计算机图形学——基本图形生成算法

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算法步骤：
1.输入直线的两端点P0(x0,y0)和P1(x1,y1)。
2.计算初始值△x、△y、e=-△x、x=x0、y=y0。
3.绘制点(x,y)。
4.e更新为e+2△y，判断e的符号。若e>0，则(x,y)更
新为(x+1,y+1)，同时将e更新为e-2△x；否则(x,y)
更新为(x+1,y)。
xi
xi+1 xi+2
(a) d<=0的情况
( xi 1) ( yi 0.5) R 2 xi 3 d 2 xi 3
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d>0：
yi
P
yi-1 yi-2
d F ( xi 2, yi 1.5) ( xi 2) ( yi 1.5) R
第5章 基本图形生成算法
• 提出问题
如何在指定的输出设备上根据坐标描述构造基
本二维几何图形（点、直线、圆、椭圆、多边
形域、字符串及其相关属性等）。
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图形的生成：是在指定的输出设备上，根据坐标描述
构造二维几何图形。
图形的扫描转换：在光栅显示器等数字设备上确定一
个最佳逼近于图形的象素集的过程。
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0≤k≤1时Bresenham算法的算法步骤为：
1.输入直线的两端点P0(x0,y0)和P1(x1,y1)。
2.计算初始值△x、△y、d=0.5-k、x=x0、y=y0；
3.绘制点(x,y)。判断d的符号； 若d<0，则(x,y)更新为(x+1,y+1)，d更新为d+1-k； 否则(x,y)更新为(x+1,y)，d更新为d-k。 4.当直线没有画完时，重复步骤3。否则结束。
该直线方程将平面分为三个区域： • 对于直线上的点，F(x,y)=0；
• 对于直线上方的点，F(x,y)>0；
• 对于直线下方的点，F(x,y)<0。
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y F(x,y)=0 F(x,y)>0 x F(x,y)<0 F(x,y)=0
y
F(x,y)>0
F(x,y)<0
x
图5-4 直线将平面分为三个区域
5.当直线没有画完时，重复步骤3和4。否则结束。
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程序 几种画线算法的比较
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5.2 圆的扫描转换
解决的问题：
绘出圆心在原点，半径为整数R的圆x2+y2==R2
5.2.1 八分法画圆
八分法画圆
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y y=-x
(-y,x)
(y,x)
y=x
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M的坐标为：M(xi +1,yi-0.5)
•当F(xM,yM)<0时，取Pu(xi +1,yi) •当F(xM,yM)>0时，取Pd(xi +1,yi-1) •当F(xM,yM)=0时，约定取Pu。 构造判别式：
d F ( xM , yM ) F ( xi 1, yi 0.5) ( xi 1)2 ( yi 0.5)2 R2
(xi+2,yi+0.5) (xi+1,yi+0.5) (xi,yi) d>=0
yi 0.5 k ( xi 1) b k d k
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初始值d的计算
d 0 F ( x0 1, y0 0.5) y0 0.5 k ( x0 1) b y0 kx0 b k 0.5 0.5 k
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5.3 椭圆的扫描转换
d F ( xi 2, yi 1.5) yi 1.5 k ( xi 2) b
yi 1.5 k ( xi 1) b k d 1 k
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误差项的递推
d≥0：
d F ( xi 2, yi 0.5) yi 0.5 k ( xi 2) b
5.当x<y时，重复步骤3和4。否则结束。
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改进：用d-0.25代替d
算法步骤：
1.输入圆的半径R。
2.计算初始值d=1-R、x=0、y=R。
3.绘制点(x,y)及其在八分圆中的另外七个对称点。
4.判断d的符号。若d≤0，则先将d更新为d+2x+3， 再将(x,y)更新为(x+1,y)；否则先将d更新为d+2(xy)+5，再将(x,y)更新为(x+1,y-1)。 5.当x<y时，重复步骤3和4。否则结束。程序
(-x,y) (-x,-y)
(x,y)
(x,-y)
(-y,-x)
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(y,-x)
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解决问题：
y y=x R
x
图5-10 1/8圆弧
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5.2.2 简单方程产生圆弧
算法原理：利用其函数方程，直接离散计算
圆的函数方程为：
x y R
2 2
2
xi1 xi 1
ε=1/max(|△x|,|△y|)
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(5 - 2)
max(|△x|,|△y|)=|△x|，即|k|≤1的情况：
xi 1 yi 1 1 xi x xi x xi 1 x 1 yi y yi y yi k x
(xi+1 ,round(y i+k ))
图5-3 DDA算法生成直线段
程序 注意： round(x)=(int)(x+0.5)
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特点： 增量算法 直观、易实现
不利于用硬件实现
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5.1.2 中点Bresenham算法
直线的方程
y y1 y0 F ( x, y) y kx b 0 , 其中k x x1 x0
x 0, R
2 2 i 1

2

(5 - 7)
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yi1 round( R x )
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圆的极坐标方程为：
x R cos y R sin
i1 i (为一固定角度步长 ) xi 1 round( R cos i1 ) yi1 round( R sin i 1 )
max(|△x|,|△y|)=|△y|，此时|k|≥1：xi 1ຫໍສະໝຸດ yi 12013-7-17
1 1 xi x xi x xi y k 1 yi y yi y yi 1 y
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(round(x i+1/k ),yi+1 ) (xi,yi)
2 2
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算法步骤：
1.输入圆的半径R。
2.计算初始值d=1.25-R、x=0、y=R。
3.绘制点(x,y)及其在八分圆中的另外七个对称点。
4.判断d的符号。若d≤0，则先将d更新为d+2x+3，再
将(x,y)更新为(x+1,y)；否则先将d更新为d+2(x-y)+5，
再将(x,y)更新为(x+1,y-1)。
图5-1
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用一系列的象素点来逼近直线
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5.1 直线的扫描转换
直线的绘制要求：
1.直线要直 2.直线的端点要准确，即无定向性和断裂情况 3.直线的亮度、色泽要均匀 4.画线的速度要快 5.要求直线具有不同的色泽、亮度、线型等
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解决的问题：
给定直线两端点P0(x0,y0)和P1(x1,y1)，画出该直线。
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5.1.3 改进的Bresenham算法
假定直线段的0≤k≤1 基本原理：
k k k k k d d d d
图5-8 改进的Brensemham算法绘制直线的原理
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xi 1 xi 1 y yi 1 (d 0.5) i 1 yi (d 0.5)
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基本原理： 假定0≤k≤1，x是最大位移方向
Pu(xi+1,y i+1) Q M(x i+1,y i+1/2) P(x i,yi) Pd(xi+1,y i)
图5-5 Brensemham算法生成直线的原理
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判别式：
d F ( xM , yM ) F ( xi 1, yi 0.5) yi 0.5 k ( xi 1) b (5 - 6)
为(x+1,y+1)，同时将e更新为e-1；否则(x,y)更新 为(x+1,y)。 5.当直线没有画完时，重复步骤3和4。否则结束。
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改进2：用2e△x来替换e e初=-△x， 每走一步有e=e+2△y。 if (e>0) then e=e-2△x
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• e初=-0.5， • 每走一步有e=e+k。 • if (e>0) then e=e-1
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算法步骤为：
1.输入直线的两端点P0(x0,y0)和P1(x1,y1)。
2.计算初始值△x、△y、e=-0.5、x=x0、y=y0。
3.绘制点(x,y)。