第5讲 分式及其运算
分式及其运算
分式函数：解决实际问题中的函数关系
03
分式不等式：解决实际问题中的不等关系
04
分式数列：解决实际问题中的数列关系
05
分式极限：解决实际问题中的极限关系
06
分式积分：解决实际问题中的积分关系
数学公式的推导
分式的定义：形如A/B，其中A、B
01
是整式，B≠0 分式的运算：包括加法、减法、乘
03
法、除法、乘方、开方等 分式的应用：包括求解方程、不等
整式，分式的值不变
分式的通分：将两个或 多个分式的分母化为相 同，以便进行加减运算
分式的约分：将分式的 分子、分母同时除以它 们的最大公因式，以简
化分式
分式的加减法：将分式 的分子、分母分别相加 或相减，得到新的分式
分式的乘除法：将分式 的分子、分母分别相乘 或相除，得到新的分式
分式的幂运算：将分式 的分子、分母分别进行 幂运算，得到新的分式
乘方和开方：分式乘方，分式开 方
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分式除法：分子相除，分母相除
混合运算：分式乘法、除法、乘 方、开方混合运算
乘方和开方
01
乘方：分式乘方时，分子和 分母分别乘方，分母中如果 有平方项，需要先开方
03
运算顺序：先乘方，后开方， 遵循先乘除后加减的运算顺 序
开方：分式开方时，分子和 分母分别开方，分母中如果 有平方项，需要先开方
分式分解
01
分式分解的定义：将分式分解为两 个或多个分式的过程
02
分式分解的方法：提取公因式、分 组分解、公式分解等
03
分式分解的步骤：观察分式的结构， 选择合适的分解方法，进行分解
第4课 分式及其运算
x －3 －3 时，分式 (2)当x＝________ 的值为0. x－3 解析：当|x|－3＝0，|x|＝3，x＝±3，
而x－3≠0，x≠3，故x＝－3. (3)若分式 A．1
x－2 的值为0，则x的值为( D ) 2 x －1 B．－1 C．±1 D．2
解析：当x－2＝0，x＝2时，x2－1≠0，故选D.
3．分式的运算法则：
(1)符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中 任何两个，分式的值不变． 用式子表示为：a ＝－ a ＝ －a ＝－ －a ， b －b －b b － a ＝ a ＝ －a . b －b b (2)分式的加减法： a b a± b ± ＝ 同分母加减法： c c ； c b d bc± ad ± ＝ 异分母加减法： a c ac .
x－2 的值为0. x＋2 解析：当x－2＝0，x＝2时，分母x＋2＝4，分式的值是0.
2 时，分式 (2)(2011· 泉州)当x＝_______
知能迁移1
x 有意义的x的取值范围是________． x≠2 2x－4 解析：当2x－4≠0，x≠2时，分式有意义，
(1)使分式
故x的取值范围是x≠2.
A．x＝－2 C．x＝1
2x－5 3 ＝ 的解是( C ) 2－x x－2 B．x＝2
D．x＝1或x＝2
1－5＝ －3＝3， 解析：当x＝1时，方程左边＝ 2× 1－2 －1 右边＝ 3 ＝3，∴x＝1是原方程的解. 2－1
题型分类 深度剖析
题型一 分式的概念，求字母的取值范围 1 【例1】 (1)当x＝_______ 时，分式 2 无意义； x－1 解析：当x－1＝0，x＝1时，分式无意义．
这种变形叫做分式的通分，通分的根据是分式的基本性
北师版八年级下册第五章分式和分式方程复习课件(28张PPT)
【 例5】2019年中国设计了第一条采用我国自主研发的 北斗卫星导航系统的智能化高速铁路﹣﹣京张高铁， 作为2022年北京冬奥会重要交通保障设施。已知北京 至张家口铁路全长约180千米．按照设计，京张高铁 列车的平均行驶速度是普通快车的1.5倍，用时比普通 快车用时少了20分钟，求高铁列车的平均行驶速度．
1
2 2x x 1
)
x2 x
x
1
x的值从﹣2＜x＜3的整数值中选取。
解：(x
1
2
x
2x
1
)
x2 x
x
1
(x 1)(x 1) 2 2x x 2 x
x 1
x 1 x 1
x2
1 2 2x x 1
x 1 x2 x
x 2 2x 1 x 1 x 1 x2 x
a b ab . cc c (2)异分母分式的加减法则：先通分，化为同分母的分 式，然后按照同分母分式的加减法法则进行计算。
a c ad bc ad bc . b d bd bd bd
3.分式的混合运算：
先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号 的先算括号里面的.
计算结果要化为最简分式或整式．
解：(x
1
2
x
2x
1
)
x2 x
x
1
(x
1)(x x 1
1)
2 2x
x
1
x2 x
x
1
x2
1 2 2x x 1
x x2
1
x
x 2 2x 1 x 1 x 1 x2 x
满足﹣2＜x＜3的整数有 ﹣1，0，1，2， ∵分母x≠0，x+1≠0，x﹣1≠0
数学八下分式
数学八下分式
八年级下册数学课程中有关分式的主题主要包括分式的运算、分式的化简、分式方程等内容。
以下是八年级下册数学中关于分式的一些常见知识点：
1. 分式的乘法和除法：学习如何进行分式的乘法和除法运算，包括分子乘法、分母乘法、分子除法和分母除法等。
2. 分式的加法和减法：掌握分式的加法和减法运算规则，包括通分、合并同类项等操作。
3. 分式的化简：学习如何化简分式，包括约分、提取公因式、分子分母同乘同除等方法，使分式的表达更简洁。
4. 分式方程：解决涉及分式的方程，包括一元一次分式方程和一元二次分式方程等，掌握解题的方法和技巧。
5. 分式的应用：了解分式在实际问题中的应用，如物品分配、比例关系、时间速度等问题，通过分式运算解决实际生活中的计算问题。
八年级下册数学中的分式知识是数学学习中的重要内容，需要通过练习和实践来加深理解和掌握。
建议学生多做练习题，加强对分式运算规则的理解和掌握，提高解决问题的能力和技巧。
北师大版八年级数学下册第五章 分式与分式方程4 第1课时 分式方程的概念及列分式方程
x x 20
1400 1400 9 1400 2.8 1400
x 2.8x
y
y9
4800 5000 x x 20
思考 由上面的问题，我们得到了三个方程，它们有 什么共同特点？
分母中都含有未知数.
知识要点
分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
分式方程的特征 （1）是等式； （2）方程中含有分式； （3）分母中含有未知数.
归纳总结
列分式方程的步骤： （1）审清题意，适当设出未知数； （2）根据题意找等量关系，列出分式方程.
概念
分母中含有未知数的方程叫做分式 方程
分式 方程
列方程 步骤
1. 审清题意，适当设出未知数； 2. 根据题意找等量关系，列出分式 方程
1. 下列属于分式方程的是（ A ）
A. 1 3 x2 x
___x ___x__3__.
3. 某市为处理污水，需要铺设一条长为 5000 m 的管 道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际
施工时每天比原计划多铺设 20 m，结果提前 15 天 完成任务．设原计划每天铺设管道 x m，则可得方 程 5000 5000 15
____x____x___2_0______.
y9
1400 1400
关系式 高铁列车平均速度 = 2.8×特快列车平均速度
做一做 为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某校 团总支号召同学们自愿捐款.已知第一次捐款总额为 4800元，第二次捐款总额为 5000 元，第二次捐款人数 比第一次多 20 人，而且两次人均捐款额恰好相等. 如果 设第一次捐款人数为 x 人， 那么 x 应满足怎样的方程？
典例精析
例1 下列式子中，哪些是分式方程？哪些整式方程？
分式及其运算
分式及其运算
一、分式的概念
分式是用一个数除以另一个非零数所得的商。
分式由分子和分母两部分组成,用斜线"/"或水平线"—"隔开,如3/5或3—5。
其中,分子是被除数,分母是除数。
二、分式的基本运算
1. 分式的加减法
- 同分母分式的加减法:只需将分子相加或相减,分母保持不变。
- 异分母分式的加减法:先通分,使分母相同,再将分子相加或相减。
2. 分式的乘法
- 分式相乘时,分子相乘,分母相乘。
3. 分式的除法
- 分式除法可以通过乘以另一个分式的倒数来实现。
4. 分式的化简
- 分子和分母都除以它们的最大公因数,可以化简分式。
三、分式的应用
分式在日常生活和学习中有广泛的应用,例如:
1. 计算比例和百分比
2. 表示概率
3. 解决实际问题(如分配任务、计算利息等)
通过掌握分式的运算规则和应用技巧,我们可以更好地理解和处理涉及分数的各种情况。
分式的基本性质及其运算(北师版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：当_____________时，分式无意义？问题2：分式无意义与分式值为0有什么不同？问题3：分式的基本性质是什么？问题4：分式的乘除运算法则和加减运算法则分别是什么？问题5：在进行分式的运算前，要先把分式的分子和分母__________.分式的乘除要_______，加减要_________，最后的结果要化成_________.分式的基本性质及其运算（北师版）一、单选题(共18道，每道5分)1.要使分式有意义，则x的取值范围是( )A.x≠-1B.x≠3C.x≠-1且x≠3D.x≠-1或x≠3答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：分式有意义的条件2.若分式的值为0，则x的值是( )A.1B.0C.-1D.±1答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：分式的值为零3.当a=-1时，分式( )A.没有意义B.等于零C.等于1D.等于-1答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：分式的值为零4.不改变分式的值，如果把其分子和分母中的各项系数都化为整数，那么所得的正确结果为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：分式的基本性质5.若分式（a，b均为正数）中每个字母的值都扩大为原来的3倍，则分式的值( )A.扩大为原来3倍B.缩小为原来的C.不变D.缩小为原来的答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：分式的基本性质6.将分式约分，其结果为( )A. B.C. D.解题思路：试题难度：三颗星知识点：分式的基本性质7.若使分式的值为0，则x=( )A.9B.±3C.-3D.3答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：分式的值为零8.下列选项错误的是( )A. B.C. D.答案：D试题难度：三颗星知识点：分式基本性质9.化简的结果为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：分式的乘除运算10.化简的结果为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：分式的乘除运算11.化简的结果为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：分式的乘除运算12.的最简公分母是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：最简公分母13.化简的结果为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：分式的加减运算14.( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：分式的加减运算15.( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：分式的混合运算16.( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：分式的混合运算17.已知，分式的分子分母都加上1，所得分式的值相比( )A.增大B.减小C.不变D.无法确定答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：分式的加减运算18.先化简，然后从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入，所求结果为( )A. B.C. D.以上都对答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：分式化简求值学生做题后建议通过以下问题总结反思问题1：分式的化简应遵循的运算顺序是什么？问题2：（第18题）先化简，然后从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入，所求结果为( )这道题中如何从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入？问题3：当_____________时，分式无意义？问题4：分式无意义与分式值为0有什么不同？问题5：分式的基本性质是什么？问题6：分式的乘除运算法则和加减运算法则分别是什么？问题7：在进行分式的运算前，要先把分式的分子和分母__________.分式的乘除要_______，加减要_________，最后的结果要化成_________.。
初中数学分式 教案
初中数学分式教案一、教学目标：1. 让学生理解分式的概念，掌握分式的基本性质和运算法则。
2. 培养学生运用分式解决实际问题的能力。
3. 提高学生的逻辑思维能力和团队合作能力。
二、教学内容：1. 分式的概念：分式是形如 a/b 的表达式，其中 a 和 b 是整式，b 不为零。
2. 分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变。
3. 分式的运算法则：（1）分式的加减法：分母相同，分子相加（减）；分母不同，通分后相加（减）。
（2）分式的乘除法：分子乘（除）以分子，分母乘（除）以分母。
4. 分式在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：1. 重点：分式的概念，基本性质和运算法则。
2. 难点：分式的运算法则的应用，分式在实际问题中的解决。
四、教学过程：1. 导入：通过展示实际问题，引导学生思考如何用数学方法解决这些问题。
2. 新课讲解：（1）介绍分式的概念，通过示例让学生理解分式的含义。
（2）讲解分式的基本性质，让学生通过实际操作验证这些性质。
（3）讲解分式的运算法则，引导学生通过例子理解和掌握这些法则。
3. 课堂练习：布置一些简单的分式题目，让学生独立完成，巩固所学知识。
4. 应用拓展：展示一些实际问题，引导学生运用分式解决这些问题。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点和难点。
五、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度，理解程度和表现。
2. 作业完成情况：检查学生作业的完成质量，对学生的学习效果进行评估。
3. 实际问题解决能力：通过课后实践，观察学生运用分式解决实际问题的能力。
六、教学反思：在教学过程中，要注意引导学生理解和掌握分式的基本性质和运算法则，通过实际例子让学生学会如何运用分式解决实际问题。
同时，要关注学生的学习进度，及时解答学生的疑问，提高学生的学习效果。
分式及其运算
A. a ＝ ac (c≠0) b bc 0.5a＋b 5a＋10b C. ＝ 0.2a－0.3b 2a－3b
解析：x－y ＝－ y－x . x＋y y＋x
－a－b B. ＝－1 a＋b x－y y－x D. ＝ x＋y y＋x
题型三
分式的四则混合运算 1 a 2 【例3】 先化简代数式( ＋ )÷ 2 ，然后选取一个 a －4 a＋2 a－2 合适的a值，代入求值． 解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！ 解：原式＝( a ＋ 2 )·(a＋2)(a－2) a＋2 a－2 ＝a(a－2)＋2(a＋2)＝a2－2a＋2a＋4 ＝a2＋4 取a＝1，得原式＝12＋4＝5 [2分]
得x2－1－x2＋4x－4＝2x＋a， 2x＝a＋5， a＋5 ∴x＝ . 2 a＋5 由 <0，得a<－5. 2 a＋5 a＋5 又由 ≠2，得a≠－1； ≠－1，得a≠－7， 2 2 故当a<－5且a≠－7时，原方程的解是负数．
3．分式的运算法则：
(1)符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中 任何两个，分式的值不变． 用式子表示为：a ＝－ a ＝ －a ＝－ －a ， b －b －b b － a ＝ a ＝ －a . b －b b (2)分式的加减法： a b a± b ± ＝ 同分母加减法： c c ； c b d bc± ad ± ＝ 异分母加减法： a c ac .
解析：根据分式的定义，分母中必含字母的代数式叫分式．
当x=
1 时,分式 x 3 与无意义．
2．(2011· 南充)当分式 x－1的值为0时，x的值是( B ) x＋2 A．0 B．1 C．－1 D．－2 解析：当x＝1时，分子x－1＝0，而分母x＋2＝3≠0， 所以分式的值为0. 3．(2011· 金华)计算 1 － a 的结果为( C ) a－1 a－1 1＋a a A. B．－ a－1 a－1 C．－1 D．2 解析： 1 － a ＝ 1－a ＝ －a－1 ＝－1. a－1 a－1 a－1 a－1
分式的运算技巧
分式概念形如?（A、B是整式，B中含有字母）的式子叫做分式。
其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。
且当分式的分子的次数低于分母的次数时，我们把这个分式叫做真分式；当分式的分子的次数高于分母的次数时，我们把这个分式叫做假分式。
注意：判断一个式子是否是分式，不要看式子是否是的形式，关键要满足：分式的分母中必须含有字母，分子分母均为整式。
无需考虑该分式是否有意义，即分母是否为零。
由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性。
方法：数看结果，式看形。
分式条件:1.分式有意义条件：分母不为0。
2.分式值为0条件：分子为0且分母不为0。
3.分式值为正(负)数条件：分子分母同号得正，异号得负。
4.分式值为1的条件：分子=分母≠0。
5.分式值为-1的条件：分子分母互为相反数，且都不为0。
代数式分类整式和分式统称为有理式。
带有根号且根号下含有字母的式子叫做无理式。
无理式和有理式统称代数式。
分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。
用式子表示为：?（A,B,C为整式，且B、C≠0）运算法则约分根据分式基本性质，可以把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。
约分的关键是确定分式中分子与分母的公因式。
约分步骤：1.如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去。
2.分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。
公因式的提取方法：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式。
最简分式：一个分式不能约分时，这个分式称为最简分式。
约分时，一般将一个分式化为最简分式。
通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分。
分式的乘法法则：（1）两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。
（2）两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。
七年级数学下册分式的基本性质及其运算
Ⅳ、保证凡出现的字母（或含有字母的式子)为底的幂的因式都要取。
注意：分式的分母为多项式时,一般应先因式分解。
知识点六分式的四则运算与分式的乘方
①分式的乘除法法则:
分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母。式子表示为：
分式除以分式:把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘。式子表示为
４.若 则 。
5．已知 ，则 的值是（)A． B. C.1D.
【练习】１.已知 ,则分.已知a2-６a+９与│b-1│互为相反数,则式子( )÷（a+b)的值为__＿_.
5.已知实数a，b满足ａb-a-2b＋２＝0,那么 的值等于( ）.
十．化简、求值
②分式的乘方:把分子、分母分别乘方。式子
③分式的加减法则：
同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为
异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式,然后再加减。式子表示为
整式与分式加减法:可以把整式当作一个整数,整式前面是负号，要加括号,看作是分母为1的分式,再通分。
④分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序
知识点二:与分式有关的条件
分式有意义：分母不为０( ）
分式无意义:分母为0（ )
分式值为0：分子为0且分母不为0（ )
④分式值为正或大于0：分子分母同号( 或 )
分式值为负或小于0：分子分母异号（ 或 ）
分式值为1:分子分母值相等(A=B）
分式值为-１:分子分母值互为相反数（A+Ｂ＝0）
知识点三：分式的基本性质
二．分式的值
【例题】
1.当ａ时，分式 有意义；２.当_____时,分式 无意义;
分式运算
知识梳理：1.基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:；2.零指数.3.负整数指数4.约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．5.通分根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．通分注意事项(1)通分的关键是确定最简公分母，最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有相同因式的最高次幂的积；(2)不要把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉．6.分式的加减法法则(1)同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；(2)异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算．7.分式的乘除法法则两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘．8.分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的．例题：【例 1】 通分：a 25-,2432127,92ba cb a -.【例 2】 计算：（1）xyyx xy y x 3339+-+; （2）yx xy 2232121-; （3）a b abb b a a ----222; （4）2122442--++-x x x .【例 3】 下面是三位同学做的异分母的加减法，他们的解答正确吗？甲：计算：y x x -+22x xy y -.y x x -+22x xy y -=yx x -－)(2y x x y -=)(22y x x y x --.乙：计算：122-x x －x －1.122-x x －x －1=122-x x －11+x =1122---x x x . 丙：计算：132--x x －x +12.132--x x －x +12=)1)(1(3-+-x x x －)1)(1()1(2-+-x x x =x －3－2（x －1）=－x －1.【例 4】 化简：yx yx -+11.【例 5】 请你阅读下列运算过程，再回答所提出的问题：132--x x －x-13=)1)(1(3-+-x x x －13-x （A ） =)1)(1(3-+-x x x －)1)(1()1(3-++x x x （B ） =x －3－3（x +1）（C ） =－2x －6.（D ）（1）上述计算过程中，从哪一步开始出现错误？ .（2）从（B ）到（C ）是否正确？______.若不正确，错误的原因是 . （3）请你正确解答.【例 6】 若x +x 1=3,则x 2+21x =______.【例 7】 计算： （1）2243nm -÷6mn 4; （2）2222b ab b ab a -++÷2222b ab a b ab +-+.【例 8】 计算： （1）yx y xy x -+-24422÷（4x 2－y 2）;（2）222x ax a ax +-÷22x a ab -÷22x a bx-;（3）mn m nm -+2÷（m+n ）·（m 2－n 2）.【例 9】 化简求值：b a b -·32232b b a ab a -+÷222b ab b a +-,其中a=32,b=－3..【例 10】 小赵、小钱用电脑打字，小赵每分钟打m 个字，小钱每分钟打n 个字，则两人打1000字的时间比是 .【例 11】 在解题目：“当1949x =时，求代数式2224421142x x x x x x x-+-÷-+-+的值”时，聪聪认为x 只要任取一个使原式有意义的值代入都有相同结果．你认为他说的有理吗？请说明理由．【例 12】 给定下面一列分式：3579234,,,,x x x x y y y y-- ，（其中0x ≠）（1）把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律？ （2）根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第7个分式。
北师大版初二数学下册第五章 分式与分式方程 回顾与思考
北师大版八年级（下）数学第五章回顾与思考（一）教学设计西安高新第一学校车大鹏一、教材分析本节是第五章《分式与分式方程》的最后一节，占两个课时，这是第一课时，它主要让学生回顾在学习分式的基本概念与分式的运算时用到的几种法则，熟练掌握分式的运算法则，通过螺旋式上升的认识，让学生逐步熟悉运用分式运算的基本技能，培养学生的代数表达能力，通过本节课的教学使学生对分式的运算能有更深的认识．二、教学目标●知识与技能（1）学生进一步熟悉分式的意义及分式的运算；（2）提高学生分式的基本运算技能．●过程与方法（1）通过制作思维导图，将头脑中零散的知识点用思维导图有机地组合起来，形成知识网络。
（2）通过典例分析，学生在应用这些知识时，能顺藤摸瓜地找到对应的及相关的知识点，同时能把这些知识加以灵活运用。
●情感、态度与价值观（1）提高学生的运算能力，发展学生的合情推理能力；（2）注重学生对分式的理解，提高学生分析问题的能力．三、教学重点、难点教学重点：进一步熟悉分式的意义及分式的运算；教学难点：提高学生分式的基本运算技能．四、教学方法●学生学习现状分析学生的技能基础：学生已经学习了分式及分式的运算等有关概念，对分式及其运算有了初步的认识，但对技巧性较高的运算题还不熟悉．学生活动经验基础：在本章内容的学习过程中，学生已经经历了观察、对比、类比、讨论等活动方法，获得了解决实际问题所必须的一些数学活动经验基础，同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力．●教法分析在本章的学习中，学生已经掌握了分式的概念与分式加减乘除法的运算，本课时安排让学生对本章内容进行回顾与思考，旨在把学生头脑中零散的知识点用一条线有机地组合起来，从而形成一个知识网络，使学生对这些知识点不再是孤立地看待，而是在应用这些知识时，能顺藤摸瓜地找到对应的及相关的知识点，同时能把这些知识加以灵活运用。
因此采用“回顾、反思、应用”有机结合的教学法。
北师大版八年级数学下册第五章分式与分式方程课件
X=-3
(4) X2 -1 X2 +2x+1 X=1
6.当x为何值时,分式 2x (x-2) 5x (x+2)
(1) 有意义
(2) 值为 0
X≠0且x≠-2
X=2
7.要使分式 -2 的值为正数,则x的取值范围是 X>1 1-x
8.当x <-2 时,分式 X2+1 的值是负数. X+2
9.当x ≥7
依题意得：
180
240
=
x
x5
请完成下面的过程
甲：15 乙：20
1
x2
的值.
变:已知 x+ 1 =3 ,求
x
x2 x4+x2+1
的值.
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子， 把分母相乘的积作为积的分母。
用符号语言表达：
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置
后再与被除式相乘。
用符号语言表达：
(1)
4 3
x y
y 2x
3
ab3 5a2b2 (பைடு நூலகம்) 2c2 4cd
4
2
2
x
1
解：原方程可化为 1 4x 2 1
NNoox 2 (x 2)(x 2) x 2
两边都乘以 (x 2)(x 2) ，并整理得；
IImmaaggee x2 3x2 0 解得 x1 1, x2 2
检验：x=1是原方程的根，x=2是增根
∴原方程的根是x=1
例2
已知
x3 (x 2)2
1.约分： 把分子、分母的最大公因式(数)约去。 2.通分:
把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式。
分式的概念及其运算导学案
分式及其运算（导学案）知识过关1. 分式的概念：一般地，如果A ，B 表示两个整式，B 中含有字母且B 不等于0，那么式子A B叫做分式．2. 分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个____________________，分式的值不变．3. 分式的符号：y y y x x x--==-（符号调整时_________________ ____________________）． 4. 把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的________________．对分式进行约分化简时，通常要使结果成为___________（即分子和分母已没有公因式）或者__________．5. 分式的乘除运算乘法法则：分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．6. 分式的加减运算同分母的分式相加减，分母__________，把________相加减；异分母的分式相加减，先_______，化成_________________，然后再加减．➢ 精讲精练1. 下列各式是分式的有_________________．（填写序号） ①1π；②2x x ；③(3)(1)x x +÷-；④210xy -；⑤242x x --； ⑥109x y+．2. 当x 取何值时，下列分式有意义？（1）ax x ； （2）239x x +-；（3（4．3. 若分式212x x x ---的值为0，则x =__________．4. 已知当2x =-时，分式x b x a--无意义，当4x =时，该分式的值为0，则a b +=___________． 5. 下列变形正确的是（ ）A ．1xy y x y +=+B ．a y a b y b +=+C ．21x y x xy y ++=D ．2a b ab b a ab++= 6. 下列变形正确的是（ ）A ．c c a b a b =--++ B ．c c a b b a=--+- C ．c c a b a b -=-++ D ．c c a b a b=--+- 7. 下列变形正确的是________________．（填写序号） ①x y x y x x -+-=；②x y x y x x -++=-；③x y x y y x x y -++=--； ④y x x y x y x y--=-++． 8. 把下列分式化为最简分式． （1）232812a b ab c --；（2）2224+4x x x x --；（3）22233x x x x---； （4）2324x x x x +-；（5）22a b a b ---； （6）232424xy y y x y--．9. 分式的乘除运算：（1）3523220163a b a b xy ⎛⎫÷- ⎪⎝⎭； （2）4222a b a a b a b ab a --⋅+-；（3）2222242442x y y x x y xy x xy-+÷+++；（4）2226124144691x x x x x x x --÷⋅-++++．10. 下列说法错误的是（ ）A ．2314a b 与2316a b c的最简公分母是2312a b c B ．1m n +与1m n-的最简公分母是22m n - C ．213x x -与229x -的最简公分母是(3)(3)x x x -+ D ．1x y -与1y x -的最简公分母是()()x y y x -- 11. 分式的加减运算：（1）22+a b a b a b-+；（2）2933a a a +--；（3）a b a b a b ++-； （4）2222x x x x -+-+-；（5）21211m m ---； （6）22433x x x x x---+-；（7）2111m --； （8）2b a b a b++-．【参考答案】➢ 知识过关2. 不等于零的整式3. 把分子或分母当作一个整体4. 约分，最简分式，整式6. 不变，分子；通分，同分母分式➢ 精讲精练1. ②③④⑤⑥2. （1）0x ≠；（2）3x ≠±；（3）3x >；（4）12x x ≠≥且3.1 4.2 5.A 6.D 7. ④8. （1）23ab c ；（2）2x x -；（3）1x x +；（4）12x - （5）a b -+；（6）22x y-+ 9. （1）22125xy ab -；（2）2ab a -；（3）(2)2x x y x y-+ （4）22(3)2(1)(2)x x x +-+- 10. D11. （1）a b -；（2）3a +；（3）2222a b a b +-；（4）284x x -- （5）231m m +-；（6）1x x -；（7）221m m -；（8）2a ab - 分式及其运算（随堂测试）分式的学习类比分数的学习，包括定义概念、原理法则、运算等内容．1. 分式的概念（1）定义：我们把分母中含有_______的代数式叫做分式．下列各式： ①1x ；②1π；③x y -；④1x y +；⑤2x -；⑥23x ；⑦2x x ． 其中属于分式的是_______________________．（填写序号）（2）辨析：①分式有意义：分母___________．②分式值为0：分子__________且分母_________．请解决下列问题： 若分式211x x -+的值为0，则x 的值为___________； 若分式211x x -+无意义，则x 的值为____________．2. 分式的运算（1）原理：分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值_________．（2）操作：在进行分式的运算前，要先把分式的分子和分母分解因式．分式的乘除要__________，加减要___________，最后的结果要化成最简分式．请根据上述内容计算下列各式：÷1x --．【参考答案】1. （1）字母，①④⑤⑦（2）①不等于0；②等于0，不等于0；1；-12. （1）不变；（2）约分，通分（1）x y -；（2）11x - 分式及其运算（习题）➢ 例题示范例1有意义，则x 的取值范围是__________． 【思路分析】 由题意得，2010x x +⎧⎨-⎩≥≠ 解得，2x -≥且x ≠1例2：分式的运算：26+282a a a a a -+--． 【过程书写】 226(4)(2)(4)(2)(4)46(2)(4)2(2)(4)(2)(2)(4)4a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +=-+-+-++-=-+-=-+-=-+=+解：原式➢ 巩固练习1. 下列各式：①115x -；②43x π-；③222x y -；④1x x +；⑤25x x ． 其中属于分式的是_________________．（填写序号）2. 下列运算正确的是（ ）A ．11b b a a+-+-= B ．2x y x y x +=+ C ．x y y x x y y x--=++ D ．1x y x y --=-+ 3. 下列各分式中，属于最简分式的是（ ） A ．34()85()x y x y -+ B ．22y x x y -+ C ．2222x y x y xy ++ D ．222()x y x y -+4. 下列结论：①无论x 取何值，分式221x x +都有意义； ②当1x =-时，分式2123x x x +--的值为0； ③若使1121x x x x ++÷--有意义，则x 的取值范围是x ≠2且x ≠1；④12x +π-是分式． 其中正确的是_____________．（填写序号）5. 若代数式1x -有意义，则x 的取值范围是______________． 【思路分析】（请参照例1填写）由题意得，__________________________⎧⎨⎩解得，_______________6. 若分式211x x --的值为0，则x =___________． 【思路分析】（请参照例1填写）由题意得，__________________________⎧⎨⎩解得，____________7. 计算：（1）yx x x y xy x 22+⋅+； （2）2124232a a a a a --⋅--+； （3）222692693x x x x x x -+-÷-+； （4）22164228242m m m m m m m ---÷⋅+-++；（5）222299369x x x x x x x +-++++； （6）a b b c c a ab bc ac+--++；（7）2221+211a a a a a a -+-+-； （8）21229a a ---3；（9）211x x x ---； （10）22111x x x --+-．【参考答案】 ➢ 巩固练习1. ①④⑤2. D3. C4. ①5. x ≥0且x ≠1思路分析：010x x ⎧⎨-≠⎩≥；x ≥0且x ≠1 6. -1思路分析：； 7. （1）21y （2）（3） （4）-2（5）2（6） （7）21010x x ⎧-=⎨-≠⎩1x =-22a -2x -2a1-（8）（9）（10）11 x--23 a-+ 11 x-。
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考点三 分式的运算 1．分式的加减法 a b a± b 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，即 ± ＝ .异分母的分式相加减，先 c c c a c ad± bc 通分，变为同分母的分式，然后相加减，即 ± ＝ . b d bd 2．分式的乘除法 a c ac 分式乘以分式， 用分子的积做积的分子， 分母的积做积的分母， ·＝ .分式除以分式， 即 b d bd a c a d ad 把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 ÷ ＝ ·＝ . b d b c bc 3．分式的乘方 n k nk 分式的乘方是把分子、分母各自乘方，即( ) ＝ k (k 是正整数)． m m 4．分式的混合运算 在分式的混合运算中，应先算乘方，再算乘除，进行约分化简后，最后进行加减运算， 遇到有括号的，先算括号里面的．运算结果必须是最简分式或整式．
mm＋n nm－n － ＋ m－nm＋n m－nm＋n m2＋2mn＋n2 m＋n 2 m＋n 2mn ＝ ＝ ＝ . m－nm＋n m－nm＋n m－nm＋n m－n a－1 a2 a (2)原式＝ × ＝ . a a＋1 a＋1a－1 －3 3 当 a＝－3 时，原式＝ ＝ . －3＋1 2 【解答】(1)原式＝
考点训练 5
分式及其运算
分式及其运算
训练时间：60分钟 分值：1 训练时间：60分钟 分值：100分
一、选择题(每小题 3 分，共 45 分)
2 1．(2010· 株洲)若分式 有意义，则 x 的取值范围是( ) x－5 A．x≠5 B．x≠－5 C．x>5 D．x>－5
【解析】分式若有意义，则分母不为 0，故 x－5≠0，得 x≠5. 【答案】A
【答案】A
b c a 15．(2011 中考预测题)分式 ， ， 3的最简公分母是( ax －3bx 5x A．5abx B．15abx5 C．15abx D．15abx3
)
【解析】分母 ax、－3bx、5x3 的最简公分母是 15abx3. 【答案】D
二、填空题(每小题 3 分，共 15 分)
x＋1 16．(2010· 哈尔滨)当 x＝______时，分式 没有意义． x＋2
x－3 的自变量 x 的取值范围是( x＋1 A．x≥3 B．x≥3 且 x≠－1 C．x≠－1 D．x>3 2．(2010· 黄冈)函数 y＝ )
x－3≥0 【解析】 ，解得 x≥3. x＋1≠0
【答案】A
a2－b2 3．(2009 中考变式题)化简 2 的结果为( a ＋ab a－b a＋b b A. B. C. D．－b a a a
a＋2 有意义，a 的取值范围是( a B．a>－2 且 a≠0 D．a≥－2 且 a≠0
)
b b (2)(2009· 台州)化简(－ )÷ 2 的结果是( a a －a A．－a－1 B．－a＋1 C．－ab＋1 D．－ab＋b
)
(3)(2010· 黄冈)化简( 2 x－1 x－4 2 C. D. x－3 x－1 A．2 B.
【答案】A
11．(2009 中考变式题)学完分式运算后，老师出了一道题“化简
x＋3 2－x ＋ ”，小明的 x＋2 x2－4
x＋3x－2 x－2 x2＋x－6－x－2 x2－8 做法是：原式＝ － 2 ＝ ＝ 2 ；小亮的做法是：原式＝(x＋ x2－4 x －4 x2－4 x －4 x＋3 x－2 x＋3 3)(x－2)＋(2－x)＝x2＋x－6＋2－x＝x2－4； 小芳的做法是： 原式＝ － ＝ x＋2 x＋2x－2 x＋2 x＋3－1 1 － ＝ ＝1，其中正确的是( ) x＋2 x＋2 A．小明 B．小亮 C．小芳 D．没有正确的
【解析】x＋2＝0，则 x＝－2. 【答案】－2
1 a 1 17．(2010· 天津)若 a＝ ，则 ＋ 的值为________． 2 a＋1 2 a＋1 2
a＋1 1 【解析】原式＝ 2＝ a＋1 a＋1
【答案】
2 3
1 1 当 a＝ 时，原式＝ ＝ 2 1 ＋1 2
1 3 2
2 ＝ . 3
第 5 讲 分式及其运算
考点知识精讲
中考典型精析
举一反三
考点训练
考点一 分 式 A 形如 (A、B 是整式，且 B 中含有字母，B≠0)的式子叫做分式． B (1)分式有无意义：B＝0 时，分式无意义；B≠0 时，分式有意义． (2)分式值为 0：A＝0 且 B≠0 时，分式的值为 0.
考点二 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变． a· a a÷ m m a ① ＝ ， ＝ (m≠0)； b· b b÷ m m b －b b b ＝ ＝－ . a －a a ②通分的关键是确定 n 个分式的最简公分母确定最简公分母的一般步骤是：当分母是多 项式时，先因式分解，再取系数的最小公倍数，所有不同字母(因式)的最高次幂的积为最简 公分母． ③约分的关键是确定分式的分子与分母中的最大公因式． 确定最大公因式的一般步骤是： 当分子、分母是多项式时，先因式分解，取系数的最大公约数，相同字母(因式)的最低次幂 的积为最大公因式．
)
a－1 a2 【解析】原式＝ · ＝a. a a－1
【答案】B
7．(2011 中考预测题)下列各式是最简分式的是( x2－4y2 x2＋y2 －2ab x2＋x A. B. C. D. 2 9a3 x＋y x －1 x＋2y 2
)Leabharlann 【解析】最简分式指的是分子、分母没有公因式的式子． 【答案】B
【解答】(1)D (2)B (3)B
计算： m n 2mn － ＋ 2 ； m－n m＋n m －n2 (2)(2010· 咸宁)先化简，再求值： 1 a (1＋ 2 )÷ ，其中 a＝－3. a －1 a－1 (1)(2010· 陕西)
【点拨】分式混合运算的顺序是先乘方、后乘除，最后加减，有括号先算括号内的．
2xy 中的 x 和 y 都扩大 3 倍，那么分式的值( x＋y A．扩大 3 倍 B．缩小 3 倍 C．扩大 9 倍 D．不变 5．如果把分式
A )
b2 a 6．化简(a－ ) 的结果是( a a－b A．a－b B．a＋b
B ) C. 1 a－b D. 1 a＋b
a2－4a＋4 1 7．先化简，再求值：(1－ )÷ 2 ，其中 a＝－1. a－1 a －a a 1 解：原式＝ 当 a＝－1，原式＝ 3 a－2
1 18．(2010· 昆明)化简：(1－ )÷ a＝________. a＋1
a＋1－1 1 a 1 1 【解析】原式＝ ·＝ ·＝ . a＋1 a a＋1 a a＋1
【答案】 1 a＋1
b a 19．(2010· 黄冈)已知 ab＝－1，a＋b＝2，则式子 ＋ ＝________. a b
a2＋b2 a＋b2－2ab 【解析】原式＝ ＝ ab ab 4＋2 ＝－6. －1 22－2×－1 当 ab＝－1，a＋b＝2 时，原式＝ ＝ －1
x＋1 有意义，x 的取值范围是( x A．x≠1 B．x≠0 C．x＞－1 且 x≠0 D．x≥－1 且 x≠0 1．要使式子
2．下列运算中，错误的是( D ) －a－b b bc A. ＝ (c≠0) B. ＝－1 a ac a＋b 0.5a＋b 5a＋10b x－y y－x C. ＝ D. ＝ 0.2a－0.3b 2a－3b x＋y y＋x
x＋3 x－2 x＋3 x＋2 1 【解析】原式＝ － ＝ － ＝ ＝1. x＋2 x＋2x－2 x＋2 x＋2 x＋2
【答案】C
12．(2011 中考预测题)下列等式中，不成立的是( x2－y2 x2－2xy＋y2 A. ＝x－y B. ＝x－y x－y x－y 2 2 xy y y x y －x C. 2 ＝ D. － ＝ x y xy x －xy x－y
a b a－b 8．(2009 中考变式题)计算：b－ a ÷ ＝( a a＋b a－b a－b a＋b A. B. C. D. b b a a )
a2－b2 a a＋ba－b a a＋b 【解析】原式＝ · ＝ · ＝ . ab a－b ab b a－b
【答案】A
a－2ab－b 1 1 9．(2009 中考变式题)已知 － ＝4，则 的值等于( a b 2a－2b＋7ab 2 2 A．6 B．－6 C. D．－ 15 7 1 1 －2－ b a －4－2 －6 【解析】原式＝ ＝ ＝ ＝6. 2 2 －4×2＋7 －1 － ＋7 b a
1 n n 【解析】1 米质量为 m 克，则每克长 米，n 克是 米，则原来这卷电线的总长度是( ＋ m m m 1)米．
【答案】B
a b2 14．(2011 中考预测题)化简 － 的结果是( a－b aa－b a＋b a－b b－a A. B. C. D．a＋b a a a
)
a2－b2 a＋ba－b a＋b 【解析】原式＝ ＝ ＝ . a aa－b aa－b
x＋yx－y 【解析】A 项中，原式＝ ＝x＋y. x－y
)
【答案】A
13．(2009 中考变式题)如果从一卷粗细均匀的电线上截取 1 米长的电线，称得它的质量 为 m 克，再称得剩余电线的质量为 n 克，那么原来这卷电线的总长度是( ) n＋1 n A. 米 B．( ＋1)米 m m m＋n m C．( ＋1)米 D．( ＋1)米 m n
x＋1 1 － 2 )· (x－3)的结果是( x－3 x －1
)
【点拨】(1)由题意得 a＋2≥0 且 a≠0，即有 a≥－2 且 a≠0. b aa－1 (2)原式＝－ · ＝－(a－1)＝－a＋1. a b x＋1 x－3 1 1 1 2 (3)原式＝[ － ]· (x－3)＝( － )· (x－3)＝1－ ＝ . x－3 x＋1x－1 x－3 x－1 x－1 x－1
)
【答案】B
b2－1 5．(2010· 玉溪)若分式 2 的值为 0，则 b 的值为( b －2b－3 A．1 B．－1 C．±1 D．2