矢量有限元方法在电磁场开域问题中的应用
有限元法在计算电磁学中的应用毕设论文完整版
目录1.绪论 (3)1.1 电磁场理论概述 (3)1.2 有限元法概述 (3)1.2.1有限元的发展历史 (4)1.2.2有限元方法分析过程及其应用 (6)1.2.3 有限元方法的分析过程 (6)1.2.4 有限元方法的应用 (7)2 电磁场及有限单元法的理论基础 (9)2.1矢量及其代数运算 (9)2.1.1 矢量的基本概念 (9)2.1.2 矢量函数的代数运算规则 (11)2.2矢量函数和微分 (12)2.2.1矢量函数的偏导数 (13)2.2.2 梯度，散度和旋度的定义 (14)2.3 矢量微分算子 (15)2.3.1 微分算子∇的定义 (15)2.3.2 含有∇算子算式的定义和性质 (16)2.3.3 二重∇算子 (18)2.3.4 包含∇算子的恒等式 (19)2.4 矢量积分定理 (19)2.4.1高斯散度定理 (19)2.4.2 斯托克斯定理 (20)2.4.3 其他积分定理 (20)2.5 静电场中的基本定律 (20)2.5.1 库仑定律 (20)2.5.2电场强度E (22)2.5.3 高斯定律的积分和微分形式 (23)2.6 静电场的边界条件 (26)2.6.1电位移矢量的法向分量 (26)2.6.2电场强度的切向分量 (27)2.6.3 标量电位的边界条件 (29)2.7 泊松方程和拉普拉斯方程 (30)2.8 静电场的边值问题 (31)2.8.1边值问题的分类 (31)2.8.2 静电场中解的唯一性定理 (32)3.有限单元法 (34)3.1 泛函及泛函的变分 (34)3.2 与边值问题等价的变分问题 (35)3.2.1与二维边值问题等价的变分问题 (35)3.2.2平衡问题的变法表示法 (37)3.3 区域剖分和插值函数 (41)3.3.1定义域的剖分 (41)3.3.2 单元内局部坐标系中φ的近似表达式—插值函数 (45)3.4 单元分析 (48)3.5总体合成 (50)3.6 引入强加边界条件 (53)4.有限单元法的具体应用 (53)5.结束语 (64)参考文献 (65)致谢 (65)1.绪论1.1 电磁场理论概述自1873年J.C.Maxwell建立电磁场普遍运动规律并预言电磁波存在以来，电磁场理论及其应用受到了物理学研究者广泛而深入的研究，这些研究对20世纪物理学的几个重大理论体系（相对论理论），量子理论等）的建立起了重大的作用。
时域有限元法在电磁场仿真中的应用
时域有限元法在电磁场仿真中的应用电磁场是以电场和磁场为主体的物理学中的一个重要领域，随着信息技术的发展，电子设备的普及，电磁场仿真技术得到了广泛的应用。
时域有限元法是电磁场仿真中一种重要的计算方法，它具有广泛的应用背景和数据处理能力，在工业、科研等领域中都有较好的应用前景。
一、时域有限元法时域有限元法（Time Domain Finite Element Method，TDFEM）是求解电磁问题的一种数值计算方法，它将待求解物理量在时间域上进行离散化，并将物理区域分解成简单的有限元网格，并在每个网格中按类似于积分的方法计算待求解物理量，然后通过矩阵运算求解物理场的传递规律。
在时域有限元法中，时间离散化是最基本的步骤，通常采用离散飞秒差分法（FDTD）或插值布尔法（FIT）进行时间离散化。
离散化后求解待求解物理量后，用物理区域建立有限元模型，然后在每个节点上建立方程组，通过矩阵计算得到待求解物理量。
二、时域有限元法在电磁场的仿真中的应用1、电磁兼容性的仿真电磁兼容性是指在电磁环境下电子设备的互相干扰问题和他们对电磁环境的影响问题。
时域有限元法可以用来仿真电磁兼容性问题中的电磁辐射和敏感问题。
利用时域有限元法可以对电子系统进行电磁辐射仿真，以评估其在电磁环境中的辐射情况。
例如，对于飞机上的雷达系统，可以使用时域有限元法来模拟雷达在不同状态下的辐射情况，评估其对周围电子设备的影响。
2、电磁场的散射问题当电磁波遇到物体时，会发生反射，折射，散射等现象，时域有限元法可以用来解决这些散射问题，例如雷达电磁波在目标上的散射问题，船舶上的雷达系统散射问题等。
采用时域有限元法可以解决不规则形状目标的散射问题，为目标的检测和识别提供有用的参考。
3、电磁波的传播问题时域有限元法可以用来模拟电磁波在不同介质中的传播过程，例如无线通信，雷达系统等。
利用时域有限元法可以对不同介质中的电磁波传播进行仿真，以评估电磁波在介质中的传输性能，为优化电磁波传输提供有用的参考。
工程电磁场数值分析(有限元法)解读
Ki , j Ni L(N j ) d
bi Ni f d
目标：建立节点变量之间满足的 代数方程组，即确定系数{Kij} 和 {bi}。依据的原理是加权余量法 使用的基函数为分域基。
基函数
有限元采用分片逼近的思想，跟 使用折线逼近一条任意曲线的做 法相同。使用分域基Ni，基函数 的个数等于节点的个数；每个基 函数Ni的作用区域是与该节点i相 关联的所有单元。
从而
Ni N j dxdy
e
( yi ym )( y j ym ) ( xi xm )( x j xm ) 4
再看边界部分：
e
Ni
N j n
d
（1）在节点 i 的对边jm上，Ni＝0，故积分贡献为0； （2）在节点 i 的邻边ij上，由于计算
ICCG法
3. 有限元的前处理与后处理技术
建模
自动剖分技术 误差估计，h方法与p方法 可视化问题：等位线与电力线 电场力的计算
格林公式：
2
V( 2 )dV Nhomakorabea
S
dS
N j n d
K
(e) ij
N i ( N j )dxdy N i N j dxdy N i
e e e
i ( x, y) 因： Ni 1 1 ( x2 y3 x3 y2 ) ( y2 y3 ) x ( x3 x2 ) y 2
作业：
（1）研究方向为数值计算的同学： 编写一个二维静电场有限元程序， 计算右图所示问题，或其它自己找一 个问题。
（2）研究方向非数值计算的同学：
简要叙述有限元的原理，试分析计算精度可能跟哪些 因素有关；并归纳一下，有限元法与有限差分法有那些 相同点和不同点？
电磁场有限元方法
电磁场有限元方法
电磁场有限元方法是一种用于求解电磁场分布的数值计算方法。
它基于有限元法，将连续的电磁场问题离散化为有限个区域，通过计算每个区域内的电磁场变量进行求解。
在电磁场有限元方法中，电磁场通常通过两个基本变量来描述：电场和磁场。
这些变量可通过Maxwell方程组进行表达，并且可以通过有限元法对其进行离散化。
在离散化过程中，整个计算区域被划分为小的有限单元，并在每个单元上建立适当的数学模型。
然后，通过求解相应的矩阵方程组，可以得到每个单元内的电磁场变量的近似解。
电磁场有限元方法的求解步骤通常包括以下几个步骤：
1. 网格划分：将计算区域划分为小的有限单元。
2. 建立数学模型：在每个单元上建立适当的数学模型来描述电磁场变量的行为。
3. 生成方程组：通过应用Maxwell方程组和适当的边界条件，可以得到矩阵方程组。
4. 求解方程组：使用数值求解方法，如迭代法或直接法，求解得到每个单元内的电磁场变量的近似解。
5. 后处理：根据得到的解，可以计算出其他感兴趣的物理量，如电流密度，功率密度等。
电磁场有限元方法在计算电磁场分布时具有很好的灵活性和精确性。
它广泛应用于电磁设备的设计和分析，如电机、变压器、传感器等。
基于矢量有限元的高频大地电磁法三维数值模拟的开题报告
基于矢量有限元的高频大地电磁法三维数值模拟的开题报告一、选题背景和意义高频大地电磁法是一种非常有效的地球物理勘探技术，可以用于地下矿产资源和水资源的探测、环境地质调查、地质灾害预警等方面。
与传统的直流、低频电磁法相比，高频大地电磁法具有探测深度浅、空间分辨率高、探测速度快等优点，特别适用于城市地区和复杂地质环境下的勘探。
目前，高频大地电磁法的理论研究和实验应用已经相当成熟。
但是，在实际应用中，我们需要对野外勘探数据进行三维数值模拟，以便更好地理解地下结构和物性分布的特征。
由于高频电磁波在介质中的传播和反射特性受到各种因素的影响，如地下介质的电导率、介电常数和磁导率等，因此对于复杂地质环境下的勘探，精确地模拟高频大地电磁法的响应十分困难。
因此，本项目旨在利用矢量有限元方法，开发一种高效、准确的三维数值模拟工具，用于高频大地电磁法的勘探分析。
该工具将基于开源的有限元软件FEniCS，并结合地球物理学中的数学和物理知识，实现高频电磁波在复杂地质介质中的传播和反射模拟，为勘探人员提供可靠的地质信息和物性分布预测，同时对于理解高频电磁波在地下介质中的性质和特征也将具有重要意义。
二、研究内容和方法本项目将采用以下主要研究内容和方法：1. 研究高频大地电磁法的物理和数学模型，包括电磁波传播方程、电磁场分布特性等，建立适用于复杂地质介质的数学模型；2. 基于矢量有限元方法，实现三维高频电磁波在复杂地质介质中的传播和反射模拟，利用开源有限元软件FEniCS进行开发和实现；3. 通过对实际勘探数据的模拟和分析，验证所开发工具的可靠性和准确性，进一步提高模拟精度和效率，探究不同条件下的电磁响应特征；4. 将所开发的三维数值模拟工具与其他地球物理勘探技术相结合，如重力探测、地震勘探等，提高勘探效率和准确度，为地下结构和物性分布的研究提供更加完整的解决方案。
三、预期成果和效益本项目预期取得以下成果：1. 建立适用于复杂地质介质的高频大地电磁法的数学模型，并基于矢量有限元方法实现三维数值模拟工具；2. 验证所开发工具的可靠性和准确性，通过对实际勘探数据的模拟和分析，探究不同条件下的电磁响应特征；3. 探究不同条件下高频大地电磁法的响应特征，提高对地下结构和物性分布的认识和预测能力，为地球物理勘探和地质研究提供重要支持；4. 实现高频大地电磁法与其他地球物理勘探技术的协同集成，提高勘探效率和准确度，为资源勘探、环境地质调查、地质灾害预警等提供有力支持。
三维电磁场矢量有限元分析
单元刚度矩阵的计算
F i j d
e ij
f xx Fije 0 0
0 f yy 0
0 0 f zz
4 2 xyz f xx 36 2 1
2 4 1 2
2 1 4 2
1 2 2 4
总刚度矩阵的计算
里兹(Ritz)变分方法 LФ=f
伽辽金(Galerkin)方法
是边值问题的近似解，得到非零 假设 的残数： f 0 r L
残数加权方法类型，正如其名称所指，它通过对微 分方程的残数求加权方法来得到方程的解。
在伽辽金方法中，加权函数与近似解展开中所用的函数 相同。
最佳近似应能使残数R在Ω内所有点上 R有最小值。残数加权方法要求 Ri wi rd 0
exy eyy ezy
exz e yz ezz
T T exx x x x x d z z y y T T y y y y eyy d z z x x T T ezz z z z z d y y x x
s
齐次狄利克雷(Dirichlet)条件
ˆE 0 n
2 E kt d Jd i j i j j
正六面体单元插值形函数的表达式
1 x
x2
3 x
1 y z y y z z c c yz 2 2 1 y z y y z z c c yz 2 2
----------有限元法在计算电磁学中的应用-毕设论文完整版
目录1.绪论 (3)1.1电磁场理论概述 (3)1.2有限元法概述 (3)1.2.1有限元的发展历史 (5)1.2.2有限元方法分析过程及其应用 (6)1.2.3有限元方法的分析过程 (7)1.2.4有限元方法的应用 (8)2电磁场及有限单元法的理论基础 (9)2.1矢量及其代数运算 (9)2.1.1矢量的基本概念 (9)2.1.2矢量函数的代数运算规则 (12)2.2矢量函数和微分 (12)2.2.1矢量函数的偏导数 (13)2.2.2梯度，散度和旋度的定义 (14)2.3矢量微分算子 (15)2.3.1微分算子∇的定义 (15)2.3.2含有∇算子算式的定义和性质 (16)2.3.3二重∇算子 (18)2.3.4包含∇算子的恒等式 (19)2.4矢量积分定理 (20)2.4.1高斯散度定理 (20)2.4.2斯托克斯定理 (20)2.4.3其他积分定理 (20)2.5静电场中的基本定律 (21)2.5.1库仑定律 (21)2.5.2电场强度E (22)2.5.3高斯定律的积分和微分形式 (24)2.6静电场的边界条件 (26)2.6.1电位移矢量的法向分量 (26)2.6.2电场强度的切向分量 (27)2.6.3标量电位的边界条件 (29)2.7泊松方程和拉普拉斯方程 (30)2.8静电场的边值问题 (31)2.8.1边值问题的分类 (31)2.8.2静电场中解的唯一性定理 (32)3.有限单元法 (34)3.1泛函及泛函的变分 (34)3.2与边值问题等价的变分问题 (35)3.2.1与二维边值问题等价的变分问题 (35)3.2.2平衡问题的变法表示法 (37)3.3区域剖分和插值函数 (41)3.3.1定义域的剖分 (41)3.3.2单元内局部坐标系中φ的近似表达式—插值函数 (44)3.4单元分析 (48)3.5总体合成 (50)3.6引入强加边界条件 (52)4.有限单元法的具体应用 (53)5.结束语 (63)参考文献 (64)致谢 (65)1.绪论1.1电磁场理论概述自1873年J.C.Maxwell建立电磁场普遍运动规律并预言电磁波存在以来，电磁场理论及其应用受到了物理学研究者广泛而深入的研究，这些研究对20世纪物理学的几个重大理论体系（相对论理论），量子理论等）的建立起了重大的作用。
工程电磁场数值分析4(有限元法)
变分原理
有限元法的数学基础是变分原理， 即通过求解泛函的极值问题来得 到原问题的近似解。
微分方程
有限元法将微分方程转化为等价 的变分问题，然后通过离散化将 变分问题转化为标准的线性代数 方程组。
插值函数
为了将连续的物理量离散化，有 限元法使用插值函数来近似表示 连续函数，从而得到离散化的数 值解。
有限元法的离散化过程
01
MATLAB/Simulin k
流行的数值计算和仿真软件，提 供丰富的数学函数库和图形界面， 适用于有限元分析。
02
COMSOL Multiphysics
多物理场有限元分析软件，支持 多种编程语言接口，如Python、 Java等。
03
ANSYS Maxwell
专业的电磁场有限元分析软件， 提供强大的前后处理和求解功能。
对初值条件敏感
有限元法的数值解对初值条件较为敏感，可能导致计算结果的不稳 定。
对边界条件的处理复杂
对于某些复杂边界条件，有限元法需要进行特殊处理，增加了计算 的复杂性。
有限元法的改进方向与未来发展
高效算法设计
研究更高效的算法，减少计算量，提高计算 效率。
自适应网格生成技术
发展自适应的网格生成技术，根据求解需求 动态调整离散化参数。
通过选择适当的离散化参数和节点数，有 限元法能够获得高精度的数值解。
灵活性好
可并行计算
有限元法可以灵活地处理复杂的几何形状 和边界条件，方便进行模型修改和扩展。
有限元法可以方便地进行并行计算，提高 计算效率。
有限元法的缺点
计算量大
有限元法需要对整个求解区域进行离散化，导致节点数和自由度 数增加，计算量大。
电磁兼容性分析
工程电磁场数值计算(有限元法)剖析
(
d2N dx2
j
+N
j)
d
Ni
d2N dx2
j
d
Ni N j d
基函数 Ni 只是一阶可导 的，不能严格满足微分方 程，称为“弱解”。
工程电磁场数值计算(有限元法)剖析
（3）方程离散
Ki,j NiL(Nj)d bi Ni fd
由于基函数 Ni 局域支撑，显见只有 Ki,i1, Ki,i, Ki,i1 不为0。 使用分步积分：
j1
记 Ki,j NiL(Nj)d bi Ni fd
得代数方程组： Kαb 工程电磁场数值计算(有限元法)剖析
利用有限元法求解一维边值问题：
L(u)
ddx2u2
ux
u(0) u(1) 0
0x1
（1）单元剖分
如图5个单元，6个节点
（2）选取基函数
x xi1
Ni
xi xi1
xi 1
K0116N0L(N1)d b Nfd 0 1 2 3 4 5 6 0
工程电磁场数值计算(有限元法)剖析
以下把单元e的贡献记为
K(e) ij
eNi(e)L(N(je))d
b(e) i
e
N(e) i
f(e)d
这样，就有
K 0 0 K 0 ( 1 0 ) K 0 ( 0 2 ) K 0 ( 0 3 ) K 0 ( 0 4 ) K 0 ( 0 5 ) K 0 ( 0 6 )
n=6
w(3) = 0.0951585117d0
x(1)= 0.932469514203152d0
w(4) = 0.1246289713d0
x(2)= 0.6612d0
w(5) = 0.1495959888d0
大地电磁场三维地形影响的矢量有限元数值模拟
大地电磁场三维地形影响的矢量有限元数值模拟一、概述大地电磁场作为一种重要的地球物理场，广泛应用于资源勘探、环境监测、地下水探测等领域。
而地形对大地电磁场的传播与分布有着显著的影响，特别是在复杂地形区域，地形效应更是不可忽视。
进行对大地电磁场三维地形影响的矢量有限元数值模拟具有重要意义。
二、大地电磁场的基本原理大地电磁场是由地球本身产生的电磁场，其主要来源包括地热、地磁活动、地下水流动等。
在实际应用中，人们常常通过在地面布置电磁场接收器，观测电磁场在地下介质中的传播过程，以推断地下介质的电性特性和构造。
三、地形对大地电磁场的影响地形对大地电磁场的影响主要表现在以下几个方面：1. 地形对电磁波的散射和衍射作用；2. 地形对地下介质电磁特性的改变；3. 地形对地下电磁场分布的遮挡作用。
在复杂地形区域，地形对大地电磁场的影响更加显著，使得电磁场的传播和接收过程变得更加复杂和困难。
四、矢量有限元数值模拟矢量有限元数值模拟是一种基于数值计算的方法，通过数学模型和计算机模拟，对大地电磁场在复杂地形区域的传播进行模拟和分析。
该方法能够考虑地形对电磁场的影响，并能够产生高分辨率的电磁场分布图像，为资源勘探和环境监测提供重要的参考。
五、个人观点和理解在我看来，大地电磁场三维地形影响的矢量有限元数值模拟是一项复杂而又具有挑战性的研究工作。
通过深入探讨地形对电磁场的影响规律，可以更好地理解地下介质的电性特性和构造，为地质勘探和环境保护提供科学依据。
六、总结与回顾通过本文的探讨，我们对大地电磁场三维地形影响的矢量有限元数值模拟有了更加全面、深入和灵活的理解。
在实际应用中，我们应该充分重视地形对大地电磁场的影响，并结合矢量有限元数值模拟方法，开展更加精细和有效的电磁场模拟工作。
七、参考文献1. 高三六,王大治.大地电磁方法[M].北京:地震出版社,2014.2. 邬华盛. 大地电磁勘探与应用[M]. 北京:科学出版社,2008.总结：本文对大地电磁场三维地形影响的矢量有限元数值模拟进行了深入探讨，并结合个人观点和理解，希望能够对读者有所启发和帮助。
大地电磁场三维地形影响的矢量有限元数值模拟
大地电磁场三维地形影响的矢量有限元数值模拟大地电磁场三维地形影响的矢量有限元数值模拟随着科技的不断发展，大地电磁场在地球物理领域中扮演着重要的角色。
研究大地电磁场对地形的影响，对于地下资源勘探、地震监测、环境监测等方面具有重要的意义。
在这篇文章中，我们将会探讨大地电磁场三维地形影响的矢量有限元数值模拟，从而深入了解这一领域的研究内容。
1. 大地电磁场的基本概念大地电磁场是指地球中的电磁场，由地球磁场和地球导电层的电磁感应共同形成。
在地球物理勘探中，大地电磁场可以被用来勘探地下的电导率结构，进而推断地下的成因、构造、地质体等信息。
2. 三维地形对大地电磁场的影响地球表面的地形起伏会导致地质体的非均匀性，从而对大地电磁场产生影响。
地形起伏引起的地质体非均匀性会影响电磁波在地下的传播，进而影响地球深部结构的勘探效果。
研究地形对大地电磁场的影响对于地下资源的勘探和环境监测具有重要的意义。
3. 矢量有限元数值模拟矢量有限元数值模拟是一种数值计算方法，它可以模拟地下电磁场的传播过程。
在数值模拟中，可以考虑地形对电磁场的影响，从而更真实地模拟地下的电磁场分布。
通过矢量有限元数值模拟，可以分析不同地形条件下的电磁场分布规律，为地下资源勘探和环境监测提供重要的参考信息。
4. 我对大地电磁场三维地形影响的个人观点和理解个人认为，地形对大地电磁场的影响是一个值得深入研究的领域。
通过研究地形对电磁场的影响，可以更准确地识别地下结构，提高地质勘探和环境监测的效率。
而矢量有限元数值模拟则是一种重要的研究方法，它可以更真实地模拟地下电磁场的传播过程，为实际勘探工作提供重要的参考。
总结本文围绕大地电磁场三维地形影响的矢量有限元数值模拟展开讨论，从基本概念、影响因素到数值模拟方法进行了全面的介绍。
通过深入的研究和分析，我们可以更好地了解地形对大地电磁场的影响，为地下资源的勘探和环境监测提供重要的参考信息。
未来，在这一领域的研究中，需要进一步完善数值模拟方法，提高对地下电磁场特性的理解，为实际应用提供更可靠的技术支持。
矢量边界元法在三维电磁场本征值问题中的应用
矢量边界元法在三维电磁场本征值问题中的应用蒿正伟;王勇;朱德才;朱明【摘要】边界元法的基础上,描述了一种解决本征值问题的方法.首先给出适用于三维电磁问题的矢量边界积分方程,然后导出了本征值方程.为了计算本征值,在对谐振腔体的边界进行离散的过程中采用了常量单元.编制了计算机程序并给出了三个具体算例.结果表面,本方法所得到的数值结果与对应的解析解以及HFSS、Magic和CST等电磁仿真软件的数值计算结果符合得很好,证明了本方法的有效性.【期刊名称】《科学技术与工程》【年(卷),期】2008(008)016【总页数】4页(P4654-4657)【关键词】三维;电磁场;本征值;矢量;边界元法【作者】蒿正伟;王勇;朱德才;朱明【作者单位】中国科学院研究生院,北京,100039;中国科学院电子学研究所,北京,100190;中国科学院电子学研究所,北京,100190;中国科学院研究生院,北京,100039;中国科学院电子学研究所,北京,100190;中国科学院研究生院,北京,100039;中国科学院电子学研究所,北京,100190【正文语种】中文【中图分类】基础科学第 8 卷第 16 期 2008 年 8 月1671-1819(2008)16-4654-04科学技术与工程ScienceTechnologyandEngineering Vol.8No.16Aug.2008@2008Sci.Tech.Engng.通信技术矢量边界元法在三维电磁场本征值问题中的应用蒿正伟1,2 王勇 2 朱德才 1,2朱明 1,2（中国科学院研究生院‘，北京 100039 ；中国科学院电子学研究所2，北京 100190 ）摘要边界元法的基础上，描述了一种解决本征值问题的方法。
首先给出适用于三维电磁问题的矢量边界积分方程，然后导出了本征值方程。
为了计算本征值，在对谐振腔体的边界进行离散的过程中采用了常量单元。
编制了计算机程序并给出了三个具体算例。
有限元在电磁场中的应用
的计算，即将无穷维自由度问题转化为有限个自由度的问题。 结点场量计算的思路如下：描述电磁场规律的是些偏微分方程， 首先找出与之相应的泛函，这样偏微分方程的边值问题就成了求泛函 的极值问题。场域被分成有限单元后，整个场域的泛函就是各单元泛 函之和。在引入插值函数并用结点场量表示单元内任一点的场量后， 泛函近似转化为多元函数，变分极值近似转化为多元函数的极值。在 对场量取偏导并令之为零后，得到的方程是代数方程。每个单元建立 一个方程，在整个求解区域中则有一个代数方程组，计及边界条件后 解此方程组就可求出各结点场量。在此过程中，并不要求每个单元中 的插值函数满足整个场域的边界条件，所以可以很容易的确定。由于
•
如平面场域中若用三角形【见图1（a）】，作为基本单元，当单元中每个结点 的自由度为1时，则线性场变量模型为
•
• • •
式中， 代表单元内任意一点的场量， x、y为该点的坐标， 为系数 （x， y） 若用双线性元的矩形单元【见图1（b）】为基本单元，则场变量模型为：
（x，y） =1 x 3 y+4 y （2 2）
2 1 J ( ) (9) dV V 2
•
• 这就是第一、第二类边界条件下的拉普拉斯方程所对应的泛函。将 式（7）代入式（9），然后进行求导运算可得
•
（10）
• 这就是拉普拉斯方程的三角单元矩阵特征式
• （5）集合单元特性得到表示整个解域性质的矩阵方程式。为了求得 全系统模型的特性，就必须“集合”全部单元的特性，然后求泛函的 极值，导出联立代数方程组（又称有限元方程）。“集合”所依据的 原理是：在一些单元相互连接的结点处，要求所有包括此结点的单元 在该结点处的场变量相同。（4）和（5）步可一并由计算机来完成。 • （6）求解有限元方程。这首先要考虑边界条件，然后由计算机解出 未知结点的场变量值，通过这些结点值就能求出场内任一点的场量值 。 • 总之，有限元法是从变分原理出发，通过区域划分和分片插值找出形 状函数，在通过“集合”把变分问题近似转化为多元函数的极值问题 。
电磁场数值计算之6-西安交通大学电气工程学院
第六章 矢量有限元法引起伪解的原因有多种：①由于未强加矢量函数的散度条件而引起；②材料界面和导体表面强加边界条件不方便；③导体和介质边缘及角等结构的奇异性引起的。
矢量有限元是给单元的棱边赋予自由度，取代结点自由度，也称棱边元、矢量元。
上个世纪60年代就有人提出过这些类型的单元，但它们在电磁场的应用及其重要性直到上个世纪80年代才被认识到。
棱边元可以有效地消除伪解问题，一开始它被应用于解电磁散射中的电场积分方程的解中，后来被用于有限元解中。
下面介绍最基本的矢量有限元法或称棱边单元法，它适用于无通量源的区域，即场量的散度为零的区域。
§6－1 二维棱边元从最简单的矩形单元入手介绍棱边元的概念。
6.1.1 矩形单元单元的每一棱边赋予一个不变的切向场分量，e x E 1，ex E 2分别是棱边1和2的电场x E 分量，e y E 1，e y E 2分别是棱边3和4的电场y E 分量，e ce c y x ,是矩形单元的中点，e x E 、e y E 分别是沿y 、x 方向上的线性插值（这里，E 可以代表其它未知函图6-1 矩形棱单元 数，不一定是电场）。
那么，单元中任一点的场为 112121y y E E y y E E ex e x e x e x --=-- ，y c l y y 211-= ，y c l y y 212+=，整理得到： e x ey e c e y e x ey e c eyex E l y y l E y l y l E 212121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+= (6-1) e y e x e c ex e y ex e c exe yE l x x l E x l x l E 212121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+= (6-2) 写成矢量形式∑==41i e i e i eE N E (6-3)式中，e i E 表示沿第i 个棱边的切向场分量，e i N 是矢量插值函数，也称矢量基函数，它们由下面公式给出⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=y ex ec e x e y e x e c e x e xey e c e y e x e y e c e y e l x x l x l x l l y y l y l y l e N , e N e N , e N 212121214321 (6-4)矢量基函数具有与前述基函数相同的性质：基函数的重要性：（类似于有限元节点法）（1）当场点在第i 边上，只有e i N 有切向分量，在其它所有边都等于零，即棱边i 上的场量不受其它棱边场量的影响，所以，切向场的连续性得到了保证。