2017年定积分导学案
《定积分在物理中的应用》导学案2
1.7.2定积分在物理中的应用学习目标：体会定积分的基本思想，会用定积分解决变速直线运动的路程及变力所做的功等简单的物理问题。
自主学习过程：一、复习与思考：1、以速度v ＝v (t)作变速直线运动的物体，在a ≤t≤b 时段内行驶的路程s 等于什么？2、除了变速运动的路程问题之外，哪些物理问题还可以用定积分的知识解决？二、知识学习：（认真体会下列内容）1、位移路程的计算:路程是位移的绝对值之和，从时刻t =a 到时刻t =b 所经过的路程s 和位移's 分别为：（1）若)(t v ≥0，则⎰=b adt t v s )(；⎰=b a dt t v s )('。
（2）若)(t v ≤0，则⎰-=b adt t v s )(；⎰=b a dt t v s )('。
（3）若在区间[a ,c ]上)(t v ≥0，在区间[c ,b ]上)(t v <0，则⎰⎰-=b c c adt t v dt t v s )()(， '()ba s v t dt =⎰。
2、求变力作功的方法：（1）求变力作功时，要根据物理学的实际意义，求出变力)(x F 的表达式，这是求功的关键；（2）由功的物理意义知，物体在变力)(x F 的作用下，沿力)(x F 的方向做直线运动，使物体从a x =移到b x =(a <b )。
因此，求功之前还应该求出位移起始位置与终止位置。
（3）根据变力作功公式⎰=b ax x F w )(即可求出变力)(x F 所作的功。
三、例题分析例1：有一动点P 沿x 轴运动，在时间t 的速度为228)(t t t v -=(速度的正方向与x 轴正方向一致)。
求：（1）P 从原点出发，当t =3时，P 离开原点的路程；（2）当t =5时，点P 的位置；（3）从t =0到t =5，点P 经过的路程；（4）P 从原点出发，经过时间t 后，又回到原点的t 值。
例2：如图所示，一物体沿斜面在拉力F 的作用下由A 经B 、C 运动到D ，其中AB=50m ，BC=40m ，CD=30m ，变力F =⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤+)90(,20)900(,541x x x (其中x 为距离，单位：m ，变力F 单位：N)。
《1.5.3定积分的概念》导学案2
《1. 5. 2定积分的概念》导学案【学习目标】1 •理解曲边梯形面积的求解思想，掌握其方法步骤；2•了解定积分的定义、性质及函数在上可积的充分条件;3. 明确定积分的几何意义和物理意义；4•无限细分和无穷累积的思维方法.【学习过程】1、自我阅读：(课本第45页至第46页)完成知识点的提炼复习：回忆求曲边梯形面积、变速运动的路程的步骤探究问题1：下图的阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线y二f(x)的一段，我们把直线x , x二b (a =b) , y =0和曲线y = f (x)所围成的图形称为曲边梯形.如何计算这个曲边梯形的面积呢？y=f(x)研究特例：对于x=1 , y=0 , y=x2围成的图形(曲边三角形)的面积如何来求呢?新知：1.用流程图表示求曲边三角形面积的过程分割=近似代替=求和=取极限b n b _ a2. 定积分的定义：.a f(x)dx科叫、土一^-f ( 1) 3 43 定积分的几何意义：4 定积分的性质：(1) 『kf(x)dx= ( k 为常数);b t , t（3）a f（x）dx 二（其中—b）.问题2:根据定积分的几何意义，你能用定积分表示下图中阴影部分的面积S吗？2、研究课本例题：（是对基本知识的体验）1例1利用定积分的定义，计算|0x3dx的值2 3变式：计算0x3dx的值，并从几何上解释这个值表示什么?例2试用定积分的几何意义说明-x2dx的大小.(2) 『[fdx) 士f2(x)]dx= ;【课堂自我检测】a 3.设f(x)是连续函数，且为偶函数，在对称区间 Ha,a ］上的定积分J. a 4. 计算下列定积分，并从几何上解释这些值分别表示什么(1) ：x 3dx ; ( 2)1 x 3dx ； ■-1 -4 【课后作业】JI1、由y=sinx , x=0, x= , y=0所围成图形的面积写成定积分的形式是2b2、定积分.f (x)dx 的大小() aA 、 与f (x)和积分区间a,b i 有关，与i 的取法无关B 、 与f (x )有关，与区间a,b 】及：的取法无关C 与f (x)和1的取法有关，与积分区间a,b ］无关 变式：计算定积分 2 1 (1 x)dx1. 设f(x)在［a,b ］上连续，且(F(x) +C)丄f(x) ,( C 为常数)，则 J 空 x ：) Fx() Ax A . F(x) B . f(x) C . 0 D . f(x)2. 设f (x)在［a,b ］上连续，则 f (x)在［a,b ］上的平均值为()A . f(a) f (b)2 bB . a f(x)dx1 b C . - a f(x)dx 1 b 「aba f(x)dxf (x)dx ，由定 积分的几何意义和性质 A . 0 0 C . ］f(x)dx af f(x)dx=() y. aB . 2 f(x)dx y. aaD . 0f(x)dx(3) 2x 3dx ；JD、与f(x)、区间a,b i和 \的取法都有关3. 下列等式成立的个数是()11 - n①］f (t)dt = ( f (x)dx ②『sin xdx + ^sin xdx = ［sin xdx2a a 2 ------------- 2③』xdx = 2o xdx ④ 0、4「x2dx ：：o 2dxA、1B、2C、3D、43 24. 画出［(2x—x)dx表示的图形5. 画出由曲线y=x3-6x和y=x2所围成的图形的面积.b .6. 利用定积分的定义，证明1dx = b - a，其中a,b均为常数且a ：：：b •L a。
定积分学案学生(1)
姓名与班级： 第 页 内容：定积分与微积分基本定理 主备人：孔凡瑜 2014.2. 形成天才的决定因素应该是勤奋- 1 -【学习目标】1.对通过自学课本小组合作几何实例的分析使学生理解定积分概念；2.通过一个题组能够较全面合理的求微积分3会用定积分表示简单图形的面积。
【学习重点】会用定积分表示简单图形的面积。
【学习过程】微积分基本定理：也可写成【典型例题1】计算下列定积分：（1）211dx x ⎰； （2）3211(2)x dx x-⎰。
练习：计算120x dx ⎰220(1)sin (2) sin (3) sin xdx xdx xdx ππππ⎰⎰⎰。
【小结】可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0:( l ）当对应的曲边形位于 x 轴上方时（图1.6一3 ) ，定积分的值取——，且等于曲边梯形的面积；（图1.6一3 ) （图 1 . 6- 4）（2）当对应的曲边形位于 x 轴下方时（图 1 . 6 一 4 ) ，定积分的值取 ，且等于曲边形的面积的相反数；拓展：你能说说定积分的几何意义吗？例如⎰badx x f )(的几何意义是什么?梯形的面积所围成的曲边和曲线，，是直线定积分)(0)()(x f y y b a b x a x dx x f ba==≠==⎰思考：试用定积分的几何意义说明 1.求⎰-2024dx x 的大小2和差的积分推广到有限个也成立 ⎰⎰⎰±=±babab adx x f dx x f dx x f x f )()()]()([2121区间和的积分等于各段积分和)()()()(b c a dx x f dx x f dx x f bccaba<<+=⎰⎰⎰其中【总结】求定积分的方法有：（1）（2） 【达标检测】1求微积分（1）∫10(e x ＋2x )d x (2)∫21(2x 2－1x)d x ；(3)∫21|3－2x |d x .2求曲线2sin [0,]3 y x x π=∈与直线20,3x x π==，x 轴所围成的图形面积。
定积分的概念导学案
a
④ C、3
2
0
4 x 2 dx 2dx
0
2
② sin xdx 0
A、1 (B 层) 4.计算
3 1
B、2
D、4
(2 x x )dx
2
2
【典例分析】
例 1 用图表示下列函数的定积分，并求出定积分
b
a
f ( x)dx 是一个常数， 只与积分上、 下限的大小有关， 与
（1）∫012dx
(2)∫12xdx
积分变量的字母无关，
b
a
f ( x)dx f (t )dt f ( y)dy
a a
b
b
1
例 2．计算定积分
2
1
( x 1)dx
性质 3 性质 4
1dx b a
a
b
D y f ( x) C 2 a b x O
间。在每个小区间 xi 1 , xi 上任取一点 i (i 1, 2,
_______________________
，当 n 时，上述和式无限趋近某个常数，
这个常数叫做函数 f ( x) 在区间[a,b]上的________。记作:________ 即
【自主探究
合作交流】
探究一：讨论定积分的几何意义是什么？
如果在区间 [ a , b] 上函数连续且恒有 f ( x) 0 ， 那么定积分
b
b
a
f ( x)dx 表示：
如果在区间 [ a , b] 上函数连续且恒有 f(x)≤0， 那么定积分
a
f ( x)dx 表示：
高中数学《定积分的概念》导学案
第三章 导数及其应用§1.5.3定积分的概念一、学习目标 【重点、难点】1．理解曲边梯形面积的求解思想,掌握其方法步骤；2．了解定积分的定义、性质及函数在上可积的充分条件； 3．明确定积分的几何意义和物理意义； 4．无限细分和无穷累积的思维方法. 二、学习过程 【情景创设】 复习：1． 回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤：分割→以直代曲→求和→取极限（逼近） 2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点． 【导入新课】1．定积分的概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b ax n-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()()n nn i i i i b aS f x f nξξ==-=∆=∑∑如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。
记为：()baS f x dx =⎰其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。
说明：（1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()baf x dx ⎰，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()ni i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b af x dx f n ξ→∞=-=∑⎰（3）曲边图形面积：()baS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功 ()baW F r dr =⎰说明：一般情况下，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负号．2．定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：a b dx ba-=⎰1⎰⎰=babadx x f k dx x kf )()( （其中k 是不为0的常数）1212[()()]()()bb baaaf x f x dx f x dx f x dx±=±⎰⎰⎰()()()()bc baacf x dx f x dx f x dxa cb =+<<⎰⎰⎰其中（定积分对积分区间的可加性） 说明：①推广：1212[()()()]()()()bb bbm m aaaaf x f x f x dx f x dx f x dx f x ±±±=±±±⎰⎰⎰⎰②推广:121()()()()kbc c baac c f x dx f x dx f x dx f x dx =+++⎰⎰⎰⎰【典型例题】例1．计算定积分21(1)x dx +⎰分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为52。
定积分的简单应用导学案
定积分的简单应用导学案【学习要求】会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．【学法指导】本小节主要解决一些在几何中用初等数学方法难以解决的平面图形面积问题．在这部分的学习中，应特别注意利用定积分的几何意义，借助图形直观，把平面图形进行适当的分割，从而把求平面图形面积的问题转化为求曲边梯形面积的问题.【知识要点】1．当x∈[a，b]时，若f(x)>0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝________.2．当x∈[a，b]时，若f(x)<0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝_________.3．当x∈[a，b]时，若f(x)>g(x)>0时，由直线x＝a，x＝b(a≠b)和曲线y＝f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积S＝______________.(如图)【问题探究】探究点一求不分割型图形的面积问题怎样利用定积分求不分割型图形的面积？例1计算由曲线y2＝x，y＝x2所围图形的面积S.跟踪训练1求由抛物线y＝x2－4与直线y＝－x＋2所围成图形的面积．探究点二分割型图形面积的求解问题由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间位于上方和下方的曲线不同时，这种图形的面积如何求呢？例1计算由直线y＝x－4，曲线y＝2x以及x轴所围图形的面积S.跟踪训练2 求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积． 探究点三 定积分的综合应用例3 在曲线y ＝x 2(x ≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成的面积为112，试求：切点A 的坐标以及在切点A 的切线方程．跟踪训练3 如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．【当堂检测】1．在下面所给图形的面积S 及相应表达式中，正确的有( )S ＝ʃa b [f (x )－g (x )]d x S ＝ʃ80(22x －2x ＋8)d x① ②S ＝ʃ41f (x )d x －ʃ74f (x )d x S ＝ʃa 0 [g (x )－f (x )]d x ＋ʃb a[f (x )－g (x )]d x ③ ④A ．①③B ．②③C ．①④D ．③④ 2．曲线y ＝cos x (0≤x ≤32π)与坐标轴所围图形的面积是 ( ) A ．2 B ．3 C ．52D ．4 3．由曲线y ＝x 2与直线y ＝2x 所围成的平面图形的面积为_______4．由曲线y ＝x 2＋4与直线y ＝5x ，x ＝0，x ＝4所围成平面图形的面积是________【课堂小结】对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义，此时（1）确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标．（2）确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差．这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的.【教学反思】。
人教新课标版数学高二-2-2导学案 定积分在几何中的应用
1．7.1 定积分在几何中的应用（结合配套课件、作业使用，效果更佳） 周；使用时间17 年 月 日 ；使用班级 ；姓名【学习目标】会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．重点：会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．难点：会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．【检查预习】预习课本，完成导学案“自主学习”部分，准备上课回答.【自主学习】知识点 定积分在几何中的应用思考 怎样利用定积分求不分割型图形的面积？1．当x ∈[a ，b ]时，若f (x )>0，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积S ＝ʃb a f (x )d x .2．当x ∈[a ，b ]时，若f (x )<0，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积S ＝－ʃb a f (x )d x .3．当x ∈[a ，b ]时，若f (x )>g (x )>0，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )和曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )围成的平面图形的面积S ＝ʃb a [f (x )－g (x )]d x .(如图)【合作探究】 类型一 求不分割型图形的面积例1 试求曲线y ＝x 2－2x ＋3与y ＝x ＋3所围成的图形的面积．跟踪训练1 求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成图形的面积．类型二 分割型图形面积的求解例2 求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积． 跟踪训练2 (1)如图，阴影部分由曲线y ＝1x，y 2＝x 与直线x ＝2，y ＝0所围成，则其面积为________．(2)求由曲线y＝x2，直线y＝2x和y＝x围成的图形的面积．类型三定积分的综合应用例3在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为112，试求：切点A的坐标以及在切点A处的切线方程．跟踪训练3如图所示，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．【学生展示】探究点一、二【教师点评】探究点三及【学生展示】出现的问题【当堂检测】1.2.……………【小结作业】小结：作业：对应限时练。
定积分的概念导学案
1 / 1定积分的概念导学案学习目标：1、借助函数图象，直观地明白得函数的最大值和最小值的概念；2、清晰函数的最值与极值的区别与联系，明白得和熟悉函数必有最值的充分条件；3、会解决有关利用导数求给定区间上的最值的问题．学习重点：利用导数求函数的最值． 学习难点：利用导数求函数的最值． 知识清单：1、假设函数)(x f y =在闭区间[]b a ,上的图像是一条 ，则)(x f y =函数在[]b a ,上一定能够取得 与 ，函数的最值必在 或 取得．若函数在内),(b a 存在 ，该函数的最值必在 取得．2、求函数)(x f y =在闭区间[]b a ,上的最值的步骤：（1）求函数)(x f y =在 的极值；（2）由0)('=x f ，求其方程的解；（3）将函数)(x f y =的 与端点处的函数值比较，其中最大的是最大值，最小的一个是最小值． 探究问题：问题一、对函数的最值与极值的异同的认识．问题二、求函数的最值与求函数的极值有什么异同？是否能够用函数的单调性求函数的最值．二、题型归类题型一：求函数的最值1、求函数3243365)(x x x x f ++-=在区间[)∞+-，2上的最大值与最小值．2、求函数263)(23-+-=x x x x f 在区间[]1,1-内的最大值与最小值．题型二：最值思想的综合应用（一）用最大值、最小值处理恒成立的问题 1、已知[]的取值范围恒成立，求实数时，当m m x f x x x x x f <-∈+--=)(2,1,5221)(23．２、已知函数()的取值范围，求实数上恒大于，在a xax x f 40)(∞++=．方法小结及摸索：（二）利用最值求参数的范畴１、,R a ∈设函数233)(x ax x f -=．（1）的值；的极值点，求是函数若a x f y x )(2==（2）[]的取值范围处取得最大值，求在若函数a x x x f x f x g 0,2,0),()()('=∈+=．方法小结及摸索：。
定积分的简单应用导学案
定积分的简单应用导学案
金台高级中学王庆
学习目标：通过求解平面图形的体积了解定积分的应用。
学习重点：定积分在几何中的应用
学习难点：求简单几何体的体积.
学法指导：探析归纳
一、课前自主学习.
定积分定义.
旋转几何体的体积是根据旋转体的一个,再进行求出来的.
解决的关键找准旋转体
通过准确建系,找出坐标,确定.
二、课堂合作探究：
给定直角边为1的等腰直角三角形,绕一条直角边旋转一周,得到一个圆锥体,求它的体积.
一个半径为1的球可以看成是由曲线与x轴所围成的区域绕x轴旋转一周得到的,求球的体积.
三、当堂检测.
将由直线y=x,x=1,x=2围成的平面图形绕x轴旋转一周,得到一
个圆台,利用定积分求该圆台的体积.
求由直线,x轴,y轴以及直线x=1围成的区域绕x轴旋转一周得到的旋转体的体积.
．求由双曲线,直线x=1,x=2围成的平面图形绕x轴旋转一周，得到的旋转体的体积.
四、巩固练习.
将由曲线y=x和所围成的平面图形绕x轴旋转一周，求所得旋转体的体积
．求半椭圆绕x轴旋转一周所得到的旋转体的
体积.
求由曲线,直线x=1以及坐标轴围成的平面图形绕x轴旋转一周，得到的旋转体的体积.
五、课堂小结：
※学习小结：1.定积分应用之二求旋转几何体的体积。
旋转几何体体积的求法。
六、我的收获：
七、我的疑惑:。
定积分定义的导学案
定积分导学案设计人管军审核人张海峰学习目标：了解定积分的实际背景，借助几何直观体会定积分的基本思想和内涵，初步了解定积分的概念，会计算一些简单的积分。
学习重点：定积分概念的理解与计算学习难点：定积分概念的理解学习过程：一、问题情境情境：汽车以速度 v 作匀速直线运动时,经过时间 t 所行驶的路程 S=vt .如果汽车作变速直线运动,在时时刻t的速度为v(t)=t2,(单位:km/h),那么它在0≤t≤1(单位:h)这段时间内行驶的路程S(单位:km)是多少?问题：你认为上述问题中汽车行驶的路程与直线x=0；x=1；y=0和曲线y=x2，围成的图形（曲边三角形）面积有何关系；二、学生活动（探究上述问题）思考：上述问题中若在时时刻t的速度为v(t)=-t2,(单位:km/h), 那么它在0≤t≤1(单位:h)这段时间内的位移S(单位:km)是多少?三、建构数学1、定积分：2、定积分的几何意义：四、数学运用例1、计算定积分（1）21(x1) dx+⎰； .（2）5(2x-4) dx⎰（3）计算121x dx-⎰= 。
例2、计算定积分（1）-sin x dxππ⎰.（2）2-2|x| dx⎰思考：若f(x)是奇函数，则a-af(x) dx⎰=__________________________若f(x)是偶函数，则a-af(x) dx⎰=____________a0f(x) dx⎰.例3、利用定积分表示图中四个图形的面积积：练习：书P48 1、2、3五、回顾反思：知识点：思想方法：六、作业布置：教学测试。
定积分导学案
1．1定积分的背景——面积和路程问题[学习目标] 1.了解定积分的实际背景.2.了解“以直代曲”“以不变代变”的思想方法.3.会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程．知识梳理知识点一曲边梯形的定义如图所示，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线______所围成的图形称为曲边梯形(如图)．知识点二求变速直线运动的位移(路程)如果物体做变速直线运动，速度函数v＝v(t)，那么也可以采用________、________、________、________的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.题型探究题型一求曲边梯形的面积例1估计直线x＝0，x＝1，y＝0与曲线y＝x3所围成的曲边梯形的面积．反思与感悟通过求曲边梯形面积的四个步骤：分割、近似替代、求和、逼近可以理解定积分的基本思想．跟踪训练1图中阴影部分是由抛物线f(x)＝x2，直线x＝1以及x轴所围成的平面图形．试估计这个曲边梯形的面积S，并求出估计误差．题型二求变速运动的路程例2汽车以速度v作匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程s＝v t，如果汽车作变速直线运动，在时刻t 的速度为v (t )＝－t 2＋2(单位：km/h)，那么它在0≤t ≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程s (单位：km)是多少？跟踪训练2 一辆汽车在直线形公路上变速行驶，汽车在时刻t 的速度为v (t )＝－t 2＋5(单位km/h)．试估计这辆汽车在0≤t ≤2(单位：h)这段时间内的汽车行驶路程．当堂检测1．函数f (x )＝x 2在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上( )A ．f (x )的值变化很小B ．f (x )的值变化很大C ．f (x )的值不变化D ．当n 很大时，f (x )的值变化很小2．在“近似替代”中，函数f (x )在区间[x i ，x i ＋1]上近似值等于( ) A ．只能是左端点的函数值f (x i ) B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1)C ．可以是该区间内任一点的函数值f (ξi )(ξi ∈[x i ，x i ＋1])D ．以上答案均正确3．求由曲线y ＝12x 2与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________．4．在区间[0,8]上插入9个等分点，则第5个小区间是________． 课堂小结变速直线运动的路程、变力做功问题都可以归结为求曲边梯形的面积；求曲边梯形面积可分为四个步骤：分割、近似替代、求和、逼近．1.2 定积分[学习目标] 1.了解定积分的概念，会用定义求定积分.2.理解定积分的几何意义.3.掌握定积分的基本性质．[知识链接]定积分和曲边梯形的面积有什么联系？答 函数f (x )的图像和直线x ＝a ，x ＝b 以及x 轴围成的曲边梯形的面积可以通过分割区间、近似替代、求和、逼近得到，当分割成的小区间长度趋于零时，曲边梯形的面积趋于某一个固定的常数A ，A 就是f (x )在[a ，b ]上的定积分． [预习导引] 1．定积分的定义一般地，给定一个在区间[a ，b ]上的函数y ＝f (x )，.如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于0，S 与s 的差也趋于0，此时，S 与s 同时趋于某一个 ，我们就称 是函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的 ，记作⎠⎛a b f (x )d x ，即⎠⎛abf (x )dx ＝A .其中∫叫作 ，a 叫作积分的 ，b 叫作积分的 ，f (x )叫作 ． 2．定积分的几何意义由直线x ＝a ，x ＝b (a <b )，x 轴及一条曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积设为S ，则有：(1)在区间[a ，b ]上，若f (x )≥0，则S ＝⎠⎛a b f (x )d x ，如图(1)所示，即⎠⎛ab f (x )d x ＝S .(2)在区间[a ，b ]上，若f (x )≤0，则S ＝－⎠⎛a b f (x )d x ，如图(2)所示，即⎠⎛ab f (x )d x ＝－S .(3)若在区间[a ，c ]上，f (x )≥0，在区间[c ，b ]上，f (x )≤0，则S ＝⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛cb f (x )d x ，如图(3)所示，即⎠⎛ab f (x )d x ＝S A －S B (S A ，S B 表示所在区域的面积)．3．定积分的性质(1)⎠⎛a b 1d x ＝b －a ； (2)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)；(3)⎠⎛ab [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )dx ±⎠⎛a b f 2(x )d x ； (4)⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )dx ＋⎠⎛cbf (x )dx (其中a <c <b ).课堂讲义要点一 利用定积分的几何意义求定积分 例1 用定积分的几何意义求： (1)⎠⎛01(3x ＋2)d x ；(2)322sin d ;x x ππ⎰(3) ⎠⎛－33 (|x ＋1|＋|x －1|－4)d x ；(4)⎠⎛ab (x －a )(b －x )d x (b >a )．跟踪演练1 利用几何意义计算下列定积分： (1)⎠⎛－339－x 2d x ； (2)⎠⎛－13(3x ＋1)d x .要点二 定积分性质的应用例2 计算⎠⎛－33(9－x 2－x 3)d x 的值．跟踪演练2 已知⎠⎛01x 3d x ＝14，⎠⎛12x 3d x ＝154，⎠⎛12x 2d x ＝73，⎠⎛24x 2d x ＝563，求：(1)⎠⎛023x 3d x ；(2)⎠⎛146x 2d x ；(3)⎠⎛12(3x 2－2x 3)d x .当堂检测1．已知⎠⎛0t x d x ＝2，则⎠⎛－t0x d x 等于( )A ．0B ．2C ．－1D ．－22．定积分⎠⎛13e x d x 的几何意义是____________________________________________________．3．根据定积分的几何意义，用不等号连接下列式子： (1)⎠⎛01x d x ________⎠⎛01x 2d x ；(2)⎠⎛024－x 2d x ________⎠⎛022d x .4.⎠⎛011－x 2d x ＝________.课堂小结1.定积分⎠⎛ab f (x )d x 是一个确定的常数，和积分变量无关．2．当f (x )≥0时⎠⎛ab f (x )d x 表示由曲线y ＝f (x )、直线x ＝a 、x ＝b 与x 轴围成的曲边梯形的面积，可以利用定积分的这种几何意义求定积分． 3．定积分的性质可以帮助简化定积分运算．答案精析知识梳理知识点一y＝f(x)知识点二分割近似代替求和取近似值题型探究题型一例1解将区间[0,1] 5等分，如图：如图(1)中，所有小矩形的面积之和(记为S1)，显然为过剩估计值，S1＝(0.23＋0.43＋0.63＋0.83＋13)×0.2＝0.36，如图(2)中，所有小矩形的面积之和(记为s1)，显然为不足估计值，s1＝(03＋0.23＋0.43＋0.63＋0.83)×0.2＝0.16，因此，该曲边梯形的面积介于0.16与0.36之间．跟踪训练1解首先，将区间[0,1] 5等分，称S1为S的过剩估计值，有S1＝(0.22＋0.42＋0.62＋0.82＋12)×0.2＝0.44.s1为S的不足估计值，有s1＝(0＋0.22＋0.42＋0.62＋0.82)×0.2＝0.24.过剩估计值S1与不足估计值s1之差为S1－s1＝0.2.题型二例2解将行驶时间1 h平均分成10份．分别用v(0)、v(0.1)、v(0.2)、v(0.3)、v(0.4)、v(0.5)、v(0.6)、v(0.7)、v(0.8)、v(0.9)近似替代汽车在0～0.1 h，0.1～0.2 h，0.2～0.3 h,0.3～0.4 h,0.4～0.5 h，0.5～0.6 h，0.6～0.7 h，0.7～0.8 h,0.8～0.9 h,0.9～1 h内的平均速度．求出汽车在1 h时行驶的路程的过剩估计值．S1＝[v(0)＋v(0.1)＋v(0.2)＋v(0.3)＋v(0.4)＋v(0.5)＋v(0.6)＋v(0.7)＋v(0.8)＋v(0.9)]×0.1＝1.715(km)，分别用v(0.1)，v(0.2)，v(0.3)，v(0.4)，v(0.5)，v(0.6)，v(0.7)，v(0.8)，v(0.9)，v(1)替代以上时间段的平均速度．求出汽车在1 h时行驶的路程的不足估计值．s1＝[v(0.1)＋v(0.2)＋v(0.3)＋v(0.4)＋v(0.5)＋v(0.6)＋v(0.7)＋v(0.8)＋v(0.9)＋v(1)]×0.1＝1.615(km)．无论用S 1还是s 1估计汽车行驶的路程s 误差都不超过1.715－1.615＝0.1(km)． 跟踪训练2 解 将区间[0,2]10等分，如图：S 1＝(－02＋5－0.22＋5－…－1.82＋5)×0.2＝7.72 (km)， s 1＝(－0.22＋5－0.42＋5－…－1.82＋5－22＋5)×0.2 ＝6.92(km)，∴估计该车在这段时间内行驶的路程介于6.92 km 与7.72 km 之间． 当堂检测1．D 2.C 3.1.02 4.⎣⎡⎦⎤165，4 参考答案例1 用定积分的几何意义求： (1)⎠⎛01(3x ＋2)d x ；(2)322sin d ;x x ππ⎰(3) ⎠⎛－33 (|x ＋1|＋|x －1|－4)d x ；(4)⎠⎛ab (x －a )(b －x )d x (b >a )．解 (1)如图1阴影部分面积为(2＋5)×12＝72，从而⎠⎛01(3x ＋2)d x ＝72.(2)如图2，由于A 的面积等于B 的面积，从而⎠⎜⎜⎛π23π2 sin d 0x x =.(3)令f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|－4，作出f (x )在区间[－3,3]上的图像，如图3所示，易知定积分33()d f x x -⎰表示的就是图中阴影部分的面积的代数和．∵阴影部分的面积S 1＝S 3＝1，S 2＝6， ∴⎠⎛－33(|x ＋1|＋|x －1|－4)d x ＝1＋1－6＝－4.(4)令y ＝f (x )＝(x －a )(b －x )，则有(x －a ＋b 2)2＋y 2＝(b －a 2)2(y ≥0)，f (x )表示以(a ＋b2，0)为圆心，半径为b －a 2的上半圆，而这个上半圆的面积为S ＝12πr 2＝π2(b －a 2)2＝π(b －a )28，由定积分的几何意义可知⎠⎛ab(x －a )(b －x )d x ＝π(b －a )28.规律方法 利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图像，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积．不规则的图像常用分割法求面积，注意分割点的准确确定． 跟踪演练1 利用几何意义计算下列定积分： (1)⎠⎛－339－x 2d x ；(2)⎠⎛－13(3x ＋1)d x .解 (1)在平面上y ＝9－x 2表示的几何图形为以原点为圆心，以3为半径的上半圆，其面积为S ＝12·π·32.由定积分的几何意义知⎠⎛－339－x 2d x ＝92π.(2)由直线x ＝－1，x ＝3，y ＝0，以及y ＝3x ＋1所围成的图形，如图所示：⎠⎛－13(3x ＋1)d x 表示由直线x ＝－1，x ＝3，y ＝0以及y ＝3x ＋1所围成的图形在x 轴上方的面积减去在x 轴下方的面积，∴⎠⎛－13 (3x ＋1)d x＝12×⎝⎛⎭⎫3＋13×(3×3＋1)－12⎝⎛⎭⎫－13＋1×2 ＝503－23＝16.解 如图，由定积分的几何意义得⎠⎛－339－x 2d x ＝π×322＝9π2，⎠⎛－33x 3d x ＝0，由定积分性质得 ⎠⎛－33(9－x 2－x 3)d x ＝⎠⎛－339－x 2d x －⎠⎛－33x 3d x ＝9π2.规律方法 根据定积分的性质计算定积分，可以先借助于定积分的定义或几何意义求出相关函数的定积分，再利用函数的性质、定积分的性质结合图形进行计算．当堂检测1.D2. 由直线x ＝1，x ＝3，y ＝0和曲线f (x )＝e x 围成的图形的面积3. > < 4. 解析 π4根据定积分的几何意义，⎠⎛011－x 2d x 表示x 2＋y 2＝1(y ≥0)与x 轴围成的面积的一半，所以⎠⎛011－x 2d x ＝π4.。
定积分的概念导学案及练习题
定积分的概念导学案及练习题一、基础过关1．当n很大时，函数f(x)＝ x2在区间[i－1n，in]上的值，可以近似代替为 ( )A．f(1n) B．f(2n) C．f(in) D．f(0)2 ．在等分区间的情况下f(x)＝11＋x2(x∈[0,2])及x轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是( )A.limn→∞∑ni＝1[11＋in22n]B.limn→∞∑ni＝1[11＋2in22n]limn→∞∑ni＝1 (11＋i21n) D.limn→∞∑ni＝1[11＋in2n]3．把区间[a，b] (ab)n等分之后，第i个小区间是 ( )A．[i－1n，in] B．[i－1n(b－a)， in(b－a)] C． [a＋i－1n，a＋in] D．[a＋i－1n(b－a)，a＋in(b－a)]4．一物体沿直线运动，其速度v(t)＝t，这个物体在t＝0到t＝1这段时间内所走的路程为( )A.13B.12 C．1 D.32二、能力提升5．由直线x＝ 1，y＝0，x＝ 0和曲线y＝x3所围成的曲边梯形，将区间4等分，则曲边梯形面积的的近似值(取每个区间的右端点)是 ( )A.119B.111256C.1127D.2．若做变速直线运动的物体v(t)＝t2，在0≤t≤a内经过的路程为9，则a的值为( )A．1 B．2 C．3 D．47．∑ni＝1 in＝________.8．在求由抛物线y＝x2＋6与直线x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形的面积时，把区间[1,2]等分成n个小区间，则第i个区间为________．9．已知某物体运动的速度为v＝t，t∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________．10．求直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2所围成的曲边梯形的面积．11．已知自由落体的运动速度 v＝gt，求在时间区间[0，t]内物体下落的距离．。
【范文】第四章定积分的概念导学案
第四章定积分的概念导学案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址定积分的概念导学案学习目标、知识与技能目标理解并掌握定积分的概念和定积分的几何意义。
2、过程与方法目标通过学生自主探究、合作交流，培养学生分析、比较、概括等思维能力,形成良好的思维品质。
3、情感态度与价值观目标通过学生积极参与课堂活动，让学生体验创造的激情和成功的喜悦，教学过程中及时地表扬鼓励学生，让学生领会到实实在在的成就感。
教学重点定积分的概念，定积分的几何意义。
教学难点定积分的概念。
一、创设情境，引入新课创设情境：请大家闭上双眼，回忆曲边图形面积的求法，求与直线=1，=0所围成的平面图形的面积。
教师口述：分割→近似代替→求和→取极限引入新课：定积分的概念如果函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，每个小区间长度为（），在每个小区间上取一点，作和式：【问题】如果时，上述和式无限趋近于一个常数，那么称该常数为___________________________，记为：___________________________，即：___________________________。
注意：①称为______________，叫做_____________，为_____________，与分别叫做________________与________________。
②定积分是一个常数，只与积分上、下限的大小有关，与积分变量的字母无关，。
二、自主探究合作交流探究一：在求积分时要把等分成个小区间，是否一定等分？探究二：在每个小区间上取一点，是否一定选左端点？探究三：分组讨论定积分的几何意义是什么？探究四：分组讨论根据定积分的几何意义，用定积分表示图中阴影部分的面三、例题剖析，初步应用例1利用定积分的定义，计算的值引导：怎样用定积分法求简单的定积分呢？解：令定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1（定积分的线性性质）性质2（定积分的线性性质）思考（用定积分的概念解释）：性质3（其中）（定积分对积分区间的可加性）思考（用定积分的几何意义解释）：_四、课堂练习巩固提高、从几何上解释：表示什么？2、计算的值。
《定积分的简单应用》导学案
第10课时定积分的简单应用一、自学目标1.会根据定积分的几何意义建立求简单平面图形面积的数学模型,并能利用积分公式表进行计算.2.会通过定积分的方法求已知曲线围成的平面图形的面积、变速运动的路程及变力所作的功.3.通过积分方法解决实际问题的过程,体会到微积分把不同背景的问题统一到一起的巨大作用和实用价值.二、导：实际生活中许多变量的变化是非均匀变化的,如非匀速直线运动在某时间段内位移;变力使物体沿直线方向移动某位移区间段内所做的功;非均匀线密度的细棒的质量等.所有这些问题都可以归结为曲边梯形的面积问题.三、思考：问题1:利用定积分求曲线所围成的平面图形面积的步骤是什么?问题2:利用定积分求曲线所围成的平面图形的面积:(1)当x∈[a,b]时,若f(x)>0,由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积S=.(2)当x∈[a,b]时,若f(x)<0,由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积S=.(3)如图,当x∈[a,b]时,若f(x)>g(x)>0时,由直线x=a,x=b(a≠b)和曲线y=f(x),y=g(x)所围成的平面图形的面积S=.问题3:利用定积分求平面图形的面积时需要注意的问题是什么?问题4:你能总结下列几种典型的平面图形面积的计算公式吗?如图(1),S=;如图(2),S=;如图(3),S=;如图(4),S==;如图(5),S=+.四、课堂检测1.用S表示图中阴影部分的面积,则S的值是().A.B.C.D.2.曲线y=cos x(0≤x≤)与坐标轴所围成的面积是().A.2B.3C.D.43.汽车以v=(3t+2)m/s作变速直线运动时,在第1s至第2s间的1s 内经过的路程是m.4.求由曲线y=2x2,直线y=-4x-2,直线x=1围成的封闭图形的面积.。
定积分的概念导学案
定积分的概念导学案【学习要求】1．了解定积分的概念，会用定义求定积分. 2．理解定积分的几何意义. 3．掌握定积分的基本性质．【学法指导】通过求曲边梯形的面积、变力做功这两个背景和实际意义截然不同的问题，进一步体会定积分的作用及意义.【知识要点】1．定积分：设函数y ＝f (x )定义在区间[a ，b ]上，用分点a ＝x 0<x 1<x 2<…x n －1<x n ＝b ，把区间[a ，b ]分为n 个小区间，其长度依次为Δx i ＝x i ＋1－x i ，i ＝0,1,2，…，n －1.记λ为这些小区间长度的最大者，当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0，在每个区间内任取一点ξi ，作和式I n ＝∑i ＝0n －1f (ξi )Δx i .当λ→0时，如果和式的极限存在，我们把和式I n 的极限叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作 ，即⎰badx x f )(＝_________.2．在定积分⎰badx x f )(中， 叫做被积函数， 叫做积分下限， 叫做积分上限， 叫做被积式．3．如果函数f (x )在[a ，b ]的图象是 ，则f (x )在[a ，b ]一定是可积的． 4．定积分的性质 （1）⎰ba dx x kf )(＝ (k 为常数)；（2）[]⎰±badx x fx f )()(21＝ ± ；（3）⎰badx x f )(＝ ＋ (其中a <c <b ).【问题探究】探究点一 定积分的概念问题1 分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点．问题2 怎样正确认识定积分⎰badx x f )(?利用定积分的定义，计算ʃ10x 3d x 的值．跟踪训练1 用定义计算ʃ21(1＋x )d x .探究点二 定积分的几何意义问题1 从几何上看，如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么⎰badx x f )(表示什么？问题2 当f (x )在区间[a ，b ]上连续且恒有f (x )≤0时，⎰badx x f )(表示的含义是什么？若f (x )有正有负呢？例2 利用几何意义计算下列定积分：（1）ʃ3－39－x 2d x ； （2）ʃ3－1(3x ＋1)d x .跟踪训练2 根据定积分的几何意义求下列定积分的值：（1）ʃ1－1x d x ； （2）ʃ2π0cos x d x ； （3）ʃ1－1|x |d x .探究点三 定积分的性质问题1 定积分的性质可作哪些推广？问题2 如果一个函数具有奇偶性，它的定积分有什么性质？例1 计算ʃ3－3(9－x 2－x 3)d x 的值．跟踪训练3 已知ʃ10x 3d x ＝14，ʃ21x 3d x ＝154，ʃ21x 2d x ＝73，ʃ42x 2d x ＝563，求： （1）ʃ203x 3d x ； （2）ʃ416x 2d x ； （3）ʃ21(3x 2－2x 3)d x .【当堂检测】1．下列结论中成立的个数是( ) ①ʃ10x 3d x ＝∑i ＝1n i 3n 3·1n ；②ʃ10x 3d x ＝lim n →＋∞∑i ＝1n (i －1)3n 3·1n ；③ʃ10x 3d x ＝lim n →＋∞∑i ＝1ni 3n 3·1n .A ．0B ．1C ．2D ．3 2．定积分⎰badx x f )(的大小( )A ．与f (x )和积分区间[a ，b ]有关，与ξi 的取法无关B ．与f (x )有关，与区间[a ，b ]以及ξi 的取法无关C ．与f (x )以及ξi 的取法有关，与区间[a ，b ]无关D ．与f (x )、积分区间[a ，b ]和ξi 的取法都有关3．根据定积分的几何意义，用不等号连接下列式子：（1）ʃ10x d x ________ʃ10x 2d x ； （2）ʃ204－x 2d x ________ʃ202d x .4．已知⎰2πsin x d x ＝⎰π2πsin x d x ＝1，⎰2π0x 2d x ＝π324，求下列定积分： （1）ʃπ0sin x d x ； （2）⎰2π(sin x ＋3x 2)d x .【课堂小结】1．定积分⎰badx x f )(是一个和式∑i ＝1nb －an f (ξi )的极限，是一个常数．2．可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分；对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分．3．定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算．【教学反思】。
导学案：定积分的概念
),n ，区间“以直代取”，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值．1i i n x x x b -<<<<<=
将区间等分成个小区间，每个小区间长度为（]1,i x 上取一点，作和式：
_________________
C O y a
b A B D )(2x f y =)(1x f y =常数为______，记为： _，即：_______________。
注意：①称为______________，叫做_____________，为_____________，与分别叫做________________与________________。
②定积分()b
a f x dx ⎰是一个常数，只与积分上、下限的大小有关， 与积分变量的字母无关，()()()
b b b
a a a f x dx f t dt f y dy ==⎰⎰⎰。
探究一：在求积分时要把等分成个小区间，是否一定等分 探究二：在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，是否一定选左端点
探究三：分组讨论定积分的几何意义是什么
探究四：分组讨论根据定积分的几何意义，
用定积分表示图中阴影部分的面积。
1、问题梳理
2、归纳小结 【归纳小结】
1、知识：定积分概念、几何意义
2、题型：几何意义的应用
3、思想：以直代曲。
导学案--定积分
第 1 页 共 2 页 【课 题】：1.5.1曲边梯形的面积 【学习目标】：通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；【过程与方法】借助于几何直观体会定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分法求简单的定积分【重点】：理解掌握定积分的几何意义和性质【难点】：理解掌握定积分的几何意义和性质【自主学习】：例如：求图中阴影部分是由抛物线2y x =，直线1=x 以及x 轴所围成的平面图形的面积S 。
解：（1）．分割在区间[]0,1上等间隔地插入1n -个点，将区间[]0,1等分成n 个小区间：10,n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，12,n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，1,1n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦记第i 个区间为1,(1,2,,)i i i n n n -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ，其长度为 11i i x n n n -∆=-=分别过上述1n -个分点作x 轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，他们的面积分别记作：1S ∆，2S ∆，…，n S ∆显然，1ni i S S ==∆∑（2）近似代替记()2f x x =，如图所示，当n 很大，即x ∆很小时，在区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，可以认为函数()2f x x =的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点1i n -处的函数值i ni -1n 1O yxy=x 2i i -11O yxy=x 2思考：（1）曲边梯形与“直边图形”的区别？（2）能否将求这个曲边梯形面积S 的问题转化为求“直边图形”面积的问题？分析：曲边梯形与“直边图形”的主要区别：曲边梯形有一边是曲线段，“直边图形”的所有边都是直线段．“以直代曲”的思想的应用．第 2 页共2 页。
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1.5定积分的概念 (一)一，学习任务 1．连续函数2．曲边梯形的面积 (1)曲边梯形：(2)求曲边梯形面积的方法与步骤： ①分割：②近似代替：③求和：④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积．【例题1】求由直线x ＝1，y ＝0及曲线y ＝x 2所围成的图形的面积S .思考1在求曲边梯形面积中第一步“分割”的目的是什么？思考2求曲边梯形面积时，能否直接对整个曲边梯形进行“以直代曲”呢？怎样才能减小误差？3．变速直线运动的路程一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为v ＝v (t )，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在a ≤t ≤b 内的位移s .【例题2】一辆汽车做变速直线运动，设汽车在时刻t 的速度v (t )＝ - t 2+2 , 求汽车在t ＝0到t ＝1这段时间内运动的路程s .二，巩固练习1．和式)1(y 51i i ∑=+可表示为。
( )A ．(y 1＋1)＋(y 5＋1)B ．y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋1C ．y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋5D ．(y 1＋1)(y 2＋1)…(y 5＋1)2．在求由x ＝a 、x ＝b (a <b )、y ＝f (x )(f (x )≥0)及y ＝0围成的曲边梯形的面积S 时，在区间[a ，b ]上等间隔地插入n －1个分点，分别过这些分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，下列说法中正确的个数是 ( )①n 个小曲边梯形的面积和等于S ； ②n 个小曲边梯形的面积和小于S ； ③n 个小曲边梯形的面积和大于S ； ④n 个小曲边梯形的面积和与S 之间的大小关系无法确定 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3．在“近似代替”中，函数f (x )在区间[x i ，x i ＋1]上的近似值等于。
( )A ．只能是左端点的函数值f (x i )B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1)C ．可以是该区间内任一点的函数值f (ξi )(ξi ∈[x i ，x i ＋1])D ．以上答案均不正确4．在求由函数y ＝1x与直线x ＝1、x ＝2、y ＝0所围成的平面图形的面积时，把区间[1,2]等分成n 个小区间，则第i 个小区间为。
( )A ．[i －1n ，i n ]B ．[n ＋i －1n ，n ＋i n ]C ．[i －1，i ]D ．[i n ，i ＋1n]5．曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与y ＝1围成的面积是。
( )A ．4πB ．5π2C ．3πD ．2π6．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间],1[nin i (i ＝1,2，…，n )上的值可以用______近似代替( )A.n i B ．）（n f 1 C ．）（n i f D ．n17．求直线x ＝0、x ＝2、y ＝0与曲线y ＝x 2所围成曲边梯形的面积．学习报告（学生）： 教学反思（教师）：1.5定积分的概念 (二)一，基础知识1、 定积分的定义⎰=badx x f )( ；叫a , 叫b ,[]b a ,叫 , 叫)(x f , 叫x , dx x f )(叫 。
2、定积分⎰ba dx x f )(的几何意义是： 。
3⎰b adx x f )(1－⎰badx x f )(2的几何意义是： 。
4、定积分的性质： 。
。
。
二、解答题：例1. 函数x x f =)(在区间[]b a ,上连续,如同曲边梯形面积得四步曲求法写出运算过程.例2.计算下列定积分的值,并从几何上解释这个值表示什么? (1) ⎰13dx x （2） ⎰+-12)2(dt t例3.利用定积分的几何意义说明dx x ⎰-1021的大小.二，巩固练习1. 设连续函数0)(>x f ,则当b a <时,定积分⎰ba dx x f )(的符号。
( )A.一定是正的B.一定是负的C.当b a <<0时是正的D.以上都不对 2. 与定积分dx x ⎰π23sin 相等的是。
。
( )A.⎰π230sin xdx B.⎰π230sin xdx C.⎰πsin xdx -⎰ππ23sin xdx D.⎰⎰+23220sin sin πππxdx xdx3. 定积分的⎰badx x f )(的大小。
( )A. 与)(x f 和积分区间[]b a ,有关,与i ξ的取法无关.B. 与)(x f 有关,与区间[]b a ,以及i ξ的取法无关C. 与)(x f 以及i ξ的取法有关,与区间[]b a ,无关D. 与)(x f 以及i ξ的取法和区间[]b a ,都有关4. 下列等式成立的是。
( )A.a b dx b a -=⨯⎰0B.21=⎰b a xdx C.dx x dx x ⎰⎰=-10112 D.⎰⎰=+b a b a xdx dx x )1( 5. 已知⎰ba dx x f )(=6,则______)(6=⎰dx x f ba6. 已知,18)()(=+⎰dx x g x f ba）（⎰=badx x g 10)(,则⎰badx x f )(=______________7. 已知,3)(2=⎰dx x f 则[]=+⎰dx x f 26)(___________8. 计算dx x 21031⎰9. 计算dx x 316⎰学习报告（学生）： 教学反思（教师）：1.6微积分基本定理一，基础知识1．微积分基本定理 内容符号2.利用基本初等函数的求导公式求下列函数的原函数3. 定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，在x 轴下方的面积为S 下，则 (1)当曲边梯形在x 轴上方时，如图①，则⎰ba dx x f )(＝____．(2)当曲边梯形在x 轴下方时，如图②，则⎰badx x f )(＝_____(3)当曲边梯形在x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图③，则⎰badx x f )(＝________若S 上＝S 下，则⎰badx x f )(＝______例1计算下列定积分：(1)dx x ⎰211； (2)dx x ⎰π0sin ； (3)dx x x ⎰-212)12（；二，巩固练习1．判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)()cos ,()f x x F x ==若则(2)()sin ,()f x x F x =-=若则(3)(),()x f x e F x ==若则1(4)(),()f x F x x==若则(5)(),()n f x x F x ==若则3(6)(),()f x x F x ==若则21(7)(),()f x F x x ==若则(8)(),()f x x F x ==若则(1)若F ′(x )＝f (x )，则F (x )唯一．。
( )2. 定积分⎠⎛a b f (x )d x 的几何意义是由x 轴、函数y ＝f (x )的图象以及直线x ＝a ，x ＝b 围成的各部分面积的代数和． ( )3．下列各式中，正确的是( )A .⎠⎛a b F ′(x )d x ＝F ′(b )－F ′(a ) B. ⎠⎛ab F ′(x )d x ＝F ′(a )－F ′(b )C ⎠⎛a b F ′(x )d x ＝F (b )－F (a )D ．⎠⎛ab F ′(x )d x ＝F (a )－F (b ) 4．下列积分值等于1的是。
( )A.⎠⎛01x d x B ．⎠⎛01(x ＋1)d x C ．⎠⎛011d x D ．⎠⎛0112d x 5.⎠⎛02(x 2－23x )d x ＝________.6．计算下列定积分： (1)⎠⎛12(x 2＋1x 4)d x ； (2)⎠⎛49(1＋x )d x .7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x0≤x ＜π2，1π2≤x ≤2，x －12＜x ≤4，先画出函数图象，再求这个函数在区间[0,4]上的定积分．学习报告（学生）： 教学反思（教师）：1.7.1微积分基本定理与应用一，基础知识1，不分割型图形面积的求解求不分割型图形面积的一般步骤如下：同时，要注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的．例1计算由曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围成图形的面积．2 分割型图型面积的求解由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区段内位于上方和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标，可以将积分区间进行细化区段，然后根据图象对各个区段分别求面积进而求和，在每个区段上被积函数均是由上减下；若积分变量选取x运算较为复杂，可以选y为积分变量，同时更改积分的上、下限．例2，求直线y＝x，y＝2x，以及曲线y＝x2所围成的平面图形的面积．二，巩固练习1、如图，求由两条曲线2xy-=，24xy-=及直线y= -1所围成图形的面积．2、如图，抛物线C1：y= -x2与抛物线C2：y=x2-2ax(a>0)交于O、A两点．若过原点的直线l与抛物线C2所围成的图形面积为329a，求直线l的方程．3，在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成图形的面积为112，试求：切点A的坐标，过切点A的切线方程．4，求曲线y＝sin x与直线x＝－π2，x＝54π，y＝0所围图形的面积．学习报告（学生）：教学反思（教师）：Ayxo122--1-1A B C D2xy-=24xy-=1.7.1定积分在物理中的应用一 求变速直线运动的路程、位移求做变速直线运动物体位移与路程的方法(1)做直线运动物体的位移与路程是两个不同的概念，位移是指物体位置的改变，位移不但有大小，而且有方向，是一个矢量(或向量)；路程是物体运动轨迹即质点运动时所经过的实际路径的长度，路程只有大小，没有方向，是个标量(或数量)．(2)用定积分计算做直线运动物体的路程，要先判断速度v (t )在时间区间内是否为正值，若v (t )＞0，则运动物体的路程为s ＝b a ⎰v (t )d t ；若v (t )＜0，则运动物体的路程为s ＝ba ⎰|v (t )|d t ＝b a -⎰v (t )d t .(3)物体做变速直线运动时，经过的位移s ，等于其速度v ＝v (t )在时间区间[a ，b ]上的积分，即b a ⎰v (t )d t .例1,、已知一辆汽车的速度——时间的函数关系为：（单位：).(),/(s t s m v ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+-≤≤≤≤=.6040,905.1;4010,30;100,103)(2t t t t t t v求（1）汽车s 10行驶的路程；（2）汽车s 50行驶的路程；（3）汽车min 1行驶的路程.练习1：变速直线运动的物体速度为,1)(2t t v -=初始位置为,10=x 求它在前s 2内所走的路程及s 2末所在的位置.例2 动点P 沿x 轴运动，在时间t 时的速度为v (t )＝8t －2t 2(速度的正方向与x 轴正方向一致)．求：(1)点P 从原点出发，当t ＝6时，求点P 离开原点的路程和位移； (2)点P 从原点出发，经过时间t 后又返回原点时的t 值．练习2、已知一辆汽车的速度——时间的函数关系为：（单位：).(),/(s t s m v ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+-≤≤≤≤=.6040,905.1;4010,30;100,103)(2t t t t t t v求（1）汽车s 10行驶的路程；（2）汽车s 50行驶的路程；（3）汽车min 1行驶的路程.二，求变力做功的方法步骤(1)首先要明确变力的函数式F (x )＝kx ，确定物体在力的方向上的位移． (2)利用变力做功的公式W ＝b a ⎰F (x )d x 计算．(3)注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳．例3 ，一物体在力F (x )(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向运动，力——位移曲线如图所示．求该物体从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，力F (x )做的功．练习3，设有一长25 cm 的弹簧，若加以100 N 的力，则弹簧伸长到30 cm ，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使弹簧由25 cm 伸长到40 cm 所做的功．学习报告（学生）： 教学反思（教师）：微积分基本定理基础巩固 1.⎠⎛0π(cos x ＋1)d x等于( )A ．1B ．0C ．π＋1D ．π2．设f(x)＝⎩⎨⎧x 2，x ≥0，2x ，x ＜0，则⎰11-)(dx x f 的值是 ( )A . ⎠⎛-11x 2d x B. ⎠⎛-112x d x C . ⎠⎛-10x 2d x ＋⎠⎛012x d x D. ⎠⎛-102x d x ＋⎠⎛01x 2d x3．若⎠⎛1a⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2，则a 的值是( )A ．6B ．4C ．3D ．24．若函数f(x)＝x m ＋nx 的导函数是f ′(x)＝2x ＋1，则⎠⎛12f(－x)d x ＝( )A .56B .12C .23D .165．已知函数f(a)＝⎠⎛asin x d x ，则f⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝( )A ．1B ．1－cos 1C ．0D ．cos 1－1 6．已知⎠⎛02f(x)d x ＝⎠⎛019x 2d x，则⎠⎛2[f(x)＋6]d x ＝( )A ．9B ．12C ．15D ．187．已知t ＞0，若⎠⎛0t (2x －2)d x ＝3，则t ＝__________.8．已知α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则当⎠⎛0α(cos x －3sin x)d x 取得最大值时，α＝__________.9．已知t>1，若⎠⎛1t (2x ＋1)d x ＝t 2，则t ＝________. 10．已知f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，且f(－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f(x)d x ＝－2，求a 、b 、c的值．定积分的应用一、选择题 1、由x xy ,1=轴及2,1==x x 围成的图形的面积为（ ）2ln .A 2lg .B 21.C 1.D2、π20,sin ≤≤=x x y 与x 轴围成的图形的面积为（ ）0.A 2.B π2.C 4.D3、由曲线[])(.,,,),0)()((b a b x a x b a x x f x f y <==∈≤=和x 轴围成的曲边梯形的面积S = （ ）⎰badx x f A )(. ⎰-badx x f B )(. []⎰-badx a x f C )(. []⎰-badx b x f D )(.4、由曲线2x y =与直线x y 2=所围成的平面图形的面积为（ ）316.A 38.B 34.C 32.D 5、若()y f x =与()y g x =是[,]a b 上的两条光滑曲线的方程则由这两条曲线及直线,x a x b ==所围成的平面区域的面积为 （ ）A ．[()()]ba f x g x dx -⎰ B ．[()()]ba g x f x dx -⎰ C ．|()()|ba f x g x dx -⎰ D ．|()()|ba f x g x dx -⎰ 6、已知自由下落物体的速度为v gt =，则物体从0t =到0t t =所走过的路程为 （ ）A ．2013gtB ．20gtC ．2012gtD ．2014gt 7、曲线3cos (0)2y x x π=≤≤与坐标轴所围图形的面积是 （ ）A ．2B ．3C ．52D ．4二、填空题1.dx x ⎰-224=___________.2.一物体在力()34F x x =+（单位：N ）的作用下，沿着与力相同的方向从0x =处运动到4x =处（单位：）则力()F x 所作的功为___________.三、解答题：1、求下列曲线所围成的图形的面积（1）.0,,===x e y e y x （2）.0,23,2,cos ====y x x x y ππ2、求下列曲线所围成的图形的面积（1）.1,2ln ,1-=-=-=e y x e y x （2）3,==y x y 和1=xy . （3）.2,0,cos ,sin π====x x x y x y3、过原点的直线l 与抛物线：)0(22>-=a ax x y 所围成的图形面积为329a ，求直线l 的方程.4、计算抛物线22y x =与直线4y x =-所围成的图形面积.5、计算由曲线2y x =，2y x =所围图形的面积S.6、计算由直线=-，曲线y=x轴所围图形的面积S.4y x。