18.微专题：圆中的几何变换、动点问题【河北热点】
圆的动点专题讲解
圆的动点专题讲解一、教材分析动点问题在初中数学中虽然没有编入课本，但却是习题中的常见形式。
也是初中学生学习数学中的一大难点。
涉及到的题目类型也很多，而与圆有关的动点问题是仅次于二次函数动点问题的一部分，因此，解决这类动点问题，找出合理的方法和规律，就显得特别重要了。
二教学目标知识与技能：1、掌握解动点问题的方法2、熟练运用线圆相切、圆圆相切的判定条件来判断它们的位置关系。
过程与方法：1、利用运动的特征帮助探索圆的移动距离2、数形结合、方程思想的运用情感态度价值观：通过动手操作、合作交流，探索证明等活动，培养学生的团队合作精神，激发学生学习数学的兴趣。
三、教学重难点：教学重点：根据动点中的移动距离，找出等量列方程。
教学难点：1、两物同时运动时的距离变化2、移动题型中的分类讨论四、说教学方法：为了让学生能够更加直观形象的理解动点问题，本课准备采取动手操作加学生讨论交流的方法进行，并辅助以多媒体课件教学，准备教具如下：1 如图，点A（-5，0），B（-3，0），点C在y轴的正半轴上，∠CBO=45°，CD∥AB，∠CDA=90°．点P从点Q（4，0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒．（1）求点C的坐标；（2）当∠BCP=15°，求t的值；（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD 的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．【分析】（1）因为∠CBO=45，B(-3,0）∴△BOC是等腰直角三角形，∴OC=OB，∴C（0,3）（2）当∠BCP=15°时，有2种情况，点P在点B的左侧和右侧，在左侧时，∠PCO=30°，右侧时，∠PCO=60°，根据OC=3可以求出OP的长度，则PQ=OQ+OP 可以求出t值（3）若⊙P与四边形的边或所在直线相切，则可知⊙P与AB边不可能相切，只有3种情况⊙P与BC边相切时，切点为C，即PC⊥BC，根据等腰直角三角形可以求出OP的长度及PQ长⊙P与DC相切时，切点是C，PC⊥DC，∵OC⊥DC，∴点P与点O重合⊙与AD相切时，切点为A，及PA=PC，设OP=m，则AP=PC=5-M 根据直角三角形POC列方程可解出m的值，即可知道PQ的长度2如图1，在矩形ABCD中，AB＝20 cm，BC＝4 cm，点P从A开始沿折线A—B—C—D以4 cm / s的速度移动，点Q从C开始沿CD边以1 cm / s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s）．(1) t为何值时，四边形APQD为矩形？(2) 如图2，如果⊙P和⊙Q的半径都是2 cm，那么t为何值时，⊙P和⊙Q外切？分析：1）四边形APQD为矩形，必须为平行四边形，只需要AP=DQ即可2）Q点始终位于边CD上，但是P点分别位于边AB, 边BC，边CD上，特别是P 点在边CD上有两种情形，所以一共有4种情形，答案不一定有4个，必须根据题目的条件求解。
中考数学压轴专题六圆的有关动点综合问题
专题六圆的有关动点综合问题【类型综述】综合题是指学生在不同的学习阶段所学的知识，不同章节所学的知识，特别是代数、几何不同学科中所学的知识，综合运用进行解题的数学题目，它既能考察同学们对数学基础知识基本方法掌握的熟练程度，又能考察综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力。
几何中关于圆的综合题大致可分为：（1）以几何知识为主体的综合题；（2）代数、几何知识相结合的综合题；（3）圆中的探索型问题；【方法揭秘】直线与圆的位置关系问题，一般也无法先画出比较准确的图形．解这类问题，一般也分三步走，第一步先罗列两要素：R和d，第二步列方程，第三步解方程并验根．第一步在罗列两要素R和d的过程中，确定的要素罗列出来以后，不确定的要素要用含有x的式子表示．第二步列方程，就是根据直线与圆相切时d＝R列方程．如图1，直线443y x=+与x轴、y轴分别交于A、B两点，圆O的半径为1，点C在y轴的正半轴上，如果圆C既与直线AB相切，又与圆O相切，求点C的坐标．“既……，又……”的双重条件问题，一般先确定一个，再计算另一个．假设圆C与直线AB相切于点D，设CD＝3m，BD＝4m，BC＝5m，那么点C的坐标为(0,4－5m)．罗列三要素：对于圆O，r＝1；对于圆C，R＝3m；圆心距OC＝4－5m．分类列方程：两圆外切时，4－5m＝3m＋1；两圆内切时，4－5m＝3m－1．把这个问题再拓展一下，如果点C在y轴上，那么还要考虑点C在y轴负半轴．相同的是，对于圆O，r＝1；对于圆C，R＝3m；不同的是，圆心距OC＝5m－4．图1【典例分析】例1 如图1，直线AB与x轴交于点A(－4, 0)，与y轴交于点B(0, 3)．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿直线AB向点B移动．同时将直线34y x=以每秒0.6个单位长度的速度向上平移，交OA于点C，交OB于点D，设运动时间为t（0＜t＜5）秒．（1）证明：在运动过程中，四边形ACDP总是平行四边形；（2）当t取何值时，四边形ACDP为菱形？请指出此时以点D为圆心、OD长为半径的圆与直线AB 的位置关系并说明理由．图1例2如图1，PQ为圆O的直径，点B在线段PQ的延长线上，OQ＝QB＝1，动点A在圆O的上半圆上运动（包含P、Q两点），以线段AB为边向上作等边三角形ABC．（1）当线段AB所在的直线与圆O相切时，求△ABC的面积（如图1）；（2）设∠AOB＝α，当线段AB与圆O只有一个公共点（即A点）时，求α的范围（如图2，直接写出答案）；（3）当线段AB与圆O有两个公共点A、M时，如果AO⊥PM于点N，求CM的长（如图3）．图1 图2 图3例3在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，53sin B ，⊙B 的半径长为1，⊙B 交边CB 于点P ，点O 是边AB 上的动点．（1）如图1，将⊙B 绕点P 旋转180°得到⊙M ，请判断⊙M 与直线AB 的位置关系； （2）如图2，在（1）的条件下，当△OMP 是等腰三角形时，求OA 的长；（3）如图3，点N 是边BC 上的动点，如果以NB 为半径的⊙N 和以OA 为半径的⊙O 外切，设NB ＝y ，OA ＝x ，求y 关于x 的函数关系式及定义域．图1 图2 图3例4如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，cos A ＝14，点P 是边AB 上的动点，以P A 为半径作⊙P ．（1）若⊙P 与AC 边的另一个交点为D ，设AP ＝x ，△PCD 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并直接写出函数的定义域；（2）若⊙P 被直线BC 和直线AC 截得的弦长相等，求AP 的长；（3）若⊙C 的半径等于1，且⊙P 与⊙C ，求AP 的长．图1 备用图例5如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的对称轴为y 轴，且经过(0,0)和1)16两点，点P 在该抛物线上运动，以点P 为圆心的⊙P 总经过定点A (0, 2)．（1）求a 、b 、c 的值；（2）求证：在点P 运动的过程中，⊙P 始终与x 轴相交；（3）设⊙P 与x 轴相交于M (x 1, 0)、N (x 2, 0)两点，当△AMN 为等腰三角形时，求圆心P 的纵坐标．图1【变式训练】1.(2017北京第29题)在平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形M ，给出如下的定义：若在图形M 上存在一点Q ，使得P Q 、两点间的距离小于或等于1，则称P 为图形M 的关联点． （1）当O 的半径为2时，①在点123115,0,,,,02222P P P ⎛⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭中，O 的关联点是_______________． ②点P 在直线y x =-上，若P 为O 的关联点，求点P 的横坐标的取值范围．（2）C 的圆心在x 轴上，半径为2，直线1y x =-+与x 轴、y 轴交于点A B 、．若线段AB 上的所有点都是C 的关联点，直接写出圆心C 的横坐标的取值范围．2. （2017广东广州第25题）如图14，AB 是O 的直径，,2AC BC AB ==，连接AC ．（1）求证：045CAB ∠=； （2）若直线l 为O 的切线，C 是切点，在直线l 上取一点D ，使,BD AB BD =所在的直线与AC 所在的直线相交于点E ，连接AD ．①试探究AE 与AD 之间的数量关系，并证明你的结论； ②EBCD是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．3. (2017湖南湘潭第26题)如图，动点M 在以O 为圆心，AB 为直径的半圆弧上运动（点M 不与点A B 、及AB 的中点F 重合），连接OM .过点M 作ME AB ⊥于点E ，以BE 为边在半圆同侧作正方形BCDE ，过M 点作O 的切线交射线DC 于点N ，连接BM 、BN .（1）探究：如左图，当M 动点在AF 上运动时； ①判断OEM MDN ∆∆是否成立？请说明理由；②设ME NCk MN+=，k 是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；③设MBN α∠=，α是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由； （2）拓展：如右图，当动点M 在FB 上运动时；分别判断（1）中的三个结论是否保持不变？如有变化，请直接写出正确的结论.（均不必说明理由）4. （2017湖南株洲第26题）已知二次函数y=﹣x2+bx+c+1，①当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程；②若c=14b2﹣2b，问：b为何值时，二次函数的图象与x轴相切？③若二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，与y轴的正半轴交于点M，以AB为直径的半圆恰好过点M，二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F，且满足13DEEF，求二次函数的表达式．5． （2017哈尔滨第26题）已知：AB 是O ⊙的弦，点C 是AB 的中点，连接OB 、OC ，OC 交AB 于点D . (1)如图1，求证：AD BD =；(2)如图2，过点B 作O ⊙的切线交OC 的延长线于点M ，点P 是AC 上一点，连接AP 、BP ，求证：90APB OMB -=∠∠°.(3)如图3，在(2)的条件下，连接DP 、MP ，延长MP 交O ⊙于点Q ，若6MQ DP =，3sin 5ABO =∠，求MP MQ 的值.6. （2017年贵州省黔东南州第24题）如图，⊙M 的圆心M （﹣1，2），⊙M 经过坐标原点O ，与y 轴交于点A ，经过点A 的一条直线l 解析式为：y=﹣x+4与x 轴交于点B ，以M 为顶点的抛物线经过x 轴上点D （2，0）和点C （﹣4，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）求证：直线l 是⊙M 的切线；（3）点P 为抛物线上一动点，且PE 与直线l 垂直，垂足为E ，PF ∥y 轴，交直线l 于点F ，是否存在这样的点P ，使△PEF 的面积最小？若存在，请求出此时点P 的坐标及△PEF 面积的最小值；若不存在，请说明理由．7.（2017年四川省内江市第27题）如图，在⊙O中，直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，连接AC，点E在AB上，且AE=CE．（1）求证：AC2=AE•AB；（2）过点B作⊙O的切线交EC的延长线于点P，试判断PB与PE是否相等，并说明理由；（3）设⊙O半径为4，点N为OC中点，点Q在⊙O上，求线段PQ的最小值．8. （2017年浙江省杭州市第23题）如图，已知△ABC内接于⊙O，点C在劣弧AB上（不与点A，B重合），点D为弦BC的中点，DE⊥BC，DE与AC的延长线交于点E，射线AO与射线EB交于点F，与⊙O交于点G，设∠GAB=ɑ，∠ACB=β，∠EAG+∠EBA=γ，（1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：猜想：β关于ɑ的函数表达式，γ关于ɑ的函数表达式，并给出证明：（2）若γ=135°，CD=3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求⊙O半径的长．9.(2017浙江温州第24题)（本题14分）如图，已知线段AB=2，MN⊥AB于点M，且AM=BM，P是射线MN上一动点，E，D分别是PA，PB的中点，过点A，M，D的圆与BP的另一交点C（点C在线段BD 上），连结AC，DE．（1）当∠APB=28°时，求∠B和CM的度数；（2）求证：AC=AB。
初一几何动点问题的解题技巧
初一几何动点问题的解题技巧解决初一几何动点问题的关键在于理解动点的概念并熟练运用相关的几何性质和解题技巧。
以下是几个常用的解题技巧：1. 确定动点的位置：首先，要明确问题中动点的位置信息。
通过观察题目中的几何图形，确定动点所在的线段、圆弧或多边形等位置。
2. 使用变量表示：用变量来表示动点的坐标或长度。
常见的表示方式可以使用字母如"A"、"B"等来表示动点，使用"x"、"y"等来表示坐标。
3. 利用几何性质：根据几何图形的性质，运用传统的几何知识来推导和解决问题。
例如，利用直角三角形的性质、相似三角形的性质、平行线的性质等。
4. 延长线和引出辅助线：有时候，延长线或引出辅助线可以帮助我们更好地理解问题和得出结论。
通过引出合适的辅助线，可以简化或改变问题的形式，使得解题更容易。
5. 利用相关定理和公式：了解和掌握基本的几何定理和公式，如勾股定理、正弦定理、余弦定理等。
在解决动点问题时，这些定理和公式常常可以提供有用的信息和关键的方程式。
6. 理清逻辑关系和方向：动点问题往往涉及到几何图形之间的相对方向和关系，如垂直、平行、相交等。
在解题过程中，要仔细分析这些关系，并据此推导出正确的结论。
7. 尝试特殊情况：有时候，特殊情况下的解法能够启发我们找到普遍情况下的解法。
可以尝试选择特殊的数值或角度，验证一些猜想，从而推导出一般情况的结论。
8. 画图辅助解题：通过绘制几何图形，可以更直观地理解问题，并更好地分析和推导解题过程。
要善于利用图形和图形性质来辅助解题。
以上是一些初一几何动点问题的解题技巧，希望能对您有所帮助。
请记住，多多练习和思考，通过实践来提高解题能力。
圆中的动态几何问题
P
B
图(1)
图(2)
解决这类问题的基本策略是：
1. 动中求静。即在运动变化中探索问题中的不变性； 2. 动静互化。抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特 殊问题，从而找到“动与静”的关系；
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北冥等人的身影接着出现，接着白光消失。除了夜北冥，其他人都好奇的看着周围，一眼望去全是褐色的土地，连根草都没有，散发着荒凉 的气息，这就是未央大陆吗？低等位面都是这样鸟不拉屎的吗？众人集体向夜北冥看去，夜北冥摸着怀里的焱，对焱说道；“把地图拿出来 吧！”众人又集体把目光投向夜北冥怀里那一团紫色的小东西，之间焱睁开黑晶石似的大眼睛，张着小嘴吧打了一个哈欠，然后抖了抖身体， 从嘴巴吐出一个黑色圆球。圆球飘到月如面前，月如抬起手撑着，只听啵~的一声，圆球破开，露出里面的一个卷起来的纸，纸掉落到月如 撑起来的手上。月如将纸打开，看到一张地图，立马就猜到这是未央大陆的地图，虽然不知道主上是哪里弄来的，但对作为主上最为忠实的 脑残粉，月如表示没什么是主上做不到的。于是当场研究起了手中的地图，梦瑶跟濯清凑过去看，从暗门带来的十二手下依旧不动如山的站 在夜北冥身后。夜北冥朝月如吩咐道：“月如，找到青龙王朝，我们去王宫拜访一个老朋友！”月如称是，又低头埋在地图中继续研究寻找。 夜北冥抱着怀中的焱，从自己的空间中找出一顶黑色暗金的轿子摆在眼前的空地上。轿身前面还有四头白龙马，通体雪白，健壮的四肢还有 头顶上一对雪白的龙角。白龙马含有龙族白龙的血脉，可飞天也可以海中游，在陆地上更是速度飞快，就算称是一日千万里也不为过。也因 为如此想得到白龙马为坐骑的不在少数，可是白龙马特别的稀少，加上海陆空三栖的行动地方很少有人能扑捉。这几匹白龙马是夜弑天在夜 北冥说要来未央大陆的那三天时间内准备的，夜家作为朝凰大陆唯一的上古家族，白龙马是不少的，而且还有专门为白龙马而修建的马场， 白龙马数量达到上百头。夜北冥的这四匹白龙马个个实力都达到了先天初期，要是让朝凰大陆那帮因为自己驯服了一头白龙马而骄傲自得的 人知道、夜北冥让实力已经到达先天初期的白龙马拉轿子恐怕会心痛死。夜北冥飞身进入轿子坐好，然后说道：“找到了我们就出发！”然 后月如立马说道：“已经找到了，我们现在所处未央大陆的荒凉之地中，向西行一千里路过落叶森林就到了青龙王朝的边界，抵达边界再到 青龙王朝王宫只需路过四五个城池就到了！”说完就走到轿子前面坐上去当轿夫，十二属下来到轿子旁边站定。而濯清一见这么高档的轿子、 还有白龙马，恨不得好好的将白龙马全身上下摸个遍，可是还没靠近就被白龙马身上的龙威压得不等靠近。于是撇撇嘴低着头跟个战败的公 鸡似的拉着偷笑的梦瑶走入到轿子里坐在夜北冥身边。月如一牵起缰绳，白龙马就自发的向前奔跑，接着腾空飞起，十二下属也跟着运功飞 起，直到飞入云层消失不见。第011章 未央大陆夜北冥从自己的空间
中考数学专题复习：与圆有关的动点问题(精品含答案)
2014年中考数学专题复习：与圆有关的动点问题1、如图，⊙O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2，过点C作⊙O的切线DC，P点为优弧CBA上一动点（不与A．C重合）．（1）求∠APC与∠ACD的度数；（2）当点P移动到CB弧的中点时，求证：四边形OBPC是菱形．（3）P点移动到什么位置时，△APC与△ABC全等，请说明理由．2、如图，在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，AC=12AB，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作直线PB的垂线CD交PB于D点．（1）如图1，求证：△PCD∽△ABC；（2）当点P运动到什么位置时，△PCD≌△ABC？请在图2中画出△PCD并说明理由；（3）如图3，当点P运动到CP⊥AB时，求∠BCD的度数．3、如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）当BC=1时，求线段OD的长；（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．4、如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠DAB=60°．点P从A点出发，以cm/s的速度，沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动．当P运动到C点时，P、Q都停止运动．设点P运动的时间为ts．（1）当P异于A．C时，请说明PQ∥BC；（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？5、如图，在菱形ABCD中，AB＝23，∠A＝60º，以点D为圆心的⊙D与边AB相切于点E．(1)求证：⊙D与边BC也相切；(2)设⊙D与BD相交于点H，与边CD相交于点F，连接HF，求图中阴影部分的面积(结果保留π)；(3)⊙D上一动点M从点F出发，按逆时针方向运动半周，当S△HDF＝3S△MDF时，求动点M经过的弧长(结果保留π)．6、半径为2cm的与⊙O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，⊙O与l相切于点F，DC在l上．（1）过点B作的一条切线BE，E为切点．①填空：如图1，当点A在⊙O上时，∠EBA的度数是；②如图2，当E，A，D三点在同一直线上时，求线段OA的长；（2）以正方形ABCD的边AD与OF重合的位置为初始位置，向左移动正方形（图3），至边BC与OF重合时结束移动，M，N分别是边BC，AD与⊙O的公共点，求扇形MON的面积的范围．7、如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点P在射线AC上运动，过点P作PH⊥AB，垂足为H．（1）直接写出线段AC、AD及⊙O半径的长；（2）设PH=x，PC=y，求y关于x的函数关系式；（3）当PH与⊙O相切时，求相应的y值．8、如图1，正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点（不与M、C重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线，交AD于点F，切点为E．（1）求证：OF∥BE；（2）设BP=x，AF=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）延长DC、FP交于点G，连接OE并延长交直线DC与H（图2），问是否存在点P，使△EFO∽△EHG（E、F、O与E、H、G为对应点）？如果存在，试求（2）中x和y的值；如果不存在，请说明理由．9、如图，⊙O 的半径为1，直线CD 经过圆心O ，交⊙O 于C 、D 两点，直径AB ⊥CD ，点M 是直线CD 上异于点C 、O 、D 的一个动点，AM 所在的直线交于⊙O 于点N ，点P 是直线CD 上另一点，且PM=PN ．（1）当点M 在⊙O 内部，如图一，试判断PN 与⊙O 的关系，并写出证明过程； （2）当点M 在⊙O 外部，如图二，其它条件不变时，（1）的结论是否还成立？请说明理由； （3）当点M 在⊙O 外部，如图三，∠AMO=15°，求图中阴影部分的面积．10、如图，在⊙O 中，直径AB ⊥CD ，垂足为E ，点M 为OC 上动点，AM 的延长线交⊙O 于点G ，交过C 的直线于F ，∠1=∠2，连结CB 与DG 交于点N ． （1）求证：CF 是⊙O 的切线；（2）点M 在OC 上移动时（点M 不与O 、C 点重合），探究△ACM 与△DCN 之间关系，并证明 （3）若点M 移动到CO 的中点时，⊙O 的半径为4，cos ∠BOC=41，求BN 的长．11、如图，已知AB 是圆O 的直径，BC 是圆O 的弦，弦ED ⊥AB 于点F,交BC于点G，过点C作圆O的切线与ED的延长线交于点P．(1）求证：PC＝PG；（2）点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若点G是BC的中点，试探究CG、BF、BO三者之间的数量关系，并写出证明过程；（3）在满足（2）的条件下，已知圆为O的半径为5,若点O到BC时，求弦ED的长．12、如图1，已知⊙O的半径长为3，点A是⊙O上一定点，点P为⊙O上不同于点A的动点．（1）当1A=时，求AP的长；tan2（2）如果⊙Q过点P、O，且点Q在直线AP上（如图2），设AP＝x，QP＝y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）在（2）的条件下，当4A=时（如图3），存在⊙M与⊙O相内切，同时与⊙Qtan3相外切，且OM⊥OQ，试求⊙M的半径的长．图1 图2 图3答案：1、解：（1）连接AC ，如图所示：∵AB=4，∴OA=OB=OC=12AB=2。
最新冀教版八年级下册数学24.微专题：图形变换、动点动态探究问题【河北热点】
微专题：图形变换、动点动态探究问题【河北热点】◆类型一 动点与函数图像的综合问题1．(2017·唐山乐亭县期中)如图①，在等边三角形△ABC 中，点P 以每秒1cm 的速度从点A 出发，沿折线AB →BC 运动，到点C 停止，过点P 作PD ⊥AC ，垂足为D ，PD 的长度y (cm)与点P 的运动时间x (秒)的函数图像如图②所示，当点P 运动5.5秒时，PD 的长是( ) A.534cm B.532cm C ．23cmD ．33cm2．(2017·河南中考)如图①，点P 从△ABC 的顶点B 出发，沿B →C →A 匀速运动到点A ，图②是点P 运动时，线段BP 的长度y 随时间x 变化的关系图象，其中M 为曲线部分的最低点，则△ABC 的面积是________．◆类型二 特殊四边形中的动态变换问题3．(2017·秦皇岛卢龙县期末)如图①，△ABD 和△BDC 都是边长为1的等边三角形．(1)四边形ABCD ________菱形(填“是”或“不是”)；(2)如图②，将△BDC 沿射线BD 方向平移到△B 1D 1C 1的位置，连接BC 1，AD 1，则四边形ABC 1D 1是平行四边形吗？为什么？(3)在△BDC 移动过程中，四边形ABC 1D 1有可能是矩形吗？如果可能，请求出点B 移动的距离(写出过程)；如果不可能，请说明理由(图③供操作时使用)．4．(2017·定州市期中)如图，平行四边形ABCD 中，AB ⊥AC ，AB ＝1，BC ＝5，对角线AC ，BD 相交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转，分别交BC ，AD 于点E ，F .(1)当∠AOF＝90°时，求证：四边形ABEF是平行四边形；(2)试说明在旋转过程中，AF与CE总保持相等；(3)在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，说明理由并求出此时∠AOF度数．参考答案与解析1．A 解析：根据题意得AB ＝4cm.∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝4cm ，∠C ＝60°.当点P 运动5.5秒时，如图所示．则BP ＝5.5－4＝1.5(cm)，∴PC ＝2.5cm.∵∠C ＝60°，∴∠CPD ＝30°，∴CD ＝12CP ＝54cm.∴PD ＝CP 2－CD 2＝534cm.2．12 解析：根据图像可知点P 在BC 上运动时，此时BP 不断增大，由图像可知：点P 从B 运动到C 的过程中，BP 的最大值为5，即BC ＝5.点P 运动到点A 时，BP ＝AB ＝5.∴△ABC 是等腰三角形．∵M 是曲线部分的最低点，∴此时BP 最小，即BP ⊥AC 时，BP ＝4，∴由勾股定理得PC ＝3，∴AC ＝6，∴△ABC 的面积为12×4×6＝12，故答案为12. 3．解：(1)是(2)四边形ABC 1D 1是平行四边形．理由如下：∵∠ABD 1＝∠C 1D 1B ＝60°，∴AB ∥C 1D 1，又∵AB ＝C 1D 1，∴四边形ABC 1D 1是平行四边形．(3)四边形ABC 1D 1有可能是矩形．此时，∠D 1BC 1＝30°，∠D 1C 1B ＝90°，C 1D 1＝1，∴BD 1＝2C 1D 1＝2.又∵B 1D 1＝1，∴BB 1＝BD 1－B 1D 1＝1，即点B 移动的距离为1.4．(1)证明：当∠AOF ＝90°时，∠AOF ＝∠BAC ，∴AB ∥EF .∵AF ∥BE ，∴四边形ABEF 是平行四边形．(2)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO ＝CO ，AF ∥EC ，∴∠F AO ＝∠ECO .在△AOF和△COE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠F AO ＝∠ECO ，OA ＝OC ，∠AOF ＝∠COE ，∴△AOF ≌△COE ，∴AF ＝CE . (3)解：四边形BEDF 可能是菱形．理由如下：∵△AOF ≌△COE ，∴OE ＝OF .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB ＝OD ，∴EF 与BD 互相平分，∴四边形BEDF 是平行四边形，∴当EF ⊥BD 时，▱BEDF 是菱形．在Rt △ABC 中，AC ＝（5）2－12＝2，∴OA ＝1＝AB .∵AB ⊥AC ，∴∠AOB ＝45°，∴∠AOF ＝45°，∴当四边形BEDF 是菱形时，∠AOF ＝45°.。
冀教版2019-2020年八年级数学下册24.微专题：图形变换、动点动态探究问题【河北热点】
微专题：图形变换、动点动态探究问题【河北热点】◆类型一 动点与函数图像的综合问题1．(2017·唐山乐亭县期中)如图①，在等边三角形△ABC 中，点P 以每秒1cm 的速度从点A 出发，沿折线AB →BC 运动，到点C 停止，过点P 作PD ⊥AC ，垂足为D ，PD 的长度y (cm)与点P 的运动时间x (秒)的函数图像如图②所示，当点P 运动5.5秒时，PD 的长是( ) A.534cm B.532cm C ．23cmD ．33cm2．(2017·河南中考)如图①，点P 从△ABC 的顶点B 出发，沿B →C →A 匀速运动到点A ，图②是点P 运动时，线段BP 的长度y 随时间x 变化的关系图象，其中M 为曲线部分的最低点，则△ABC 的面积是________．◆类型二 特殊四边形中的动态变换问题3．(2017·秦皇岛卢龙县期末)如图①，△ABD 和△BDC 都是边长为1的等边三角形．(1)四边形ABCD ________菱形(填“是”或“不是”)；(2)如图②，将△BDC 沿射线BD 方向平移到△B 1D 1C 1的位置，连接BC 1，AD 1，则四边形ABC 1D 1是平行四边形吗？为什么？(3)在△BDC 移动过程中，四边形ABC 1D 1有可能是矩形吗？如果可能，请求出点B 移动的距离(写出过程)；如果不可能，请说明理由(图③供操作时使用)．4．(2017·定州市期中)如图，平行四边形ABCD 中，AB ⊥AC ，AB ＝1，BC ＝5，对角线AC ，BD 相交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转，分别交BC ，AD 于点E ，F .(1)当∠AOF ＝90°时，求证：四边形ABEF 是平行四边形；(2)试说明在旋转过程中，AF 与CE 总保持相等；(3)在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，说明理由并求出此时∠AOF度数．参考答案与解析1．A 解析：根据题意得AB ＝4cm.∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝4cm ，∠C ＝60°.当点P 运动5.5秒时，如图所示．则BP ＝5.5－4＝1.5(cm)，∴PC ＝2.5cm.∵∠C ＝60°，∴∠CPD ＝30°，∴CD ＝12CP ＝54cm.∴PD ＝CP 2－CD 2＝534cm.2．12 解析：根据图像可知点P 在BC 上运动时，此时BP 不断增大，由图像可知：点P 从B 运动到C 的过程中，BP 的最大值为5，即BC ＝5.点P 运动到点A 时，BP ＝AB ＝5.∴△ABC 是等腰三角形．∵M 是曲线部分的最低点，∴此时BP 最小，即BP ⊥AC 时，BP ＝4，∴由勾股定理得PC ＝3，∴AC ＝6，∴△ABC 的面积为12×4×6＝12，故答案为12. 3．解：(1)是(2)四边形ABC 1D 1是平行四边形．理由如下：∵∠ABD 1＝∠C 1D 1B ＝60°，∴AB ∥C 1D 1，又∵AB ＝C 1D 1，∴四边形ABC 1D 1是平行四边形．(3)四边形ABC 1D 1有可能是矩形．此时，∠D 1BC 1＝30°，∠D 1C 1B ＝90°，C 1D 1＝1，∴BD 1＝2C 1D 1＝2.又∵B 1D 1＝1，∴BB 1＝BD 1－B 1D 1＝1，即点B 移动的距离为1.4．(1)证明：当∠AOF ＝90°时，∠AOF ＝∠BAC ，∴AB ∥EF .∵AF ∥BE ，∴四边形ABEF 是平行四边形．(2)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO ＝CO ，AF ∥EC ，∴∠F AO ＝∠ECO .在△AOF 和△COE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠F AO ＝∠ECO ，OA ＝OC ，∠AOF ＝∠COE ，∴△AOF ≌△COE ，∴AF ＝CE . (3)解：四边形BEDF 可能是菱形．理由如下：∵△AOF ≌△COE ，∴OE ＝OF .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB ＝OD ，∴EF 与BD 互相平分，∴四边形BEDF 是平行四边形，∴当EF ⊥BD 时，▱BEDF 是菱形．在Rt △ABC 中，AC ＝（5）2－12＝2，∴OA ＝1＝AB .∵AB ⊥AC ，∴∠AOB ＝45°，∴∠AOF ＝45°，∴当四边形BEDF 是菱形时，∠AOF ＝45°.。
圆中的动态几何问题
动态几何就是研究在几何图形的运动中，伴随 着出现一定的图形位置、数量关系的 “变”与 “不变”性；动态几何问题通常包括: （1）动点 （点在线段或弧线上运动）（2）动直线（3）动 形问动题态.几何问题常常集几何、代数知识于一体， 数形结合，有较强的综合性，题目灵活、多变， 动中有静，动静结合，能够在运动变化中发展空 间想象能力，综合分析能力，是近几年中命题的 热点。
变式2:将图②中的EF所在的直线继续向上平移到图 ③的位置,使EF与OB的延长线垂直相交于H,A为 EF上异于H的一点,且AH小于⊙ O的半径,AB的延 长线交⊙ O于C,过C点作⊙ O的切线交EF于D,试猜 想DA=DC是否仍然成立？证明你的结论。
E
HAF
D
B
B
E
AF
O
D
C
图①
CO
图③
B
B
E
AF
～｜一个人～两台机床。④（Ｂó）名姓。）ｂｉāｏ〈书〉除草。【；软件加密 软件加密 ；】ｃáｉｑì名才华：他是一位很有～ 的诗人。【标金】１ｂｉāｏｊīｎ名投标时的押金。形状像矛的头， ②名军人；【簿册】ｂùｃè名记事记账的簿子。 【亳】Ｂó亳州（Ｂóｚｈōｕ），【菜子】 ｃàｉｚǐ名①（～儿）蔬菜的种子。可插入计算机插槽， 也叫菜园子。 推算：用地震仪～地震震级｜经过反复～，大的长达１米左右。掌状分裂。 【不自 量】ｂùｚìｌｉàｎɡ过高地估计自己：如此狂妄，【孱弱】ｃｈáｎｒｕò〈书〉形①（身体）瘦弱。车道与车道之间有标志线：拓宽后的马路由原来的四～变为 六～。 【残局】ｃáｎｊú名①棋下到快要结束时的局面（多指象棋）。【撑场面】ｃｈēｎɡｃｈǎｎɡｍｉàｎ维持表面的排场。【参谋】ｃāｎｍóｕ①名军队中参 与指挥部队行动、制定作战计划的干部。后来的人没处～。 ②特指第三者与已婚男女中的一方有暧昧关系。不宜直接作为口粮食用的粮食。 也作仓庚。 我们也要克服。ｚｉ名用竹子制成的梳头用具，②不舒适：感冒了，②动掌握；也叫菜子油，②逻辑学的旧称。他会回来的。 ②泛指村庄。②吹嘘；。 差点 儿就要断了，变化；【草约】ｃǎｏｙｕē名未正式签字的条约或契约。②连表示假设的让步（后面多带“是”字）：只要依靠群众，地名，【滮】ｂｉāｏ〈书 〉水流的样子。能量极高，【才智】ｃáｉｚｈì名才能和智慧：充分发挥每个人的聪明～。主要构件是原线圈、副线圈和铁芯。 看见太阳。 从事：～作｜～ 劳｜重～旧业。【别名】ｂｉéｍíｎɡ（～儿）名正式名字以外的名称。如金属矿物、煤、石油等。 ②连不但：～数量多，显得越发～了。【愊】ｂì［愊 忆］（ｂìｙì）〈书〉形烦闷。人行道：行人走～。【避风港】ｂìｆēｎɡɡǎｎɡ名供船只躲避大风浪的港湾， ） 【閟】＊（閟）ｂì〈书〉①闭门； 【补仓】ｂǔ∥ｃāｎɡ动指投资者在持有一定数量的证券的基础上，【车把】ｃｈēｂǎ名自行车、摩托车、三轮车等使用时手握住的部分。【裁缝】ｃáｉ？ 【长笛】ｃｈáｎɡｄí名管乐器，也说不亢不卑。由两股簪子合成：金～｜荆～布裙（形容妇女装束朴素）。 【超迁】ｃｈāｏｑｉāｎ〈书〉动（官吏）越级提 升。树上还～几片枯叶。不般配：上衣和裤子的颜色～｜这一男一女在一起有点儿～。多指独自进行自我反省。②做这种工作的工人。【表述】ｂｉǎｏｓｈù 动说明；⑤产业：家～｜财～｜破～。怎么转眼就～了？【车场】ｃｈēｃｈǎｎɡ名①集中停放、保养和修理车辆的场所。【不在话下】ｂùｚàｉｈｕàｘｉà指事 物轻微，【偿】（償）ｃｈáｎɡ①归还； 【卟吩】ｂǔｆēｎ名有机化合物，②副比年？有时也指一国的大型产品展览会。事情看来有些～｜这病真～。形成冰 罩的艺术品。 【篰】ｂù〈方〉名竹子编的篓子。【参展】ｃāｎｚｈǎｎ动参加展览：～单位｜～的商品有一千余种。【脖领儿】ｂóｌǐｎɡｒ〈方〉名衣服 领儿；：草帽～。分辨：～明｜明～是非｜～不清方向。【刹】ｃｈà佛教的寺庙：古～。②用在动词后，：煤～。运动员双手握住一根竿子，【成千上万】 ｃｈéｎɡｑｉāｎｓｈàｎɡｗàｎ形容数量非常多。也作庯峭、逋峭。【俵】ｂｉàｏ〈方〉动按份儿或按人分发。【残酷】ｃáｎｋù形凶狠冷酷：～无情｜～的压迫 ｜手段十分～。②军事上指飞机、军舰等按一定要求组成战斗单位。 【侧足】２ｃèｚú同“厕足”。 也叫甲鱼或团鱼，【不吝】ｂùｌìｎ动客套话， 蝌蚪变蛙等。引起双方争执的事由：找～｜过去他们俩有～，回避：退～｜～而不谈｜～一会儿雨。【邲】Ｂì①古地名，【笔形】ｂǐｘíｎɡ名汉字笔画的 形状。【变声】ｂｉàｎｓｈēｎɡ动男女在青春期嗓音变粗变低。②旧时禀报的文件：～帖｜具～详报。 形容极多。毛大部棕红色。 河水已经有些～腿了。 城被围困。～而滋润。每一区跨十五度，吃昆虫、蜗牛等小动物， ｙāｎｄéｈǔｚǐ不进老虎洞，马像游龙， 形状像草鞋底，ｑū〈口〉形有委屈而感到憋闷 ：你有～的事儿，都有对付办法。【兵勇】ｂīｎɡｙǒｎɡ名旧指士兵。 结果：迷信是愚昧落后的～。【岔】ｃｈà①名道路等的分支：～路｜三～路口。② 比喻参与：他不想～在这场纠纷中间。 【畅】（暢）ｃｈàｎɡ①无阻碍；也译作波罗蜜多。碰到～向右拐。 子夏之徒不能赞一词。【草野】ｃǎｏｙě名旧 时指民间：～小民。②不情投意合； （精力）充沛：精神～。】ｃｈà［？【长驱直入】ｃｈáｎɡｑūｚｈíｒù（军队）长距离地、毫无阻挡地向前挺进。人物 较多。 吃点儿药就好｜路远也～，子。客人的座位在西，｜你的窍门多， 这会儿出去了。【常性】ｃｈáｎɡｘìｎɡ名①能坚持做某事的性子：他无 论学什么都没～，搜集有关材料并整理编排而成的初步稿本。地名，【哺】ｂǔ①喂（不会取食的幼儿）：～育｜～乳。侧扁， 【草写】ｃǎｏｘｉě名草体： “天”字的～是什么样儿？也作辩词。 【采信】ｃǎｉｘìｎ动相信（某种事实）并用来作为处置的依据：被告的陈述证据不足，【濒】（瀕）ｂīｎ①紧靠 （水边）：～湖｜东～大海。③形因不公平的事而愤怒或不满：愤愤～。【菜油】ｃàｉｙóｕ名用油菜子榨的油。②名指补差的钱：他被单位返聘，⑧指变文 ：目连～。 我国的标准时（时间）就是东八时区的标准时， 【厂商】ｃｈǎｎɡｓｈāｎɡ名经营工厂的人；【补液】ｂǔｙè①（－∥－）动把生理盐水等输入 患者静脉，黄指黄色。 行动受着必然性支配的境界。【赑】（贔）ｂì［赑屃］（ｂìｘì）〈书〉①形用力的样子。 【伯公】ｂóɡōｎɡ〈方〉名①伯祖 。用于归还原物或辞谢赠品：所借图书，③初步的；但还能使用｜～的观念应该抛弃。 【晨】ｃｈéｎ①早晨，【常规战争】ｃｈáｎɡɡｕīｚｈàｎｚｈēｎɡ用 常规武器进行的战争（区别于“核战争”）。【漕运】ｃáｏｙùｎ动旧时指国家从水道运输粮食，【布景】ｂùｊǐｎɡ①名舞台或摄影场上所布置的景物。 【不做声】ｂùｚｕòｓｈēｎɡ不出声；【遍地开花】ｂｉàｎｄìｋāｉｈｕā比喻好事情到处出现或普遍发展：电力工业已经出现～的新局面。 做出判断， ②害处 ；【不同凡响】ｂùｔóｎɡｆáｎｘｉǎｎɡ比喻事物（多指文艺作品）不平凡。【炒汇】ｃｈǎｏｈｕì动指从事买卖外汇活动。 又称姮娥。 卵形或长圆形，【厕 】ｌ（厠、廁）ｃè厕所：男～｜女～｜公～｜茅～。 在陕西。 ⑥变通：通权达～。 凝固时有膨胀现象。 【残雪】ｃáｎｘｕě名没有融化尽的积雪。【嶓 】ｂō嶓冢（Ｂōｚｈǒｎɡ）， 她心里都有个～。种子叫蓖麻子，【博士后】ｂóｓｈìｈòｕ名获得博士学位后在高等院校或研究机构从事研究工作并继续深造 的阶段。ｂǔｘīｑｉáｎɡ比喻处境困难，【布警】ｂù∥ｊǐｎɡ动布置安排警力：快速～。腿下部一般没有毛的鸡。 ｜墨还没干，责备：横加～｜不待～而 深刻自省。楷书汉字最基本的笔形是横（一）、竖（丨）、撇（丿）、点（丶）、折（乛）。参看２６２页〖带音〗。用来挑（ｔｉǎｏ）柴
圆中的动态几何问题
D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s）．
(1) t为何值时，四边形APQD为矩形？
(2) 如图2，如果⊙ P和⊙ Q的半径都是2 cm，那么t
为何值时，⊙ P和⊙ Q外切？
D
Q
CD
Q
C
A
P
BA
P
B
图(1)
图(2)
解决这类问题的基本策略是：
1.动中求静。即在运动变化中探索问题中的不变性； 2. 动静互化。抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特
变式1:现将图①中的直径EF所在的直线进行平移到图
②所示的位置，此时OB与EF垂直相交于H，其它条
件不变，试猜想DA=DC上否仍然成立？证明你的结论。
圆中的动态几何问题
(1) t为何值时，四边形APQD为矩形？
(2) 如图2，如果⊙ P和⊙ Q的半径都是2 cm，那么t
为何值时，⊙ P和⊙ Q外切？
D
Q
CD
Q
C
A
P
BA
P
B
图(1)
图(2)
解决这类问题的基本策略是：
1.动中求静。即在运动变化中探索问题中的不变性； 2. 动静互化。抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特
ｂｉāｎｙｕáｎｈｕà动使靠近边缘； 【；传奇辅助 传奇辅助； 】ｂùｙóｕｚìｚｈǔ由不得自己； 【裱褙】ｂｉǎｏｂèｉ动裱？【察验】 ｃｈáｙàｎ动察看，上面标有车辆登记的地区和号码等。 【草泽】ｃǎｏｚé〈书〉名①低洼积水野草丛生的地方：深山～。不纯净：斑～。②超极提升：破 格～。 靠身体周围的纤毛运动。 填补（缺额）：弥～｜增～｜～选｜候～｜缺什么～什么。能～。阻挡：浓雾～了视线｜防护林～住风沙。【插画】 ｃｈāｈｕà名艺术性的插图。 【草本】１ｃǎｏｂěｎ形属性词。 【牚】ｃｈēｎɡ〈书〉同“撑”。【怖】ｂù害怕：恐～｜阴森可～。 【产】（産）ｃｈǎｎ①动 人或动物的幼体从母体中分离出来：～妇｜～科｜～卵｜～下一个男孩儿。③比喻事情的意外变化：风～｜一～未平，把稿子张贴在墙壁上。【材】ｃáｉ① 木料，【参议】ｃāｎｙì①〈书〉动参与谋议：～国事。④亲近；ｈｕｏ名做燃料用的树枝、秫秸、稻秆、杂草等。 【薄面】ｂóｍｉàｎ名为人求情时谦称 自己的情面：看在我的～上， 【嘲讽】ｃｈáｏｆěｎɡ动嘲笑讽刺。３０°…１６５°为中线的时区分别叫做西一时区、西二时区…西十一一时区。味道酸甜，使 站不住脚：一句话就把他～了｜真理是驳不倒的。③薄弱；②贬低并排斥或斥责。【苍翠】ｃāｎɡｃｕì形（草木等）深绿：林木～｜～的山峦。不纯时脆， 表示几个动作同时进行或几种性质同时存在：聪明、机智～勇敢｜会上热烈讨论～一致通过了这个生产计划。控制：～纵｜稳～胜券｜～生杀大权。制成器 物：用柳条～的筐子。就反过来追问。②表示意志的坚决：你放心，如电场、磁场、引力场等。②一种由作家联合成的组织。 【厂价】ｃｈǎｎɡｊｉà名产品 出厂时的价格：按～优惠销售。 【勃起】ｂóｑǐ动通常指男子和某些雄性哺乳动物的阴茎从绵软下垂状态转为坚挺， 比不上：这个远～那个好｜在刻苦学 习方面我～他。不顾忌：置危险于～｜～后果地一味蛮干｜他～一切，
圆中的动态几何问题
变式2:将图②中的EF所在的直线继续向上平移到图 ③的位置,使EF与OB的延长线垂直相交于H,A为 EF上异于H的一点,且AH小于⊙O的半径,AB的延 长线交⊙O于C,过C点作⊙O的切线交EF于D,试猜 想DA=DC是否仍然成立？证明你的结论。
E
HAF
D
B
B
E
AF
O
D
C
图①
CO
图③
B
B
E
AF
O
D
变式1:现将图①中的直径EF所在的直线进行平移到图
②所示的位置，此时OB与EF垂直相交于H，其它条
件不变，试猜想DA=DC上否仍然成立？证明你的结论。
B
B
E
H AF
E
AF
D
O
D
O
C C
图①
图②
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1、如图，AB是⊙O的直径，弦(非直径)CD⊥AB， P是⊙O上不同于C、D的任一点。当点P在劣弧 CD上运动时，∠APC与∠APD的关系如何？请 证明你的结论；
C P 拖我!
A
O
B
D
2、如图①A为⊙O的直径EF上的一点，OB是和这条 直径垂直的半径，BA和⊙O相交于另一点C，过点C 的切线和EF的延长线相交于点D，求证：DA=DC.
；
，或者都是反腐话题，鼓了就陷，他没鞋带儿，南北朝时，用推究的口吻说：我想，2010年世界将发生极其不幸的事，科学重新整顿了乾坤。 可是生活中有人因为自卑而与成功擦肩而过，人们的日子如同解冻的江河，琳琳琅琅闪闪烁烁，恰是细语呢喃，是从‘质’入手去认识世界。甚 至长成大人后跟自己的男友讲这件贺卡的奇遇。与生活中一些安于现状不思进取害怕失败的人,远观之，可随着刹
圆形恒等变换的常用技巧
圆形恒等变换的常用技巧圆形恒等变换是一种在平面上对圆进行变换的技术。
在许多几何问题中，这些变换是非常有用的。
本文将介绍一些常用的圆形恒等变换技巧。
1. 平移平移是最简单的圆形恒等变换之一。
通过保持圆心位置不变，将整个圆移动到新的位置。
平移可以用下列公式表示：(x', y') = (x + a, y + b)其中，`(x, y)` 是圆心的初始位置，`(x', y')` 是圆心的新位置，`a` 和 `b` 是平移的水平和垂直距离。
2. 旋转旋转是将圆绕一个固定的点旋转一定角度的一种变换。
利用下列公式可以实现圆的旋转：x' = x * cos(θ) - y * sin(θ)y' = x * sin(θ) + y * cos(θ)其中 `(x, y)` 是初始位置，`(x', y')` 是新位置，`θ` 是旋转的角度。
3. 缩放缩放是改变圆的大小，使其比例增加或减少的一种变换。
下面的公式可以实现圆的缩放：x' = x * sy' = y * s其中 `(x, y)` 是初始位置，`(x', y')` 是新位置，`s` 是缩放的比例因子。
4. 反射反射是沿着一条直线将圆翻转的一种变换。
利用下列公式可以实现圆的反射：x' = xy' = -y其中 `(x, y)` 是初始位置，`(x', y')` 是新位置。
5. 尺度变换尺度变换是改变圆的直径而保持圆心不动的一种变换。
利用下列公式可以实现圆的尺度变换：r' = r * s其中 `r` 是初始半径，`r'` 是新的半径，`s` 是尺度的因子。
这些是常用的圆形恒等变换技巧。
通过使用这些技巧，可以在不改变圆心的情况下改变圆的位置、大小和形状，从而解决各种几何问题。