20120330——基本不等式及其应用
基本不等式及实际应用
最小值 2 P .
（2）如果和x+y是定值S，那么当 x=y时积xy有最 大值
1 2 S 4
. 即“一正、二定、三相等”,这三
个条件缺一不可.
思维活动：
4 1函数y x 4 x 0的值域 ______
（2）已知 x 0, y 0,且 x 5 y 20, 求 2
情境二：运输
兴 趣 是 最 好 的 老 师
进货结束后装车运回。所购大米需装6辆 卡车，途径一座长为100米的大桥，假设 卡车均以v（m/s）的速度匀速前进，并出 于安全考虑规定每两辆卡车的间距不得小 v 于 5 m（卡车长忽略不计），则全部卡车 安全过桥最快需多少时间？
2
解：设卡车全部安全过桥共需t 秒,
该厂每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格 为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每千克 每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元. （1）求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每
天支付的总费用最少？
（2）若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料 不少于5吨时其价格可享受八五折优惠（即为原
价的85%）.问该厂是否可以考虑利用此优惠条
例2：一段长为36米的篱笆围成一个矩形 菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时， 菜园的面积最大，最大面积是多少？
例2：一段长为36米的篱笆围成一个矩形 菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时， 菜园的面积最大，最大面积是多少？
解：（1）设矩形的长、宽各为 x , ym，由题意可得
2 x y 36且 x 0, y 0 。矩形的面积为 xym
答：当底面的长与宽均 为4米时，用纸最少
例4、李老师花10万元购买了一辆家用汽车，如果每年使用的保险费，养
基本不等式及其应用(第一、二课时)
基本不等式及其应用（第一课时） 知识点：1.主要基本不等式的证明与应用；2.比较法的应用；3.综合法的应用；4.分析法的应用；5.反证法的应用； 教学过程：一.主要基本不等式（共6个）及证明： 设+∈R b a ,，则平方平均数④③②几何平均数①算术平均数倒数平均数调和平均数⇓⇓⇓⇓+≤+≤≤+2211222b a b a ab b a1.证明②与③的不等式：右-左=02)(222≥+=+-=-+b a b ab a ab b a所以结论成立，当且仅当b a =时取到等号；方法：作差比较法； 2.证明②与④的不等式：ab abb a =≥+22222=左边，即不等式成立，当且仅当b a =时取到等号；方法：利用已知条件或者已经证明正确的结论作为条件，推导出要证明的结论，这种证明方法称为综合法；综合法可以概括为“由因导果”；3.证明①与②的不等式：ab ba ≤+112欲证 只需证明abba ab≤+2即证明12≤+ba ab 即证明ba ab +≤2即证明2b a ab +≤上述不等式恒成立，且以上步步可逆，故原不等式成立。
说明：（1）.分析法-----从要求证得结论出发，经过适当的变形，分析出使这个结论成立的条件，把证明结论转化为判定这些条件是否成立的问题。
如果能够判定这些条件都成立，那么就可以判定这些结论成立，这种证明问题的方法叫做分析法；分析法可以概括为“执果索因”；（2）.上述证明过程可以用综合法的语言表述如下； 证明：abba ab b a ab b a ab b a ab b a ab ≤+⇒≤+⇒≤+⇒+≤⇒+≤11221222所以原不等式成立，当且仅当b a =时取到等号； 4.其它证明省略； 5.变形形式： （1）2)(222b a b a +≥+即为③与④的变形；)(2222b a b a +≥+即为③与④的变形；abb a 4)(2≥+即为②与③变形；（2）ab b a 222≥+，ab b a 222-≥+，其中R b a ∈,；（3）0,,2|1|≠∈≥+a R a a a ； （4）0,,,2||≠∈≥+ab R b a abb a ； 6.推广：2,,,...,,21≥∈∈+n N n R a a a n，则n a a a n a a a a a a a a a nn n n n n2222212121.........1 (111)+++≤+++≤≤+++当且仅当na a a === (2)1时取到等号； 二.应用：例1.设R c b a ∈,,，求证： （1）ca bc ab c b a ++≥++222；（2）444222222222c b a a c c b b a abc c ab bc a ++≤++≤++； （3）)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++； （4）+∈≥++R c b a abc c b a ,,3333，其中 证明：（1）方法1.作差比较法；方法2.综合法：ca bc ab c b a ac a c bc c b abb a ++≥++⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥+≥+222222222222相加；（2）222222444224422442244222c a c b b a c b a c a a c c b c b b a b a ++≥++⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥+≥+相加⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥+≥+222222222222222222abc c a c b bc a c a b a c ab c b b a ，相加结论成立，当且仅当c b a ==时取到等号；（3）)(2)(22)(22)(22222222222222c b a a c c b b a a c a c b c c b b a b a ++≥+++++⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+≥++≥++≥+当且仅当c b a ==时取到等号；（4）abc b a ab c b a abc c b a 3)(3)(333333-+-++=-++ ])[(3])())[((22c b a ab c b a c b a c b a ++-++-+++= 0))((222≥---++++=ca bc ab c b a c b a当且仅当c b a ==时取到等号；说明：（4）即为公式的推广和变形：33abccb a ≥++；例2.设1,,=+∈+b a R b a ，求证：（1）2122≥+b a；（2）41≤ab ； （3）411≥+ba ； （4）8144≥+b a；解：（4）812]2)([2)(2222244≥+≥+≥+b a b a b a ，时等号成立当且仅当21==b a ； 方法2.81161241)(2)(222244=∙-≥-+=+ab b a b a（5）8111≥++ab b a ；解.（5）由（2）有41≤ab时等号成立，当且仅当2182211111===≥=++=++∴b a ab ab b a ab b a（6）225)1()1(22≥+++b b a a ；解（6）方法1.左=4112222++++b a b a 225416121214)(222222=++≥++++=ba b a b a方法2. 左=4)11)((41122222222+++=++++b a b a b a b a4)11](2)[(222++-+=b a ab b a 2254)161)(4121(=++∙-≥； 方法3. 左2252)111(2)11(22≥++=+++≥b a b a b a ；时等号成立当且仅当21==b a例3.设1,,,=∈+abc R c b a 求证：c b a c b a ++≥++111。
基本不等式及应用
基本不等式及应用的实际应用情况背景介绍基本不等式是数学中常见的一类不等式，它们可以帮助我们描述和解决各种实际问题，从而在许多领域中发挥着重要作用。
基本不等式包括线性不等式、二次函数不等式和绝对值不等式等。
在实际应用中，我们经常需要根据给定的条件和目标，通过建立和求解基本不等式来得到满足特定条件的解集。
应用过程下面将分别介绍线性不等式、二次函数不等式和绝对值不等式的应用过程及效果。
1. 线性不等式线性不等式是形如ax + b > 0或ax + b < 0的一次方程组，其中a、b为已知系数，x为未知数。
线性不等式在实际应用中广泛存在，例如：a. 生产问题假设某工厂生产两种产品A和B，并且单位时间内生产A产品所需的材料成本为10元，生产B产品所需的材料成本为20元。
如果工厂每天最多能使用500元购买原材料，而单位时间内生产A产品利润为5元，生产B产品利润为8元。
我们需要确定每种产品的最大生产量，以最大化利润。
设A产品的生产量为x，B产品的生产量为y。
根据题目中的条件，我们可以列出以下不等式：10x + 20y ≤ 500 （材料成本限制）5x + 8y ≥ 0 （利润要求）通过求解这个线性不等式组，我们可以得到A和B产品的最大生产量，从而实现最大化利润。
b. 资金问题假设某人有两个银行账户A和B，在一段时间内账户A每天存款增加10元，账户B 每天存款增加15元。
如果初始时两个账户的余额分别为1000元和2000元，并且他希望在一定时间后至少有6000元的总余额。
我们需要确定这个时间段内至少需要存款多少天。
设经过x天后，账户A和B的余额分别为a和b。
根据题目中的条件，我们可以列出以下不等式：a = 1000 + 10xb = 2000 + 15x a + b ≥ 6000通过求解这个线性不等式组，我们可以得到至少需要存款多少天才能达到目标总余额。
2. 二次函数不等式二次函数不等式是形如ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0的二次方程，其中a、b、c为已知系数，x为未知数。
基本不等式及其应用-高中数学知识点讲解
基本不等式及其应用1．基本不等式及其应用【概述】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它푎+푏们的算术平均数．公式为：2푎+푏≥푎푏（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2 或者a+b≥2푎푏．常常用于求最2值和值域．【实例解析】例 1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．2푎A：a，b 均为负数，则푏+푏2푎≥2．B：푥2+2푥2+1≥2．C：푠푖푛푥+4푠푖푛푥≥4．D：푎∈푅+，(3―푎)(1―3푎)≤0．解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D 均满足条件．对于C 选项中 sin x≠±2，不满足“相等”的条件，再者 sin x 可以取到负值．故选：C．A 选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B 分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．例 2：利用基本不等式求푦=푥푥2+2的最值？当 0＜x＜1 时，如何求푦=푥+1푥2+2的最大值．解：当x＝0 时，y＝0，当x≠0 时，푦=푥푥2+2=1푥+2，푥用基本不等式若x＞0 时，0＜y ≤2，4若x＜0 时，―24≤y＜0，1/ 5综上得，可以得出―24≤y≤2，4∴푦=푥푥2+2的最值是―2与42．4这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于 0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．【基本不等式的应用】1、求最值例 1：求下列函数的值域．2、利用基本不等式证明不等式3、基本不等式与恒成立问题2/ 54、均值定理在比较大小中的应用【解题方法点拨】技巧一：凑项点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．技巧二：凑系数例 2：当 0＜x＜4 时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．解析：由 0＜x＜4 知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到 2x+（8﹣2x）＝8 为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．y＝x（8﹣2x）=12[2x•（8﹣2x）] ≤12푥+8―2푥（）2＝822当 2x＝8﹣2x，即x＝2 时取等号，当x＝2 时，y＝x（8﹣x2）的最大值为 8．3/ 5评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分离例 3：求y =푥2+7푥+10푥+1(푥＞―1)的值域．解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．y =푥2+7푥+10푥+1=(푥+1)2+5(푥+1)+4푥+1=（x+1）+4푥+1+ 5，当x＞﹣1，即x+1＞0 时，y≥2 (푥+1)×4푥+1+ 5＝9（当且仅当x＝1 时取“＝”号）技巧四：换元对于上面例 3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．技巧五：结合函数f（x）＝x +푎푥的单调性．技巧六：整体代换4/ 5点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．技巧七：取平方点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．5/ 5。
(完整版)基本不等式及其应用
基本不等式及其应用1．ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0； (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .3．算术平均数与几何平均数(1)设a ≥0，b ≥0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab .(2)基本不等式可叙述为两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数；也可以叙述为两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项．4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)若x ＋y ＝s (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值s 24； (2)若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2p .选择题：设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( )A ．80B ．77C ．81D ．82解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y 2≥xy ，即xy ≤(x ＋y2)2＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是( ) A.43 B.53 C ．2 D.54解析 由x ＞0，y ＞0，得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2·(2x )·(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，∴12xy ＋3xy ≤30，即xy ≤2，∴xy 的最大值为2若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( )A ．[0,2]B ．[－2,0]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2] 解析 22x ＋y ≤2x ＋2y ＝1，∴2x ＋y ≤14，即2x ＋y ≤2－2，∴x ＋y ≤－2若实数x ，y 满足xy >0，则x x ＋y ＋2yx ＋2y的最大值为( ) A ．2－ 2 B ．2＋ 2 C ．4＋2 2 D ．4－2 2 解析x x ＋y＋2y x ＋2y＝x (x ＋2y )＋2y (x ＋y )(x ＋y )(x ＋2y )＝x 2＋4xy ＋2y 2x 2＋3xy ＋2y 2＝1＋xy x 2＋3xy ＋2y 2＝1＋1x y ＋3＋2y x≤1＋13＋2＝4－22，当且仅当x y ＝2yx ，即x 2＝2y 2时取等号若函数()f x ＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 解析 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3已知x ，y ∈(0，＋∞)，2x －3＝(12)y ，若1x ＋my (m >0)的最小值为3，则m 等于( ) A ．2 B ．2 2 C ．3 D ．4解析 由2x －3＝(12)y 得x ＋y ＝3，1x ＋m y ＝13(x ＋y )(1x ＋m y )＝13(1＋m ＋y x ＋mx y )≥13(1＋m ＋2m )，(当且仅当y x ＝mx y 时取等号)，∴13(1＋m ＋2m )＝3，解得m ＝4已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c 的最小值是( )A ．9B ．8C ．4D ．2解析 圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程，得x 2＋(y －1)2＝6，∴圆心为C (0,1) ∵直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ，∴a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1 ∴4b ＋1c ＝(b ＋c )(4b ＋1c )＝4c b ＋b c ＋5 ∵b ，c >0，∴4c b ＋bc ≥24c b ·b c ＝4，当且仅当4c b ＝b c 时等号成立．由此可得b ＝2c ，且b ＋c ＝1，即b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c 取得最小值9已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为( )A.32B.53C.94D.256解析 由各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，可得a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4， ∴q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)a m a n ＝4a 1，∴q m ＋n －2＝16，∴2m ＋n －2＝24，∴m ＋n ＝6 ∴1m ＋4n ＝16(m ＋n )(1m ＋4n )＝16(5＋n m ＋4m n )≥16(5＋2n m ·4m n )＝32当且仅当n m ＝4m n 时，等号成立，故1m ＋4n 的最小值等于32在等差数列{a n }中，a n >0，且a 1＋a 2＋…＋a 10＝30，则a 5a 6的最大值是( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．36解析 ∵a 1＋a 2＋…＋a 10＝30，∴5(a 1＋a 10)＝30，即a 1＋a 10＝a 5＋a 6＝6，∵a 5＋a 6≥2a 5a 6，∴6≥2a 5a 6，即a 5a 6≤9，当且仅当a 5＝a 6时取等号，∴a 5a 6的最大值为9若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A.2 B ．2 C ．2 2 D ．4 解析 依题意知a ＞0，b ＞0，则1a ＋2b ≥22ab ＝22ab，当且仅当1a ＝2b ，即b ＝2a 时，“＝”成立．∵1a ＋2b ＝ab ，∴ab ≥22ab ，即ab ≥22，∴ab 的最小值为2 2已知a ＞0，b ＞0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，则m ＋n 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6解析 由题意知：ab ＝1，∴m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1b ＝2a ，∴m ＋n ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4若a ，b 都是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b 的最小值为( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 解析 ∵a ，b 都是正数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4a b ≥5＋2b a ·4ab ＝9，当且仅当b ＝2a >0时取等号已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b 恒成立，则m 的最大值为( )A ．9B ．12C ．18D ．24 解析 由3a ＋1b ≥m a ＋3b ，得m ≤(a ＋3b )(3a ＋1b )＝9b a ＋ab ＋6又9b a ＋ab ＋6≥29＋6＝12，∴m ≤12，∴m 的最大值为12已知a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2b 的最小值为( )A ．4B ．22C ．8D ．16 解析 由a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b ab ，得ab ＝1，则1a ＋2b ≥21a ·2b ＝2 2.当且仅当1a ＝2b ，即a ＝22，b 2时等号成立已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是( ) A.72 B ．4 C.92 D ．5 解析 依题意，得1a ＋4b ＝12(1a ＋4b )·(a ＋b )＝12[5＋(b a ＋4a b )]≥12(5＋2b a ·4a b )＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，b a ＝4ab ，a >0，b >0，即a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是92若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( )A ．6＋2 3B ．7＋2 3C ．6＋4 3D ．7＋4 3解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ab >0，ab ≥0，3a ＋4b >0，∴⎩⎨⎧a >0，b >0.又log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，∴log 4(3a ＋4b )＝log 4ab ，∴3a ＋4b ＝ab ，故4a ＋3b ＝1. ∴a ＋b ＝(a ＋b )(4a ＋3b )＝7＋3a b ＋4ba ≥7＋23ab ·4b a ＝7＋43，当且仅当3a b ＝4b a 时取等号若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值是( )A ．1B ．6C ．9D ．16解析 ∵正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，∴b ＝a a －1>0，解得a >1，同理可得b >1，∴1a －1＋9b －1＝1a －1＋9a a －1－1＝1a －1＋9(a －1)≥21a －1·9(a －1)＝6，当且仅当1a －1＝9(a －1)，即a ＝43时等号成立，∴最小值为6设()f x ＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( ) A ．q ＝r ＜p B ．q ＝r ＞p C ．p ＝r ＜q D ．p ＝r ＞q 解析 ∵0＜a ＜b ，∴a ＋b2＞ab ，又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，故f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p .又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝12ln a ＋12ln b ＝ln(ab )12＝f (ab )＝p ，故p ＝r ＜q已知函数()f x ＝x ＋px －1(p 为常数，且p >0)，若f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p 的值为( ) A ．1 B ．2 C.94 D.74 解析 由题意得x －1>0，f (x )＝x －1＋px －1＋1≥2p ＋1，当且仅当x ＝p ＋1时取等号， ∵f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，∴2p ＋1＝4，解得p ＝94填空题：已知x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________解析 1＝x ＋4y ≥24xy ＝4xy ，∴xy ≤(14)2＝116，当且仅当x ＝4y ＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12y ＝18时，(xy )max ＝116已知实数m ，n 满足m ·n >0，m ＋n ＝－1，则1m ＋1n 的最大值为________解析 ∵m ·n >0，m ＋n ＝－1，∴m <0，n <0，∴1m ＋1n ＝－(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≤－2－2n m ·mn＝－4，当且仅当m ＝n ＝－12时，1m ＋1n 取得最大值－4已知x <54，则()f x ＝4x －2＋14x －5的最大值为________解析 ∵x <54，∴5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x )＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________解析 y ＝x 2＋2x －1＝(x 2－2x ＋1)＋(2x －2)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2当且仅当(x －1)＝3(x －1)，即x ＝3＋1时，等号成立函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值为________解析 令t ＝x －1≥0，则x ＝t 2＋1，∴y ＝t t 2＋1＋3＋t ＝tt 2＋t ＋4当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0；当t >0，即x >1时，y ＝1t ＋4t ＋1， ∵t ＋4t ≥24＝4(当且仅当t ＝2时取等号)，∴y ＝1t ＋4t ＋1≤15，即y 的最大值为15(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值)．若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________解析 由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )(15y ＋35x )＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________ 解析 由已知得x ＝9－3y1＋y ，∵x >0，y >0，∴y <3，∴x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝3y 2＋91＋y＝3(1＋y )2－6(1＋y )＋121＋y＝121＋y＋(3y ＋3)－6≥2121＋y ·(3y ＋3)－6＝6， 当且仅当121＋y＝3y ＋3，即y ＝1，x ＝3时，(x ＋3y )min ＝6已知函数()f x ＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意x ∈N ＋，()f x ≥3恒成立，则a 的取值范围是______解析 对任意x ∈N ＋，f (x )≥3恒成立，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即知a ≥－(x ＋8x )＋3设g(x)＝x＋8x，x∈N＋，则g(2)＝6，g(3)＝173∵g(2)>g(3)，∴g(x)min＝173，∴－(x＋8x)＋3≤－83，∴a≥－83，故a的取值范围是[－83，＋∞)已知x>0，y>0，且1x＋2y＝1，则x＋y的最小值是________解析∵x>0，y>0，∴x＋y＝(x＋y)(1x＋2y)＝3＋yx＋2xy≥3＋22(当且仅当y＝2x时取等号)，∴当x＝2＋1，y＝2＋2时，(x＋y)min＝3＋2 2函数y＝1－2x－3x(x<0)的最小值为________解析∵x<0，∴y＝1－2x－3x＝1＋(－2x)＋(－3x)≥1＋2(－2x)·3－x＝1＋26，当且仅当x＝－62时取等号，故y的最小值为1＋2 6若关于x的方程9x＋(4＋a)3x＋4＝0有解，则实数a的取值范围是________解析分离变量得－(4＋a)＝3x＋43x≥4，得a≤－8设a＋b＝2，b>0，则12|a|＋|a|b取最小值时，a的值为________解析∵a＋b＝2，∴12|a|＋|a|b＝24|a|＋|a|b＝a＋b4|a|＋|a|b＝a4|a|＋b4|a|＋|a|b≥a4|a|＋2b4|a|×|a|b＝a4|a|＋1，当且仅当b4|a|＝|a|b时等号成立又a＋b＝2，b>0，∴当b＝－2a，a＝－2时，12|a|＋|a|b取得最小值若当x>－3时，不等式a≤x＋2x＋3恒成立，则a的取值范围是________解析设f(x)＝x＋2x＋3＝(x＋3)＋2x＋3－3，∵x>－3，所以x＋3>0，故f(x)≥2(x＋3)×2x＋3－3＝22－3，当且仅当x＝2－3时等号成立，∴a的取值范围是(－∞，22－3]若对于任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________解析 xx 2＋3x ＋1＝13＋x ＋1x ，∵x ＞0，∴x ＋1x ≥2(当且仅当x ＝1时取等号)，则13＋x ＋1x ≤13＋2＝15，即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15.解答题：已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y 的最小值．解 (1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . ∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg10＝1，∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎪⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020， 当且仅当5y x ＝2xy 时，等号成立．由⎩⎨⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2xy ，解得⎩⎨⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020专项能力提升设x ，y 均为正实数，且32＋x ＋32＋y＝1，则xy 的最小值为( ) A ．4 B ．4 3 C ．9 D ．16解析 由32＋x ＋32＋y＝1得xy ＝8＋x ＋y ， ∵x ，y 均为正实数，∴xy ＝8＋x ＋y ≥8＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立)， 即xy －2xy －8≥0，解得xy ≥4，即xy ≥16，∴xy 的最小值为16设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为( ) A ．0 B ．1 C.94 D ．3 解析 由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2，(*)则xyz ＝xyx 2－3xy ＋4y2＝1x y ＋4y x －3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2，∴2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1≤1已知m >0，a 1>a 2>0，则使得m 2＋1m ≥|a i x －2|(i ＝1,2)恒成立的x 的取值范围是( )A ．[0，2a 1]B ．[0，2a 2]C ．[0，4a 1]D ．[0，4a 2]解析 ∵m 2＋1m ＝m ＋1m ≥2(当且仅当m ＝1时等号成立)，∴要使不等式恒成立， 则2≥|a i x －2|(i ＝1,2)恒成立，即－2≤a i x －2≤2，∴0≤a i x ≤4， ∵a 1>a 2>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4a 1，0≤x ≤4a 2，即0≤x ≤4a 1，∴使不等式恒成立的x 的取值范围是[0，4a 1]已知x ，y ∈R 且满足x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2的取值范围为________ 解析 ∵2xy ＝6－(x 2＋4y 2)，而2xy ≤x 2＋4y 22，∴6－(x 2＋4y 2)≤x 2＋4y 22， ∴x 2＋4y 2≥4(当且仅当x ＝2y 时取等号)．又∵(x ＋2y )2＝6＋2xy ≥0，即2xy ≥－6，∴z ＝x 2＋4y 2＝6－2xy ≤12(当且仅当x ＝－2y 时取等号) 综上可知4≤x 2＋4y 2≤1211设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为________解析 由题意知3a ·3b ＝3，即3a ＋b ＝3，∴a ＋b ＝1，∵a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝4，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立点(a ，b )为第一象限内的点，且在圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝8上，则ab 的最大值为________解析 由题意知a >0，b >0，且(a ＋1)2＋(b ＋1)2＝8，化简得a 2＋b 2＋2(a ＋b )＝6，则6≥2ab ＋4ab (当且仅当a ＝b 时取等号)，令t ＝ab (t >0)，则t 2＋2t －3≤0，解得0<t ≤1，则0<ab ≤1，∴ab 的最大值为1.正数a ，b 满足1a ＋9b ＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是________解析 ∵a ＞0，b ＞0，1a ＋9b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b ＝10＋b a ＋9a b ≥10＋29＝16，由题意，得16≥－x 2＋4x ＋18－m ，即x 2－4x －2≥－m 对任意实数x 恒成立，而x 2－4x －2＝(x －2)2－6，∴x 2－4x －2的最小值为－6，∴－6≥－m ，即m ≥6.。
基本不等式及其应用
基本不等式及其应用一、知识结构二、重点叙述1. 基本不等式模型一般地,如果a>0,b>0,则,或,当且仅当a=b时等号成立。
我们常把叫做正数a、b的算术平均数,把ab叫做正数a、b的几何平均数,即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,当且仅当两个正数相等时等号成立。
拓展:若a、b∈R,则,当且仅当a=b时等号成立。
2. 基本不等式证明方法3.基本不等式的应用①利用基本不等式证明不等式或比较大小;②利用基本不等式求最值或求范围;③利用基本不等式解决实际问题。
三、案例分析案例1：(1)（2009天津·理）设若的最小值为A 8B 4C 1 D(2) （2007海南、宁夏·理7）已知，，成等差数列，成等比数列，则的最小值是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．分析：（1）由是与的等比中项，得。
用“1代换法”，把看成，进而利用基本不等式求得最小值。
（2）可用直接法解之。
根据等差、等比数列的“等距离”性质，把多元函数转化为x、y的二元函数，由二元的基本不等式求其最小值。
也可以用特殊值法解决。
解：（1）∵是与的等比中项，∴，得。
∴，当且仅当即时，“=”成立。
故选择C。
（2）（直接法）∵成等差数列，成等比数列，∴∴，∵，，∴，∴，当且仅当时，等号成立。
∴。
故选D。
另解：（特殊值法）令成等差数列，成等比数列分别都为，则，故选D。
案例2：(1) （2009重庆·文）已知，则的最小值是（）A．2 B．C．4 D．5(2)（2007山东·理16）函数y=loga (x+3)-1(a>0,a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m，n＞0，则的最小值为________________.分析：(1)用基本不等式解之，由于两次使用基本不等式，两次的“等号”成立应该“同时”。
(2)抓住函数图象过定点，求得定点A的坐标，建立m、n的线性关系，两次应用基本不等式求得最小值，同样注意两次的“等号”成立是否“同时”？只有“同时”，最小值才存在。
基本不等式及不等式的应用
A.lg
x2
1 4
lg
x
x
0
B.sinx 1 2 x k , k Z
sin x
C.x2 1 2 x x R
D.
x
1 2
1
1
x
R
本节课你有哪些收获？
赢在高考 课后作业35
A. 1
B. 1
3
2
C. 3 4
D. 2 3
变式训练3：设0 x 3 ,求函数y 4x(3 2x)的最大值 2
例3.已知a 0,b 0, a b 1,求 1 1的最小值 ab
变式训练4
:
若xy
0, 且x
2y
3, 则
1 x
1 y
的最小值为( C
)
A.2
B. 3 2
C.1 2 2 3
问题三：这几 个不等式恒成 立吗？在什么 情况下成立？
(2) b a 2 (a,b同号) ab
(3)ab
a
2
b
2
(a,b R)
考纲展示
命题分析
基本不等式
ab a b (a,b 0) 2
基本不等式是不等式中的重要内容,也是 历年高考重点考查的知识点之一,它的应用范
围涉及高中数学的很多章节,且常考常新,但是
1.了解基本不等 式的证明过程.
它在高考中却不外乎用于判断大小、求最值、 求取值范围等.题型上选择、填空、解答题都 能出现,属中档题.
2.会用基本不等 式解决简单的最 大(小)值问题.
在高考中一般不可能出现单独考查不等式
证明的试题,命题方向重在考查逻辑推理能力, 在题目的设计上,常常将不等式的证明与函数、 数列、三角综合.因为它是高中数学的重要内 容,同时也是高中数学的一个难点,加之题型广 泛,涉及面广,证法灵活,所以备受命题者的青睐
基本不等式及其应用ppt课件
易错点睛：(1)忽略基本不等式成立的前提条件致误． (2)忽略“定值”致误．
课堂考点突破
——精析考题 提升能力
考点一 利用基本不等式求最值
角度 1：拼凑法求最值
2
【例 1】 (1)已知 0<x<1，则 x(4－3x)取得最大值时 x 的值为_3_______．
A．5
B．6
C．7
D．8
【解析】 因为每台机器生产的产品可获得的总利润 s(单位：万元)与机器运转时间
t(单位：年，t∈N*)的关系为 s＝－t2＋23t－64，所以年平均利润 y＝st＝－t－6t4＋23＝－
t＋6t4＋23≤－2 t·6t4＋23＝7，当且仅当 t＝8 时等号成立，故要使年平均利润最大，则 每台机器运转的时间 t 为 8，故选 D.
即该厂家 2022 年的促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大，最大为 21 万元．
『变式训练』
4．某公司购买了一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润 s(单位：
万元)与机器运转时间 t(单位：年，t∈N*)的关系为 s＝－t2＋23t－64，要使年平均利润最
大，则每台机器运转的时间 t 为( D )
【解析】 (1)因为函数 f(x)＝4x3－ax2－2bx 在 x＝1 处有极值，所以 f ′(1)＝12－2a －2b＝0，即 a＋b＝6，又 a>0，b>0，则4a＋1b＝16(a＋b)·4a＋1b＝165＋ab＋4ab≥5＋6 4＝32 当且仅当ab＝4ab，即a＝2b＝4时取“＝”，故选 C.
【解析】 解法一(换元消元法)： 由已知得 x＋3y＝9－xy， 因为 x>0，y>0，所以 x＋3y≥2 3xy， 所以 3xy≤x＋23y2，当且仅当 x＝3y，即 x＝3，y＝1 时取等号，即(x＋3y)2＋12(x＋3y) －108≥0. 令 x＋3y＝t，则 t>0 且 t2＋12t－108≥0， 得 t≥6，即 x＋3y 的最小值为 6.
基本不等式及其应用详细讲解
基本不等式及其应用详细讲解好嘞，今天咱们就来聊聊“基本不等式”这个话题，听上去可能有点儿深奥，其实说白了就是一些很实用的小窍门。
你知道吗，基本不等式就是我们生活中的一些道理，很多时候我们做事情都得考虑到这些。
比如说，咱们买东西的时候，常常会遇到“便宜没好货”这句话，对吧？这就是一个不等式的道理！说到不等式，可能你会想起一些公式，什么“a+b大于等于2根号ab”，听起来像外星语一样，但其实道理很简单。
想象一下，你跟朋友一起去吃饭。
你们点了几个菜，账单一分，结果你朋友说，“哎，要不咱们均摊一下吧！”这时候，你心里可能会想，“这不公平呀！我吃得多，他吃得少。
”这就是不等式的影子。
其实不等式就在我们生活的每一个角落，它能帮助我们更好地理解一些事情。
比如，咱们有时候为了省钱，买一些打折的东西，心里想着，“便宜又好”，可是往往等到货到手，才发现这真是个悲剧，结果只好在心里默默念叨：“真是便宜没好货。
”所以，有时候我们得接受现实，明白一点：一分钱一分货，别想着天上掉馅饼。
说到基本不等式，大家最熟悉的就是“柯西不等式”和“阿美尔不等式”了。
这两个名字听上去像是数学家的名字，其实它们就像是生活中的法则，指引着我们。
咱们先说柯西不等式，简单来说，就是用来描述两个数之间的关系。
比如说，咱们有两个数a和b，如果你把它们的平方和拿来比较，结果永远不会比直接的平方和小。
这就好比你跟朋友一起去健身，最后发现你们的努力加起来，效果总比各自单打独斗要好。
换句话说，团结就是力量，嘿嘿！然后再来聊聊阿美尔不等式，这个名字听着像个外国名媛，其实它的核心是“均值”。
想想，如果你有很多个数，把它们的平均值算出来，往往能给你一个更清晰的视角。
你可能会说：“这跟我有啥关系？”它就像你在做选择的时候，算是个小参考，比如说选个电影，虽然你可能喜欢的类型不同，但最后总能找到一个大家都能接受的中间点。
就像有时候在选择吃的，大家最后总是能找到一个大家都能接受的餐厅。
《基本不等式》教案的应用,解决实际问题
本文将基本不等式的教学应用与实际问题的解决联系起来，旨在加深学生对基本不等式的理解与运用，进而提高他们的数学素养和问题解决能力。
一、基本不等式的教学应用基本不等式是初中数学中的重要知识点，也是进一步深入学习数学的重要基础。
在教学中，我们可以通过如下步骤进行：1.引入基本不等式我们可以通过举例来引入基本不等式，例如：已知正整数a、b、c，证明a+b+c≥3√abc。
这个式子就是基本不等式的一种形式，而证明过程中需要用到积的平均数大于等于几何平均数这个数学定理，所以一定记得先讲解这个定理的概念与证明方法。
2.提供练习题在讲完基本不等式的定义之后，我们可以提供一些练习题让学生练习，例如：已知0<x<π/2，证明sinx+(cosx)²≥1。
这个练习题要运用基本不等式的知识，运用正确的推理方法与证明过程，就会得到正确的结论。
3.引导思考在让学生完成练习题的时候，我们可以引导他们思考问题，例如：除了通过证明使用，基本不等式在哪些实际应用中发挥了重要作用呢？这个问题就是本文接下来要具体解答的内容。
二、基本不等式在实际问题中的应用基本不等式在实际问题中的应用非常广泛，不仅在数学领域，也在物理、化学等自然科学领域有广泛应用。
以下是一些常见的例子：1.证明机械工程中的稳定性问题机械系统的稳定性是工程设计中的重要问题，而它与基本不等式也有很大的联系。
例如，在压力在机械系统中进行传递的时候，我们需要证明传递的压力不超过系统的极限承受力，而这个证明过程就可以用到基本不等式。
2.常用物理公式的推导在物理领域，我们常用到一些公式，例如能量守恒定律、牛顿第二定律、高斯定理等。
这些公式的推导与基本不等式也有密切联系，例如在高斯定理的证明过程中，我们需要用到伯努利不等式和柯西-施瓦茨不等式，而这些不等式都是基本不等式的推论。
3.经济学中的应用在经济学中，我们需要通过一些数学模型来解释和预测经济现象。
而基本不等式可以用来说明市场机制和资源配置的优化，从而提高经济效益和社会福利。
基本不等式及其应用
⇒ x + 4 y ≥ 2 4xy = 4 xy ≥ 16
例题讲解
10.直角三角形的面积为32cm , 求此三角形周长的最小值.
2
11.如图, 用24米长的竹篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场. 中间有一道竹篱笆, 要使养鸡场的面积最大,问矩形的边长 应为多少图), 面积为400平方米的三级 污水池.已知池外圈建造单价为每米200元,中间两条隔离 墙建造单价为每米250元, 池底建造单价为每平方米80元, 如何设计污水池的长和宽使总造价最低?(结果精确到0.1米)
例题讲解
1 7.若a, b ∈ R , 且a + b = 1, 求证 : ab ≤ ,并指出等号成立的条件. 4
+
8.求下列各式的最大值,并求对应的x. 1 (1) x(1 − x) (0 < x < 1) (2) x(1 − 2x) (0 < x < ) 2 (3) x 1 − x2 (0 < x < 1)
例题讲解
4.求证 : 在周长相等的矩形中，正方形的面积最大.
例题讲解
5.若a, b ∈ R , 且ab = 16, 求证 : a + b ≥ 8,并指出等号成立的条件.
+
6.求下列各式的最小值,并求对应的x. 4 4 (1) x + ( x > 2) (2)2x + ( x > 2) x−2 x−2 x2 − 3 x + 3 (3) ( x > 2) x−2
练习:已知a, b, c ∈ R+ , 求证 : a + b + c ≥ ab + bc + ac
例题讲解
1 2.已知x > 0, 求证 : x + ≥ 2,并指出等号成立的条件. x
基本不等式及应用
基本不等式及应用考纲要求考情分析1.了解基本不等式的证明过程． 2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．3．了解证明不等式的基本方法——综合法．通过对近三年高考试题的统计和分析可以发现，本节主要考查利用基本不等式求函数的最值．若单纯考查基本不等式，一般难度不大，通常出现在选择题和填空题中，如2011年上海卷；若考查基本不等式的变形，即通过对代数式进行拆添项或配凑因式，构造出基本不等式的形式再进行求解，难度就会提升，如2011年浙江卷．对基本不等式的考查，若以解答题的形式出现时，往往是作为工具使用，用来证明不等式或解决实际问题.知识梳理1．基本不等式 基本不等式 不等式成立的条件等号成立的条件ab ≤a ＋b2a>0，b>0a ＝b2.常用的几个重要不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R) (2)ab ≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R)(3)a 2＋b 22≥(a ＋b 2)2(a ，b ∈R)(4)b a ＋ab≥2(a ，b 同号且不为零) 上述四个不等式等号成立的条件都是a ＝b. 3．算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值 设x ，y 都是正数．(1)如果积xy 是定值P ，那么当x ＝y 时和x ＋y 有最小值2P. (2)如果和x ＋y 是定值S ，那么当x ＝y 时积xy 有最大值14S 2.问题探究：当利用基本不等式求最大(小)值等号取不到时，如何处理？ 提示：若最值取不到可考虑函数的单调性．自主检测1．已知两个正数a ，b 的等差中项为4，则a ，b 的等比中项的最大值为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 答案：B解析：ab ≤a ＋b2＝4，故选B.2．(2011年上海高考)若a ，b ∈R ，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b ≥2abD.b a ＋ab≥2 解析：ab>0，∴a 与b 同正或同负，∴B ，C 不正确．对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，∴选项A 不正确．∵b a >0，a b >0，∴b a ＋ab ≥2当且仅当b ＝a 时取等号，∴D 正确．答案：D3．若x ＋2y ＝4，则2x ＋4y的最小值是( )A ．4B ．8C ．2 2D ．4 2 解析：∵2x＋4y≥2·2x·22y＝2·2x ＋2y＝2·24＝8，当且仅当2x＝22y，即x ＝2y ＝2时取等号， ∴2x＋4y的最小值为8. 答案：B4．当x>1时，求函数f(x)＝x ＋1x －1的最小值________．解析：∵x>1，∴x －1>0， x ＋1x －1＝(x －1)＋1x －1＋1≥2x －1·1x －1＋1＝3.答案：35．(2010年山东卷)已知x ，y>0，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为________．解析：∵x>0，y>0且1＝x 3＋y4≥2xy 12， ∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y4时取等号．答案：36．某公司一年购买某种货物 400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________. 答案：20解析：每年购买次数为400x.∴总费用＝400x·4＋4x ≥26400＝160，当且仅当1600x＝4x ，即x ＝20时等号成立，故x ＝20.考点1 利用基本不等式证明不等式1.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，其实质就是从已知的不等式入手，借助不等式性质和基本不等式，经过逐步的逻辑推理，最后推得所证问题，其特征是“由因导果”．2．证明不等式时要注意灵活变形，多次利用基本不等式时，注意每次等号是否都成立．同时也要注意应用基本不等式的变形形式．例1 (1)已知a>0，b>0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b≥4.(2)证明：a 4＋b 4＋c 4＋d 4≥4abcd.【分析】 (1)利用a ＋b ＝1将要证不等式中的1代换，即可得证．(2)利用a2＋b2≥2ab 两两结合即可求证．但需两次利用不等式，注意等号成立的条件．【证明】 (1)∵a>0，b>0，a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝4(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)． ∴1a ＋1b≥4.∴原不等式成立． (2)a4＋b4＋c4＋d4≥2a2b2＋2c2d2＝2(a2b2＋c2d2)≥2·2abcd ＝4abcd. 故原不等式得证，等号成立的条件是a2＝b2 且c2＝d2且ab ＝cd.课堂过手练习：已知a 、b 、c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1a －1)(1b －1)(1c－1)≥8.证明：∵a 、b 、c 均为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， ∴(1a －1)(1b －1)(1c －1) ＝1－a 1－b 1－c abc＝b ＋c a ＋c a ＋b abc ≥2bc ·2ac ·2ababc＝8.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号．考点2 利用基本不等式求最值1.创设应用基本不等式的条件(1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需出现积为定值或和为定值．(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法．2．基本不等式的几种变形公式对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种常见的变形形式及公式的逆运用等．如：2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b2≤ a 2＋b22(a>0，b>0)． 例2 (1)设0<x<2，求函数y ＝x 4－2x 的最大值．(2)求4a －2＋a 的取值范围．(3)已知x>0，y>0，且x ＋y ＝1，求3x ＋4y的最小值．【分析】 由和或积为定值从而利用基本不等式求最值，然后确定取得最值的条件【解】 (1)∵0<x<2，∴2－x>0，∴y ＝x 4－2x ＝2·x 2－x≤2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x 即x ＝1时取等号， ∴当x ＝1时，函数y ＝x 4－2x 的最大值是 2.(2)显然a ≠2，当a>2时，a －2>0， ∴4a －2＋a ＝4a －2＋(a －2)＋2 ≥24a －2·a －2＋2＝6，当且仅当4a －2＝a －2，即a ＝4时取等号，当a<2时，a －2<0， ∴4a －2＋a ＝4a －2＋(a －2)＋2＝－[42－a＋(2－a)]＋2 ≤－242－a·2－a ＋2＝－2，当且仅当42－a ＝2－a ，即a ＝0时取等号，∴4a －2＋a 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)． (3)∵x>0，y>0，且x ＋y ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )(x ＋y) ＝7＋3y x ＋4xy≥7＋23y x ·4xy＝7＋43， 当且仅当3y x ＝4xy ，即2x ＝3y 时等号成立，∴3x ＋4y 的最小值为7＋4 3.课堂过手练习：求下列各题的最值．(1)已知x>0，y>0，lgx ＋lgy ＝1，求z ＝2x ＋5y 的最小值；(2)x>0，求f(x)＝12x ＋3x 的最小值；(3)x<3，求f(x)＝4x －3＋x 的最大值．解：(1)由x>0，y>0，lgx ＋lgy ＝1， 可得xy ＝10.则2x ＋5y ＝2y ＋5x 10≥210xy 10＝2. ∴z min ＝2.当且仅当2y ＝5x ，即x ＝2，y ＝5时等号成立． (2)∵x>0，∴f(x)＝12x＋3x ≥212x·3x ＝12， 等号成立的条件是12x ＝3x ，即x ＝2，∴f(x)的最小值是12.(3)∵x<3，∴x －3<0，∴3－x>0， ∴f(x)＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3＝－[43－x ＋(3－x)]＋3≤－243－x·3－x ＋3＝－1，当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时，等号成立．故f(x)的最大值为－1.考点3 利用基本不等式求最值的解题技巧1.代换：化复杂为简单，易于拼凑成定值形式； 2．拆、拼、凑，目的只有一个，出现定值．例3 (2010年四川高考)设a>b>c>0，则2a 2＋1ab ＋1a a －b －10ac ＋25c 2的最小值是( )A ．2B ．4C ．2 5D ．5【分析】 通过拆、拼、凑创造条件，利用基本不等式求最值，但要注意等号成立时的条件．【解析】 原式＝(a 2－10ac ＋25c 2)＋1ab ＋ab ＋1a a －b ＋a(a －b)＋a 2－ab －a(a －b)＝(a －5c)2＋1ab ＋ab ＋1a a －b ＋a(a －b) ≥0＋21ab·ab ＋21a a －b ·a a －b ＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝1a a －b ＝1a ＝5c，即a ＝2，b ＝22，c ＝25时，等号成立． 【答案】 B方法归纳：拆、拼、凑的典范：本题求多个和式的最小值，故可选用基本不等式，为了使积为定值，故需对原式进行配凑，关键点在于使目标出现ab ＋1ab ，a (a －b )＋1a a －b 的形式．课堂过手练习：(2011年浙江)设x ，y 为实数，若4x2＋y2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________．解析：4x 2＋y 2＋xy ＝1∴4x 2＋4xy ＋y 2－3xy ＝1∴(2x ＋y)2－1＝3xy ＝32·2x ·y ≤32·(2x ＋y 2)2∵(2x ＋y)2－1≤38(2x ＋y)2 ∴(2x ＋y)2≤85即－2105≤2x ＋y ≤2105当且仅当2x ＝y 时取等号∴(2x ＋y)最大值＝2510.答案：2510考点4 基本不等式的实际应用应用基本不等式解决实际问题的步骤是： (1)仔细阅读题目，透彻理解题意；(2)分析实际问题中的数量关系，引入未知数，并用它表示其他的变量，把要求最值的变量设为函数；(3)应用基本不等式求出函数的最值；(4)还原实际问题，作出解答．例4 围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45 元/m ，新墙的造价为180 元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)． (1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x 使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．【分析】 (1)首先明确总费用y ＝旧墙维修费＋建新墙费，其次，列出y 与x 的函数关系式；(2)利用基本不等式求最值，最后确定取得最值的条件，作出问题结论．【解】 (1)如图，设矩形的另一边长为a m.则y ＝45x ＋180(x －2)＋180×2a ＝225x ＋360a －360. 由已知xa ＝360，得a ＝360x ，所以y ＝225x ＋3602x－360(x>2)．(2)∵x>2，∴225x ＋3602x ≥2225×3602＝10800.∴y ＝225x ＋3602x －360≥10440.当且仅当225x ＝3602x时，等号成立．即当x ＝24 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．方法归纳：(1)利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解．(2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解．课堂过手练习：有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定：大桥上的车距d(m)与车速v(km/h)和车长l(m)的关系满足：d ＝kv 2l ＋12l(k 为正常数)，假定车身长都为4 m ，当车速为60 km/h 时，车距为2.66个车身长．(1)写出车距d 关于车速v 的函数关系式；(2)应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？ 解：(1)∵当v ＝60 km/h 时，d ＝2.66l ，∴k ＝2.66l －12l602l ＝2.16602＝0.0006， ∴d ＝0.0024v 2＋2.(2)设每小时通过的车辆为Q ，则Q ＝1000vd ＋4，即Q ＝1000v 0.0024v 2＋6＝10000.0024v ＋6v. ∵0.0024v ＋6v ≥20.0024v ·6v＝0.24，∴Q ≤10000.24＝125003.当且仅当0.0024v ＝6v ，即v ＝50时，Q 取最大值125003.答：当v ＝50 km/h 时，大桥上每小时通过的车辆最多．易错点 忽视等号成立的条件典例：已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则z ＝(x ＋1x )(y ＋1y )的最小值为________．【错解】 错解一：因为对a>0，恒有a ＋1a ≥2，从而z ＝(x ＋1x )(y ＋1y )≥4，所以z 的最小值是4. 错解二：z ＝2＋x 2y 2－2xyxy＝(2xy ＋xy)－2≥22xy·xy －2 ＝2(2－1)，所以z 的最小值是2(2－1)．【错因分析】 错解一和错解二的错误原因是等号成立的条件不具备，因此使用基本不等式一定要验证等号成立的条件，只有等号成立时，所求出的最值才是正确的．【正确解答】 z ＝(x ＋1x )(y ＋1y )＝xy ＋1xy ＋y x ＋x y ＝xy ＋1xy ＋x ＋y 2－2xy xy ＝2xy ＋xy－2，令t ＝xy ，则0<t ＝xy ≤(x ＋y 2)2＝14，由f(t)＝t ＋2t 在(0，14]上单调递减，故当t ＝14时，f(t)＝t ＋2t 有最小值334，所以当x ＝y ＝12时z 有最小值254.误区警示：(1)在利用基本不等式求最值(值域)时，过多地关注形式上的满足，极容易忽视符号和等号成立条件的满足，这是造成解题失误的重要原因．如函数y ＝1＋2x ＋3x (x<0)有最大值1－26而不是有最小值1＋2 6.(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否都能保证等号成立，并且要注意取等号条件的一致性，否则就会出错．课堂纠错补练：若0<x ≤π2，则f(x)＝sinx ＋4sinx的最小值为________．解析：令sinx ＝t,0<t ≤π2时，t ∈(0,1]，此时y ＝t ＋4t 在(0,1]单调递减，∴t ＝1时y min ＝5.答案：5归纳提升：1．创设应用基本不等式的条件：(1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目的是使“和式”或“积式”为定值，且每项为正值；(2)在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法．2．常用不等式：以下不等式在解题时使用更直接．(1)a ＋1a ≥2(a>0，且a ∈R)，当且仅当a ＝1时“＝”成立．(2)b a ＋ab≥2(a>0，b>0，a ，b ∈R)，当且仅当a ＝b 时“＝”成立． (3)使用重要不等式求最值时，若等号不成立，应改用单调性法．一般地函数y ＝ax ＋bx ，当a>0，b>0时函数在[－ba，0)，(0, ba]上是减函数，在(－∞，－ba)，( b a，＋∞)上是增函数；当a<0，b<0时，可作如下变形：y ＝－[(－ax)＋(－bx )]来解决最值问题．。
《基本不等式及其应用》复习课件
键步骤。
5
应用四：柯西不等式的证明
了解柯西不等式的证明方法和应用场景。
求解
6
学习如何运用基本不等式解决实际问题。
7
应用一：取整问题
通过基本不等式解决与取整相关的数学
应用二：多项式问题
8
问题。
应用基本不等式解决与多项式函数相关
的问题。
9
应用三：周期函数问题
学习如何利用基本不等式解决涉及周期
三、综合例题
应用方法
归纳总结基本不等式 的应用方法和技巧。
例题复述
复习和巩固本课件中 所涉及的例题和解题 思路。
探索不等式的证明方法和策略。
二、应用
1
证明
学习如何运用基本不等式证明一些重要
应用一：正弦和余弦不等式的
2
的定理和结论。
证明
深入研究正弦和余弦不等式的推导和证
明过程。
3
应用二：罗尔定理的证明
通过基本不等式的应用，理解罗尔定理
应用三：拉格朗日中值定理的
4
的证明思路。
证明
探索拉格朗日中值定理的证明过程和关
《基本不等式及其应用》 复习课件
在这个复习课件中，我们将深入学习基本不等式及其应用。从不等式的定义 到各种应用的解析，让我们一起来探索吧！
一、基本不等式
不等式ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ义
学习不等式的定义、基本性质以及相关术语。
定义变形
学习如何进行不等式的变形和等价变换。
平均值不等式
了解平均值不等式的几种形式和应用场景。
证明方式
例题一：求证
通过运用基本不等式证明一些重要的数学定理。
例题二：求最小值
利用基本不等式求解问题中的最小值。
第三节 基本不等式及其应用
(3) a2 2
b2
≥
a
2
b
2
(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.
(4) b + a ≥2(a,b同号),当且仅当a=b时取等号.
ab
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3.利用基本不等式求最值
已知x>0,y>0,则 (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当⑤ x=y 时,x+y有最⑥ 小 值,是
⑦ 2 p .(简记:积定和最小)
(2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当⑧ x=y 时,xy有最⑨ 大 值,是
s2
4 .(简记:和定积最大)
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▶提醒 正 数,“二定”指求最值时和或积为定值,“三相等”指等号成立.(2)连续 使用基本不等式时,牢记等号要同时成立.
的最小值等于4.
(
✕
)
(3)“x>0且y>0”是“ xy + xy ≥2”的充要条件. ( ✕ )
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(4)若a>0,则a3+ a12 的最小值为2 a . ( × ) (5)不等式a2+b2≥2ab与 a b ≥ ab 有相同的成立条件. ( × )
2
(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. ( √ )
1 b
(a+b)=2+ ba + ba ≥2+2 ba
a b
=4,当且仅当a=b=2时等号成
立,所以a+b的最小值为4,故选C.
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1-3 若a,b∈R,ab>0,则 a4 4b4 1的最小值为
基本不等式……及其应用
基本不等式……及其应用作者：施生根来源：《新高考·教师版》2011年第04期基本不等式在高中数学中具有极其重要的地位，从知识体系角度说，基本不等式不仅本身就是一个重要的数学知识模块，而且能与高中数学多个分支知识进行融合；从思维能力角度说，基本不等式是创造性与严谨性的有机结合、发散性思维与收敛性思维的辨证统一。
因此，基本不等式是高中数学体系中的重要模块，也是高考中的的常见题型及运用载体。
一、基本不等式与线性规划知识的融合在高中学习的线性规划知识除本身就是不等式组确定的体系外，在求线性或非线性目标函数最值的过程中往往会运用到基本不等式。
题1已知实数，y满足x-y-2≤0，x+2y-5≥0，y-2≤0，求的取值范围。
（图1）解：-y-2≤0，x+2y-5≥0y-表示的平面区域为如图1，由图1可知∈13，2，得∈2，103。
二、基本不等式与函数单调性知识的融合基本不等式的应用与函数的性质密不可分，经常借助函数的性质解决相关问题。
题2 不等式2的解集为。
本题考查的是对数函数单调性和不等式的解法，我们可以这样求解：解：由x+1x+6≤3= log28，得02∴ x+1x≤2，思路一解不等式组得∈(-3-22，-3+22)∪{1}。
当然这个不等式组的求解是比较烦的，如果借助函数的图象与性质，则将会很快地解决这道填空题。
思路二结合函数，函数y=2与函数y=-的图象（如图2所示），可以观察求出不等式的解集（图2）三、基本不等式与三角函数知识的融合题3 已知△ABC的三边a，b，c所对的角分别是A，B，C，且BC边上的高AD=BC，求的取值范围是。
解：，当且仅当 cb=bc，即时取“=”。
在△ABC中，--。
由△ABC=12bcsinA=12AD，∴。
∴故的取值范围是［2，5］四、基本不等式运用中的“相等”问题在运用基本不等式解决有关最大值与最小值的问题时，要注意“一正，二定，三相等”的基本要求，特别是“相等”成立的条件。
第2章不等式基本不等式及其应用
基本不等式及其应用1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大)概念方法微思考1．若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？提示 不一定．若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值．2．函数y ＝x ＋1x的最小值是2吗？提示 不是．因为函数y ＝x ＋1x 的定义域是{x |x ≠0}，当x <0时，y <0，所以函数y ＝x ＋1x 无最小值．1．（2020•上海）下列等式恒成立的是( ) A ．222a b ab + B ．222a b ab +-C ．2||a b ab +D ．222a b ab +-【答案】B【解析】A ．显然当0a <，0b >时，不等式222a b ab +不成立，故A 错误；B ．2()0a b +，2220a b ab ∴++，222a b ab ∴+-，故B 正确；C ．显然当0a <，0b <时，不等式2||a b ab +不成立，故C 错误；D ．显然当0a >，0b >时，不等式222a b ab +-不成立，故D 错误．故选B ．2．（2020•海南）已知0a >，0b >，且1a b +=，则( ) A ．2212a b + B ．122a b ->C ．22log log 2a b +-D 2【答案】ABD【解析】①已知0a >，0b >，且1a b +=，所以222()22a b a b ++，则2212a b +，故A 正确． ②利用分析法：要证122a b ->，只需证明1a b ->-即可，即1a b >-，由于0a >，0b >，且1a b +=，所以：0a >，10b -<，故B 正确．③22222log log log log ()22a b a b ab ++==-，故C 错误． ④由于0a >，0b >，且1a b +=，利用分析法：要证2成立，只需对关系式进行平方，整理得2a b ++，即1，故122a b +=，当且仅当12a b ==时，等号成立．故D 正确． 故选ABD ．3．（2020•天津）已知0a >，0b >，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________． 【答案】4【解析】0a >，0b >，且1ab =， 则118882422222a b a b a b a b a b ab a b a b a b+++++=+=+=++++，当且仅当82a b a b+=+，即2a =+，2b =2a =，2b =取等号， 故答案为：4．4．（2020•江苏）已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +的最小值是_________． 【答案】45【解析】方法一、由22451x y y +=，可得42215y x y -=，由20x ，可得2(0y ∈，1]，则44222222211411(4)555y y x y y y y y y-++=+==+221142455y y =，当且仅当212y =，2310x =， 可得22x y +的最小值为45； 方法二、222222222254254(5)4()()24x y y x y y x y ++=+=+，故2245x y +， 当且仅当222542x y y +==，即212y =，2310x =时取得等号，可得22x y +的最小值为45． 故答案为：45． 5．（2019•上海）若x ，y R +∈，且123y x +=，则yx的最大值为_________． 【答案】98【解析】113222y y x x =+，∴29()822y x =； 故答案为：98．6．（2019•天津）设0x >，0y >，24x y +=，则(1)(21)x y xy++的最小值为_________．【答案】92【解析】0x >，0y >，24x y +=， 则(1)(21)2212552x y xy x y xy xy xy xy xy++++++===+； 0x >，0y >，24x y +=，由基本不等式有：4222x y xy =+， 02xy ∴<， 552xy， 故：5592222xy ++=； （当且仅当22x y ==时，即：2x =，1y =时，等号成立）， 故(1)(21)x y xy ++的最小值为92；故答案为：92． 7．（2019•天津）设0x >，0y >，25x y +=的最小值为_________．【答案】【解析】0x >，0y >，25x y +=，==；由基本不等式有：6224xyxy=；当且仅当时，即：3xy =，25x y +=时，即：31x y =⎧⎨=⎩或232x y =⎧⎪⎨=⎪⎩时；等号成立，；故答案为：8．（2018•上海）已知实数1x 、2x 、1y 、2y 满足：22111x y +=，22221x y +=，121212x x y y +=，的最大值为_________． +【解析】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 1(OA x =，1)y ，2(OB x =，2)y ，由22111x y +=，22221x y +=，121212x x y y +=， 可得A ，B 两点在圆221x y +=上， 且111cos 2OA OB AOB =⨯⨯∠=， 即有60AOB ∠=︒，即三角形OAB 为等边三角形，1AB =，A ，B 两点 到直线10x y +-=的距离1d 与2d 之和，要求之和的最大值，显然A ，B 在第三象限，AB 所在直线与直线1x y +=平行， 可设:0AB x y t ++=，(0)t >，由圆心O到直线AB的距离d=，可得1=，解得t=，1+=，9．（2018•天津）已知a，b R∈，且360a b-+=，则128ab+的最小值为_________．【答案】14【解析】a，b R∈，且360a b-+=，可得：36b a=+，则66611111222228222224a a a ab a a a++=+=+=，当且仅当6122aa+=．即3a=-时取等号．函数的最小值为：14．故答案为：14．1．（2020•衡阳三模）已知a，b R+∈，22a b+=，则1ab a+的最小值为() A．32B1C．52D．【答案】B【解析】由a，b R+∈，22a b+=，∴1211222a a ab a bb a b ab a++=+=+++，（当且仅当b=即2a=2b=时取等号），故则1ab a+1+，故选B．2．（2020•道里区校级四模）若正实数a，b满足112a b+=ab的最小值为()A B．C．4 D．8【答案】A【解析】正实数a，b满足111222a b ab+，解可得，2ab ，当且仅当112a b=时取等号， 则ab故选A ．3．（2020•道里区校级四模）若实数a ，b 满足122()lg lga lgb a b+=+，则ab 的最小值为( )AB．C ．32lg D ．2lg【答案】B【解析】因为122()lg lga lgb a b+=+，所以1222a b ab +=，当且仅当12a b=时取等号， 解可得，22ab ． 故选B ．4．（2020•衡阳三模）已知a ，(0,)b ∈+∞，22a b +=，则1a b a+的取值范围是( ) A ．(0,)+∞ B ．1,)+∞C ．5[,)2+∞D ．)+∞【答案】B【解析】已知a ，(0,)b ∈+∞，22a b +=，∴12121122ba a a ab a b b a ba b a b a++=+=+++=， 当且仅当2a bb a=，即2a =2b =时，取=号， 故选B ．5．（2020•贵阳模拟）已知a ，b 均为正数，函数2()log f x a x b =+的图象过点(4,1)，则2a bab+的最小值为( ) A ．6 B ．7C ．8D ．9【答案】D【解析】由题意可得，2log 41a b +=即21a b +=，0a >，0b >， 则2121222()(2)59a b a b a b ab b a b a b a +=+=++=++，当且仅当22a bb a=且21ab +=即13a b ==时取等号， 故选D ．6．（2020•镇海区校级模拟）若0a >，0b >，且11a b+22a b +的最小值为( ) A ．2B ．C ．4D ．【解析】0a >，0b >，且11a b+∴112a b，可得2ab ．当且仅当a b =时取等号．2224a b ab ∴+，当且仅当a b =时取等号．则22a b +的最小值为4， 故选C ．7．（2020•辽宁三模）若441x y +=，则x y +的取值范围是( ) A ．(-∞，1]- B ．[1-，)-∞ C ．(-∞，1] D ．[1，)-∞【答案】A【解析】由基本不等式可得，若441x y +=， 有14424424x y x y x =+=， 即11444x y+-=， 根据指数函数4x y =是单调递增函数可得， 1x y +-，故x y +的取值范围是(-∞，1]-， 故选A ．8．（2020•潮州二模）若直线220(0,0)ax by a b -+=>>过圆222410x y x y ++-+=的圆心，则91a b+的最小值是( ) A ．16 B ．10 C ．12D ．14【答案】A【解析】由题意可得圆222410x y x y ++-+=的圆心(1,2)-， 故2220a b --+=即1a b +=，(0,0)a b >>， 则919199()()1010216b a a b a b a b a b a b+=++=+++=， 当且仅当9b a a b =且1a b +=即14b =，34a =时取等号．故选A ．9．（2020•石家庄模拟）a ，b 是两个互不相等的正数，则下列三个代数式中，最大的一个是( ) ①11()()a b b a ++，②22a b a b +++，③22()2a b ab ab a b+++A ．必定是①B ．必定是②C ．必定是③D ．不能确定【解析】因为0a >，0b >，所以①1111()()11224a b ab ab b a ab ab ++=++++=，（当且仅当1ab ab=时，取等号）， ②222222a b a b a b +++=+，（当且仅当22a b a b +=+时，取等号）， ③222()(2)422a b ab a b ab a b ab a b +++=++，（当且仅当22a b abab a b+=+时，取等号）， 综上可知，①>②，③>②，但①和③不能确定大小． 故选D ．10．（2020•葫芦岛模拟）若圆22(2)(1)5x y -+-=关于直线10(0,0)ax by a b +-=>>对称，则21a b+的最小值为( )A ．4B ．C ．9D ．【答案】C【解析】由题意可知，圆心(2,1)在直线10ax by +-=， 则21a b +=， 又因为0a >，0b >， 所以212122()(2)5549b a a b a b a b a b+=++=+++=， 当且仅当22b a a b =且21a b +=即13a =，13b =时取等号，此时取得最小值9． 故选C ．11．（2020•韶关二模）已知0x >，0y >，且121x y+=，则2x y +的最小值是( ) A ．7 B ．8C ．9D ．10【答案】C【解析】根据题意，若0x >，0y >，且121x y+=， 则122222(2)()552549y x x y x y x y x y +=++=+++⨯=+=， 当且仅当3x y ==时，等号成立， 故2x y +的最小值是9； 故选C ．12．（2020•诸暨市模拟）已知22log (4)2log a b +=，则a b +的最小值是( )A ．2B 1C ．94D ．52【答案】C【解析】222log (4)2log log (4)a b ab +==， 44a b ab ∴+=，且0a >，0b >，∴144b a+=， 则11414149()()(5)(25)4444a b a a b a b b a b a b a +=++=+++=；当且仅当244a b a b ab =⎧⎨+=⎩即3234a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取=，则a b +的最小值是94， 故选C ．13．（2020•湘潭四模）直线220(0,0)ax by a b +-=>>过函数1()11f x x x =++-图象的对称中心，则41a b +的最小值为( ) A ．9 B ．4C ．8D ．10【答案】A【解析】函数1()11f x x x =++-图象的对称中心为(1,2)，所以1a b +=， 41414()()415249b a a b a b a b a b +=++=++++=，当且仅当223a b ==时等号成立； 故选A ．14．（2020•重庆模拟）已知a ，0b >，22a b +=，则1b a b+的取值范围是( ) A ．(0,)+∞ B ．[2，)+∞ C ．1,)+∞ D．)+∞【答案】C【解析】a ，0b >，22a b +=，∴21211222b a bb a b a a b a b a b++=+++=， 当且仅当2b aa b=，即2a =，2b =时等号成立， 故选C ．15．（2020•滨海新区模拟）已知正实数a ，b 满足1a b +=，则2241a b a b+++的最小值为( ) A ．13 B ．11C ．10D ．9【答案】C【解析】由224141411a b a b a b a b a b+++=+++=++ 1a b +=，∴414144()()5259b a b a a b a b a b a b a b +=++=++⨯=，当且仅当13b =，23a =时取等号． ∴2241a b a b+++的最小值为9110+= 故选C ．16．（2020•河东区一模）已知实数a 、b ，0ab >，则22224aba b a b +++的最大值为( )A ．16B ．14C ．17D ．6【答案】A【解析】由于2220a b ab +>， 所以222222424ababa b a b ab a b +++++，故：22114246222ab ab a b ab ababab==+++++，（当且仅当a b =时，等号成立）． 故选A ．17．（2020•辽阳二模）已知0a >，0b >，32a b ab +=，则23a b +的最小值为( ) A ．20 B ．24 C ．25 D ．28【答案】C【解析】因为0a >，0b >，32a b ab +=，所以321b a+=，则32666623()(23)1321325a b a a b a b b a b a b +=++=++⨯=，当且仅当5a b ==时，等号成立． 故选C ．18．（2020•大连一模）已知0a >，0b >，111a b+=，则a b +的最小值为( ) A ．14B ．12C ．2D ．4【答案】D 【解析】111a b+=， 11()()112214b aa b a b a b a b∴+=+⨯+=++++=，当且仅当b aa b=时等号成立， a b ∴+的最小值为4．故选D ．19．（2020•浙江模拟）对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，345a b c-+的最小值为( )A ．12-B ．12C ．2-D ．2【答案】C【解析】224240a ab b c -+-=， ∴2215()4416c b a b =-+，由柯西不等式得，22222215[()][2][2()]|2|416415b ba b a b a b -++-+=+ 故当|2|a b +最大时，有4462b a -=， 32a b ∴=，210c b =， ∴22234534511211()(2)2310222a b c b b b b bb -+=-+=-=--， 12b =时，取得最小值为2-． 故选C ．20．（2020•吉林模拟）若24loglog 1x y +=，则2x y +的最小值为( )A ．2B ．C ．4D ．【答案】C【解析】因为2224444log log log log log ()1x y x y x y +=+==， 24(0,0)x y x y ∴=>>，则2224x y x y +=，当且仅当22x y ==时等号成立，则2x y +的最小值为4．故选C ．21．（2020•天津二模）已知0x >，0y >，23x y +=，则2x y xy +的最小值为__________．【解析】因为0x >，0y >，23x y +=，则21211212333333xy x x x y x y x xy y x y x y x yx ++=+=+⨯=+++=，当且仅当23x y y x ==x =y =时取等号，。
基本不等式及应用
基本不等式及应用基本不等式的一般形式是指由n 个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数构成的不等式链.n1a 1+1a 2+⋯+1a n≤√a 1a 2⋯a n n≤a 1+a 2+⋯+a n n ≤√a 12+a 22+⋯+a n 2n调 几 算 平 从 小 到 大⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 当且仅当a 1=a 2=…=a n 时，上述等号成立.在高中阶段我们只重点考虑n=2时的二元均值不等式和n=3时的三元均值不等式的算术平均数与几何平均数的情形，对于其它情形的问题只要求了解即可.一.二元基本不等式【利用二元均值不等式求最值时，要求“一正，二定，三等”】 (1)下列两个命题正确吗？说明理由，并修正.命题1.函数y=x+1x (x ≠0)的最小值是2. 命题2.函数y=√x 2+2+2的最小值为2.解析:命题1.此命题是错误的，因为这里的变量x 可正可负，当x>0时此命题正确.当x<0时，由(-x)+(− 1x )≥2√(−x)1(−x) =2，知x+1x ≤−2.∴ 函数y=x+1x (x ≠0)的值域为(-∞，-2]∪[2，+∞).即函数y=x+1x(x ≠0)既无最大值，也无最小值.命题2. 此命题也是错误的，虽然满足要求“一正，二定”，但不满足“三等”.因为等号成立的条件是x 2+2=1，即x 2= -1，这在实数范围内是不可能的.正确的做法是：令√x 2+2=t(t≥√2)，则y= t+1t (t ≥√2)，利用双钩函数知y ≥3√22，即y min =3√22.(2)下列推理过程有误吗？若有，错在哪，怎样改正.已知x ，y 为正实数，且2x+y=1.求1x +1y 的最小值. ∵ 1=2x+y ≥2√2xy , ∴ 1≥2√2xy >0，得1xy ≥8 ①. ∴ 1x +1y ≥2√1xy ≥4 ②. 故1x +1y 的最小值为4√2.解析:上述推理的过程是错误的，错点仍然出在“三等”上.其中①等号成立的条件是2x=y ， ②等号成立的条件是x=y ，这两者不可能同时成立.一般地，利用均值不等式求最值时，若多次地用到均值不等式，则只有当每次取等号的条件能同时成立时，才能有相应的最值存在.正确的做法为：∵ (2x+y)( 1x +1y )=3+y x +2xy ≥3+2√2,且2x+y=1. ∴ 1x +1y ≥3+2√2当且仅当{x =2−√22 y =√2−1时取等号. 故1x +1y 的最小值应为3+2√2.【利用均值不等式求最值(值域)时常用的技巧与方法】①凑项——求和的最值在利用均值不等式求和式的最值时，首先应判断积是否为定值，若否，就采用加(减)项凑成积为定值；再判断a 、b 的符号.若a>0、b>0，就用a+b ≥2√ab 变形；若a<0、b<0，就用a+b ≤−2√ab 变形.例1.已知x<54，求函数y=4x −2+14x−5的最大值.解：∵(4x −2)×14x−5不是定值，这就需要对4x -2进行变形，4x -2=4x -5+3.又∵4x -5<0，∴ 要用a+b ≤−2√ab 变形.即y=4x -2+14x−5=4x −5+14x−5+3≤1，当且仅当4x −5=14x−5，即x=1时，上式等号成立，故当x=1时，y max =1.②凑系数——求积的最值例2.①当0<x<4时，求y=x(8-2x)的最大值. ②已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2 的最大值. 解:①∵ 0<x<4，知8-2x>0.要求积的最值，但其和不是定值.注意到2x+(8-2x)=8为定值，故只需将y=x(8-2x)凑上一个系数即可. ∴ y=x(8-2x)=12[2x(8−2x)]≤12(2x+(8−2x)2)2=8. 当且仅当x ＝2时取等号. ∴ 当x ＝2时，y=x(8-2x)的最大值为8.②因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤a 2＋b 22 .同时还应变换1＋y 2 中y 2前面的系数为 12 ，x 1＋y 2＝x 2·1＋y 22 ＝ 2 x·12 ＋y 22≤ 2 x 2＋(12 ＋y 22 )22 ＝√2×x 2＋y 22 ＋122 ＝3√24. 即x 1＋y 2 的最大值为3√24.或由x1＋y 2＝√x 2(1+y 2)=√12×2x 2(1+y 2)≤√22×2x 2+1+y 22=3√24. 可得x 1＋y 2 的最大值为3√24. 想一想①：1.设x<3，求函数y=2x+1x−3的最大值. 2.设0<x<32，求函数y=4x(3-2x)的最大值.③换元——求分式函数的值域(或最值) 例3.(1)求y=x 2+7x+10x+1(x>-1)的值域.(2)求函数y=3x−3x 2+2x+2(x <1)的值域. 解:(1)令t=x ＋1>0，∴x=t -1, ∵ y=(t−1)2+7(t−1)+10t=t 2+5t+4t=t +4t +5≥9(t=2时取“=”).即此函数的值域为[9，+∞).(2)令t=x -1< 0，∴ x=t+1, ∵ y=3t(t+1)2+2(t+1)+2=3t t 2+4t+5=3t+5t+4,又∵ t < 0，∴ u= t +5t +4≤4−4√5，结合反比例函数y= 3u的图像知，函数y=3x−3x 2+2x+2(x <1)的值域为[−6+3√52，0).说明:对于分子、分母中一个一次式，一个二次式的分式函数求值域或最值问题，通常将一次式换元为t 后，转换为分子或分母为u=at+ b t+c(a ，b>0)且t 恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式并结合反比例函数的图像来求其值域或最值.④“双钩”——处理等号不成立问题在应用均值不等式求最值时，若遇到等号不成立的情况，应考虑利用双钩函数f(x)=x+ax (a>0)的图像和性质求解. 例4.求函数y=2√x 2+4的值域.解：令√x 2+4=t(t ≥2)，则，y=2√x 2+4=√x 2+4+√x 2+4=t +1t，∵ t>0，t ×1t=1，但t=1t解得t=±1不在区间[2，+∞)，故等号不成立. 又∵y= t +1t 在区间[1，+∞)单增，∴ 在其子区间[2，+∞)也单增，故y ≥52. ∴ 所求函数的值域为[52，+∞).想一想②：1.求函数y=2x+2x +2x+3(x <−1)的最小值. 2.求函数y=2√x 2+2x+3的值域.⑤相乘——处理等号不能同时成立的问题例5.(1)已知x>0，y>0，且1x +9y =1，求x+y 的最小值. (2)已知x>0，y>0，且x+y=1，求x 2x+2+y 2y+1的最小值.解:(1)∵ x>0，y>0，且1x +9y =1，∴ x +y =(x +y)(1x +9y )=y x +9x y+10≥16.当且仅当yx =9xy且1x +9y =1，j 即x=4且y=12时，(x+y)min =16. (2) ∵ x>0，y>0，且x+y=1，∴ [(x+2)+(y+1)]( x 2x+2+y 2y+1)=x 2+y 2+(y+1)x 2x+2+(x+2)y 2y+1≥x 2+y 2+2xy=(x+y)2=1，当且仅当{x +y =1, (y +1)x =(x +2)y,即{x =23y =13时取等号. 又∵(x+2)+(y+1)=4，∴ x 2x+2+y 2y+1≥14，故x 2x+2+y 2y+1的最小值为14.⑥“算平”——处理二次根式问题主要是指利用算术平均数与平方平均数的关系式a+b 2≤√a 2+b 22，简称“算平”来解答相关的问题.例6.(1)已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W ＝3x ＋2y 的最大值. (2)设√x +√y ≤k √x +y 对一切正实数x ，y 都成立，求k 的最小值. 解:(1)利用“算平” 关系式a+b 2≤√a 2+b 22，得3x ＋2y ≤ 2 ×（3x ）2＋（2y ）2 ＝ 2 ×3x ＋2y ＝2 5 ， ∴ 函数W ＝3x ＋2y 的最大值为2 5 .(2)∵√x +√y ≤k √x +y 对一切正实数x ，y 都成立，∴k ≥√x+√yx+y对一切正实数x ，y 都成立.则k ≥(√x+√y √x+y )max . 又∵√x+√y √x+y≤√2×√(√x)2+(√y)2√x+y√2，即(√x+√y√x+ymax =√2，∴ k ≥√2. 故 k min =√2.想一想③：1.若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ).A.245.B.285. C.5. D.6. 2.求函数y=√2x −1+√5−2x(12<x <52)的最大值.例7.(1)若a ，b 为常数，a ，b >0，a ≠b.x 、y ∈(0，+∞)，则a 2x +b 2y≥(a+b)2x+y ，当且仅当a x =by时取等号.利用上述结论，可以求得函数f(x)= 3x +41−3x (0<x <13)的最小值为( ). A.5. B.15. C.25. D.16. (2)已知a>b>0，则 a 2+1b(a−b)的最小值为( ).A.2.B.3.C.4.D.5. (3)设正实数x 、y 、z 满足x 2-3xy+4y 2-z=0.则当xyz 取得最大值时，2x +1y −2z 的最大值为( ).A.0.B.1.C.2.D.3.解:(1)∵f(x)= 3x +41−3x =323x +221−3x ≥(3+2)23x+(1−3x)=25，∴ f(x)的最小值为25.当且仅当x= 15时取等号.故应选C. (2)∵a>b>0，b(a-b)≤(b+(a−b )2)2=a 24，∴a 2+1b(a−b)≥a 2+4a ≥4,当且仅当{a =√2b =√22时 取等号. 故应选C.(3) ∵ 正实数x 、y 、z 满足x 2-3xy+4y 2-z=0，∴ xyz =xyx −3xy+4y =1xy+4×yx−3≤1,当且仅当{x =2y z =2y 2时取等号.此时2x +1y −2z =2y −1y 2=−(1y −1)2+1≤1. 故应选B.【利用基本不等式证明不等式】由二元基本不等式，利用综合法去证明一些不等式，是不等式证明这个数学花圃中，一 朵不可或缺的鲜花.虽然它可能不怎么耀眼，但是，在处理许多问题时，它的作用还是十分明显的.在此，我们略举数例简要说明之.例8.设a ，b ，c 为实数.求证(1) a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ac.(2) a 4+b 4+c 4≥a 2b 2+b 2c 2+a 2c 2≥abc(a+b+c).证明:(1)∵ a 2+b 2≥2abb 2+c 2≥2bc c 2+a 2≥2ac}⇒2(a 2+b 2+c 2)≥2(ab +bc +ac ),a 2+b 2+c 2≥ab +bc +ac.当且仅当a=b=c 时取“=”.(2)由(1)得a 4+b 4+c 4≥a 2b 2+b 2c 2+a 2c 2 ≥ab 2c+a 2bc+abc 2=abc(a+b+c).当且仅当a=b=c 时取“=”.例9.(1)已知0<x <1，求证：a 2x +b 21−x ≥(a +b)2.(2)已知a ，b 为正数，且a+b=1，求证：ab+1ab≥174.证明:(1)∵ [x+(1-x)]( a 2x+b 21−x)=a 2+b 2+(1−x)a2x+xb 21−x≥a 2+b 2+2ab =(a +b)2.又∵ [x+(1-x)]=1，∴ a 2x +b 21−x ≥(a +b)2.当且仅当(1−x)a 2x=xb 21−x 时取“=”.说明：上述例7(1) 若a ，b 为常数，a ，b >0，a ≠b.x 、y ∈(0，+∞)，则a 2x +b 2y≥(a+b)2x+y，可用与此题一样的方式来处理.(2) ∵ a+b=1，∴ 1=a+b≥2√ab ，即0<ab ≤14.令t=ab ∈(0，14]，考查函数y=t+1t ，t ∈(0，14]图像和单调性知y≥174. ∴ ab+1ab ≥174.例10.设实数x ，y 满足：y+x 2=0，且0<a <1. 求证：log a (a x +a y )<loga2+18. 证明: ∵ a x +a y ≥2√a x ∙a y =2ax+y 2 , 又∵ y+x 2=0，∴x+y 2=x−x 22=−(x−12)2+142≤18.∵ 0<a <1 ∴ 2ax+y 2≥2a 18，从而可得a x +a y ≥2a 18，因此 log a (a x +a y ) ≤loga2+18.当且仅当{x =12y =x =−x2时取“=”，但这是不可能的，因此a x +a y >2a 18.再由0<a <1，知log a (a x +a y )<loga2+18.想一想④：1.设a ，b ，c 是不全等的正实数，求证：bca +ac b+ab c>a+b+c.2.设a ，b ，c 为实数，求证：√a 2+b 2+√b 2+c 2+√c 2+a 2≥√2(a +b +c).【利用均值不等式求范围】利用二元均值不等式求参数(一个或两个)的取值范围，是满足一定条件时，求参数取值范围的重要方法之一.例11.(1)若正数a ，b 满足ab=a+b+3.求(a+b)及ab 的取值范围. (2)设正实数a ，b 满足3a+2b=ab ，求3a+2b 的取值范围.(3)设正实数a ，b 满足a+b=2.若a 2+b 2≥k 恒成立，求实数k 的取值范围. 解:(1) ∵ a ，b 是正数且ab=a+b+3，∴ 由a+b+3=ab ≤(a+b 2)2,⇒(a +b )2−4(a +b )−12≥0.解得(a+b)≥6或(a+b) ≤-2，又∵a+b>0, ∴ a+b≥6.由ab=a+b+3≥2√ab +3，⇒(√ab)2−2√ab −3≥0，解得√ab ≥3或√ab ≤−1(舍).∴ ab≥9.(2) ∵ 3a+2b=ab ，∴ 6(3a+2b)=(3a)(2b)≤(3a+2b 2)2，即(3a+2b)2≥24(3a+2b)，又∵3a+2b>0,∴ 3a+2b ≥24.(3)由“算平”有，√2(a 2+b 2)≥a +b =2，⇒a 2+b 2≥2. ∴ (a 2+b 2)min =2.∵ a 2+b 2≥k 恒成立，∴ k≤2.说明：一般地，若要求a+b 的取值范围，要用均值不等式将ab 换掉；若要求ab 的取值范围要用均值不等式将a+b 换掉，然后通过解不等式求解.若条件或所求式中有对应的平方关系时，往往可通过“算平”来处理.例12.(1)设a >b >c ，n 为正整数，且1a−b +1b−c ≥na−c 恒成立，求n 的取值集合.(2)已知x ，y>0，且2x+1y =1若x+2y>m 2+2m 恒成立，求实数m 的取值范围.解:(1)∵ a >b >c ，∴1a−b +1b−c ≥n a−c 可变为(a −c ) (1a−b +1b−c )≥n 恒成立， 而(a −c ) (1a−b +1b−c )=[(a −b )+(b −c)](1a−b +1b−c )≥n,即[(a −c ) (1a−b +1b−c)]min =4由已知得n≤4，又n 为正整数，n 的取值集合.为{1，2，3，4}.(2) ∵ x ，y>0，且2x+1y=1，∴ x+2y=(2x+1y)(x+2y)=4+4y x+xy，即(x+2y)min =8.∴ m 2+2m<8，解得-4<m<2.说明：在求解恒成立问题时，若能将参数分离出来，则可转化为，若a≥g(x)恒成立，只要 a≥g(x)max 即可. 若a≤g(x)恒成立，只需a≤g(x)min 即可.想一想⑤：1.已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( ). A.(－∞，－1). B.(－∞，22－1). C.(－1,22－1). D.(－22－1,22－1).2.已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R)，若对于任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，求a 的取值范围.【利用均值不等式解实际问题】例13.(1)今有一架坏天平，两臂长不等，其余均精准.有人说，要用它称物体的质量，只需将物体放在左右托盘各称一次，取两次称重的算术平均数，就是该物体的真实质量.这种说法对吗？谈谈你的看法.(2)某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p %，第二次提价q %；方案乙：每次都提价p ＋q2%，若p >q >0，则提价多的方案是________.解:(1)设物体两次称得的质量分别是a ，b ，天平不等的两臂长分别为l 1，l 2， 物体的实际质量为G. 则由题意得：l 1G= l 2a ①. l 2G= l 1b ②.由①②得G=√ab .∵ a,b 不等，∴ a+b2>√ab =G, 故此人的说法是错误的，应取两次的几何平均数才对.(2)设原价为1，则提价后的价格为方案甲：(1＋p %)(1＋q %)，方案乙：(1＋p ＋q 2%)2，∵ √(1+p%)(1+q%)≤1＋p %2＋1＋q %2＝1＋p ＋q2%，且p >q >0，∴√(1+p%)(1+q%)<1＋p ＋q 2%，即(1＋p %)(1＋q %)<(1＋p ＋q 2%)2，故 提价多的方案是乙.例14.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S 的最大允许值是多少？为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？解:设铁栅长为x 米，一侧砖墙长为y 米，则顶部面积S ＝xy ，依题设，得40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得3 200≥240x ·90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ＝120S ＋20S ，则S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0，故0<S ≤10，从而0<S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，取得此最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100， 解得x ＝15，即铁栅的长应设计为15米.例15.某工厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品可获利200元，如果生产出一件次品可损失00元.已知该厂生产电子元件的过程中，次品率P 与日生产量x 的函数关系是：P= 3X4X+32(x ∈N +). (1)将该厂的日盈利额T(元)表示为日产量x(件)的函数T(x)； (2)为获得最大日盈利，该厂的日产量应定为多少件？ 解:(1)由已知，当日产量为x 件时，日生产的次品数为：3X 4X+32×x =3x 24X+32，日生产的次品数为：x −3X4X+32. ∴ T(x)=( x −3X4X+32) ×200−3x 24X+32×100=25×64x−x 2X+8(x ≥0).(2)令x+8=t ≥8，则x=t −8，∴ T(x)=25×64(t−8)−(t−8)2t=25×[80−(72×8t+t)]，∵72×8t+t ≥2√72×8=48，∴ T(x)≤25×(80-48)=800.当且仅当t=24，即x=16时，T(x)取得最大值800(元). 故为获得最大日盈利，该厂的日产量应定为16件.想一想⑥：1.一批救灾物资用17列火车以km/h 的速度匀速直达400km 的灾区，为了安全起见，两 列火车的间距不得少于(ν20)2km ，问这批物资全部送到灾区最少需要多少小时？2.某商场的某种商品的年进货量为1万件，分若干次进货，每次进货的数量相同，且需运费 100元，运来的货物除出售外还需租仓库存放，一年的租金按一次进货的一半计算，每件 2元，为使一年的运费和租金最省，求每次的进货量.二. 三元基本不等式三元均值不等式与二元均值不等式一样，可用来求函数或式子的最值或取值范围，也能利用其证明不等式等等.下面略举数例，说明其主要应用.1.求函数或式子的最值例16.(1)设x >0，则函数y=12x2+3x 的最小值为 .(2)若x 2+2y 2=1，则x 2y 4的最大值为 .(3)函数f(x)=4x 2+16(x 2+1)2的最小值为 . 解:(1) ∵ x >0，∴ y=12x 2+3x =12x 2+3x 2+3x 2≥3√12x 2×3x 2×3x 23=9，当且仅当x=2时取等号.故函数y=12x 2+3x 的最小值为9.υ(2)∵ x 2+2y 2=1，∴x 2y 4= x 2y 2y 2≤(x 2+y 2+y 23)3=127当且仅当x 2=y 2=13时取等号.故x 2y 4的最大值为127. (3)∵ f(x)= 4x 2+16(x 2+1)2=2(x 2+1)+ 2(x 2+1)+16(x 2+1)2−4≥3√4(x 2+1)2×16(x 2+1)23-4=8.∴ 函数f(x)= 4x 2+16(x 2+1)2的最小值为8.当且仅当x =±1时取等号.例17.若0<x<1，求函数y=x 3-2x 2+x 的最大值解：∵x 3-2x 2+x=x(x 2-2x+1)=x(1-x)2=x(1-x)( 1-x)= 12×2 x(1-x)( 1-x) ≤12[2x+(1−x )+(1−x )3]3=12×(23)3=427，当且仅当x=13的时候等号成立.∴ 函数y=x 3-2x 2+x 的最大值为427.2.证明不等式例18(1)若a >b >0，求证：a+1(a−b )b ≥3.(2)已知a ，b ，c 满足a+b+c=1.求证：a 2+b 2+c 2≥13(3)已知正数a ，b ，c ，求证：1a+b +1b+c +1c+a ≥92(a+b+c). 证明:(1) ∵ a >b >0，∴ (a -b)，b 均为正，又∵a+1(a−b )b=(a -b)+b+1(a−b )b≥3，∴ a+1(a−b )b ≥3.(2)利用“算平”. ∵ a+b+c=1且a+b+c 3≤√a 2+b 2+c 23,∴a 2+b 2+c 23≥(13)2.即 a 2+b 2+c 2≥13(3)∵a ，b ，c 均为正数，又∵ 2(a+b+c)( 1a+b +1b+c +1c+a )=[(a+b)+(b+c)+(c+a)] (1a+b+1b+c+1c+a )≥3√(a +b)(b +c)(c +a 3)3√1a+b ∙1b+c ∙1c+a 3=9， ∴1a+b+1b+c+1c+a≥92(a+b+c).想一想⑦：1.已知x>0，求函数y=4(x+1x )+16x 2(x 2+1)2y=的最小值. 2.已知α为锐角，求cos αsin 2α的最大值.3.已知正数a ，b ，c 满足a+b+c=1. 求证：1a +1b +1c ≥9习题2.31.小王从甲地到乙地的时速分别为a 和b(a <b)，其全程的平均时速为v ，则( ). A.a<v <√ab . B.v =√ab . C. √ab <v<a+b 2. D.v=a+b 2.2.某工厂第一年年产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则( ).A.x ＝a+b 2.B.x≤a+b 2.C.x>a+b 2.D.x≥a+b2.3.若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈(0，12)成立，则a 的最小值是( ).A.0.B.－2.C.－52. D.－3.4.下列命题正确的是( ).A.函数y=x+1x 的最小值为2.B.函数y=2-3x-4x (x >0)的最小值为2-4.3C.函数y=2√x 2+2的最小值为2. D.函数y==2√x 2+2的最小值为3√22. 5.设x >0，y >0，且x+y≤4，则有( ).A.1x+y ≤14. B.1x+1y≥1. C.√xy ≥2. D. 1xy≥1.6.设x ，y ∈R ，a>1，b>1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y的最大值为 ( ).A.2.B.32.C.1.D.12.7. 点G 是∆ABC 的重心，若∠A =1200，AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ∙AC⃑⃑⃑⃑⃑ =−2，则|AG ⃑⃑⃑⃑⃑ |的最小值是 . 8.函数y=log a (x -1)+1(a>0且a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在一次函数y=mx+n 的图像上，其中mn>0，则1m+2n 的最小值为 ．9.若正项等比数列{a n }满足a 7=a 6+2a 5，若存在两项a m ，a n 使得√a m a n =4a 1.则1m +4n 的最小值为 .10.x>1时，f(x)=x ＋1x +16xx 2+1的最小值是________，此时x=________.11.设a ＋b ＝2，b>0，则当a ＝________时，12|a|＋|a|b 取得最小值.12.(1)若直角三角形周长为1，求它的面积最大值. (2)0<x<23，求函数y=√x(2−3x)的最大值.(3) 若x ，y >0且x 2+2y 2=3，求x √1+y 2的最大值. (4)已知x >y >0，且xy=1，求x 2+y 2x−y的最小值.(5)若-4<x <1，求函数y=x 2−x+22x−2的最大值.(6)当x ≥4时，求函数y=x+4x−1的最小值.13.某单位准备利用一面长14m 的旧墙的一部分为一面墙，建造平面图形为长方形, 面积为 126m 2的厂房，已知(1)修1m 旧墙的费用是造1m 新墙的费用到25%；(2)利用拆1m 旧墙 的材料再建1m 新墙的费用是造1m 新墙的费用到50%；问，应如何利用旧墙才能使建墙 费用最低？14.某房屋开发公司用100万元购得一块土地，该地可以建造每层1000m 2的楼房，楼房的总 建筑面积(即各层面积之和)每平方米平均建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整 幢楼房每平方米建筑费用提高5%.已知建筑5层楼房时，每平方米建筑费用为400元，公 司打算造一幢高于5层的楼房，为了使该楼房每平方和的平均综合费用最低(综合费用是建筑费用与购地费用之和)，公司应把楼层建成几层？15.(1)已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y=1ab 的取值范围.(2)设x>0，y>0，且1x+2+1y+2=13. 求xy 的取值范围.(3)已知a>b>0，求a 2+16b(a−b)的取值范围.16.若实数a 、b 、c 同时满足2a +2b =2a+b ，2a +2b +2c =2a+b+c ，则实数c 的最大值是 . 17.(1)若实数a 、b 、c>0，且a(a+b+c)+bc=4-2√3.求2a+b+c 的最小值. (2)若实数a 、b 满足ab -4a -b+1=0(a>1).求(a+1)(b+2)的最小值.【参考答案】 想一想①： 1.6-2√2. 2.92想一想②：1.−√222. [3√22，+∞)想一想③：1.C.由x ＋3y ＝5xy ，得15y ＋35x ＝1，∵ 3x ＋4y ＝(3x ＋4y )(15y ＋35x )＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x≥135＋2 3x 5y ·12y 5x ＝5，当且仅当x ＝1，y ＝12时取等号，故3x ＋4y 的最小值是5. 2. 2√2.利用“算平”.想一想④：1.{ bca +abc ≥2b ac b +bc a ≥2c ab c +acb≥2a ，⇒bc a +ab c +acb ≥a +b +c.由于a,b,c 是不全等的正实数， ∴ bc a +ab c +acb a+b+c. 2.提示，利用“算平”. 想一想⑤：1.B.由f (x )>0得32x －(k ＋1)·3x ＋2>0，解得k ＋1<3x ＋23x ，而3x ＋23x ≥22(当且仅当3x ＝23x ，即x ＝log 32时，等号成立)，∴k ＋1<22，即k <22－1. 2.对任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即知a ≥－(x ＋8x )＋3.设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (2)＝6，g (3)＝173. ∵g (2)>g (3)，∴ g (x )min ＝173.得：－(x ＋8x )＋3≤－83，∴ a ≥－83，故a 的取值范围是[－83，＋∞).想一想⑥：1.400+(v20)2×16v ≥8.2.设每次的进货量为x 件，则一年要进货104x(次).设一年的运费和租金总和为y ，∴ y=x2×2+104x×100=x+106x≥2000，当且仅当x=103时取“=”.即每次的进货量为1000件时一年的运费和租金最省.想一想⑦：1.提示. y=4(x+1x )+16x 2(x 2+1)2=2(x +1x )+ 2(x +1x )+16(x+1x)2≥12.x=1时取“=”.2.cos αsin 2α=√cos 2αsin 4α=√12(2cos 2α)sin 2αsin 2α≤√12(2cos 2α+sin 2α+sin 2α3)3=2√39.3.法1. ∵ a+b+c=1. ∴1a +1b +1c=a+b+c a+a+b+c b +a+b+c c=3+(b a +a b )+(c a +a c )+(c b +bc)≥3+2+2+2=9.法2. ∵(a+b+c)( 1a +1b +1c ) ≥3√abc 3×3√1abc 3=9.习题2.31. A.2. B.3.C.分离参数.4.D.5.B.6.C. 由a x ＝b y ＝3，得：x ＝log a 3，y ＝log b 3，由a>1，b>1知x>0，y>0，1x ＋1y＝log 3a ＋log 3b＝log 3ab≤log 3⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝1，当且仅当a ＝b ＝3时“＝”成立，则1x ＋1y 的最大值为1.7.23. ∵ AG ⃑⃑⃑⃑⃑ =23AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =13(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )，将此式两边平方后利用条件和均值不等式可得. 8.8. 9. 32. 10. 8；2＋√3.11.a=－2.由于a ＋b ＝2，所以12|a|＋|a|b ＝a ＋b 4|a|＋|a|b ＝a 4|a|＋b 4|a|＋|a|b ，由于b>0，|a|>0，所以b 4|a|＋|a|b≥2 b 4|a|·|a|b ＝1，因此当a>0时，12|a|＋|a|b 的最小值是14＋1＝54；当a<0时，12|a|＋|a|b的最小值是－14＋1＝34.故12|a|＋|a|b 的最小值为34，此时⎩⎪⎨⎪⎧b 4|a|＝|a|b ，a<0，即a ＝-2.12.(1)设直角三角形的两直角边分别为a ，b ，由1=a+b+√a 2+b 2≥2√ab +√2ab = (2+√2)√ab ,得√ab ≤2−√22,⇒12ab ≤3−2√24. ∴ S 最大值=3−2√24. (2)y max =√33. (3)5√24. (4) 2√2. (5) 12−√2. (6)163，利用双钩函数.13.设保留旧墙x(m)，则应拆旧墙(14-x)(m),另应建新墙[x+2×126x−(14−x)](m).又设建1m 新墙的费用为a(元)，则总造价 w=ax25%+a(14-x)50%+[x+2×126x−(14−x)]a =(7x4+252x−7)a ≥35a.当且仅当x=12时取“=”.即保留旧墙12(m) 能使建墙费用最低.14.设该楼建成n 层，则整幢楼每平方米的建筑费用为400+400(x-5)×5%(元). 又每平方米购地费用为100×1041000x=1000x (元). 设每平方米的平均综合费用为y ，则y=1000x+400+400(x -5)×5%=20(x+50x)+300≥200√2+300当且仅当x=50x ，x 2=50，x ≈7时，y 最小.∴ 大楼应建成7层综合费用最低.15.(1)由已知得：30－ab ＝a ＋2b ， a ＋2b≥2 2 ab ， ∴ 30－ab≥2 2 ab .令u ＝ab ，则u 2＋2 2 u －30 ≤ 0， －5 2 ≤u≤3 2 . ∴ 0<ab ≤3 2 ，0<ab≤18，∴ y≥118.(2)[16，+∞）.去分母变形为x+y+8=xy 后再用均值不等式. (3) [16，+∞）. ∵ 0<b(a -b)≤(b+a−b)22=a 24，∴ 16b(a−b)≥64a 2.再用均值不等式可得.16.由已知有，2a+b +2c =2a+b+c ，⇒2c (2a+b −1)=2a+b ，⇒2c =2a+b2a+b −1=1+12a+b −1，∵ 2a+b=2a+2b≥2×2a+b 2, ⇒2a+b ≥4. ∴ 2c ≤43，⇒c ≤log 243.17.(1) ∵ a 、b 、c>0，且a(a+b+c)+bc=4-2√3，∴4-2√3= (a+c)(a+b)≤((a+c )+(a+b )2)2=(2a+b+c)24，可得(2a+b+c)min =2(√3−1).(2) ∵ab -4a -b+1=0，∴ b(a -1)=4(a -1)+3，即b=4+3a−1，∴(a+1)(b+2)=(a -1+2)(6+3a−1)=6(a -1)+ 6a−1+15，∵ a>1，∴(a+1)(b+2)≥12+15=27. 即[(a+1)(b+2)]min =27.。
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即时训练：若 x , y 为正实数，且 x + y ≤ a x+ y 恒成立，则 a的最 小值是 ．
小结：熟练掌握基本不等式的结构特征，能透过表象看本质， 方能求得最值得结果．
例
r 4：已知向量 a = (1, x )
r 向量 b = ( x 2 + x , − x ) ，
（ 1 ） 已 知 常 数 m 满 足 −2 ≤ m ≤ 2 ， 求 使 得 不 等 式
∴4
1 1 + x y
1 x 1 y 1 x 1 y 1 1 + x y
1 1 + x y
1 x
1 y
,
1 1 1 1 x=y=4时 1 1 ≤ 2,∴ + ≤ , 当a=b= 2 即x=y=4时， + 有最大值 . x y x y 2 2 2
1 答案： 答案：
2.已知x 0,y＞ 2.已知x＞0,y＞0，xy=x+2y，若xy≥m-2恒成立，则实数m的 已知 xy=x+2y， xy≥m- 恒成立，则实数m 最大值是___________. 最大值是___________. 【解析】∵ xy = x + 2y ≥ 2 2xy, 解析】 ∴
2.要通过拆、分来构造使用基本不等式的 要通过拆、 要通过拆 条件
求 2、 x , y , z > 0 , x − 2 y + 3 z = 0 , 则 最小值 最小值为 。
y 2 xz
的
问题： 目标式中有多个变量 目标式中有多个变量， 问题：1.目标式中有多个变量，求 范围及最值时先怎么变形？ 范围及最值时先怎么变形？ 2. 应消去 x , y , z 中的哪个变量？ 中的哪个变量？ 3.符合使用基本不等式的条件吗？ 符合使用基本不等式的条件吗？ 符合使用基本不等式的条件吗
1 x
4 y
.
问题：上面两个问题的有没有相同之处？
变式 2： 若函数 f ( x) =
x , x ≥ 1 能用基本不 x 2 + 2( a + 2) x + 3a
等式求最大值，则 a 的取值范围是
小结： 使用基本不等式的条件是什么？ 小结：1 使用基本不等式的条件是什么？
一正、二定、 一正、二定、三相等
(
xy
)
2
− 2 2 xy ≥ 0,
(舍去 舍去), ∴ xy ≥ 2 2或 xy ≤ 0(舍去), ∴xy≥8,当且仅当x=4,y=2时取等号. xy≥8,当且仅当x=4,y=2时取等号. 当且仅当x=4,y=2时取等号 由题意知m 2≤8,即 由题意知m-2≤8,即m≤10. 答案： 答案：10
这个条件的作用是 这个条件的作用是 条件 什么？ 什么？
。
条件的实质是什么？ 条件的实质是什么？
什么时候取到最小值？ 什么时候取到最小值？
变式 1：已知 x > 0 、 y > 0 ，且 x + y = 1 则 + 的最小值 为
思考题：函数 f ( x ) = + 取得最小值时 x 的值为
2 9 1 , ( x ∈ (0, )) 的最小值为 x 1− 2x 2
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第7 讲
基本不等式及其性质
江苏省普通高中数学课程标准教 学要求: 学要求
a + b 掌握基本不等式 ab≤ 2 （a≥0，b≥0）；能用基本不等式证明
简单不等式（指只用一次基本不等式即可解决的问题）；能用 基本不等式求解简单的最大（小）值问题（指只用一次基本不 等式即可解决的问题）。
x 已知实数 x, a1 , a2 , y 成等差数列， , b1 , b2 , y 成等比数列，
变式：(a1 + a2 ) 求 b1b2
2
的取值范围
解决本题的关键什么？ 把待求式转化为 x y 的表达式 解后反思： 解后反思：
x2 + y 2 得出 后，要注意对 x y 同号、异号进 xy 行讨论。即基本不等式的使用条件是否满 足
r r 1 a b ≥ − r r +m a b
成立的 x 解集 对一切 x > 0 恒成立的
向量是外壳，实质 向量是外壳， 是不等式问题
r r 1 a b ≥ − r r + m （2） 求使不Βιβλιοθήκη 式 a b实数 m 的取值集合
1. 向 量 在 问 题 中 的 作 用 是 什 么？
r r 1 1 a b ≥ − r r + m 得到 x ≥ +m 2.化简不等式 化简不等式 x a b
若 均为正实数， 3、 a , b 均为正实数， 且 成立， 成立，则 m 的最小值是
a +
b− a ≤ m
b
恒
。
1.解题方向是什么？ 1.解题方向是什么？ → 分离参数 解题方向是什么
2.变形之后， 2.变形之后，如何求 变形之后
a + b−a b
的最
？ 值。
3.如何消去根号对求最值的影响？ 如何消去根号对求最值的影响？ 求最值的影响
1.设x,y∈R， 1.设x,y∈R，a＞1,b＞1，若ax=by=4, a + b = 2 2，则 1,b＞ 的最大值为___________. 的最大值为___________. =4得 【解析】由ax=by=4得 a = 4 ,b = 4 , 解析】 ∵ a + b = 2 2, ∴ 4 + 4 = 2 2 ≥ 2 4 g4 = 2 4
2009江苏高考数学科考试说明 :c级 江苏高考数学科考试说明 级
一、课前热身： 课前热身：
1、函数 y = log a ( x + 3) − 1(a > 0, 且a ≠ 1) 的图像恒 过定点 A，若点 A 在直线 mx + ny + 1 = 0 上其中
1 2 mn > 0 ，则 m + n 的最小值