第五章B-连续体力学方程
第五章连续体力学
l2
O
dM
r d
f
2mg
l2
r
2
d
r
r
dr
0
f
(选z方向为正）
dM
M 0
dM
M
l 0
2mg
l2
r
2
d
r
2 mgl
3
3）由角动量原理：
t
0 M d t J J0
则
2 3
mglt
0
1 2
ml
20
t 3l0 4g
作业：5 – 1, 5--5, 5--7
§5-3 刚体的定轴转动定律
对于作定轴转动的刚体，满足：
第五章 连续体力学
连续体包括刚体、弹性固体、流体（液体和气体） 本章重点介绍刚体的力学规律。
§5-1 刚体运动学
一、刚体的平动与转动： 1、刚体 ─ 受力时形状和大小完全不变的的物体为刚体。刚体 上的任两点间的距离 始终保持不变。刚体是一种理想模型。
2、平动 ─ 刚体上任意两点的连线在运动中保持平行，这种 运动称为刚体的平动。
mi Rivi
zLioLiz来自Lzori
mi
o Ri
均匀细棒对OZ轴的角动量：
Lz mivi Ri cos miviri
miri2 ( miri2)
Lz J
定义：刚体转动惯量： J miri2
2、转动惯量的计算： 若质量离散分布：（质点，质点系）
J＝ miri2
i
若质量连续分布：
线速度与角速度之间的矢量关系为:
v
r
o r
v
[例1]一半径为R = 0.1m的砂轮作定轴转动，其角位置随时间t 的
高中物理奥林匹克竞赛专题连续体力学(共张)课件
能量守恒定理
系统的能量在变形过程中 保持不变。
动量守恒定理
系统的动量在变形过程中 保持不变。
弹性力学在连续体力学中的应用
弹性力学在材料力学中的应用
通过弹性力学可以研究材料的应力分布、应变分布等，从而为材料的设计和优 化提供依据。
弹性力学在结构力学中的应用
通过弹性力学可以研究结构的稳定性、振动等，从而为结构的设计和优化提供 依据。
连续体力学中的基本概念
要点一
总结词
连续体力学中的基本概念包括应力、应变、应力和应变关 系等。
要点二
详细描述
应力是指单位面积上的力，用于描述物质系统内部的作用 力。应变则是指物质系统的变形量或位移量，用于描述物 质系统的形变。应力和应变之间的关系可以通过本构方程 来描述，不同的物质材料具有不同的本构方程。这些基本 概念是描述物质系统形变和运动规律的基础，对于理解物 质系统的力学行为和解决实际问题具有重要的意义。
03
弹性力学
弹性力学基础
1 2
弹性力学定义
弹性力学是研究物体在弹性范围内变形和应力的 学科。
弹性力学的基本假设
连续性、均匀性、各向同性、小变形假设。
3
弹性力学的基本量
位移、应变、应力等。
弹性力学中的基本定理
01
02
03
胡克定律
在弹性范围内，物体的应 力和应变之间成正比，即 应力=弹性模量×应变。
高中物理奥林匹 克竞赛专题连续 体力学课件
目录
• 连续体力学基础 • 流体动力学 • 弹性力学 • 专题研究 • 习题与解答
01
连续体力学基础
连续体的定义与分类
总结词
连续体的定义是指物质在空间上连续分布的一种模型，没有明显的边界。连续体可以分为可变形连续体和不可变 形连续体。
理论力学教程 (周衍柏)(第四版)
理论力学教程 (周衍柏)(第四版)介绍《理论力学教程》是中国科学技术大学教授周衍柏先生编写的理论力学教程的第四版。
本教程系统地介绍了力学的基本原理、定律和方法，旨在帮助读者深入理解和掌握理论力学的核心概念，培养分析和解决力学问题的能力。
目录1.力学的基本概念–力学的起源和发展–力学的基本假设–物体的受力分析2.动力学–一维运动学–牛顿定律–静力学–动力学定律的应用3.连续体力学–连续体的基本概念–物质点系和质点系的运动方程–连续体的动力学方程4.运动学的数学方法–坐标系和位置矢量–速度和加速度–运动学定理–曲线运动的描述5.动力学的数学方法–牛顿第二定律的矢量形式–动量和动量守恒定律–力矩和力矩定律–统一的动力学方法6.力学系统的理论–多体系统的动力学–质点系和刚体系的力学–力学系统的能量和能量守恒定律7.外力作用下的刚体运动–刚体的运动学–刚体受力和动力学–刚体运动的定理和方法–刚体系统动力学的能量和能量守恒定律8.振动–简谐振动–非简谐振动–耦合振动–振动的应用内容概述《理论力学教程》共分为八个章节，包含了力学的基本概念、动力学、连续体力学、运动学的数学方法、动力学的数学方法、力学系统的理论、外力作用下的刚体运动以及振动等内容。
在力学的基本概念部分，教程介绍了力学的起源和发展，以及力学的基本假设和物体的受力分析方法，为后续章节的学习奠定了基础。
动力学部分介绍了一维运动学、牛顿定律、静力学以及动力学定律的应用。
读者可以学习如何利用牛顿定律分析力学问题，并应用其定律解决实际问题。
连续体力学部分讲解了连续体的基本概念、物质点系和质点系的运动方程，以及连续体的动力学方程。
通过学习这一章节，读者可以了解连续体力学的基本理论和应用。
运动学的数学方法一章介绍了坐标系和位置矢量的概念，以及速度和加速度的定义与计算方法。
运动学定理和曲线运动的描述也是本章的重要内容。
动力学的数学方法部分将牛顿第二定律推广到矢量形式，详细介绍了动量和动量守恒定律以及力矩和力矩定律的应用。
第五章流体动力学连续性方程流体力学 ppt课件
2.总流连续性方程
A1u1dA A2u2dA
Q1 = Q2 或 V1A1 = V2A2
（总流连续性方程）
截面小的地方流速大，截面大的地方流速小。 3.有分支流动的连续性方程
Q1 = Q2 + Q3
V1A1 = V2A2 + V3A3
例题：一旋风除尘器入口面积为 0.1×0.02m，进气管直径0.1m，入口 流速为v2=12m/s,求进气管流速v1？
第五章 流体动力学（一）
本章研究流体的宏观机械运动规律，流体受力与运动 的关系，运动流体与固体边界的相互作用 主要内容：
§5.1 §5.2 §5.3 §5.4 §5.5 §5.6 §5.7
控制体和系统 雷诺输运定理 流体流动的连续性方程 理想流体的运动微分方程 流体运动的能量方程 流体运动的动量方程 伯努利方程实验及工程应用
• 方程满足理想流体,无论流动定常与否，可不可压缩；
• 四个未知函数ｖx ,ｖy ,ｖz 和ｐ，还须补充一个方程；
• 若要求实际问题的解，还要满足所提问题的边界条件 和初始条件。
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
dt时段，x方向流进与流出质量的净增量
[vx ( x vx)d 2]d xy d [vx z d ( x v tx)d 2]d xyd z
积分 uzz d z 2(xy)dz
uz 2(xy)zf(x,y（ ) 积分常数）
二、总流连续性方程(不可压缩定常流动）
1.微小流束的连续性方程
dt内流进、流出的质量
1u1dA1dt 2u2dA2dt
第五章 连续体力学
五．液体的表面现象 1．液体的表面张力 液体的表面像一张绷紧的弹性薄膜， 液体的表面像一张绷紧的弹性薄膜， 有收缩的趋势， 有收缩的趋势，在液体的表面层上 存在着一种沿着液体表面的应力— 存在着一种沿着液体表面的应力 —表面张力。为研究液体表面张力 表面张力。 表面张力 的大小， 的大小，我们在液体表面上划一条 假想的线元∆l， 假想的线元 ，把液面分割为两部 分，表面张力就是这两部分液面相 互之间的拉力。 互之间的拉力。
已知水和油边界的表面张力系数为， 例 已知水和油边界的表面张力系数为，为使半径 的一个大油滴在水中散布成多个半径为r的小 为R的一个大油滴在水中散布成多个半径为 的小 的一个大油滴在水中散布成多个半径为 油滴，问外界要作多少功？ 油滴，问外界要作多少功？ 一个大油滴在水中散布成N个小油滴的过程中 个小油滴的过程中， 解：一个大油滴在水中散布成 个小油滴的过程中， 液体表面积增大
理论上还可推出杨氏模量Y、剪切模量 和泊松系数 理论上还可推出杨氏模量 、剪切模量N和泊松系数 μ之间的关系： 之间的关系： Y N= 2(1 + µ ) 3、剪切形变的势能 、 用类似的方法可得出发生剪切形变的弹性势能密度
1 E = Nϕ 2 2
0 P
三、弯曲和扭转形变
1、梁的弯曲 、 水平横梁都会在自身重力和两端 支持力作用下发生弯曲。 支持力作用下发生弯曲。可认为 梁的上半部受压缩而下半部受拉 越靠边缘形变越大。 伸，越靠边缘形变越大。 对一个高为h，宽为 的矩形梁， 对一个高为 ，宽为b 的矩形梁， 可求出中性层的曲率半径R为 可求出中性层的曲率半径 为：
bb′ ≈ϕ 定义剪切应变： 定义剪切应变：tgϕ = ab
φ角也称为切变角。 角也称为切变角。 角也称为切变角
连续体方程
连续体方程连续体方程是描述物理系统中连续介质运动的方程组。
这些方程在流体力学、气体力学、固体力学等领域中有着广泛的应用。
本文将依次介绍连续体方程的七个方面。
1.运动方程运动方程是描述质点或粒子运动规律的方程。
在经典力学中，牛顿第二定律就是一种常见的运动方程，表达了物体加速度与作用力之间的关系。
在连续体力学中，运动方程通常表示连续介质中每个质点的运动状态，涉及到速度、加速度和作用力等物理量。
2.连续性方程连续性方程是描述流体、气体等连续介质流动的方程。
它表达了质量守恒的原理，即在一定时间内，流入和流出某个截面的质量之和等于该截面上质量的变化量。
在流体和气体流动中，连续性方程是必不可少的，它可以表示流体微团在运动中的质量变化。
3.动量方程动量方程是描述流体、气体等流动中微小扰动的动量变化率的方程。
它表达了动量定理，即在一定时间内，流入和流出某个截面的动量之和等于该截面上动量的变化量。
在流体力学中，动量方程可以表示流体微团受到的力与加速度之间的关系。
4.动量矩方程动量矩方程是描述流体、气体等流动中微小扰动的动量矩变化率的方程。
它表达了角动量定理，即在一定时间内，流入和流出某个截面的角动量之和等于该截面上的角动量的变化量。
在流体力学中，动量矩方程可以表示流体微团受到的扭矩与角加速度之间的关系。
5.能量方程能量方程是描述流体、气体等流动中微小扰动的能量变化率的方程。
它表达了能量守恒的原理，即在一定时间内，流入和流出某个截面的能量之和等于该截面上能量的变化量。
在流体力学中，能量方程可以表示流体微团受到的热量与内能之间的关系。
6.熵方程熵方程是描述流体、气体等流动中微小扰动的熵变化率的方程。
它表达了热力学第二定律，即在孤立系统中，过程总是朝着熵增加的方向进行。
在流体力学中，熵方程可以表示流体微团受到的热量与熵之间的关系。
7.本构方程本构方程是描述流体、气体等流动中微小扰动的本构关系的方程。
它涉及到应力与应变、压力与体积等物理量之间的关系，反映了流体的内在属性。
考研力学知识点总结
考研力学知识点总结一、牛顿力学牛顿力学是经典力学的基本理论，是研究物体运动的一般规律。
其核心概念包括牛顿三定律、质点运动方程、质点系的运动等。
1. 牛顿三定律牛顿三定律是牛顿力学的基本原理，包括惯性定律、运动定律和作用-反作用定律。
其中，惯性定律表明物体在没有受到外力作用时，会保持匀速直线运动或静止状态；运动定律则描述了物体在受到外力作用时的加速度与力的关系；作用-反作用定律则说明了作用在物体上的力会有一个等大反向的反作用力。
2. 质点运动方程质点运动方程描述了质点在力的作用下的运动规律。
其一般形式为牛顿第二定律，即F=ma，其中F为合外力，m为质点的质量，a为质点的加速度。
通过对该方程的求解，可以获得质点在力的作用下的运动轨迹、速度和位置等信息。
3. 质点系的运动质点系的运动是指多个质点在相互作用下的运动规律。
在研究质点系的运动时，需要考虑多个质点之间的相互作用力，以及质点之间的约束条件。
通过牛顿定律和动量守恒定律等可以对质点系的运动规律进行分析和求解。
二、刚体力学刚体力学是研究刚体的运动和相互作用的科学。
刚体是指形状和大小在运动过程中不发生变化的物体，刚体力学包括刚体的平动和转动运动、刚体的静力学和动力学等内容。
1. 刚体的平动和转动运动刚体的平动运动是指刚体作直线运动或曲线运动的运动规律，需要考虑刚体质心的运动规律和速度等问题；刚体的转动运动是指刚体绕固定轴的旋转运动，需要考虑刚体的角速度、角加速度和转动惯量等问题。
2. 刚体的静力学刚体的静力学是研究刚体在静止或平衡状态下的力学问题。
在研究刚体的静力学时，需要考虑刚体受到的外力和支持力的平衡条件，以及刚体内部的力的平衡条件。
3. 刚体的动力学刚体的动力学是研究刚体在运动状态下的力学问题。
在研究刚体的动力学时，需要考虑刚体受到的外力和内力的作用，以及刚体的运动规律和动力学方程等问题。
三、连续体力学连续体力学是研究连续介质（如流体和固体）的运动和相互作用的科学。
第五章连续体力学共45页
四、 刚体的角动量原理
刚体→质点系(由无限多个质元构成的连续体)
质点系的角动量原理
M外
dL dt
即L ， tt1 2M 外 dt
同样适用于刚体
五. 刚体的角动量守恒定律
若 M 外 0， L 则 J 常矢量
注意: (1)定轴转动时，M外=0时，J=常量，即刚体保持静止或匀
角速转动。
解：设面密度为σ 取半径为r 宽为dr 的薄圆环,
R O r dr
d m d s 2 rdr
Jr2 d m R r2 2 r2 d r 1 R 4 1 m 2R
0
2
2
（适用圆柱对轴线的转动惯量。）
[例3] 求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。
解：取如图坐标，dm=dx
1. 作用于刚体的力对空间某点A的力矩
M Ar AF
2. 作用于刚体的力对转轴的力矩
z
A
rAF z
(1)力在转动平面内。
M Zr F
o r
大 小 M Zr： F sin
M z有两个方向，Mz有正负
(2)力不在转动平面内。
M Zr F 面
Fz 平行于转轴，对转轴产生的的力矩为零。
F
Ft
(2) Fi 0 不等价 Mi 0
F面
Fn
3. 当有n 个力作用于刚体，则
M zM 1zM 2z M nz
即定轴转动的刚体所受到的对转轴的合力矩应等于各
力对转轴的力矩的代数和。
z
4. 刚体中内力对给定转轴的力矩的 矢量和等于零，只需考虑外力矩 的作用。
O
d rr21
1 f21
f121 2
2
总结
连续介质力学2-5
§5-2 弹性固体 一、 弹性应变能 由能量方程
约束条件略， （公理→约束条件略， 公理 约束条件略 只说明约束条件→本构方程 本构方程） 只说明约束条件 本构方程）
无热效应时
De v ˆ ˆ ρ = ρh − ∇ • q + σ : D Dt 1 & Dij = v i , j + v j ,i ；小变形时为 eij 2
DW * 1 & = σ ij eij Dt ρ
∂W * & = eij ∂eij ∂W * ∴ σ ij = ρ ∂eij
1 ∂W * σ ij − eij = 0 & ∂eij
ˆ 线弹性问题中 ρ / ρ 0 = 1 + O (e )
∂ ρW * ∂W ∴ σ ij = = ∂eij ∂eij
三、几何非线性弹性边值问题完备方程（小变形、大位移） 几何非线性弹性边值问题完备方程（小变形、大位移） E: 方程
v ˆ ∇ • σ + ρb = 0 ˆ ˆ ˆ σ = λ I (tre ) + 2Ge ˆ
ˆ 其中e =
v v ˆ n ⋅ σ = t v v u = u0 在sσ 上 在su 上
二、理想模型 1. 理想弹性固体、热弹性（热量直接引起变形，无耗散） 理想弹性固体、热弹性（热量直接引起变形，无耗散）
σ ij ⇔ eij ; eij ⇔ T
2. 理想流体（无粘性）、牛顿流体（粘性） 理想流体（无粘性）、牛顿流体（粘性） ）、牛顿流体
（与时间、 与时间、 路径无关） 路径无关）
& σ ij ⇔ eij
状态方程
e = e ( ρ,T ) P = P ( ρ,T )
第五章连续介质力学
5 本构关系
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬⎫====)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆL L L L ηηεεq
q T T 在“纯力学”的研究中，本构关系常成为“应力－应变关系”
(1) 各向同性和各向异性
(3) 弹塑性和粘弹性
蠕变松弛
Newtonian fluid
Non-Newtonian fluid
Newtonian fluid
Viscoelastic fluid
5.2 本构关系的一般原理
确定性原理：物体在时刻t 的状态和行为由物体在该时刻以前的全部运动历史和温度历史所确定。
局部作用原理：物体中某一点在时刻t 的行为只由该点任意小邻域的运动历史所确定。
减退记忆原理：决定材料当前力学行为的各种变量的历史中，距今越远的历史对当前的力学行为影响越小。
客观性原理：物体的力学和热学的性质
不随观察者的变化而变化。
¾¾¾¾。
哈工大结构动力学连续体
纵向刚性位移。 纵向刚性位移。
4.2 圆轴扭转 假设: ） 每一横截面， 通过截面形心的轴线转动 假设 1） 每一横截面， 通过截面形心的轴线转动 绕 一个角度， 截面保持平面; ） 保持平面 截面上每一个点都转 一个角度， 截面保持平面 2） 截面上每一个点都转 动相同的角度。 表示。 动相同的角度。 扭转振动位移用 θ 表示。 由材料力学可知
4.1 直杆的纵向自由振动 4.1.1 直杆纵向振动微分方程 假设： 假设： 1） ） 杆的任一横截面在作纵向振动过程中始终保持为 平面， 横截面上各点， 在轴向上以相同的位移运动。 平面， 横截面上各点， 在轴向上以相同的位移运动。 2） 纵向运动过程中， ） 纵向运动过程中， 略去杆的纵向伸缩而引起的横 向变形。 向变形。 对任一横截面的纵向位移 u 都可写成关于 x 和 t 的函数 u ( x, t )
= 0, π , 2π , 3π ,... = nπ ( n = 1, 2, 3...)
nπ a x nπ ' U n ( x ) = A sin x = A sin ⋅ = An sin x a l a l
' n ' n
ωn
画出振型图，就是各点的振幅。 画出振型图，就是各点的振幅。 1阶
ω1 → U 1 ( x ) = A sin
扭矩为零
（3）弹性支承 ）
∂ϑ kϑ ( ℓ, t ) = −GJp ( ℓ, t ) ∂X
(4) 右端有一惯性圆盘，则有 右端有一惯性圆盘，
∂ϑ ∂ϑ J o 2 ( ℓ, t ) = − Jpd ( ℓ, t ) ∂t ∂x J 圆盘对称轴转动惯量
2
o
4.3 梁的弯曲振动
4.3.1 梁的横向振动微分方程 研究对象：匀质细长梁（一般假定长细比>10） 研究对象：匀质细长梁（一般假定长细比 ） ， 有纵向对称平面。振动运动过程中，假设： 有纵向对称平面。振动运动过程中，假设： 1）梁的轴向位移可以忽略 ）梁的轴向位移可以忽略 2）截面绕中性轴（梁几何中心线）转动可忽略 中性轴（ 几何中心线） ） 3） 变形时满足平面假设， ） 变形时满足平面假设， 并忽略剪力引起的变形
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2. 不考虑黏滞性(viscous characteristic) 气体和某些液体,如水,黏滞性小,可以忽略.
P.0/37
wzy
连续体力学
流体的黏滞性取决于流体内部接触层间切向黏滞力 (viscous force) (内摩擦力)的大小.
小与流体的流动状态有关
流管中单位重量流体从横截面 1处流到2处所损失的机械能
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wzy
连续体力学
三、泊肃叶定律
液体在半径为R的圆管内流动 r = 0时 v最大 r → R v →0 R
L段之压力差 ( p1 − p2) πr2 p1
黏滞阻力 f =η dv ΔS
dr
定常流动 (
p1
−
p2 ) πr 2
作匀速直线下落时的速度称收尾速度(terminal velocity)
vT (沉积速度)
vT
=
2 9
ρ
− ρ0 η
gr2
ρ —小球密度 ρ0—液体密度
P.30/37
wzy
五、湍流(turbulent flow)
实际流体两种状态： 层流、湍流
v很大或S 线度增 大时流体在向前运动 同时还出现横向运动
连续体力学 P.31/37
wzy
观察实验
连续体力学
红色液体与水密度一样 阀门开启程度不同， A管中水流状态有何 不同？ A
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wzy
连续体力学
阀门开启程度不同,A管中水流状态有何不同？
阀门微开
观察实验
阀门开大
A
A
湍
阀门再开大
湍
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wzy
连续体力学
wzy
管道或河渠中的水流,通风管道中的空气流,一般皆
为湍流.出现条件——雷诺(O.Reynolds)判据：
2009-11-4
wzy
连续体力学
§3 流体的流动
一、理想流体
定义: 完全不可压缩的无黏滞性流体称为理想流体 (ideal fluid) —— 理想模型
可以被看作理想流体的条件： 1. 不考虑压缩性(compress characteristic)
• 液体压缩性小(ρ ≈常量,v << u声) • 气体压缩性大,流动性也大.
连续体力学
由功能原理
( p1
−
p2 )ΔV
=
ρΔV [( 1 2
v2 2
+
gh2
)
−
(
1 2
v12
+
gh1)]
即： p1
+
1 2
ρv12
+
ρgh1
=
p2
+
1 2
ρv
2
2
+
ρgh2
静压
动压 p + 1 ρv2 + ρgh = 常量
2
伯努利方程: 在同一管道中任何一点处,流体每单位 体积的动能和势能以及该处压强之和为常量.
连续体力学
水龙头流出的水为什 么下面比上面的细？
输送近似理想流体的刚性管道可视为流管.如管 道有分支,不可压缩流体在个分支管的流量之和等 于总流量.
P.8/37
wzy
连续体力学
血液在狭窄的毛细管(capillaries) 缓慢移动,而在动脉(arteries)流 动很快.
n
∑ 同一流管内多岔道：Sv = Sivi i =1
连续体力学
QV = v1S1 = v2S2 =
2(ρ汞 − ρ）g hS12S22 ρ (S12 − S22 )
P.19/37
wzy
流量计
连续体力学
wzy
4. 空吸作用 p + 1 ρ v2 = 常量
2 Sv = 常量
QV =
2( p2 − p1 )S12 S22 ρ (S12 − S22 )
P.20/37
Δp = pB − pA = ρgh
气体流速为
vA =
2ρgh ρ′
连续体力学
B A
h
P.18/37
wzy
3. 文特利(Venturi)流量计原理
流量计: 中间细,两端粗 的一段短管,串接于欲测 管道中.
p1
+
1 2
ρ
v12
=
p2
+
1 2
ρ
v22
v1S1 = v2S2
Δp = p1 − p2 =(ρ汞 −ρ)gh
=
Qm (vr2 −vr1)
r F
d
t
=
dpr2
−
dpr1
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wzy
连续体力学
§4 伯努利方程及其应用
一、理想流体的伯努利方程 t 时刻: 流体在a1b1位置
p1S1
a1
b1 vr1
t+Δt时刻: 流体达到a2b2位置
外力的总功为
h1
A = p1S1v1Δt − p2S2v2Δt
a2 h2 b2 pvr2S2 2
Qm2 = ρ2v2S2
S1
定常流动 ρ1v1S1 = ρ2v2S2
S2
即ρvS = 常量
如果流体不可压缩 ρ1 = ρ2
则有流体连续性方程(continuity equation of fluid):
vS = 常量
物理实质: 流体在流动中质量守恒
P.7/37
wzy
用手挡住部分水管出 口,出水就会较急?
在工程上,上式常写成 p + v2 + h = 常量
ρg 2g
P.12/37
wzy
连续体力学
理想流体定常流动的伯努利方程 对同一流管中任一
横截面均成立 压力头
速度头
位置头
p + v2 + h = 恒量 ρg 2g
单位重量流体 的压力势能
单位重量流 体的动能
单位重量流体 的重力势能
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连续体力学 P.15/37
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连续体力学
从虹吸管管口吸出的 液体速度为多大？
D
pD + ρgd = pA
pD
=
pB
+
ρgh1
+
1 2
ρ v2
=
pC
−
ρg(d
+ h2 ) +
1 2
ρv2
pD = pC = p0
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连续体力学
2. 皮托(pitot)管原理 一种用来测量流体速度的装置
vA = v, vB =0
=η2 πrL
dv dr
黏滞力
πr2 p2 L r ΔS = 2πrL
− dv = ( p1 − p2 )r dr 2ηL
∫ ∫ −
0
dv =
p1 −
p2
R
rdr
v
2ηL r
v(r) = p1 − p2 (R2 − r2) 4ηL
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∫ dQV = vdS = v2πrdr
R
QV = 2 π 0 v(r)rdr
的速度方向; 其疏密表示流
速的大小.
3. 流管(tube of flow): 在流 体内取一微小的闭合曲面, 通过此面的流线所组成的细 管叫流管.
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连续体力学
计算机模拟的流线
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圆柱在流体中运动时的流线
连续体力学
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三、定常流动与不定常流动
连续体力学
流速场(velocity
体积流量
∫ ∫ QV
=
S dQV
=
S
dV dt
=
∫S
v
cosθ
dS
=
∫Svr
⋅
d
r S
nv
θ dS
vdt
质量流量
∫ ∫ ∫ Qm =
S dQm =
ρvcosθdS =
S
ρ vr
⋅
d
r S
S
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连续体力学
五、连续性方程
在定常流动、不可压缩的流体中任取一流管
质量流量
Qm1 = ρ1v1S1
不
同
Re 雷诺数 (无量纲 ) ρ 流体密度 η 黏滞系数
Re
=
1 η
vρ l
l 管径 v 平均流速
雷 诺 数
实验得出
下 的
层流 Re ≤ 2000
圆
湍流 Re ≥ 4000 混沌(Chaos)现象(非线性运动)
柱
不稳定过渡状态 1. 对初始条件极端敏感
绕
2000 ≤ Re ≤ 4000
2. 表观混乱无序,实际具有深 层次规律
连续体力学
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二、伯努利方程应用举例
1. 小孔泄流
在大容器的器壁上水深为 h 处,开一直径为d 的小圆 孔,不计任何阻力,求小孔的泄流量.
由伯努力方程
p0 + 0 + h = p0 + v2 + 0
ρg 2g
ρg 2g
得小孔流速
v = 2gh 流量 Q = vS = ( πd 2 ) 2gh
4
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连续体力学
§5 黏滞液体的运动
一、实际流体的黏滞定律 层流(laminar flow): 各层流体 互不混杂 黏滞力: 各层流体之间存在 的摩擦力(内摩擦) 速度梯度 lim Δv = dv