高二数学《随机变量的方差(第2课时)》教案

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高二数学选修2-3离散型随机变量的方差导学案

2.32离散型随机变量的方差学习目标1、理解各种分布的方差2、会应用均值（期望）和方差来解决实际问题自主学习：课本1.一般地,设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是n x x x x ⋅⋅⋅321,,这些值对应的概率是n p p p p ⋅⋅⋅,,,321则________________________________________________________叫做这个离散型随机变量X 的方差;______________________________叫作离散型随机变量X 的标准差2. 离散型随机变量的方差刻画了这个离散型随机变量的_____________________________.3. 离散型随机变量X 分布列为二点分布时, ()___________D X =.4.离散型随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布时，()___________D X =.5. 离散型随机变量X 服从参数为,N M ，n 的超几何分布时, ()___________D X = 自学检测1.已知X ～(),B n p ，()8,() 1.6E X D X ==，则,n p 的值分别是（）A ．100和0.08B ．20和0.4C ．10和0.2D ．10和0.82.设掷1颗骰子的点数为X ,则( )A. 2() 3.5,() 3.5E X D X ==B. 35() 3.5,()12E X D X == C. () 3.5,() 3.5E X D X == D. 35() 3.5,()16E X D X ==3.一牧场的10头牛,因误食疯牛病病毒污染的饲料被感染，已知疯牛病发病的概率是0.02,若发病的牛数为X 头,则()D X 等于( )A. 0.2B. 0.196C.0.8D.0.8124. 已知随机变量X 的分布列为则X 的标准差()X σ= A. 3.56 B. C. 3.2 D. 5.王非从家乘车到学校,途中有3个交通岗,设在个交通岗遇红灯的事件是相互独立的,并且概率都是25,则王非上学路上遇红灯的数学期望是___________,方差是_______________. 6.已知随机变量X 的分布列为且() 1.1E X =,设,则()____________D X =7.甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为21,ξξ，它们的分布列如下：试对这两名工人的技术水平进行比较。

人教课标版高中数学选修2-3：《离散型随机变量的均值与方差(第2课时)》教案-新版

2.3 离散型随机变量的均值与方差（第2课时）一、教学目标 1．核心素养通过对离散型随机变量的方差的学习，更进一步提高了学生的数学建模能力和数学运算能力． 2．学习目标（1）通过实例，理解取得有限值的离散型随机变量的方差的概念（2）能计算简单离散型随机变量的方差（3）并能够解决一些实际问题. 3．学习重点离散型随机变量的方差的概念、公式及其应用. 4．学习难点灵活利用公式求方差.．二、教学设计（一）课前设计 1．预习任务任务1阅读教材P64－P67，思考：方差、标准差的定义是什么？它们各自反应了什么？任务2若随机变量X 服从两点分布，则方差为多少？若服从二项分布呢？任务3根据方差的计算过程，可得到它的什么性质？ 2．预习自测（1）已知随机变量x 的分布列则()X D =__________.（2）若随机变量⎪⎭⎫⎝⎛3210~，B X ，则方差DX=________.（二）课堂设计 1．知识回顾(1)均值或数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称 n n p x p x p x E +++=...2211ξ为ξ的均值或数学期望，简称期望．(2)均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平. (3)均值或期望的一个性质:若b aX Y +=，其中b a ,是常数(X 是随机变量)，则Y 也是随机变量，且有b aEX b aX E +=+)(①当0=a 时，b b E =)(，即常数的数学期望就是这个常数本身；②当1=a 时，b EX b X E +=+)(，即随机变量X 与常数之和的期望等于X 的期；③当0=b 时，aEX aX E =）（，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.(4)①若X 服从两点分布，则p X E =)(； ②若ξ～),,(p n B 则np X E =)(. 2．问题探究问题探究一随机变量方差的定义要从两名同学中挑选出一名同学代表班级参加射击比赛，根据以往的成绩记录，第一名同学击中目标靶的环数的分布列为如果每班只能一人参加年级比赛，你觉得应该让甲乙谁代表班级参赛? 通过计算分析： E （X 1）=5， E （X 2）=5，所以从均值比较不出两名同学的水平高低．数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示随机变量在随机试验中取值的平均值．但有时两个随机变量只用这一个特征量是无法区别它们的，还需要对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行刻画．但显然两名同学的水平是不同的，要进一步去分析成绩的稳定性．我们可以定义离散型随机变量的方差．(给出定义)方差：对于离散型随机变量X ，如果它所有可能取的值是n x x x ,....,,21，且取这些值的概率分别是n p p p ,....,,21，那么，n n p X E x p X E x p X E x X D ⋅-++⋅-+⋅-=2222121))((...))(())(()(称为随机变量X 的方差，式中的)(X E 是随机变量X 的均值．标准差：)(X D 的算术平方根)(X D 叫做随机变量X 的标准差，记作)(X σ．随机变量X 的方差、标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；数值越大，说明随机变量取值波动越大，越不稳定；请分别计算探究中两名同学各自的射击成绩的方差.(进一步探究认识用随机变量方差来反映取值的稳定情况)第一名同学5.1)(,8)(==X D X E 第二名同学82.0)(,8)(==X D X E结论：第一名同学的射击成绩稳定性较差，第二名同学的射击成绩稳定性较好，稳定于8环左右.对“探究”的再思考(1)如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右，本班应该派哪一名选手参赛？ (2)如果其他班级参赛选手的射击成绩都在8环左右，本班应该派哪一名选手参赛？问题探究二常见随机变量方差及随机变量方差的性质 ①若X 服从两点分布，则)1()(p p X D -= 若),(~p n B X ，则)1()(p np X D -=．②方差的性质：)()(2X D a b aX D =+；22))(()()(X E X E X D -=. 3.运用新知例1有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为X ，求)(X E ，)(X D .【知识点：期望、方差】解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以X ～B(200,1%)．因为np X E =)(，)1()(p np X D -=，这里n ＝200，p ＝1%.所以)(X E =200×1%＝2，)(X D ＝200×1%×99%＝1.98. 例2已知随机变量X 的分布列为若E (X )＝23. (1)求D (X )的值；(2)若Y ＝3X －2【知识点：离散型随机变量期望、方差及方差的性质】解:由12＋13＋p ＝1，得p ＝16.又E (X )＝0×12＋1×13＋16x ＝23， ∴x ＝2.(1)D (X )＝(0－23)2×12＋(1－23)2×13＋(2－23)2×16＝1527＝59. (2)∵Y ＝3X －2，∴D (Y )＝D (3X －2)＝9D (X )．==练习1 设X ～B (n ，p )，且E (X )＝12，D (X )＝4，则n 与p 的值分别为( ) A ．18，13 B ．12，23C ．18，23D ．12，13 【知识点：离散型随机变量方差及方差的性质】答案：由X ～B (n ，p )，则4)(,12)(====npq X D np X E ，所以32,18==p n . 练习2 设p 为非负实数，随机变量X 的概率分布为：求E (X )与D (X )的最大值．解:根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤p <1，0≤12－p <1，解得0≤p ≤12.因为E (X )＝－1×(12－p )＋0×p ＋1×12＝p ，所以当p ＝12时，E (X )取得最大值，为12.因为D (X )＝(－1－p )2(12－p )＋(0－p )2p ＋(1－p )2×12＝－p 2－p ＋1＝－(p ＋12)2＋54，故当p ＝0时，D (X )取得最大值为1.【知识点：离散型随机变量期望、方差及二次函数的性质】 4．课堂总结重点难点突破（1）求离散型随机变量均值与方差的方法步骤： ①理解X 的意义，写出X 可能取的全部值； ②求X 取每个值的概率； ③写出X 的分布列； ④由方差的定义求)(X D ．（2）方差的性质：（1）)()(2X D a b aX D =+；22))(()()(X E X E X D -=. （2）若X 服从两点分布，则()=(1)D X p p -；（3）若ξ～),,(p n B 则(1)D np p ξ=-；（4）方差DX 表示，DX 越大，表示，说明X 的取值越分散；DX 越小，表示，说明X 的取值越集中稳定.（5）方差公式的几种形式：22122))(()())(())(()(X E X E p X E x X E X E X D i ni i -=⋅-=-=∑=.方差的意义数学期望反映了随机变量取值的平均水平，但有时只知道数学期望还不能解决问题，还需要知道随机变量的取值在均值周围变化的情况，即方差．①随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．②随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；③标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛. 5．随堂检测1.若随机变量X 满足P （x ＝c ）＝1，其中c 为常数，则()X E =________，()X D _______.2.已知随机变量X 的分布列为则()X E 与()X D 的值为( )(A) 0.6和0.7 (B)1.7和0.3 (C) 0.3和0.7 (D)1.7和0.213.已知()5.0100~，B X 则()X E =___,()X D =____. ()12-X E =____,()12-X D =____.4.有一批数量很大的商品，其中次品占1％，现从中任意地连续取出200件商品，设其次品数为X ，则()X E =_____, ()X D =_______.5.已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数x 1、x 2的分布列如下：试比较两名射手的射击水平.如果其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？（三）课后作业基础型自主突破1．已知随机变量ξ满足P (ξ＝1)＝0.3，P (ξ＝2)＝0.7，则E (ξ)和D (ξ)的值分别为( )A ．0.6和0.7B ．1.7和0.09C ．0.3和0.7D ．1.7和0.21 2．已知X 的分布列为则D (X )等于( )A ．0.7B ．0.61C ．－0.3D ．0 3．D (ξ－D (ξ))的值为( )A ．无法求B ．0C ．D (ξ) D ．2D (ξ) 能力型师生共研4．甲、乙两台自动车床生产同种标准产品1 000件，ξ表示甲机床生产1 000件产品中的次品数，η表示乙机床生产1 000件产品中的次品数，经过一段时间的考察，ξ，η的分布列分别是：据此判定()A．甲比乙质量好B．乙比甲质量好C．甲与乙的质量相同D．无法判定5．若ξ是离散型随机变量，P(ξ＝X1)＝23，P(ξ＝X2)＝13，且X1<X2，又已知E(ξ)＝43，D(ξ)＝29，则X1＋X2的值为()A.53 B.73C．3 D.1136．设ξ～B(n，p)，则有()A．E(2ξ－1)＝2np B．D(2ξ＋1)＝4np(1－p)＋1 C．E(2ξ＋1)＝4np＋1D．D(2ξ－1)＝4np(1－p)7．若随机变量X1～B(n,0.2)，X2～B(6，p)，X3～B(n，p)，且E(X1)＝2，D(X2)＝32，则σ(X3)的值是()A．0.5 B. 1.5 C. 2.5 D．3.5自助餐1.已知离散型随机变量X的分布列如下表．E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________，b＝________.2.变量ξ的分布列如下：其中a，b，c成等差数列．若E(ξ)＝13，则D(ξ)的值是________．3．抛掷一枚质地均匀的骰子，用X表示掷出偶数点的次数．(1)若抛掷一次，求E(X)和D(X)；(2)若抛掷10次，求E(X)和D(X)．4．有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在每张卡片上写上0,1,2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y，令ξ＝x·y.求：(1)ξ所取各值的分布列；(2)随机变量ξ的数学期望与方差．（四）参考答案预习自测 1.1.2 2.920 随堂检测 1.c ,0 2. D3.50, 25, 99, 1004. 2，1.985. 解：92.0106.092.081=⨯+⨯+⨯=ξE ，94.0102.094.082=⨯+⨯+⨯=ξE∴甲、乙两射手的射击平均水平相同.又8.0,4.021==ξξD D∴甲射击水平更稳定.如果对手在8环左右,派甲；如果对手在9环左右,派乙. 课后作业基础型 1.D 2.B 3.C 能力型 4.A 5.C 6.D 7.C 自助餐 1.512, 14 2.593.解:(1)X 服从两点分布，∴E (X )＝p ＝12.D (X )＝p (1－p )＝12×(1－12)＝14. (2)由题意知，X ～B (10，12)． ∴E (X )＝np ＝10×12＝5， D (X )＝npq ＝10×12×(1－12)＝52.4.解:(1)随机变量ξ的可能取值有0,1,2,4，“ξ＝0”是指两次取的卡片上至少有一次为0，其概率为 P (ξ＝0)＝1－23×23＝59；“ξ＝1”是指两次取的卡片上都标着1，其概率为 P (ξ＝1)＝13×13＝19；“ξ＝2”是指两次取的卡片上一个标着1，另一个标着2，其概率为P (ξ＝2)＝2×13×13＝29； “ξ＝4”是指两次取的卡片上都标着2，其概率为P (ξ＝4)＝13×13＝19. 则ξ的分布列为(2)E (ξ)＝0×59＋1×19＋2×29＋4×19＝1，D (ξ)＝(0－1)2×59＋(1－1)2×19＋(2－1)2×29＋(4－1)2×19＝169.。

【人教A版】高中数学选修2-3第二章第三节：离散型随机变量的方差(2)

X1
6
7
8
9 10
P1 0.16 0.14 0.42 0.1 0.18
X2
6
7
8
9 10
P2 0.19 0.24 0.12 0.28 0.17
根据环数的期望和方差比较这两名射手的射击水平
《同步导练》二单元第9课时
（1）不放回的抽样，抽到的次品数X的分布列、期望和方差；
（2）有放回的抽样，抽到的次品数Y的分布列、期望和方差.
探究1: 有甲、乙两个单位都愿意聘用你, 而你能获得如下信息：
甲单位不同职位月工资X1/元
1200
1400
1600 1800
获相应职位的概率P1 0.4 0.3 0.2 0.1
乙单位不同职位月工资X2/元
或一枚6点出现时，就说这次试验成功，在30次试
验中成功的次数为X，则E(X)=____,D(X)=____
练习3:有一批数量大的商品，次品率占1%，
从中任意连续取出200件，设次品数为X，则
E(X)= ____,D(X)=抽取3次，每次抽取1件，求：
获相应职位的概率P2
1000 0.4
1400 0.3
1800 2200 0.2 0.1
根据工资待遇的差异情况, 你愿意选择哪家单位?
探究2：有A,B两个投资项目的利润率分别为随机变量 X1、X2 根据市场分析，分布列如下,
X1 5% 10% P1 0.8 0.2
X2 2% 8% 12% P2 0.2 0.5 0.3
高中数学选修2-3第二章第三节
离散型随机变量的方差2
1.离散型随机变量X的期望、方差的概念及求法； 2.离散型随机变量X的期望、方差几个重要结论；

高二数学2.3.2 离散型随机变量的方差

探究一
探究二
探究三
探究四
探究一求离散型随机变量的方差
求离散型随机变量的方差的步骤: (1)列出随机变量的分布列; (2)求出随机变量的均值; (3)求出随机变量的方差.
探究一
探究二
探究三
探究四
【典型例题 1】袋中有 20 个大小相同的球,其中标记 0 的有 10 个,标记 n 的有 n 个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球.ξ 表示所取球的标号.
探究一
探究二
探究三
探究四
错因分析:忽略了随机变量分布列的性质出现错误,这里只是机械地套用公式,且对 D(ax+b)=a2D(x)应用错误.
正解:∵0.2+0.2+a+0.2+0.1=1,∴a=0.3. ∴E(X)=0×0.2+1×0.2+2×0.3+3×0.2+4×0.1=1.8.
D(X)=(0-1.8)2×0.2+(1-1.8)2×0.2+(2-1.8)2×0.3+(3-1.8)2×0.2+(4-1.8)2×0
均值 E(X)的平均偏离程度,我们称 D(X)为随机变量 X 的方差,并称其算术平方根 ��(��)为随机变量 X 的标准差.
(2)意义:随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度,方差或标准差越小,则随机变量偏离于均值的平均程度越小.
(3)离散型随机变量的方差的性质: 设 a,b 为常数,则 D(aX+b)=a2D(X).
探究一
探究二
探究三
探究四
(2)由 D(η)=a2D(ξ),得 a2×2.75=11,得 a=±2. 又 E(η)=aE(ξ)+b,所以, 当 a=2 时,由 1=2×1.5+b,得 b=-2; 当 a=-2 时,由 1=-2×1.5+b,得 b=4.

3.2 《离散型随机变量的方差》一等奖创新教学设计

3.2 《离散型随机变量的方差》一等奖创新教学设计《离散型随机变量的方差》教学设计一、导语随机变量的均值是一个重要的数字特征,它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势”.因为随机变量的取值围绕其均值波动,而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小,所以我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征.设计意图:通过谈话,引入课题.二、探究新知探究1:从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录,甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如表1和表2所示.如何评价这两名同学的射击水平师生活动:教师提出探究问题,引导学生分析.师:能不能用我们上一节课学习的均值分析这一问题同学们尝试一下.学生运算求解,求出甲、乙两名同学击中目标靶的环数的均值.通过计算可得,.因为两个均值相等,所以根据均值不能区分这两名同学的射击水平.追问1:平均水平相同,是不是这两名同学的射击水平就没有差距呢我们还能不能从其他角度进一步考察这两名同学的射击水平呢下面我们从稳定性的角度考虑,你能根据表1和表2画出这两名同学击中环数的概率分布图吗同学们动手试一下.学生尝试独立完成,教师出示下图.追问2:从图中你能发现什么发现乙同学的射击成绩更集中于8环,即乙同学的射击成绩更稳定.追问3:上面的结论我们是通过观察概率分布图直观得到的,怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度设计意图:通过具体的问题情境,让学生积极思考、参与互动,从而引入离散型随机变量的方差的概念,发展学生的逻辑推理、数学运算和数学抽象核心素养.师:先看下面两个问题.问题1:某人学习射击,射击10次,所得环数分别是:.则所得的平均环数是多少问题2:某人学习射击,射击10次,所得环数分别是:.则这组数据的方差是多少师生活动:教师提出上述问题,让学生动手计算,并让学生思考,由此你能想到什么..设计意图:通过问题1、问题2,为引入离散型随机变量的方差的概念作准备.教师提问:我们知道,样本方差可以度量一组样本数据的离散程度,它是通过计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”来实现的.一个自然的想法是,随机变量的离散程度能否用可能取值与均值的“偏差平方的平均值”来度量呢学生讨论,得出:可以用偏差平方关于取值概率的加权平均,来度量随机变量取值与其均值的偏离程度.师生总结得出概念:一般地,若离散型随机变量的分布列如下:则称为随机变量的方差,有时也记为.称为随机变量的标准差,记为.说明:随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量的取值与其均值的偏离程度,反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小,随机变量的取值越集中;方差或标准差越大,随机变量的取值越分散.设计意图:让学生经历离散型随机变量的方差概念的建构过程,进一步体会从特殊到一般的思想,培养学生归纳、类比等合情推理的能力,提升数学抽象、逻辑推理等核心素养.因此,探究1中,可以用两名同学射击成绩的方差和标准差来刻画他们射击成绩的稳定性.两名同学射击成绩的方差和标准差分别为;.因为(等价地,),所以随机变量的取值相对更集中,即乙同学的射击成绩相对更稳定.设计意图:让学生利用方差和标准差的定义求解探究1提出的问题,学以致用,提高学生的应用意识.问题3:方差的计算可以简化吗教师提出问题,先让学生思考,再出示简化的结果..让学生区分与.设计意图:有助于学生更好地理解方差的本质.探究2:离散型随机变量加上一个常数,方差会有怎样变化离散型随机变量乘一个常数,方差又有怎样的变化它们和期望的性质有什么不同师生活动:教师提出问题,让学生充分思考、讨论、交流.在此基础上,找几名学生代表分享讨论交流的结果.学生发言后,教师进行评价指导,最后共同得出结论.离散型随机变量加上一个常数,其均值也相应加上常数,故不改变与其均值的离散程度,方差保持不变,即.而离散型随机变量乘一个常数,其方差变为原方差的倍,即.因此,.用定义证明(供教师参考):设离散型随机变量的分布列为由(为常数)知也是离散型随机变量.的分布列为由均值的性质得,于是.设计意图:类比均值的性质,推导得出方差的性质.根据学生的情况,教师可以引导学生用方差的定义证明这一结论,提高学生的逻辑推理核心素养.三、典例剖析例1 抛郑一枚质地均匀的骰子,求掷出的点数的方差.师生活动:教师让学生利用方差的定义进行计算.集体核对.解:随机变量的分布列为,因为,所以.教师指出:方差的计算需要一定的运算能力,在随机变量的均值比较容易计算的情况下,运用公式不失为一种比较实用的方法.另外注意方差性质的应用,即.设计意图:通过例题,提升对概念精细化的理解.让学生掌握方差的算法,发展学生的逻辑推理、直观想象、数学抽象和数学运算核心素养.例2 投资两种股票,每股收益的分布列分别如表1和表2所示.(1)投资哪种股票的期望收益大(2)投资哪种股票的风险较高师生活动:教师提问:你能用我们所学的知识分析、解决这一生活中的实际问题吗教师可以引导分析第(2)问,我们如何衡量投资风险的高低解:(1)股票和股票投资收益的期望分别为,.因为,所以投资股票的期望收益较大.(2)股票和股票投资收益的方差分别为,因为和相差不大,且,所以投资股票比投资股票的风险高.设计意图:例2是综合利用均值和方差比较投资两种股票收益的问题,目的是使学生了解在实际问题中均值和方差的意义.在这个问题中,均值表示平均收益,方差表示风险(不确定性).在教学中,可以提供更多不同背景的实际问题,帮助学生了解均值、方差的意义.师生共同归纳总结利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤: （1）比较均值.离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平,因此,在实际决策问题中,需先计算均值,看一下谁的平均水平高.（2）在均值相等或接近的情况下计算方差.方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差,分析一下谁的水平发挥相对稳定.（3）下结论.依据均值和方差给出结论.四、达标检测1.把随机变量X的分布列填写完整,并完成填空.若,则______,______.2.已知离散型随机变量的分布列如下.若,则______,______,______.3.甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境,且野生动物的种类和数量也大致相等,而两个保护区内每个季度发生的违规事件次数的分布列分别如下.甲保护区:乙保护区:试计算这两个保护区每个季度发生的违规事件次数的均值和方差.答案1. (点拨:由分布列的性质知,分布列中应填..)2. (点拨:由题知,解得,.)3.甲保护区违规事件次数的均值和方差分别为,.乙保护区违规事件次数的均值和方差分别为,.设计意图:通过练习,巩固本节所学知识.通过学生解决问题,发展学生的数学运算、数学建模核心素养.五、课堂总结1.离散型随机变量的方差是如何定义的我们是如何得出随机变量方差公式的2.在计算离散型随机变量的方差时,我们如何选择公式简化运算3.如何利用方差和标准差分析、解决生活中的实际问题设计意图:通过总结,让学生进一步巩固本节所学内容,提高概括能力.六、布置作业教材第70页练习第题.板书设计:7.3.2离散型随机变量的方差1.一般地,若离散型随机变量的分布列如下: 则称为随机变量的方差,有时也记为2.称为随机变量的标准差,记为3.离散型随机变量方差的性质 4.例题例1 例21 / 9。

高二数学(选修-人教A版)-离散型随机变量的方差-教案

教案点的指标吗？1X 的分布列图2X 的分布列图引导学生探讨均值相同时的射击特点，射击特点自然要研究击中目标靶环数的分布列特点，而分布列表不容易发现数据规律，分布列图能直观展现数据规律，即概念引入的直观性（原生态概念）新课二．聚焦难点形成概念问题3.怎样定量刻画随机变量的稳定性？设离散型随机变量X 的分布列为：X 1x 2x i x n x P1p2pi pn p样本方差反映了所有样本数据偏离均值的平均程度，类比样本方差概念，引出并称其算术平方根()D X 为随机变量三．实例分析辨析概念说说离散型随机变量方差的含义？方差和标准差都刻画了随机变量9215(8)()0.82i i P X i第一名同学射击成绩稳定性较差，第二名同学的射击成绩稳定性较好，稳定于8环左右.选派哪位选手的问题能解决了吗？如果对手射击成绩都是8环，要想取胜或不输，本班选手必须超常发挥，一四．应用巩固深化概念随机抛掷一枚质地均匀的骰子，求向上一面的点数值、方差和标准差.解：抛掷骰子所得点数X 的分布列：666666222222111(1 3.5)(2 3.5)(3 3.5)666111(4 3.5)(5 3.5)(6 3.5)6662.92() 1.71D X求方差的步骤：求随机变量的均值；求随机变量的方差；22(02)0.1(12)0.2(22)0.42)0.2(42)0.1 1.2 () 1.095D X问题10：能将方差公式进行恒等变形吗？2()E X 2200.110.2练习：若随机变量X 满足()1P X c ，其中c 为常数，求()D X .计算得到：2()()10D X c c有甲乙两个单位都愿意聘你，而你能获得如下信息：甲单位不同职位月工单意义10000.414000.318000.222000.114002()E X2212()(12001400)0.4(14001400)0.31400)D X 2222)(10001400)0.4(14001400)0.31400)0.2(22001400)0.1160000 2)()D X结论：两家单位平均工资相等，甲单位不同职位的工资相对集中，即差别不大，乙单位不同职位工资相对分散，即差别较大，所以你希望差距小就选甲单位，你能力强，希望工资差距大就选乙单位.利用离散型随机变量的方差来描述和分析随机现象，解决一些实际问题，体会概率模型的作用及应用概率思想思考和解决.甲、乙两名选手在同一条件下射击，所得环数78。

学新教材高中数学概率与统计随机变量离散型随机变量的方差教案新人教B版选择性必修第二册

第２课时离散型随机变量的方差学习目标核心素养１．理解离散型随机变量的方差及标准差的概念．（重点）２．掌握方差的性质以及两点分布、二项分布的方差．（重点）３．会用方差解决一些实际问题．（难点）１．通过学习离散型随机变量的方差、标准差，体会数学抽象的素养．２．借助方差的性质及两点分布、二项分布的方差解题，提高数学运算的素养.山东省要从甲、乙两名射击运动员中选出一人参加第十四届全运会，根据以往数据，这两名运动员射击环数分布列如下所示．甲的环数89１0P0．２0．60．２乙的环数89１0P0．３0．４0．３１．离散型随机变量的方差与标准差（１）定义：如果离散型随机变量X的分布列如下表所示．X x１x２…x k…x nP p１p２…p k…p n则D（X）＝[x１—E（X）]２p１＋[x２—E（X）]２p２＋…＋[x n—E（X）]２p n＝错误![x i—E（X）]２p i，称为离散型随机变量X的方差；错误!称为离散型随机变量X的标准差．（２）意义：方差和标准差均刻画一个离散型随机变量的离散程度（或波动大小）．（３）性质：若X与Y都是随机变量，且Y＝aX＋b（a≠0），则D（Y）＝a２D（X）．２．两点分布及二项分布的方差（１）若随机变量X服从参数为p的两点分布，则D（X）＝p（１—p）．（２）若随机变量X～B（n，p），则D（X）＝np（１—p）．思考：两点分布与二项分布的方差间存在怎样的联系．[提示] 由于两点分布是特殊的二项分布，故两者之间是特殊与一般的关系．即若X～B（n，p），则D（X）＝np（１—p），取n＝１，则D（X）＝p（１—p）就是两点分布的方差．１．思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）离散型随机变量X的期望E（X）反映了X取值的概率的平均值．（）（２）离散型随机变量X的方差D（X）反映了X取值的平均水平．（）（３）离散型随机变量X的期望E（X）反映了X取值的波动水平．（）（４）离散型随机变量X的方差D（X）反映了X取值的波动水平．（）[答案] （１）×（２）×（３）×（４）√２．设随机变量ξ的方差D（ξ）＝１，则D（２ξ＋１）的值为（）Ａ．２Ｂ．３Ｃ．４Ｄ．５C[因为D（２ξ＋１）＝４D（ξ）＝４×１＝４，故选Ｃ．]３．若随机变量ξ～B错误!，则D（ξ）＝________.１[∵ξ～B错误!，∴D（ξ）＝４×错误!×错误!＝１．]４．已知随机变量X的分布列为X１３５P0．４0．１0．５则X的标准差为________．错误![E（X）＝１×0．４＋３×0．１＋５×0．５＝３．２，∴D（X）＝（１—３．２）２×0．４＋（３—３．２）２×0．１＋（５—３．２）２×0．５＝３．５6．∴X的标准差为错误!＝错误!＝错误!.]离散型随机变量的方差３,４）．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．（１）求X的分布列、均值和方差；（２）若Y＝aX＋b，E（Y）＝１，D（Y）＝１１，试求a，b的值．[思路点拨] （１）根据题意，由古典概型的概率公式求出分布列，再利用均值、方差的公式求解．（２）运用E（Y）＝aE（X）＋b，D（Y）＝a２D（X），求a，b.[解] （１）X的分布列为X0１２３４P错误!错误!错误!错误!错误!∴E（X）＝0×错误!D（X）＝（0—１．５）２×错误!＋（１—１．５）２×错误!＋（２—１．５）２×错误!＋（３—１．５）２×错误!＋（４—１．５）２×错误!＝２．7５．（２）由D（Y）＝a２D（X），得a２×２．7５＝１１，即a＝±２．又E（Y）＝aE（X）＋b，所以当a＝２时，由１＝２×１．５＋b，得b＝—２；当a＝—２时，由１＝—２×１．５＋b，得b＝４，∴错误!或错误!即为所求．１．求离散型随机变量X的方差的基本步骤错误!↓错误!↓错误!↓错误!↓错误!２．对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意方差性质的应用，如D（aξ＋b）＝a２D（ξ），这样处理既避免了求随机变量η＝aξ＋b的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程．错误!１．（１）已知随机变量X的分布列为X１２３P0．５x y若E（X）＝错误!，则D（XＡ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!（２）已知X的分布列如下．X—１0１P错误!错误!a１求X２的分布列；２计算X的方差；３若Y＝４X＋３，求Y的均值和方差．（１）B[由分布列的性质得x＋y＝0．５，又E（X）＝错误!，所以２x＋３y＝错误!，解得x＝错误!，y＝错误!，所以D（X）＝错误!错误!×错误!＋错误!错误!×错误!＋错误!错误!×错误!＝错误!.]（２）[解] １由分布列的性质，知错误!＋错误!＋a＝１，故a＝错误!，从而X２的分布列为X0１２P错误!错误!２由１知a＝错误!，所以X的均值!＋0×错误!＋１×错误!＝—错误!.故X 的方差D（X）＝错误!错误!×错误!＋错误!错误!×错误!＋错误!错误!×错误!＝错误!.３E（Y）＝４E（X）＋３＝４×错误!＋３＝２，D（Y）＝１6D（X）＝１１．两点分布、二项分布的方差一事件是相互独立的，并且概率是错误!.（１）求这位司机遇到红灯次数X的均值与方差；（２）若遇上红灯，则需等待３0秒，求司机总共等待时间Y的均值与方差．[解] （１）由题意知司机遇上红灯次数X服从二项分布，且X～B错误!，∴E（X）＝6×错误!＝２，D（X）＝6×错误!×错误!＝错误!.（２）由已知得Y＝３0X，∴E（Y）＝３0E（X）＝60，D（Y）＝900D（X）＝１２00．１．如果随机变量X服从两点分布，那么其方差D（X）＝p（１—p）（p为成功概率）．２．如果随机变量C服从二项分布，即X～B（n，p），那么方差D（X）＝np（１—p），计算时直接代入求解，从而避免了繁杂的计算过程．错误!２．（１）设一随机试验的结果只有A和错误!，且P（A）＝m，令随机变量ξ＝错误!则ξ的方差D （ξ）等于（）Ａ．mＢ．２m（１—m）Ｃ．m（m—１）Ｄ．m（１—m）（２）若随机变量X～B（３，p），D（X）＝错误!，则p＝________.（１）D（２）错误!或错误![（１）随机变量ξ的分布列为ξ0１P１—m m∴E（ξ）＝0×（１—m）＋１×m＝∴D（ξ）＝（0—m）２×（１—m）＋（１—m）２×m＝m（１—m）．（２）∵X～B（３，p），∴D（X）＝３p（１—p），由３p（１—p）＝错误!，得p＝错误!或p＝错误!.]期望、方差的综合应用１．A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表．A机床次品数X１0１２３P0．70．２0．060．0４次品数X２0１２３P0．80．060．0４0．１0试求E（X１），E（X２[提示] E（X１）＝0×0．7＋１×0．２＋２×0．06＋３×0．0４＝0．４４．E（X２）＝0×0．8＋１×0．06＋２×0．0４＋３×0．１0＝0．４４．２．在探究１中，由E（X１）和E（X２）的值能比较两台机床的产品质量吗？为什么？[提示] 不能．因为E（X１）＝E（X２）．３．在探究１中，试想利用什么指标可以比较A，B两台机床加工质量？[提示] 利用样本的方差．方差越小，加工的质量越稳定．【例３】甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中１0,9,8,7环的概率分别为0．５,３a，a,0．１，乙射中１0,9,8环的概率分别为0．３,0．３,0．２．（１）求ξ，η的分布列；（２）求ξ，η的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．[思路点拨] （１）由分布列的性质先求出a和乙射中7环的概率，再列出ξ，η的分布列．（２）要比较甲、乙两射手的射击水平，需先比较两射手击中环数的数学期望，然后再看其方差值．[解] （１）由题意得：0．５＋３a＋a＋0．１＝１，解得a＝0．１．因为乙射中１0,9,8环的概率分别为0．３,0．３,0．２，所以乙射中7环的概率为１—（0．３＋0．３＋0．２）＝0．２．所以ξ，η的分布列如下表所示．ξ１0987P0．５0．３0．１0．１η１0987P0．３0．３0．２0．２（２）由（１）得：E（ξ）＝１0×0．５＋9×0．３＋8×0．１＋7×0．１＝9．２；E（η）＝１0×0．３＋9×0．３＋8×0．２＋7×0．２＝8．7；D（ξ）＝（１0—9．２）２×0．５＋（9—9．２）２×0．３＋（8—9．２）２×0．１＋（7—9．２）２×0．１＝0．96；D（η）＝（１0—8．7）２×0．３＋（9—8．7）２×0．３＋（8—8．7）２×0．２＋（7—8．7）２×0．２＝１．２１．由于E（ξ）>E（η），D（ξ）<D（η），说明甲射击的环数的均值比乙高，且成绩比较稳定，所以甲比乙的射击技术好．利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤１．比较均值．离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高．２．在均值相等的情况下计算方差．方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定．３．下结论．依据方差的几何意义做出结论．错误!３．甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等．两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：甲保护区：X0１２３P0．３0．３0．２0．２乙保护区：Y0１２P0．１0．５0．４[解] 甲保护区的违规次数X的数学期望和方差分别为E（X）＝0×0．３＋１×0．３＋２×0．２＋３×0．２＝１．３；D（X）＝（0—１．３）２×0．３＋（１—１．３）２×0．３＋（２—１．３）２×0．２＋（３—１．３）２×0．２＝１．２１．乙保护区的违规次数Y的数学期望和方差分别为E（Y）＝0×0．１＋１×0．５＋２×0．４＝１．３；D（Y）＝（0—１．３）２×0．１＋（１—１．３）２×0．５＋（２—１．３）２×0．４＝0．４１．因为E（X）＝E（Y），D（X）>D（Y），所以两个保护区内每季度发生的平均违规次数是相同的，但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事件次数相对分散，故乙保护区的管理水平较高.１．求离散型随机变量的方差的类型及解决方法（１）已知分布列型（非两点分布或二项分布）：直接利用定义求解，具体如下，１求均值；２求方差．（２）已知分布列是两点分布或二项分布型：直接套用公式求解，具体如下，１若X服从两点分布，则D（X）＝p（１—p）．２若X～B（n，p），则D（X）＝np（１—p）．（３）未知分布列型：求解时可先借助已知条件及概率知识求得分布列，然后求方差．（４）对于已知D（X）求D（aX＋b）型，利用方差的性质求解，即利用D（aX＋b）＝a２D（X）求解．２．解答离散型随机变量的实际应用问题的关注点（１）分析题目背景，根据实际情况抽象出概率模型，特别注意随机变量的取值及其实际意义．（２）弄清实际问题是求均值还是方差，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高，然后再计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定．因此，在利用均值和方差的意义去分析解决实际问题时，两者都要分析．１．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各１0株的分蘖数据，计算出样本方差分别为D（X甲）＝１１，D（X乙）＝３．４．由此可以估计（）Ａ．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐Ｂ．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐Ｃ．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同Ｄ．甲、乙两种水稻分蘖整齐不能比较B[∵D（X甲）>D（X乙），∴乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐．]２．设二项分布B（n，p）的随机变量X的均值与方差分别是２．４和１．４４，则二项分布的参数n，p的值为（）Ａ．n＝４，p＝0．6 Ｂ．n＝6，p＝0．４Ｃ．n＝8，p＝0．３Ｄ．n＝２４，p＝0．１B[由题意得，np＝２．４，np（１—p）＝１．４４，∴１—p＝0．6，∴p＝0．４，n＝6．]３．已知随机变量X，且D（１0X）＝错误!，则X的标准差为________．错误![由题意可知D（１0X）＝错误!，即１00D（X）＝错误!，∴D（X）＝错误!，∴错误!＝错误!.即X的标准差为错误!.]４．一批产品中，次品率为错误!，现连续抽取４次，其次品数记为X，则D（X）的值为________．错误![由题意知X～B错误!，所以D（X）＝４×错误!×错误!＝错误!.]５．已知离散型随机变量X的分布列如下表．若E（X）＝0，D（X[解] 由题意，错误!解得a＝错误!，b＝c＝错误!.。

高中数学第2章随机变量及其分布 2.3 2.3.2 离散型随机变量的方差(教师用书)教案新人教

2.3.2 离散型随机变量的方差学习目标核心素养 1．理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念． 2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．(重点) 3．掌握方差的性质以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差．(难点)1．通过离散型随机变量的方差的学习，体会数学抽象的素养． 2．借助方差解决实际问题，提高数学运算的素养.1．离散型随机变量的方差、标准差(1)定义：设离散型随机变量X 的分布列为 X x 1 x 2 … x i … x nP p 1 p 2 … p i … p n那么(x i －E (X ))2描述了i (X )的偏离程度，而D (X )＝∑i ＝1n(x i －E (X ))2p i 为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度．称D (X )为随机变量X 的方差，其算术平方根D (X )为随机变量X 的标准差．(2)意义：随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，那么随机变量偏离于均值的平均程度越小．思考：随机变量的方差与样本方差有什么关系？[提示] 随机变量的方差是总体的方差，它是一个常数，样本的方差那么是随机变量，是随样本的变化而变化的．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差．2．服从两点分布与二项分布的随机变量的方差(1)假设X服从两点分布，那么D(X)＝p(1－p)；(2)假设X～B(n，p)，那么D(X)＝np(1－p)．3．离散型随机变量方差的线性运算性质设a，b为常数，那么D(aX＋b)＝a2D(X)．1．假设随机变量X服从两点分布，且在一次试验中事件A发生的概率P＝0.5，那么E(X)和D(X)分别为()A．0.25；0.5B．0.5；0.75C．0.5；0.25 D．1；0.75C[E(X)＝0.5，D(X)＝0.5×(1－0.5)＝0.25.]2．随机变量ξ，D(ξ)＝19，那么ξ的标准差为________．13[ξ的标准差D(ξ)＝19＝13.]3．随机变量ξ的分布列如下表：ξ－101P 121316那么ξ的均值为________，方差为________．－1359[均值E(ξ)＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13；方差D(ξ)＝－1＋132×12＋0＋132×13＋1＋132×16＝59.]求随机变量的方差与标准差X －101P 1214a(1)求X2的分布列；(2)计算X的方差；(3)假设Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．[解](1)由分布列的性质，知12＋14＋a＝1，故a＝14，从而X2的分布列为X201P1434(2)法一：(直接法)由(1)知a＝14，所以X的均值E(X)＝(－1)×12＋0×14＋1×14＝－14.故X的方差D(X)＝⎝⎛⎭⎪⎫－1＋142×12＋⎝⎛⎭⎪⎫0＋142×14＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋142×14＝1116.法二：(公式法)由(1)知a＝14，所以X的均值E(X)＝(－1)×12＋0×14＋1×14＝－14，X2的均值E(X2)＝0×14＋1×34＝34，所以X的方差D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝1116.(3)因为Y＝4X＋3，所以E(Y)＝4E(X)＋3＝2，D(Y)＝42D(X)＝11.方差的计算需要一定的运算能力，公式的记忆不能出错！在随机变量X2的均值比较好计算的情况下，运用关系式D(X)＝E(X2)－[E(X)]2不失为一种比较实用的方法．另外注意方差性质的应用，如D(aX＋b)＝a2D(X)．[跟进训练]1．η的分布列为：η010205060P 13 25 115 215 115(1)求η的方差及标准差； (2)设Y ＝2η－E (η)，求D (Y )．[解] (1)∵E (η)＝0×13＋10×25＋20×115＋50×215＋60×115＝16，D (η)＝(0－16)2×13＋(10－16)2×25＋(20－16)2×115＋(50－16)2×215＋(60－16)2×115＝384， ∴D (η)＝8 6.(2)∵Y ＝2η－E (η)，∴D (Y )＝D (2η－E (η))＝22D (η)＝4×384＝1 536.两点分布与二项分布的方差 [例2] 设X 的分布列为P (X ＝k )＝C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎝ ⎛⎭⎪⎫23(k ＝0,1,2,3,4,5)，那么D (3X )＝( )A ．10B ．30C ．15D ．5 A [由P (X ＝k )＝C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ⎝ ⎛⎭⎪⎫235－k (k ＝0,1,2,3,4,5)可知随机变量服从二项分布X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13，所以D (X )＝5×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝109， D (3X )＝9D (X )＝10.]1．(变换条件、改变问法)本例题改为随机变量X 服从二项分布B (n ，p )，且E (3X ＋2)＝9.2，D (3X ＋2)＝12.96，求二项分布的参数n ，p 的值．[解] 由E (3X ＋2)＝9.2，D (3X ＋2)＝12.96及X ～B (n ，p )知⎩⎪⎨⎪⎧ E (3X ＋2)＝3E (X )＋2，D (3X ＋2)＝9D (X )，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3np ＋2＝9.2，9np (1－p )＝12.96，解得⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝6，p ＝0.4，所以二项分布的参数n ＝6，p ＝0.4.2．(改变问法)本例题条件不变，求E (3X ＋2)．[解] 由例题可知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13，所以E (X )＝5×13＝53.故E (3X ＋2)＝3E (X )＋2＝7.求离散型随机变量的均值与方差的关注点1．写出离散型随机变量的分布列．2．正确应用均值与方差的公式进行计算．3．对于二项分布，关键是通过题设环境确定随机变量服从二项分布，然后直接应用公式计算．均值、方差的实际应用1．A ，B 两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：A机床由E(X1)和E(X2)的值能比较两台机床的产品质量吗？为什么？[提示]不能．因为E(X1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44.E(X2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.所以，不能由E(X1)和E(X2)的值比较两台机床的产品质量．2．在探究1中，试想利用什么指标可以比较A，B两台机床加工质量？[提示]利用样本的方差．方差越小，加工的质量越稳定．[例3]甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5，3a，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.(1)求ξ，η的分布列；(2)求ξ，η的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．[思路点拨](1)由分布列的性质先求出a和乙射中7环的概率，再列出ξ，η的分布列．(2)要比较甲、乙两射手的射击水平，需先比较两射手击中环数的均值，然后再看其方差值．[解](1)由题意得：0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2，所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.所以ξ，η的分布列分别为ξ10987P 0.50.30.10.1η10987P 0.30.30.20.2(2)由(1)得：E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2；E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7；D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96；D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.由于E(ξ)>E(η)，D(ξ)<D(η)，说明甲射击的环数的均值比乙高，且成绩比较稳定，所以甲比乙的射击技术好．利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤1．比较均值．离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高．2．在均值相等的情况下计算方差．方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定．3．下结论．依据方差的几何意义做出结论．[跟进训练]2．有甲、乙两名学生，经统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的成绩在80分、90分、100分的概率分布大致如下表所示：甲：分数X 8090100概率P 0.20.60.2乙：分数Y 8090100概率P 0.40.20.4试分析两名学生的成绩水平．[解]因为E(X)＝80×0.2＋90×0.6＋100×0.2＝90，D(X)＝(80－90)2×0.2＋(90－90)2×0.6＋(100－90)2×0.2＝40，E(Y)＝80×0.4＋90×0.2＋100×0.4＝90，D(Y)＝(80－90)2×0.4＋(90－90)2×0.2＋(100－90)2×0.4＝80，即E(X)＝E(Y)，D(X)<D(Y)，所以甲生与乙生的成绩均值一样，甲的方差较小，因此甲生的学习成绩较稳定．对随机变量X的方差、标准差的五点说明(1)随机变量X的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同的．(2)随机变量X的方差和标准差都反映了随机变量X的取值的稳定性和波动、集中与离散程度．(3)标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更为广泛．(4)D (X )越小，随机变量X 的取值越稳定，波动越小．(5)方差也可以用公式D (X )＝E (X 2)－(E (X ))2计算(可由D (X )＝ i ＝1n(x i －E (X ))2p i展开得到)．1．判断(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)离散型随机变量ξ的期望E (ξ)反映了ξ取值的概率的平均值．( ) (2)离散型随机变量ξ的方差D (ξ)反映了ξ取值的平均水平．( ) (3)离散型随机变量ξ的方差D (ξ)反映了ξ取值的波动水平．( ) (4)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×2．X 的分布列为 X －10 1 P 0.50.3 0.2那么D (X )等于( )A ．0.7B ．0.61C ．－0.3D ．0 B [E (X )＝－1×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3，D (X )＝0.5×(－1＋0.3)2＋0.3×(0＋0.3)2＋0.2×(1＋0.3)2＝0.61.]3．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X 1，X 2，E (X 1)＝E (X 2)，D (X 1)>D (X 2)，那么自动包装机________的质量较好．乙 [因为E (X 1)＝E (X 2)，D (X 1)>D (X 2)，故乙包装机的质量稳定．]4．为防止风沙危害，某地政府决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n 株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p ，设X 为成活沙柳的株数，E(X)＝4，D(X)＝43，求n，p的值．[解]由题意知，X服从二项分布B(n，p)，由E(X)＝np＝4，D(X)＝np(1－p)＝4 3，得1－p＝1 3，∴p＝23，n＝6.。

7.3.2离散型随机变量的方差(教学课件)-【名师教与练】2022-2023学年高二数学同步备课系列

2
∴ D( X ) 6 xi2 pi (E( X ))2 (12 22 32 42 52 62 ) 1 ( 7 )2
i 1
62
91 1 ( 7 )2 35 . 6 2 12
例6 投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如下表所示.
股票A收益的分布列
股票B收益的分布列
收益X /元－1 0
i 1
i 1
n
n
证明：D( X ) ( xi E( X ))2 pi ( xi2 2E( X )xi (E( x))2 ) pi
i 1
i 1
n
n
n
xi2 pi 2E( X ) xi pi (E( x))2 pi
i 1
i 1
i 1
n
xi2 pi 2E( X ) E( X ) (E( x))2 1 i 1
D(X ) 为随机变量X的标准差，记为σ(X).
方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.
2.方差与标准差的性质： D(aX b) a2D(X)
(aX b) D(aX b) a2D(X) | a | D(X) | a | (X)
如果随机变量是加工某种产品的误差,那么方差的大小反映了加工的精度;
如果随机变量是风险投资的收益,那么方差的大小反映了投资风险的高低.
课堂练习
1.已知随机变量X的分布列为
X
1
2
3
4
P
0.2
0.3
0.4
0.1
求D(X)和σ(2X＋7).
解 E( X ) 1 0.2 2 0.3 3 0.4 4 0.1 2.4.
n
( xi E( X ))2 pi i 1

高中数学第二章离散型随机变量的方差教案新课标人教A版选修2-3

2．3．2离散型随机变量的方差一、三维目标：1、知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。

2、过程与方法：了解方差公式“D (a ξ+b )=a 2D ξ”，以及“若ξ～Β(n ，p )，则D ξ=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差。

3、情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。

二、教学重点：离散型随机变量的方差、标准差三、教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题四、教学过程：（一）、复习引入：1..数学期望则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望，简称期望． 2. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平3. 期望的一个性质: b aE b a E +=+ξξ)( 5、如果随机变量X 服从二项分布，即X ～ B （n,p ），则EX=np （二）、讲解新课：1、(探究1) 某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？(探究2) 某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则这组数据的方差是多少？2、离散型随机变量取值的方差的定义: 设离散型随机变量X 的分布为：则(x i -EX)2描述了x i (i=1,2,…n)相对于均值EX 的偏离程度，而 DX为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值EX 的平均偏离程度。

我们称DX 为随机变量X 的方差，其算术平方根DX 叫做随机变量X 的标准差.随机变量的方差与标准差都反映了随机变量偏离于均值的平均程度的平均程度，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。

（三）、基础训练求DX 和解：00.110.220.430.240.12EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=104332221111+++++++++=X 21014102310321041=⨯+⨯+⨯+⨯=])()()[(122212x x x x x x ns n i -++-++-= 1])24()23()23()22()22()22()21()21()21()21[(10122222222222=-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=s 22222)24(101)23(102)22(103)21(104-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=s ∑=-=ni ii p EX x 12)(DX22222(02)0.1(12)0.2(22)0.4(32)0.2(42)0.1 1.2DX =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯= （四）、方差的应用用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平。

高中数学第二章随机变量及其分布 2.3.2 离散型随机变量的方差学案(含解析)新人教A版选修2-

2．3.2 离散型随机变量的方差[目标] 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.3.掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法．[重点] 离散型随机变量的方差和标准差的概念和计算；方差的性质以及两点分布、二项分布的方差的求法．[难点] 离散型随机变量的方差的计算与应用．知识点一离散型随机变量的方差、标准差[填一填]1．方差及标准差的定义设离散型随机变量X 的分布列为X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n(1)方差D (X )＝∑i ＝1n(x i －E (X ))2·p i . (2)标准差为D (x ). 2．方差的性质 D (aX ＋b )＝a 2D (X )．[答一答]1．方差与标准差有什么实际意义？提示：随机变量X 的方差和标准差都反映了随机变量X 取值的稳定与波动、集中与离散的程度．D (X )越小，稳定性越高，波动越小．显然D (X )≥0，随机变量的标准差与随机变量本身有相同的单位．2．你能类比样本数据方差的计算公式，理解离散型随机变量方差的计算公式吗？提示：设x 1、x 2、…、x n 为样本的n 个数据，x ＝x 1＋…＋x n n ，则该样本数据的方差s 2＝∑i ＝1n(x i －x )2·1n ，由于x 相当于离散型随机变量中的E (X )，而1n相当于每个数据出现的频率(概率)p i ，故离散型随机变量X 的方差可定义为：D (X )＝∑i ＝1n(x i －E (X ))2·p i (i ＝1,2，…，n )．3．随机变量的方差与样本方差有什么关系？提示：随机变量的方差即为总体的方差，它是一个客观存在的常数，不随抽样样本的变化而变化；样本方差则是随机变量，它是随着样本的不同而变化的．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体方差．知识点二两个常见分布的方差[填一填]1．若X 服从两点分布，则D (X )＝p (1－p )． 2．若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p )．[答一答]4．两点分布的方差同二项分布的方差存在什么关系？提示：由于两点分布是特殊的二项分布，故两点分布的方差同二项分布的方差存在特殊与一般的关系．1．对随机变量X 的方差、标准差的理解(1)随机变量X 的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同的．(2)随机变量X 的方差和标准差都反映了随机变量X 取值的稳定性和波动、集中与离散程度．(3)D (X )越小，稳定性越高，波动越小．(4)标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛． 2．剖析方差的性质当a ，b 均为常数时，随机变量η＝aξ＋b 的方差D (η)＝D (aξ＋b )＝a 2D (ξ)．特别地： (1)当a ＝0时，D (b )＝0，即常数的方差等于0.(2)当a ＝1时，D (ξ＋b )＝D (ξ)，即随机变量与常数之和的方差等于这个随机变量的方差本身．(3)当b ＝0时，D (aξ)＝a 2D (ξ)，即随机变量与常数之积的方差，等于这个常数的平方与这个随机变量方差的乘积．类型一离散型随机变量的方差及性质【例1】已知η的分布列如下：η 0 10 20 50 60 P1325115215115(1)求η(2)设Y ＝2η－E (η)，求D (Y )．【分析】 (1)首先求出均值E (η)，然后利用D (η)的定义求方差；(2)由于E (η)是一个常数，所以D (Y )＝D [2η－E (η)]＝22D (η)．【解】 (1)∵E (η)＝0×13＋10×25＋20×115＋50×215＋60×115＝16，∴D (η)＝(0－16)2×13＋(10－16)2×25＋(20－16)2×115＋(50－16)2×215＋(60－16)2×115＝384，∴D (η)＝8 6.(2)∵Y ＝2η－E (η)，∴D (Y )＝D [2η－E (η)]＝22D (η)＝4×384＝1 536.(1)求离散型随机变量的均值或方差的关键是列分布列，而列分布列的关键是要清楚随机试验中每一个可能出现的结果，同时还要正确求出每一个结果出现的概率．(2)利用离散型随机变量X 的方差的性质：当a ，b 为常数时，随机变量Y ＝aX ＋b ，则D (Y )＝D (aX ＋b )＝a 2D (X )，可以简化解答过程，提高解题效率．某校从6名学生会干部(其中男生4人，女生2人)中选3人参加市中学生运动会志愿者． (1)所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及方差． (2)在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率．解：(1)ξ的可能取值为0,1,2. 由题意P (ξ＝0)＝C 34C 36＝15，P (ξ＝1)＝C 24C 12C 36＝35，P (ξ＝2)＝C 14C 22C 36＝15，所以ξ的分布列为ξ 0 1 2 P153515E (ξ)＝0×15＋1×35＋2×15＝1，D (ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2×15＝25.(2)设在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的事件为C ，男生甲被选中的种数为C 25＝10，男生甲被选中，女生乙也被选中的种数为C 14＝4，所以P (C )＝C 14C 25＝410＝25，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为25.类型二二项分布的方差【例2】已知某运动员投篮命中率p ＝0.6. (1)求一次投篮命中次数ξ的数学期望与方差；(2)求重复5次投篮时，命中次数η的数学期望与方差．【分析】解本题的关键是正确地判断出第(1)小题属于两点分布，第(2)小题属于二项分布，利用相应的公式计算可得解．【解】 (1)投篮一次命中次数ξ的分布列为：ξ 0 1 P0.40.6则E (ξ)＝0×0.4＋1×0.6＝0.6，D (ξ)＝(0－0.6)2×0.4＋(1－0.6)2×0.6＝0.24.(2)由题意知重复5次投篮，命中的次数η服从二项分布，即η～B (5,0.6)．由二项分布的数学期望与方差的公式得： E (η)＝5×0.6＝3，D (η)＝5×0.6×0.4＝1.2.解此类题的一般步骤如下：第一步，判断随机变量X 服从什么分布(两点分布还是二项分布).第二步，代入相应的公式，X 服从两点分布时，D (X )＝p (1－p )；X 服从二项分布，即X ～B (n ，p )时，D (X )＝np (1－p ).甲、乙比赛时，甲每局赢的概率是p ＝0.51，乙每局赢的概率是p ＝0.49.甲乙一共进行了10次比赛，当各次比赛的结果是相互独立时，计算甲平均赢多少局，乙平均赢多少局，哪一个技术比较稳定？解：用X 表示10局中甲赢的次数，则X 服从二项分布B (10,0.51)．E (X )＝10×0.51＝5.1，即甲平均赢5.1局．用Y 表示10局中乙赢的次数，则Y 服从二项分布B (10,0.49)．E (Y )＝10×0.49＝4.9，于是乙平均赢4.9局．又D (X )＝10×0.51×0.49＝2.499，D (Y )＝10×0.49×0.51＝2.499.所以他们技术一样稳定．类型三离散型随机变量方差的应用【例3】某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：枝，n ∈N )的函数解析式．(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数10201616151310以100①若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润(单位：元)，求X 的分布列，数学期望及方差．②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．【解】 (1)当n ≥16时，y ＝16×(10－5)＝80. 当n ≤15时，y ＝5n －5(16－n )＝10n －80.得：y ＝⎩⎨⎧10n －80(n ≤15)，80(n ≥16)(n ∈N )．(2)①X可取60,70,80.P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝0.7.X的分布列为X 607080P 0.10.20.7E(X)＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76，D(X)＝162×0.1＋62×0.2＋42×0.7＝44.②购进17枝时，当天的利润的期望值为y＝(14×5－3×5)×0.1＋(15×5－2×5)×0.2＋(16×5－1×5)×0.16＋17×5×0.54＝76.4.由76.4>76得，应购进17枝．有甲、乙两名同学，据统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的分数在80分，90分，100分的概率分布大致如下表所示：试分析甲、乙两名同学谁的成绩好一些．解：在解答同一份数学试卷时，甲、乙两人成绩的均值分别为E(X甲)＝80×0.2＋90×0.6＋100×0.2＝90，E(X乙)＝80×0.4＋90×0.2＋100×0.4＝90.方差分别为D (X 甲)＝(80－90)2×0.2＋(90－90)2×0.6＋(100－90)2×0.2＝40， D (X 乙)＝(80－90)2×0.4＋(90－90)2×0.2＋(100－90)2×0.4＝80. 由上面数据，可知E (X 甲)＝E (X 乙)，D (X 甲)<D (X 乙)．这表示甲、乙两人所得分数的均值相等，但两人的分数的稳定程度不同，甲同学分数较稳定，乙同学分数波动较大，所以甲同学的成绩较好．离散型随机变量期望与方差的综合应用【例4】设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a ＝3，b ＝2，c ＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E (η)＝53，D (η)＝59，求abc .【思路分析】第一问关键是分清取出2个球所得分数之和的所有情况，然后分类讨论，根据情况算出相应的概率、写出分布列；第二问类似地写出分布列，根据期望、方差的公式建立方程求解．【解】 (1)由题意得ξ＝2,3,4,5,6. 故P (ξ＝2)＝3×36×6＝14，P (ξ＝3)＝2×3×26×6＝13，P (ξ＝4)＝2×3×1＋2×26×6＝518，P (ξ＝5)＝2×2×16×6＝19，P (ξ＝6)＝1×16×6＝136.所以ξ的分布列为ξ 2 3 4 5 6 P141351819136(2)由题意知η的分布列为η 1 2 3 paa ＋b ＋cba ＋b ＋cca ＋b ＋c所以E (η)＝a a ＋b ＋c ＋2b a ＋b ＋c ＋3c a ＋b ＋c ＝53，D (η)＝(1－53)2·a a ＋b ＋c ＋(2－53)2·b a ＋b ＋c ＋(3－53)2·c a ＋b ＋c ＝59.化简得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －4c ＝0，a ＋4b －11c ＝0，解得a ＝3c ，b ＝2c ，故abc ＝321.【解后反思】离散型随机变量的分布列和期望是理科数学考题中的高频考点之一，其中，浙江省又多以摸球为背景，以对立事件、相互独立事件、两点分布、二项分布等知识为载体，综合考查事件发生的概率及随机变量的分布列、数学期望与方差．解题时首先要理解关键词，其次要准确无误地找出随机变量的所有可能取值，计算出相应的概率，后面一般就是计算问题．若随机事件A 在1次试验中发生的概率为p (0<p <1)，用随机变量ξ表示A 在1次试验中发生的次数．(1)求方差D (ξ)的最大值； (2)求2D (ξ)－1E (ξ)的最大值．解：随机变量ξ的所有可能取值为0,1，并且有P (ξ＝1)＝p ，P (ξ＝0)＝1－p ，从而E (ξ)＝0×(1－p )＋1×p ＝p ， D (ξ)＝(0－p )2×(1－p )＋(1－p )2×p ＝p －p 2.(1)D (ξ)＝p －p 2＝－(p 2－p ＋14)＋14＝－(p －12)2＋14，∵0<p <1，∴当p ＝12时，D (ξ)取得最大值，最大值为14.(2)2D (ξ)－1E (ξ)＝2(p －p 2)－1p ＝2－(2p ＋1p )，∵0<p <1，∴2p ＋1p≥2 2.当2p ＝1p ，p ＝22时，取“＝”，因此，当p ＝22时，2D (ξ)－1E (ξ)取得最大值2－2 2.1．下面说法中正确的是(D)A．离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值B．离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的平均水平C．离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的波动水平D．离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的波动水平解析：由于离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映的是随机变量的平均取值水平，而不是概率的平均值，故A错．而D(ξ)则反映随机变量的集中(或稳定)的程度，即波动水平．2．若X～B(n，p)，且E(X)＝1.6，D(X)＝1.28，则(A)A．n＝8，p＝0.2 B．n＝4，p＝0.4C．n＝5，p＝0.32 D．n＝7，p＝0.45解析：由E(X)＝np＝1.6，D(X)＝np(1－p)＝1.28，可知1－p＝0.8，所以p＝0.2，n＝8.3．已知随机变量ξ，D(ξ)＝19，则ξ的标准差为13.解析：D(ξ)＝19＝13.4．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量ξ1，ξ2，已知E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)，则自动包装机乙的质量较好．解析：均值仅体现了随机变量取值的平均大小，如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的取值如何在均值周围变化，方差大说明随机变量取值较分散；方差小，说明取值较集中．故乙的质量较好．5．已知随机变量X的分布列是X 0123 4P 0.2m n 0.20.1且E(X)＝1.8.(1)求D(X)；(2)设Y＝2X－1，求D(Y)．解：(1)由分布列可知0.2＋m＋n＋0.2＋0.1＝1，且E(X)＝0×0.2＋1×m＋2×n＋3×0.2＋4×0.1＝1.8.即⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝0.5，m ＋2n ＝0.8，解得m ＝0.2，n ＝0.3. ∴D (X )＝(0－1.8)2×0.2＋(1－1.8)2×0.2＋(2－1.8)2×0.3＋(3－1.8)2×0.2＋(4－1.8)2×0.1＝1.56.(2)∵D (X )＝1.56，∴D (2X －1)＝4D (X )＝6.24.。

高中数学教案精选--随机变量的方差2

2．3．2离散型随机变量的方差教学目标：知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。

过程与方法：了解方差公式“D (a ξ+b )=a 2D ξ”，以及“若ξ～Β(n ，p )，则D ξ=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差。

情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。

教学重点：离散型随机变量的方差、标准差教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题教具准备：多媒体、实物投影仪。

教学设想：了解方差公式“D (a ξ+b )=a 2D ξ”，以及“若ξ～Β(n ，p )，则D ξ=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差。

授课类型：新授课课时安排：2课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值．今天，我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究．其实在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差.回顾一组数据的方差的概念：设在一组数据1x ，2x ，…，n x 中，各数据与它们的平均值x 得差的平方分别是21)(x x -，22)(x x -，…，2)(x x n -，那么[12nS =21)(x x -＋22)(x x -＋…＋])(2x x n -叫做这组数据的方差教学过程：一、复习引入：1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出5.6. 分布列的两个性质： ⑴i ≥0，＝1，2，...； ⑵1+2+ (1)7.二项分布:ξ～B (n ，p )，并记kn k k n q p C -＝b (k ；n ，p )．8.几何分布： g (k ，p )= 1k q p -，其中k ＝0,1,2,…， p q -=1．9.数学期望:则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望，简称期望．10. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平 11 平均数、均值:在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有=1p =2p …n p n 1==，=ξE +1(x +2x …nx n 1)⨯+，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值12. 期望的一个性质: b aE b a E +=+ξξ)( 13.若ξ B （n,p ），则E ξ=np二、讲解新课：1. 方差: 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，…，那么,ξD ＝121)(p E x ⋅-ξ＋222)(p E x ⋅-ξ＋…＋n n p E x ⋅-2)(ξ＋…称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的ξE 是随机变量ξ的期望．2. 标准差:ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ．3.方差的性质：（1）ξξD a b a D 2)(=+；（2）22)(ξξξE E D -=；（3）若ξ～B (n ，p )，则=ξD np (1-p ) 4.其它：⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的； ⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛三、讲解范例：例1．随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差.从而111111123456 3.5666666EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=;2222221111(1 3.5)(2 3.5)(3 3.5)(4 3.5)666611(5 3.5)(6 3.5) 2.9266DX =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯≈1.71X σ=.例2．有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得EX 1 = 1200×0.4 + 1 400×0.3 + 1600×0.2 + 1800×0.1 = 1400 ,DX 1 = (1200-1400) 2 ×0. 4 + (1400-1400 ) 2×0.3 + (1600 -1400 )2×0.2+(1800-1400) 2×0. 1 = 40 000 ;EX 2＝1 000×0.4 +1 400×0.3 + 1 800×0.2 + 2200×0.1 = 1400 ,DX 2 = (1000-1400)2×0. 4+(1 400-1400)×0.3 + (1800-1400)2×0.2 + (2200-1400 )2×0.l = 160000 .因为EX 1 =EX 2, DX 1<DX 2，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位．例3．设随机变量ξ的分布列为求D ξ解：（略）12n E ξ+=, 2D 12ξ=例4．已知离散型随机变量1ξ的概率分布为离散型随机变量2ξ的概率分布为求这两个随机变量期望、均方差与标准差解：47177127111=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=ξE ； 471)47(71)42(71)41(2221=⨯-+⋅⋅⋅+⨯-+⨯-=ξD ；11==ξσξD4713.4718.3717.32=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=ξE ；2ξD =0.04, 2.022==ξσξD .点评：本题中的1ξ和2ξ都以相等的概率取各个不同的值，但1ξ的取值较为分散，2ξ的取值较为集中．421==ξξE E ，41=ξD ，04.02=ξD ，方差比较清楚地指出了2ξ比1ξ取值更集中．1σξ＝2，2σξ=0.02，可以看出这两个随机变量取值与其期望值的偏差例5．甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数8，9，10的概率分别为0.2,0.6,0.2;射手乙击中环数8，9，10的概率分别为0.4,0.2,0.24用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平解：180.290.6100.29E ξ=⨯+⨯+⨯=221(89)0.2(99)0.6D ξ=-⨯+-⨯+（10-9）4.02.02=⨯；同理有.0,922==ξξD E由上可知，21ξξE E =，1D D ξξ<所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得的平均环数很接近，均在9环左右，但甲所得环数较集中，以9环居多，而乙得环数较分散，得8、10环地次数多些．点评：本题中，1ξ和2ξ所有可能取的值是一致的，只是概率的分布情况不同．21ξξE E ==9，这时就通过1ξD =0.4和2ξD =0.8来比较1ξ和2ξ的离散程度，即两名射手成绩的稳定情况例6．A 、B 两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：A 机床B 机床问哪一台机床加工质量较好解： E ξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44,E ξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44.它们的期望相同，再比较它们的方差D ξ1=（0-0.44）2×0.7+（1-0.44）2×0.2+（2-0.44）2×0.06+（3-0.44）2×0.04=0.6064,D ξ2=（0-0.44）2×0.8+（1-0.44）2×0.06+（2-0.44）2×0.04+（3-0.44）2×0.10=0.9264. ∴D ξ1< D ξ2 故A 机床加工较稳定、质量较好. 四、课堂练习：1 .已知()~,,8, 1.6B n p E D ξξξ==，则,n p 的值分别是（）A ．1000.08和；B ．200.4和；C ．100.2和；D ．100.8和答案：1.D2. 一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望．分析：涉及次品率；抽样是否放回的问题．本例采用不放回抽样，每次抽样后次品率将会发生变化，即各次抽样是不独立的．如果抽样采用放回抽样，则各次抽样的次品率不变，各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件．解：设取得正品之前已取出的次品数为ξ，显然ξ所有可能取的值为0，1，2，3当ξ=0时，即第一次取得正品，试验停止，则 P （ξ=0）=43129= 当ξ=1时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则 P （ξ=1）=449119123=⨯ 当ξ=2时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则 P （ξ=2）=2209109112123=⨯⨯ 当ξ=3时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则P （ξ=3）=220199101112123=⨯⨯⨯ 所以，E ξ=10322013220924491430=⨯+⨯+⨯+⨯ 3. 有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求E ξ，D ξ分析：涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题．由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小，所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的．解答本题，关键是理解清楚：抽200件商品可以看作200次独立重复试验，即ξ B （200，1%），从而可用公式：E ξ=np ，D ξ=npq(这里q=1-p)直接进行计算解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以ξ B （200，1%E ξ=np ，D ξ=npq ，这里n=200，p=1%，q=99%，所以，E ξ=200×1%=2,D ξ=200×1%×99%=1.984. 设事件A 发生的概率为p ，证明事件A 在一次试验中发生次数ξ的方差不超过1/4 分析：这是一道纯数学问题．要求学生熟悉随机变量的期望与方差的计算方法，关键还是掌握随机变量的分布列．求出方差D ξ=P(1-P)后，我们知道D ξ是关于P(P ≥0)的二次函数，这里可用配方法，也可用重要不等式证明结论证明：因为ξ所有可能取的值为0，1且P （ξ=0）=1-p,P(ξ=1)=p, 所以，E ξ=0×(1-p)+1×p=p则 D ξ=（0-p ）2×(1-p)+(1-p) 2×p=p(1-p) 412)p 1(p 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤5. 有A 、B 两种钢筋，从中取等量样品检查它们的抗拉强度，指标如下：其中ξA 、ξB 分别表示A 、B 两种钢筋的抗拉强度．在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120，试比较A 、B 两种钢筋哪一种质量较好分析：两个随机变量ξA 和ξB &都以相同的概率0．1，0．2，0．4，0．1，0．2取5个不同的数值．ξA 取较为集中的数值110，120，125，130，135；ξB 取较为分散的数值100，115，125，130，145．直观上看，猜想A 种钢筋质量较好．但猜想不一定正确，需要通过计算来证明我们猜想的正确性解：先比较ξA 与ξB 的期望值，因为E ξA =110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125, E ξB =100×0.1+115×0.2+125×0.4十130×0.1+145×0.2=125.所以，它们的期望相同．再比较它们的方差．因为D ξA =(110-125)2×0.1+(120-125) 2 ×0.2+(130-125) 2×0.1+(135-125) 2×0.2=50，D ξB =(100-125)2×0.1+(110-125) 2 ×0.2+(130-125) 2×0.1+(145-125) 2×0.2=165.所以，D ξA < D ξB .因此，A 种钢筋质量较好6. 在有奖摸彩中，一期(发行10000张彩票为一期)有200个奖品是5元的，20个奖品是25元的，5个奖品是100元的．在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是多少元？分析：这是同学们身边常遇到的现实问题，比如福利彩票、足球彩票、奥运彩票等等．一般来说，出台各种彩票，政府要从中收取一部分资金用于公共福利事业，同时也要考虑工作人员的工资等问题．本题的“不考虑获利”的意思是指：所收资金全部用于奖品方面的费用解：设一张彩票中奖额为随机变量ξ，显然ξ所有可能取的值为0，5，25，100依题意，可得ξ的分布列为2.02000100500255054000E =⨯+⨯+⨯+⨯=ξ答：一张彩票的合理价格是0．2元．五、小结：⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出E ξ；④根据方差、标准差的定义求出ξD 、σξ.若ξ～B (n ，p )，则不必写出分布列，直接用公式计算即可．⑵对于两个随机变量1ξ和2ξ，在1ξE 和2ξE 相等或很接近时，比较1ξD 和2ξD ，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要六、课后作业： P69练习1,2,3 P69 A 组4 B 组1,21.设ξ～B(n 、p)且E ξ=12 D ξ=4，求n 、p解：由二次分布的期望与方差性质可知E ξ=np D ξ= np （1－p ）∴⎩⎨⎧=-=4)1(12p np np ∴⎪⎩⎪⎨⎧==3218p n2.已知随机变量ξ服从二项分布即ξ~B(6、31)求b (2；6，31) 解：p(ξ=2)=c 62(31)2(32)43.已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ和η，已知ξ和η的分布列如下：（注得分越大，水平越高）试分析甲、乙技术状况解：由0.1+0.6+a+1⇒a=0.3 0.3+0.3+b=1⇒a=0.4 ∴E ξ=2.3 , E η=2.0 D ξ=0.81 , D η=0.6七、板书设计（略）八、教学反思：⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤： ①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值； ②求ξ取各个值的概率，写出分布列； ③根据分布列，由期望的定义求出E ξ；④根据方差、标准差的定义求出ξD 、σξ.若ξ～B (n ，p )，则不必写出分布列，直接用公式计算即可．⑵对于两个随机变量1ξ和2ξ，在1ξE 和2ξE 相等或很接近时，比较1ξD 和2ξD ，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要。

2021学年新教材数学人教B版必修第二册课件：4.2.4 第二课时离散型随机变量的方差

第二课时离散型随机变量的方差
课标阐释 1.通过实例,理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念和意义. 2.会求离散型随机变量的方差、标准差. 3.会利用离散型随机变量的方差、标准差解决一些实际问题.
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
学校举行踢毽子大赛,某班要在甲、乙两名同学中选出一名同学参
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
∴p>0.5,∴p=0.6(其中p=0.4舍去). 答案:B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.已知离散型随机变量X的分布列如下表.若E(X)=0,D(X)=1,则a= ,b= .
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
4.学校举行定点投篮比赛,规定每人投篮4次,投中一球得2分,没有投中得0分,假设每次投篮投中与否是相互独立的.已知小明每次投篮投中的概率都是 ,小强每次投篮投中的概率都是p(0<p<1). (1)求小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率; (2)求小明在4次投篮后的总得分ξ的分布列和期望; (3)小强投篮4次,投中的次数为X,若期望E(X)=1,求p和X的方差D(X).
探究一
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素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练从5名女生和2名男生中任选3人参加英语演讲比赛,设随机变量ξ表示所选3人中男生的人数. (1)求ξ的分布列; (2)求ξ的均值与方差; (3)求“所选3人中男生人数ξ≤1”的概率.
探究一

2.3.2离散型随机变量的方差(第二课时)

E （X1） 1200 0.4 + 1 400 0.3 + 1600 0.2 + 1800 0.1 =1400
D （X1） (1200-1400) 2 0. 4 (1400-1400 ) 2 0.3 (1600 -1400 )2 0.2
(1800-1400) 0. 1 40 000
X1
P
X2
5 0.03 5 0.01
10
6 7 0.09 0.20 6 0.05
Hale Waihona Puke 8 0.319 0.27 8 0.41
10 0.10 9 0.33
P
7 0.20
D （X 1） (i 8)2 P( X 1 i ) 1.50
D （X 2） (i 8)2 P( X 2 i) 0.82
2
E （X 2） 1 000 0.4 1 400 0.3 1 800 0.2 2200 0.1 1400
D （X 2） (1000-1400)2 0. 4 (1 400-1400)2 0.3 (1800-1400)2 0.2
+ (2200-1400 )2 0.l = 160000 .
（X） D （X） 1.71
求离散型随机变量X的方差、标准差的一般步骤：
①理解X 的意义，写出X 可能取的全部值； ②求X取各个值的概率，写出分布列； ③根据分布列，由期望的定义求出 E（X）； ④根据方差、标准差的定义求出D(X) 、√ D(X)
（2）实际应用
例2．有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：
王新敞
奎屯新疆
E（X）=2 ; D（X）=1.98 3.甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相同，所得次品数分别为X、Y，X和Y的分布列如下表。试对这两名工人的技术水平进行比较。

高二数学(选修-人教B版)-离散型随机变量的数学期望与方差(2)-1教案

教案布，则()E X np=，()D X npq=(1)q p=-.若离散型随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布，则()nME XN=.问题4结合前面复习的计算公式，你觉得我们在面对离散型随机变量的数学期望与方差这类数字特征的问题时应该如何去解决？一般离散型随机变量→求分布列→一般公式求解；特殊分布的离散型随机变量→判断分布→分布公式求解.阶段小结离散型随机变量数学期望与方差问题的解决方式在前面梳理的基础上，进一步明确解决离散型随机变量的数学期望与方差的思考步骤，形成处理问题的一般思路.巩固问题解决方式例1 掷一个骰子所得的点数为X，求()D X.分析：本题是一道有关离散型随机变量一般分布的方差问题.一般问题的求解思路：列分布列→求解期望→求解方差.解：由题目可知，离散型随机变量X的分布列如下X123456P161616161616所以112266()E X x p x p x p=+++L借助例题的形式体会前面总结的解决离散型随机变量的数学期望与方差的思考步骤，形成解决问题的一般方式.271(6)26+-⨯所以，10.2-=p所以10,0.8n p==.练习3某经销商从沿海城市水产养殖厂购进一批海鱼，随机抽取50条作为样本进行统计，按海鱼质量（克）得到右图所示的频率分布直方图．根据市场行情，该海鱼按质量可为三个等级，如下表所示．若经销商以这50条海鱼的样本数据来估计这批海鱼的总体数据，视频率为概率．现从这批海鱼中随机抽取3条，记抽到二等品的条数为X，求X的数学期望．分析：视频率为概率→二项分布求期望→找到参数n和p结合图表得到二项分布参数p的值.解：由频率分布直方图可知，=⨯=，二等品的频率0.040100.4由题视频率为概率0.4p=，所以，抽到二等品的条数X服从参数==的二项分布，3,0.4n p根据二项分布的数学期望的公式，二等品的条数X的数学期望()30.4 1.2E X np==⨯=.课堂小结课堂小结1.解决离散型随机变量数学期望与方差问题的思考步骤；2.解决离散型随机变量数学期望与方差问题需要关注的重点问题；（1）区别二点分布与二项分布；（2）区别二项分布与超几何分布；（3）重视解决离散型随机变量数学期望与方差问题的一般求解思路：通过列分布列用一般公式求解.3.离散型随机变量数学期望与方差问题的实际应用.离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平;离散型随机变量的方差放映了离散型随机变量相对于期望的平均波动大小（或说离散程度）.梳理本课所学.课后作业作业1 甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用7场4胜制，每场必须分出胜负，场与场之间互不影响，只要有一队获胜4场就结束比赛．现已比赛了4，且甲篮球队胜3 场．已知甲球队第5，6借助作业，让学生动手解决问题，体会数学的应用价值.。

高中数学 2.3.2 离散型随机变量的方差教案理新人教B版选修2 3 教案

2.3.2 离散型随机变量的方差【教学目标】①理解取有限值的离散型随机变量的方差、标准差的概念和意义，会求离散型随机变量的方差、标准差；②会用离散型随机变量的方差、标准差解决一些实际问题.【教学重点】应用离散型随机变量的方差、标准差解决实际问题【教学难点】对离散型随机变量的方差、标准差的理解一、课前预习1.离散型随机变量的方差：设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x ，这些值对应的概率是1p ，2p ，⋅⋅⋅，n p ，则_________________________________)(=X D 叫做这个离散型随机变量X 的方差. 离散型随机变量的方差反映了：______________________________________________________2.离散型随机变量的标准差：_____________________________离散型随机变量的标准差反映了_______________________________________________________.3.若随机变量X 服从参数为p 的二点分布，则___________)(=X D4.若随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布，___________)(=X D 二、课上学习例1、甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布如下：射手甲：射手乙：谁的射击水平比较稳定？例2、若X 的分布列为另一随机变量32-=X Y，求).(),(Y D X D 三、课后练习1.如果随机变量X 服从二项分布),2.0,100(~B X 那么.______)34(_____,)(=+=X D X D2.甲、乙两个野生的动物保护区有相同的自然环境，且野生动物种类和数量也大致相同.两个保护区每个季度发现违反保护条例的时间事件次数的分布列分别为：甲保护区：乙保护区：试评定这两个保护区的管理水平.。