挡土墙受力分析及配筋设计_pdf

将（10）式代入（6）式得应力函数：
φ
=
1 6
k0 x3 (Ay3
+
By2
+
Cy +
D)
+
x(− 1 10
Ay5
−
1 6
By4
−
1 3
C1
y
3
−
D1 y2
+
E1 y
+
F1 )
+
A2
y3
+
B2
y2
…………………………………………………………………… （11）
1.4 由应力函数求应力分量
将（11）式分别代入（2），（3），（4）式可得应力分量为：
x) 2
……………………………（29）由式（28）
和 式 （ 29 ） 联 立 得 ： x = 159mm ， As = 7269mm2 ， 查 配 筋 表 ， 可 选 配
9φ32 ( As = 9 × 804.2 = 7238mm2 ) ，且在挡土墙中呈单排等间距布置。
2.2 承载力验算
上述配筋是由正截面受弯得出的，故正截面抗弯承载力自然满足。截面的抗剪强度验算：
1.1 设应力分量的函数形式 由图示挡土墙受力特点可以看出：在同一个竖平面上的正应力σ y 只与 x 有关，且σ y 与深
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度 x 成正比，因此，我们可以假设σ y 的形式为： σ y = k0 xf ( y) ……………………………………………………（1）
=
0。
最后，将这些系数代入（12），（13），（14）式可得各应力分量分别为：
σx
=
2ρ2 g b3
x3 y
+
3ρ2 g 5b
xy
−
4ρ2 g b3
xy 3
−
ρ1 gx
……………………（22）
σy
=
k0
ρ
2
gx(2
y3 b3
−
3y 2b
−
1) 2
……………………………………（23）
τ xy
=
−k
0
ρ
2
(
3Fra Baidu bibliotek4
Ab2
− Bb + C) + (A b4 32
− 1 Bb3 12
+ C1
b2 4
− D1b − E1)
=
0
……（18）
b
∫2 −b
(6 A2
y
+
2B2
)dy
=
0
2
…………………………………………（19）
∫b 2 −b 2
(1 2
Ay 4
+
2 3
By 3
+
C1 y 2
+
2D1 y
−
E1 )dy
1× 9.6 ×1000x = 210As
…………………………………………（28）
式中， As 为钢筋面积，再由力 T 对受压区中心取矩得：
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M AB
=
f y As (h0
−
x ) ，则： 2
0.588 ×106
×103
=
210 ×
As
× (465 −
由（26）式可知，墙的截面剪力最大出现在 AB 面，大小为： FAB = 1.76 ×105 N ，钢筋的 抗剪强度设计值为： fv = 125N / mm2 ，混凝土的抗剪强度 f r 与抗压强度 fc 一般情况下有以
下关系[3]：
fr = 0.6 fc MPa
……………………………………………（30）
范》规定：当混凝土强度等级不超过 C50 时，取α1 =1，当混凝土强度等级为 C80 时，α1 取 0.94 ， 其间按线形内插法取值，本题中取α1 =1。
T = f y As A
M AB
z
=
h0
−
x 2
c = α1 fcbx x
B
x
图 2 挡土墙截面受力图
由 AB 截面上受力平衡得：
α1 fcbx x = f y As ，则：
将（5）式对 x 积分得：
φ
=
1 6
k
0
x
3
f
(y) +
xf1 ( y) +
f2 (y)
…………………………………（6）
其中， f ( y) ， f1 ( y) ， f 2 ( y) 都是待定的 y 的函数。
1.3 由相容方程求解应力函数
由艾里应力函数满足的相容方程为：
∂ 4φ + 2 ∂ 4φ + ∂ 4φ = 0 ∂x 4 ∂x 2∂y 2 ∂y 4
0
底面 AB 上的弯矩为：
………………………………（26）
∫ M AB
=
5
1×14112xxdx
=
0.588
×106
N
⋅
m
0
…………………………（27）
选 配 HPB235 钢 筋 ， 其 抗 拉 强 度 为 ： f y = 210N / mm2 ， C20 混 凝 土 的 抗 拉 强 度 为 ：
fc
混凝土密度： ρ1 = 2.5 ×103 kg / m3
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挡土墙厚度： b = 0.5m
挡土墙高度： h = 5m
墙的混凝土保护层厚度： c = 25mm
填土密度： ρ 2 = 2.0 ×103 kg / m3 这样，我们可以求出挡土墙的侧压力及对底面 AB 的弯矩。由以上分析得出的应力分量σ y 可得
其中，φ 为平面问题的应力函数，即上面所说的艾里应力函数， f x , f y 分别为 x ， y 方向
的体力。
本题中，x 方向的体力为 f x = ρ1g ， y 方向的体力为 0，即 f y = 0 ，则将（1）式代入（3）
式得：
∂ 2φ = xf ( y) ∂x 2
………………………………………………………（5）
出在 y = 0.5 m 面上的正应力，即： 2
σy
=
0.72 × 2.0 ×103
( 0.5)3 × 9.8 ×[2 × 2
0.53
−
3× 0.5 2
2 × 0.5
−
1]x 2
=
−14112x
则侧压力的合理即底面 AB 上的剪力为：
……（25）
∫ FAB
=
5
1
×
19600
xdx
=
2.45
×
10
5
N
………………………………………（7）
将应力函数φ 代入相容方程得：
2k0 x
d
2 f (y) dy 2
+
1 6
k0 x3
d
4 f (y) dy 4
+
x
d
4 f1( y) dy 4
+
d
4 f2 (y) dy 4
=
0
…………（8）
这是 x 的三次方程，但相容方程要求它有无数的根，可见它的系数和自由项都必须等于 0，
求，由此可以看出，一般情况下，只要挡土墙的抗弯承载力满足要求，抗剪承载力也能满足要
求。
3、结束语
随着挡土墙的研究不断深入，挡土墙的种类也越来越多，每种类型的挡土墙可以应用于特 定的场合，钢筋混凝土挡土墙则因其承载力大，体积小的优点，而得到越来越广泛的应用。传 统的土压力理论只能解决挡土墙的整体和墙背的受力情况，而对于墙体内部的应力状态则不能 反映，用弹性力学的方法则可以将整个墙体各点的应力状态都表示出来，有助于挡土墙的细部 设计，使挡土墙能够更好地应用于各种场合。
b
b
∫ ∫ 面上的正应力，剪应力以及正应力对 x 轴的力矩均为 0，因此有
σ 2
−b
x dy
=
0，
τ2
−b
yx dy
=
0
，
2
2
b
∫ σ 2 −b
x
ydy
=
0。
2
将（12），(13),(14)式分别代入以上各边界条件中得：
k0
(1 8
Ab 3
x
+
1 4
Bb 2
x
+
1 2
Cbx
+
Dx)
=
−k0
ρ2
gx
………………………（15）
−
1 2
k0
x
2
(
3 4
Ab 2
+
Bb
+
C)
+
(A
b4 32
+
1 12
Bb 3
+
C1
b2 4
− D1b − E1 ) = 0
……（16）
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k0
(−
1 8
Ab 3
x
+
1 4
Bb 2
x
−
1 2
Cbx
+
Dx)
=
0
…………………………（17）
−
1 2
k0
x
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挡土墙受力分析及配筋设计
马牛静
中国矿业大学 摘 要：本文介绍了挡土墙的内力计算方法及配筋设计。传统的计算方法是利用朗金土压力、 库仑土压力等理论，而本文则直接用弹性力学的方法来建立具体模型，通过一些合理的假设， 得出挡土墙的应力分量，使挡土墙的受力计算更为准确。此外，利用应力分量，可以求出挡土 墙的最危险截面，进而可以将挡土墙当成梁或板来计算配筋，颇为方便。 关键词：挡土墙 弹性力学 配筋
2
gx
2
(3
y b
2 3
−
3 )− 4b
ρ
2
gy(−
y b
3 3
+ 3y 10b
− b) 80 y
……………（24）
由此不难看出，弹性力学求得的解不仅能反应边界受力，而且在受力体内的每一个特定
的点，都有σ x ，σ y ，τ xy 三个应力分量，比其它分析方法更为准确。
2、挡土墙配筋设计
在填土较高，土质较差的地区设挡土墙，为了保持墙身稳定，常要在挡土墙中配筋，以 下我们以钢筋混凝土挡土墙为例来进行配筋设计。以上，我们已求出了挡土墙的受力，可根据 其受力进行配筋设计，以下将挡土墙当作一悬臂梁或板来处理，并假设挡土墙的填土为粘性土
1、弹性力学分析挡土墙受力
弹性力学是将物体作为弹性体来分析受力而建立方程的，在目前处理的挡土墙受力问题中， 绝大部分力学理论是把挡土墙当作弹性体来分析的。因此，将弹性力学方法用于挡土墙受力分 析是比较合理的。在分析完挡土墙的受力后，再对其进行配筋，便能使问题得到简化和精确。
我们来看一下具体的挡土墙问题：
σx
=
Ax3 y
+
1 Bx3 3
+
x(−2Ay3
− 2By2
− 2C1 y
− 2D1)
+ 6A2 y
+
2B2
−
ρ1gx
……（12）
σ y = k0 ( Axy3 + Bxy 2 + Cxy + Dx) ………………………………（13）
τ xy
=
−[
1 2
k0
x
2
(3Ay2
+ 2By + C) + (− 1 2
=
9.6N
/ mm2 ，且 h0
=
500 − (c +
d) 2
=
500 − (25 +
20 ) 2
=
465mm ，这样，问题的求解转
化为力和力矩的平衡。由于在 AB 截面上，受压区混凝土的压应力并非平均分布，故在实际处
理时，可将其等效为矩形应力，即其上的应力均为α1 fc ，其中α1 为等效换算系数，见图 2。《规
⎫
f ( y) = Ay3 + By 2 + Cy + D
⎪
可设 f 2 ( y) = A2 y 3 + B2 y 2
⎪ ⎬
………（10）
f1 (
y)
=
k0
(− 1 10
Ay 5
−
1 6
By 4
−
1 3
C1
y3
−
D1 y 2
+
E1 y
+
⎪
F1
)⎪ ⎭
在这里，由于 f 2 ( y) 中的一次项和常数项不影响应力分量，故可将其略去。
设挡土墙的密度为 ρ1，厚度为 b ，土的密度为 ρ2 ，见图 1。
0
y
ρ2g
b/2 b/2
ρ1g
x
图1
x
图 1 挡土墙示意图
假设挡土墙墙背光滑，且填土水平（当填土是淤泥质或含水量较高的土时，因其摩擦系数 较小，适用性将更好。）
图 1 所示挡土墙可看作弹性力学的平面应力问题，下面采用半逆解法求解挡土墙受力[1]， 步骤如下：
(查规范得 k0 = 0.72 )。
2.1 根据正截面受力计算配筋[2]
由图 1 可得，在 AB 截面上的 A 点处，挡土墙受到的拉应力最大，可取 AB 截面为控制
面来计算配筋，设挡土墙的混凝土等级为 C20，取挡土墙长 bx = 1m 来研究，为了求出挡土墙
的具体配筋，我们可取挡土墙及填土的参数如下：
=
0
………………………（20）
b
∫2 −b
(6 A2
y
+
2B2
)
ydy
=
0
2
………………………………………（21）
由以上
7
式化简后联立可解得： A =
2ρ2 g b3
，B
= 0，C
=
3ρ2 g 2b
，
D
=
−
1 2
ρ
2
g
，
C1
=
− 3ρ2 g 10
， D1
=
0 ， E1
=
−
ρ 2 gb 80
，
A2
=
0 ， B2
Ay4
−
2 3
By3
− C1 y 2
− 2D1 y +
E1 )]
…（14）
1.5 考虑应力边界条件
本题中， y
=
b 2
平面上，有
σ
y
=
−k0 ρ 2 gx ，由于墙背光滑，故无剪应力，即τ xy
=0。
y
=
−b 2
平面上，有σ y
= 0 ，同样τ xy
=
0。
x = 0 平面上，我们可利用圣维南原理，即将该面上的力和力矩进行等效替换。由于该
则有： fr = 0.6 9.6 = 1.86MPa ，因此，挡土墙所能承受的剪力为：
Fv = As fv + ( A − As ) f r
…………………………………………（31）
即： Fv = 7238 ×125 + (500 ×1000 − 7238) ×1.86 = 1.82 ×106 N >> FAB ,即抗剪强度满足要
其中， k0 为与挡土墙内土质有关的系数，其值可由规范查得。
1.2 推求应力函数的形式
在这里，我们利用艾里应力函数：
σx
=
∂ 2φ ∂y 2
−
fxx
…………………………………………………（2）
σy
=
∂ 2φ ∂x 2
−
fyy
…………………………………………………（3）
τ xy
=
−
∂ 2φ ∂x∂y
………………………………………………………（4）
即
d 4 f (y) = 0 dy 4
，
d 4 f2 (y) = 0 dy 4
，
2k 0
d
2 f (y) dy 2
+
d
4 f1( y) dy 4
=
0
即
-2-
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d 4 f1( y) dy 4
=
−2k0
d 2 f (y) dy 2
………………………………………… （9）