第1课时菱形的性质
1.1 菱形的性质与判定 第1课时 菱形的性质课件+2023—2024学年北师大版数学九年级上册
13. （易错题）四边形 ABCD 是菱形，∠ BAD ＝60°， AB
＝6，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，点 E 在 AC 上.若 OE
＝ 3 ，则 CE 的长为
4 或2
.
14. （贵阳市白云区五中月考）如图，点 P 为菱形 ABCD
对角线 BD 上一点，连接 PA ， PC ，点 E 在边 AD 上，且
AB 至点 E ，使 BE ＝ AB ，连接 CE .
（1）求证： BD ＝ EC ；
（1）证明：∵四边形 ABCD 是菱
形，∴ AB ＝ CD ， AB ∥ CD ，
又∵ BE ＝ AB ，∴ BE ＝ CD ，∵ BE
∥ CD ，∴四边形 BECD 是平行四边
形，∴ BD ＝ EC .
（2）若∠ E ＝50°，求∠ BAO 的大小.
60°， BD ＝7，则菱形 ABCD 的周长为 28 .
（第6题图）
知识点三 菱形的对角线的性质
7. （贵阳中考）菱形的两条对角线长分别是6和8，则此
菱形的周长是（ B ）
A. 5
B. 20
C. 24
D. 32
8. （2023湘潭中考）如图，菱形 ABCD 中，连接 AC ，
BD ，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ C ）
∠ AEP ＝∠ DCP . 求证： PC ＝ PE .
证明：∵四边形 ABCD 是菱形.
∴ AD ＝ CD ，∠ ADP ＝∠ CDP ，
∵ DP ＝ DP ，∴△ ADP ≌△ CDP （SAS），
∴ PA ＝ PC ，∠ DAP ＝∠ DCP ，
又∵∠ AEP ＝∠ DCP ，∴∠ AEP ＝∠ DAP ，
18.2.2 第1课时 菱形的性质
以下哪些是菱形
D
C
A
B
平行四边形
平行四边形ຫໍສະໝຸດ 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
几何语言：在平行四边形 ABCD 中， ∵ AB = BC ∴平行四边行 ABCD 是菱形.
判断
1.菱形是特殊的平行四形。 2.平行四边形是菱形。
菱形是特殊的平行四边形 平行四边形不一定是菱形.
3.菱形的对边平行且相等。
B O
C
D
口答：
1.在菱形ABCD中，若AC=8,BD=6,
(1)OA=OC=（ ），OB=OD=( )
B
(2)AB=BC=AD=CD=( )
2.在菱形ABCD中，若∠BAD=60° （1）∠BAC=( )
(2) ∠ABC=( ),∠ABO=( )
O
A
C
D
例1 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于 点 O，BD＝12 cm，AC＝6 cm，求菱形的周长． 解：∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴ AC⊥BD，
A
O
C
∠ABC+∠BAD=∠BAD+∠ADC=180° D
菱形的性质
对角线： 菱形的两条对角线互相垂直平分，并 且每一条对角线平分一组对角
几何语言描述：
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴∠∠DAADACBC⊥==B∠∠DCB，ADOCBA，，=∠∠OCDA=BC12DAA=C=∠∠,OBCBCB=ADO，.D=12ABD,
B
O
A
C
D
1.菱形的概念： 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
菱形是特殊的平行四边形。
2.菱形的性质： （1）菱形的对角相等，邻角互补。 （2）菱形的对边平行且四条边都相等。 （3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平 分一组对角。
北师大版九年级上册1.1菱形的性质与判定(第1课时)课件
结
定理(对角线的性质): 菱形的对角线互相
垂直.
所有对角线互相垂直的四边形的面积都 等于其两条对角线乘积的一半.
教学过程
分层作业
课
第一层：第4页习题1、2题.
后
巩
第二层：第4页习题1、2、3、4题.
固
教学过程
结 束
感谢聆听
新
课
定理(对角线的性质): 菱形的对角线互相垂直. 有两条对称轴，它们互相垂直.
将△ABO沿点A到点C的方向平移, 通过上面的折纸活动，我们可以发现：
已知：如图 ，在菱形 ABCD 中，AB = AD，对角线 AC 与 BD 相交于点O.
精 得到△A'B'O'.当点A'与点C重合 定理(边的性质): 菱形的四条边相等. 析 时,点A与点B'之间的距离为 如图,菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AC=4,BD=16,将△ABO沿点A到点C的方向平移,得到△A'B'O'.
A
授 （2)AC⊥BD.
B
O
C
D
教学过程
证一证
用菱形纸片折一折，回答下列问题：
你能列举一些这样的性质吗？
菱形的四条边相等，对角线互相垂直.
证明：（1）∵四边形 ABCD 是菱形， 定理(边的性质): 菱形的四条边相等.
通过上面的折纸活动和证明，菱形有如下的性质： （2）菱形中有哪些相等的线段？
新 ∴AB=CD，AD=BC（菱形的对边相等）. 定理(边的性质): 菱形的四条边相等.
新 对称图形.
授
定理(边的性质): 菱形的四条边相等.
定理(对角线的性质): 菱形的对角线互相
垂直.
1.1 菱形的性质与判定_第1课时_课件(1)
已知：如图1-1，在菱形ABCD中， AB=AD, 对角线AC与BD相交于点O. 求证：（1）AB=BC=CD=AD； （2）AC⊥BD.
证明： （1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB = CD，AD= BC（菱形的对边相等） 又∵AB=AD ∴AB=BC=CD=AD
（2）∵AB=AD ∴△ABD是等腰三角形 又∵四边形ABCD是菱形 ∴OB=OD（菱形的对角线互相平分） 在等腰三角形ABD中， ∵OB=OD ∴AO⊥BD 即AC⊥BD
• 1、天才是百分之一的灵感加百分之九十九的汗水。——爱迪生 • 2、一个人几乎可以在任何他怀有无限热忱的事情上成功。 ——查尔 斯· 史考伯 • 3、深窥自己的心，而后发觉一切的奇迹在你自己。——培根 • 4、坚强的信念能赢得强者的心，并使他们变得更坚强。 ——白哲特 • 5、流水在碰到底处时才会释放活力。——歌德 • 6、那脑袋里的智慧，就像打火石里的火花一样，不去打它是不肯出 来的。——莎士比亚 • 7、多数人都拥有自己不了解的能力和机会，都有可能做到未曾梦想 的事情。 ——戴尔· 卡耐基 • 8、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳 • 9、苦难有如乌云，远望去但见墨黑一片，然而身临其下时不过是灰 色而已。——里希特 • 10、幸运并非没有恐惧和烦恼；厄运也决非没有安慰和希望。——培 根
菱形还具有哪些特殊的性质？请 你与同伴交流。
做一做
请同学们用菱形纸片折 一折，回答下列问题：
（1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几 条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？ （2）菱形中有哪些相等的线段？
结
论
• 菱形是轴对称图形，有两条对称轴，是菱 形领条对角线所在的直线。两条对称轴互 相垂直。 • 菱形的邻边相等，对边相等，四条边都相 等。
1.1 菱形的性质与判定_第1课时_课件(1)
菱形是特殊的平行四边形，它除具有 平行四边形的所有性质外，还有平行四边 形所没有的特殊性质：
定理 菱形的四条边都相等。
定理
菱形的两条对角线互相垂直。
例1
如图1-2，在菱形ABCD中， 对角线AC与BD相交于点O, ∠BAD=60°，BD=6，求菱形 的边长AB和对角线AC的长。
随堂练习
如图，在菱形ABCD中，对角 线AC与BD 相交于点O. 已知 AB=5cm，AO=4cm ，求 BD的 长.
第一章
特殊平行四边形
第1节
菱形的性质与判定
图片中有你熟悉的图形吗？
与左图相比较，这种平行 四边形特殊在哪里？你能给 菱形下定义吗？
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
想一想
菱形是特殊的平行四边形， 它具有一般平行四边形的所有性质。你 能列举一些这样的性质吗？
菱形的对边平行且相等，对角相 等，对角线互相平分。
1、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 2、公共的利益，人类的福利，可以使可憎的工作变为可贵，只有开明人士才能知道克服困难所需要的热忱。——佚名 3、在希望与失望的决斗中，如果你用勇气与坚决的双手紧握着，胜利必属于希望。——普里尼 4、一个人所能做的就是做出好榜样，要有勇气在风言风语的社会中坚定地高举伦理的信念。——爱因斯坦 5、你既然期望辉煌伟大的一生，那么就应该从今天起，以毫不动摇的决心和坚定不移的信念，凭自己的智慧和毅力，去创造你和人类的快乐。——佚名 6、最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。——罗曼· 罗兰 7、只要持续地努力，不懈地奋斗，就没有征服不了的东西。——塞内加 8、无论是美女的歌声，还是鬓狗的狂吠，无论是鳄鱼的眼泪，还是恶狼的嚎叫，都不会使我动摇。——恰普曼 9、书不记，熟读可记；义不精，细思可精；惟有志不立，直是无着力处。——朱熹 10、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 11、坚强的信念能赢得强者的心，并使他们变得更坚强。——白哲特 12、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。——佚名 13、立志不坚，终不济事。——朱熹 14、富贵不能淫，贫贱不能移，威武不能屈。——孟子 15、意志目标不在自然中存在，而在生命中蕴藏。——武者小路实笃 16、意志若是屈从，不论程度如何，它都帮助了暴力。——但丁 17、只要有坚强的意志力，就自然而然地会有能耐、机灵和知识。——陀思妥耶夫斯基 18、功崇惟志，业广惟勤。——佚名 19、能够岿然不动，坚持正见，度过难关的人是不多的。——雨果 20、立志用功如种树然，方其根芽，犹未有干；及其有干，尚未有枝；枝而后叶，叶而后花。——王守仁 21、谁有历经千辛万苦的意志，谁就能达到任何目的。——米南德 22、不作什么决定的意志不是现实的意志；无性格的人从来不做出决定。——黑格尔 23、执着追求并从中得到最大快乐的人，才是成功者。——梭罗 24、有了坚定的意志，就等于给双脚添了一对翅膀。——乔· 贝利 25、有百折不挠的信念的所支持的人的意志，比那些似乎是无敌的物质力量有更强大的威力。——爱因斯坦 26、意志的出现不是对愿望的否定，而是把愿望合并和提升到一个更高的意识水平上。——罗洛· 梅 27、疼痛的强度，同自然赋于人类的意志和刚度成正比。——武者小路实笃 28、有志者事竟成。——佚名/JINGDIANTYPE.html 29、永远没有人力可以击退一个坚决强毅的希望。——金斯莱 30、您得相信，有志者事竟成。古人告诫说：“天国是努力进入的”。只有当勉为其难地一步步向它走去的时候，才必须勉为其难地一步步走下去，才必须勉为其难地去达到它。——果戈理 31、一个崇高的目标，只要不渝地追求，就会居为壮举；在它纯洁的目光里，一切美德必将胜利。——华兹华斯 32、穷且益坚，不坠青云之志。——王勃 33、发现者，尤其是一个初出茅庐的年轻发现者，需要勇气才能无视他人的冷漠和怀疑，才能坚持自己发现的意志，并把研究继续下去。——贝弗里奇 34、生活的道路一旦选定，就要勇敢地走到底，决不回头。——左拉 35、一个有决心的人，将会找到他的道路。——佚名 36、意志坚强，就会战胜恶运。——佚名 37、钢是在烈火和急剧冷却里锻炼出来的，所以才能坚硬和什么也不怕。我们的一代也是这样的在斗争中和可怕的考验中锻炼出来的，学习了不在生活面前屈服。——奥斯特洛夫斯基 38、事业常成于坚忍，毁于急躁。我在沙漠中曾亲眼看见，匆忙的旅人落在从容的后边；疾驰的骏马落在后头，缓步的骆驼继续向前。——萨迪 39、天行健，君子以自强不息。——文天祥 40、生命里最重要的事情是要有个远大的目标，并借助才能与坚持来完成它——歌德 41、即使在把眼睛盯着大地的时候，那超群的目光仍然保持着凝视太阳的能力。——雨果 42、卓越的人的一大优点是：在不利和艰难的遭遇里百折不挠。——贝多芬 43、成大事不在于力量的大小，而在于能坚持多久。——约翰逊 44、告诉你使我达到目标的奥秘吧，我唯一的力量就是我的坚持精神。——巴斯德 45、即使遇到了不幸的灾难，已经开始了的事情决不放弃。——佚名 46、我的本质不是我的意志的结果，相反，我的意志是我的本质的结果，因为我先有存在，后有意志，存在可以没有意志，但是没有存在就没有意志。——费尔巴哈 47、你们应该培养对自己，对自己的力量的信心，百这种信心是靠克服障碍，培养意志和锻炼意志而获得的。——高尔基 48、意大利有一句谚语：对一个歌手的要求，首先是嗓子、嗓子和嗓子……我现在按照这一公式拙劣地摹仿为：对一个要成为不负于高尔基所声称的那种“人”的要求，首先是意志、意志和意志。——奥斯特洛夫斯基 49、思想的形成，首先是意志的形成。——莫洛亚 50、只有刚强的人，才有神圣的意志，凡是战斗的人，才能取得胜利。——歌德
菱形的性质(第一课时)经典课件
关于中垂线对称
菱形的两条中垂线分别垂直平分两条对角线，并且相交于 中心。
菱形中的任意一点关于其中一条中垂线对称，意味着该点 到中垂线的距离相等且与相对的边的中点连线与中垂线垂 直。
05
菱形在实际生活中的应用
建筑设计中的应用
窗户设计
菱形图案的窗户在建筑设计中经常被使用，它能够 增加建筑物的艺术感和视觉效果。
菱形的性质(第一课时)经典课 件
目
CONTENCT
录
• 菱形的定义与性质 • 菱形的边长性质 • 菱形的角度性质 • 菱形的对称性 • 菱形在实际生活中的应用
01
菱形的定义与性质
菱形的定义
。
菱形的性质
对角线互相垂直
四边相等
对角相等
邻边互相垂直
科学实验
在某些科学实验中，菱形形状 的装置或实验器材可以提高实 验的准确性和可靠性。
THANK YOU
感谢聆听
菱形的两条对角线互相 垂直，并且平分对方。
菱形的四条边长度相等。
菱形的对角相等，即相 对的两个角大小相等。
菱形相邻的两边互相垂 直。
菱形与平行四边形的关系
01
菱形是平行四边形的一种特殊情 况，当平行四边形的所有边都相 等时，它就变成了菱形。
02
平行四边形不一定是菱形，但菱 形一定是平行四边形。
02
菱形的对角线互相垂直平分，这 一性质在几何证明中经常被使用 。
80%
角度和边的关系
通过菱形的性质，可以推导出角 度和边的关系，进而证明其他几 何命题。
其他领域中的应用
时尚界
菱形图案在时尚界中广泛流行 ，如服装、饰品和鞋履的设计 中经常出现菱形元素。
艺术创作
.21.第1课时菱形的性质
19.2 菱 形1. 菱形的性质第1课时 菱形的性质1．通过折、剪纸张的方法，探索菱形独特的性质，理解菱形与平行四边形之间的联系；2．通过学生间的交流、讨论、分析、类比、归纳，运用已学过的知识总结菱形的特征；3．掌握菱形的概念和菱形的性质以及菱形的面积公式的推导．(重点、难点)一、情境导入将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开，你发现这是一个什么样的图形呢？这就是另一类特殊的平行四边形，即菱形．二、合作探究探究点一：菱形的性质【类型一】 菱形的四条边相等如图所示，在菱形ABCD 中，已知∠A ＝60°，AB ＝5，则△ABD 的周长是( )A ．10B ．12C ．15D ．20解析：根据菱形的性质可判断△ABD 是等边三角形，再根据AB ＝5可求出△ABD 的周长为C.方法总结：如果菱形的一个内角为60°或120°，则两边与较短对角线可构成等边三角形，这是非常有用的基本图形．【类型二】 菱形的对角线互相垂直如图所示，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，BD ＝8cm ，AC ＝6cm ，求菱形的周长．解析：由于菱形的四条边都相等，所以要求其周长就要先求出其边长．由菱形的性质可知，其对角线互相垂直平分，因此可以在直角三角形中利用勾股定理进行计算．解：因为四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，AO ＝12AC ，BO ＝12BD .因为AC ＝6cm ，BD ＝8cm ，所以AO ＝3cm ，BO ＝4cm.在Rt △ABO 中，由勾股定理得AO 2+BO 2=AB 2，即32+42=AB 2.∴AB=5cm . ∴菱形的周长＝4AB ＝4×5＝20cm ．方法总结：因为菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，所以菱形的有关计算问题常转化到直角三角形中求解．【类型三】 菱形的对称性如图，在菱形ABCD 中，CE ⊥AB于点E ，CF ⊥AD 于点F .求证：AE ＝AF .解析：要证明AE ＝AF ，需要先证明△ACE ≌△ACF .证明：连接AC .∵四边形ABCD 是菱形，根据菱形的对称性可知AC 平分∠BAD ，即∠BAC ＝∠DAC .∵CE ⊥AB ，CF ⊥AD ，∴∠AEC ＝∠AFC ＝90°.在△ACE 和△ACF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AEC ＝∠AFC ，∠EAC ＝∠F AC ，AC ＝AC ，∴△ACE ≌△ACF ，∴AE ＝AF .方法总结：菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴，每条对角线平分一组对角．探究点二：菱形的面积的计算方法如图所示，在菱形ABCD 中，点O 为对角线AC 与BD 的交点，且在△AOB 中，OA ＝5，OBABCD 两对边的距离h .解析：先利用菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半求得菱形的面积，又因为菱形是特殊的平行四边形，其面积等于底乘高，也就是一边长与两边之间距离的乘积，从而求得两对边的距离．解：因为四边形ABCD 为菱形，所以AO⊥BO ，即∠AOB=90°.由勾股定理得AO 2+BO 2=AB 2,即52+122=AB 2,所以AB=13.即S △AOB ＝12OA ·OB ＝12×5×12＝30，所以S 菱形ABCD ＝4S △AOB ＝4×30＝120.又因为 S 菱形ABCD ＝AB ·h ＝13h ，所以13h ＝120，得h＝12013. 方法总结：菱形的面积计算有如下方法：(1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积；(2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)；(3)两条对角线长度乘积的一半．三、板书设计 1．菱形的性质 菱形的四条边都相等； 菱形的两条对角线互相垂直．2．菱形的面积S 菱形＝边长×对应高＝12ab (a ，b 分别是两条对角线的长)本节课不仅安排了菱形性质的探究，而且穿插了菱形两种面积公式的探究，课堂中为了突出学生的主体地位，留给学生充足的时间思考交流，发挥学生的主体地位，使学生经历实践、推理、交流等数学活动过程，亲身体验数学思想方法及数学观念，培养学生能力，促进学生发展.。
1.1第1课时 菱形的性质
新课标（BS） 九年级上册
1 菱形的性质与判定
第1课时 菱形的性质
第1课时 菱形的性质
新 知 梳 理
► 知识点一 菱形的定义
有一组____________ 邻边相等 的平行四边形叫做菱形．
[ 注意 ] 菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切 性质．
第1课时 菱形的性质
► 知识点二
Rt△AEB中，∠B＝60°，AB＝4，即可求出AE的长．
第1课时 菱形的性质
解：(1)证明：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB＝BC＝AD＝CD，∠B＝∠D. ∵点 E，F 分别是边 BC，AD 的中点，∴BE＝DF. 在△ABE 和△CDF 中， ∵AB＝CD，∠B＝∠D，BE＝DF， ∴△ABE≌△CDF(SAS)． (2)∵∠B＝60°，AB＝BC，∴△ABC 是等边三角形． ∵点 E 是边 BC 的中点，∴AE⊥BC. 在 Rt△AEB 中，∵∠B＝60°，∴∠BAE＝30°. 1 又∵AB＝4，∴BE＝ AB＝2. 2 ∴AE＝ AB2－BE2＝ 42－22＝2 3.
菱形的轴对称性
轴对称 图形，有______ 两 条对称轴． 菱形是________
第1课时 菱形的性质
► 知识点三
菱形的性质定理
相等 ． 定理：菱形的四条边________ 互相垂直 ． 定理：菱形的对角线__________
第1课时 菱形的性质
重难互动探究
探究问题一 利用菱形的性质进行计算
例1 [教材例1变式题] [2013· 广州] 如图1－1－2所示，四边 形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，AB＝5，AO＝
[归纳总结] 此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，根据 已知得出BO的长是解题关键．
北师大版九年级数学上册1.1菱形的性质与判定第1课时课件
∵ AE ⊥ BC ， AF ⊥ CD ，∴∠ AEB ＝∠ AFD ＝90°(垂直的定义).
∠＝∠，
在△ ABE 和△ ADF 中，∵ቐ∠＝∠，
∴△ ABE ≌△ ADF (AAS).
＝，
1
2
3
4
5
6
第1课时
菱形的性质
知识梳理
课时学业质量评价
两
对角线
.
中心
叫做菱形.
对称图形，又是
轴
条对称轴；②边、对角线：菱形的
两
2. 性质：①对称性：菱形既是
形，它至少有
平行四边形
课时学业质量评价
对称图
条边相
互相垂直；③角：经验证发现，每条对角线平
第1课时
菱形的性质
知识梳理
课时学业质量评价
1. 如图，在菱形 ABCD 中，∠ D ＝140°，则∠1的大小是(
第一章
特殊平行四边形
1.1 菱形的性质与判定（第1课时）
导入新课
下面几幅图片中都含有一些平行四边形. 视察这些
平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征吗？
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
探究新知
想一想
菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质.
你能列举一些这样的性质吗？
菱形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分.
所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.
定理 菱形的四条边都相等.
定理 菱形的两条对角线互相垂直.
典例精讲
例1
如图2，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于 点O，
∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长AB和对角线AC的长.
第1课时 菱形的性质
四清导航
有一组邻边相等 相等 垂直
平分
菱形的面积等于两条对角线乘积的一半
四清导航
D
D
四清导航
D
A
四清导航
3
60°
四清导航
解：AE＝AF.理由：∵四边形 ABCD 是菱形，∴AB ＝AD，∠B＝∠D，BC ＝CD.又∵E，F 1 1 分别为 BC，CD 的中点 ，∴BE＝ BC，DF＝ CD. ∴BE＝ DF.∴△ABE≌△ADF(SAS)．∴AE 2 2 ＝AF.
四清导航
A
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12
四清导航
C
B
四清导航
(4，4)
四清导航
5
证明：∵DE∥AC ， CE∥BD ， ∴四边形 OCED 是 平 行 四 边 形 ． ∵ 四 边 形 ABCD 是 菱 形 ， ∴AC⊥BD，∴∠DOC＝90°，∴四边形OCED 是矩形 ， ∴ OE ＝ CD. ∵四边形 ABCD 是菱形 ，∴CD＝BC，∴OE＝BC.
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AF AF AE
(3)∵ 四 边 形 ABCD 是 菱 形 ， ∴ AB ＝ AD.∴∠ABD ＝ ∠ADB.∴∠ABF＝∠ADE.在△ABF和△ADE中， ∴△ABF≌△ADE(SAS)．∴AF＝AE.
四清导航
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解：(1)连接 AC ，∵四边形 ABCD 是菱形，∴AB ＝BC. ∵点 E 为 BC 的中点，∴ AE⊥ BC. ∴∠AEC＝90°. ∵∠AEF＝60°，∴∠FEC＝90°－60°＝30°.∵∠C ＝180°－∠B＝ 120°， ∴∠EFC＝30°. ∴∠ FEC＝∠EFC.∴CE ＝CF.∵ BC ＝CD， ∴BC －CE＝CD －CF， 即 BE＝DF (2)连接 AC， 由(1)得△ABC 是等边三角形 ，∴AB ＝AC. ∵∠ BAE＋∠EAC ＝ 60° ，∠EAF＝∠ CAF＋∠ EAC＝60 °，∴∠ BAE＝∠CAF.∵四边形 ABCD 是菱形， ∠B 1 ＝60°，∴∠ACF ＝ ∠BCD ＝∠B＝60°. ∴△ABE≌△ACF.∴AE＝AF.∴△AEF 是等边三 2 角形
人教版八下数学课件第18章18.2.2第1课时菱形的性质
解 ： 当 四 边 形 EDD′F 为 菱 形 时 ， △A′DE 是 等 腰 三 角 形 ， △A′DE≌△EFC′.理由：∵△BCA 是直角三角形，∠ACB＝90°，AD＝
DB，∴CD＝DA＝DB，∴∠DAC＝∠DCA，∵A′C∥AC，∴∠DA′E＝
∠A ， ∠DEA′ ＝ ∠DCA ， ∴∠DA′E ＝ ∠DEA′ ， ∴DA′ ＝ DE ，
7．如图，AC、BD 是菱形 ABCD 的对角线，那么下列结论一定正确的是( B ) A．△ABD 与△ABC 的周长相等 B．△ABD 与△ABC 的面积相等 C．菱形的周长等于两条对角线之和的两倍 D．菱形的面积等于两条对角线之积的两倍
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8．如图，在菱形 ABCD 中，∠BAD＝120°，AB＝4.
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八年级数学(下册)·人教版
第十八章 平行四边形
18.2.2 菱形 第1课时 菱形的性质
灿若寒星
1．定义：四条边相等的四边形 叫做菱形．菱形是轴对称图形，它的对称 轴是 两条对角线所在的直线 . 2．性质：①菱形的四条边 相等 ；②菱形的对角线 互相垂直平分 ，并且 每条对角线 平分 一组对角． 3．菱形的面积等于两对角线长的乘积的 一半 .
解：∵四边形 ABCD 为菱形，∴AC⊥BD，OA＝12AC＝8cm，OD＝21BD＝ 6cm.∴AD＝ 62＋82＝10，∴C 菱形＝4AD＝40cm.由 S 菱形＝AB×DE＝12 ×AC×BD，即 10×DE＝12×16×12，∴DE＝9.6cm.
灿若寒星
5．如图，将一张直角三角形 ABC 纸片沿斜边 AB 上的中线 CD 剪开，得到 △ACD，再将△ACD 沿 DB 方向平移到△A′C′D′的位置，若平移开始后 点 D′，未到达点 B 时，A′C′交 CD 于 E，D′C′交 CB 于点 F，连接 EF，当四边形 EDD′F 为菱形时，试探究△A′DE 的形状，并判断△A′DE 与△EFC′是否全等？请说明理由．
北师版九年级数学上册 1.1.1第1节 菱形的性质与判定
）B
A.78° B.75° C.60°
D.45°
10.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， AB=5，AC=6.过D点作DE∥AC交BC的延长线于点E. （1）求△BDE的周长； （2）点P为线段BC上的点，连结PO并延长交AD于点Q. 求证：BP=DQ.
解:(1)∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=AD=BC=5,AD=BC,AC⊥BD.
点点对接
解：（1）由已知可得：∠EBC=∠EDC， 又AB∥DC， ∴∠APD=∠EDC， ∠APD=∠EBC;
（2）点P运动到AB的中点时，
理由是：
连接DB. ∵∠DAB=60°，AD=AB， ∴△ABD是等边三角形， 而P是AB边的中点， ∴DP⊥AB，
6.菱形的周长是40cm,两邻角的比是1∶2，则较短的对 角线长是 10 cm.
情景导入
定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
平行四边形
一组邻边相等
菱形
邻边 是
相等
两 垂直
新识探究
生活中的菱形，菱形在日常生活中也很常见，请你举例。
新识探究
我们可以通过折纸，剪纸的方法得到菱形，将一 张长方形的纸对折，再对折，然后沿图中的虚线剪一 下，打开即可。
新识探究
观察得到的菱形，并思考：
=4cm,OB
AB·DH,
点点对接
例2：如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不 与A、B重合），连接DP交对角线AC于E，连接EB.（1 ）求证：∠APD=∠EBC;（2）若∠DAB=60°，试问P点 运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的 ？为1 什么？
4
解析：（1）先证△BCE≌△DCE，得∠EBC=∠EDC，再由 AB∥CD得∠APD=∠EDC;（2）连接BD，
第1讲 菱形的性质与判定(解析版)
第1讲 菱形的性质与判定 1.理解掌握菱形的概念性质及判定定理2.会用菱形的有关知识进行证明，会计算菱形的面积 知识点01 菱形的性质（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（2）菱形的性质①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．（3）菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积12ab ．（a 、b 是两条对角线的长度） 【知识拓展1】菱形的两条对角线长的比是32，面积是cm 12，则它的对角线的长分别是 cm ， cm ． (★)解答方法：∵ 设菱形的两条对角线的长分别为厘米厘米x x 3,2，∴ 122132=⋅⋅=x x S 菱形，∴ 解得舍去）(2,221-==x x ， ∴ 对角线的长分别为cm cm 6,4。
答案：cm cm 6,4。
【总结方法】菱形的面积等于对角线乘积的一半。
【即学即练】两对角线分别是6cm 和8cm 的菱形面积是 _________ cm 2，周长是 _________ cm ． (★) 解答方法：菱形面积是224286cm =÷⨯；∵菱形的对角线互相垂直平分，根据勾股定理可得，边长为5cm ，则周长是20cm ． 知识精讲目标导航故答案为24，20．解答：24,20【知识拓展2】菱形的周长是它的高的8倍，则菱形较小的一个角为（）(★★) A．60°B．45°C．30°D．15°解答方法：菱形的周长为边长的4倍，又∵菱形周长为高的8倍，∴AB=2AE，∵△ABE为直角三角形，∴∠ABC=30°．故选 C．答案：C【总结方法】本题考查了菱形各边长相等的性质，考查了直角三角形中的特殊角，本题中根据特殊角求得∠ABC=30°是解题的关键．【即学即练1】菱形的一条对角线与边长相等，则菱形中较小的内角是（）(★★) A．60°B．15°C．30°D．90°解答方法：因为菱形的一条对角线与边长相等，所以该对角线和菱形的两边组成的是等边三角形，可得该菱形较小内角的度数是60°．解答：A【即学即练2】如果菱形的周长等于一条对角线长的4倍，那么这个菱形较小的一个内角等于度．(★★)解答方法：∵菱形的周长等于一条对角线长的4倍，∴AB=BD=AD，∴△ABD是等边三角形，∴∠A=60°．即这个菱形较小的一个内角等于60°．解答：60【知识拓展3】已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．求证：∠AFD=∠CBE． (★★)答案：证明：∵ 四边形ABCD 是菱形，∴ BCD CA CD CB ∠=平分,．∴ CE CE DCE BCE =∠=∠又.,∴ △BCE ≌△COB （SAS ）．∴ ∠CBE=∠CDE ．∵ 在菱形ABCD 中，AB ∥CD ， ∴∠AFD=∠FDC∴ ∠AFD=∠CBE ．【总结方法】通过菱形的基本性质可以得到三角形全等，进而推出对应角相等，然后利用平行内错角相等进行转化即可得到要证明的结论。
人教版数学八年级下册18.2.2第1课时《菱形的性质》教案
人教版数学八年级下册18.2.2第1课时《菱形的性质》教案一. 教材分析《菱形的性质》是人教版数学八年级下册18.2.2第1课时的重要内容。
本节课的主要任务是让学生掌握菱形的性质，并能够运用这些性质解决相关问题。
教材通过引入菱形的定义和性质，引导学生运用观察、归纳、推理等数学方法，深入探究菱形的特征，从而提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了平行四边形的性质和判定方法，对于图形的性质和判定有一定的了解。
然而，对于菱形这一特殊四边形的性质，学生可能较为陌生。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，通过引导和启发，帮助学生建立菱形的性质，并能够灵活运用。
三. 教学目标1.了解菱形的定义，掌握菱形的性质。
2.能够运用菱形的性质解决相关问题。
3.培养学生的观察、归纳、推理等数学思维能力。
四. 教学重难点1.菱形的性质的推导和理解。
2.能够运用菱形的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.引导法：通过提问、引导，激发学生的思考，帮助学生建立菱形的性质。
2.归纳法：通过具体的例子，引导学生观察、归纳菱形的性质。
3.实践法：通过解决实际问题，让学生运用菱形的性质，巩固所学知识。
六. 教学准备1.准备相关的教学材料，如PPT、板书等。
2.准备一些实际的数学问题，用于巩固和拓展学生的知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾平行四边形的性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）介绍菱形的定义，引导学生观察和分析菱形的特征，归纳出菱形的性质。
3.操练（15分钟）通过具体的例子，让学生运用菱形的性质解决问题，巩固所学知识。
4.巩固（5分钟）学生自主完成一些相关的练习题，加深对菱形性质的理解。
5.拓展（5分钟）引导学生思考：如何判断一个四边形是菱形？并给出解答。
6.小结（3分钟）对本节课的内容进行简要回顾，强调菱形的性质及其应用。
7.家庭作业（2分钟）布置一些相关的作业，让学生巩固所学知识。
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第一章特殊平行四边形
1 菱形的性质与判定
第1课时菱形的性质
【知识与技能】
理解菱形的概念，掌握菱形的性质.
【过程与方法】
经历探索菱形的性质和基本概念的过程，在操作、观察、分析过程中发展学生思维意识，体会几何说理的基本方法.
【情感态度】
培养学生主动探究的习惯、严密的思维意识和审美意识.
【教学重点】
理解并掌握菱形的性质.
【教学难点】
形成推理的能力.
一、情境导入,初步认识
四人为一小组先在组内交流自己收集的有关菱形的图片，实物等，然后进行全班性交流.
引入定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
【教学说明】认识菱形，感受菱形的生活价值.
二、思考探究，获取新知
教师拿出平行四边形木框（可活动的），操作给学生看，让学生体会到：平移平行四边形的一条边，使它与相邻的一条边相等，可以得到一个菱形，说明菱形也是平行四边形的特例，因此，菱形也具有平行四边形的所有性质.
【教学说明】通过教师的教具操作感受菱形的定义.
如图：将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，再打开.
思考：1.这是一个什么样的图形呢？
2.有几条对称轴？
3.对称轴之间有什么位置关系？
4.菱形中有哪些相等的线段？
【教学说明】充分地利用学具的制作，发现菱形所具有的性质，激发课堂学习的热情.
【归纳结论】菱形具有平行四边形的一切性质，另外，菱形的四条边相等、对角线互相垂直.
三、运用新知，深化理解
1.见教材P3第1题.
2.见教材P3例1 .
3.如图，菱形ABCD中，AB=15，∠ADC=120°，则B、D两点之间的距离为（A）
A.15
B.
C.7.5
D.
【教学说明】本题考查有一个角是60°的菱形的一条对角线等于菱形的边长.
4.如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC且交BC的延长线于点E.
求证：DE=1
2 BE.
分析：由四边形ABCD 是菱形，∠ABC=60°，易得BD ⊥AC ，∠DBC=30°，又由DE ∥AC ，即可证得DE ⊥BD ，由30°所对的直角边等于斜边的一半，即可证得DE=
12
BE. 证明：
方法一：如图，连接BD ，
∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC=60°，
∴BD ⊥AC ，∠DBC=30°，
∵DE ∥AC ，
∴DE ⊥BD ，即∠BDE=90°，
∴DE=12BE. 方法二：
∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC=60°，
∴AD ∥BC ，AC=AD ，
∵AC ∥DE ，
∴四边形ACED 是菱形，
∴DE=CE=AC=AD ，
又四边形ABCD 是菱形，
∴AD=AB=BC=CD ，
∴BC=EC=DE ，即C 为BE 的中点，
∴DE=BC=12
BE. 【教学说明】此题考查了菱形的性质，直角三角形的性质等知识.此题难度不大，注意数形结合思想的应用.
5.如图，在菱形ABCD 中，∠A=60°，AB=4，O 为对角线BD 的中点，过O 点作OE ⊥AB ，垂足为E.
（1）求∠ABD 的度数；
（2）求线段BE 的长.
分析：（1）根据菱形的四条边都相等，又∠A=60°，得到△ABD是等边三角形，∠ABD是60°；
（2）先求出OB的长和∠BOE的度数，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求出.
解：（1）在菱形ABCD中，AB=AD，∠A=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠ABD=60°；
（2）由（1）可知BD=AB=4，
又∵O为BD的中点，
∴OB=2，
又∵OE⊥AB，∠ABD=60°，
∴∠BOE=30°，
∴BE=1.
【教学说明】本题利用等边三角形的判定和直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求解，需要熟练掌握.
学生自主完成，如有一定难度可相互交流，最后由教师总结.
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结，教师作补充.
1.布置作业:教材“习题1.1”中第1、2 题.
2.完成练习册中相应练习.
本节课中，重在探索菱形性质的过程，在操作活动和观察分析过程中发展学生的审美意识，进一步体会和理解说理的基本步骤，了解菱形的现实应用.。