5.3 定积分的换元法
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定积分的换元法和分部积分法
10
1 1 ( x)2
d( x) 2
arcsin
x 2
1 0
π 2
2
例3
计算
02
sin6xcosxdx
解
02
sin6xcosxdx02
sin6xd(sinx)
π
sin
7x
2
7 0
1 7
例4
计算
1e
1 lnx x
dx
解
e 1
1 lnx dx x
e1(1lnx)d(1lnx)
(1
ln
1
1
解法1
2 0
arcsinxdx
02arcsixnd(x)
1 1 xdx
xarcsixn02
2 0
1 x2
1 26
1
1 2
20
1 d(1x2) 1x2
12
1
1x2
2
0
31.
12 2
解法2
1
02arcsixndx
换 元t： arcsxin
6td(sitn)
则xsin t 0
分 部 积 分
2. 第二类换元积分法
设函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上连续 ，函数 xφ(t)
满足 (1) φ(α)a, φ(β)b
(2) φ(t)在 [α, β]（或 [β, α]）上具有连续
导数，且 φ(t)[a, b] ，于是
a bf(x)dx βf[φ(t)φ ](t)dt
注意: （1）换元前后，上限对上限、下限对下限；
2
t
3
2 t
3 1
8 3
例7
计算
04
定积分换元法
sqrt{x}$。
练习二：求解微分方程
总结词
将微分方程转化为可积分的定积分形式
详细描述
通过求解微分方程的练习，学生可以学会将微分方 程转化为可积分的定积分形式，进一步利用定积分 换元法求解。
练习题目示例
求解微分方程 $y' = frac{1}{x}$，其中 $y(1) = 2$。
练习三：求解物理问题中的定积分
定积分换元法的应用场景
几何意义
定积分换元法在几何上可用于计算曲线下面积、旋转体体积等问题。通过换元，可以将不规则图形转化为规则图形， 便于计算。
物理应用
在物理问题中，定积分换元法常用于解决与速度、加速度等物理量相关的积分问题，如物体运动轨迹、力做功等问题 。通过换元，可以将物理量之间的关系转化为更易于理解的形式。
根式换元法
总结词
根式换元法是通过引入根式来简化定积分计算的一种方法。
详细描述
根式换元法通常用于处理形如$int frac{1}{sqrt{x}} dx$的积分。通过令$x = t^2$，可以将积分转化为 $int frac{1}{t} dt$，进一步简化计算。
倒代换法
总结词
倒代换法是通过引入倒数变量来简化定积分计算的一种方法。
总结词
运用定积分换元法解决物理问题
详细描述
通过求解物理问题中的定积分的练习，学生可以学会运用定积分换 元法解决实际问题，加深对物理概念和公式的理解。
练习题目示例
求地球同步卫星的高度（已知地球半径和重力加速度）。
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定积分换元法
• 引言 • 定积分换元法的基本原理 • 定积分换元法的实例 • 定积分换元法的注意事项 • 定积分换元法的应用练习
定积分的换元法和分部积分法60463
1x2
1
11
02arcxsdin x [xarcxs]0 2in02x
dx 1x2
1 1 1 dx2
2
2 6 2 0 1x2
1 1 2(1x2)1 2d(1x2) 1220
12[(1x2)12]012
12
3 1 2
15
例2 计算1e xdx 0
1 (e 2
2
1)
18
例4 设 f(x)在 [0,1 ]上连1 [续 1x f， (x)e]f(求 x)d.x 0
解：
1
xf
(x)e f (x)dx
0
1
x
ef
(x)df(x)
0
1xdef (x) 0
[xef(x)]1 001ef(x)dx
故
1[1xf(x)e] f(x)dx[xef
或
abudv[uv]ba
b
vdu
a
这个公式就是定积分分部的积分公式 13
注 用分部积分法计算定积分,因没有引入新的变量, 故在计算过程中自始至终均不变限,u 、v的选择 与不定积分的分部积分法相同.
14
1
例1 计算2arcsxindx 0
解uarcx,sv ix n ,d u dx,d vdx
上、下限 (t代 )然入 后相减 . 即可
4
换元公式也可以反过来使用 :
a bf[(x)]'(x)d xa bf[(x)d ](x)
t (x)
f(t)dt((a),(b))
5
例2 计算 e2lnxdx 1x 6
此 种 方 法 可 以 不出明新显变写量 ， 如 上 例 也 可这样解：
定积分的换元法
换元法的步骤
确定换元变量
根据定积分的被积函数和积分限，选择合适 的换元变量。
计算新定积分
将原定积分的积分变量替换为新变量，并计 算新定积分的值。
建立新变量与原变量的关系
根据选择的换元变量，建立新变量与原变量 的关系式。
还原原定积分
将新定积分的值还原为原定积分的值。
换元法的应用范围
简化计算
通过换元法，可以将复杂的定积分转化为简单 的定积分，从而简化计算过程。
解决特殊问题
对于一些特殊形式的定积分，通过换元法可以 找到更有效的求解方法。
推广定理
换元法还可以用于推广某些定积分的定理和性质。
03
定积分的换元法实例分析
三角函数换元法
总结词
通过将自变量替换为正弦或余弦函数，可以将原函数转化为易于积分的三角函数形式。
详细描述
假设被积函数为$f(x)$，选择一个角$\theta$，使得$x = \cos\theta$或$x = \sin\theta$，将原函数转化为关 于$\theta$的三角函数形式，再利用正弦或余弦函数的性质进行积分。
详细描述
假设被积函数为$f(x)$，选择一个变量$t$，使得$x = e^t$，将原函数转化为关于$t$的指数函数形式 ，再利用指数函数的性质进行积分。
04
定积分的换元法在解题中的应用
利用换元法求定积分
三角换元法
对于形如$\int \sqrt{a^2 - b^2} dx$的 定积分，可以令$x = a\cos\theta, y = b\sin\theta$进行换元，化简为$\int \sqrt{a^2 - b^2} d\theta$的定积分。
06
定积分的换元法的应用前景与发 展趋势
53第三节定积分的换元法和分部积分法
0
0
a
武 汉
f(x )d x f( t)d tf(t)d t
a
a
0
科
技
学
a
0
a
a
院 数
f( x ) d x f( x ) d x f( x ) d x 2f( x ) d x
a
a
0
0
理
系
高 等
(3) 令x=t+l,则dx=dt,且当x=l时,t=0,当x=a+l时,t=a
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
高 等 利用换元法计算定积分时,要注意:
数 学
(1).在换元时,积分的上下限必须同时变化.
电 (2).在换元时,要注意换元后的函数在积分区域内是否有
子 教
意义.
案
如果用x=1/t,则注意积分区域是否有x=0的情况,
如果用x=t2,则被积函数开方时要注意在积分区域里
+2,也可为-2.
案 面对有正负号时,应该
考虑被积函数的情况
x 3
武
当t=-1时,要注意 t2 t
0
t
汉
科 技
代入被积函数
-2 -1 1 2
学
院
数
理 系
如t从-1到+2,此时已经超过积分区域了
高 此外当积分区域应该考虑
等 数
如t从-1到+2,此时已经超过积分区域了
学 电
根据定积分的性质3可加性(p221)其结果是一样的.
2
教 案
0 c o s 3 x c o s 5 x d x 0 c o s 3 2 x 1 c o s 2 x d x 0 c o s 3 2 x s i n x d x
5.3 定积分的换元法和分部积分法
( 2 ) න (sin )d
= − න (π − )(sin(π − ))d
则 d = −d
0
0
π
= න (π − )(sin )d
0
π
π
= π න (sin )d − න (sin )d
0
π
0
π
= π න (sin )d − න (sin )d ,
0
+ න () d
0
= න [(−) + ()] d
0
2 න () d , (−) = (),
=
0
0,
− = − .
奇、偶函数在对称区间上的定积分性质 偶倍奇零
第三节 定积分的换元法和分部积分法
定积分
第五章
1
2 2 + cos
例6 计算 න
0
解
1
d.
( > 0)
π
令 = sin , d = cos d, = ⇒ = , = 0 ⇒ = 0.
2
π
2
cos
d
原式 = න
2
2
0 sin + (1 − sin )
=න
π
2
0
cos
1
d = න
sin + cos
1
=
6
6
1
อ
第三节 定积分的换元法和分部积分法
0
cos 5 sin d
= − න cos 5 d(cos )
= 0 ⇒ = 1.
原式 = − න
π
2
1
= .
= − න (π − )(sin(π − ))d
则 d = −d
0
0
π
= න (π − )(sin )d
0
π
π
= π න (sin )d − න (sin )d
0
π
0
π
= π න (sin )d − න (sin )d ,
0
+ න () d
0
= න [(−) + ()] d
0
2 න () d , (−) = (),
=
0
0,
− = − .
奇、偶函数在对称区间上的定积分性质 偶倍奇零
第三节 定积分的换元法和分部积分法
定积分
第五章
1
2 2 + cos
例6 计算 න
0
解
1
d.
( > 0)
π
令 = sin , d = cos d, = ⇒ = , = 0 ⇒ = 0.
2
π
2
cos
d
原式 = න
2
2
0 sin + (1 − sin )
=න
π
2
0
cos
1
d = න
sin + cos
1
=
6
6
1
อ
第三节 定积分的换元法和分部积分法
0
cos 5 sin d
= − න cos 5 d(cos )
= 0 ⇒ = 1.
原式 = − න
π
2
1
= .
5-3定积分的换元法与分部法-精品文档
2
1 ( 1 cos 2 t)d t cos t d t 2
2
1 1 t sin 2t 2 arcsin x x1 x C C 2 2 2 4
由牛顿 莱布尼兹公式 ， 得
1 1 1 2 1 x d x arcsin x x 1 x . 0 2 2 0 4 1 2
0
a
x ) d x [ f ( x ) f ( x )] d x . f(
a 0
a
a
( 1 )若 f ( x ) 为偶函数，则 f ( x ) f ( x ) ，故有
a
a
f (x)dx 2
a
0
f (x)d x
( 2 ) 若 f ( x ) 为奇函数，则 f ( x ) － f ( x ) ，故
1
1 2 2 1 2 2 sin xcos xdx sin xdsin x sin x |0 0 0 2 2
例5
设 f(x ) 在对称区间 [ a ,a ]上连续，证明：
( 1 ) 当 f ( x ) 为偶函数时， x ) d x 2 x ) d x . f( f(
f (x)dx f ( t)(dt) f ( x )dx. t)dt f( a a
0
0
0
0
a
a
于是
( x ) d x f ( x ) d x f ( x ) d x f
a 0 0
a
a
a
x ) f( x )] d x . [f(
则
定理证明 定理证
b
1 ( 1 cos 2 t)d t cos t d t 2
2
1 1 t sin 2t 2 arcsin x x1 x C C 2 2 2 4
由牛顿 莱布尼兹公式 ， 得
1 1 1 2 1 x d x arcsin x x 1 x . 0 2 2 0 4 1 2
0
a
x ) d x [ f ( x ) f ( x )] d x . f(
a 0
a
a
( 1 )若 f ( x ) 为偶函数，则 f ( x ) f ( x ) ，故有
a
a
f (x)dx 2
a
0
f (x)d x
( 2 ) 若 f ( x ) 为奇函数，则 f ( x ) － f ( x ) ，故
1
1 2 2 1 2 2 sin xcos xdx sin xdsin x sin x |0 0 0 2 2
例5
设 f(x ) 在对称区间 [ a ,a ]上连续，证明：
( 1 ) 当 f ( x ) 为偶函数时， x ) d x 2 x ) d x . f( f(
f (x)dx f ( t)(dt) f ( x )dx. t)dt f( a a
0
0
0
0
a
a
于是
( x ) d x f ( x ) d x f ( x ) d x f
a 0 0
a
a
a
x ) f( x )] d x . [f(
则
定理证明 定理证
b
高教社2024高等数学第五版教学课件-5.3 定积分的计算
4
4
2
4
0
0
从结果上看是一样的，但计算过程显得更简捷。
2
【引例2】计算定积分 0
− 1。
【引例分析】被积函数是无理式，无法直接计算，可采用下面的办法来解决：
设
2
− 1 = ，则 = ( 2 + 1)， = 2 +1
当 = 2时， = 1；当 = 0时， = 0
4−
2
（2） 0
3
1+ 2
2 2 −1
（3） 1
解 （3）令 = ，则 = ；
当 = 2时， =
2
න
1
；当
3
3
= 1时， = 0；于是
3
−1
2
2
= න = න − 1 = ( − ) ቮ 3 = 3 −
解：（1）令 = cos , = − sin ,
当 = 0时， = 1; = , = 0
2
/2
cos 5 d cos
原式 = − න
0
0
= −න
1
/2
原式 = − න
0
0
5 d
2
1 6
1
=− ቤ = .
6
6
1
1
1
6
cos d cos = − cos ቤ = .
当 = 2时, =
2
න
0
;
2
2
当 = 0时, = 0；于是
4 − 2 = න 4 2 = න
4
2
4
0
0
从结果上看是一样的，但计算过程显得更简捷。
2
【引例2】计算定积分 0
− 1。
【引例分析】被积函数是无理式，无法直接计算，可采用下面的办法来解决：
设
2
− 1 = ，则 = ( 2 + 1)， = 2 +1
当 = 2时， = 1；当 = 0时， = 0
4−
2
（2） 0
3
1+ 2
2 2 −1
（3） 1
解 （3）令 = ，则 = ；
当 = 2时， =
2
න
1
；当
3
3
= 1时， = 0；于是
3
−1
2
2
= න = න − 1 = ( − ) ቮ 3 = 3 −
解：（1）令 = cos , = − sin ,
当 = 0时， = 1; = , = 0
2
/2
cos 5 d cos
原式 = − න
0
0
= −න
1
/2
原式 = − න
0
0
5 d
2
1 6
1
=− ቤ = .
6
6
1
1
1
6
cos d cos = − cos ቤ = .
当 = 2时, =
2
න
0
;
2
2
当 = 0时, = 0；于是
4 − 2 = න 4 2 = න
定积分的换元法
例12 设 f ( x ) 连续
解
二、小结
定积分的换元法 几个特殊积分、定积分的几个等式
思考题
解令
思考题解答
计算中第二步是错误的.
正确解法是
练习题
练习题答案
由定积分的几何意义，这个结论也是比较明显的
例8 计算 解 原式
偶函数
奇函数
四分之一单位圆的面积
证 （1）设 （2）设
另证 将上式改写为
奇函数
例10 设 f(x) 是以L为周期的连续函数，证明
证明
与 a 的值无关
例11 设 f(x) 连续，常数 a > 0 证明
证明 比较等式两边的被积函数知，
先来看一个例子
例1
换元求不定积分 令
则
故
尝试一下直接换元求定积分
为去掉根号 令
则
当 x 从0连续地增加到4时，t 相 应地从1连续地增加到3
于是
由此可见，定积分也可以象不定积分一 样进行换元，所不同的是不定积分换元时要 回代原积分变量，而对定积分则只需将其上 、下限换成新变量的上、下限即可计算出定 积分，而不必回代原积分变量
将上例一般化就得到定积分的换元积分公式
一、换元公式
证
应用换元公式时应注意:
（1）
（2）
例2 计算 解1 由定积分的几何意义
o 等于圆周的第一象限部分的面积 解2
故
解3 令
解4 令 仍可得到上述结果
例3 计算 解令
注
定积分的换元积分公式也可以反过来使用
为方便计 将换元公式的左、右两边对调
同时把 x 换成 t ， t 换成 xFra bibliotek这说明可用
引入新变量
§5.3_定积分的换元法与分部法
2
20
定积分的换元法和分部积分法
3
例
e4
dx
e x ln x(1 ln x)
d( ln x) 1 1 d ln x 2 ln x
3
e4
解 原式
d(ln x)
e ln x(1 ln x)
3
3
e4
d(ln x)
e4 d ln x
2
e ln x (1 ln x)
e 1 ( ln x)2
2 arcsin(
ln x )
3
e4 e
.
6
21
定积分的换元法和分部积分法
a
1
dx (a 0)
0 x a2 x2
解 令 x a sint, dx a cos tdt
x0t0
x a t
2
原式
2
0
a
sin
t
a cost a 2 (1
则
b
a f ( x)dx F(b) F(a)
N--L公式
由于 d dt
F (t) F(t)(t)t) (t)的原函数, N--L公式
则
f [ (t)](t)dt
F ( )
b
a
所以 f (a b x)dx f (t)(dt)
a
b
b
b
a f (t)dt a f (x)dx
所以，原命题成立。
10
例
计算
4 dx .
0 1 x
解 用定积分换元法.
令
x
t， 则
5.3 定积分的换元法和分部积分法
例12 解
求
2
0
e cos xdx.
2
2x
[e sin x ] 0 sinxde
2x
2
2
2
0
e cos xdx e d sinx
2x 2x
0
2x
2
e 2 e sinxdx e 2 e 2 x d cos x
2
0
2x
0
e 2 4 e cos xdx 0 1 2 2x e cos xdx (e 2). 0 5
例5 解
计算
0
2
cos x sin xdx.
5
令 t cos x ,
x t 0, 2
dt sin xdx ,
x 0 t 1,
0
2
cos 5 x sin xdx
0 5
6 1
t 1 1 t dt . 60 6
5.3定积分换元法和分部积分法
5.3定积分换元法和分部积分法
I n sin n1 x cos x 0 ( n 1)0 sin n 2 x cos 2 xdx
2 2
0
I n ( n 1)0 sin
2
1 sin 2 x
n 2
xdx ( n 1)0 sinn xdx
2
(n 1) I n2 (n 1) I n
例2
计算
解 令 x a sin t , 则 dx a cos t d t , 且
. 当 x 0 时, t 0 ; x a 时, t 2
定积分的换元积分法
dx 2
4
ln xd
x
0x
0
4
4
(2 x ln x) - 2
1
1
x 1dx x
4
4ln4 - 2
1 dx 4ln4 - 4
4
x
1x
1
4(2ln 2 - 1).
3
例 9 计算 0 arctan xdx.
解 根据定积分的分部积分公式得
3 arctan
0
xdx ( x arctan
2
nn-
3 2
4
5
2 3
I1
,
其中I1
2 sin xdx - cos x 2
0
0
1,
代入上式，得
In
2
sinn
xdx
n
-1
n
-
3
0
n n-2
4 2 1.
53
由于 2 cosn xdx 2 sinn xdx, 所以上述结果对于
例 6 计算 1 4 - x2 dx. -1
解 因为被积函数 4 - x2 是偶函数, 且积分 区间对称于原点，得
1
4 - x2dx
1
2
4 - x2dx,
-1
0
令 x = 2sint，
则
dx
=
2cos
tdt
，
x t
0 0
于是
1
，
6
1 4 - x2 dx 2 1 4 - x2dx
令
x
t， 则
4
ln xd
x
0x
0
4
4
(2 x ln x) - 2
1
1
x 1dx x
4
4ln4 - 2
1 dx 4ln4 - 4
4
x
1x
1
4(2ln 2 - 1).
3
例 9 计算 0 arctan xdx.
解 根据定积分的分部积分公式得
3 arctan
0
xdx ( x arctan
2
nn-
3 2
4
5
2 3
I1
,
其中I1
2 sin xdx - cos x 2
0
0
1,
代入上式，得
In
2
sinn
xdx
n
-1
n
-
3
0
n n-2
4 2 1.
53
由于 2 cosn xdx 2 sinn xdx, 所以上述结果对于
例 6 计算 1 4 - x2 dx. -1
解 因为被积函数 4 - x2 是偶函数, 且积分 区间对称于原点，得
1
4 - x2dx
1
2
4 - x2dx,
-1
0
令 x = 2sint，
则
dx
=
2cos
tdt
，
x t
0 0
于是
1
，
6
1 4 - x2 dx 2 1 4 - x2dx
令
x
t， 则
§5-3定积分的换元积分法和分部积分法
(2)定积分的换元积分法不必把结果中的(t) 换成原来的变量 x ，而只要
把新变量的上、下限代入 F[(t)] 进行运算即可.
例 4 计算下列定积分
ln 2
(1)
e x 1dx ；
0
(2)
a 0
a 2 x 2 dx
解
(1)令
ex
1
t
，
x
ln(t 2
1)
， dx
t
2t 2
1
dt
当 x=0 时，t=0；当 x=ln2 时，t=1.故
0
0
0
0
=(e 2－1)+ 2 sin xd (e x ) =(e 2－1)+ e x sin x 2 2 e xd (sin x)
0
0
0
=(e
2－1)－
2 0
ex
cos
xdx
移项得
2 2 e x 0
cos xdx
= e 2－1，
所以
2 e x 0
cos xdx
= 1 (e 2－1)． 2
例 9
x
2
3
x
dx
=
4
4
1 cos 2
dx x
+
4
4
x3 cos 2
dx x
=2
4
0
1 cos 2
dx x
+0=2 tan x
4
0
=2．
二、 定积分的分部积分法
定理 2(定积分的分部积分公式) 设 u(x)，v(x)在区间[a，b]上连续，则
或简写为
b a
u
(
x
)v
(x
把新变量的上、下限代入 F[(t)] 进行运算即可.
例 4 计算下列定积分
ln 2
(1)
e x 1dx ；
0
(2)
a 0
a 2 x 2 dx
解
(1)令
ex
1
t
，
x
ln(t 2
1)
， dx
t
2t 2
1
dt
当 x=0 时，t=0；当 x=ln2 时，t=1.故
0
0
0
0
=(e 2－1)+ 2 sin xd (e x ) =(e 2－1)+ e x sin x 2 2 e xd (sin x)
0
0
0
=(e
2－1)－
2 0
ex
cos
xdx
移项得
2 2 e x 0
cos xdx
= e 2－1，
所以
2 e x 0
cos xdx
= 1 (e 2－1)． 2
例 9
x
2
3
x
dx
=
4
4
1 cos 2
dx x
+
4
4
x3 cos 2
dx x
=2
4
0
1 cos 2
dx x
+0=2 tan x
4
0
=2．
二、 定积分的分部积分法
定理 2(定积分的分部积分公式) 设 u(x)，v(x)在区间[a，b]上连续，则
或简写为
b a
u
(
x
)v
(x
定积分的换元法
其中 ( ) a ， ( ) b． 定积分的换元积分公式，也可以反过来使用，即
b
a
f [ ( x)] ( x) d x f (u ) d u ，
其中 u ( x) ，而 ( a ) ， (b) ．
例 求积分 sin 5 x cos x d x ． 解
sin x 1 sin 2 x d x sin x | cos x | d x
0 π 3 2
x x cos ， 0 ， 2 | cos x | cos x ， x 2
sin x cos x d x π sin x( cos x) d x ，
π 2 0 π 2 0 1
令 u sin x ，则 x 0 时 u 0 ， x 时 u 1 ， 2
1
π 2 0
sin 5 x cos x d x sin 5 x(sin x) d x
1 1 6 u du u ． 0 6 0 6
5
2
π 2 0
3 2
π
3 2
π
0
sin 3 x sin 5 x d x
sin x cos x d x π sin x cos x d x
0 2 π 2 3 2 π 3 2
sin x d(sin x ) π sin x d(sin x )
0
π 2
3 2
π
3 2
2 2 4 sin x sin x ． 5 5 0 5
aaຫໍສະໝຸດ f ( x) d x 2 f ( x) d x ；
5.3 定积分的换元法和分部积分法
−a
0
0
a
= ∫ 0 [ f (x ) + f (− x) ]d x
a
a
即
∫ ∫ f ( x)d x = [ f ( x) + f (− x) ] d x
−a
0
a
a
∫ ∫ 即
f (x)d x = [ f (x) + f (−x) ] d x
−a
0
（1）若 f (x) 为偶函数，即 f ( x ) = f (− x )
π
原式 =
t 2
+
ln
|
sin
t
+
cos
t
|
2 0
=π
4
例6：证明
（1）若 f (x) 在 [ - a , a ] 上连续且为偶函数，
a
a
则 ∫ − a f (x)d x = 2∫ 0 f (x)d x
（2）若 f (x) 在 [ - a , a ] 上连续且为奇函数，
a
则 ∫ −a f (x)d x = 0
1 −1
f (u) d u
∫ ∫ ∫ =
1
f (x)d x =
0 (1 + x2 ) d x +
1 e−x d x
−1
−1
0
=
[
x
+
1 3
x
3
]0−1
+
[−e − x ]10
= 7− 1 3e
二、 定积分的分部积分法
设 u = u (x) , v = v(x) 在区间 [ a , b ] 上有连续导
π 2
−
t
dt
π
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(t ) (t )d t 换元公式
第二类换元
注: (1) 换元必换限, 但无需变量回代. 第一类换元 (2) 不一定小于 令x ( 令 t ) (t )x (3) d t)t (t ) (t )dt (t ) (t( )d 例1
π 2
1 t 2 2 2e 0
1 2 (e 4 1) 1 1 e 4 1
0
2
2
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二、特殊类型函数的定积分 1. 奇(偶)函数
0 a a 令 x t a f ( x)dx t x a f (t ) dt 0 f (t )dt 0 f ( x)d x
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当 f (x)为奇函数时,
(2) 若
则
T 0
a T
a
f ( x)dx f ( x) dx ,
a nT
a
f ( x)dx n f ( x) dx
0
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T
高等数学
作
P165
业
4.
1. (6) (9) (10) (18)
高等数学
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思考与练习
高等数学
π 2 0
3 sin 2
5 2
x dsin x π
π
3 sin 2
x dsin x
π π 4 2 2 2 sin x sin x π 5 5 0 5 2
2 5 2
π
0
sin 3 x sin 5 x d x
例3
π 6
0
令x sin t
x1 2
x0
π 6 0
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3. 抽象函数 例7
0 f (sin x)dx 0 f (cos x)dx
证明:
π 2 π 2
π 2
在[0, 1]上连续, 证明:
π 2
π
π 2
f (sin x)dx
0
π 令 x 2 t f (sin x)dx
π 2
π f (cos t ) d t
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例5 已知 法1
求
x2 1 x 2
法2
x2t xt2
1 f (t ) d t 1 f (t ) dt 0
0
2
2
f (t ) d t
高等数学Байду номын сангаас
t e 0
2
t 2
dt
2 1 t 2 2 2 e d(t ) 0
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2 1 t 2 2 e d(t 2 ) 0
t 1 1 t dt 0 6 0 6 π π 2 1 5 6 或者 原式 cos xdcosx cos x 2 1 0 6 0 6
0 5 1 t dt
令 cos x t
0
cos x sin xdx cos xdcosx
5
π 2
5
0
1
5
6
高等数学
e3
(2)
π
0
π
0 π 2 0
3 sin 2
3 sin 2
sin x sin x d x
3 5
π
0
sin 3 x cos2 x d x
x cos x d x
x cos x d x π
π
2
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3 sin 2
x cos x d x
1
d x 100 100 sin x sin ( x t ) d t ________ dx 0
提示: 令 u x t , 则
0
x
sin100 ( x t ) d t
sin100 u
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2 证明 证明:
是以 为周期的函数.
u π t
是以 为周期的周期函数.
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例2
1
2
2 1 1 1 1 1 sin dx 1 sin d cos 1 2 x x x x x 1
2
e3 1 ln x 练习 (1) d x 1 ln xd (1 ln x) e e x 3 1 3 e 4 2 2 u d u u 2 du (4 2) (1 ln x) e 3 3
2
0
f (cos t )d t f (cos x)d x
0 0
0 f (sin x)dx
π
π
π 2
令 x π t
π 2
)dtx π f (sin t )d t π f (sin tx)d
2
π 2
π
(sin x)d x = fx(sin f (sin x )d 2 0 f注： 0 0
法2
令 x 1 t
x t2 1 x 0 t 1 x 3 t 2
2 3(t 2 1) 2 (6 t 1 t 2t d t 1 6)d t
2
2 (2t 6t ) 1 8.
3
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高等数学
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定理1
令x (t )
xa xb
则 f ( x)dx 2 f ( x)dx
a
0
a
则 f ( x)dx 0
a
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a
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注: 设 f (x)在[-a, a]上连续, 则有
a
对称性定理
a
a
f ( x)dx
1
2 f ( x)dx, 当 f (x)为偶函数时, 0
偶倍奇零
0,
当 f (x)为奇函数时,
x 1 x2 1 1 1 t3 1 1 1 4 4 1 4 d t 1 4 d(t 1) ln(t 1) 1 4 t 1 t 1 4 2 2 2
t 1 ( 2 ) d t 1 1 1 t4 t
1 2
6( 3 1)
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2
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高等数学
π 2
x 4 sin x d x 0. 例6 ① 1 6 1 x
②
π 2 π a 2
3 25 cos3 x cos5 x d x 2 cos3 x cos sin xx d x 0 a π f ( x)d π x) 3 x f ( x) f ( 3dx a 2 0 2 xd cos x 2 2 cos 2 x sin x d x 2 cos a a 0 0 (1) 若 则 f5 ( x)d x 2 f ( x)dx π π 5 0 a 4 4 2 a2 x 2 2 cos 2 x 2 cos 0 则 f (x )dx (2) 若 5 5 0 0 5 a
高等数学
π π x2)d x fx (sin π )d fx (sin 0 2
x)dx
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内容小结
换元积分公式
a
(t ) (t )d t
注: 换元必换限 (1)
0, 补充: 周期函数的定积分
a
a
f ( x)dx =
2 f ( x)dx, 当 f (x)为偶函数时, 0
sin 2 t cos t d t cos t
π 1 1 (t sin 2t ) 6
π 1 sin 2 t d t 6 (1 cos 2 t ) dt 2 0
2
2
0
3 ) 4
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高等数学
例4
令x 1 t
5 1 ln 2 ln17 4 4 6 3 1 27 令 x t 5 d x 练习 6 t d t 3 2 1 x (1 3 x ) x t 6 1 t (1 t ) 2 3 t 3 3 1 6 2 d t 6 (1 2 ) d t 6(t arctan t ) 1 1 t 1 t 1 1
0
而
a
a
a
f ( x)dx
f ( x)dx f ( x)d x a 0
a
0
a
f ( x) d x f ( x)d x 0
0 0
a
f ( x) f ( x) dx
a
a
(1) 若 (2) 若
a
f ( x)dx
a 0
f ( x) f ( x) dx
第五章
5.3 定积分的换元法
一、定积分的换元积分公式 二、特殊类型函数的积分
山东交通学院高等数学教研室
一、定积分的换元积分公式
引例 求
法1
3
令 x 1 t
3(t 2 1) 2 2 t d t (6 t 6)d t 2 x t 1 t
3 2( 1 x ) 6 1 x C 2t 6t C 3 3 2( 1 x ) 6 1 x 4 (4) 8. 0