衡水中学2015届高三第四次联考文科数学试题(含答案)

衡水中学2015届高三第四次联考
数学（文）试题
本试卷分第Ⅰ卷（ 选择题） 和第Ⅱ卷（ 非选择题） 两部分, 总分1 5 0分, 考试时间1 2 0分钟。

第Ⅰ卷（选择题,共6 0分）
一、 选择题（ 本大题共1 2个小题, 每小题5分, 共6 0分。

在每小题给出的四个选项中, 只有一项
是符合题目要求的。

） 1．设集合 M={ x | x 2+3 x+2<0} , 集合2
1{|()4}2
N x =≤ , 则 M ∪N= （ ）
A ．{ x | x ≥-2}
B ．{ x | x>-1}
C ．{ x | x<-1}
D ．{ x | x ≤ -2}
2．若x ∈（ e －1
, 1） , a= l n x, b=2 l n x, c= l n 3x, 则 （ ） A ．a<b<c B ．c<a<b C ．b<a<c D ．b<c<a 3．抛物线y=4 x 2 关于直线x-y=0对称的抛物线的准线方程是 （ ） A ．y=-1 B ．y=-1 C ．x=-1 D ．x=-1
4．右图是一个几何体的正（ 主） 视图和侧（ 左） 视图, 其俯视图是面积 为
, 则该几何体的表面积是 （ ） A ．
2 0+8
B ．
2 4+8
C ．8
D ．16
5．若函数()f x 同时具有以下两个性质: ①()f x 是偶函数; ②对任意实数x, 都有
()()44
f x f x ππ
+=- 。

则()f x 的解析式可以是 （ ） A ．()f x =cos x
B ．()f x =cos(2)2
x π
+
C ．()f x = sin(4)2
x π
+
D ．()f x =cos 6 x
6．已知命题p ︰∃x 0∈R, e x －m x=0, q ︰∀x ∈R, x 2+m x+1≥0, 若p ∨（⌝q ） 为假命题,则实数 m 的取值范围是 （ ） A ．（-∞, 0） ∪（ 2, +∞） B ．[ 0, 2] C ．R D ．Ø
7．若实数x 、 y 满足不等式组5
230.10y x y x y ≤⎧⎪
-+≤⎨⎪+-≥⎩
则z=| x |+2 y 的最大值是 （ ）
A ．1 0
B ．1 1
C ．1 3
D ．1 4
8．已知数列{a n } 满足a1=1, 且111
()(233
n n n a a n -=
+≥, 且n ∈N*） , 则数列{ a n } 的通项公
式为 （ ）
A ．32
n
n a n =+
B ．2
3
n n n a +=
C ．a n =n+2
D ．a n =（ n+2）·3 n
9．已知F 1、 F 2 为双曲线 C ︰x 2-y 2=1的左、 右焦点, 点 P 在 C 上, | P F 1|=2 | P F 2|, 则
c o s ∠F 1P F 2= （ ）
A ．
14
B ．
34
C ．
35
D ．
45
10. 函数()cos f x =在[ 0, +∞) 内 ( )
A. 没有零点
B. 有且仅有一个零点
C. 有且仅有两个零点
D. 有无穷多个零点
11．与向量7117(,),(,)2222
a b ==-的夹角相等, 且模为1的向量是 （ ）
A ．43(,)55
-
B ．43(,)55-或43(,)55
-
C ．1
)3
-
D ．1)3- 或1
()3
12．在平面直角坐标系x O y 中, 圆C 的方程为x 2+y 2-8 x+1 5=0, 若直线y=k x+2上至少存在一点, 使
得以该点为圆心, 半径为1的圆与圆C 有公共点, 则k 的最小值是 （ ）
A ．－
34
B ．－
54
C ．－
35
D ．－
53
第Ⅱ卷（非选择题,共9 0分）
二、 填空题（ 本大题共4个小题, 每小题5分, 共2 0分, 请把正确的答案填写在各小题的横线上。

） 13． 已知2()12x
f x x o
g x
=+-则(1)(2)(3)(8)f f f f ++++ 的值为 。

14.已知底面边长为
各侧面均为直角三角形的正三棱锥P-A B C 的四个顶点都在同一球面上,
则此球的表面积为 。

15．若在区间[ 0, 1] 上存在实数x 使2x （3 x+a ）<1成立, 则a 的取值范围是 。

16．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点, 且左、 右焦点分别为F 1、 F 2, 这两条曲线在第一
象限的交点为P, △P F 1F 2 是以P F 1 为底边的等腰三角形。

若| P F 1|=1 0, 椭圆与双曲线的离心率分别为e 1、 e 2, 则e 1·e 2 的取值范围为 。

三、 解答题（ 本大题共6个小题, 共7 0分, 解答应写出文字说明、 证明或演算步骤。

） 17．（12分） 在△A B C 中, 角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c, 函数
()2cos sin()sin ()f x x x A A x R =-+∈ 在5
12
x =
处取得最大值。

（1） 当x ∈（ 0,
2
π
） 时, 求函数()f x 的值域;
（2） 若a=7
且sin sin 14
B C +=
, 求△A B C 的面积。

18．（1 2分） 若{ a n } 是各项均不为零的等差数列, 公差为d, S n 为其前n 项和, 且满足
2
*21,n n a S n N -=∈。

数列{ b n } 满足1
1
.n n n b a a +=
为数列{ b n } 的前n 项和。

（Ⅰ） 求a n 和T n ;
（Ⅱ） 是否存在正整数 m 、 n （ 1<m<n ） , 使得T 1、 T m 、 T n 成等比数列? 若存在, 求出所有
m 、 n 的值; 若不存在, 请说明理由。

19． ( 1 2分) 如右图, 已知三棱柱A B C —A1B1C1。

(Ⅰ) 若 M 、 N 分别是A B, A 1C 的中点, 求证: MN ∥平面BCC 1B 1。

(Ⅱ) 若三棱柱A B C-A 1B 1C 1 的各棱长均为2, ∠B 1B A=∠B 1B C=
6 0 °, P 为线段B 1B 上的动点, 当P A+ +P C 最小时, 求证: B 1B ⊥平面APC 。

20．（ 1 2分） 已知点A （ -4, 4） 、 B （ 4, 4） , 直线AM 与BM 相交于点M, 且直线AM 的
斜率与直线BM 的斜率之差为-2, 点 M 的轨迹为曲线C 。

（ Ⅰ） 求曲线C 的轨迹方程;
（ Ⅱ） Q 为直线y=-1上的动点, 过 Q 做曲线C 的切线, 切点分别为 D 、 E, 求△Q D E 的面
积S 的最小值。

21． (1 2分) 已知函数()b
f x ax c x
=++( a>0) 的图像在点( 1, f( 1) ) 处的切线方程为y=x-1。

( 1) 用a 表示出b 、 c;
( 2) 若()1f x nx ≥在[ 1, +∞) 上恒成立, 求a 的取值范围; ( 3) 证明: 11111(1)(1)232(1)
n n n n n n +
+++>++≥+ 。

请考生在第2 2~2 4三题中任选一题做答, 如果多做, 则按所做的第一题记分。

22．（1 0分） 【选修4-1︰几何证明选讲】
如右图, A B 是☉O 的直径, A C 是弦, ∠B A C 的平分线AD 交☉O 于点D, D E ⊥A C, 交A C 的延长线于点E, O E 交AD 于点F 。

（Ⅰ） 求证: D E 是☉O 的切线;
（Ⅱ） 若
2
5
AC AB =, 求AF DF 的值。

23．（1 0分） 【 选修4-4︰坐标系与参数方程】
已知在平面直角坐标系x O y 中, 直线l
的参数方程是22
x y ⎧
=⎪⎪
⎨
⎪=+⎪⎩
（t 是参数） , 以原 点O 为极点, O x 为极轴建立极坐标系, 圆C 的极坐标方程为2cos()4
p π
θ=+ 。

（1） 求圆心C 的直角坐标;
（2） 由直线l 上的点向圆C 引切线, 求切线长的最小值。

24．（1 0分） 【 选修4-5︰不等式选讲】 已知()f x =| 2 x-1 |+a x-5（ a 是常数, a ∈R ） 。

（Ⅰ） 当a=1时求不等式()f x ≥0的解集;
（Ⅱ） 如果函数y=()f x 恰有两个不同的零点, 求a 的取值范围。