小学奥数举一反三五年级数阵问题

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• 例2将1～7七个数字，分别填入图中的各个○ 内，使每条线上的三个数和相等。
• 解：图中共有3条线，若每条线数字和相等，三条线的数字 总和必为3的倍数。设中心数为a，则a被重复使用了2次。即， • 解：图中共有 35 条线，若每条线数字和相等，三条线的数字 1＋2＋3＋4＋ ＋6＋7＋2a＝28＋2a，28＋2a应能被3整除。 总和必为3的倍数。设中心数为a，则a被重复使用了2次。即， （ 2a 3＝ 28 128 ＋＋ 2＋ 3）÷ ＋4＋ 5＋ 6÷ ＋3 7＋ ＋2a 2a÷ ＝3 28＋2a，28＋2a应能被3整除。 其中 28 ÷ 3＝9… 余 1÷ ，所以 2a ÷ （ 28＋ 2a ）÷ 3＝ 28 3＋2a ÷ 3 3应余2。由此，便推得a只能是1、 4、7三数。 其中28÷3＝9…余1，所以2a÷3应余2。由此，便推得a只能是1、 当 ＝ 时，28＋2a＝30 30÷3＝10，其他两数的和是10－1＝9， 4a 、 71 三数。 只要把余下的2、3、4、5、6、7，按和为9分成三组填入两 当a＝ 1时，28＋2a＝30 30 ÷4 3、 ＝a 10 ，其他两数的和是 10－1＝9， 端即可。同理可求得 a＝ ＝ 7两端应填入的数。 只要把余下的2、3、4、5、6、7，按和为9分成三组填入两 端即可。同理可求得a＝4、a＝7两端应填入的数。
数阵问题
数阵问题
1.知识介绍 1. 知识介绍
数阵是由幻方演化出来的另一种数字图。幻方一般均为正 方形。图中纵、横、对角线数字和相等。数阵则不仅有正 方形、长方形，还有三角形、圆、多边形、星形、花瓣形、 十字形，甚至多种图形的组合。变幻多姿，奇趣迷人。这 里，和同学们讨论一些数阵的填法。
• 一般按数字的组合形式，将其分为三类，即 • 辐射型数阵、封闭型数阵、复合型数阵。 。特特
此题的基本解法是：中心数重复使用次数与中心数的积，加上 原余数1，所得的和必须是5的倍数。据此，中心数填6、11 均可得解。
• 2.封闭型（复合型）数阵 • 2.封闭型（复合型）数阵 例1把2、3、4、5、6、7六个数字，分别 例 1把2、3、4、5、6、7六个数字，分别 填入○中，使三角形各边上的数字和都是 填入○中，使三角形各边上的数字和都是 12。 12。
• 例4 将1～8八个数字，分别填入下图○中， • 例 4 将1～8八个数字，分别填入下图○中， 使每个小三角形顶点上三数之和为 12。 使每个小三角形顶点上三数之和为12。
• • 解：图中共有四个小三角形，每个三角形顶点数字的和若都 解：图中共有四个小三角形，每个三角形顶点数字的和若都 是 12 ，数字总和便是 12 × 44 ＝ 48 ，可是 11 ～ 88 八个数字总和只 是 12 ，数字总和便是 12 × ＝ 48 ，可是 ～ 八个数字总和只 有 36 。 36 比 48 少 12 。只有靠共用顶角上数的重复使用，才能 有36。36比48少12。只有靠共用顶角上数的重复使用，才能 解决。因此，必须把四个公用顶角的数字和填成 12 。把 11 ～ 88 解决。因此，必须把四个公用顶角的数字和填成 12 。把 ～ 八个数四个一组，和为 12 的有： 八个数四个一组，和为 12 的有： 66 ＋ 33 ＋ 22 ＋ 11 ＋ ＋ ＋ 55 ＋ 44 ＋ 22 ＋ 11 ＋ ＋ ＋ 上述两组中，经验证，只有6＋3＋2＋1可以作公用顶点的数字。 上述两组中，经验证，只有6＋3＋2＋1可以作公用顶点的数字。
•• 例 例3 3将 将1 1～ ～11 11十一个数字，填入下图各○中， 十一个数字，填入下图各○中， 使每条线段上的数字和相等。 使每条线段上的数字和相等。
• 解：图中共有五条线段，全部数字的总和必须是5的倍数， 每条线上的数字和才能相等。 1～11十一个数字和为66，66÷5＝13余1，必须再增加4，可使 各线上数字和为14。共五条线，中心数 例1 将1～5五个数字，分别填入下图的 五个○中，使横、竖线上的三个数字和 都是10。
• 解：已给出的五个数字和是：1＋2＋3＋4＋5＝15 题中要求横、竖每条线上数字和都是10，两条线合起来便是 20了。20－15＝5，怎样才能增加5呢？因为中心的一个数是 个重复使用数。只有5连加两次才能使五个数字的和增加5， 关键找到了，中心数必须填5。确定中心数后，按余下的1、2、 3、4，分别填在横、竖线的两端，使每条线上数的和是10便 可。
• 例3 把2～10九个数字，分别填入下图○中， • 使每条直线上的三个数和为 例3 把2～10九个数字，分别填入下图○中， 15。 使每条直线上的三个数和为15。
解：2～10九个数字的和为：2＋3＋4＋……＋10＝6×9＝ 解： 54 2～10九个数字的和为：2＋3＋4＋……＋10＝6×9＝ 54 若排成每个三角形每边的数字和都是15，图中含有每边都 若排成每个三角形每边的数字和都是 15，图中含有每边都 三个数字的三角形有两个，共六条边，数字总和应是 15×6 三个数字的三角形有两个，共六条边，数字总和应是 15×6 ＝90。54比90少36。 ＝90。54比90少36。 在外围的六个数都被重复使用了两次，它们又分属于两个三 在外围的六个数都被重复使用了两次，它们又分属于两个三 角形。所以，每个三角形三个顶角的数和应为：36÷2＝18。 角形。所以，每个三角形三个顶角的数和应为： 36÷2＝18。 这样，便可以先填外三角形三个顶角的数。 这样，便可以先填外三角形三个顶角的数。 三个数和为18的有很多组，可以通过试验筛选出适宜的一 三个数和为18的有很多组，可以通过试验筛选出适宜的一 组。填好了外围三角形各个数后，里面的三角形，因为顶角 组。填好了外围三角形各个数后，里面的三角形，因为顶角 的数已知，其他各数便容易填写了。下面是填法中的一种。 的数已知，其他各数便容易填写了。下面是填法中的一种。
数阵的特点是：每一条直线段或由若干线段 数阵的特点是： 组成的封闭线上的数字和相等。
它的表达形式多为给出一定数量的数字，要 求填入指定的图中，使其具备数阵的特点。
解数阵问题的一般思路是：
• 1.求出条件中若干已知数字的和。 • 2.根据“和相等”，列出关系式，找出关键 数——重复使用的数。 • 3.确定重复用数后，对照“和相等”的条件， 用尝试的方法，求出其他各数。有时，因 数字存在不同的组合方法，答案往往不是 唯一的。
• • 解：要使三角形每边上的数字和都是 解：要使三角形每边上的数字和都是12 12，则三条边的数字和 ，则三条边的数字和 便是12×3＝36，而2＋3＋4＋5＋6＋7＝27，36与27相差9。 便是12×3＝36，而2＋3＋4＋5＋6＋7＝27，36与27相差9。 三个角顶的数字都重复使用两次，只有这三个数字的和是 三个角顶的数字都重复使用两次，只有这三个数字的和是9 9， ， 才能符合条件。 才能符合条件。 确定了角顶的数字，其他各数通过尝试便容易求得了！ 确定了角顶的数字，其他各数通过尝试便容易求得了！ 这题还可有许多解法，上图只是其中一种。 这题还可有许多解法，上图只是其中一种。
• 例2下图是四个互相联系的三角形。把1～9九 个数字，填入○中，使每个三角形中数字的 和都是15。
解：每个三角形数字和都是 15 ，四个三角形的数字和便是： 解：每个三角形数字和都是 15 ，四个三角形的数字和便是： 15×4＝60，而1～9九个数字和只有45。45比60少15。怎样 15×4＝60，而1～9九个数字和只有45。45比60少15。怎样 才能使它增加 15 呢？靠数字重复使用才能解决。 才能使它增加 15 呢？靠数字重复使用才能解决。 中间的一个三角形，每个顶角都联着其他三角形，每个数字 中间的一个三角形，每个顶角都联着其他三角形，每个数字 都被重复使用两次。因此，只要使中间的一个三角形数字和 都被重复使用两次。因此，只要使中间的一个三角形数字和 为 15 ，便可以符合条件。因此，它的三个顶角数字，可以分 为 15 ，便可以符合条件。因此，它的三个顶角数字，可以分 别为： 11 、 99 、 55 22 、 88 、 55 22 、 77 、 66 44 、 66 、 55 及 22 、 99 、 44 33 、 88 、 44 别为： 、 、 、 、 、 、 、 、 及 、 、 、 、 33 、 77 、 55 88 、 66 、 11 。 、 、 、 、 。 把中间的三角形各顶角数字先填出，其他各个三角形便容易 把中间的三角形各顶角数字先填出，其他各个三角形便容易 解决了。前页下图是其中的一种。 解决了。前页下图是其中的一种。