最小二乘法的编程实现

python 最小二乘法求解超定

python 最小二乘法求解超定最小二乘法是一种优化技术，用于求解超定方程组，也就是方程的数量大于未知数的数量的方程组。

在Python中，我们可以使用NumPy库中的linalg.lstsq函数来实现最小二乘法。

首先，我们需要理解最小二乘法的基本原理。

最小二乘法的基本思想是通过最小化误差的平方和来找到最佳函数匹配。

在超定方程组的情况下，我们无法找到一个精确的解，因为方程的数量超过了未知数的数量。

但是，我们可以找到一个最佳近似解，这个解能使得所有方程的残差平方和最小。

在Python中使用最小二乘法求解超定方程组的基本步骤如下：导入NumPy库。

定义超定方程组的系数矩阵A和目标向量b。

使用numpy.linalg.lstsq(A, b)函数求解超定方程组。

以下是一个示例代码：pythonimport numpy as np# 定义超定方程组的系数矩阵A和目标向量bA = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9], [10, 11, 12]])b = np.array([1, 2, 3, 4])# 使用numpy.linalg.lstsq函数求解超定方程组x, residuals, rank, s = np.linalg.lstsq(A, b, rcond=None)print("解向量x：", x)print("残差：", residuals)print("矩阵A的秩：", rank)print("奇异值：", s)注意，numpy.linalg.lstsq函数返回四个值：解向量x，残差，矩阵A的秩，以及A的奇异值。

其中，解向量x就是我们要求的近似解。

以上就是Python中使用最小二乘法求解超定方程组的方法。

最小二乘法C语言的实现

实验三.最小二乘法C语言的实现1.实验目的：进一步熟悉曲线拟合的最小二乘法。

掌握编程语言字符处理程序的设计和调试技术。

2.实验要求：输入：已知点的数目以及各点坐标。

输出：根据最小二乘法原理以及各点坐标求出拟合曲线。

3.程序流程：（1）输入已知点的个数；（2）分别输入已知点的X坐标；（3）分别输入已知点的Y坐标；（4）通过调用函数，求出拟合曲线。

最小二乘法原理如下：根据一组给定的实验数据，求出自变量x与因变量y的函数关系，只要求在给定点上的误差的平方和最小.当时，即(4.4.1)这里是线性无关的函数族，假定在上给出一组数据，以及对应的一组权，这里为权系数，要求使最小，其中(4.4.2)(4.4.2)中实际上是关于的多元函数，求I的最小值就是求多元函数I的极值，由极值必要条件，可得(4.4.3)根据内积定义引入相应带权内积记号(4.4.4)则(4.4.3)可改写为这是关于参数的线性方程组，用矩阵表示为(4.4.5)(4.4.5)称为法方程.当线性无关，且在点集上至多只有n个不同零点，则称在X上满足Haar条件，此时(4.4.5)的解存在唯一。

记(4.4.5)的解为从而得到最小二乘拟合曲线(4.4.6) 可以证明对，有故(4.4.6)得到的即为所求的最小二乘解.它的平方误差为(4.4.7) 均方误差为在最小二乘逼近中，若取，则，表示为(4.4.8)此时关于系数的法方程(4.4.5)是病态方程，通常当n≥3时都不直接取作为基。

程序流程图：↓↓程序：#include <math.h> #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include<malloc.h>float average(int n,float *x) {int i; float av; av=0;for(i=0;i<n;i++) av+=*(x+i);return(av);}//平方和float spfh(int n,float *x){int i;float a,b;a=0;for(i=0;i<n;i++)a+=(*(x+i))*(*(x+i));return(a);}//和平方float shpf(int n,float *x){int i;float a,b;a=0;for(i=0;i<n;i++)a=a+*(x+i);b=a*a/n;return(b);}//两数先相乘，再相加float dcj(int n,float *x,float *y) {int i;float a;a=0;for(i=0;i<n;i++)a+=(*(x+i))*(*(y+i));return(a);}//两数先相加，再相乘float djc(int n,float *x,float *y) {int i;float a=0,b=0;for(i=0;i<n;i++){a=a+*(x+i);b=b+*(y+i);}a=a*b/n;}//系数afloat xsa(int n,float *x,float *y){float a,b,c,d,e;a=spfh(n,x);b=shpf(n,x);c=dcj(n,x,y);d=djc(n,x,y);e=(c-d)/(a-b);//printf("%f %f %f %f",a,b,c,d);return(e);}float he(int n,float *y){int i;float a;a=0;for(i=0;i<n;i++)a=a+*(y+i);return(a);}float xsb(int n,float *x,float *y,float a){ float b,c,d;b=he(n,y);c=he(n,x);d=(b-a*c)/n;return(d);}void main(){ int n,i;float *x,*y,a,b;printf("请输入将要输入的有效数值组数n的值:"); scanf("%d",&n);x=(float*)calloc(n,sizeof(float));if(x==NULL){printf("内存分配失败");exit(1);}y=(float*)calloc(n,sizeof(float));if(y==NULL){printf("内存分配失败");exit(1);}printf("请输入x的值\n");for(i=0;i<n;i++)scanf("%f",x+i);printf("请输入y的值,请注意与x的值一一对应:\n"); for(i=0;i<n;i++)scanf("%f",y+i);for(i=0;i<n;i++){ printf("x[%d]=%3.2f ",i,*(x+i));printf("y[%d]=%3.2f\n",i,*(y+i));}a=xsa(n,x,y);b=xsb(n,x,y,a);printf("经最小二乘法拟合得到的一元线性方程为:\n"); printf("f(x)=%3.2fx+%3.2f\n",a,b);}。

最小二乘法C语言的实现

实验三.最小二乘法C语言的实现1.实验目的：进一步熟悉曲线拟合的最小二乘法。

掌握编程语言字符处理程序的设计和调试技术。

2.实验要求：输入：已知点的数目以及各点坐标。

输出：根据最小二乘法原理以及各点坐标求出拟合曲线。

3.程序流程：（1）输入已知点的个数；（2）分别输入已知点的X坐标；（3）分别输入已知点的Y坐标；（4）通过调用函数，求出拟合曲线。

最小二乘法原理如下：根据一组给定的实验数据，求出自变量x与因变量y的函数关系，只要求在给定点上的误差的平方和最小.当时，即(4.4.1)这里是线性无关的函数族，假定在上给出一组数据，以及对应的一组权，这里为权系数，要求使最小，其中(4.4.2)(4.4.2)中实际上是关于的多元函数，求I的最小值就是求多元函数I的极值，由极值必要条件，可得(4.4.3)根据内积定义引入相应带权内积记号(4.4.4)则(4.4.3)可改写为这是关于参数的线性方程组，用矩阵表示为(4.4.5) (4.4.5)称为法方程.当线性无关，且在点集上至多只有n个不同零点，则称在X上满足Haar条件，此时(4.4.5)的解存在唯一。

记(4.4.5)的解为从而得到最小二乘拟合曲线(4.4.6) 可以证明对，有故(4.4.6)得到的即为所求的最小二乘解.它的平方误差为(4.4.7) 均方误差为在最小二乘逼近中，若取，则，表示为(4.4.8)此时关于系数的法方程(4.4.5)是病态方程，通常当n≥3时都不直接取作为基。

程序流程图：开始↓输入已知点个数n↓输入已知点的X坐标↓输入已知点的Y坐标输出结果程序：#include <math.h>#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include<malloc.h>float average(int n,float *x){int i;float av;av=0;for(i=0;i<n;i++)av+=*(x+i);return(av);}//平方和float spfh(int n,float *x){int i;float a,b;a=0;for(i=0;i<n;i++)a+=(*(x+i))*(*(x+i));return(a);}//和平方float shpf(int n,float *x){int i;float a,b;a=0;for(i=0;i<n;i++)a=a+*(x+i);b=a*a/n;return(b);}//两数先相乘，再相加float dcj(int n,float *x,float *y) {int i;float a;a=0;for(i=0;i<n;i++)a+=(*(x+i))*(*(y+i));return(a);}//两数先相加，再相乘float djc(int n,float *x,float *y) {int i;float a=0,b=0;for(i=0;i<n;i++){a=a+*(x+i);b=b+*(y+i);}a=a*b/n;}//系数afloat xsa(int n,float *x,float *y){float a,b,c,d,e;a=spfh(n,x);b=shpf(n,x);c=dcj(n,x,y);d=djc(n,x,y);e=(c-d)/(a-b);//printf("%f %f %f %f",a,b,c,d);return(e);}float he(int n,float *y){int i;float a;a=0;for(i=0;i<n;i++)a=a+*(y+i);return(a);}float xsb(int n,float *x,float *y,float a){ float b,c,d;b=he(n,y);c=he(n,x);d=(b-a*c)/n;return(d);}void main(){ int n,i;float *x,*y,a,b;printf("请输入将要输入的有效数值组数n的值:"); scanf("%d",&n);x=(float*)calloc(n,sizeof(float));if(x==NULL){printf("内存分配失败");exit(1);}y=(float*)calloc(n,sizeof(float));if(y==NULL){printf("内存分配失败");exit(1);}printf("请输入x的值\n");for(i=0;i<n;i++)scanf("%f",x+i);printf("请输入y的值,请注意与x的值一一对应:\n"); for(i=0;i<n;i++)scanf("%f",y+i);for(i=0;i<n;i++){ printf("x[%d]=%3.2f ",i,*(x+i));printf("y[%d]=%3.2f\n",i,*(y+i));}a=xsa(n,x,y);b=xsb(n,x,y,a);printf("经最小二乘法拟合得到的一元线性方程为:\n"); printf("f(x)=%3.2fx+%3.2f\n",a,b);}。

(完整word版)最小二乘法拟合圆公式推导及matlab实现

2009-01-17 |最小二乘法(least squares analysis) 是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配。

最小二乘法是用最简的方法求得一些绝对不可知的真值，而令误差平方之和为最小。

小二乘法通常用于曲线拟合(least squares fitti ng) 。

这里有拟合圆曲线的公式推导过程和vc实现。

最小二乘法拟會圆曲线；= (x- +R2 = +- 2By4-B2令a=-2J4b = -2Bc = J^ +矿-0可得圆曲线方程的另一个册式Ix2 -\-y3十切十u = 0只要求出参数就可以求得圆心半径的参教；d)样本集（禺＜并e （123…N）中点到圆心的距离为a：打=（禺・4）2+（E傢点（耳乙）到圆边嫌的距离的平方与和半径平方的差为：@=£2_衣=（圣.4）2+（込.8）2_氏2=血2+込2+込+&乙+卍令Q（a,b,c）为Q的平方和：Q（aM = Z^2=工【（*/ + §2 + 込+b 齐+C）］2求参数a f b,c使得Q（a,g的值最小值。

解・PTT •平方差Qgg大于0,因此函数存在大于或等于0的极小值，极大值为无穷大.F（a,M）对a,吐求偏导，令偏导等于0,得到极值点，比较所有极值点的函数值即可得到最小值.绘仏"疋）=工2窗 +里+込+埒+c）Xjda —=0 迤(a,bQ =匸2阳+貯+込+坷+训=0範仏上疋）=工2（禺2+乙2+込 +空+° = 0 d解这个方程组。

(2)(3)(4)di（诵先消去c(2) W ⑷*工扎得：Ng 代'+Y-+aX +bY + c)X -工莎‘ +严 +aX +bY+c)x^X = 0 N^(X 2 +Y : +bY)X -^(X : +Y : +aX +bY)x^X =0("工禺2_工兀工兀)a + (“Y*占一工禺工齐仏(*+ + M 工*必2 -工牡丁 +去2)工禺=0(3) *N_⑷*工£得：N 工(X’ + y' + oZ +bY+c)Y-^(X 2 +Y- +aX +bY + c)x^Y =Q 吧(/+护 +aX +bY)Y +Y : +aX +dK)xVy =o （N'X 必一工禺工齐归+ （“丫呼一工§工齐）3 +“Y+N 工厅一 g af +严）三齐=o C =〔NgQ -gX 二X)D = (N 工尤F -工龙三卩)E-N^X 、+N^XY -工疔+丫‘)工XG = (NM 旷-三丫工丫)H =NW X'Y 七NT H -工 2’ +K-)YK可解得：|G? + Db + 5 = 0Da+Gb + H = 0HD-EG a = r CG-D 、v HC- ED o =D' _GC 工（疔+齐2）+幺工兀+c ―― ---------------------------------------------- N得A 、B 、R 的估计拟合值：R= - Ja‘ +2?' -牡 2(6)matlab 实现：function [R,A,B]=circ(x,y,N)x1 = 0;x2 = 0;x3 = 0;y1 = 0;y2 = 0;y3 = 0;x1y1 = 0;x1y2 = 0;x2y1 = 0;for i = 1 : Nx1 = x1 + x(i);x2 = x2 + x(i)*x(i);x3 = x3 + x(i)*x(i)*x(i);y1 = y1 + y(i);y2 = y2 + y(i)*y(i);y3 = y3 + y(i)*y(i)*y(i); x1y1 = x1y1 + x(i)*y(i); x1y2 = x1y2 +x(i)*y(i)*y(i); x2y1 = x2y1 + x(i)*x(i)*y(i); endC = N * x2 - x1 * x1;D = N * x1y1 - x1 * y1;E = N * x3 + N * x1y2 - (x2 + y2) * x1;G = N * y2 - y1 * y1;H = N * x2y1 + N * y3 - (x2 + y2) * y1;a = (H * D - E * G)/(C * G - D * D);b = (H * C - E * D)/(D * D - G * C);c = -(a * x1 + b * y1 + x2 + y2)/N;A = a/(-2); %x 坐标B = b/(-2); %y 坐标R = sqrt(a * a + b * b - 4 * c)/2;void CViewActionImageTool::LeastSquaresFitting(){if (m_nNum<3){ return; } int i=0;double X1=0;double Y1=0;double X2=0;double Y2=0;double X3=0;double Y3=0;double X1Y1=0;double X1Y2=0;double X2Y1=0;for (i=0;i<m_nNum;i++){X1 = X1 + m_points[i].x;Y1 = Y1 + m_points[i].y;X2 = X2 + m_points[i].x*m_points[i].x;Y2 = Y2 + m_points[i].y*m_points[i].y;X3 = X3 + m_points[i].x*m_points[i].x*m_points[i].x;Y3 = Y3 + m_points[i].y*m_points[i].y*m_points[i].y;X1Y1 = X1Y1 + m_points[i].x*m_points[i].y;X1Y2 = X1Y2 + m_points[i].x*m_points[i].y*m_points[i].y;X2Y1 = X2Y1 + m_points[i].x*m_points[i].x*m_points[i].y; } double C,D,E,G ,H,N;double a,b,c;N = m_nNum;C = N*X2 - X1*X1;D = N*X1Y1 - X1*Y1;E = N*X3 + N*X1Y2 - (X2+Y2)*X1;G = N*Y2 - Y1*Y1;H = N*X2Y1 + N*Y3 - (X2+Y2)*Y1;a = (H*D-E*G)/(C*G-D*D);b = (H*C-E*D)/(D*D-G*C);c = -(a*X1 + b*Y1 + X2 + Y2)/N;double A,B,R;A = a/(-2);B = b/(-2);R = sqrt(a*a+b*b-4*c)/2; m_fCenterX = A; m_fCenterY = B;m_fRadius = R; return;}。

matlab加权最小二乘法拟合编程

一、概述最小二乘法（Least Squares Method）是一种常用的数学优化方法，通过最小化残差的平方和来拟合实际数据与理论模型之间的关系。

在实际应用中，我们常常需要对数据进行加权处理，以提高拟合效果和准确度。

而Matlab作为一种强大的数学建模和仿真软件，提供了丰富的函数和工具来实现加权最小二乘法的拟合编程。

二、加权最小二乘法原理1. 最小二乘法原理最小二乘法是一种常用的拟合方法，通过最小化实际观测值和理论值之间的误差来寻找最佳拟合曲线或曲面。

其数学表达为：minimize ||Ax - b||^2其中A为设计矩阵，x为拟合参数，b为观测值向量。

最小二乘法可以看作是一种优化问题，通过求解参数x的最优值来实现最佳拟合。

2. 加权最小二乘法原理在实际情况下，我们往往会遇到观测值有不同的权重或方差的情况，此时可以使用加权最小二乘法来提高拟合效果。

加权最小二乘法的数学表达为：minimize ||W^(1/2)(Ax - b)||^2其中W为权重矩阵，将不同观测值的权重考虑在内，通过加权的方式来优化拟合效果。

三、Matlab实现加权最小二乘法1. 数据准备在进行加权最小二乘法的拟合编程前，首先需要准备实际观测数据和设计矩阵A。

还需要考虑观测值的权重矩阵W，根据实际情况来确定不同观测值的权重。

2. 加权最小二乘法函数Matlab提供了丰富的函数和工具来实现加权最小二乘法的拟合。

其中，可以使用lsqcurvefit或lsqnonlin等函数来进行加权最小二乘法的拟合计算。

通过传入设计矩阵A、观测值向量b和权重矩阵W，以及拟合参数的初始值，来实现加权最小二乘法的拟合计算。

3. 拟合结果评估完成加权最小二乘法的拟合计算后，我们需要对拟合结果进行评估。

主要包括残差分析、拟合效果的可视化等方面。

通过分析残差的分布和拟合曲线与实际观测值的符合程度，来评估拟合效果的优劣。

四、实例分析1. 示例一：线性模型拟合假设我们有一组线性关系的实际观测数据，且各观测值具有不同的权重。

最小二乘法C语言编程

最小二乘法c语言编程最小二乘法c语言程序c语言最小二乘法最小二乘法c语言代码c语言编程九九乘法表最小二乘法最小二乘法公式最小二乘法曲线拟合最小二乘法原理偏最小二乘法
#include <hidef.h> /* common defines and macros */
#include "derivative.h" /* derivative-specific definitions */
x2=x*x*x*x;
x3+=x2;
}
*(pp++)=x3;
}
}
pp=*(b+1);
p=a9;
ppp=a8;
x3=0;
for(i=0;i<10;i++) {
x=*(p++);
x2=*(ppp++);
x3+=x*x2;
}
*pp=x3;
pp=*(b+2);
p=a9;
ppp=a8;
x3=0;
for(i=0;i<10;i++) {
*(p++)=(x1*x5-x2*x4);
p=*(b1+0);
pp=*(b4+0);
for (i=0;i<3;i++) {
for(j=0;j<3;j++){
x1=*(p++);
x=x1*c;
*(pp++)=x;
}
}
//////////////////////////求两矩阵的商//////////////////////////////////////

c++最小二乘法二次多项式拟合

c++最小二乘法二次多项式拟合最小二乘法是一种常用的曲线拟合方法，可以用于拟合二次多项式。

以下是用C++实现最小二乘法二次多项式拟合的示例代码：#include <iostream>#include <vector>#include <cmath>using namespace std;// 定义二次多项式拟合的函数void quadraticLeastSquaresFit(const vector<double>& x, const vector<double>& y, double& a, double& b, double& c){int n = x.size();// 定义矩阵A和向量Bdouble A[3][3] = {0};double B[3] = {0};// 构造矩阵A和向量Bfor(int i=0; i<n; i++){double xi = x[i];double yi = y[i];A[0][0] += xi * xi;A[0][1] += xi;A[0][2] += 1.0;A[1][1] += xi;A[1][2] += 1.0;A[2][2] += 1.0;B[0] += xi * yi;B[1] += yi;B[2] += 1.0;}// 求解线性方程组Ax = Bdouble detA = A[0][0] * (A[1][1] * A[2][2] - A[2][1] * A[1][2])- A[0][1] * (A[1][0] * A[2][2] - A[2][0] * A[1][2])+ A[0][2] * (A[1][0] * A[2][1] - A[2][0] * A[1][1]);double invA[3][3] = {0};// 计算矩阵A的逆矩阵invA[0][0] = (A[1][1] * A[2][2] - A[1][2] * A[2][1]) / detA;invA[0][1] = -(A[0][1] * A[2][2] - A[0][2] * A[2][1]) / detA;invA[0][2] = (A[0][1] * A[1][2] - A[0][2] * A[1][1]) / detA;invA[1][0] = -(A[1][0] * A[2][2] - A[1][2] * A[2][0]) / detA;invA[1][1] = (A[0][0] * A[2][2] - A[0][2] * A[2][0]) / detA;invA[1][2] = -(A[0][0] * A[1][2] - A[0][2] * A[1][0]) / detA;invA[2][0] = (A[1][0] * A[2][1] - A[1][1] * A[2][0]) / detA;invA[2][1] = -(A[0][0] * A[2][1] - A[0][1] * A[2][0]) /detA;invA[2][2] = (A[0][0] * A[1][1] - A[0][1] * A[1][0]) / detA;// 计算拟合的系数a、b和ca = invA[0][0] * B[0] + invA[0][1] * B[1] + invA[0][2] * B[2];b = invA[1][0] * B[0] + invA[1][1] * B[1] + invA[1][2] * B[2];c = invA[2][0] * B[0] + invA[2][1] * B[1] + invA[2][2] * B[2];}int main(){// 定义数据点的x和y值vector<double> x = {1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0};vector<double> y = {1.8, 2.9, 3.9, 5.1, 6.2};// 定义拟合的系数a、b和cdouble a, b, c;// 进行二次多项式拟合quadraticLeastSquaresFit(x, y, a, b, c);// 输出拟合结果cout << "拟合的二次多项式为：y = " << a << "x^2 + " << b << "x + " << c << endl;return 0;}此代码将给定的数据点进行二次多项式拟合，通过最小二乘法求解拟合的系数a、b和c，并输出拟合结果。

最小二乘法的编程实现

1、最小二乘法：1）（用1TAA方法计算逆矩阵）#include <stdio.h>#include <math.h>#include <stdlib.h>#include<string.h>#include <iostream.h>#define N 200#define n 9void Getdata(double sun[N])//从txt文档中读取数据（小数）{char data;char sunpot[10]={0000000000};//为防止结果出现‘烫’字int i=0,j=0;double d;FILE *fp=fopen("新建文本文档.txt","r");if(!fp){printf("can't open file\n");}while(!feof(fp)){data=fgetc(fp);if(data!='\n'){sunpot[i]=data;i++;}else if(data=='\n'){sunpot[i]='\0';//给定结束符d=atof(sunpot);//将字符串转换成浮点数sun[j]=d;j++;i=0;//将i复位}}}void Normal(double sun[N],double sun1[N])//将数据进行标准化{double mean,temp=0,variance=0;int i;for(i=0;i<N;i++)temp=temp+sun[i];mean=temp/N;for(i=0;i<N;i++){sun1[i]=sun[i]-mean;}for(i=0;i<N;i++){variance=variance+sun1[i]*sun1[i];}variance=variance/N;variance=sqrt(variance);for(i=0;i<N;i++){sun1[i]=sun[i]/variance;//减去均值除以均方差进行归一化}}void Matrix(double sun[N],double matrixl[n][n],double matrixr[n])//组建方程的左右两个矩阵{double matrix1[N-n][n];//方程左边系数矩阵double matrix_trans[n][N-n];double matrix2[N-n];//方程右边系数矩阵int i,j,k;double temp;for(i=0;i<N-n;i++)//组建N-nxn维方程矩阵{for(j=0;j<n;j++){matrix1[i][j]=sun[n+i-j-1];//此处与matlab不同，matlab是从1开始的}}for(i=0;i<N-n;i++)matrix2[i]=sun[i+n];for(i=0;i<n;i++)//将N-nxn维矩阵转置{for(j=0;j<N-n;j++){matrix_trans[i][j]=matrix1[j][i];}}for(i=0;i<n;i++)//组建nxn维方阵(A'*A){for(k=0;k<n;k++){temp=0;for(j=0;j<N-n;j++){temp+=matrix_trans[i][j]*matrix1[j][k];}matrixl[i][k]=temp;}}for(i=0;i<n;i++){temp=0;for(j=0;j<N-n;j++){temp+=matrix_trans[i][j]*matrix2[j];}matrixr[i]=temp;}}void ExchangeLine(double a[n][n], int i, int j, int p)//交换矩阵第i行和第j行{int k;double temp;for (k=0;k<=p-1;k++){temp=a[j][k];a[j][k]=a[i][k];a[i][k]=temp;}}void Gauss(double a[n][n],int k,int p)//高斯消元,用第k行消去其他行第一个非零元素{int i,j;double m;for(i=k+1;i<p;i++){if(a[i][k]==0)i++;m = a[i][k] / a[k][k];for (j = k; j < p; j ++){a[i][j] = a[i][j] - m * a[k][j];}}}double Determinant(double a[n][n],int p)//求a的行列式{int k,i,j;double result=1.0;for(k=0;k<p-1;k++)//逐一取对角元素以下矩阵进行消元，n-1是因为最后一个对角元素无需消元{i=k;j=k;while(a[i][j]==0)i++;if((i<p)&&i>k){ExchangeLine(a,k,i,p);result=(-1)*result;//换行之后行列式变号一次}else if(i>=p)//即找不到可以交换的行{result=0;break;}Gauss(a,k,p);//对该列进行消元}for(i=0;i<p;i++){result=result*a[i][i];}return result;}void Adjoint_matrix(double a[n][n],double b[n][n],int p,int i,int j)//求a[i][j]元素的伴随矩阵{double temp[n][n]={{0,0,0},{0,0,0},{0,0,0}};//实际上只要n-1xn-1维，但为了调用方便，此处写为nxn 维int k,m,l,r;b[j][i]=1;for (k = 0, l = 0; k <p-1; k++, l ++)//将原矩阵去除i行j列后复制到temp中{if (l == i) l ++;for (m = 0, r = 0; m <p-1; m ++, r ++){if (r == j) r ++;temp[k][m] = a[l][r];}}b[j][i]=b[j][i]*Determinant(temp,n-1);if ((i + j) % 2 == 1)//(-1)^(i+j)b[j][i]=-b[j][i];}void Inverse(double a[n][n],double b,double c[n][n])//求逆最后一步运算{int i,j;for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n;j++){c[i][j]=a[i][j]/b;}}}void main(){int p=n,i,j;double sunpot[N],sunpot_normal[N];double fi[n];double matrix[n][n];//要换成返回的方阵double matrixr[n];double adjoint[n][n],inverse[n][n];double determinant,temp;Getdata(sunpot);//从txt文档中读取每年的太阳黑子数据Normal(sunpot,sunpot_normal);//数据归一化Matrix(sunpot_normal,matrix,matrixr);//组建方程for(i=0;i<p;i++){for(j=0;j<p;j++){Adjoint_matrix(matrix,adjoint,p,i,j);}}determinant=Determinant(matrix,p);if (determinant== 0)printf("该矩阵不存在逆矩阵！\n");printf("行列式：\n");printf("%10lf\n",determinant);Inverse(adjoint,determinant,inverse);printf("逆矩阵：\n");for(i=0;i<p;i++){for(j=0;j<p;j++){printf("%12lf",inverse[i][j]);}printf("\n");}printf("fi：\n");for(i=0;i<n;i++){temp=0;for(j=0;j<n;j++){temp+=inverse[i][j]*matrixr[j];}fi[i]=temp;printf("%10lf",fi[i]);}printf("\n");}计算结果：fi：1.327258 -0.622683 0.018571 0.129074 -0.141278 0.103665 -0.046903 0.060403 0.154991下面用matlab进行拟合度计算：clearM=load('太阳黑子数.txt');sunpot=(M(:,2));N=200;n=9;[Y,mu,sigma]=zscore(sunpot);B(1:N-n)=Y(n+1:N);B=B';fi=[1.327258 -0.622683 0.018571 0.129074 -0.141278 0.103665 -0.046903 0.060403 0.154991]; %由C语言计算出的fi值fi=[1;-fi'];ts2=idpoly(fi',[]);B=Y(1:N-n);plot(B);compare(B, ts2, 1);2）用构造矩阵1A I I A-→的方法求逆：（列主元高斯消去法）[;][;]部分主要程序：void BuildMatrix(double a[n][M],double b[n][n]){int i,j;for (i=0;i<n;i++){for (j=0;j<n;j++){a[i][j]=b[i][j];}a[i][i+n]=1.0;}}void ExchangeLine(double a[n][M],int i,int j){int k;double temp;for (k=0;k<M;k++){temp=a[i][k];a[i][k]=a[j][k];a[j][k]=temp;}}void Judge(double a[n][M],int i){int j,m=0;//m=0来表示是否需要换行double temp=a[i][i];for(j=i+1;j<n;j++){if(fabs(a[j][i])>fabs(temp)){temp=a[j][i];m=j;}}if(m)ExchangeLine(a,i,m);}void Gauss(double a[n][M],int k) //高斯消元法,用第k行消去其他行{ { int i,j;double m;for(i=k+1;i<n;i++){if(a[i][k]==0)i++;m = a[i][k] / a[k][k];for (j = k; j < M; j ++){a[i][j] = a[i][j] - m * a[k][j];}}}void Normal(double a[n][M]){int i,j;double temp;for(i=0;i<n;i++){temp=a[i][i];if(temp!=1.0){for(j=i;j<M;j++){a[i][j]=a[i][j]/temp;}}}}void Inverse(double a[n][M]){int i,j,k;double temp;for(i=n-1;i>=0;i--){for(j=i-1;j>=0;j--){temp=a[j][i];for(k=i;k<M;k++){a[j][k]=a[j][k]-temp*a[i][k];}}}}void GetInverse(double a[n][M],double b[n][n]) {int i,j;for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n;j++){b[i][j]=a[i][j+n];}}}void main(){int i,j;double temp;double sunpot[N];double sunpot_normal[N];double matrixr[n];double matrix1[n][n]={0};//方阵double matrix[n][M]={0};//构造矩阵double inverse[n][n]={0};double fi[n];Getdata(sunpot);//从txt文档中读取每年的太阳黑子数据Normal(sunpot,sunpot_normal);//数据归一化Matrix(sunpot_normal,matrix1,matrixr);//组建方程BuildMatrix(matrix,matrix1);for(i=0;i<n-1;i++){Judge(matrix,i);Gauss(matrix,i);}for(i=0;i<n;i++)//判断是否可逆{if(matrix[i][i]==0){printf("矩阵不可逆！\n");exit(-1);}}Normal(matrix);Inverse(matrix);GetInverse(matrix,inverse);printf("逆矩阵：\n");for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n;j++){printf("%10lf",inverse[i][j]);}printf("\n");}printf("fi：\n");for(i=0;i<n;i++){temp=0;for(j=0;j<n;j++){temp+=inverse[i][j]*matrixr[j];}fi[i]=temp;printf("%10lf",fi[i]);}}。

最小二乘法程序代码

最小二乘法程序代码main (){int n,i;char flag='y';float ar[50][2],x,y,xe,ye,xye,xxe,sx,sy,sxy,sxx,a,b;printf ("\n*********************************************************\n"); printf ("\n欢迎使用最小二乘法数据处理程序\n");printf ("\n*********************************************************\n"); printf ("\n说明：本程序运行结果保留小数点后三位\n");for (;flag=='y'||flag=='Y';){printf ("\n请输入您要处理的数据的组数:");printf ("\n*****提示：本程序定义一对x,y值为一组数据:");scanf ("%d",&n);if (n>50) {printf ("\n对不起，本程序暂时无法处理50组以上的数据"); continue;}for (i=0;i<n;i++){printf ("\n请输入第%2d个x的值\tx%2d=",i+1,i+1);scanf ("%f",&ar[i][0]);printf ("\n请输入对应的y的值:\ty%2d=",i+1);scanf ("%f",&ar[i][1]);}sx=sy=sxx=sxy=0;for (i=0;i<n;i++){sx=sx+ar[i][0];sy=sy+ar[i][1];sxx=sxx+ar[i][0]*ar[i][0];sxy=sxy+ar[i][0]*ar[i][1];}xe=sx/n;ye=sy/n;xye=sxy/n;xxe=sxx/n;a=(xye-xe*ye)/(xxe-xe*xe);b=ye-a*xe;printf ("\n对您输入的数据的处理已经完成，结果如下:");printf ("\n\ta=%8.3f\n\tb=%8.3f\n",a,b);printf ("\na即为拟合直线的斜率，b为截距\n");printf ("\n*********************************************************\n"); printf ("\n是否继续使用本程序处理数据？(y/n)?");scanf (" %c",&flag);if (flag1=='y'||flag1=='Y') continue;else if (flag=='n'||flag=='N') break;else {printf ("\n***操作非法，本程序将关闭***\n");exit (0);}。

最小二乘法C语言编程

最小二乘法C语言编程最小二乘法C语言编程#include#include#includeintmain(){inti,j,n;float t[100],R[100];floatt_mean=0.0,R_mean=0.0,t_square=0.0,R_t=0.0;float a,b;printf("最小二乘法确定关系式：R=a+bt\"); printf("输入您测得的数据组数n=");scanf("%d",&n);printf("输入您测得的n组数据t：");for(i=0;i<n;i++)< p="">{scanf("%f",&t[i]);/*记录t值*/}printf("输入您测得的n组数据R：");for(i=0;i<n;i++)< p="">{scanf("%f",&R[i]);}/*计算t的平均值*/for(i=0;i<n;i++)< p="">{t_mean=t_mean+t[i];}t_mean=t_mean/n;/*计算R的平均值*/for(i=0;i<n;i++)< p="">{R_mean=R_mean+R[i];}R_mean=R_mean/n;/*计算t的平方*/for(i=0;i<n;i++)< p="">{t_square=t_square+pow(t[i],2);}t_square=t_square/n;/*计算R*t的值*/for(i=0;i<n;i++)< p="">{R_t=R_t+t[i]*R[i];}R_t=R_t/n;/*计算a的最佳值*/a=(t_mean*R_t-R_mean*t_square)/(pow(t_mean,2)-t _square);/*计算b的最佳值*/b=(t_mean*R_mean-R_t)/(pow(t_mean,2)-t_square); printf("================================ ====\");printf("计算结果：\");printf(" a=%.4f\ b=%.4f\",a,b);printf("关系式：");printf("R=%.4f+%.4ft\",a,b);printf("================================ =====\");return 0;}</n;i++)<></n;i++)<></n;i++)<></n;i++)<></n;i++)<></n;i++)<>。

最小二乘法(含pyhton实现代码)

最小二乘法（含pyhton实现代码）最小二乘法是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和来寻找数据的最佳函数匹配。

在统计学中，它常用于拟合数据，即寻找最能代表数据的函数关系。

最小二乘法的核心思想是：对于给定的数据点，找到一条曲线（通常是直线），使得所有数据点到这条曲线的垂直距离的平方和最小。

在数学上，如果我们有一组数据点(x1,y1),(x2,y2),...,(x n,yn)，我们希望找到一个线性模型y=mx+b，其中m是斜率，b是截距。

最小二乘法的目标是找到m和b的值，使得以下误差平方和最小化：为了求解m和b，我们可以使用正规方程组：其中，σ2是数据点的标准差。

下面是一个使用Python实现最小二乘法的简单示例代码：import numpy as np#假设我们有一组数据点x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])y = np.array([2, 4, 5, 5, 8])#计算正规方程组的系数A = np.vstack([x, np.ones(len(x))]).Tm, b = np.linalg.lstsq(A, y, rcond=None)[0]#打印结果print(f"斜率 m: {m}")print(f"截距 b: {b}")#使用得到的模型参数绘制拟合线fitted_y = m * x + b#可视化原始数据点和拟合线import matplotlib.pyplot as pltplt.scatter(x, y, color='blue', label='原始数据点')plt.plot(x, fitted_y, color='red', label='拟合线')plt.xlabel('X')plt.ylabel('Y')plt.legend()plt.show()这段代码首先导入了numpy库来处理数组运算，然后使用numpy.linalg.lstsq函数来求解正规方程组，最后使用matplotlib库来绘制原始数据点和拟合线。

最小二乘法,递推最小二乘法C语言源程序

最小二乘法,递推最小二乘法C语言源程序//init input#define row_y 29#define col_y 4double uk[31]={ 0,1.147,0.201,-0.787,-1.589,-1.052,0.866,1.152,1.573,0.626,0.433,-0.958,0.810,-0.044,0.947,-1.474,-0.719,-0.086,-1.099,1.450,1.151,0.485,1.633,0.043,1.326,1.706,-0.340,0.890,1.144,1.177,-0.390};double yk[31];double **fai;void initinput(void){//ifstream inFile;int temp = 0;ofstream outFile;outFile.open("yk.txt");yk[0] = yk[1] = yk[2] = 0;for(int i = 3; i < 32; i++)yk[i]=-1.642*yk[i-1]-0.715*yk[i-2]+0.39*uk[i-1]+0.35*uk[i-2];for(i = 1; i < 32; i++){temp++;outFile<<yk[i]<<endl;//if(i%5==0)outFile<<endl;outFile<<temp<<endl; outFile.close;cout << "Over!" <<endl;//inFile.open("yk.txt");fai = new double *[row_y];for(i = 0; i < row_y; i++)fai[i] =new double [col_y]; double *pyk = yk;double *puk = uk;double *pfai = *fai;pyk = &yk[1];puk = &uk[1];for(int j = 0; j < row_y; j++) {pfai = &fai[j][0];*pfai = -(*(pyk+1));*(pfai+1) = -(*pyk);*(pfai+2) = *(puk+1);*(pfai+3) = *puk;pyk++;puk++;}}//iterative least square method#define rowPn 4#define colPn 9void iterative_least_square_method(void){double **Pn,*En_1,*Pn_En_1,*En_Pn_1,**PE,**Pn_1,**Pn_En_0; double En_Pn_En_1 = 0;double *pPn1;double *pPn2;double *Kn;double *siit0,En_siit0,*En_0,BB,*siit1;Pn = new double *[rowPn];for(int j1 = 0; j1 < rowPn; j1++)Pn[j1] = new double [rowPn];Pn_En_1 = new double [rowPn];En_1 = new double [colPn];En_1 = &a[colPn][0];Pn_En_1 = new double [colPn];Pn_En_0 = new double *[rowPn];for(j1 = 0; j1 < rowPn; j1++)Pn_En_0[j1] = new double [colPn];En_Pn_1 = new double [colPn];Kn = new double [colPn];PE = new double *[colPn];for (j1 = 0; j1 < colPn; j1++)PE[j1] = new double [colPn];Pn_1 = new double *[colPn];for(j1 = 0; j1 < colPn; j1++)Pn_1[j1] = new double [colPn];siit0 = new double [colPn];siit1 = new double [colPn];/************************************************************** ***/for(j1 = 0; j1 < rowPn; j1++){for(int j2 = 0; j2 < rowPn; j2++){if( j1 == j2)Pn[j1][j2] = 1e6;else Pn[j1][j2] = 0;}}for(j1 = 0; j1 < rowPn; j1++){for(int j2 = 0; j2 < rowPn; j2++){if( j1 == j2)Pn_1[j1][j2] = 1e6;else Pn_1[j1][j2] = 0;}cout << endl;}for(j1 = 0; j1 < rowPn; j1++){*(siit1 + j1) = 1e-6;}/************************************************************** ****/for(int i = 1; i < 28 ;i++){En_1 = &a[i][0];for(j1 = 0; j1 < rowPn; j1++)for(int j2 = 0; j2 < rowPn; j2++){Pn[j1][j2] = Pn_1[j1][j2];}}for(j1 = 0; j1 < rowPn; j1++){*(Pn_En_1 + j1) = 0;for(int j2 = 0; j2 < rowPn; j2++){*(Pn_En_1 + j1) += Pn[j1][j2]*(*(En_1 + j2)); }}for(j1 = 0; j1 < rowPn; j1++){*(En_Pn_1 + j1) = 0;for(int j2 = 0; j2 < rowPn; j2++){*(En_Pn_1 + j1) += *(En_1 + j2)*Pn[j2][j1]; }}En_Pn_En_1 = 0;for(j1 = 0; j1 < rowPn; j1++)En_Pn_En_1 += En_Pn_1[j1]*(*(En_1 + j1)); En_Pn_En_1 += 1;for(j1 = 0; j1 < rowPn; j1++)*(Kn + j1) = *(Pn_En_1 + j1)/En_Pn_En_1; }for(j1 = 0; j1 < rowPn; j1++){for(int j2 = 0; j2 < colPn; j2++){PE[j1][j2] = 0;PE[j1][j2] = Kn[j1]*En_Pn_1[j2];}}for(j1 = 0; j1 < rowPn; j1++){for(int j2 = 0; j2 < rowPn; j2++){Pn_1[j1][j2] = Pn[j1][j2] - PE[j1][j2];}}for(j1 = 0; j1 < rowPn; j1++){siit0[j1] = siit1[j1];}En_siit0 = 0;for(j1 = 0; j1 < rowPn; j1++){En_siit0 += *(En_1 + j1)*(*(siit0 + j1)); }BB = yk[3+i] - En_siit0;for(j1 = 0; j1 < rowPn; j1++){*(siit1 + j1) = *(siit0 + j1) + (*(Kn + j1))*BB; cout << *(siit1 + j1) << '\t';}cout<<endl;}}//least square method#define eps 1e-10#define row 29#define col 4int i1,i2;double **a,**b,**c,**d,**e,**f,*g;int i;/*绝对值函数*/double abs(double x){if(x<eps)x=-x;else x=x;return x;}/*输入原矩阵*/void inline inputf(void){//cin >> row;//cin >> col;a = new double *[row];for(i = 0; i < row; i++)a[i] = new double[col];for(i1 = 0; i1 < row; i1++){for(i2 = 0; i2 < col; i2++)//cin >> a[i1][i2]; {a[i1][i2] = fai[i1][i2];cout << a[i1][i2] <<'\t';}cout << endl;}}/*原矩阵的转置*/void inline Tf(void){b = new double *[col];for(i = 0;i < col; i++)b[i] = new double[row];for(i1 = 0; i1 < col; i1++)for(i2 = 0; i2 < row; i2++)b[i1][i2]=a[i2][i1];}/*原矩阵的转置与原矩阵相乘*/void mutply(double **x,double **y){double *p1 = *x;double *p2 = *y;c = new double *[col];for(i = 0;i < col; i++)c[i] = new double[col];for(i1 = 0; i1 < col; i1++)for(i2 = 0; i2 < col; i2++){c[i1][i2] = 0;p1 = &x[i1][0];p2 = &y[i2][0];for(int i3 = 0; i3 < row; i3++){c[i1][i2] += (*p1)*(*p2);p1++;p2++;}}}/*显示*/void display(double **x,int row1,int col1) {//ofstream outFile;//cout << "输入的原矩阵显示如下：" << endl; //outFile.open("ym.txt");for(i1 = 0; i1 < row1; i1++)for(i2 = 0; i2 < col1; i2++){cout<<x[i1][i2]<<'\t';if(col1-1==i2)cout << endl; }//outFile.close;}/*校验矩阵*/void JY(void){d = new double *[col];for(int i3 = 0; i3 < col; i3++) d[i3] = new double [col+col]; double *p1 = *d;double *p2 = *c;for(int i4 = 0; i4 < col; i4++) {p1 = &d[i4][0];p2 = &c[i4][0];for(int i5 = 0; i5 < col*2; i5++) {if(i5 < col) *p1 = *p2;else{if(i4 == i5-col)*p1 = 1;else *p1 = 0;}p1++;p2++;}}}/*求逆矩阵第一步*/void cov1(void){double *p1 = *d;double *p2 = *d;int temp1 = 0;for(int i5 = 0; i5 < col - 1; i5++)for(int i3 = i5; i3 < col - 1; i3++){p1 = &d[i5][i5];p2 = &d[i3+1][i5];temp1 = col*2 - i5 - 1;for(int i4 = 0; i4 < col*2-i5; i4++){*(p2 + temp1) = *(p2 + temp1)*(*p1)/(*p2) - *(p1 + temp1); if(abs(*(p2 + temp1)) < eps)(*(p2 + temp1)) = 0;temp1--;}}for(int i8 = 0; i8 < col-1; i8++)for(int i6 = i8; i6 < col - 1; i6++){p1 = &d[i8][i8];p2 = &d[i6+1][i8];for(int i7 = 0; i7 < col*2-i8; i7++){if(*(p1+i6-i8+1)==0)break;if(i7==i6-i8+1){continue;}*(p1 + i7) = *(p1 + i7)*(*(p2+i6-i8+1))/(*(p1+i6-i8+1))-*(p2+i7);}*(p1+i6-i8+1)=0;}}/*求逆矩阵第二步*/void cov2(void){e = new double *[col];for(int i3 = 0; i3 < col; i3++)e[i3] = new double [col];double *p1 = *d;double *p2 = *e;for(int i9 = 0; i9 < col; i9++)for(int i10 = 0; i10 < col; i10++){p1 = &d[i9][i9];p2 = &e[i9][i10];*p2 = *(p1+col+i10-i9)/(*p1);}/* for(i1 = 0; i1 < col; i1++){cout << e[i1][i2] <<" ";if(col-1 == i2)cout << endl;}*/}void mutply1(void){double *p1 = *e;double *p2 = *b;f = new double *[col];for(i = 0;i < col; i++)f[i] = new double[row];for(i1 = 0; i1 < col; i1++)for(i2 = 0; i2 < row; i2++){f[i1][i2] = 0;p1 = &e[i1][0];p2 = &b[0][i2];for(int i3 = 0; i3 < col; i3++){f[i1][i2] += (*p1)*(*p2);p1++;p2 = &b[i3+1][i2];}}//display(f,col,row);ofstream outFile;//cout << "输入的原矩阵显示如下：" << endl; outFile.open("ym.txt");for(i2 = 0; i2 < row; i2++){outFile<<f[i1][i2]<<'\0';if(col-1==i2)outFile << endl;}outFile.close;}void mutply2(void){double *p1 = *f;double *p2 = yk;g = new double [col];for(i1 = 0; i1 < col; i1++){g[i1] = 0;p1 = &f[i1][0];p2 = &yk[3];for(int i3 = 0; i3 < row; i3++) {g[i1] += (*p1)*(*p2);p1++;p2++;}cout << g[i1]<<endl;}}void least_square_method(void)initinput();//display(fai,29,4);inputf();//cout << "输入矩阵:"<< endl;//display(a,row,col);Tf();//cout << "输入矩阵的转置:" << endl;//display(b,col,row);mutply(b,b);//cout << "输入矩阵的转置与原矩阵乘积:" << endl;//display(c,col,col);JY();//display(d,col,col*2);cov1();cov2();//cout << "输入矩阵的转置与原矩阵乘积的逆:" << endl; //display(e,col,col);mutply1();mutply2();}//main#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <time.h>#include <math.h>#include <iostream.h>#include <fstream.#include "white noise.h"#include "init input.h"#include "least square method.h"#include "iterative least square method.h" //using namespace std;int main(){least_square_method();iterative_least_square_method();return 0;}。

最小二乘算法matlab代码实现

最小二乘算法matlab代码实现最小二乘算法是一种常用的线性回归方法，它可以用来拟合数据，预测未来趋势。

在matlab中，我们可以使用内置函数来实现最小二乘算法。

首先，我们需要准备一些数据。

假设我们有一组数据，包含x和y两个变量，我们希望通过这组数据来拟合一条直线。

```matlabx = [1, 2, 3, 4, 5];y = [2.1, 3.9, 6.2, 8.1, 10.1];```接下来，我们可以使用polyfit函数来拟合一条一次函数，该函数返回的是拟合直线的系数。

```matlabp = polyfit(x, y, 1);```其中，第一个参数是自变量，第二个参数是因变量，第三个参数是拟合的次数。

在本例中，我们拟合的是一次函数，所以拟合的次数为1。

接着，我们可以使用polyval函数来计算拟合直线的值。

```matlabyfit = polyval(p, x);```最后，我们可以绘制原始数据和拟合直线的图像。

```matlabplot(x, y, 'o', x, yfit, '-')legend('原始数据', '拟合直线')```完整的matlab代码如下：```matlabx = [1, 2, 3, 4, 5];y = [2.1, 3.9, 6.2, 8.1, 10.1];p = polyfit(x, y, 1);yfit = polyval(p, x);plot(x, y, 'o', x, yfit, '-')legend('原始数据', '拟合直线')```通过以上代码，我们可以实现最小二乘算法的拟合过程，并得到拟合直线的系数和图像。

最小二乘法的编程实现

1、最小二乘法：1）（用1TAA方法计算逆矩阵）#include <stdio.h>#include <math.h>#include <stdlib.h>#include<string.h>#include <iostream.h>#define N 200#define n 9void Getdata(double sun[N])//从txt文档中读取数据（小数）{char data;char sunpot[10]={0000000000};//为防止结果出现‘烫’字int i=0,j=0;double d;FILE *fp=fopen("新建文本文档.txt","r");if(!fp){printf("can't open file\n");}while(!feof(fp)){data=fgetc(fp);if(data!='\n'){sunpot[i]=data;i++;}else if(data=='\n'){sunpot[i]='\0';//给定结束符d=atof(sunpot);//将字符串转换成浮点数sun[j]=d;j++;i=0;//将i复位}}}void Normal(double sun[N],double sun1[N])//将数据进行标准化{double mean,temp=0,variance=0;int i;for(i=0;i<N;i++)temp=temp+sun[i];mean=temp/N;for(i=0;i<N;i++){sun1[i]=sun[i]-mean;}for(i=0;i<N;i++){variance=variance+sun1[i]*sun1[i];}variance=variance/N;variance=sqrt(variance);for(i=0;i<N;i++){sun1[i]=sun[i]/variance;//减去均值除以均方差进行归一化}}void Matrix(double sun[N],double matrixl[n][n],double matrixr[n])//组建方程的左右两个矩阵{double matrix1[N-n][n];//方程左边系数矩阵double matrix_trans[n][N-n];double matrix2[N-n];//方程右边系数矩阵int i,j,k;double temp;for(i=0;i<N-n;i++)//组建N-nxn维方程矩阵{for(j=0;j<n;j++){matrix1[i][j]=sun[n+i-j-1];//此处与matlab不同，matlab是从1开始的}}for(i=0;i<N-n;i++)matrix2[i]=sun[i+n];for(i=0;i<n;i++)//将N-nxn维矩阵转置{for(j=0;j<N-n;j++){matrix_trans[i][j]=matrix1[j][i];}}for(i=0;i<n;i++)//组建nxn维方阵(A'*A){for(k=0;k<n;k++){temp=0;for(j=0;j<N-n;j++){temp+=matrix_trans[i][j]*matrix1[j][k];}matrixl[i][k]=temp;}}for(i=0;i<n;i++){temp=0;for(j=0;j<N-n;j++){temp+=matrix_trans[i][j]*matrix2[j];}matrixr[i]=temp;}}void ExchangeLine(double a[n][n], int i, int j, int p)//交换矩阵第i行和第j行{int k;double temp;for (k=0;k<=p-1;k++){temp=a[j][k];a[j][k]=a[i][k];a[i][k]=temp;}}void Gauss(double a[n][n],int k,int p)//高斯消元,用第k行消去其他行第一个非零元素{int i,j;double m;for(i=k+1;i<p;i++){if(a[i][k]==0)i++;m = a[i][k] / a[k][k];for (j = k; j < p; j ++){a[i][j] = a[i][j] - m * a[k][j];}}}double Determinant(double a[n][n],int p)//求a的行列式{int k,i,j;double result=1.0;for(k=0;k<p-1;k++)//逐一取对角元素以下矩阵进行消元，n-1是因为最后一个对角元素无需消元{i=k;j=k;while(a[i][j]==0)i++;if((i<p)&&i>k){ExchangeLine(a,k,i,p);result=(-1)*result;//换行之后行列式变号一次}else if(i>=p)//即找不到可以交换的行{result=0;break;}Gauss(a,k,p);//对该列进行消元}for(i=0;i<p;i++){result=result*a[i][i];}return result;}void Adjoint_matrix(double a[n][n],double b[n][n],int p,int i,int j)//求a[i][j]元素的伴随矩阵{double temp[n][n]={{0,0,0},{0,0,0},{0,0,0}};//实际上只要n-1xn-1维，但为了调用方便，此处写为nxn 维int k,m,l,r;b[j][i]=1;for (k = 0, l = 0; k <p-1; k++, l ++)//将原矩阵去除i行j列后复制到temp中{if (l == i) l ++;for (m = 0, r = 0; m <p-1; m ++, r ++){if (r == j) r ++;temp[k][m] = a[l][r];}}b[j][i]=b[j][i]*Determinant(temp,n-1);if ((i + j) % 2 == 1)//(-1)^(i+j)b[j][i]=-b[j][i];}void Inverse(double a[n][n],double b,double c[n][n])//求逆最后一步运算{int i,j;for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n;j++){c[i][j]=a[i][j]/b;}}}void main(){int p=n,i,j;double sunpot[N],sunpot_normal[N];double fi[n];double matrix[n][n];//要换成返回的方阵double matrixr[n];double adjoint[n][n],inverse[n][n];double determinant,temp;Getdata(sunpot);//从txt文档中读取每年的太阳黑子数据Normal(sunpot,sunpot_normal);//数据归一化Matrix(sunpot_normal,matrix,matrixr);//组建方程for(i=0;i<p;i++){for(j=0;j<p;j++){Adjoint_matrix(matrix,adjoint,p,i,j);}}determinant=Determinant(matrix,p);if (determinant== 0)printf("该矩阵不存在逆矩阵！\n");printf("行列式：\n");printf("%10lf\n",determinant);Inverse(adjoint,determinant,inverse);printf("逆矩阵：\n");for(i=0;i<p;i++){for(j=0;j<p;j++){printf("%12lf",inverse[i][j]);}printf("\n");}printf("fi：\n");for(i=0;i<n;i++){temp=0;for(j=0;j<n;j++){temp+=inverse[i][j]*matrixr[j];}fi[i]=temp;printf("%10lf",fi[i]);}printf("\n");}计算结果：fi：1.327258 -0.622683 0.018571 0.129074 -0.141278 0.103665 -0.046903 0.060403 0.154991下面用matlab进行拟合度计算：clearM=load('太阳黑子数.txt');sunpot=(M(:,2));N=200;n=9;[Y,mu,sigma]=zscore(sunpot);B(1:N-n)=Y(n+1:N);B=B';fi=[1.327258 -0.622683 0.018571 0.129074 -0.141278 0.103665 -0.046903 0.060403 0.154991]; %由C语言计算出的fi值fi=[1;-fi'];ts2=idpoly(fi',[]);B=Y(1:N-n);plot(B);compare(B, ts2, 1);2）用构造矩阵1A I I A-→的方法求逆：（列主元高斯消去法）[;][;]部分主要程序：void BuildMatrix(double a[n][M],double b[n][n]){int i,j;for (i=0;i<n;i++){for (j=0;j<n;j++){a[i][j]=b[i][j];}a[i][i+n]=1.0;}}void ExchangeLine(double a[n][M],int i,int j){int k;double temp;for (k=0;k<M;k++){temp=a[i][k];a[i][k]=a[j][k];a[j][k]=temp;}}void Judge(double a[n][M],int i){int j,m=0;//m=0来表示是否需要换行double temp=a[i][i];for(j=i+1;j<n;j++){if(fabs(a[j][i])>fabs(temp)){temp=a[j][i];m=j;}}if(m)ExchangeLine(a,i,m);}void Gauss(double a[n][M],int k) //高斯消元法,用第k行消去其他行{ { int i,j;double m;for(i=k+1;i<n;i++){if(a[i][k]==0)i++;m = a[i][k] / a[k][k];for (j = k; j < M; j ++){a[i][j] = a[i][j] - m * a[k][j];}}}void Normal(double a[n][M]){int i,j;double temp;for(i=0;i<n;i++){temp=a[i][i];if(temp!=1.0){for(j=i;j<M;j++){a[i][j]=a[i][j]/temp;}}}}void Inverse(double a[n][M]){int i,j,k;double temp;for(i=n-1;i>=0;i--){for(j=i-1;j>=0;j--){temp=a[j][i];for(k=i;k<M;k++){a[j][k]=a[j][k]-temp*a[i][k];}}}}void GetInverse(double a[n][M],double b[n][n]) {int i,j;for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n;j++){b[i][j]=a[i][j+n];}}}void main(){int i,j;double temp;double sunpot[N];double sunpot_normal[N];double matrixr[n];double matrix1[n][n]={0};//方阵double matrix[n][M]={0};//构造矩阵double inverse[n][n]={0};double fi[n];Getdata(sunpot);//从txt文档中读取每年的太阳黑子数据Normal(sunpot,sunpot_normal);//数据归一化Matrix(sunpot_normal,matrix1,matrixr);//组建方程BuildMatrix(matrix,matrix1);for(i=0;i<n-1;i++){Judge(matrix,i);Gauss(matrix,i);}for(i=0;i<n;i++)//判断是否可逆{if(matrix[i][i]==0){printf("矩阵不可逆！\n");exit(-1);}}Normal(matrix);Inverse(matrix);GetInverse(matrix,inverse);printf("逆矩阵：\n");for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n;j++){printf("%10lf",inverse[i][j]);}printf("\n");}printf("fi：\n");for(i=0;i<n;i++){temp=0;for(j=0;j<n;j++){temp+=inverse[i][j]*matrixr[j];}fi[i]=temp;printf("%10lf",fi[i]);}}。

最小二乘法的实现

最小二乘法的实现最小二乘法是一种数学优化方法，可以用于寻找一组数据的最佳拟合曲线或平面。

在实际应用中，最小二乘法经常被用来进行回归分析，例如拟合线性回归模型。

最小二乘法的基本思想是寻找一个函数，使得函数预测值与实际值之间的平方误差最小。

平方误差是指每个数据点的预测值与实际值之差的平方。

通过最小化平方误差，可以找到最佳拟合曲线或平面。

最小二乘法的实现过程可以分为以下几个步骤：1. 选择一个函数形式。

最小二乘法可以用于任何函数形式，但是需要选择一个合适的函数形式来拟合数据。

例如，线性回归模型可以用一条直线拟合数据，而多项式回归模型可以用一个多项式函数拟合数据。

2. 确定参数。

在选择函数形式之后，需要确定函数的参数。

例如，在线性回归模型中，需要确定直线的斜率和截距。

3. 构造误差函数。

误差函数是平方误差的和，用于衡量预测值与实际值之间的差异。

误差函数的形式取决于函数形式和参数。

4. 最小化误差函数。

最小化误差函数可以通过求导得到函数的极值点。

对于线性回归模型，最小化误差函数可以直接求解出斜率和截距的值。

5. 拟合数据。

最小化误差函数之后，就可以得到最佳拟合曲线或平面。

通过该函数，可以对新数据进行预测。

需要注意的是，最小二乘法只能用来拟合线性模型和多项式模型等简单模型。

如果模型非常复杂，最小二乘法可能会导致过拟合和欠拟合的问题。

此时，需要使用更复杂的方法，例如神经网络和支持向量机等。

最小二乘法是一种简单而有效的方法，可以用于寻找数据的最佳拟合曲线或平面。

通过该方法，可以对数据进行预测和分析，为实际应用提供支持。

最小二乘法python程序

最小二乘法 Python 程序什么是最小二乘法？最小二乘法是一种常用的回归分析方法，用于找到一条最佳拟合直线或曲线，以最小化观测值与拟合值之间的差异。

这个方法的基本思想是找到一条直线或曲线，使得所有观测值到该直线或曲线的距离的平方和最小。

最小二乘法在多个领域中都有广泛的应用，如经济学、物理学、统计学等。

在统计学中，最小二乘法用于拟合线性回归模型，估计自变量与因变量之间的关系。

最小二乘法的原理最小二乘法的原理是通过最小化残差平方和来找到最佳拟合直线或曲线。

残差是指观测值与拟合值之间的差异。

对于线性回归模型，我们假设因变量 y 和自变量 x 之间存在线性关系，即 y = β₀ + β₁x + ε，其中β₀和β₁是回归系数，ε 是误差项。

最小二乘法的目标是找到最优的β₀和β₁，使得观测值与拟合值之间的残差平方和最小化。

通过最小化残差平方和，我们可以得到最佳拟合直线的方程。

最小二乘法的步骤最小二乘法的实现可以分为以下几个步骤：1.收集数据：收集自变量 x 和因变量 y 的数据样本。

2.建立模型：假设因变量 y 和自变量 x 之间存在线性关系，即y = β₀ +β₁x + ε。

3.计算平均值：计算自变量 x 和因变量 y 的平均值。

4.计算回归系数：通过最小二乘法公式计算回归系数β₀和β₁。

5.计算拟合值：使用回归系数计算拟合值y_hat = β₀ + β₁x。

6.计算残差：计算观测值与拟合值之间的残差 e = y - y_hat。

7.计算残差平方和：计算残差的平方和SSE = Σ(e²)。

8.计算总平方和：计算观测值与平均值之间的差异的平方和SST = Σ((y -y_mean)²)。

9.计算决定系数：计算决定系数R² = 1 - (SSE / SST)。

10.绘制拟合曲线：将观测值和拟合曲线绘制在同一张图上。

使用 Python 实现最小二乘法下面是使用 Python 实现最小二乘法的示例代码：import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt# 收集数据x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])y = np.array([2, 3, 5, 6, 8])# 建立模型def linear_regression(x, y):n = len(x)x_mean = np.mean(x)y_mean = np.mean(y)# 计算回归系数numerator = np.sum((x - x_mean) * (y - y_mean))denominator = np.sum((x - x_mean) ** 2)beta_1 = numerator / denominatorbeta_0 = y_mean - beta_1 * x_mean# 计算拟合值y_hat = beta_0 + beta_1 * x# 计算残差residuals = y - y_hat# 计算残差平方和和总平方和sse = np.sum(residuals ** 2)sst = np.sum((y - y_mean) ** 2)# 计算决定系数r_squared = 1 - (sse / sst)return beta_0, beta_1, y_hat, residuals, r_squared# 计算回归结果beta_0, beta_1, y_hat, residuals, r_squared = linear_regression(x, y)# 绘制拟合曲线plt.scatter(x, y, color='b', label='Observations')plt.plot(x, y_hat, color='r', label='Fitted line')plt.xlabel('x')plt.ylabel('y')plt.legend()plt.show()print(f"回归系数 beta_0: {beta_0}")print(f"回归系数 beta_1: {beta_1}")print(f"决定系数R²: {r_squared}")在上述代码中，我们使用了numpy库来进行数值计算和数组操作，使用了matplotlib库来绘制拟合曲线。

python最小二乘矩阵

python最小二乘矩阵Python最小二乘矩阵最小二乘法是一种常用的数学方法，用于拟合数据点和找到最佳拟合曲线。

在数据分析和机器学习中，最小二乘法被广泛应用于回归分析和参数估计。

Python是一种功能强大的编程语言，提供了许多用于实现最小二乘法的工具和库。

本文将介绍如何使用Python进行最小二乘矩阵运算的方法和步骤。

第一步是导入所需的库。

在Python中，numpy是一个常用的数值计算库，它提供了许多用于矩阵和向量操作的函数。

我们可以使用以下代码将numpy库导入到我们的程序中：import numpy as np接下来，我们需要准备我们的数据。

最小二乘法要求我们有一个已知的自变量和因变量之间的数据集。

我们可以使用numpy库的array函数创建一个矩阵来表示我们的数据。

例如，以下代码创建了一个3x2的矩阵，其中包含了三个数据点的自变量和因变量的值：x = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]])y = np.array([3, 5, 7])现在我们有了我们的数据，接下来是使用最小二乘法来拟合我们的数据点。

我们可以使用numpy库的lstsq函数来执行最小二乘拟合。

以下代码演示了如何使用lstsq函数来计算最小二乘解：result = np.linalg.lstsq(x, y, rcond=None)coefficients = result[0]在上面的代码中，lstsq函数接受两个参数：自变量矩阵x和因变量向量y。

它返回一个包含最小二乘解的元组，我们可以通过索引[0]来访问这个元组并将其赋值给变量coefficients。

现在我们已经计算出了最小二乘解，我们可以使用这些系数来创建我们的拟合曲线。

以下代码演示了如何使用最小二乘解来计算拟合曲线的值：fit = np.dot(x, coefficients)在上面的代码中，我们使用numpy库的dot函数将自变量矩阵x和最小二乘系数coefficients相乘，得到拟合曲线的值。

计算方法最小二乘法源代码

}
return 0;
}
int main()
{
float a[20][20]={0.0};//定义a矩阵
float c[20][20];//定义c矩阵
float ct[20][20];//定义ct矩阵
float x[20];//定义数组用于存放x的数据
float y[20];//定义数组用于存放y的数据
if(j==n+1)
printf("\n");
}
//求c的转置矩阵CT[][]
fo(j=1;j<=n+1;j++)
ct[j][i]=c[i][j];
//输出CT[][]
printf("CT矩阵如下：\n");
for(i=1;i<=n+1;i++)
for(j=1;j<=m;j++)
float b[20]={0.0};//定义b矩阵
int i,j,k,m,n;
printf("输入所求函数的最高次数n:\n");//输入n（求线性的函数输入1。。）
scanf("%d",&n);
printf("输入测试数据的组数m:\n");//输入测试数据的组数
scanf("%d",&m);
printf("输入x的测试数据%d个:\n",m);//输入x的测试数据m个
//求C[][]
for(j=2;j<=n+1;j++)
for(i=1;i<=m;i++)
c[i][j]=x[i]*c[i][j-1];

C语言最小二乘法

函数逼近与曲线拟合，用最小二乘法进行曲线拟合的C或C++编写的完整程序！已知x 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55y 0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.02 4.64近似解析表达式为y=at+bt^2+ct^3求a,b,c曲线拟合：#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <malloc.h>#include <math.h>Smooth(double *x,double *y,double *a,int n,int m,double *dt1,double *dt2,double*dt3);void main(){int i ,n ,m ;double *x,*y,*a,dt1,dt2,dt3,b;n = 12;// 12个样点m = 4; //3次多项式拟合b = 0; //x的初值为0/*分别为x,y,a分配存贮空间*/x = (double *)calloc(n,sizeof(double));if(x == NULL){printf("内存分配失败\n");exit (0);}y = (double *)calloc(n,sizeof(double));if(y == NULL){printf("内存分配失败\n");exit (0);}a = (double *)calloc(n,sizeof(double));if(a == NULL){printf("内存分配失败\n");exit (0);}for(i=1;i<=n;i++){x[i-1]=b+(i-1)*5;/*每隔5取一个点，这样连续取12个点*/}y[0]=0;y[1]=1.27;y[2]=2.16;y[3]=2.86;y[4]=3.44;y[5]=3.87;y[6]=4.15;y[7]=4.37;y[8]=4.51;y[9]=4.58;y[10]=4.02;y[11]=4.64;/*x[i-1]点对应的y值是拟合已知值*/Smooth(x,y,a,n,m,&dt1,&dt2,&dt3); /*调用拟合函数*/for(i=1;i<=m;i++)printf("a[%d] = %.10f\n",(i-1),a[i-1]);printf("拟合多项式与数据点偏差的平方和为：\n");printf("%.10e\n",dt1);printf("拟合多项式与数据点偏差的绝对值之和为：\n");printf("%.10e\n",dt2);printf("拟合多项式与数据点偏差的绝对值最大值为：\n");printf("%.10e\n",dt3);free(x); /*释放存储空间*/free(y); /*释放存储空间*/free(a); /*释放存储空间*/}Smooth(double *x,double *y,double *a,int n,int m,double *dt1,double *dt2,double*dt3)//(x,y,a,n,m,dt1,dt2,dt3 )//double *x; /*实型一维数组，输入参数，存放节点的xi值*///double *y; /*实型一维数组，输入参数，存放节点的yi值*///double *a; /*双精度实型一维数组，长度为m。

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