高考数学二轮复习 专题限时集训(一)B 理(解析版)

专题限时集训(一)B
[第1讲 集合与常用逻辑用语]
(时间：30分钟)
1．已知全集U ＝R ，集合A ＝⎩⎨⎧⎭
⎬x ⎪⎪⎪ y ＝1x ＋1，B ＝{x |y ＝log a (x ＋2)}，则集合(∁U A )∩B ＝( )
A ．(－2，－1)
B ．(－2，－1]
C ．(－∞，－2)
D ．(－1，＋∞)
2．集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ∈N *⎪⎪⎪ 12x ∈Z 中含有的元素个数为( ) A ．4 B ．6
C ．8
D ．12
3．设集合A ＝{－2，－1,0,1}，B ＝{0,1,2,3,4}，则A ∩(∁R B )＝( )
A ．∅
B ．{0,1}
C ．{－2，－1}
D ．{－2，－1,0,1}
4．“a >3”是函数f (x )＝ax ＋3在[－1,2]上存在零点”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －30<0}，B ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫cos πx 3＝12，则A ∩B 等于( )
A ．{－1,1,5}
B ．{－1,1,5,7}
C ．{－5，－1,1,5,7}
D ．{－5，－1,1,5}
6．设A ＝{x ||2x －1|≤3}，B ＝{x |x －a >0}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，－1)
B ．(－∞，－1]
C ．(－∞，－2)
D ．(－∞，－2]
7．若“0<x <1”是“(x －a )[x －(a ＋2)≤0]”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，0]∪[1，＋∞] B．(－1,0)
C ．[－1,0]
D ．(－∞，1)∪(0，＋∞)
8．已知a ，b 为非零向量，则“函数f (x )＝(a x ＋b )2为偶函数”是“a⊥b ”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
9．在下列结论中，正确的结论为( )
(1)“p ∧q ”为真是“p ∨q ”为真的充分不必要条件；
(2)“p ∧q ”为假是“p ∨q ”为真的充分不必要条件；
(3)“p ∨q ”为真是“綈p ”为假的必要不充分条件；
(4)“綈p ”为真是“p ∧q ”为假的必要不充分条件．
A ．(1)(2)
B ．(1)(3)
C ．(2)(4)
D ．(3)(4)
10．如图1－1，有四个半径都为1的圆，其圆心分别为O 1(0,0)，O 2(2,0)，O 3(0,2)，O 4(2,2)．记集合M ＝{⊙O i |i ＝1,2,3,4}，若A ，B 为M 的非空子集，且A 中的任何一个圆与B 中的任何一个圆均无公共点，则称(A ，B )为一个“有序集合对”(当A ≠B 时，(A ，B )和(B ，A )为不同的有序集合对)，那么M 的个数是( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
11．如果不等式4x －x 2>(a －1)x 的解集为A ，且A ⊆{x |0<x <2}，那么实数a 的取值范围
是________．
12．集合U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，M ＝{(x ，y )||x |＋|y |<a }，P ＝{(x ，y )|y ＝f (x )}，
现给出下列函数：①y ＝a x ；②y ＝log a x ；③y ＝sin(x ＋a )；④y ＝cos ax .若0<a <1时，恒有P ∩(∁U M )＝P ，则所有满足条件的函数f (x )的编号是________．
专题限时集训(一)B
【基础演练】
1．B [解析] 集合A 为函数y ＝1
x ＋1的定义域，即A ＝(－1，＋∞)，故∁U A ＝(－∞，
－1]，集合B 为函数y ＝log a (x ＋2)的定义域，即B ＝(－2，＋∞)．故(∁U A )∩B ＝(－2，－1]．
2．B [解析] x ＝1,2,3,4,6,12符合要求．
3．C [解析] 集合B 在集合R 中的补集，即在实数集合中去掉0,1,2,3,4组成的集合，因此与集合A 的交集有两个元素－2，－1.(注意：在补集运算中要特别注意全集是什么集合)
4．A [解析] 函数f (x )＝ax ＋3在开区间(－1,2)上存在零点的充要条件是f (－1)f (2)
＝(－a ＋3)(2a ＋3)<0，即a >3或a <－32
；在区间端点处如果f (－1)＝0，则a ＝3，如果f (2)＝0，则a ＝－32
.因此函数f (x )＝ax ＋3在闭区间[－1,2]上存在零点的充要条件是a ≥3或a ≤－32
.根据集合判断充要条件的方法可知，“a >3”是函数f (x )＝ax ＋3在[－1,2]上存在零点”的充分不必要条件．(注：函数的零点存在性定理是指在开区间上的零点存在的一个充分条件，但如果在闭区间上讨论函数的零点，一定要注意区间端点的情况)
【提升训练】
5．A [解析] 依题意得A ＝{x |－5<x <6}．由cos πx 3＝12得πx 3＝2k π±π3
，即x ＝6k ±1，k ∈Z . 令－5<6k ＋1<6得－1<k <56，又k ∈Z ，则k ＝0，故x ＝1；令－5<6k －1<6得－23<k <76
，又k ∈Z ，则k ＝0或k ＝1，故x ＝－1或x ＝5.于是，A ∩B ＝{－1,1,5}．
6．A [解析] 集合A ＝{x |－3≤2x －1≤3}＝{x |－1≤x ≤2}，而B ＝{x |x >a }，因为A ⊆B ，所以a <－1，选A.
7．C [解析] (x －a )[x －(a ＋2)]≤0⇒a ≤x ≤a ＋2，
由区间长度知：⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤0，a ＋2≥1⇒a ∈[－1,0]．
8．C [解析] 依题意得f (x )＝a 2x 2＋2(a·b )x ＋b 2，由函数f (x )是偶函数，得a·b ＝0，
又a ，b 为非零向量，所以a⊥b ；反过来，由a⊥b 得a·b ＝0，f (x )＝a 2x 2＋b 2，函数f (x )是偶函数．综上所述，“函数f (x )＝(a x ＋b )2为偶函数”是“a⊥b ”的充要条件．
9．B [解析] p ∧q 为真时p ，q 均为真，此时p ∨q 一定为真，p ∨q 为真时只要p ，q 至少有一个为真即可，故“p ∧q ”为真是“p ∨q ”为真的充分不必要条件，结论(1)正确；p ∧q 为假，可能p ，q 均假，此时p ∨q 为假，结论(2)不正确；p ∨q 为真时，可能p 假，此时綈p 为真，但綈p 为假时，p 一定为真，此时p ∨q 为真，结论(3)正确；綈p 为真时，p 假，此时p ∧q 一定为假，条件是充分的，但在p ∧q 为假时，可能p 真，此时綈p 为假，故“綈p ”为真是“p ∧q ”为假的充分不必要条件．(该题把逻辑联结词表达的命题和充要条件结合起来，只要把这些问题判断清楚了，对逻辑联结词的掌握就到位了)
10．B [解析] 注意到⊙O 1与⊙O 4无公共点，⊙O 2与⊙O 3无公共点，则满足题意的“有序集合对”(A ，B )的个数是4.
11．[2，＋∞) [解析] 令y ＝4x －x 2，则(x －2)2＋y 2＝22，y ≥0，这个式子表示平面上的半圆；令y ＝(a －1)x ，其表示平面上斜率为(a －1)且过坐标原点的直线系，4x －x 2>(a －1)x 的解集为A 的意义是半圆位于直线上方时对应的x 值，又A ⊆{x |0<x <2}，∴数形结合可得只要直线位于y ＝x 及其上方均可，所以a －1≥1，即a ≥2.(注：本题重在考查数形结合的思想意识)
12．①②④ [解析] 集合U 为坐标平面上的所有点组成的集合，集合M 为坐标平面上的一个正方形区域，集合P 是函数图象上的点组成的集合．P ∩(∁U M )＝P 等价于P ∩M ＝∅，如图，由于y ＝a x
(0<a <1)单调递减且过点(0,1)，故其图象与区域M 无公共点；同理y ＝log a x (0<a <1)也与区域M 无公共点；函数y ＝sin(x ＋a )与y 轴的交点坐标是(0，sin a )，当0<a <1时，sin a <a ，所以函数y ＝sin(x ＋a )的图象与区域M 存在公共点；函数y ＝cos ax 与x 轴的离区域M 最接近
的两个交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2a ，0，⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2a ，0，由于π2a －a ＝π－2a 22a >0，故两个点不在区域M 内，函数y ＝cos ax 的图象与y 轴的交点坐标为(0,1)，这个点也不在区域M 内，结合余弦函数图象的特征可知函数y ＝cos ax 的图象与区域M 无公共点．。