高三数学二轮复习课件--7-2推理与证明

定理，直接推证结论的真实性的证明称为直接证明．综合
法和分析法是直接证明中最基本的两种方法，也是解决数 学问题时常用的思维方法．
专题七
不等式、推理与证明、算法与复数
(2)综合法
从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，经 过逐步的推理论证，最后达到待证的结论，这种证明方法 叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法． 用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表
A．289
C．1225
B．1024
D．1378
专题七
不等式、推理与证明、算法与复数
[分析]
三角形数 1,3,6,9，„„的通项公式为 an ＝
nn＋1 ， 正方形数 1,4,9,16„„的通项公式为 bn＝n2， 某数 2 即是三角形数又是正方形数，应该满足两个通项公式．
[答案] C
专题七
不等式、推理与证明、算法与复数
专题七
不等式、推理与证明、算法与复数
[例3]
已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋1＝(1＋
q)an－qan－1(n≥2，q≠0)．
(1)设bn ＝an＋1 －an(n∈N*)，证明数列{bn}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式； (3)若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明：对任 意的n∈N*，an是an＋3与an＋6的等差中项．
容易知道 AB⊥平面 PDC，
专题七
不等式、推理与证明、算法与复数
所以 AB⊥PD， 在直角三角形 APB 中，AB· PD＝PA· PB， 所以 PA2＋PB2· PD＝PA· PB， PA2＋PB2 1 1 1 1 1 1 PD2 ＝ PA2· 2 ＝ PA2 ＋ PB2 ， 故 h2 ＝ PA2 ＋ PB2 ＋ PB 1 .(也可以由等体积法得到). PC2
*
专题七
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[例 2]
在平面直角坐标系中，设三角形 ABC 的顶点
分别为 A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)，点 P(0，p)在线段 AO 上 (异于端点)，设 a，b，c，p 均为非零实数，直线 BP，CP 分别交 AC， 于点 E， 一同学已正确算出 OE 的方程： AB F，
(2)演绎推理的特点
当前提为真时，结论必然为真．
专题七
不等式、推理与证明、算法与复数
(3)演绎推理的一般模式——“三段论”
①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况； ③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断． 3．直接证明 (1)直接证明 从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、
用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：
得到一个明显 Q⇐P1 → P1⇐P2 → P2⇐P3 →„→ 成立的条件
专题七
不等式、推理与证明、算法与复数
4．间接证明
(1)反证法的定义 一般地，由证明p⇒q转向证明：綈q⇒r⇒„⇒t，t与假 设矛盾，或与某个真命题矛盾．从而判断綈q为假，推出q 为真的方法，叫做反证法．
[解析]
根据图形的规律可知第 n 个三角形数为 an＝
nn＋1 ，第 n 个正方形数为 bn＝n2.由此可排除 D(1378 不 2 是平方数)．将 A、B、C 选项代入到三角形数表达式中检 验可知，符合题意的是 C 选项．
专题七
不等式、推理与证明、算法与复数
[评析]
(1)归纳推理分为完全归纳和不完全归纳，由
专题七
不等式、推理与证明、算法与复数
[评析]
综合法与分析法是直接证明中的姊妹证明方
法，通过情况下，运用分析法，由果寻因，找到一个正确 的结论或已知条件，然后运用综合法正确推理书写，不管 是何种方法，都要以事实为基本推理依据.
示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：
P⇒Q1 → Q1⇒Q2 → Q2⇒Q3 →„→ Qn⇒Q
专题七
不等式、推理与证明、算法与复数
(3)分析法
从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件， 直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条 件(已知的条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方 法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法．
专题七
不等式、推理与证明、算法与复数
(2011· 宁波模拟)在 Rt△ABC 中，CA⊥CB，斜边 AB 上 1 1 1 的高为 h1，则h2＝CA2＋CB2；类比此性质，如图，在四面体 1 P－ABC 中，若 PA，PB，PC 两两垂直，底面 ABC 上的高为 h，则得到的正确结论为________．
不等式、推理与证明、算法与复数
x (2011· 山东理，15)设函数 f(x)＝ (x>0)，观察： x＋2 x f1(x)＝f(x)＝ ， x＋2 x f2(x)＝f(f1(x))＝ ， 3x＋4 x f3(x)＝f(f2(x))＝ ， 7x＋8 x f4(x)＝f(f3(x))＝ ， 15x＋16
专题七
不等式、推理与证明、算法与复数
[分析]
解答本题第(1)问可根据bn＝an＋1－an(n∈N*)将
已知等式变形构造出bn 与bn－1 的关系式．第(2)问可用叠加 法求an，第(3)问先由a3是a6与a9的等差中项求出q，并利用 {an} 的 通 项 公 式 和 q 的 值 ， 推 证 an － an ＋ 3 ＝ an ＋ 6 － an(n∈N*)．
(2)反证法的特点
先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾， 这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定 义、公理、定理、公式或已被证明了的结论，或与公认的 简单事实等矛盾．
专题七
不等式、推理与证明、算法与复数
5．数学归纳法(理) 一个与自然数相关的命题，如果(1)当n取第一值n0时命 题成立；(2)在假设当n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时命题成立的前 提下，推出当n＝k＋1时题命题也成立，那么可以断定，这
择题、填空题，解答题均有体现，考查方式主要是(1)给定
命题的证明问题，证明方法高考中不单独命题，而是将其 融合在诸如立体几何，解析几何、函数、数列、不等式等
内容中加以考查．(2)类比型问题．(3)归纳、猜想、证明问
题(文科学生对数学归纳法不作要求)．
专题七
不等式、推理与证明、算法与复数
专题七
不等式、推理与证明、算法与复数
了．
1 1 [答案] c－b
专题七
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[解析]
类比法
E 在 AC 上， 1 1 1 1 OE 的方程为：( － )x＋( － )y＝0. b c p a F 在 AB 上，它们的区别在于 B、C 互换． 1 1 1 1 因而 OF 的方程应为(c－b)x＋(p－a)y＝0. 1 1 ∴括号内应填：c－b.
1 1 1 1 － x＋ － y＝0，请你求 b c p a 1 1 － y＝0. p a
OF 的方程：(________)x＋
专题七
不等式、推理与证明、算法与复数
[分析]
“观察、类比”是解决本题的基本思路，由
于直线OE、OF在图形上的“对称性”在其方程上也必然 有某种“对称性”，观察直线OE的方程和题目中给出的直 线OF的部分信息，它们的共性是y的系数一样，那就只有x 的系数具备“对称性”，这样就可大胆、合理地进行解答
个命题对n取第一个值后面的所有正整数成立．
专题七
不等式、推理与证明、算法与复数
专题七
不等式、推理与证明、算法与复数
[例1]
(2009·湖北)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成
各种形状来研究数．比如：
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不等式、推理与证明、算法与复数
他们研究过图(1)中的1,3,6,10，„，由于这些数能够表 示成三角形，将其称为三样的数为正方形数．下列数中既是三角形数 又是正方形数的是( )
－ －
，
上式对 n＝1 显然成立．
专题七
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(3)证明：由(2)，当 q＝1 时，显然 a3 不是 a6 与 a9 的等 差中项，故 q≠1. 由 a3－a6＝a9－a3 可得 q5－q2＝q2－q8， 由 q≠0 得，q3－1＝1－q6① 整理得(q3)2＋q3－2＝0， 解得 q ＝－2 或 q ＝1(舍去)，于是 q＝－ 2.
专题七
不等式、推理与证明、算法与复数
专题七
不等式、推理与证明、算法与复数
推理证明是数学的基本思维过程，也是人们学习和生
活中经常使用的思维方法，从内容编排上看，推理和证明 是新课标的新增内容，但从知识结构上看，这些内容渗透 于其它数学知识中，几乎涉及数学的方方面面． 在历年的高考中，推理与证明有举足轻重的地位、选
3 3
3
专题七
不等式、推理与证明、算法与复数
另一方面， qn＋2－qn－1 qn－1 3 an－an＋3＝ ＝ (q －1)， 1－q 1－q qn－1－qn＋5 qn－1 an＋6－an＝ ＝ (1－q6)， 1－q 1－q 由①可得 an－an＋3＝an＋6－an，n∈N*， 所以对任意的 n∈N*， an 是 an＋3 与 an＋6 的等差中项．
1 1 1 1 [答案] h2＝PA2＋PB2＋PC2
专题七
不等式、推理与证明、算法与复数
[解析]
本题考查了合情推理的能力．
连结 CO 并延长交 AB 于点 D，连结 PD， 由已知可得 PC⊥PD，在直角三角形 PDC 中，DC· h ＝PD· PC， 则 PD2＋PC2· h＝PD· PC，
2 2 1 PD ＋PC 1 1 所以h2＝ PD2· 2 ＝PC2＋PD2. PC
[解析]
得
(1)证明：由题设an＋1 ＝(1＋q)an －qan－1(n≥2)，
an＋1－an＝q(an－an－1)，即bn＝qbn－1(n≥2)． 又b1 ＝a2 －a1 ＝1，q≠0，所以数列{bn}是首项为1，公 比为q的等比数列．