2020年中考数学二轮核心考点讲解第06讲动点问题专题解析版

【中考数学二轮核心考点讲解】第06讲动点问题专题一、行程问题公式路程=速度×时间，即s v tg　=路程和相遇时间速度和=路程差追及时间速度差二、数轴工具1. 数轴上的每一个点与实数之间的一一对应关系；2. 数轴（坐标轴）上任意两点间的距离表示；3. 数轴（坐标轴）知道一点及其这一点与另一点之间的距离，表示另一点.1. 针对不同的情况，多画图，充分利用数形结合的与分类讨论的数学思想进行解题；2. 求出所有动点在“起点、拐点、终点”对应的时间；3. 可借助数轴表示出各对应点的时间，凭借各关键点的时间，确定分类讨论的标准；4. 画出每种情形下的图形，结合题意进行解题；5. 掌握动点所经过的路程与相关线段长度之间的区别与联系.6. 解题的关键是从运动图与描述图中获取信息，根据图象确定x的运动时间与函数的关系，同时关注图象不同情况的讨论．这类问题往往探究点在运动变化过程中的变化规律，如等量关系、图形的特殊位置、图形间的特殊关系等，且体现分类讨论和数形结合的思想．【例题1】（2019•大连）甲、乙两人沿同一条直路走步，如果两人分别从这条直路上的A ，B 两处同时出发，都以不变的速度相向而行，图1是甲离开A 处后行走的路程y （单位：)m 与行走时间x （单位：)min 的函数图象，图2是甲、乙两人之间的距离y （单位：)m 与甲行走时间x （单位：)min 的函数图象，则a b -= ．【解析】从图1，可见甲的速度为120602=， 从图2可以看出，当67x =时，二人相遇， 即：()6601207V +⨯=乙，解得：乙的速度80V =乙， Q 乙的速度快，从图2看出乙用了b 分钟走完全程，甲用了a 分钟走完全程， 120120160802a b -=-=， 故答案为12．【例题2】已知，矩形ABCD 中，4AB cm =，8BC cm =，AC 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 与点E 、F ，垂足为O ．（1）如图1，连接AF 、CE ．求证四边形AFCE 为菱形，并求AF 的长；（2）如图2，动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，沿AFB ∆和CDE ∆各边匀速运动一周，即点P 自A FB A →→→停止，点Q 自C D E C →→→停止，在运动过程中，已知点P 的速度为每秒5cm ，点Q 的速度为每秒4cm ，运动时间为t 秒，当A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t 的值． 【解答】（1）证明：Q 四边形ABCD 是矩形， //AD BC ∴，EAO FCO ∴∠=∠，AC Q 的垂直平分线EF ，OA OC ∴=， 在AOE ∆和COF ∆中，EAO FCO OA OCAOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()AOE COF ASA ∴∆≅∆，OE OF ∴=， OA OC =Q ，∴四边形AFCE 是平行四边形， EF AC ⊥Q ，∴四边形AFCE 是菱形． AF FC ∴=，设AF xcm =，则CF xcm =，(8)BF x cm =-， Q 四边形ABCD 是矩形90B ∴∠=︒，∴在Rt ABF ∆中，由勾股定理得：2224(8)x x +-=，解得5x =，即5AF cm =；（2）显然当P 点在AF 上时，Q 点在CD 上，此时A 、C 、P 、Q 四点不可能构成平行四边形；同理P 点在AB 上时，Q 点在DE 或CE 上或P 在BF ，Q 在CD 时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形．因此只有当P 点在BF 上、Q 点在ED 上时，才能构成平行四边形， ∴以A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC QA =， Q 点P 的速度为每秒5cm ，点Q 的速度为每秒4cm ，运动时间为t 秒， 5PC t ∴=，124QA t =-， 5124t t ∴=-，解得43t =． ∴以A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，43t =秒．【例题3】将一矩形纸片OABC 放在平面直角坐标系中，(0,0)O ，(6,0)A ，(0,3)C ．动点Q 从点O 出发以每秒1个单位长的速度沿OC 向终点C 运动，运动23秒时，动点P 从点A 出发以相等的速度沿AO 向终点O 运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P 的运动时间为t （秒)．（1）用含t 的代数式表示OP ，OQ ；是否存在t ，使得PQ 与AC 平行？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由．（2）求POQ ∆面积的最大值．（3）如图，将POQ ∆沿PQ 翻折，点O 恰好落在CB 边上的点D 处，且点D 的坐标(1,3)，求t 的值．【解析】（1）(0,0)O Q ，(6,0)A ，(0,3)C ， 6OA ∴=，3OC =， Q 四边形OABC 是矩形，3AB OC ∴==，6BC OA ==，(6,3)B ∴，Q 动点Q 从O 点以每秒1个单位长的速度沿OC 向终点C 运动，运动23秒时，动点P 从点A 出发以相等的速度沿AO 向终点O 运动．∴当点P 的运动时间为t （秒)时， APt =，23OQ t =+， 则6OP OA AP t =-=-； 存在，PQ 与AC 平行，当OP OQOA OC=时，//PQ AC ，即26363t t +-=，149t =； （2）22112181850(6)()2()22323239POQ S OP OQ t t t t t ∆==-+=-++=--+g ， Q Q 运动到点C 时，27333t =-=， P 运动到点O 时，6t =， 102-<Q ，∴当703t剟时，S 随t 的增大而增大， ∴当73t =时，S 的最大值为112； （3）(1,3)D Q ，1CD ∴=，设OQ a =，则DQ a =，3CQ a =-，在Rt CQD ∆中，222CQ CD DQ +=， 222(3)1a a ∴-+=，53a =，2533OQ t =+=Q ，1t =．【例题4】（2019春•西湖区校级月考）如图，等边ABC ∆的边长为10cm ，动点M 从点B 出发，沿B AC B →→→的方向以6/cm s 的速度运动，动点N 从点C 出发，沿C A B C →→→方向以4/cm s 的速度运动．（1）若动点M 、N 同时出发，经过几秒MN 第一次垂直于AB ？ （2）若动点M 、N 同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动，那么运动到第几秒钟时，点A 、M 、N 以及ABC ∆的边上一点D 恰能构成一个平行四边形？求出时间t 并请指出此时点D 的具体位置．【解析】（1）如图1， MN AB ⊥Q ，60A ∠=︒， 30ANM ∴∠=︒， 2AN AM ∴=， 1042(106)t t ∴-=-54t ∴=； （2）如图2，当点M 在AB 上，点N 在AC 上时， Q 四边形AMDN 是平行四边形， 106AM DN t ∴==-，//AM DN ， 60A DNC ∴∠=∠=︒，且60DCN ∠=︒， DNC ∴∆是等边三角形， DN CN CD ∴==， 1064t t ∴-=， 1t ∴=，4CD cm ∴=，∴点D 在BC 上，且离C 点4cm ；如图3，当点M 在AC 上，点N 在AB 上时， Q 四边形AMDN 是平行四边形， 410AN DM t ∴==-，//AN DM ，60A DMC ∴∠=∠=︒，且60DCM ∠=︒， DMC ∴∆是等边三角形， DM CM CD ∴==， 410206t t ∴-=-， 3t ∴=，2CD cm ∴=，∴点D 在BC 上，且离C 点2cm ；如图4，当点M 在BC 上，点N 在AB 上时， Q 四边形ADMN 是平行四边形， 410AN DM t ∴==-，//AN DM ，60A MDC ∴∠=∠=︒，且60DCM ∠=︒， DMC ∴∆是等边三角形， DM CM CD ∴==， 410620t t ∴-=-， 5t ∴=，10CD cm ∴=，∴点D 与点A 重合，不合题意舍去；综上所述：运动到第1秒或第3秒时，点A 、M 、N 以及ABC ∆的边上一点D 恰能构成一个平行四边形，点D 在BC 上，离C 点4cm 或点D 在BC 上，离C 点2cm ．【例题5】（2019•苏州）已知矩形ABCD 中，5AB cm =，点P 为对角线AC 上的一点，且25AP cm =．如图①，动点M 从点A 出发，在矩形边上沿着A B C →→的方向匀速运动（不包含点)C ．设动点M 的运动时间为()t s ，APM ∆的面积为2()S cm ，S 与t 的函数关系如图②所示．（1）直接写出动点M 的运动速度为 /cm s ，BC 的长度为 cm ；（2）如图③，动点M 重新从点A 出发，在矩形边上按原来的速度和方向匀速运动，同时，另一个动点N 从点D 出发，在矩形边上沿着D C B →→的方向匀速运动，设动点N 的运动速度为(/)v cm s ．已知两动点M ，N 经过时间()x s 在线段BC 上相遇（不包含点)C ，动点M ，N 相遇后立即同时停止运动，记此时APM ∆与DPN ∆的面积分别为21()S cm ，22()S cm①求动点N 运动速度(/)v cm s 的取值范围；②试探究12S S g 是否存在最大值，若存在，求出12S S g 的最大值并确定运动时间x 值；若不存在，请说明理由．【解析】（1） 2.5t s =Q 时，函数图象发生改变， 2.5t s ∴=时，M 运动到点B 处，∴动点M 的运动速度为：52/2.5cm s =， 7.5t s =Q 时，0S =，7.5t s ∴=时，M 运动到点C 处，(7.5 2.5)210()BC cm ∴=-⨯=，故答案为：2，10；（2）①Q 两动点M ，N 在线段BC 上相遇（不包含点)C ，∴当在点C 相遇时，52(/)7.53v cm s ==，当在点B 相遇时，5106(/)2.5v cm s +==， ∴动点N 运动速度(/)v cm s 的取值范围为2/6/3cm s v cm s <…；②过P 作EF AB ⊥于F ，交CD 于E ，如图3所示： 则//EF BC ，10EF BC ==，∴AF APAB AC=， 2255AC AB BC =+=Q ，∴25555AF =，解得：2AF =， 2DE AF ∴==，3CE BF ==，224PF AP AF =-=，6EP EF PF ∴=-=，()()1111424253525215222APM APF ABM PFBM S S S S S x x x ∆∆∆∴==+-=⨯⨯++-⨯-⨯⨯-=-+梯形，()()2111266152351522222DPM DEP DCM EPMC S S S S S x x x ∆∆∆==+-=⨯⨯++-⨯-⨯⨯-=梯形，221215225(215)24304()44S S x x x x x ∴=-+⨯=-+=--+g ， 152.57.54<<Q ，在BC 边上可取， ∴当154x =时，12S S g 的最大值为2254．【例题6】如图， 已知直角梯形ABCD 中，//AD BC ，90B ∠=︒，8AB cm =，24AD cm =，26BC cm =，AB 为O e 的直径， 动点P 从点A 开始沿AD 边向点D 以1/cm s 的速度运动， 动 点Q 从点C 开始沿CB 边向点B 以3/cm s 速度运动 ．P 、Q 分别从点A 、C 同时出发， 当其 中一点到达终点时， 另一点也随之停止运动， 设运动时间为t s ，问： （1）t 为何值时，P 、Q 两点之间的距离为10cm ？（2）t 分别为何值时， 直线PQ 与O e 相切？相离？相交？【解析】 （1）AP t =，263BQ t =-，如图 1 ：作PE BC ⊥于E ，264QE t =-． 由勾股定理， 得2(264)64100t -+=，解得5t =或 8 ； （2） 当PQ 与O e 相切时， 如图 2 ，由相切， 得262PQ AP BQ t =+=-，264BE t =-，8PE =，22(264)64(262)t t -+=- 直线PQ 与O e 相切，8t =或23； 当262633÷=，当263t =时运动停止， 相交203t <„或2683t <„；相离283t <<．【例题7】如图1，在△ABC中，∠A＝30°，点P从点A出发以2cm/s的速度沿折线A－C－B运动，点Q 从点A出发以a(cm/s)的速度沿AB运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动．设运动时间为x(s)，△APQ的面积为y(cm2)，y关于x的函数图象由C1，C2两段组成，如图2所示．(1)求a的值；(2)求图2中图象C2段的函数表达式；(3)当点P运动到线段BC上某一段时△APQ的面积大于当点P在线段AC上任意一点时△APQ的面积，求x 的取值范围．【例题8】已知，如图①，在▱ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，AC⊥AB，△ACD沿AC的方向匀速平移得到△PNM，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速移动，速度为1cm/s，当△PNM停止平移时，点Q也停止移动，如图②，设移动时间为t（s）（0＜t＜4），连接PQ，MQ，MC，解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥MN？（2）设△QMC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使S△QMC：S四边形ABQP＝1：4？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（4）是否存在某一时刻t，使PQ⊥MQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）在Rt△ABC中，AC＝＝4，由平移的性质得MN∥AB，∵PQ∥MN，∴PQ∥AB，∴＝，∴＝，t＝，（2）过点P作PE⊥BC于E，如图∵△CPE∽△CBA，∴＝，∴＝，∴PE＝﹣t，∵PE⊥BC，∴S△QMC＝S△QPC，∴y＝S△QMC＝QC•PE＝t（﹣t）＝t﹣t2（0＜t＜4），（3）∵S△QMC：S四边形ABQP＝1：4，∴S△QPC：S四边形ABQP＝1：4，∴S△QPC：S△ABC＝1：5，∴（t﹣t2）：6＝1：5，∴t＝2，（4）若PQ⊥MQ，则∠PQM＝∠PEQ，∵∠MPQ＝∠PQE，∴△PEQ∽△MQP，∴＝，∴PQ2＝MP•EQ，∴PE2+EQ2＝MP•EQ，∵CE＝，∴EQ＝CE﹣CQ＝﹣t＝，∴（）2+（）2＝5×，∴t 1＝0（舍去），t 2＝， ∴t ＝时，PQ ⊥MQ ．1．（2019•营口）如图，在矩形ABCD 中，5AD =，3AB =，点E 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿AD 向点D 运动，同时点F 从点C 出发，以每秒1个单位长度的速度沿CB 向点B 运动，当点E 到达点D 时，点E ，F 同时停止运动．连接BE ，EF ，设点E 运动的时间为t ，若BEF ∆是以BE 为底的等腰三角形，则t 的值为574± ．【解析】如图，过点E 作EG BC ⊥于G ， ∴四边形ABGE 是矩形，3AB EG ∴==，2AE BG t ==，5BF EF t ==-Q ，|2(5)||35|FG t t t =--=-， 222EF FG EG ∴=+，22(5)(35)9t t ∴-=-+， 57t ±∴=57± 2．（2019•乐山）如图1，在四边形ABCD 中，//AD BC ，30B ∠=︒，直线l AB ⊥．当直线l 沿射线BC 方向，从点B 开始向右平移时，直线l 与四边形ABCD 的边分别相交于点E 、F ．设直线l 向右平移的距离为x ，线段EF 的长为y ，且y 与x 的函数关系如图2所示，则四边形ABCD 的周长是 1023+ ．【解析】30B ∠=︒Q ，直线l AB ⊥， 2BE EF ∴=， 由图可得， 34cos304232AB =︒=⨯=， 5BC =，743AD =-=， 由图象可得，541AN =-=，752ND CM ==-=，2DM =， 30B ∠=︒Q ，EF AB ⊥， 60M ∴∠=︒，又2DM MC ==Q ， DMC ∴∆是等边三角形， 2DC DM ∴==，∴四边形ABCD 的周长是：235321023AB BC AD CD +++=+++=+，故答案为：1023+．3．（2019•菏泽）如图，直线334y x =--交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，点P 是x 轴上一动点，以点P 为圆心，以1个单位长度为半径作P e ，当P e 与直线AB 相切时，点P 的坐标是 7(3-，0)或17(3P -，0) ．【解析】Q 直线334y x =--交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，∴令0x =，得3y =-，令0y =，得4x =-， (4,0)A ∴-，(0B ．3)-，4OA ∴=，3OB =， 5AB ∴=，设P e 与直线AB 相切于D ， 连接PD ，则PD AB ⊥，1PD =，90ADP AOB ∠=∠=︒Q ，PAD BAO ∠=∠， APD ABO ∴∆∆∽，∴PD APOB AB =， ∴135AP=， 53AP ∴=， 73OP ∴=或173OP =， 7(3P ∴-，0)或17(3P -，0)，故答案为：7(3-，0)或17(3P -，0)．4．（2019•济宁）小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离()y km 与小王的行驶时间()x h 之间的函数关系．请你根据图象进行探究：（1）小王和小李的速度分别是多少？（2）求线段BC 所表示的y 与x 之间的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．【解析】（1）由图可得，小王的速度为：30310/km h ÷=，小李的速度为：(30101)120/km h -⨯÷=，答：小王和小李的速度分别是10/km h 、20/km h ； （2）小李从乙地到甲地用的时间为：3020 1.5h ÷=，当小李到达甲地时，两人之间的距离为：10 1.515km ⨯=，∴点C 的坐标为(1.5,15)， 设线段BC 所表示的y 与x 之间的函数解析式为y kx b =+，01.515k b k b +=⎧⎨+=⎩，得3030k b =⎧⎨=-⎩，即线段BC 所表示的y 与x 之间的函数解析式是3030(1 1.5)y x x =-剟．5．（2019•青岛）已知：如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，90ACB ∠=︒，10AB cm =，8BC cm =，OD 垂直平分A C ．点P 从点B 出发，沿BA 方向匀速运动，速度为1/cm s ；同时，点Q 从点D 出发，沿DC方向匀速运动，速度为1/cm s ；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P 作PE AB ⊥，交BC 于点E ，过点Q 作//QF AC ，分别交AD ，OD 于点F ，G ．连接OP ，EG ．设运动时间为()(05)t s t <<，解答下列问题：（1）当t 为何值时，点E 在BAC ∠的平分线上？（2）设四边形PEGO 的面积为2()S cm ，求S 与t 的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使四边形PEGO 的面积最大？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（4）连接OE ，OQ ，在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使OE OQ ⊥？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒Q ，10AB cm =，8BC cm =， 221086()AC cm ∴=-=，OD Q 垂直平分线段AC ，3()OC OA cm ∴==，90DOC ∠=︒，//CD AB Q ，BAC DCO ∴∠=∠， DOC ACB ∠=∠Q ， DOC BCA ∴∆∆∽，∴AC AB BCOC CD OD==， ∴61083CD OD==， 5()CD cm ∴=，4()OD cm =，PB t =Q ，PE AB ⊥，易知：34PE t =，54BE t =，当点E 在BAC ∠的平分线上时， EP AB ⊥Q ，EC AC ⊥， PE EC ∴=，∴35844t t =-， 4t ∴=．∴当t 为4秒时，点E 在BAC ∠的平分线上．（2）如图，连接OE ，PC ．()OEG OPE OEG OPC PCE OEC OPEG S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆=+=++-四边形 141415315(4)3[3(8)(8)3(8)]252524524t t t t t =-+-+---g g g g g g g g 23156(05)88t t t =-++<<．（3）存在．235267()(05)8232S t t =--+<<Q ，52t ∴=时，四边形OPEG 的面积最大，最大值为26732．（4）存在．如图，连接OQ ． OE OQ ⊥Q ，90EOC QOC ∴∠+∠=︒， 90QOC QOG ∠+∠=︒Q ， EOC QOG ∴∠=∠，tan tan EOC QOG ∴∠=∠，∴EC GQOC OG=， ∴358544345t tt -=-，整理得：25661600t t -+=，解得165t =或10（舍弃）∴当165t =秒时，OE OQ ⊥． 6．（2019•天门）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 的顶点坐标分别为(0,0)O ，(12,0)A ，(8,6)B ，(0,6)C ．动点P 从点O 出发，以每秒3个单位长度的速度沿边OA 向终点A 运动；动点Q 从点B 同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC 向终点C 运动．设运动的时间为t 秒，2PQ y =．（1）直接写出y 关于t 的函数解析式及t 的取值范围： 22580100(04)y t t t =-+剟 ； （2）当PQ =t 的值；（3）连接OB 交PQ 于点D ，若双曲线(0)ky k x=≠经过点D ，问k 的值是否变化？若不变化，请求出k 的值；若变化，请说明理由．【解析】（1）过点P 作PE BC ⊥于点E ，如图1所示． 当运动时间为t 秒时(04)t 剟时，点P 的坐标为(3,0)t ，点Q 的坐标为(82,6)t -， 6PE ∴=，|823||85|EQ t t t =--=-，2222226|85|2580100PQ PE EQ t t t ∴=+=+-=-+， 22580100(04)y t t t ∴=-+剟．故答案为：22580100(04)y t t t =-+剟． （2）当35PQ =222580100(35)t t -+=， 整理，得：2516110t t -+=，解得：11t =，2115t =．（3）经过点D 的双曲线(0)ky k x=≠的k 值不变．连接OB ，交PQ 于点D ，过点D 作DF OA ⊥于点F ，如图2所示．6OC =Q ，8BC =，2210OB OC BC ∴+=． //BQ OP Q ，BDQ ODP ∴∆∆∽，∴2233BD BQ t OD OP t ===，6OD ∴=． //CB OA Q ，DOF OBC ∴∠=∠．在Rt OBC ∆中，63sin 104OC OBC OB ∠===，84cos 105BC OBC OB ∠===， 424cos 655OF OD OBC ∴=∠=⨯=g ，318sin 655DF OD OBC =∠=⨯=g ， ∴点D 的坐标为24(5，18)5， ∴经过点D 的双曲线(0)k y k x =≠的k 值为24184325525⨯=．7．如图，矩形OABC 的顶点B 的坐标为(,)a b ，定点D 的坐标为(4,0)b ，其中a ，b 分别为方程211240x x -+=的两根，且a b >，动点P 从点O 出发，以每秒2个单位长度的速度沿x 轴的正方向匀速运动，动点Q 从点D 出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴的负方向匀速运动，PQ 两点同时运动，相遇时停止，在运动过程中，以PQ 为斜边在x 轴上方作等腰直角三角形PQR ，设运动时间为t 秒 （1）a= 8 ，b =（2）当t 取何值时，PQR ∆与矩形OABC 面积比为2:3？ （3）当t 取何值时，PQR ∆的边OR 经过点B ？（4）设PQR ∆和矩形OABC 重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式【解析】（1）解方程211240x x -+=得13x =，28x =， Q 方程的两根a b >，8a ∴=，3b =， 故答案为：8，3；（2）由（1）知点(8,3)B ， 8OA ∴=，3OB =，则24OABC S =矩形， 由23PQR OABCS S ∆=矩形得16PQR S ∆=， 根据题意知2OP t =，DQ t =，412OD b ==Q ，212t t ∴+=，解得4t =，则04t 剟； 123PQ t =-Q ，且PQR ∆为等腰直角三角形，∴斜边PQ 上的高为1232t-，则1123(123)1622PQR tS t ∆-=⨯-⨯=，解得43t =或2043t =>（舍去）， 故43t =时，PQR ∆与矩形OABC 面积比为2:3；（3）PQR ∆Q 的边QR 经过点B 时，ABQ ∆构成等腰直角三角形， AB AQ ∴=，即34t =-，1t ∴=．即当1t =秒时，PQR ∆的边QR 经过点B ．故答案为：1；（4）①当01t 剟时，如答图1所示．设PR 交BC 于点G ， 过点P 作PH BC ⊥于点H ，则2CH OP t ==，3GH PH ==．OABC OPGC S S S =-矩形梯形 183(223)32t t =⨯-++⨯3962t =-； ②当12t <„时，如答图2所示．设PR 交BC 于点G ，RQ 交BC 、AB 于点S 、T ． 过点P 作PH BC ⊥于点H ，则2CH OP t ==，3GH PH ==． QD t =，则4AQ AT t ==-，3(4)1BT BS AB AQ t t ∴==-=--=-．BST OABC OPGC S S S S ∆=--矩形梯形 21183(223)3(1)22t t t =⨯-++⨯--215192t t =--+；③当24t <„时，如答图3所示．设RQ 与AB 交于点T ，则4AT AQ t ==-． 123PQ t =-，2(123)PR RQ t ∴==-． PQR AQT S S S ∆∆=-221122PR AQ =- 2211(123)(4)42t t =---2714284t t=-+．综上所述，S关于t的函数关系式为：22396(01)21519(12)271428(24)4t tS t t tt t t⎧-⎪⎪⎪=--+<⎨⎪⎪-+<⎪⎩剟„„．8．（2019•句容市模拟）如图①，在平面直角坐标系中，二次函数213y x bx c=-++的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为(3,0)-，点B的坐标为(4,0)，连接AC，BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ．（1）填空：b=13，c=；（2）在点P，Q运动过程中，APQ∆可能是直角三角形吗？请说明理由；（3）点M在抛物线上，且AOM∆的面积与AOC∆的面积相等，求出点M的坐标．【解析】（1）设抛物线的解析式为(3)(4)y a x x=+-．将13a=-代入得：211433y x x=-++，13b∴=，4c=（2）在点P、Q运动过程中，APQ∆不可能是直角三角形．理由如下：连结QC．Q在点P、Q运动过程中，PAQ∠、PQA∠始终为锐角，∴当APQ∆是直角三角形时，则90APQ∠=︒．将0x=代入抛物线的解析式得：4y=，(0,4)C∴．AP OQ t==Q，5PC t∴=-，Q在Rt AOC∆中，依据勾股定理得：5AC=在Rt COQ∆中，依据勾股定理可知：2216CQ t=+在Rt CPQ∆中依据勾股定理可知：222PQ CQ CP=-，在Rt APQ∆中，222AQ AP PQ-=2222CQ CP AQ AP ∴-=-，即2222(3)16(5)t t t t +-=+-- 解得： 4.5t =， Q 由题意可知：04t 剟4.5t ∴=不合题意，即APQ ∆不可能是直角三角形． (3 )AO Q 是AOM ∆与AOC ∆的公共边∴点M 到AO 的距离等于点C 到AO 的距离即点M 到AO 的距离等于CO 所以M 的纵坐标为4或4- 把4y =代入211433y x x =-++得2114433x x -++=，解得10x =，21x = 把4y =-代入211433y x x =-++得2114433x x -++=-，解得1197x +=，2197x -= (1,4)M 或197(M +，4)-或197(M -，4)-9．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（﹣3，0），（0，6）．动点P 从点O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C 从B 出发，沿射线BO 方向以每秒2个单位的速度运动，以CP ，CO 为邻边构造平行四边形PCOD ，在线段OP 延长线上取点E ，使PE ＝AO ，设点P 运动的时间为t 秒．（1）直接写出当点C 运动到线段OB 的中点时，求t 的值及点E 的坐标． （2）当点C 在线段OB 上运动时，四边形ADEC 的面积为S ． ①求证：四边形ADEC 为平行四边形．②写出s 与t 的函数关系式，并求出t 的取值范围．（3）是否存在某一时刻，使OC 是PC 的一半？若存在，求出t 的值，若不存在，请说明理由．【解析】（1）∵B （0，6），∴OB ＝6，点C运动到线段OB的中点时，BC＝3，∴t＝，则OP＝，OE＝OP+PE＝OP+OA＝，∴E（，0）；（2）①如图1，连接CD交OP于点G，在平行四边形PCOD中，CG＝DG，OG＝PG，∵AO＝PO，∴AG＝EG，∴四边形ADEC是平行四边形；②∵AE＝t+6，OC＝6﹣2t，∴s＝×AE×OC×2＝（t+6）×（6﹣2t）＝36﹣6t﹣2t2（0＜t＜3 ）（3）如图2，当点C在线段OB上时，OC＝PC，则∠CPO＝30°，tan∠CPO＝，即＝，解得，t＝，如图3，当点C在线段OB延长线上时，＝，解得，t＝．。