2012年中考数学第一轮总复习 第5章《基本图形(一)》自我测试(20-25)

第五章《基本图形(一)》自我测试[时间：90分钟分值：100分]一、选择题(每小题3分，满分30分)1．(2011·泰安)如图，l∥m，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在直线m上，若∠β＝20°，则∠α的度数为( )A．30° B．25° C．20° D．15°答案 B解析过点B画BD∥l，∵l∥m，∴BD∥m，∴∠1＝∠α，∠2＝∠β.又∠1＋∠2＝45°，∴∠α＋∠β＝45°，∴∠α＝45°－20°＝25°.2．(2011·株洲)某商品的商标可以抽象为如图所示的三条线段，其中AB∥CD，∠EAB ＝45°，则∠FDC的度数是( )A．30° B．45° C．60° D．75°答案 B解析延长线BA至G，则∠GAF＝∠EAB＝45°.因为AB∥CD，所以∠FDC＝∠GAF＝45°.3．(2011·台北)图中有四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角．关于这七个角的度数关系，下列何者正确？( )A．∠2＝∠4＋∠7 B．∠3＝∠1＋∠6C．∠1＋∠4＋∠6＝180° D．∠2＋∠3＋∠5＝360°答案 C解析如图，在△ABC中，∠4＋∠6＋∠8＝180°.又∠1＝∠8，所以∠1＋∠4＋∠6＝180°.4．(2011·江津)下列说法不正确．．．是( ) A ．两直线平行，同位角相等 B ．两点之间直线最短 C ．对顶角相等D ．半圆所对的圆周角是直角 答案 B解析 两点之间，线段最短．5．(2011·福州)如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A 、B 两点在网格格点上，若点C 也在网格格点上，以A 、B 、C 为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C 个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 C解析 如图，满足条件的点C 有4个． 6．(2011·烟台)如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m 和8m.按照输油中心O 到三条支路的距离相等来连接管道，则O 到三条支路的管道总长(计算时视管道为线，中心O 为点)是( )A ．2 mB ．3 mC ．6 mD ．9 m 答案 C解析 因为点O 到三边的距离相等，所以点O 是三角形的内心，而三角形是直角三角形，两直角边分别为6和8，则斜边为10.内切圆半径r ＝6＋8－102＝2，点O 到三条地路的管道总长是2×3＝6m.7．(2011·泰安)如图，点O 是矩形ABCD 的中心，E 是AB 上的点，沿CE 折叠后，点B 恰好与点O 重合，若BC ＝3，则折痕CE 的长为( )A ．2 3 B.3 32C. 3 D ．6答案 A解析 在矩形ABCD 中，∠B ＝90°，AC ＝2CO .∵BC ＝OC ＝12AC ，∴∠BAC ＝30°，∠ACB ＝60°. ∴∠BCE ＝∠ACE ＝30°.在Rt △BCE 中，BC ＝3，cos ∠BCE ＝BC EC， ∴EC ＝3cos30°＝332＝2 3.8．(2011·聊城)已知一个菱形的周长是20 cm ，两条对角线的比是4∶3，则这个菱形的面积是( )A ．12 cm 2B ．24 cm 2C ．48 cm 2D ．96 cm 2答案 B解析 如图，在菱形ABCD 中，AB ＝5，设BO ＝4k ，AO ＝3k ，则AB ＝5k .由5k ＝5，得k ＝1，所以BD ＝8，AC ＝6，S 菱形ABCD ＝12BD ·AC ＝12×8×6＝24.9．(2011·江津)如图，四边形ABCD 中，AC ＝a ，BD ＝b ，且AC ⊥BD ，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1，再顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边中点，得到四边形A 2B 2C 2D 2，……，如此进行下去，得到四边形A n B n C nD n .下列结论正确的有( )①四边形A 2B 2C 2D 2是矩形； ②四边形A 4B 4C 4D 4是菱形；③四边形A 5B 5C 5D 5的周长是a ＋b4；④四边形A n B n C n D n 的面积是ab2.A ．①②B ．②③C ．②③④D ．①②③④ 答案 C解析 因为A 1、B 1、C 1、D 1分别是四边形ABCD 的中点，则A 1B 1綊12AC ，C 1D 1綊12AC ，所以A 1B 1綊C 1D 1，四边形A 1B 1C 1D 1是平行四边形，又A 1D 1∥BD ，AC ⊥BD ，所以A 1B 1⊥A 1D 1，▱A 1B 1C 1D 是矩形；同理，易证四边形A 2B 2C 2D 2是菱形，四边形A 3B 3C 3D 3是矩形，四边形A 4B 4C 4D 4是菱形；因为矩形A 1B 1C 1D 2的周长是a ＋b ，得矩形A 3B 3C 3D 3的周长是a ＋b 2，矩形A 5B 5C 5D 5的周长是a ＋b4；四边形A 1B 1C 1D 1的面积是12a ·12b ＝ab 4，四边形A 2B 2C 2D 2的面积是ab8，…，四边形A n B n C n D n 的面积是ab2n ＋1；故结论②、③、④正确，选C.10．(2011·德州)图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形(如图2)，依此规律继续拼下去(如图3)，……，则第n 个图形的周长是( )A ．2nB ．4nC ．2n ＋1D ．2n ＋2答案 C解析 第1个图形的周长为4，第2个图形的周长为8，第3个图形的周长为16，…，第n 个图形的周长为2n ＋1.二、填空题(每小题3分，满分30分) 11．(2011·德州)下列命题中，其逆．命题成立的是__________．(只填写序号) ①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形． 答案 ①④解析 命题②的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是直角”，命题③的逆命是“如果两个实数的平方相等，那么两个实数相等”都是假命题．12．(2011·江西)如图，在△ABC 中，点P 是△ABC 的内心，则∠PBC ＋∠PCA ＋∠PAB ＝__________度．答案 90解析 ∵点P 是△ABC 的内心，∴PA 、PB 、PC 是△ABC 各内角的平分线． ∴∠PBC ＋∠PCA ＋∠PAB ＝12∠ABC ＋12∠ACB ＋12∠BAC ＝12(∠ABC ＋∠ACB ＋∠BAC )＝12×180°＝90°.13．(2011·枣庄)将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB ＝14 cm ，则阴影部分的面积是________cm 2.答案492解析 在Rt △ABC 中，∠B ＝30°，AB ＝14，∴AC ＝7. ∵BC ∥DE ，∴∠AFC ＝∠D ＝45°，∴△ACF 是等腰直角三角形．∴S Rt △ACF ＝12×AC 2＝12×72＝492.14．(2011·扬州)如图，DE 是△ABC 的中位线，M 、N 分别是BD 、CE 的中点，MN ＝6，则BC ＝________.答案 8解析 ∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE 綊12BC ，∴四边形BCED 是梯形．∵M 、N 分别是BD 、CE 的中点， ∴MN 是梯形BCEF 的中位线，∴MN ＝12(DE ＋BC )，∴6＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ＋BC ，34BC ＝6，BC ＝8.15．(2011·茂名)如图，已知△ABC 是等边三角形，点B 、C 、D 、E 在同一直线上，且CG ＝CD ，DF ＝DE ，则∠E ＝____________度．答案 15解析 在等边△ABC 中，∠ACB ＝60°， ∵CG ＝CD ，∴∠CGD ＝∠CDG .∵∠CGD ＋∠CDG ＝∠ACB ＝60°， ∴∠CDG ＝30°. 同理，∠E ＝15°.16．(2011·贵阳)如图所示，已知等腰Rt △ABC 的直角边长为1，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推直到第五个等腰Rt △AFG ，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为________．答案312解析 在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝BC ＝1，∴S △ABC ＝12×1×1＝12，AC ＝ 2.同理，S △ACD ＝12×2×2＝1；S △ADE ＝12×2×2＝2；S △AEF ＝12×2 2×2 2＝4；S △AFG ＝12×4×4＝8，因此其和为12＋1＋2＋4＋8＝1512＝312.17．(2011·台州)已知，等边△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，把△BDE 沿直线DE 翻折，使点B 落在点B ′处，DB ′、EB ′分别交边AC 于点F 、G ，若∠ADF ＝80°，则∠EGC 的度数为 ______.答案 80°解析 在等边△ABC 中，∠A ＝∠B ＝60°. 在△ADF 中，∠A ＝60°，∠ADF ＝80°， ∴∠AFD ＝180°－∠A －∠ADF ＝40°.在△B ′GF 中，∠B ′＝∠B ＝60°，∠B ′FG ＝∠AFD ＝40°， ∴∠B ′GF ＝180°－∠B ′－∠B ′FG ＝80°， ∴∠EGC ＝∠B ′GF ＝80°.18．(2011·南京)已知，等腰梯形的腰长为5 cm ，它的周长是22 cm ，则它的中位线长为___________cm.答案 8解析 因为等腰梯形的腰长为5，周长为22，则这个梯形的上、下底之和为22－2×5＝12，所以它的中位线长是12×12＝6.19．(2011·杭州)在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，过点C 作直线l ∥AB ，F 是l 上的一点，且AB ＝AF ，则点F 到直线BC 的距离为________．答案 3＋12或3－12解析 如图，画AE ⊥l ，垂足为E ，在Rt △ACE 中，∠ACE ＝45°，AC ＝1.∴AE ＝EC ＝12＝22.在Rt △ABC 中，AC ＝BC ＝1， ∴AB ＝ 2.在Rt △AEF 1中，AF 1＝AB ＝2， ∴EF 1＝22－⎝⎛⎭⎪⎫222＝32＝62. 在Rt △CD 1F 1中，CF 1＝62＋22，∠D 1CF 1＝45°， D 1F 1＝D 1C ＝⎝⎛⎭⎪⎫62＋22×22＝3＋12. ∵AF 1＝AF 2， ∴EF 2＝EF 1＝62，CF 2＝EF 2－EC ＝62－22， ∴在Rt △CD 2F 2中，D 2F 2＝D 2C ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫62－22×22＝3－12. 故点F 到直线BC 的距离为3＋12或3－12. 20．(2010·孝感)已知正方形ABCD ，以CD 为边作等边△CDE ，则∠AED 的度数是________．答案 15°或75°解析 如图，①∵∠ADC ＝90°，∠E 1DC ＝60°， ∴∠ADE 1＝30°，AD ＝DC ＝DE 1，∴∠AE 1D ＝180°－30°2＝75°；②∵∠ADC ＝90°，∠E 2DC ＝60°， ∴∠ADE 2＝150°，AD ＝DC ＝DE 2，∴∠AE 2D ＝180°－150°2＝15°.综上，∠AED ＝75°或15°.三、解答题(21题6分，22～24题各8分，25题10分，满分40分)21．(2011·台州)如图，在▱ABCD 中，分别延长BA 、DC 到点E 、H ，使得AE ＝AB ，CH ＝CD ，连接EH ，分别交AD 、BC 于点F 、G .求证：△AEF ≌△CHG .解 证明：∵▱ABCD ，∴AB 綊CD ，∠BAD ＝∠BCD ， ∴∠EAF ＝∠HCG ，∠E ＝∠H . ∵AE ＝AB ，CH ＝CD ， ∴AE ＝CH .∴△AEF ≌△CHG .22．(2011·鄂州)如图，在等腰三角形ABC 中，∠ABC ＝90°，D 为AC 边上中点，过D 点作DE ⊥DF ，交AB 于E ，交BC 于F ，若AE ＝4，FC ＝3，求EF 长．解 连接BD ，易证△BED ≌△CFD 和△AED ≌△BFD ，∴BE ＝CF ＝3，AE ＝BF ＝4，在Rt △BEF 中，EF ＝32＋42＝5.23．(2011·永州)如图，BD 是▱ABCD 的对角线，∠ABD 的平分线BE 交AD 于点E ，∠CDB 的平分线DF 交BC 于点F .求证：△ABE ≌△CDF .解 证明：▱ABCD 中，AB ＝CD ，∠A ＝∠C, AB ∥CD ， ∴∠ABD ＝∠CDB .∵∠ABE ＝12∠ABD ，∠CDF ＝12∠CDB ，∴∠ABE ＝∠CDF .在△ABE 与△CDF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠C ，AB ＝CD ，∠ABE ＝∠CDF ，∴△ABE ≌△CDF .24．(2011·綦江)如图，等边△ABC 中，AO 是∠BAC 的角平分线，D 为AO 上一点，以CD 为一边且在CD 下方作等边△CDE ，连接BE .(1)求证：△ACD ≌△BCE;(2)延长BE 至Q, P 为BQ 上一点，连接CP 、CQ ，使CP ＝CQ ＝5, 若BC ＝8时，求PQ 的长．解 (1)证明：∵△ABC 和△CDE 均为等边三角形， ∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°. ∴∠ACD ＋∠DCB ＝∠DCB ＋∠BCE ＝60°，∴∠ACD ＝∠BCE . ∴△ACD ≌△BCE .(2)解：作CH ⊥BQ 交BQ 于H ，则PQ ＝2HQ .在Rt △BHC 中 ，由已知(1)得，∠CBH ＝∠CAO ＝30°. ∵BC ＝8，∴ CH ＝4. 在Rt △CHQ 中， HQ ＝CQ 2－CH 2＝52－42＝3. ∴PQ ＝2HQ ＝6.25．(2011·凉山)在一次课题设计活动中，小明对修建一座87 m 长的水库大坝提出了以下方案：大坝的横截面为等腰梯形，如图，AD ∥BC ，坝高10 m ，迎水坡面AB 的坡度i ＝53.老师看后，从力学的角度对此方案提出了建议，小明决定在原方案的基础上，将迎水坡面AB 的坡度进行修改，修改后的迎水坡面AE 的坡度i ＝56.(1)求原方案中此大坝迎水坡AB 的长(结果保留根号)；(2)如果方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变．在方案修改后，若坝顶沿EC 方向拓宽2.7 m ，求坝底将会沿AD 方向加宽多少米？解 (1)过点B 作BF ⊥AD 于F .在Rt △ABF 中，∵i ＝BF AF ＝53，且BF ＝10 m ，∴AF ＝6 m ，∴AF 2＋BF 2＝AB ＝234 m. (2)过点E 作EG ⊥AD 于G .在Rt △AEG 中，∵i ＝EG AG ＝56，且BF ＝10 m ，∴AG ＝12 m ，BE ＝GF ＝AG －AF ＝6 m.如图，延长EC 至点M ，延长AD 至点N ，连接MN . ∵方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变， ∴S △ABE ＝S 梯形CMND ， ∴12BE ·EG ＝12()MC ＋ND ·EG .即BE＝MC＋ND.∴ND＝BE－MC＝6－2.7＝3.3()m. 答：坝底将会沿AD方向加宽3.3 m.。