高中物理竞赛讲义-角动量
高中物理竞赛辅导第五讲 动量与角动量
高中物理竞赛辅导第五讲 动量与角动量一、知识点击1．动量定理⑴ 质点动量定理：0t F ma mtυυ-==合，即0t F t m m υυ=-合I P =∆合 即合外力的冲量等于质点动量的增量．⑵质点系动量定理：将质点动量定理推广到有n 个质点组成的质点系，即可得到质点系的动量定理．令I 外和I 内分别表示质点系各质点所受的外力和内力的总冲量，则t P 和0P 表示质点系中各质点总的末动量和初动量之矢量和，则：t I I P P P +=-=∆外内 而0I =内，因质点系内各质点之间的相互作用力是成对出现的，且等值反向0t I P P =-外。
即所有外力对质点系的总冲量等于质点系总动量的增量 2．动量守恒定律⑴内容：系统不受外力或所受外力的合力为零，这个系统的动量就保持不变． ⑵表达式：系统内相互作用前总动量P 等于相互作用后总动量P '：P P '=。
系统总动量的变化量为零：0P ∆=对于两个物体组成的系统可表达为：相互作用的两个物体的动量的变化量大小相等，方向相反12P P ∆=-∆。
或者作用前两物体的总动量等于作用后的总动量：12121212m m m m υυυυ''+=+⑶适用范围：动量守恒定律适用于宏观、微观，高速、低速．⑷定律广义：质点系的内力不能改变它质心的运动状态—质心守恒．质点系在无外力作用或者在外力偶作用下，其质心将保持原来的运动状态。
质点系的质心在外力作用下作某种运动，则内力不能改变质心的这种运动。
质心运动定理：作用在质点系上的合外力等于质点系总质量与质心加速度的乘积，即c F ma =，其质心加速度：iic m aa M=∑。
定理只给出质心运动情况，并不涉及质点间的相对运动及它们绕质心的运动。
3．碰撞问题⑴弹性碰撞：碰撞时无机械能损失．1102201122m m m m υυυυ+=+ ①2222110220112211112222m m m m υυυυ+=+ ② 由①②可得：12102201122m m m m m υυυ-+=+（），21201102122m m m m m υυυ-+=+（）（2）非弹性碰撞：碰撞时有动能损失。
高二物理竞赛角动量、角动量守恒课件
mv
m
A
2
定义：质 点对选取的参考点的角动量等 于其 矢径 r 与其动量 mv之矢量 积。用 L 表示。
L r mv
L
mv
r
注意：1、为表示是 对哪个参考点的角动 量，通常将角动量L 画在参考点上。
3
L
o•
r
mv
m
L r mv
注意：1、为表示是 对哪个参考点的角动 量，通常将角动量L 画在参考点上。
角动量、角动量守恒 ( Angular Momentum. Law
of Conservation of Angular Momentum)
一）角动量
例如天文上行星围绕太阳转。
1
定义：质 点对选取的参考点的角动量等 于其 矢径 r 与其动量 mv之矢量 积。用 L 表示。
L r mv
L
o•
r
M1
M内内2力力矩ddFt 1M(2L11F0.M21L220)4
O
M两 1对式 质M点10 （ 1dd）Lt1：
1
相加： M1 M10 M 2
M对M2质02内M点力Mdd1（t0矩2(0L21）Md：dLLt222)0320
13
i
F
Fi 0,
i
F
Mi 0
i
11
力矩：
M rF
角动量 L r mv r p
角动量也称动量矩 质点系的角动量
L Li ri piii来自12F1Z
对多个质点而言：
（以两个质点为例）
r1
m1 d
r Y
F12
F21
2X
m2
F2如外分图力别设矩受有外质M力点1.MmF211。mF22
高中物理奥林匹克竞赛专题--刚体角动量 角动量守恒定律以及进动(29张ppt)
例2 A、B两圆盘绕各自的中心轴转动，角速度分别为
：A=50rad.s-1, B=200rad.s-1。已知A 圆盘半径
RA=0.2m, 质量mA=2kg, B 圆盘的半径RB=0.1m,
质量mB=4kg. 试求两圆盘对心衔接后的角速度 .
解：以两圆盘为系统，尽管在衔接过 程中有重力、轴对圆盘支持力及轴向
u=50m/s远大于飞船的速率v(= r) ，所以此 角动量近似地等于dm ru。在整个喷气过程
中喷出废气的总的角动量Lg应为
Lg＝ 0 mdm rumru
定轴转动刚体的角动量守恒定律
当宇宙飞船停止旋转时，其角动量为零。系统这时 的总角动量L1就是全部排出的废气的总角动量，即 为
L1Lg＝mru
刚体角动量和角动量守恒定律
1. 定轴转动刚体的角动量定理
刚体定轴转动定理：
Mz
d J
dt
由几个物体组成的系统，如果它们对同一给定
轴的角动量分别为 、J11 、…J2，2
则该系统对该轴的角动量为：
Lz Jii
i1,2,
i
对于该系统还有 M Zdd LtZd dt i Jii
定轴转动刚体的角动量定理
在外力矩作用下，从 t0 t ，
E1 2JA2 A1 2JBB 21 2JAJB2
1.3 2140J
定轴转动刚体的角动量守恒定律
例题4-13 恒星晚期在一定条件下，会发生超新星 爆发，这时星体中有大量物质喷入星际空间，同时 星的内核却向内坍缩，成为体积很小的中子星。中 子星是一种异常致密的星体，一汤匙中子星物体就 有几亿吨质量！设某恒星绕自转轴每45天转一周， 它 的 内 核 半 径 R0 约 为 2107m ， 坍 缩 成 半 径 R 仅 为 6103m的中子星。试求中子星的角速度。坍缩前后 的星体内核均看作是匀质圆球。
高中物理竞赛复赛专题：角动量及其守恒定律
15
质点5-系2 角角动动量量守恒守定恒律
由
外
若
则
或
恒矢量
当质点系所受的合外力矩为零时，其角动量守恒。
16
两人质量相等
既忽略 滑轮质量
终点线
一 人 用 力 上 爬
又忽略 轮绳摩擦
终点线
一 人 握 绳 不 动
可能出现的情况是:
1(1) 两人同时到达； (2) 用力上爬者先到； (3) 握绳不动者先到； (4) 以上结果都不对。
解 因作用于物体的合外力矩为零，
故物体角动量守恒，得
O
vB
mv Ad mv Bl
lB
∴
vB
mvAd ml
4(m / s)
物体角动量： LB mv Bl
LB 1kg m2 / s
d
m vA
A
31
例7 我国第一颗东方红人造卫星的椭圆轨道长半轴为a = 7.79 ×
106 m，短半轴为 b = 7.72×106 m，周期 T = 114 min，近地点和远 地点距地心分别为 r1 = 6.82×106 m和 r2 = 8.76×106 m。（1）证明 单位时间内卫星对地心位矢扫过的面积为常量；（2）求卫星经 近地点和远地点时的速度V1 和V2 。
[ C] 【例3 】 一质点作匀速率圆周运动时,它的 （A）动量不变，对圆心的角动量也不变。 （B）动量不变，对圆心的角动量不断改变。 （C）动量不断改变，对圆心的角动量不变。 （D）动量不断改变，对圆心的角动量也不断改变。
[C]
19
1）角动量。 2）角动量守恒定律。 33）有心力与角动量守恒定律。
称为
若质点所受的合外力的方向始终通过参考点，其角动量守恒。如行星 绕太阳运动，以及微观粒子中与此类似的运动模型，服从角动量守恒定律。
物理竞赛角动量
第一节力矩和角动量【知识要点】一、力矩的定义1.对轴的力矩对轴的力矩可推动物体绕轴转动或改变物体绕轴转动的角速度.力矩的大小不仅与力的大小和方向有关，而且与力的作用点有关.当力的作用线在垂直于轴的平面（π）上时（图5-1-1),力矩τ的大小与力的作用点P和轴的距离ρ成正比，与力在垂直于ρ方向上的分量Fφ成正比，因为力在ρ方向上的分量Fρ对物体的绕轴转动无作用，于是有τ=ρFφ=Fρsinθ（5. 1-1)式中θ是F与ρ的夹角，ρ就是从轴与平面π的交点O'指向P点的矢量，由于在力矩作用下引起的转动有两个可能的方向，力矩也有正、负两种取向.例如，先任意规定轴的正方向，当逆着轴的正方向去看力矩作用下所引起的物体的转动时，若物体沿逆时针方向转动，对应的力矩就取为正，反之为负.由于ρsinθ=d就是力的作用线与轴的距离，（5. 1-1)式又可写成τ = Fd （5. 1-1a)d常称为力臂，这正是大家所熟知的力矩表达式.当力的作用线不在垂直于轴的平面(π)上时，可将和垂直于轴的分量F⊥力F分解为平行于轴的分量F∥两部分，其中F//对物体绕轴转动不起作用，而F⊥就是在垂直于轴的平面（π）上的投影，故这时F对轴的力矩可写成τ=ρF⊥sinθ（5. 1-1b)这里的θ是F⊥与ρ的夹角（图5-1-2).2.对参考点的力矩可将上述对轴的力矩的概念推广到对点的力矩.在选定的参照系中，从参考点0指向力的作用点P的矢量r与作用力F的矢积称为作用力对于参考点0的力矩，即Τ=r×F(5-1-2)r 也可称为作用点相对参考点的位矢.当参考点是坐标原点时，r 就是力的作用点的位矢.根据矢积的意义，力矩的大小等于以r 和F 两矢量为邻边所构成的平行四边形的面积，方向与r 、F 所在平面垂直并与r 、F 成右手螺旋。
二、作用于质点的力矩和作用于质点系的力矩1.作用于质点的力矩当质点m 受力F 作用时，F 对参考点〇的力矩即为质点受到的力矩，这时力矩表达式(5.1-2)中的r 就是参考点指质点的矢量，当参考点为坐标原点时，r 就是质点的位矢.当质点受F 1、F 2、…、F NN 个力同时作用时，诸力对某参考点的力矩的矢量和等于合力F=F 1+F 2+…+F N 对同一参考点的力矩，即r ×F 1+r ×F 2+…+r×F N =r×(F 1+F 2+…+F N )=r×F （5. 1-3)2. 作用于质点系的力矩力矩概念也可应用于作用于质点系上的作用力.一般讲来，质点系内各质点受到的作用力有外力和内力的区别，因此应分别考察外力的力矩和内力的力矩(1)外力的力矩当质点系受多个外力作用时，若第i 个质点受到的合外力为F i ，该质点相对某一给定参考点的位矢为r i ，则其力矩为τi 外= r i ×F i ，各质点所受力矩的矢量和，即质点系所受的总力矩为∑∑⨯==i ii i i F r 外外ττ （5.1-4）由于各外力作用在不同质点上，各质点的位矢r i 各不相同，因而外力对质点系的总力矩一般不能通过外力矢量和的力矩来计算.但当质点系处在重力场中时，各质点所受重力与质点的质量成正比，方向又都相同，因而作用于质点系的重力相对某一参考点的力矩，根据(5.1-4)式为∑∑⨯=⨯=⨯=i iC i i i i Mg r g r m g m r ）（重力τ （5. 1-5)即作用于质点系的重力相对某参考点的力矩等于重力的矢量和作用于质心上时对该参 考点的力矩.在平动非惯性系中的惯性力显然也具有这种性质.(2)内力的力矩若f i 为作用于质点系中第i 个质点上的合内力，r i 为该质点的位矢，则内力的总力矩为 ∑∑∑≠⨯=⨯=i i i r ij ji i i f f r 内τ由于内力总是成对出现，因而上式可写成∑⨯+⨯=ji )(πij j ji i f r f r 内τ根据牛顿第三定律（强形式），任一对内力f ji 和f ij 必定等值反向，且沿同一直线，因而对任一给定参考点O 来说，力矩也必等值反向，两者相互抵消，即0=⨯+⨯ij j ji i f r f r因而内力的总力矩为零 0)(ji =⨯+⨯=∑πij j ji i f r f r 内τ （5. 1-6)这一结果与内力的冲量相似，但与内力的功不同.三、 冲量矩在明确了力矩的概念以后，可引出冲量矩的概念.t t 0t t L ∆=∆+=∆+=∆=∆外外内外）（）（τττττ （5. 1-7)此式对质点系适用.若对质点只需把外τ改为τ即可.在一段时间内质点或质点系所受的冲量矩为这段时间内冲量矩的累加：∑∑∆=∆=∆t L L 外总τ （5. 1-8)总L ∆为矢量，方向与外τ相同，单位是ｓｍＮ••。
中学物理竞赛讲义角动量例题
5.3角动量例题例1、在一根长为3l的轻杆上打一个小孔，孔离一端的距离为l，再在杆的两端以及距另一端为l处各固定一个质量为M的小球。
然后通过此孔将杆悬挂于一光滑固定水平细轴O上。
开始时，轻杆静止，一质量为m的铅粒以v0的水平速度射入中间的小球，并留在其中。
求杆摆动的最大高度。
例2、质量m＝1.1 kg的匀质圆盘，可以绕通过其中心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动．圆盘边缘绕有绳子，绳子下端挂一质量m1＝1.0 kg的物体，如图所示．起初在圆盘上加一恒力矩使物体以速率v0＝0.6 m/s匀速上升，如撤去所加力矩，问经历多少时间圆盘开始作反方向转动．例3、两个质量均为m的质点，用一根长为2L的轻杆相连。
两质点以角速度ω绕轴转动，轴线通过杆的中点O与杆的夹角为θ。
试求以O为参考点的质点组的角动量和所受的外力矩。
例4、小滑块A位于光滑的水平桌面上，小滑块B位于桌面上的小槽中，两滑块的质量均为m，并用长为L、不可伸长、无弹性的轻绳相连。
开始时，A、B之间的距离为L/2，A、B间的连线与小槽垂直。
突然给滑块A一个冲击，使其获得平行与槽的速度v0，求滑块B开始运动时的速度例5、有一半径为R的圆形平板平放在水平桌面上，平板与水平桌面的摩擦系数为μ，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度ω0开始旋转，它将在旋转几圈后停止？例6、一质量为M a，半径为a的圆筒A，被另一质量为M b，半径为b的圆筒B同轴套在其外，均可绕轴自由旋转。
在圆筒A的内表面上散布了薄薄的一层质量为M o的沙子，并在壁上开了许多小孔。
在t＝0时，圆筒A以角速度ω0绕轴匀速转动，而圆筒B静止。
打开小孔，沙子向外飞出并附着于B筒的内壁上。
设单位时间内喷出的沙子质量为k，若忽略沙子从A筒飞到B筒的时间，求t 时刻两筒旋转的角速度。
*例7、如图，CD、EF均为长为2L的轻杆，四个端点各有一个质量为m的质点，CE、DF为不可伸长的轻绳，CD的中点B处用一细线悬于天花板A点。
物理竞赛角动量
第一节力矩和角动量【知识要点】一、力矩的定义1.对轴的力矩对轴的力矩可推动物体绕轴转动或改变物体绕轴转动的角速度.力矩的大小不仅与力的大小和方向有关，而且与力的作用点有关.当力的作用线在垂直于轴的平面（π）上时（图5-1-1),力矩τ的大小与力的作用点P和轴的距离ρ成正比，与力在垂直于ρ方向上的分量Fφ成正比，因为力在ρ方向上的分量Fρ对物体的绕轴转动无作用，于是有τ=ρFφ=Fρsinθ（5. 1-1)式中θ是F与ρ的夹角，ρ就是从轴与平面π的交点O'指向P点的矢量，由于在力矩作用下引起的转动有两个可能的方向，力矩也有正、负两种取向.例如，先任意规定轴的正方向，当逆着轴的正方向去看力矩作用下所引起的物体的转动时，若物体沿逆时针方向转动，对应的力矩就取为正，反之为负.由于ρsinθ=d就是力的作用线与轴的距离，（5. 1-1)式又可写成τ = Fd （5. 1-1a)d常称为力臂，这正是大家所熟知的力矩表达式.当力的作用线不在垂直于轴的平面(π)上时，可将和垂直于轴的分量F⊥力F分解为平行于轴的分量F∥两部分，其中F1-1b)这里的θ是F⊥与ρ的夹角（图5-1-2).2.对参考点的力矩可将上述对轴的力矩的概念推广到对点的力矩.在选定的参照系中，从参考点0指向力的作用点P的矢量r与作用力F的矢积称为作用力对于参考点0的力矩，即Τ=r×F(5-1-2)r也可称为作用点相对参考点的位矢.当参考点是坐标原点时，r就是力的作用点的位矢.根据矢积的意义，力矩的大小等于以r 和F 两矢量为邻边所构成的平行四边形的面积，方向与r 、F 所在平面垂直并与r 、F 成右手螺旋。
二、作用于质点的力矩和作用于质点系的力矩1.作用于质点的力矩当质点m 受力F 作用时，F 对参考点〇的力矩即为质点受到的力矩，这时力矩表达式中的r 就是参考点指质点的矢量，当参考点为坐标原点时，r 就是质点的位矢.当质点受F 1、F 2、…、F NN 个力同时作用时，诸力对某参考点的力矩的矢量和等于合力F=F 1+F 2+…+F N 对同一参考点的力矩，即r ×F 1+r ×F 2+…+r×F N =r×(F 1+F 2+…+F N )=r×F （5. 1-3)2. 作用于质点系的力矩力矩概念也可应用于作用于质点系上的作用力.一般讲来，质点系内各质点受到的作用力有外力和内力的区别，因此应分别考察外力的力矩和内力的力矩(1)外力的力矩当质点系受多个外力作用时，若第i 个质点受到的合外力为F i ，该质点相对某一给定参考点的位矢为r i ，则其力矩为τi 外= r i ×F i ，各质点所受力矩的矢量和，即质点系所受的总力矩为∑∑⨯==i ii i i F r 外外ττ （）由于各外力作用在不同质点上，各质点的位矢r i 各不相同，因而外力对质点系的总力矩一般不能通过外力矢量和的力矩来计算.但当质点系处在重力场中时，各质点所受重力与质点的质量成正比，方向又都相同，因而作用于质点系的重力相对某一参考点的力矩，根据式为∑∑⨯=⨯=⨯=i iC i i i i Mg r g r m g m r ）（重力τ （5. 1-5)即作用于质点系的重力相对某参考点的力矩等于重力的矢量和作用于质心上时对该参 考点的力矩.在平动非惯性系中的惯性力显然也具有这种性质.(2)内力的力矩若f i 为作用于质点系中第i 个质点上的合内力，r i 为该质点的位矢，则内力的总力矩为∑∑∑≠⨯=⨯=i i i r ij ji i i f f r 内τ由于内力总是成对出现，因而上式可写成∑⨯+⨯=ji )( ij j ji i f r f r 内τ根据牛顿第三定律（强形式），任一对内力f ji 和f ij 必定等值反向，且沿同一直线，因而对任一给定参考点O 来说，力矩也必等值反向，两者相互抵消，即0=⨯+⨯ij j ji i f r f r因而内力的总力矩为零 0)(ji =⨯+⨯=∑ ij j ji i f r f r 内τ （5. 1-6)这一结果与内力的冲量相似，但与内力的功不同.三、 冲量矩在明确了力矩的概念以后，可引出冲量矩的概念.t t 0t t L ∆=∆+=∆+=∆=∆外外内外）（）（τττττ （5. 1-7)此式对质点系适用.若对质点只需把外τ改为τ即可.在一段时间内质点或质点系所受的冲量矩为这段时间内冲量矩的累加：∑∑∆=∆=∆t L L 外总τ （5. 1-8)总L ∆为矢量，方向与外τ相同，单位是ｓｍＮ••。
高中物理竞赛必备辅导资料——角动量守恒
m1 m 2 m1v1 p1 u u m1 m 2 p 2 m 2 v 2 u
两质点的 约化质量
⑵ 利用质心表达式，每个质点相对于质心的位矢分别为
m2 r1 r2 m2 r12 r1 r1 rc m1 m2 m1 m2 m1 r2 r1 m1r12 r2 r2 rc m1 m2 m1 m2
2 3
3 2
B
mg
由（1）和（2）可得
LdL m gR cos d
2 g sin
8
L
0
LdL m 2 gR 3 cosd L mR 0 L 2 g sin R 2 mR
第六章 角动量守恒
例题6.2 摆长为l 的锥摆作匀速圆周运动，摆线与铅 垂线成 角，求摆球速率. z
解：如图，在圆锥摆的运动过程 中，摆球相对支点 O的角动量为 .L是一个可以绕z轴 L r mv 旋转的矢量.将其分解两个分量 Lz , L ,其大小分别为
O
Lz
L
L
Lz mvl sin L mvl cos
显然，Lz 不变，而 L 随时间改变.如图,有
7
第六章 角动量守恒
例6.1 一小球沿竖直的光滑圆轨道由静止开始下滑. 求小球在B点时对环心的角动量和角速度.
解:力矩分析
M mgR cos
dL M dt
O
用角动量定理：
R
t =0 A
N
又
dL mgR cos dt （1） 2 2 d （2） L mR mR
物理竞赛之角动量
角动量1．一质量为m的粒子位于（x，y）处，速度v=v x e x+v y e y，并受到一个沿-x方向的力。
求它相对于坐标原点的角动量和作用在其上的力矩。
2．电子的质量为9.1×10-31kg，设其在半径为5.3×10-11m的圆周上绕氢核作匀速率运动。
已知电子的角动量为h/2π（h为普朗克常量，h=6.63×10-34J·s），求其角速度。
3．一质量为m、长为l的均匀细棒，在光滑水平面上以v匀速运动，如图。
求某时刻棒对端点O的角动量。
4．在光滑的水平桌上，用一根长为l的绳子把一质量为m联结到一固定点O。
起初，绳子是松驰的，质点以恒定速率v0沿一直线运动。
质点与O最接近的距离为b，当此质点与O的距离达到l时，绳子就绷紧了，进入一个以O为中心的圆形轨道。
（1）求此质点的最终动能与初始动能之比。
能量到哪里去了？（2）当质点作匀速圆周运动以后的某个时刻，绳子突然断了，它将如何运动？绳断后质点对O的角动量如何变化？5．一质量为m的物体，绕一空过光滑桌面上极小的圆孔的细绳旋转，如图。
开始时物体到中心的距离为r0，旋转角速度为ω0。
若在t=0时，开始以固定的速度v拉绳子，于是物体到中心的距离不断减小。
求（1）ω（t）；（2）拉绳子的力F；6．如图所示，两个质量很小的小球m与M，位于一很大的摩擦的半径为R的水平圆周轨道上，它们可在这轨道上自由运动。
现在将一弹簧压强在两球之间，但弹簧两端并不固定在m与M上，再用一根线将两个小球紧缚起来。
（1）如果这根线断了，则被压缩的弹簧（假设无质量）就将两球沿相反方向射出去，而弹簧本身仍留在原处。
问这两个球将在轨道上何处发生碰撞（用M所经过的角度θ表求）？（2）假设原先贮藏在被压缩的的弹簧中的势能为U0，问线断后经过多少时间发生碰撞？7．质量都是m的两个质点，中间用长为l的绳子连在一起，以角速度ω绕绳子的中点转动（设绳的质量可以略去不计）。
高二物理竞赛角动量定理角动量守恒定律课件
的速率向东奔跑, 他感到风从北方吹来,当他奔跑的速率加倍时, 则感到风从东北方向吹来, 求风的速度。
或 牛顿力学规律在伽利略变换下形式不变
A,B,C三个质点相互间有相对运动
M dL F dp
dt
dt
对质点系而言：（以两个质点为例）
设有质点m1 、 m2
分别受外力 F1 F2
外力矩 M1 M2
作用在质点系的角冲量等于系 统角动量的增量。
三、角动量守恒定律
若 则：
M合
dL
外
力
矩 0
0L
恒矢量
dt
M dL dt
角动量守恒定律：若对某一参考点, 系统(质点)所 受合外力矩恒为零时，则此质点系(质点)对该参考 点的角动量将保持不变。
注意：角动量守恒定律是宇宙中普遍成立的定律，无 论在宏观上还是微观领域中都成立。
已知：
v sd = 10 正东
vcs
v fd = 10 v cs = 20
正西 北偏西30o
•
vfd vsd
vcd vcs v sd
vcd 10 3 km / h 方向正北
vcs vcd
v fd v fc vcd
300
v fc v fd vcd
人地 cos 450
2人
地
4.23(m
s
1
)
质点动力学(二) 人 地 人 地
450 450
风 人
风 地
二、力学的相对性原理
aAC aAB aBC
aBC 0, 同一质点的加速度在两个相互间作匀速 aAC aAB 直线运动的参照系中是相同的。
在牛顿力学中,力与参考系无关，质量与运动无关 F F
高二物理竞赛课件：角动量
gh2 /(R h)
m m
114k g
u
比较: p117
m mv u 120 kg
科学的低级单位错误
• 1999年，美国宇航局“火星气候探测者”号发现 它距离火星比科学家预测的近了60英里左右。这 不是因为时空关系出现了问题，而是因为在“火 星气候探测者”号开发中出现了文化冲突。美宇 航局科学家在计算中采用的是公制单位(如米和厘 米等)，但提供导航软件的洛克希德-马丁公司的 工程师在研究中采用的却是英尺、英寸等英制单 位。结果，由于运行轨道总不稳定，耗资8000万 英镑建造的“火星气候探测者”号最终撞向火星 表面报销。
的质量m是多少? p117
分析:
G
mM m (R h)2
m
v02 Rh
g
G
mM R2
GmM gR2
B vB
R O
vA
v0
v
u
A
h
0 (m m)v + (m)R h) mvBR
1 2
mv
2 A
G
mMm Rh
1 2
mvB2
G
mM m R
结果:
解：物体 的动能变化，物体在做离 小孔的距离不断缩小的螺旋线运动， 绳对物体的拉力方向与物体位移方 向小于90o，拉力作正功。
物体的动量变化，绳子拉力的冲量在改变物体的动量。
物体对小孔的角动量不变，这是因为物体受绳子拉 力的方向始终通过小孔（有心力），所以物体对小 孔的力矩为0。
Ex：绳系小球在重力场中的运动
一小球用长l的轻绳系于O点，然后将小球 移开使绳与竖直方向成角，并给小球一 个水平初速度v0，方向垂直于绳子所在铅 直面。如希望在运动过程中绳偏离垂线最 大角度为/2，试计算出（1）小球初速度 v0大小（2）小球到达偏角 /2时的速率v 是多少？
高中物理竞赛辅导讲义-第6篇-角动量
— 6 —
14．如图所示，半径为 R、质量为 m0 的光滑均匀圆环，套在光滑竖直轴 OO′上，可沿 OO′ 轴滑动或旋转。圆环上串着两个质量均为 m 的小球。开始时让圆环以某一角速度绕 OO′ 轴转动，两小球自圆环顶端同时从静止开始释放。 （1）设开始时环绕 OO′ 轴转动的角速度为 ω0，在两小球从环顶下滑过程中，应满足什么 条件，圆环才能沿 OO′ 轴上滑？ （2）若小球下滑至 θ=30°时（θ 是过小球的圆环半径与 OO′ 轴的夹角）时，圆环就开始沿 OO′ 轴上滑，求开始时圆环绕 OO′ 轴转动的角速度 ω0、在 θ=30°时圆环绕 OO′ 轴转动的 角速度 ω 和小球相对于圆环滑动的速率 v。
【例题选讲】 1．如图所示，质量为 m 的小球自由落下，某时刻具有速度 v，此时小球与图中的 A、B、 C 三点恰好位于某长方形四个顶点，且小球与 A、C 点的距离分别为 l1、l2。试求： （1）小球所受重力相对 A、B、C 三点的力矩 M1、M2、M3； （2）小球相对 A、B、C 三点的角动量 L1、L2、L3。
P0′
ω0
— 8 —
10．如图所示，一根质量可以忽略的细杆，长为 2l，两端和中心处分别固连着质量为 m 的 小球 B、D 和 C，开始时静止在光滑的水平桌面上。桌面上另有一质量为 M 的小球 A，以 一给定速度 v0 沿垂直于杆 DB 的方间与右端小球 B 作弹性碰撞。求刚碰后小球 A、B、C、 D 的速度，并详细讨论以后可能发生的运动情况。
11．一半径为 R 、内侧光滑的半球面固定在地面上，开口水平且朝上。一小滑块在半球面 内侧最高点处获得沿球面的水平速度，其大小为 v0 ( v0 0 )。求滑块在整个运动过程中可 能达到的最大速率。重力加速度大小为g。 v0
高中物理竞赛§2.5质点角动量定理角动量守恒课件
§2.5 角动量定理、守恒定律—例
例 日：点处已到知日：心地距球离在为近日r2 点。处求到：日在心远距日离点为处r1的，速速度度为v2
v1
，在远
。
解：①分析：地球在太阳有心力作用下绕日运动，角动量守恒
②应用定律：
L1 L2
r 1 m v 1 r 2 m v 2
大小：MrFsin
M
o
r
F
Fd（力乘力臂）
d
m
方向： 右螺旋
单位：SI：N·m
2.说明
有心力：受力始终指向（或离开）某个中心 如：
质点受有心力作用时，力对力心的力矩=0 oF
太阳
v2
地球
MFd 0 v1
§2.5 质点角动量定理 角动量守恒（一角动量 二力矩）
2.5.3 质点的角动量定理 想法：动量随时间的变化率
当M合外0时 dLd t0 L恒矢量
即：当质点系对某点的合外力矩为零时，则质点系对该点 的角动量保持不变
§2.5 角动量定理 角动量守恒定律
说明：1.各量守恒的条件： 动量守恒 质点角动量守恒 质点系角动量守恒
F合外0 M合0 M合外0
2.对问题的求解方法： 可牛顿定律、可动量定理、可角动量定理、 可动能定理、…
v
LALB rA m v0rB m v
O l B
大小 rlA 0m m0 0vs vli9 m ns0 virnBmsvin v0l0 , k
两个未知量？
mA
rA
rB
只保守力做功→机械能守恒
1 2m0 2v1 2m2v 1 2k(ll0)2
可解
例：（P55：例2-13）已知：初始A(m1)、B(m2)同高，之后A 由
高二物理竞赛课件：角动量 角动量守恒定律
度。
解
小球受力
FN、
P
作用,
FN对O点的力矩为零，
重力矩垂直板面向里
M rF
M mgRcos
由质点的角动量定理
mgRcos dL
dt
dL mgRcos dt
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
10/19
dL mgRcos dt
考虑到 d dt, L mRv mR 2
L mr 2 J
L
r
p
r
mv
L
o
p
m r
※ 质点的角动量定理
M
dL
dt
作用于质点的合外力对参考点 O 的力矩，等于质点 对该点 O 的角动量随时间的变化率。
dp
F，
dL
？
dt
dt
质点角动量定理的推导，由
L
r
p
M
dL
dt
dL
d
(r
p)
r
dp
dr
p
dt dt
Miin 0 ，
Miex
d dt
(
miri 2 )
d( J )
dt
M
d( J )
dL
dt
dt
Mdt dL
Mdt
dL
d
( J )
t2 t1
Mdt
J2
J1
转动物体所受合外力矩的冲量矩等于在这段时间内转 动物体角动量的增量——定轴转动刚体的角动量定理。
※ 非刚体定轴转动的角动量定理
t2 t1
Mdt
J 22
J11
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L2
高中物理奥林匹克竞赛专题--角动量(共18张PPT)
M v1 对M v内M 质2v M 力v 内点1 20 M 矩力（v 2矩02d d）M tMv (：dL 1v d2 0L1 vt.0 M 2 2L v 02 20 ) 4
两式相加：M v 1 M v 1 0 M v 2 M v 2 0d d t(L v 1 L v 2)3
15M v1 –8M v2多普d dt(勒L v1效L v应2) 4
9 .1 1 1 0 3 1 ( 5 .2 9 1 0 1 1 ) 2 4 .1 3 1 0 1 6
1.051034(kgm 2s1)
此值为狄拉克h： hh/2
15 – 8 多普勒效应
第十五章 机械波
例3 一质量 m1.20140kg的登月飞船, 在离
月球表面高度 h10k0m 处绕月球作圆周运动.飞船
15 – 例81 多用普角勒动量效守应恒定律导出开普勒第第十二五定章律机械波
-- 行星单位时间内扫过的面积相等。
O
v
rv
A
a
s
c h
b
解：设行星绕太阳运
动,在时间 t 内，从a
点运动到b点，其速率
v为 。(行星质量为m)
L
作直线bc垂直于oa，因t很小 ababs
svt h s s in v ts in
A的 mM ,
由万有引力和牛顿定律
G mMm m v02 (Rh)2 Rh
g
G
mM R2
vB B
R
O
vA v0
v u
A
h
15 – 8 多普勒效应
第十五章 机械波
得 v0(R R2gh)12161m2s1
当飞船在A点以相对速度 u
向外喷气的短时间里 , 飞船的
高二物理竞赛课件：角动量理论
即对自旋1/2体系有： 类似可得： 以上结果表明，转动算符作用于态矢确实使S的期待
值绕z轴转了Φ角 即自旋算符期待值具有与经典矢量在转动下的相同变
化行为：
Rkl是对应于给定转动的3×3正交矩阵R的矩阵元 由于方法二适用于任何J，故该性质行为不限于自旋
角动量理论
角动量理论
本章讨论角动量及相关内容的系统处理方法。 角动量理论对理解核、原子、分子和固体发光等谱学 现象是必须的； 散射、碰撞及束缚态等问题的处理也常常需要关于角 动量方面的考虑。 角动量的概念在核物理、粒子物理等领域有重要应用 和推广。 角动量理论重要和应用广泛的原因:平动和转动是粒子运 动的基本形式；角动量是表征微观量子态的重要参数
四、 量子力学中的无穷小转动
1）态矢的变化： R的维数为3，D(R)的维数依态矢空间的维数而定 2）转动算符的构造 参照无穷小空间平移和无穷短时间演化算符的构
造，考虑到角动量是转动的生成元，可得绕由单
位矢量 nˆ 所表征的轴转dΦ的转动算符 ：
这里厄米算符Jk为角动量算符。上式可看作量子 动力学中角动量算符的定义。该定义比经典的角 动量（XxP）定义更普适，适用于自旋等。
自旋1/2体系的转动算符 能使角动量对易关系成立的非平庸空间最小维数是2. 电子的自旋算符：
容易验证Sk满足角动量的对易关系，即Sk可看作自旋 1/2体系的Jk，并且其对易关系为实验所证实。
考虑绕Z转Φ，态的变化为： 物理量如Sx的测量结果变为： 需要计算
上式也可由Baker-Hausdorff引理算出：
一、有限转动 绕同一轴的转动是对易的，但绕不同轴的转动是
不对易的：
二、转动的数学描述
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角动量
一、力矩（对比力）
1、质点对轴的力矩可以使物体绕轴转动或改变物体的角速度
2、力矩可以用M 或τ表示
3、力矩是矢量
4、力矩的大小和方向
（1）二维问题
sin rF τθ=
注意，式中的角度θ为F 、r 两个矢量方向的夹角。
求力矩的两种方法：（类比求功的两种方法）
(sin )r F τθ=
(sin )r F τθ=
二维问题中，力矩的方向可以简单地用顺时针、逆时针表示。
（2）三维问题
r F τ=⨯r r
r 力矩的大小为
sin rF τθ=
力矩的方向与r 和F 构成的平面垂直，遵循右手螺
旋法则
5、质点系统受到的力矩
只需要考虑外力的力矩，一对内力的力矩之和一定为0.
二、冲量矩（对比冲量）
1、冲量矩反映了冲量改变物体转动的效果，是一个过程量
2、冲量矩用L 表示
3、冲量矩的大小
L r I r Ft t τ=⨯=⨯=r r u r r r r
4、冲量矩是矢量，方向与r 和F 构成的平面垂直，遵循右手螺旋法则，即方向和力矩的方向相同
5、经常需用微元法（类比功和冲量这两个过程量的计算）
三、动量矩（即角动量）（对比动量）
1、角动量反映了物体转动的状态，是一个状态量
2、角动量用l 表示
3、角动量的大小
l r p r vm =⨯=⨯u r r r r r
4、角动量是矢量，方向与r 和v 构成的平面垂直，遵循右手螺旋法则
四、角动量定理（对比动量定理）
冲量矩等于角动量的变化量
L t l τ==∆r r r
五、角动量守恒定律（对比动量守恒定律）
角动量守恒的条件：（满足下列任意一个即可）
1、合外力为0
2、合外力不为0，但合力矩为0
例如：地球绕太阳公转
此类问题常叫做“有心力”模型
3、合外力不为0，每个瞬时合力矩也不为0，但全过程总的冲量矩为0
例如：单摆从某位置摆动到对称位置的过程
注意：讨论转动问题一定要规定转轴，转轴不同结果也不同
六、转动惯量（对比质量）
1、转动惯量反映了转动中惯性
2、转动惯量用I 或J 表示
3、质点的转动惯量等于质量乘以和转轴距离的平方
2I mr =
4、转动惯量是标量
5、由于实际物体经常不能看作质点，转动惯量的计算需要用微元法或微积分
2
i i I m r =∑
6、引入转动惯量后，角动量也可以表示为（类比动量的定义）
l I ω=r r
七、转动问题中的牛顿第二定律（即转动定理）（对比牛顿第二定律）
合力矩等于转动惯量乘以角加速度
I τβ=r r
八、动能的另一种表示方式
221122
k E mv I ω=
=
例1、仿照上表，不看讲义，将本章的知识点进行归纳总结
例2、如图，质量为m的小球自由落下，某时刻具有速度v，此时小球与ABC 恰好位于长方形的四个顶点，且小球与A、C的距离分别为l1、l2。
求
（1）小球所受的重力相对于A、B、C三点的力矩
（2）小球相对于A、B、C三点的角动量
例3、摆长为b的圆锥摆，悬挂点为O′，悬挂点在摆球运动所在水平面内的投影为O，摆线与竖直方向的夹角为α，求
（1）用m、b、α、Δt表示相对O′点的角动量及转动小角度Δθ重力、绳子拉力的冲量矩（2）用m、b、α、Δt表示相对O点的角动量及转动小角度Δθ重力、绳子拉力的冲量矩（3）摆球的速率
例4：如图，质量为m的质点，在光滑水平面上，用Array绳子穿过小孔和质量为M的物体相连。
m一边绕小孔转动，
一边在和小孔的连线方向振动，其与孔的最大距离为a，最
小距离为b，求这两个位置时物体的动能。