升答：至少要用200.96平方分米的铁皮，这个水桶最多能装水301.44升．故答案为：200.96，301.44．【点评】此题主要考查圆柱的表面积和体积的计算方法在实际生活中的应用．16．【分析】根据题意，按规律拼成的长方形的长：正方形的个数×正方形的边长，长方形的宽还是原来正方形的边长，即1厘米．再根据长方形的周长公式计算即可．【解答】解：由题意可知，按规律拼成的长方形的长：正方形的个数×正方形的边长，长方形的宽还是原来正方形的边长．（1）用4个正方形拼成的长方形，长＝4×1＝4（厘米），宽＝1（厘米）．周长＝（长+宽）×2＝（4+1）×2＝10（厘米）；（2）用a个正方形拼成的长方形，长＝a×1＝a（厘米），宽＝1（厘米）用m个正方形拼成的长方形的周长周长＝（长+宽）×2＝（a+1）×2＝2a+2（厘米）．故答案为：10，2a+2．【点评】根据题意，可以求出按规律拼成长方形的长和宽，再根据长方形的周长公式计算即可．17．【分析】观察此图，可知横轴表示时间，单位小时，把1小时平均分成4份，每份是小时；纵轴表示路程；小华的行程分三个阶段，第一个阶段是从家骑车到相距5千米远的书店，用了小时；第二个阶段是在书店买书，用了1小时；第三个阶段是从书店回家，用1小时，根据速度＝路程÷时间，求得小华去时速度即可．【解答】解：（1）从图中看出，小华在书店买书是从小时到1小时用去的时间为：1﹣＝1（小时），答：他在书店买书用去1小时；（2）5÷＝10（千米/小时）答：他去时的速度是 10千米/时．故答案为：1，4．【点评】此题考查了利用折线统计图表示行走时间和行走路程的关系的方法，解决关键是会分析不同的行程状况．三、反复比较，慎重选择18．【分析】净重（150±5克），表示这种饼干标准的质量是150克，实际每袋最多不多于150+5克，最少不少于150﹣5克．【解答】解：净重（150±5克），表示最少不少于：150﹣5＝145（克）．故选：D．【点评】此题首先要知道以谁为标准，规定超出标准的为正，低于标准的为负，由此用正负数解答问题．19．【分析】几成就是十分之几、百分之几十，把前年粮食生产总量看做单位“1”，求出去年比前年粮食增产百分之几，然后把百分数化为成数即可．【解答】解：（600﹣500）÷500，＝100÷500，＝20%，20%即二成，故选：C．【点评】本题重点要理解成数的意义及成数与分数、百分数之间的互化．20．【分析】图上距离和实际距离已知，依据“图上距离：实际距离＝比例尺”即可求得这幅图的比例尺．【解答】解：因为40米＝4000厘米则8厘米：4000厘米＝1：500答：这幅图的比例尺是1：500．故选：C．【点评】此题主要考查比例尺的意义，解答时要注意单位的换算．21．【分析】把这件工作的工作量看成单位“1”，甲的工作效率是，乙的工作效率是，用甲的工作效率比上乙的工作效率，再化简即可求解．【解答】解：：＝（×20）：（×20）＝4：5答：甲和乙工作效率的比是4：5．故选：B．【点评】解决本题也可以根据工作量一定，工作效率和工作时间的反比例关系求解，甲乙的工作时间比是5：4，那么工作效率比就是4：5．22．【分析】因为正方形和平行四边形等底等高，则正方形的面积就等于平行四边形的面积，据此解答即可．【解答】解：因为正方形和平行四边形等底等高，则正方形的面积就等于平行四边形的面积．故选：B．【点评】此题主要考查正方形和平行四边形的面积的计算方法的灵活应用．23．【分析】根据“平均数×数量＝总数”分别求出甲、乙的成绩和，甲、丙的成绩和，乙、丙的成绩和，把三个的数相加，就是三个人总分的2倍；然后再分别除以2和3就是他们三人的平均成绩．【解答】解：（88×2+90×2+92×2）÷2÷3＝540÷6＝90（分）答：他们三人的平均成绩是90分．故选：B．【点评】解答此题应根据平均数、数量和总数三者之间的关系进行解答．四、按要求填空，并画图．24．【分析】（1）根据数对表示位置的方法是：第一个数字表示列，第二个数字表示行，由此即可确定两个锐角的顶点的位置，根据直角三角形的两条直角边互相垂直的性质，即可求得直角顶点的位置，从而画出这个直角三角形；（2）根据图形平移的方法，先把这个三角形的三个顶点分别向右平移5格，再把它们依次连接起来，即可得出平移后的三角形2；（3）根据图形放大与缩小的方法，先数出原来三角形的两条直角边，把它们分别除以2，即可得出缩小后的直角三角形的两条直角边，由此即可画出缩小后的三角形3．【解答】解：（1）根据数对表示位置的方法，可在平面图中标出三角形的两个锐角的顶点如图所示，则直角顶点的位置可以是：（5，3），由此即可画出这个直角三角形1；（2）先把这个三角形的三个顶点分别向右平移5格，再把它们依次连接起来，即可得出平移后的三角形2；（3）原直角三角形的两条直角边分别是4厘米，按照1：2缩小后，两条直角边的长度是4÷2＝2厘米，由此即可画出这个缩小后的三角形3，如图所示：故答案为：（1）5；3．【点评】此题考查了数对表示位置的方法，图形的平移，放大与缩小的方法的灵活应用．六、运用所学，解决问题（26分）25．【分析】由题意可知：用90除以45%，即可求出参加测试的总人数．【解答】解：90÷45%＝200（人）答：有200人参加测试．【点评】本题主要考查扇形统计图的应用，关键根据百分数的意义做题．26．【分析】此题属于存款利息问题，时间是3年，年利率为4.15%，本金是5000元，把以上数据代入关系式“本息＝本金+本金×利率×时间”，列式解答即可．【解答】解：5000+5000×4.15%×3＝5000+5000×0.0415×3＝5000+622.5＝5622.5（元）答：到期能取回本息5622.5元．【点评】解答此类问题，关键的是熟练掌握关系式“利息＝本金×利率×时间”、“本息＝本金+本金×利率×时间”．27．【分析】学校图书室购进300本故事书，比科技书的5倍少50本，也就是购进的300本故事书加上50本就是科技书的5倍，然后再除以5即可．【解答】解：（300+50）÷5＝350÷5＝70（本）答：购进科技书70本．【点评】本题关键是明确它们之间的倍数关系，然后再列式解答．28．【分析】根据减法的意义可知：15个篮球共花了1000﹣40元，根据除法的意义可知：每个篮球的价格是（1000﹣40）÷15元．【解答】解：（1000﹣40）÷15＝960÷15＝64（元）答：每个篮球64元．【点评】此题利用基本关系式：总价÷数量＝单价解决问题．29．【分析】根据总棵数不变可知，每行栽的棵数和行数乘积一定，即成反比例关系，设需要栽x行，用原来每行的棵数×原来的行数＝现在每行的棵数×现在的行数，据此可列方程12x＝10×18解答即可．【解答】解：设需要栽x行，12x＝10×1812x＝180x＝15答：可以栽15行．【点评】解答此题的关键是，先判断题中的两种相关联的量成何比例，然后找准对应量，列式解答即可．30．【分析】要求能铺多少米，首先根据圆锥的体积公式：v＝sh，求出沙堆的体积，把这堆沙铺在长方形的路面上就相当于一个长方体，只是形状改变了，但沙的体积没有变，因此，用沙的体积除以长方体的长再除以高就是所铺的长度．由此列式解答．【解答】解：2厘米＝0.02米，×28.26×3÷（10×0.02）＝28.26÷0.2＝141.3（米）；答：能铺141.3米．【点评】此题属于圆锥和长方体的体积的实际应用，解答时首先明确沙堆原来的形状是圆锥形，铺在长方形的路面上，体积不变，所以根据圆锥的体积公式求出沙的体积，用体积除以长方体的底面积问题就得到解决．31．【分析】先求两地间的实际距离，根据“图上距离÷比例尺＝实际距离”，代入数值，计算出两地间的实际距离，进而根据“实际距离×比例尺＝图上距离”解答即可．【解答】解：4÷＝48000000（厘米）48000000×＝6（厘米）答：在比例尺是1：8000000的地图上，济南到青岛的距离是6厘米．【点评】此题有计算公式可用，根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系，进行分析解答即可得出结论．32．【分析】由圆的周长为12.56cm，求出圆的半径：12.56÷3.14÷2＝2（厘米）；阴影的面积＝圆的面积﹣圆的面积＝圆的面积．据此解答．【解答】解：12.56÷3.14÷2＝2（厘米）3.14×2×2﹣3.14×2×2÷4＝12.56﹣3.14＝9.42（平方厘米）答：阴影部分的面积是9.42平方厘米．【点评】组合图形的面积一般都是将它转化到已知的规则图形中进行计算．本题关键是得到圆的半径，进而算出圆的面积．祝福语祝你考试成功!。
黄金分割教学设计
课题：“黄金分割”一、教材内容分析教材所处的地位：本节课是义务教材北师大版九年级上册第四章第4节内容.是前面线段的比、成比例的线段等相关内容在现实生活中的运用，在建筑、艺术上都有较多的体现。
本课内容与传统教材相比，有较大的区别，传统教材只在“比例线段”一节中的最后结尾用了两三段的文字给出了“黄金分割”的概念及比值，义务教材北师大版九年级上册第四章中用了一节的内容来讲解它，可见它的重要性。
二、学生学情分析任教的学生在年段属中上程度，学生学习兴趣较高，学生在学习了线段的比、成比例的线段等相关内容之后学习黄金分割，学生容易理解。
黄金分割用在建筑、艺术上都有较多的体现，从而更好的提高学生学习的积极性和学习兴趣。
三、教学设计图片本节课的设计遵循从由浅入深原则，适当运用多媒体辅助教学手段，从发现美→探索美→创造美→欣赏美→应用美。
借助模型，通过直观感知，操作确认，合情推理，归纳得到黄金分割的概念及黄金比，将合情推理与演绎推理有机结合，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，揭示数学源与生活也应用与生活，领会数学的思想方法，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式，发展学生的发散思维，提高学生的数学逻辑思维能力。
四、教学目标（一）、知识目标(1)掌握黄金分割的定义及黄金分割点的作法；(2)会进行黄金分割的有关计算。
（二）、能力目标通过找一条线段的黄金分割点，培养学生的理解与动手操作能力.（三）、情感态度目标理解黄金分割的意义，并能动手找到黄金分割点和制作黄金矩形，通过学生认识数学与人类生活的密切联系，提高学生对黄金分割价值的审美能力.五、教学重点与难点（一）教学重点：黄金分割的定义，做一条线段黄金分割点的方法；（二）教学难点：了解黄金分割的定义，并能运用；探究线段黄金分割点的作法。
六、教学过程设计（一）创设问题情境，激发学生兴趣情境1、用多媒体展示蒙娜丽莎油画、芭蕾舞演员、五星红旗上的五角星。
（发现美）小组合作:量一量，算一算（教材95页图4—18五角星）1、在图中，分别量出线段AC、BC 、AB 的长度.2、分别计算AC BC AB AC 与的值。
课件浙教版九上 比例线段[3] -黄金分割课件
![课件浙教版九上 比例线段[3] -黄金分割课件](https://img.taocdn.com/s3/m/9cc2ce937e21af45b207a884.png)
合作学习
如何求出黄金比的数值？
（提示：先假设黄金比的值或某些线段的值，然后应用一元二次方 程的知识求出未知数）
设AB=1，AP=x，则PB=1-x 由AP2 =PB·AB，得X2 =(1-X)×1
例题研讨
如图，C是线段AB的黄金分割点,AC＞BC，写出黄金分割的比例式, 指出其中的比例中项。
人体与黄金分割
人在气温22℃-24℃下生活感到最适宜，人体的体温是36℃37℃，这个体温与0.618的乘积是22.2℃-22.8℃。
一天的合理生活作息也符合0.618的分割，24小时中，2/3的 时间是工作和生活，1/3时间是休息和睡眠。
如何求出黄金比的数值？ 1、收集身边的黄金分割的实例，与同伴交流你对黄金分割的收获和感受。 科学研究表明，当人的下肢长与身高之比为0. 1、收集身边的黄金分割的实例，与同伴交流你对黄金分割的收获和感受。 1、收集身边的黄金分割的实例，与同伴交流你对黄金分割的收获和感受。 设AB=1，AP=x，则PB=1-x 人在气温22℃-24℃下生活感到最适宜，人体的体温是36℃-37℃，这个体温与0. 06cm，她的高跟鞋鞋跟高是多少时最美观？ 618时看起来最美，身高160cm的赵丽颖下肢长95. 2、通过上网查找更多生活中黄金分割的应用。 618的分割，24小时中，2/3的时间是工作和生活，1/3时间是休息和睡眠。 1、比例中项的概念是什么？如何求已知数（线段）的比例中项？ 利用黄金分割进行简单的计算. 2、什么是线段的黄金分割点？什么是黄金比？ 如何求出黄金比的数值？ 设AB=1，AP=x，则PB=1-x 1、收集身边的黄金分割的实例，与同伴交流你对黄金分割的收获和感受。
自主学习
阅读书本P 例前,并完成导学稿【自主学习】部分 121, 1（、提收示集：身先边假的设黄黄金金分比割的的值实或例某，些与线同段伴的交值流，你然对后黄应金用分一割元的二收次获方和程感的受知。识求出未知数）
北师大九年级上《4.4探索三角形相似的条件(第4课时)黄金分割》同步练习(含答案)
第4课时黄金分割关键问答①点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)，当这三条线段之间存在什么关系时，可以称线段AB被点C黄金分割？②黄金比的值是多少？1.①已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列等式中成立的是()A．AC2＝BC·AB B．AC2＝2AB·BCC．AB2＝AC·BC D．BC2＝AC·AB2．2017·六盘水矩形的长与宽分别为a，b，下列数据能构成黄金矩形的是()A．a＝4，b＝5＋2 B．a＝4，b＝5－2C．a＝2，b＝5＋1 D．a＝2，b＝5－13．②在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20 cm，则它的宽约为()A．32.36 cm B．13.6 cm C．12.36 cm D．7.64 cm命题点1利用黄金分割的结论进行计算[热度：83%]4．③如图4－4－34，已知点P是线段AB的黄金分割点，且P A＞PB，若S1表示以P A 为边的正方形的面积，S2表示长为AB，宽为PB的矩形的面积，则()图4－4－34A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．无法确定S1和S2的大小方法点拨③根据黄金分割的概念将线段比转化为面积比．5．④如图4－4－35，在▱ABCD中，点E是BC边上的黄金分割点，且BE＞CE，AE与BD相交于点F，那么BF∶DF的值为________．图4－4－35解题突破④求BF∶DF可以转化为求BE∶DA吗？如果可以，根据黄金分割点的定义先求出BE∶BC的值.6．把一根长为4 m的铁丝弯成一个矩形框，使它的宽与长的比为黄金比5－12，则这个矩形的面积为__________m2.图4－4－367．⑤2017·台州模拟如图4－4－36，连接正五边形ABCDE的各条对角线围成一个新的五边形MNPQR.图中有很多顶角为36°的等腰三角形，我们把这种三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形的底与腰之比为5－12.若AB＝5－12，则MN＝________．方法点拨⑤黄金三角形是比较特殊的三角形，解决与黄金三角形有关的计算问题，往往需要借助黄金比及相似三角形的对应边成比例来完成．命题点2黄金分割在实际生活中的应用[热度：80%]8．2017·乳山期中某种乐器的弦AB长为120 cm，点A，B固定在乐器面板上，弦AB 上有一个支撑点C，且C是AB的黄金分割点(AC＞BC)，则AC的长为()A．(120－305)cm B．(160－605)cmC．(605－120)cm D．(605－60)cm9．⑥大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图4－4－37，P为AB的黄金分割点(AP＞PB)，如果AB的长度为10 cm，那么PB的长度为________．图4－4－37解题突破⑥先利用黄金分割的定义计算出AP的长，然后通过AB－AP即可得到PB的长．10．⑦人体下半身的长度与身高的比例越接近0.618，越给人美感．遗憾的是，即使芭蕾舞演员也达不到如此的完美．某女士身高 1.68 m，下半身长 1.02 m，她应该选择穿________(精确到0.1 cm)的高跟鞋看起来更美．易错警示⑦注意身高包括高跟鞋的高度．命题点3有关黄金分割的证明[热度：75%]11.⑧如图4－4－38，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CE平分∠ACB交AB于点E.(1)求证：E为线段AB的黄金分割点；(2)若AB＝4，求BC的长．图4－4－38知识链接⑧顶角为36°的等腰三角形被称为黄金三角形，底角的平分线与腰的交点就是腰的黄金分割点，并且被底角的平分线分成的两个三角形都是等腰三角形，其中的锐角三角形与原等腰三角形相似．12．⑨宽与长的比是5－12的矩形叫做黄金矩形．现将折叠黄金矩形的方法归纳如下(如图4－4－39所示)：第一步：作一个正方形ABCD；第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；第三步：以点N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于点E；第四步：过点E作EF⊥AD，交AD的延长线于点F.请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形．'图4－4－39解题突破⑨对于没有出现具体数据的计算题或证明题，我们可以考虑设参数，如假设正方形的边长是2a，接下来你知道该怎么做了吗？13．⑩三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．如图4－4－37①，在△ABC 中，已知AB ＝AC ，∠A ＝36°.(1)在图①中，用尺规作AB 的垂直平分线交AC 于点D ，并连接BD (保留作图痕迹，不写作法)．(2)△BCD 是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由． (3)设BCAC＝k ，试求k 的值．图4－4－40解题突破○10(1)可根据基本作图中线段垂直平分线的作法进行作图； (2)根据角度判断；(3)根据相似三角形的性质求解.14．⑪如图4－4－41①，点C 将线段AB 分成两部分，如果AC AB ＝BCAC ，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S 1，S 2，如果S 1S ＝S 2S 1，那么称直线l 为该图形的黄金分割线．(1)研究小组猜想：在△ABC 中，若点D 为AB 边上的黄金分割点(如图②)，则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？(2)三角形的中线是该三角形的黄金分割线吗？(3)研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF(如图③)，则直线EF也是△ABC的黄金分割线，请你说明理由；(4)如图④，点E是▱ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD，交DC于点F，显然直线EF是▱ABCD的黄金分割线．请你画一条▱ABCD的黄金分割线，使它不经过▱ABCD 各边的黄金分割点．图4－4－41解题突破⑪对于新定义问题，关键是理解新定义的概念，解决此题的关键是把黄金分割线与黄金分割点联系起来，把面积与边长联系起来．详解详析【关键问答】①当AC 2＝BC·AB 时，线段AB 被点C 黄金分割． ②5－12≈0.618. 1．A [解析]根据线段黄金分割的定义，得AC 2＝BC·AB. 2．D [解析]∵宽与长的比是5－12的矩形叫做黄金矩形，∴ba ＝5－12，∴当a ＝2，b ＝5－1时满足题意．故选D .3．C [解析]方法1：设这本书的宽为x cm ，则有2020＋x ＝x 20，解得x ≈12.36(负值已舍去)．方法2：书的宽约为20×0.618＝12.36(cm )．4．B [解析]根据黄金分割的概念，得AP AB ＝PB AP ，则S 1S 2＝AP 2AB ·PB ＝1，即S 1＝S 2.故选B.5.5－12[解析]∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴BC ∥AD ，BC ＝AD ， ∴△BEF ∽△DAF ， ∴BE ∶DA ＝BF ∶DF . ∵BC ＝AD ， ∴BE ∶BC ＝BF ∶DF .∵点E 是BC 边上的黄金分割点， ∴BE ∶BC ＝5－12， ∴BF ∶DF ＝5－12. 6．(4 5－8) [解析] 设这个矩形的长为x m ，宽为y m ，则x ＋y ＝2. 由题意，得y x ＝xx ＋y ＝5－12，解得x ＝5－1，y ＝3－5，所以这个矩形的面积为(5－1)×(3－5)＝(4 5－8)m 2. 7.5－2 [解析]设MN ＝x .由题意可知DE ＝AB ＝5－12. ∵∠EDM ＝∠ECD ＝36°，∠END ＝∠EDN ＝72°，∴DE ＝EN ，同理CD ＝CM ， ∴EM ＝5－12－x ， EC ＝EN ＋CM －MN ＝5－1－x .∵∠DEM ＝∠DEC ，∴△DEM ∽△CED ， ∴DE 2＝EM ·EC ， ∴(5－12)2＝(5－12－x )(5－1－x )， 整理，得x 2－32×(5－1)x ＋（5－1）24＝0，∴⎣⎡⎦⎤x －34×（5－1）2＝516×(5－1)2， ∴x ＝5－2或x ＝12(5＋1)(不合题意，舍去)，∴MN ＝5－2.8．D [解析]根据黄金分割点的概念，得AC ＝5－12AB ＝(605－60)cm.故选D. 9．(15－5 5)cm [解析]∵P 为AB 的黄金分割点(AP ＞PB )， ∴AP ＝5－12AB ＝5－12×10＝(5 5－5)cm ， ∴PB ＝AB －AP ＝10－(5 5－5)＝(15－5 5)cm. 10．4.8 cm [解析]设她应选择高跟鞋的高度是x cm ，则 102＋x168＋x ＝0.618， 解得x ≈4.8.经检验，x ≈4.8是原分式方程的解且符合题意， 即她应该选择穿4.8 cm 的高跟鞋看起来更美．11．[解析] (1)根据等腰三角形两底角相等求出∠ACB ＝72°，再根据角平分线的定义求出∠BCE ＝36°，从而得到∠BCE ＝∠A ，然后判定△ABC 和△CBE 相似，根据相似三角形对应边成比例列出比例式整理，并根据黄金分割点的定义即可得证；(2)根据等角对等边的性质可得AE ＝BC ，再根据黄金比求解即可． 解：(1)证明：∵AB ＝AC ，∠A ＝36°， ∴∠ACB ＝∠B ＝12×(180°－36°)＝72°.∵CE 平分∠ACB ，∴∠BCE ＝∠ACE ＝12∠ACB ＝12×72°＝36°，∴∠BCE ＝∠A ＝∠ACE ＝36°，∴AE ＝CE ， ∴∠BEC ＝180°－∠BCE －∠B ＝72°， ∴∠BEC ＝∠B ， ∴BC ＝CE ＝AE . 又∵∠B ＝∠B ， ∴△ABC ∽△CBE ， ∴AB BC ＝BCBE， ∴BC 2＝AB ·BE ， 即AE 2＝AB ·BE ，∴E 为线段AB 的黄金分割点．(2)∵E 为AB 的黄金分割点，∴AE AB ＝5－12.又BC ＝AE ， ∴BC ＝5－12·AB ＝5－12×4＝2 5－2. 12．证明：在正方形ABCD 中，设AB ＝2a . ∵N 为BC 的中点，∴NC ＝12BC ＝a .在Rt △DNC 中，ND ＝NC 2＋CD 2＝a 2＋（2a ）2＝5a . 又∵NE ＝ND ，∴CE ＝NE －NC ＝(5－1)a ， ∴CE CD ＝()5－1a2a ＝5－12， ∴矩形DCEF 为黄金矩形． 13．解：(1)如图所示．(2)△BCD 是黄金三角形．证明如下：∵点D 在AB 的垂直平分线上， ∴AD ＝BD ，∴∠ABD ＝∠A ＝36°.∵∠A ＝36°，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ＝72°， ∴∠ABD ＝∠DBC ＝36°.又∵∠BDC ＝∠A ＋∠ABD ＝72°， ∴∠BDC ＝∠C ，∴BD ＝BC ， ∴△BCD 是黄金三角形．(3)设BC ＝x ，AC ＝y ，由(2)知，AD ＝BD ＝BC ＝x . ∵∠DBC ＝∠A ，∠C ＝∠C ， ∴△BDC ∽△ABC ， ∴BC AC ＝DC BC ，即x y ＝y －x x， 整理，得x 2＋xy －y 2＝0，解得x ＝－1±52y .∵x ，y 均为正数，∴k ＝xy ＝5－12.14．解：(1)对．理由如下： 设△ABC 的边AB 上的高为h .。
全国中小学教师教育技术水平初级考试模拟试题-中学数学(二)[1] 2
![全国中小学教师教育技术水平初级考试模拟试题-中学数学(二)[1] 2](https://img.taocdn.com/s3/m/8dfa5b17650e52ea551898c1.png)
全国中小学教师教育技术水平初级考试模拟试题中学数学（二）【教学背景】本次考试考查从教学规划、资源准备、教学实施到教学评价的完整教学过程。
作为信息时代的数学老师，相信你能很好地完成下列任务。
【教学内容】初中二年级“黄金分割”一节【教学对象】初中二年级学生【教学环境】教室内有多媒体演示台，并且为教师提供了连入Internet的计算机【教学要求】遵循以教师为主导、以学生为主体的新课程标准，在教育技术理念指导下，充分利用现代化教学手段，科学、合理地进行教学设计，实施教学并进行评价。
理论热身第2题（单选题）下列关于教育技术的描述中，说法正确的是（A）。
A．教育技术是以教与学的过程和资源为研究对象B．教育技术是以优化教师的教学过程为目标C．教育技术的理论基础只有学习理论和教学理论D．教育技术的重点的优化“教”第3题（单选题）教育技术分为有形技术与无形技术两大类，其中有形技术主要是指（B）。
A．观念形态技术B．在教育教学活动中所运用的物质工具C．在解决教育教学问题中所运用的技巧、策略、方法等D．教育教学中所蕴含的教学思想、理论等第一部分教学规划在设计这节课的教学方案之前，我们需要了解你对教育技术基础知识的理解，然后由你来补充完成一个完整的信息化教学方案。
【前端分析】第4题（单选题）教学设计的首要的基本环节是（D）。
A．学习目标分析B．选择教学媒体及资源C．学习环境分析D．学习需要分析第5题（单选题）本课内容与现实生活结合得很紧密，教师需要在课前花大量的时间搜集和选择相关内容、图片，确定教学顺序，这是属于前端分析中的（A）。
A．学习内容分析B．学习者分析C．教学媒体分析D．学习目标分析第6题（单选题）确定教学目标，根据教学重点、难点，为教学活动选择合适的教学方法，回答下表所提出的问题。
教学方案设计C黄金分割，点C叫第7题（操作题）打开“素材”文件夹下的文档“WD1.doc”，参照样张，按要求完成下列操作，然后将结果以WRD1.doc为名保存在“素材”文件夹中。
【练习】设k法求比值与黄金分割
练习:1.如图，若点P 是AB 的黄金分割点，则线段A P 、PB 、AB 满足关系式________，即AP 是________与________的比例中项. 2.黄金矩形的宽与长的比大约为________（精确到0.001）.3.如果线段d 是线段a 、b 、c 的第四比例项，其中a =2 cm,b =4 cm,c =5 cm,则d =_____________cm.4.已知O 点是正方形ABCD 的两条对角线的交点，则AO ∶AB ∶AC =________.5.若d c ba ==3（b +d ≠0），则db c a ++=________. 6.已知yx 23=,那么下列式子成立的是（ ） A.3x =2yB.xy =6C.32=y x D.32=x y 7. 7.把ab =21cd 写成比例式，不正确的写法是（ ）A.bd ca 2= B.b dc a =2 C.bd c a =2 D.da bc2=8.已知线段x ,y 满足（x +y ）∶（x －y ）=3∶1,那么x ∶y 等于（ ）A.3∶1B.2∶3C.2∶1D.3∶29.有以下命题:① 如果线段d 是线段a ，b ，c 的第四比例项，则有a c =b d． ②如果点C 是线段AB 的中点，那么AC 是AB 、BC 的比例中项．② 果点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，那么AC 是AB 与BC 的比例中项． ③ 果点C 是线段AB 的黄金分割点，AC ＞BC ，且AB=2，则AC=-1． 其中正确的判断有（ ） A.1个 B.2 个 C.3个 D.4个10.一把矩形米尺，长10dm ，宽2cm ，则这把米尺的长与宽之比为11.若(2m−n):n=1:3，则m:n= ；若x:y:z=2:4:7，且3x-y+2z=32，则x= ，y= ，z=练习：已知(a+2):b:(c+5)=3:4:6，且2a−b+3c=21，求a:b:c.12.若a＝8cm，b＝6cm，c＝4cm，则a、b、c的第四比例项d＝cm；a、c的比例中项x＝cm13.已知数3、6，请再写出一个数，使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项，这个数是14.若x−48x =x−84x−48，则x=15.已知a：b＝1：12，b：c＝13：15，那么a：b：c= ，4a+3b−2c2a+3b−4c=16.若a+bc =b+ca=a+cb=k，则k=变形：①若ca+b =ab+c=ba+c=k，则k=②已知k=a+b−cc =a−b+cb=−a+b+ca，则关于自变量x的一次函数y=kx+m+n的图象一定经过第象限17.若xy−z =23，y+xz−x=4，求x−zy已知3a-c=a+b+c=4a+2b-c，那么3a：2b：c等于（）18.若（a-b）：（a+b）=3：7，则a：b=已知（a+b）：（b+c）：（c+a）=7：14：9，求a：b：c19.若a2=b3=c4，则a+2b+3ca=_______20.已知2x=3y=4z，则x+y−z4x−5y+6z=________21. a2=b3=c4=d7≠0，则a+b+c+dc=_______22.已知x2=z5=y7，设A=xx+y+z，B=x+zy，A=x+y−zx，求A、B、C的值，并比较它们的大小23.若a+120=b+121=a+b17，则ab=______24.若1x =2y+z=3x+z，则xz−y=_______25.已知a3=b5=c7，且3a+2b-4c=9，则1a+1b+1c= _______26.已知a−b2=b−2c3=3c−a4，求代数式5a+6b−7c4a−3b+9c的值27.已知3a+3b2a−2b =2b+c2b−2c=2c−4−ac−a，a、b、c均不等于0且互不相等，求代数式a+2b+3c5a−2b−9c的值28.已知k=a−3bc =b−3ca=c−3ab，且a+b+c≠0，则k的值为______29.已知abc≠0，且ac =ba=cb，则3a+2b+ca−2b−3c=______。
比例性质黄金分割名师新人教九级下册数学ppt讲课文档
3b b b
4，c d d
3d d d
4．
第八页，共26页。
探究二 : 什么是合比性质？什么是等比性质？ 重点、难点知识★▲
活动1 让学生通过计算、推理证明，得出合比性质
合作探究：
（1）已知
a b
c d
ab cd =3,求 b 和 d ；
（2）如果 a c =k（k为常数），那么a b c d 成立吗？为什么？
第二十三页，共26页。
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
（1）比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，
后项之间发生同样和差变化比例仍成立．
如：
a b
c d
b a
a
a
b
a b
d
c c
c c d d
等等．
（2）等比性质的证明可运用“设k法”（即引入新的参数k）
这样可以减少未知数的个数，引入比值k的方法是解决有关比 例计算变形中的一种重要方法，以后经常会用到．应用等比性 质时，要考虑到分母是否为零．
AB 2
AC BC AB AC
5 1，简记为：长
2
全
短 长
5 1．
2
说明：
（1）黄金分割是一种分割线段的方法，一条线段的黄金分割点有两个. （2）黄金比是两条线段的比，没有单位，比值为 5 1
2
第十八页，共26页。
探究三 : 什么是黄金分割？怎么求黄金比？ 活动3 确定黄金分割点
如何找到一条线段的黄金分割点？
归纳：更比性质(交换比例的内项或外项)：
a
c
b d
(交换内项)
a b
c d
d
b
c a
北师大版九年级数学上册4.4.4 黄金分割 (习题课件)【新版】
证明：∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠B＝∠ACB＝12(180°－36°)＝72°. ∵CE 平分∠ACB， ∴∠BCE＝12∠ACB＝12×72°＝36°. ∴∠BCE＝∠A.
又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBE.
∴ACBB＝BBCE.∴BC2＝AB·BE. ∵∠B＝72°，∠BCE＝36°， ∴∠BEC＝72°＝∠B.∴BC＝EC. 同理，AE＝EC， ∴BC＝AE.∴AE2＝AB·BE. ∴点 E 为线段 AB 的黄金分割点．
(2)求证：AM2＝AD·DM；
证明：∵AM2＝( 5－1)2＝6－2 5， AD·DM＝2×(3－ 5)＝6－2 5， ∴AM2＝AD·DM.
(3)根据(2)的结论，你能找出图中的一个黄金分割点吗？ 解：点M为线段AD的黄金分割点．
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第四章 图形的相似
4.4 探索三角形相似的条件 第4课时 黄金分割
1
2
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知识点 1 用三边关系判定三角形相似定理
1．一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝
__BA_CC_____，那么称线段AB被点C___黄__金__分__割__，点C叫 做线段AB的____黄__金__分__割__点__，AC与AB的比叫做
(2)若AB＝4，求BC的长．
解：由(1)知 BC＝AE，点 E 为线段 AB 的黄金分割点， ∴BC＝AE＝ 52－1·AB＝ 52－1×4＝2 5－2.
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题型
2
黄金分割的定义在找 黄金分割点中的应用
8．以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中
点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝
分割点处最自然得体．如图，若舞台AB的长为
九年级数学上册第四章图形的相似2平行线分线段成例什么是黄金分割？素材北师大版
什么是黄金分割?难易度:★★★关键词：黄金分割、黄金—分割点、黄金比答案：点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果=，那么称线段AB被点C黄金分割,点C 叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．【举一反三】典题:已知线段AB=1，点C是AB上一点，且AC=，问点C是线段AB的黄金分割点吗？为什么？思路导引：若满足==，则点C是线段AB的黄金分割点，若不满足,则不是。
标准答案：点C是线段AB的黄金分割点。
理由：由AB=1，AC=,得=,所以点C是线段AB的黄金分割点。
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九年级数学上册 22.1 第3课时 比例的性质与黄金分割教案1 沪科版(2021年整理)
2017年九年级数学上册22.1 第3课时比例的性质与黄金分割教案1 （新版）沪科版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017年九年级数学上册22.1 第3课时比例的性质与黄金分割教案1 （新版）沪科版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第3课时比例的性质与黄金分割1．掌握比例的基本性质、合比性质与等比性质；(重点)2．会运用比例的性质进行简单的比例变形,并解决有关问题;(难点)3．了解黄金分割的概念，会根据黄金分割的定义求线段的比值．(难点）一、情境导入配制糖水时,通过确定糖和水的比例来确保配制糖水的浓度．若有含糖a千克的糖水b千克，含糖c千克的糖水d千克，含糖e千克的糖水f千克……它们的浓度相等，把这些糖水混合到一起后，浓度不变．可表示为错误!＝错误!。
二、合作探究探究点一：比例的性质【类型一】比例的基本性质已知错误!＝错误!，求错误!的值．解：解法一：由比例的基本性质，得2（a＋3b)＝7×2b.∴a＝4b,∴错误!＝4。
解法二：由错误!＝错误!，得错误!＝7，∴错误!＋错误!＝错误!＋3＝7,∴错误!＝4.方法总结:利用比例的基本性质,把比例式转化成等积式，再用含有其中一个字母的代数式表示另一个字母，然后利用代入法或化成方程求解，这是解决比例问题常见的方法．【类型二】合比性质如图,已知错误!＝错误!.求证：(1)错误!＝错误!；（2)错误!＝错误!.解析：我们可以运用证明合比性质的方法，在已知等式的两边同时减去1，便可证明(1)成立；先运用合比性质，然后用比例的基本性质把等式变形,即可证明（2)成立．证明：（1）∵错误!＝错误!，∴错误!＝错误!，即错误!＝错误!;(2）∵错误!＝错误!,∴错误!＝错误!.∴错误!＝错误!（合比性质)．∴ABAD＝错误!，即错误!＝错误!.方法总结：本题主要运用合比性质进行证明，理解比例的性质是解决问题的关键．【类型三】等比性质已知正数a、b、c，且错误!＝错误!＝错误!＝k，则下列四个点中，在正比例函数y＝kx图象上的点是( )A．(1，错误!） B．（1，2）C．(1，－错误!) D．（1，－1）解析：求出k的值是关键．∵a、b、c为正数，∴a＋b＋c≠0.由等比性质，得错误!＝k,即k＝错误!，∴y ＝错误!x.当x＝1时，y＝错误!×1＝错误!，∴点(1，错误!)在正比例函数y＝kx的图象上．故选A。
九上数学 第13讲 4.1.1比例线段+黄金分割
-5-
2019 年 初三数学上册
教师：
例 7.在一张地图上，甲、乙两地的图上距离是 3 cm,而两地的实际距离为 1500 m，那么这张地图的比例尺为 ________.
例
8．（1）已知
x
a b
2
a
b
2
a
2 b
，求 x
的值
（2）已知
2x 3
y
2y 4
z
2z 5
x
，求
x y z 2x y
D.a =2，b =3，c =4，d =1
例题 2 在比例尺为 1∶500000 的地图上，A、B 两地的距离是 64 cm，则这两地间的实际距离是______Km
例题 3 在一张地图上，甲、乙两地的图上距离是 3 cm,而两地的实际距离为 1500 m，那么这张地图的比
例尺为________.
知识点二 比例的性质
a
若
b
3,b 4c
3, c 2d
4 5
ac
，则
b2 d 2
等于多少？
20. 已知 a b c , b c a , a c b ，求 x 的值
x
x
x
-8-
的值
例 9.已知点 M 将线段 AB 黄金分割(AM＞BM)，则下列各式中不正确的是( )
A．AM∶BM=AB∶AM
5 1
B.AM=
AB
2
5 1
C.BM=
AB
2
D.AM≈0.618AB
例 10．如图，线段 AB=2，点 C 是 AB 的黄金分割点(AC＜BC），点 D（不同于 C 点）在 AB 上，且
[精品]2019九年级数学上册 第25章 图形的相似《25.1 比例线段—读一读 黄金分割的应用》教案
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《25。
1 比例线段--读一读黄金分割的应用》本节课是冀教版九年级上册第二十五章的第一节课，是在已经学习全等的基础上进行的，相似与全等紧密相关，是全等知识的拓展和延伸，也是今后学习相似图形的基础，在今后学习的实际应用中有着重要的意义，具有承上启下的作用。
【知识与能力目标】1、了解线段的比和成比例线段，理解并掌握比例的性质及其简单应用；2、通过现实情境，进一步发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力。
【过程与方法目标】经历从现实世界中抽象出数学知识的过程，通过丰富的生活实例，进一步认识会比例线段。
【情感态度价值观目标】通过有关比例尺的计算，让学生懂得数学在现实生活中的作用，从而增强学生学习数学的信心。
【教学重点】比例线段的概念。
【教学难点】根据具体问题发现等量关系，找出比例式，有一定的隐蔽性，是本节教学的难点。
课前准备教师准备课件、多媒体；学生准备三角板，练习本；教学过程导入新课观察与思考问题1下面两张邮票有什么特点？有什么关系？问题2 龙猫的2寸照片和4寸照片，他的形状改变了吗？大小呢？讲授新课成比例线段：(1)测量：AB＝______，BC＝______，A1B1＝______，B1C1＝______。
计算：ABBC＝______，1111A BB C＝______。
(2)测量AB＝______，BC＝______，A2B2＝______，B2C2＝______。
计算：ABBC＝______，2222A BB C＝______。
想一想：(1)求两条线段的比时，度量单位要相同吗？(2)在两条线段的单位统一的情况下，与使用什么单位有关吗？(3)两条线段的比的结果是一个什么数？归纳：两线段的比就是它们长度的比；像这样，对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的长度比，如a cb d=（或a∶b＝c∶d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
此时也称这四条线段成比例。
黄 金 分 割
D
C
B
长=短 =
全
长
5 1 2
2 .如 果 A C B C 或 A C 2 A B B C , 那 么 点 C 黄 金 分 割 线 段 A B . AB AC
3.线段AB除了点C是它的黄金分割点外，还有没有
其它的黄金分割点？
如果点D也是它的黄金分割点，那点D应满足什么条件？
BD
= AB
AD BD =
五四制鲁教版八年级下册
6 黄金分割
观察与欣赏
巴黎圣母院 宽与长之比 接近0.618
蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比, 普通树叶的宽与长之比也接近 0.618.
常见的 电视机以及 门窗的宽和 长比值都很 接近0.618， 因为符合黄 金分割的矩 形是最美的。
饮食中黄金分割
每天喝5杯水
人体内的水分占 体重的61.8%，每 天要喝充足的水， 才能保持水平衡。 因此，每人每天至 少要喝5杯水。
作黄金分割点的方法
法一
1.经过点B作BD⊥AB,使
BD
1 2
AB
2.连接AD,在AD
1
D
E
上
5 1
1
截取DE=DB.
5 1
3.在AB上截取AC=AE.
A
2C
B
则点C是线段AB的黄金分割点吗.你能说说其中的道理吗？
法二 如图, 设AB是已知线段，在AB上作正方形 ABCD ；取AD的中点E， 连接EB；延长DA至F， 使 EF=EB ；以线段AF为边作正方形AFGH .点H就是AB的
黄金分割的由来
“黄金分割”的历史可以回溯到古希腊时代，古希腊数 学家、天文学家欧多克索斯（Eudoxus,约前400——前 347）曾提出：能否将一条线段分成不相等的两部分，使 较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比？这 就是黄金分割问题.这个比就是0.618 033 988 …….
上海市六年级(上)数学同步讲义 第13讲(培优)比的意义与性质(解析版)
比的意义和比的基本性质是六年级数学上学期第三章第一节的内容，通过本讲的学习，同学们需要理解比和比值的意义、能区分比和比值、熟练地求解比和比值，同时要理清比与除法、分数等概念之间的联系和区别，也必须理解比的基本性质，并能熟练运用这个性质进行最简整数比的化简和连比的求解．1、 比和比值a 、b 是两个数或两个同类的量，为了把b 和a 相比较，将a 与b 相除，叫做a 与b 的比．记作a : b ，或写成ab，其中0b ；读作a 比b ，或a 与b 的比． a 叫做比的前项，b 叫做比的后项． 前项a 除以后项b 所得的商叫做比值． 2、 比、分数和除法的关系比：前项：后项 = 比值；分数：分子分母= 分数值；除法：被除数÷除数 = 商． 比的前项相当于分数的分子和除式中的被除数；比的意义与性质内容分析知识结构模块一：比的意义知识精讲2 / 15比的后项相当于分数的分母和除式中的除数； 比值相当于分数的分数值和除式的商． 3、 比、分数和除法的区别比是表示两个数关系的式子，分数是一个数，除法是一种运算．【例1】 比的前项是38，比的后项是223，则它们的比值是______．【答案】964． 【解析】由题意，得3238339283838864÷=÷=⨯=．【总结】考查比值的意义．【例2】 王奶奶买了2斤苹果用去10.8元，买了3斤梨用去12元，苹果与梨的单价比的比值是______．【答案】1.35．【解析】苹果单价：10.82 5.4÷=元，梨的单价：1234÷=元，苹果与梨的单价之比为275.4:4 5.44 1.3520=÷=或． 【总结】考查比的基础应用．【例3】 夏日炎炎，商店需调制一种夏日特饮：青柠雪碧，要求青柠汁与雪碧的质量之为1 : 200，这个比的意义是（ ） A ．每200克饮料中含1克青柠汁 B ．每1克青柠汁配200克雪碧 C ．青柠汁比雪碧少199克D ．雪碧比青柠汁多199克【答案】B【解析】青柠汁和雪碧的质量之比为1:200，是指1份青柠汁配200份雪碧，不一定指青柠汁一定是1克，雪碧一定是200克，另外，A 选项应该是201克饮料中含有1克青柠汁． 【总结】考查比的基本意义．例题解析【例4】求下列各个比的比值：（1）40分钟: 1.5小时；（2）16小时: 5天；（3）4千克: 500克；（4）20cm : 0.6m．【答案】（1）49；（2）215；（3）8；（4）13．【解析】求各项的比值，当两者单位不一样时，需要先统一单位，比如40分钟：1.5小时，需要统一为分钟，40分钟：90分钟＝49，其它都需要强调单位换算的进率．【总结】考查比值的意义．【例5】一个数的小数点向右移动三位，得到的数与原数的比是______．【答案】1000:1．【解析】一个数的小数点向右移动三位，这个数扩大1000倍，与原数之比为1000:1．【总结】考查小数点移动的意义．【例6】甲数是乙数的4倍，乙数是丙数的6倍，求甲数与丙数的比值．【答案】24．【解析】设丙数为1份，则乙数是6份，甲数是24份，所以甲数是乙数的24倍，甲与丙的比值为24．【总结】考查三个数之间的比的基础转换．【例7】公园有一个湖泊，其余为绿地、建筑物和道路．已知公园面积为215平方千米，绿地面积为公园的23，建筑物和道路的占地总面积是公园面积的118，求湖泊面积和绿地面积的比值．【难度】★★★【答案】512．【解析】公园分3部分，一是湖泊，二是绿地，三是建筑物和道路，绿地占总体的23，建4 / 15筑物和道路占总体的118，所以湖泊占总体的215131818--=，所以湖泊与绿地面积之比 为52:5:12183=，比值为512． 【总结】考查比的基础应用．【例8】 一根绳子长132米，若按3 : 4分成两段，其中长的一段是多少米？【难度】★★★ 【答案】2米．【解析】一根绳子按3:4分成两段，其中较长的一段占总体的47，长为143227⨯=米． 【总结】考查按比例分配的基础应用．1、 比的基本性质比的前项和后项同时乘以或者除以相同的数（0除外），比值不变． 2、 最简整数比比的前项和后项都是整数且互素，这样的比叫做最简整数比． 注：题目中比的结果都必须化成最简整数比． 3、 三连比的性质1、如果::a b m n =，::b c n k =，那么::::a b c m n k =；2、如果0k ≠，那么::::a b c ak bk ck =．模块二：比的基本性质知识精讲例题解析【例9】以下说法中，正确的个数是（）（1）比的前项和后项乘以一个相同的数，比值不变；（2）女同学占全班人数的49，则女同学和男同学的人数之比为4 : 5；（3）把20克糖溶解在100克水中，糖与糖水的质量比为1 : 6；（4）25厘米和15米的比值是53；（5）在4 : 8中，如果前项加上8，要使比值不变，后项应加上8．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】理解比的基本性质，要强调乘以（或除以）同一个不为零的数，所以（1）不对；女生占全部人数的49，则男生占全部人数的59，则女生与男生之比为4:5，所以（2）是对的；把20克糖溶解在100克水中，糖与糖水之比为20:1201:6=，所以（3）是对的；25厘米和15米单位不一样，所以比值不是53，所以（4）不对；4:8的前项加上8，增加了2倍，要使比值不变，后项也要增加2倍，也就是应该加上16，所以（5）是不对的．【总结】考查比的意义及基本性质的相关概念．【例10】化简下列各比：（1）511:196；（2）60.3::35；（3）125毫升: 0.6升；（4）1.2米: 40厘米: 8分米．【答案】（1）4:3；（2）1:4:10；（3）5:24；（4）3:1:2．【解析】比的化简，运用的是比的基本性质，比如第（2）题，有分数有小数，可以统一为小数，也可以统一为分数，60.3::30.3:1.2:33:12:301:4:105===，当比的各项单位不一样时，需要给学生强调统一单位再化简，以及注意结果是最简整数比，比如第（4）题，1.2米：40厘米：8分米＝120厘米：40厘米：80厘米＝3：1：2．【总结】考查比的基本性质．6 / 15【例11】 根据已知条件求a : b : c ．（1）a : b = 2 : 3，b : c = 3 : 4； （2）a : b = 2 : 3，b : c = 6 : 5； （3）a : b = 3 : 2，b : c =41:153．【答案】（1）::2:3:4a b c =；（2）::4:6:5a b c =；（3）::9:6:10a b c =．【解析】三项连比的化简，先确定两个比是最简整数比，再确定哪一项是关联项，关联项统一为最小公倍数，这样三项连比才是正确的结果；（1）:2:3a b =，:3:4b c =，b 在两 个比中都是占3份，所以三项比的结果直接写::2:3:4a b c =；（2）:2:3a b =，:6:5b c =， b 在第一个比中占3份，在第二个比中占6份，利用比的基本性质统一第一个比 :4:6a b =，所以::4:6:5a b c =；（3）第二个比不是最简整数比，化简41::13:553b c ==， b 在两个比中，一个占2份，一个占3份，统一为6份，第一个比化为:9:6a b =，第二个比化为:6:10b c =，所以::9:6:10a b c =．【总结】考查三项连比的化简方法，这是一个教学重难点．【例12】 写同样多的作业，小智用12分钟，小方用15分钟，那么小智与小方速度的最简整数比是____________．【答案】5:4．【解析】小智的时间12分，效率为112，小方的时间为15分钟，效率为115，效率就是速度， 所以小智与小方的速度之比为11:15:125:41215==，也可以给学生拓展相等的工作量，速度比是时间的反比．【总结】考查行程（工程）问题中速度比的求解．【例13】 甲数的35等于乙数的14，甲乙两数的比为__________．【答案】5:12．【解析】这一题考查比例的应用，由题意，得3154=甲乙，所以13=:5:1245=甲：乙．【总结】考查等积式与比例式之间的转换【例14】一项工程，甲队单独做3天完成，乙队单独做5天完成，丙队单独做6天完成，那么甲、乙、丙三队的工作效率之比为_________________．【答案】10:6:5．【解析】甲单独完成一件工作，3天，所以甲每天完成13，同理，乙每天完成15，丙每天完成16，三个工作队的效率之比为111::10:6:5356=．【总结】考查工程问题中效率之比的求法．【例15】5克盐完全溶解在100克水中．（1）求盐与水的质量比；（2）求盐与盐水的质量比；（3）要配制520千克这样的浓度的盐水，需要盐多少千克？【答案】（1）1:20；（2）1:21；（3）52021千克．【解析】（1）盐：水＝5:1001:20=；（2）盐：盐水＝1:21；（3）盐占盐水的121，要配置520千克这样浓度的盐水，需要盐15205202121⨯=千克．【总结】考查“盐水”问题中的相关比的求解．【例16】如图，阴影部分的面积是正方形面积的27，是圆面积的316，求正方形与圆的面积之比．【难度】★★★【答案】21:32．【解析】方法一：阴影面积是正方形面积的27，是圆面积的316，所以23=716S S正圆，所以32::21:32167S S==正圆；方法二：利用分数基本性质，将23716和统一分子，即66==2132S S S S正阴阴圆；，8 / 15所以:21:32S S =正圆【总结】本题综合性较强，考查比的综合应用，注意分析条件【例17】 a : b : c = 1 : 3 : 4，a + c = 20，求a + b + c 的值． 【难度】★★★ 【答案】32．【解析】设34a k b k c k ===，，，因为20a c +=，即4204k k k +==，，所以4121632a b c a b c ===++=，，，．【总结】考查比的综合应用，利用设k 法求值．【例18】 甲、乙、丙三人去书店买书，共带去54元，甲用去了自己钱的35，乙用去了自己钱的34，丙用去了自己钱的23，各买了一本相同的书，三人用去的钱数正好相等，问这本书的价格是多少？【难度】★★★ 【答案】12元．【解析】由题意，得332===543甲乙丙书的价钱，∵33=54甲乙，∴33==5:445甲：乙：；∵32=43乙丙，∴23=:8:934=乙：丙，利用连比的化简方法得，=10:8:9甲：乙：丙， 又因为甲、乙、丙共带了54元，所以甲带了54的1010=10+8+927，即甲带了1054=2027⨯元，这本书的价钱是甲带的钱的35，所以这本书的价钱为320=125⨯元．【总结】考查比和比例的综合应用，难度较大．随堂检测【习题1】 一个比的前项是15，比值是114，则这个比的后项是______．【答案】12．【解析】比的后项＝比的前项除以比值，即1151124÷=．【总结】考查比的前项、后项和比值之间的相互转换．【习题2】 求下列各比的比值：（1）123:125；（2）3小时 : 150分．【答案】（1）52；（2）65． 【解析】（1）127753:125252=÷=；（2）63:150=1805小时分分:150分=．【总结】考查比值的求解方法，注意结果不能写成:a b 的形式．【习题3】 化简下列各比：（1）511:163；（2）2平方米 : 4320平方厘米； （3）4:0.4:25（4）120分 : 1.2小时 : 1小时20分钟． 【答案】（1）11:8；（2）125:27；（3）2:1:5；（4）15:9:10．【解析】利用比的基本性质，化简比，注意结果的最简性即可，比如第（3）题，4:0.4:20.8:0.4:28:4:202:1:55===； 比如第（4）题，120:1.2:120120:72:8015:9:10==分小时小时分分分分． 【总结】考查比的基本性质及比的化简．【习题4】 比的前项是2.5，比的后项是5.25，如果比的前项增加1.5，那么比的后项增加10 / 15______时，比值不变．【答案】3.15．【解析】首先这个比是2.5:5.25250:52510:21==，比值为1021，设比的后项增加x ，根据比值不变，列方程1010 1.52121x+=+，解得 3.15x =． 【总结】结合方程思想考查比的应用．【习题5】 根据已知条件，求下列各比．（1）已知:15:4x y =，:5:12z y =，求::x y z ； （2）已知11:1:223a b =，:2:3b c =，求::a b c ．【答案】（1）::45:12:5x y z =；（2）::2:6:9a b c =．【解析】（1）统一字母y ，:15:445:12x y ==，:5:12z y =，所以::45:12:5x y z =；（2）∵11:1:223a b =，∴11232b a =⨯，即13a b =，∴:1:32:6a b ==，又∵:2:36:9b c ==，∴::2:6:9a b c =．【总结】考查比和比例的基本性质，以及三项连比的化简方法．【习题6】 现有黄沙、水泥、石子各12吨，根据施工要求，将黄沙、水泥、石子按2 : 3 : 5拌成混凝土，当水泥用完时，黄沙用了几吨？石子还缺几吨？【难度】★★★【答案】黄沙用了8吨，石子还缺8吨．【解析】水泥12吨正好用完，按2:3:5的比例，黄沙需要12328÷⨯=吨，石子需要123520÷⨯=吨，所以黄沙用了8吨，石子还缺8吨．【总结】考查比的综合应用．6 4.5甲 乙【习题7】 某中学460名学生分成三组参加植树活动，第一组与第二组人数比是3 : 4，第一组与第三组人数比是2 : 3，第三组比第二组多多少人？【难度】★★★【答案】20人．【解析】根据连比化简规律，三队人数之比为6:8:9，每一份有()46068920÷++=人，第三组比第二组多一份，所以第三组比第二组多20人．【总结】考查比的综合应用，难度较大．【作业1】 如图，甲、乙两个三角形的面积之比为____________．【答案】4:3．【解析】甲、乙两个三角形等高，所以面积比是底之比，6:4.560:454:3==． 【总结】考查共底等高型三角形的面积比问题． 课后作业12 / 15【作业2】 求下列各比的比值：（1）1.2 : 1.8；（2）2.4 m : 30 dm ．【答案】（1）23；（2）45． 【解析】比的前项除以后项所得的商是比值，求比值可以灵活变通，将比化为最简整数比:a b ， 再写成a b 即为比值：（1）21.2:1.812:182:33===； （2）42.4:3024:3024:304:55m dm dm dm ====． 【总结】考查比值求解问题．【作业3】 根据已知条件，求下列各比．（1）已知11::23x y =，:2:3z x =，求::x y z ； （2）已知()12::1:2:33x y z ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求::x y z ． 【答案】（1）::3:2:2x y z =；（2）::1:12:6x y z =．【解析】（1）先化简比：11::3:2;:2:323x y z x ===，关联项是x ，在两个比中都是占3份， 所以直接写三项连比为::3:2:2x y z =，需要学生认真审题；第（2）题，由题意得12:1:2(1)31:2:3(2)3x y y z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由（1）得114::41:1233y x x y =⇒==； 由（2）得2:2:112:6z y y z =⇒==，所以::1:12:6x y z =．【总结】考查三项连比的化简，第（2）小题需要运用比例的基本性质．【作业4】 一个分数，分子和分母之和是100，如果分子加23，分母加32，新分数约分后是23，原来的分数是多少？ 【答案】3961． 【解析】设原来的分数为100x x -，由题意，得232100323x x +=-+，交叉相乘，解得39x =， 所以原来的分数为3961． 【总结】结合方程考查分数的基本性质14 / 15 7k 7k5k P D CBA 乙甲【作业5】 一个长方体的长和宽的比是5 : 6，宽与高的比是4 : 7，如果长方体的长是20厘米，求它的体积．【答案】320160cm ．【解析】由题意，得长、宽、高的最简整数比为10:12:21，当长为20厘米时，宽为24厘 米，高为42厘米，体积为20244220160⨯⨯=立方厘米．【总结】考查比的综合应用．【作业6】 如图所示，有三种物体：圆球、圆柱、正方体，每一种物体的大小、质量相同．若两个天平都平衡，三个球体的重量等于几个正方体的重量？【难度】★★★【答案】35个球等于个正方体．【解析】此题关键利用圆柱体作为中间量进行代换，由题意，得2=56=152=310=15⎧⎧⇒⎨⎨⎩⎩球柱球柱方柱方柱， 所以6=103=5球方，即球方，所以三个球的重量等于5个正方体的重量．【总结】考查连比的综合运用，难度较大．【作业7】 如图，ABCD 是梯形，底边为AB 和CD ，P 是AD 的中点，CP 把梯形分成甲、 乙两个部分，它们的面积之比为12 : 7，求：上底AB 与下底CD 长的比．【难度】★★★【答案】:5:14AB CD =． 【解析】联结AC ，因为P 是AD 中点，所以APC DPC S S S ∆∆==乙，因为:12:7S S =甲乙，设 =12,S =7S k k 甲乙，则(127)5ABC S k k k ∆=-=，即:5:145:14ABC ADC S S k k ∆∆==，又因为它们等高，所以底之比是面积之比，即:5:14AB CD =．【总结】考查比的综合运用，难度较大．。
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变式：已知 ，则 的值是__________．
4. ,当a+b+c+d=0,则m的值是_________.
5．已知 ，且 ，则自变量为 的反比例函数 的图像分布在第__________象限．
6. 则 的值
_________.
7.好题分享:已知三个数x，y，z满足 ， ， ，则
5．（2017•恩施州）如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片 ，先折出 的中点 ，再折出线段 ，然后通过折叠使 落到线段 上，折出点 的新位置 ，因而 ．类似地，在 上折出点 使 ．这是 就是 的黄金分割点．请你证明这个结论．
6.（2017•莆田）定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC•AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．
2.已知数3、6，请再写出一个数，使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项，这个数是_________.
3.线段m，n，p的第四比例项是______.
4.下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．4cm、2cm、1cm、3cm B．1cm、2cm、3cm、5cm
C．25cm、35cm、45cm、55cm D．1cm、2cm、20cm、40cm
8.以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连结PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上，如图，
（1）求AM、DM的长.（2）求证： .
（3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？
概念:黄金分割
若点P分线段AB得到较长线段是较短线段和整条线段的比例中项，则称点P是线段AB的黄金分割点；
叫做黄金比值。
例题：
已知线段 ，点 是线段 的黄金分割点（ ），则 的长为（）．
A． B． C． D．
注:若把（ ）去掉答案又是如何?请思考?
1.请用尺规作图作出线段AB的黄金分割点,保留作图痕迹.
2.已知如图，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论中正确的是（ ）
3．如图，已知 是线段 的黄金分割点，且 ，若 表示 为一边的正方形的面积， 表示长是 ，宽是 的矩形的面积，则 _____ ．（填“＞”“=”或“＜”）
4.如图，△ABC顶角是36°的等腰三角形（底与腰的比为 的三角形是黄金三角形），若△ABC、△BDC、△DEC都是黄金三角形，已知AB=4，则DE=
相似的基本概念@黄金分割
一、比例中项概念:数的比例中项与长度的比列中项区别
例:1)若线段a是3和9的比例中项，则a的值为.
2)若x是3和6的比例中项，则x的值为______.
1.若a＝8cm，b＝6cm，c＝4cm，则a、b、c的第四比例项d＝_________cm；a、c的比例中项x＝_________cm
5．如果a：b=3：2，且b是a、c的比例中项，则b：c=______.
．
二、设”K”法求值（等比与合比性质的综合运用）
【例题区】．若 ，则 =__________．
1.若 ，则m:n=；若x:y:z=2:4:7，且3x-y+2z=32，则x=，y=，z=.
2．已知 ，且 ，求 的值．
3．已知 ，则直线 一定经过（）．
如图2，△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．
（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；
（2）求出线段B＜BC）中， ≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感．在黄金矩形ABCD内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE（如图），请问矩形ABFE是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性．