高中数学课时分层作业14综合法和分析法新人教A版选修22
高中数学人教A版选修(1-2) 2.2 教学设计 《综合法和分析法》(人教A版)
《综合法和分析法》◆教材分析证明对高中生来说并不陌生，在上一节学习的合情推理中，所得的结论的正确就是要证明的，并且在之前的数学学习中，积累了相对较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成完整的认识。
◆教学目标【知识与能力目标】1.了解直接证明的了两种基本方法：综合法和分析法；2.了解综合法和分析法的思想过程和特点。
【过程与方法目标】1.通过对实例的分析、归纳和总结，增强学生的理性思维能力；2.通过实际演戏，使学生体会证明的必要性，并增强他们的分析问题、解决问题的能力。
【情感与态度目标】通过本节课的学习，了解直接证明的两种基本方法，感受逻辑证明在数学及日常生活中的作用，养成言之有理、论之有据的好习惯，提高学生的思维能力。
【教学重点】 综合法和分析法的思维过程及特点。
【教学难点】综合法和分析法的应用。
多媒体课件。
复习导入回顾基本不等式：a+b2≥√ab （a ＞0，b ＞0）的证明过程：法一：因为（√a −√b)2≥0所以a+b-2√ab ≥0所以a+b ≥2√ab所以：a+b2≥√ab法二：验证a+b2≥√ab只需证：a+b ≥2√ab只需证：a+b-2√ab ≥0只需证：（√a −√b)2≥0因为：（√a −√b)2≥0成立所以a+b2≥√ab 成立新课讲授1.综合法：（1）定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。
综合法又叫因果导发或顺推证法。
特点：“执因索果”（2）特点：◆教学重难点◆ ◆课前准备◆◆教学过程从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，是由因导果，实际上是寻找“已知”的必要条件。
用综合法证明数学问题，证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹，并且综合法的推理过程属于演绎推理，它的每一步推理得出的结论都是正确的，不同于合情推理．使用综合法证明问题，有时从条件可得出几个结论，哪个结论才可作为下一步的条件是分析的要点，所以如何找到“切入点”和有效的推理途径是有效利用综合法证明数学问题的关键。
2.2.1综合法和分析法-人教A版高中数学选修2-2课件
练一练：
练习、求证： 2 7 3 6
直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证
明方法称为直接证明，其一般情势为：
本题条件
已知定义 已知公理
… 本题结论
已知定理
二、综合法定义：
利用已知条件和某些数学定义、公理、 定理等,经过一系列的推理论证,最后推导 出所要证明的结论成立,这种证明方法叫 做综合法(顺推证法)
用P表示已知条件、已有的定义、公理、 定理等,Q表示所要证明的结论.
2 14 2 18 9 2 14 9 2 18 ( 2 7)2 ( 3 6)2 2 7 3 6
请结合上述例子和自己感受，说说综合法 和分析法的各自特点和它们的适用情况。
（1）综合法：已知条件 结论
由因导果，当条件明确，思路清楚时适用；
（2）分析法： 结论 已知条件
执果索因，当条件多，入手难，思路乱时适用。 （3）综合法是分析法的逆过程。
Pn-1 Qm-1
Pn … Q1
Qm
Q2 Q Q1
练一练：
已知 1 tan a 1,求证：3sin 2a 4cos2a 2 tan a
五、小结
1.在数学证明中，综合法和分析法是 两种最常用的数学方法，若从已知入手 能找到证明的途径，则用综合法，否则 用分析法.
2.综合法的每步推理都是寻找必要条 件，分析法的每步推理都是寻找充分条 件，在解题表述中要注意语言的规范性 和逻辑性.
高中数学2.2.1综合法与分析法课时作业(含解析)新人教A版选修2_2
课时作业18 综合法与分析法知识点一综合法和分析法的概念1.下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法；⑤分析法是逆推法．其中正确的语句有( )A．2个 B．3个 C．4个 D．5个答案 C解析由综合法与分析法的定义可知①②③⑤正确．2．要证明a＋a＋7＜a＋3＋a＋4(a≥0)可选择的方法有多种，其中最合理的是( )A．综合法 B．类比法C．分析法 D．归纳法答案 C解析用综合法直接证明很难入手，由分析法的特点知用分析法最合理．3．命题“函数f(x)＝x－x ln x在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x －x ln x取导得f′(x)＝－ln x，当x∈(0,1)时，f′(x)＝－ln x＞0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法．答案综合法解析证明过程利用已知条件，通过导数与函数的单调性之间的关系，推导出“f(x)在区间(0,1)上是增函数”的结论，故应用的证明方法是综合法.知识点二综合法和分析法的应用4.已知a＞0，b＞0，求证：ab＋ba≥a＋b.(要求用两种方法证明)证明综合法：因为a＞0，b＞0，所以ab＋ba－a－b＝⎝⎛⎭⎪⎫ab－b＋⎝⎛⎭⎪⎫ba－a＝a－bb＋b－aa＝(a－b)·⎝⎛⎭⎪⎫1b－1a＝a－b2a＋bab≥0，所以ab＋ba≥a＋b.分析法：要证ab＋ba≥a＋b，只需证a a＋b b≥a b＋b a，即证(a－b)(a－b)≥0，因为a＞0，b＞0，所以a－b与a－b符号相同，不等式(a－b)(a－b)≥0成立，所以原不等式成立．5．求证：1log 519＋2log 319＋3log 219＜2. 证明 因为1log b a＝log a b ， 所以左边＝log 195＋2log 193＋3log 192＝log 195＋log 1932＋log 1923＝log 19(5×32×23)＝log 19360.因为log 19360＜log 19361＝2，所以1log 519＋2log 319＋3log 219＜2. 6．已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9. 证明 要证明⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9， 只需证明⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11－a ≥9， 只需证明(a ＋1)(2－a )≥9a (1－a )，即证(2a －1)2≥0，∵(2a －1)2≥0成立， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9.一、选择题1．用分析法证明不等式：欲证①A ＞B ，只需证②C ＜D ，这里①是②的( )A ．既不充分也不必要条件B ．充要条件C ．充分条件D ．必要条件答案 D解析 因为②⇒①，但①不一定推出②，故选D.2．A 、B 为△ABC 的内角，“A ＞B ”是“sin A ＞sin B ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 由正弦定理a sin A ＝bsin B＝2R ，又A 、B 为三角形的内角，∴sin A ＞0，sin B ＞0，∴sin A ＞sin B ⇔2R sin A ＞2R sin B ⇔a ＞b ⇔A ＞B .3．设a ，b ∈R ，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( )A ．1≤ab ≤a 2＋b 22 B.a 2＋b 22＜ab ＜1 C.a 2＋b 22＜ab ＜1 D ．ab ＜1＜a 2＋b 22答案 D解析 取a ＝12，b ＝32，则a ＋b ＝2，这时a 2＋b 22＝14＋942＝54＞1. ab ＝12×32＝34＜1.∴ab ＜1＜a 2＋b 22.4．设sin α是sin θ，cos θ的等差中项，sin β是sin θ，cos θ的等比中项，则cos4β－4cos4α的值为( )A ．－1 B.12 C. 3 D ．3 答案 D解析 由已知条件，得sin α＝sin θ＋cos θ2，sin 2β＝sin θcos θ. 消去θ，得4sin 2α＝1＋2sin 2β，由二倍角公式，得cos2β＝2cos2α.又cos4β－4cos4α＝cos(2×2β)－4cos(2×2α)＝2cos 22β－1－4(2cos 22α－1)＝2cos 22β－8cos 22α＋3＝2(2cos2α)2－8cos 22α＋3＝3，故选D.5．已知a 、b 、c 、d 为正实数，且a b <c d ，则( )A.a b <a ＋c b ＋d <c dB.a ＋c b ＋d <a b <c dC.a b <c d <a ＋c b ＋dD ．以上均可能 答案 A 解析 先取特值检验，∵a b <c d ，可取a ＝1，b ＝3，c ＝1，d ＝2，则a ＋c b ＋d ＝25，满足a b <a ＋c b ＋d <c d. ∴B 、C 不正确． 要证a b <a ＋c b ＋d，∵a 、b 、c 、d 为正实数， ∴只需证a (b ＋d )<b (a ＋c )，即证ad <bc . 只需证a b <c d .而a b <c d 成立，∴a b <a ＋c b ＋d .同理可证a ＋c b ＋d <c d. 故A 正确，D 不正确．二、填空题6．凸函数的性质定理：如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，有f x 1＋f x 2＋…＋f x n n ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n .已知函数f (x )＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为________．答案 332解析 ∵f (x )＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，且A ，B ，C ∈(0，π)，∴f A ＋f B ＋f C3≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋B ＋C3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332，∴sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为332.7．如果a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则正数a ，b 应满足的条件是________． 答案 a ≠b解析 ∵a a ＋b b －(a b ＋b a )＝a (a －b )＋b (b －a )＝(a －b )(a －b )＝(a －b )2(a ＋b )．∴只要a ≠b ，就有a a ＋b b ＞a b ＋b a .8．已知函数y ＝x ＋2ax 在[3，＋∞]上是增函数，则a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，92解析 若y ＝x ＋2ax 在[3，＋∞)上是增函数，则y ′＝1－2ax 2在[3，＋∞)上大于等于0恒成立，只需x ∈[3，＋∞)时2ax 2≤1恒成立，即2a ≤x 2，只需2a ≤(x 2)min ＝9，所以a ≤92.三、解答题9．证明函数f (x )＝log 2(x 2＋1＋x )是奇函数．证明 ∵x 2＋1＞|x |，∴x 2＋1＋x ＞0恒成立，∴f (x )＝log 2(x 2＋1＋x )的定义域为R ，∴要证函数y ＝log 2(x 2＋1＋x )是奇函数，只需证f (－x )＝－f (x )，只需证log 2(x 2＋1－x )＋log 2(x 2＋1＋x )＝0，只需证log 2[(x 2＋1－x )(x 2＋1＋x )]＝0，∵(x 2＋1－x )(x 2＋1＋x )＝x 2＋1－x 2＝1，而log 21＝0，∴上式成立，故函数f (x )＝log 2(x 2＋1＋x )是奇函数．10．设函数f (x )＝x ＋ax 2＋b ln x ，曲线y ＝f (x )过点P (1,0)，且在P 点处的切线斜率为2.(1)求a ，b 的值；(2)证明：f (x )≤2x －2.解 (1)f ′(x )＝1＋2ax ＋b x .由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ f ＝0，f ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋a ＝0，1＋2a ＋b ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝3.(2)证明：因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，由(1)知f (x )＝x －x 2＋3ln x .设g (x )＝f (x )－(2x －2)＝2－x －x 2＋3ln x ，则g ′(x )＝－1－2x ＋3x＝－x －x ＋x ，当0＜x ＜1时，g ′(x )＞0；当x ＞1时，g ′(x )＜0.所以g (x )在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减．而g (1)＝0，故当x ＞0时，g (x )≤0，即f (x )≤2x －2.。
高中数学 第二章 推理与证明 2.2.1 综合法和分析法学业分层测评(含解析)新人教A版选修2-2(
2016-2017学年高中数学第二章推理与证明2.2.1 综合法和分析法学业分层测评（含解析）新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第二章推理与证明2.2.1 综合法和分析法学业分层测评（含解析）新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2.2。
1 综合法和分析法学业分层测评（建议用时:45分钟）［学业达标]一、选择题1．在证明命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos 2θ”的过程：“cos4θ－sin4θ＝（cos2θ＋sin2θ)（cos2θ－sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ”中应用了( ) A．分析法B．综合法C．分析法和综合法综合使用D．间接证法【解析】此证明符合综合法的证明思路．故选B.【答案】B2．要证a2＋b2－1－a2b2≤0,只需证（)A．2ab－1－a2b2≤0B．a2＋b2－1－a2＋b22≤0C。
错误!－1－a2b2≤0D．（a2－1)(b2－1)≥0【解析】要证a2＋b2－1－a2b2≤0,只需证a2b2－a2－b2＋1≥0，只需证（a2－1）（b2－1）≥0,故选D。
【答案】D3．在集合{a，b，c,d}上定义两种运算⊕和⊗如下：那么,d⊗（a⊕c)等于（)A．a B．bC．c D．d【解析】由⊕运算可知,a⊕c＝c,∴d⊗(a⊕c）＝d⊗c.由⊗运算可知，d⊗c＝a.故选A。
高中数学 第二章 推理与证明 2.2.1 综合法和分析法课时作业 新人教版选修2-2-新人教版高二选
2.2.1 综合法和分析法明目标、知重点1．了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法．2．理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题．1．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式．2．一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．3．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．[情境导学]证明对我们来说并不陌生，我们在上一节学习的合情推理，所得的结论的正确性就是要证明的，并且我们在以前的学习中，积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节我们将通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成较完整的认识．探究点一综合法思考1 请同学们证明下面的问题，总结证明方法有什么特点？已知a，b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.证明因为b2＋c2≥2bc，a>0，所以a(b2＋c2)≥2abc.又因为c2＋a2≥2ac，b>0，所以b(c2＋a2)≥2abc.因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.总结：此证明过程运用了综合法．综合法的定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．思考2 综合法又叫由因导果法，其推理过程是合情推理还是演绎推理？答因为综合法的每一步推理都是严密的逻辑推理，因此所得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”，所以综合法是演绎推理．例1 在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．证明由A，B，C成等差数列，有2B＝A＋C，①由A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，所以A ＋B ＋C ＝π.② 由①②，得B ＝π3，③由a ，b ，c 成等比数列，有b 2＝ac ，④ 由余弦定理及③，可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ， 再由④，得a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0， 从而a ＝c ，所以A ＝C .⑤ 由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3，所以△ABC 为等边三角形．反思与感悟 综合法的证明步骤如下：(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等； (2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程． 跟踪训练1 在△ABC 中，AC AB ＝cos Bcos C，证明：B ＝C .证明 在△ABC 中，由正弦定理及已知得sin B sin C ＝cos Bcos C .于是sin B cos C －cos B sin C ＝0， 即sin(B －C )＝0，因为－π<B －C <π， 从而B －C ＝0，所以B ＝C . 探究点二 分析法思考1 回顾一下：基本不等式a ＋b2≥ab (a >0，b >0)是怎样证明的？答 要证a ＋b2≥ab ，只需证a ＋b ≥2ab ， 只需证a ＋b －2ab ≥0， 只需证(a －b )2≥0，因为(a －b )2≥0显然成立，所以原不等式成立． 思考2 证明过程有何特点？答 从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的条件，最终把要证明的结论变成一个显然成立的条件．小结 分析法定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理)为止，这种证明方法叫做分析法．思考3 综合法和分析法的区别是什么？答 综合法是从已知条件出发，逐步推向未知，每步寻找的是必要条件；分析法是从待求结论出发，逐步靠拢已知，每步寻找的是充分条件． 例2 求证：3＋7<2 5.证明 因为3＋7和25都是正数，所以要证3＋7<25，只需证(3＋7)2<(25)2， 展开得10＋221<20，只需证21<5，只需证21<25， 因为21<25成立，所以3＋7<25成立．反思与感悟 当已知条件和结论联系不够明显、直接，证明中需要用哪些知识不太明确具体时，往往采用从结论出发，结合已知条件，用结论反推的方法． 跟踪训练2 求证：a －a －1<a －2－a －3(a ≥3)． 证明 方法一 要证a －a －1<a －2－a －3， 只需证a ＋a －3<a －2＋a －1， 只需证(a ＋a －3)2<(a －2＋a －1)2， 只需证2a －3＋2a 2－3a <2a －3＋2a 2－3a ＋2， 只需证a 2－3a <a 2－3a ＋2， 只需证0<2，而0<2显然成立，所以a －a －1<a －2－a －3(a ≥3)． 方法二 ∵a ＋a －1>a －2＋a －3， ∴1a ＋a －1<1a －2＋a －3，∴a －a －1<a －2－a －3. 探究点三 综合法和分析法的综合应用思考 在实际证题中，怎样选用综合法或分析法？答 对思路清楚，方向明确的题目，可直接使用综合法；对于复杂的题目，常把分析法和综合法结合起来，先用分析法去转化结论，得到中间结论Q ；再根据结构的特点去转化条件，得到中间结论P .若P ⇒Q ，则结论得证． 例3 已知α，β≠k π＋π2(k ∈Z )，且sin θ＋cos θ＝2sin α， ① sin θcos θ＝sin 2β. ②求证：1－tan 2α1＋tan 2α＝1－tan 2β2(1＋tan 2β). 证明 因为(sin θ＋cos θ)2－2sin θcos θ＝1， 所以将①②代入，可得 4sin 2α－2sin 2β＝1. ③另一方面，要证1－tan 2α1＋tan 2α＝1－tan 2β2(1＋tan 2β)， 即证1－sin 2αcos 2α1＋sin 2αcos 2α＝1－sin 2βcos 2β2(1＋sin 2βcos 2β)， 即证cos 2α－sin 2α＝12(cos 2β－sin 2β)，即证1－2sin 2α＝12(1－2sin 2β)，即证4sin 2α－2sin 2β＝1.由于上式与③相同，于是问题得证．反思与感悟 用P 表示已知条件、定义、定理、公理等，用Q 表示要证明的结论，则综合法和分析法的综合应用可用框图表示为：跟踪训练3 若tan(α＋β)＝2tan α，求证：3sin β＝sin(2α＋β)． 证明 由tan(α＋β)＝2tan α 得sin (α＋β)cos (α＋β)＝2sin αcos α，即sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α.① 要证3sin β＝sin(2α＋β)，即证3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]， 即证3[sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α] ＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α， 化简得sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α. 这就是①式．所以，命题成立．1．已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么( ) A ．x <x ＋y2<y <2xy B ．2xy <x <x ＋y2<y C ．x <x ＋y 2<2xy <y D ．x <2xy <x ＋y2<y答案 D解析 ∵y >x >0，且x ＋y ＝1，∴设y ＝34，x ＝14，则x ＋y 2＝12，2xy ＝38，∴x <2xy <x ＋y2<y ，故选D. 2．欲证2－3<6－7成立，只需证( ) A ．(2－3)2<(6－7)2B ．(2－6)2<(3－7)2C ．(2＋7)2<(3＋6)2D ．(2－3－6)2<(－7)2答案 C解析 根据不等式性质，a >b >0时，才有a 2>b 2， ∴只需证：2＋7<6＋3， 只需证：(2＋7)2<(3＋6)2. 3．求证：1log 519＋2log 319＋3log 219<2.解 因为1log b a＝log a b ，所以左边＝log 195＋2log 193＋3log 192＝log 195＋log 1932＋log 1923＝log 19(5×32×23)＝log 19360. 因为log 19360<log 19361＝2， 所以1log 519＋2log 319＋3log 219<2.4．已知1－tan α2＋tan α＝1，求证：cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)．证明 要证cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)， 只需证cos α－sin αcos α＋sin α＝3，只需证1－tan α1＋tan α＝3，只需证1－tan α＝3(1＋tan α)，只需证tan α＝－12，∵1－tan α2＋tan α＝1，∴1－tan α＝2＋tan α，即2tan α＝－1.∴tan α＝－12显然成立，∴结论得证． [呈重点、现规律]1．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因． 2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语． 3．在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用.一、基础过关1．已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是( ) A ．若a >b ，则ac 2>bc 2B ．若a c >b c，则a >b C ．若a 3>b 3且ab <0，则1a >1bD ．若a 2>b 2且ab >0，则1a <1b答案 C解析 对于A ：若c ＝0，则A 不成立，故A 错；对于B ：若c <0，则B 不成立，B 错；对于C ：若a 3>b 3且ab <0，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0b <0，所以1a >1b ，故C 对；对于D ：若⎩⎪⎨⎪⎧a <0b <0，则D 不成立．2．A 、B 为△ABC 的内角，A >B 是sin A >sin B 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 由正弦定理a sin A ＝bsin B＝2R ，又A 、B 为三角形的内角，∴sin A >0，sin B >0，∴sinA >sinB ⇔2R sin A >2R sin B ⇔a >b ⇔A >B .3．已知直线l ，m ，平面α，β，且l ⊥α，m ⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l ⊥m ；②若l ⊥m ，则α∥β；③若α⊥β，则l ⊥m ；④若l ∥m ，则α⊥β. 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 若l ⊥α，m ⊂β，α∥β，则l ⊥β，所以l ⊥m ，①正确； 若l ⊥α，m ⊂β，l ⊥m ，α与β可能相交，②不正确； 若l ⊥α，m ⊂β，α⊥β，l 与m 可能平行或异面，③不正确； 若l ⊥α，m ⊂β，l ∥m ，则m ⊥α，所以α⊥β，④正确． 4．设a ，b ∈R ＋，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( ) A ．1≤ab ≤a 2＋b 22B ．ab <1<a 2＋b 22C ．ab <a 2＋b 22<1 D.a 2＋b 22<ab <1答案 B解析 因为a ≠b ，故a 2＋b 22>ab .又因为a ＋b ＝2>2ab ， 故ab <1，a 2＋b 22＝(a ＋b )2－2ab2＝2－ab >1，即a 2＋b 22>1>ab .5．已知a ，b 为非零实数，则使不等式：a b ＋ba≤－2成立的一个充分不必要条件是( ) A ．ab >0 B ．ab <0 C ．a >0，b <0 D ．a >0，b >0 答案 C解析 ∵a b 与b a 同号，由a b ＋b a ≤－2，知a b <0，b a<0， 即ab <0.又若ab <0，则a b <0，b a<0. ∴a b ＋b a＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＝－2， 综上，ab <0是a b ＋b a ≤－2成立的充要条件，∴a >0，b <0是a b ＋b a≤－2成立的一个充分而不必要条件．6．要证明3＋7<25，可选择的方法有很多，最合理的应为________． 答案 分析法7．设a ≥b >0，求证：3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2.证明 方法一 3a 3＋2b 3－(3a 2b ＋2ab 2) ＝3a 2(a －b )＋2b 2(b －a )＝(3a 2－2b 2)(a －b )． 因为a ≥b >0，所以a －b ≥0,3a 2－2b 2>0， 从而(3a 2－2b 2)(a －b )≥0， 所以3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2.方法二 要证3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2， 只需证3a 2(a －b )－2b 2(a －b )≥0， 只需证(3a 2－2b 2)(a －b )≥0，∵a ≥b >0，∴a －b ≥0,3a 2－2b 2>2a 2－2b 2≥0， ∴上式成立． 二、能力提升8．已知a 、b 、c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝0，abc >0，则1a ＋1b ＋1c的值()A ．一定是正数B ．一定是负数C ．可能是0D ．正、负不能确定 答案 B解析 ∵(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )＝0， 又abc >0，∴a ，b ，c 均不为0，∴a 2＋b 2＋c 2>0. ∴ab ＋bc ＋ca <0，∴1a ＋1b ＋1c ＝ab ＋bc ＋caabc<0.9．设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a ，b ，c 的大小关系为________． 答案 a >c >b解析 ∵a 2－c 2＝2－(8－43)＝43－6＝48－36>0，∴a >c .∵c b＝6－27－3＝7＋36＋2>1，∴c >b . 10．已知p ＝a ＋1a －2(a >2)，q ＝2－a 2＋4a －2(a >2)，则p 、q 的大小关系为________． 答案 p >q 解析 p ＝a －2＋1a －2＋2≥2·(a －2)·1a －2＋2＝4，－a 2＋4a －2＝2－(a －2)2<2，∴q <22＝4≤p .11.如图所示，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件________时，有A 1C ⊥B 1D 1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)．答案 对角线互相垂直解析 本题答案不唯一，要证A 1C ⊥B 1D 1，只需证B 1D 1垂直于A 1C 所在的平面A 1CC 1，因为该四棱柱为直四棱柱，所以B 1D 1⊥CC 1，故只需证B 1D 1⊥A 1C 1即可．12．若－1<x <1，－1<y <1，求证：(x －y 1－xy)2<1.证明 要证明(x －y 1－xy)2<1，只需证明(x －y )2<(1－xy )2，即x 2＋y 2－2xy <1－2xy ＋x 2y 2，只需证明x 2＋y 2－1－x 2y 2<0，只需证明(y 2－1)(1－x 2)<0，即(1－y 2)(1－x 2)>0(*)． 因为－1<x <1，－1<y <1，所以x 2<1，y 2<1.从而(*)式显然成立，所以(x －y 1－xy)2<1.13．求证：抛物线y 2＝2px (p >0)，以过焦点的弦为直径的圆必与x ＝－p2相切．证明 (如图)作AA ′、BB ′垂直于准线，取AB 的中点M ，作MM ′垂直于准线．只需证|MM ′|＝12|AB |.由抛物线的定义：|AA ′|＝|AF |，|BB ′|＝|BF |， 所以|AB |＝|AA ′|＋|BB ′|.因此只需证|MM ′|＝12(|AA ′|＋|BB ′|)，根据梯形的中位线定理可知上式是成立的． 所以以过焦点的弦为直径的圆必与x ＝－p2相切．三、探究与拓展14．已知a 、b 、c 是不全相等的正数，且0<x <1.求证：log xa ＋b2＋log xb ＋c2＋log xa ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c .证明 要证log x a ＋b2＋log xb ＋c2＋log xa ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c ，只需证log x (a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2)<log x (abc )．由已知0<x <1，得只需证a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>abc .由公式a ＋b2≥ab >0，b ＋c2≥bc >0，a ＋c2≥ac >0.又∵a ，b ，c 是不全相等的正数， ∴a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>a 2b 2c 2＝abc . 即a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>abc 成立． ∴log x a ＋b2＋log xb ＋c 2＋log xa ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c 成立．。
高中数学 2.2.1 综合法和分析法课件 新人教A 选修22
C．充要条件
D．即不充分也不必要条件
解析： ②⇒①，∴②是①的充分条件．
答案： A
2．下面叙述正确的是( ) A．综合法、分析法是直接证明的方法 B．综合法是直接证法，分析法是间接证法 C．综合法、分析法所用语气都是肯定的 D．综合法、分析法所用语气都是假定的 解析： 直接证明包括综合法和分析法． 答案： A
答案： a2＋b2－2ab≥0 (a－b)2≥0 (a－b)2≥0
4．已知a，b，c，d∈R，求证：(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋ d2)．
证明： ∵左边＝a2c2＋2abcd＋b2d2 ≤a2c2＋(a2d2＋b2c2)＋bbd2 ＝(a2＋b2)(c2＋d2)＝右边， ∴(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．
4分
由公式a＋2 b≥ ab>0，b＋2 c≥ bc>0，
a＋2 c≥ ac>0.
8分
又∵a，b，c 是不全相等的正数， ∴a＋2 b·b＋2 c·a＋2 c> a2b2c2＝abc.10 分 即a＋2 b·b＋2 c·a＋2 c>abc 成立． ∴logxa＋2 b＋logxb＋2 c＋logxa＋2 c<logxa＋logxb＋logxc 成立.
已知条件 ―→ 中间结果 ←―结论
2．“分析综合法”证明的步骤： 在解决问题时，我们经常把综合法和分析法综合起来使 用．根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论P；根据 结论的结构特点去转化条件，得到中间结论Q.若由Q可以推出 P成立，就可证明结论成立，其证明模式可用如下框图表示：
(其中Q1代表结论，P1代表要证的条件)．
2．2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法
自主学习 新知突破
高中数学 第2章 2.2.1 综合法和分析法课件 新人教A版选修2-2
【解题探究】运用综合法，结合an与Sn的关系及数列的知 识来论证．
证明：(1)由(3－m)Sn＋2man＝m＋3，① 得(3－m)a1＋2ma1＝m＋3，a1＝1， (3－m)Sn＋1＋2man＋1＝m＋3.② ②－①，得(3＋m)an＋1＝2man，(m≠－3)． ∴aan＋n 1＝m2＋m3.∴{an}是等比数列．
综合法与分析法的综合应用 【例4】 已知α，β≠kπ＋π2(k∈Z)且 sin θ＋cos θ＝2sin α，① sin θ·cos θ＝sin2β，② 求证：11－ ＋ttaann22αα＝211－＋ttaann22ββ. 【解题探究】综合运用综合法和分析法，与三角函数知识 相结合来进行证明．
证明：因为(sin θ＋cos θ)2－2sin θcos θ＝1， 所以将①②代入，可得 4sin2α－2sin2β＝1.③ 另一方面，要证11－ ＋ttaann22αα＝211－＋ttaann22ββ， 即证11－＋ccssooiinnss2222αααα＝211－＋cscsoioinsns222β2βββ，
A．[2,3] B．[1,3] C．(1,2) D．(1,3) 【答案】C
【解析】将x＝－1，y＝3和x＝1，y＝1代入y＝ax2＋bx＋c
中，得
3＝a－b＋c， 1＝a＋b＋c，
∴b＝－1.∴a＋c＝2.又0<c<1，∴0<2
－a<1.∴1<a<2.故选C．
3．已知a，b，c为三条不同的直线且a⊂平面M，b⊂平面 N，M∩N＝c.
复习课件
高中数学 第2章 2.2.1 综合法和分析法课件 新人教A版选修2-2
高中数学 2.2.1综合法和分析法课时作业 新人教A版选修
2.2.1 综合法和分析法课时目标 1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题．综合法和分析法综合法分析法定义利用________和某些数学______、______、______等，经过一系列的________，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法从要证明的______出发，逐步寻求使它成立的__________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、______、______、______等)为止，这种证明方法叫做分析法．框图表示P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q(P表示________、已有的______、______、______等，Q表示____________)Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件(Q表示所要证明的结论)特点顺推证法或由因导果法逆推证法或执果索因法一、选择题1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的( )A．充分条件 B．必要条件C．充要条件 D．等价条件2．已知a，b，c为三角形的三边且S＝a2＋b2＋c2，P＝ab＋bc＋ca，则( )A．S≥2P B．P<S<2PC．S>P D．P≤S<2P3．已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数，则方程f (x )＝0的根的情况为( ) A ．至多有一个实根 B ．至少有一个实根 C ．有且只有一个实根 D ．无实根4．若a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 55，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c5．若f (n )＝n 2＋1－n ，g (n )＝n －n 2－1，φ(n )＝12n ，n ∈N *，则f (n )、g (n )、φ(n )的大小关系为( )A ．f (n )<g (n )<φ(n )B ．f (n )<φ(n )<g (n )C ．g (n )<φ(n )<f (n )D ．g (n )<f (n )<φ(n )6．在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应满足什么条件( )A ．a 2<b 2＋c 2B ．a 2＝b 2＋c 2C ．a 2>b 2＋c 2D ．a 2≤b 2＋c 2题 号 1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则正数a ，b 应满足的条件是________．8．设a 、b 、u 都是正实数且a 、b 满足1a ＋9b＝1，则使得a ＋b ≥u 恒成立的u 的取值范围是____________．9．设a ＝3＋22，b ＝2＋7，则a 、b 的大小关系为_____________________ ___________________________________________________． 三、解答题10．设a ，b >0，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.11．已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，对应的三边为a，b，c，求证：1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c.能力提升12.如图所示，在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)13．已知函数f(x)＝1＋x2，若a≠b，求证：|f(a)－f(b)|<|a－b|.分析法的思路是执果索因，综合法的思路是由因导果．在解决有关问题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法表述解答或证明过程，有时要分析和综合结合起来交替使用，从两边向中间靠拢．答案知识梳理综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法.框图表示P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→…→Q n ⇒Q (P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示所要证明的结论)Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3→…→得到一个明显成立的条件(Q 表示所要证明的结论) 特点顺推证法或由因导果法逆推证法或执果索因法作业设计 1．A2．D [∵S －P ＝a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca ＝12[(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2]≥0， ∴S ≥P .2P ＝2ab ＋2bc ＋2ca＝(ab ＋bc )＋(ab ＋ca )＋(bc ＋ca )＝b (a ＋c )＋a (b ＋c )＋c (b ＋a )>b 2＋a 2＋c 2， 即2P >S .]3．A [由于函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减， 因此图象与x 轴的交点最多就是一个．] 4．C [利用函数单调性．设f (x )＝ln x x ，则f ′(x )＝1－ln xx2， ∴0<x <e 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；x >e 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．又a ＝ln 44，∴b >a >c .]5．B [f (n )、g (n )可用分子有理化进行变形，然后与φ(n )进行比较．f (n )＝1n 2＋1＋n <12n ，g (n )＝1n ＋n 2－1>12n ，∴f (n )<φ(n )<g (n )．]6．C [由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc<0，得b 2＋c 2<a 2.] 7．a ≠b解析 ∵a a ＋b b －(a b ＋b a )＝a (a －b )＋b (b －a )＝(a －b )(a －b ) ＝(a －b )2(a ＋b )．∴只要a ≠b ，就有a a ＋b b >a b ＋b a . 8．(0,16]解析 u ≤(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b 恒成立，而(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b ＝10＋b a ＋9a b≥10＋6＝16，当且仅当b a＝9a b且1a ＋9b＝1时，上式取“＝”．此时a ＝4，b ＝12. ∴0<u ≤16. 9．a <b解析 a ＝3＋22，b ＝2＋7两式的两边分别平方，可得a 2＝11＋46，b 2＝11＋47，明显6<7，故a <b . 10．证明 方法一 分析法 要证a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2成立．只需证(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )成立， 又因a ＋b >0，只需证a 2－ab ＋b 2>ab 成立， 只需证a 2－2ab ＋b 2>0成立， 即需证(a －b )2>0成立．而依题设a ≠b ，则(a －b )2>0显然成立． 由此命题得证． 方法二 综合法a ≠b ⇒a －b ≠0⇒(a －b )2>0⇒a 2－2ab ＋b 2>0⇒a 2－ab ＋b 2>ab .注意到a ，b ∈R ＋，a ＋b >0，由上式即得 (a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )．∴a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.11．证明 要证原式，只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋cb ＋c＝3， 即证ca ＋b ＋ab ＋c＝1，即只需证bc ＋c 2＋a 2＋abab ＋b 2＋ac ＋bc＝1，而由题意知A ＋C ＝2B ，∴B ＝π3，∴b 2＝a 2＋c 2－ac ，∴bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋b 2＋ac ＋bc ＝bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋a 2＋c 2－ac ＋ac ＋bc ＝bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋a 2＋c 2＋bc＝1， ∴原等式成立，即1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c. 12．AC ⊥BD解析 从结论出发，找一个使A 1C ⊥B 1D 1成立的充分条件．因而可以是：AC ⊥BD 或四 边形ABCD 为正方形．13．证明 原不等式即|1＋a 2－1＋b 2|<|a －b |， 要证此不等式成立，即证1＋a 2＋1＋b 2－21＋a 2·1＋b 2<a 2＋b 2－2ab .即1＋ab <1＋a 2·1＋b 2. 当1＋ab <0时不等式恒成立， 当1＋ab ≥0时，即要证1＋a 2b 2＋2ab <(1＋a 2)(1＋b 2)， 即2ab <a 2＋b 2，由a ≠b 知此式成立， 而上述各步都可逆， 因此命题得证．。
高中数学 2.2.1 综合法和分析法课时练 新人教A版选修22
高中数学 2.2.1 综合法和分析法课时练 新人教A 版选修22【金版新学案】2014-2015学年高中数学 2.2.1 综合法和分析法课时练 新人教A 版选修2-2一、选择题(每小题5分，共20分)1．欲证不等式3－5<6－8成立，只需证( ) A ．(3－5)2<(6－8)2B ．(3－6)2<(5－8)2C ．(3＋8)2<(6＋5)2D ．(3－5－6)2<(－8)2解析： 要证3－5<6－8成立，只需证3＋8<6＋5成立，只需证(3＋8)2<(6＋5)2成立． 答案： C2．使不等式1a <1b成立的条件是( )A ．a >bB ．a <bC ．a >b 且ab <0D ．a >b 且ab >0解析： 要使1a <1b ，须使1a －1b <0，即b －aab<0.若a >b ，则b －a <0，ab >0. 若a <b ，则b －a >0，ab <0. 答案： D3．已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( ) A ．a ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤3解析： ∵a ＋b ＝2≥2ab ，∴ab ≤1. ∵a 2＋b 2＝4－2ab ，∴a 2＋b 2≥2. 答案： C 4．已知p ＝a ＋1a －2(a ＞2)，q ＝2－x 2＋4x －2(x ＞0)，则( ) A ．p ＞qB ．p ＜qC ．p ≥qD ．p ≤q解析： p ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2a －2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －2＋2＝4.q ＝2－x 2＋4x －2＝2－(x －2)2＋2≤4.答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．命题“函数f (x )＝x －x ln x 在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f (x )＝x －x ln x 取导得f ′(x )＝－ln x ，当x ∈(0,1)时，f ′(x )＝－ln x >0，故函数f (x )在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法．解析： 该证明过程符合综合法的特点． 答案： 综合法6．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则实数a ，b 应满足的条件是__________ . 解析： a a ＋b b >a b ＋b a ⇔a a －a b >b a －b b ⇔a (a －b )>b (a －b )⇔(a －b )(a －b )>0 ⇔(a ＋b )(a －b )2>0，故只需a ≠b 且a ，b 都不小于零即可． 答案： a ≥0，b ≥0且a ≠b 三、解答题(每小题10分，共20分) 7．在△ABC 中，AC AB ＝cos Bcos C，证明：B ＝C .证明： 在△ABC 中，由正弦定理及已知得sin B sin C ＝cos Bcos C .于是sin B cos C －cos B sin C ＝0， 因sin(B －C )＝0，因为－π<B －C <π，从而B －C ＝0， 所以B ＝C .8．已知a >0，b >0，求证：a b ＋ba≥a ＋b . 证明： 方法一：(综合法)因为a >0，b >0，所以a b ＋b a－a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a －a ＝a －b b ＋b －a a＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1a ＝a －b 2a ＋bab≥0，所以a b ＋ba≥a ＋b .方法二：(分析法)要证a b ＋ba≥a ＋b ，只需证a a ＋b b ≥a b ＋b a ，即证(a －b )(a －b )≥0，因为a >0，b >0，所以a －b 与a －b 符合相同，不等式(a －b )(a －b )≥0成立，所以原不等式成立．尖子生题库☆☆☆(10分)已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证：b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －cc>3. 证明： 证法一：(分析法) 要证b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －cc>3. 只需证明b a ＋c a－1＋c b ＋a b－1＋a c ＋b c－1>3， 即证b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋b c>6，而事实上，由a ，b ，c 是全不相等的正实数， ∴b a ＋a b >2，c a ＋a c >2，c b ＋b c>2. ∴b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋b c>6. ∴b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －cc>3得证． 证法二：(综合法) ∵a ，b ，c 全不相等∴b a 与a b ，c a 与a c ，c b 与b c 全不相等． ∴b a ＋a b>2，c a ＋a c>2，c b ＋b c>2， 三式相加得b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋b c>6，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c a －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋a b －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a c ＋b c－1>3.即b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －cc>3.。
人教版数学高二A版选修2-2练习 综合法与分析法
第二章推理与证明2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法与分析法[A级基础巩固]一、选择题1．用分析法证明：要证①A>B，只需证②C<D，这里①是②的()A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：分析法证明的本质是证明结论的充分条件成立，即②是①的充分条件，所以①是②的必要条件．故答案为B.答案：B2．要证明3＋7<25，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是()A．综合法B．分析法C．类比法D．归纳法解析：要证明3＋7<25，只需证(3＋7)2<(25)2，即10＋221<20，只需证221<10，两边平方，得84<100，此不等式恒成立，故3＋7<25成立，由证明过程可知分析法最合理．答案：B3．在△ABC中，已知sin A cos A＝sin B cos B，则该三角形是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形解析：由sin A cos A ＝sin B cos B 得sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.所以该三角形是等腰或直角三角形．答案：D4．在集合{a ，b ，c ，d }上定义两种运算⊕和⊗如下：那么，d ⊗(a ⊕c )等于(A ．a B ．b C ．c D ．d解析：由⊕运算可知，a ⊕c ＝c ，所以d ⊗(a ⊕c )＝d ⊗c .由⊗运算可知，d ⊗c ＝a .故选A.答案：A5．下面的四个不等式：①a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ；②a (1－a )≤14； ③b a ＋a b≥2；④(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2. 其中恒成立的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：因为a 2＋b 2＋c 2－(ab ＋bc ＋ca )＝12[(a －b )2＋ (b －c )2＋(c －a )2]≥0；a (1－a )－14＝－a 2＋a －14＝ －⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122≤0；(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2≥a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2＝(ac ＋bd )2；而③中，当a ·b ＞0时，不等式成立．所以①②④正确．答案：C二、填空题6．命题“函数f (x )＝x －x ln x 在区间(0，1)上是增函数”的证明过程“对函数f (x )＝x －x ln x 求导，得f ′(x )＝－ln x ，当x ∈(0，1)时，f ′(x )＝－ln x >0，故函数f (x )在区间(0，1)上是增函数”应用了________的证明方法．答案：综合法7．将下面用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤补充完整： 要证a 2＋b 22≥ab ，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证__________________，即证____________，由于____________显然成立，因此原不等式成立．答案：a 2＋b 2－2ab ≥0 (a －b )2≥0 (a －b )2≥08．设a ＞0，b ＞0，c ＞0，若a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c的最小值为________．解析：根据条件可知，欲求1a ＋1b ＋1c的最小值． 只需求(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 的最小值， 因为(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c ＝ 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9(当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”)．答案：9三、解答题9．(1)用综合法证明：若a >0，b >0，求证：(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4； (2)用分析法证明：6＋7>22＋ 5.证明：(1)因为a >0，b >0，所以a ＋b ≥2ab ，1a ＋1b ≥21ab， 所以(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥2ab ·21ab ＝4. 当且仅当a ＝b ，1a ＝1b时，等号成立，所以(a ＋b )(1a ＋1b)≥4. (2)要证 6＋7>22＋5成立，只需证(6＋7)2>(22＋5)2，即证13＋242>13＋410，只需证42>210，即证42>40，显然成立．故原不等式成立．10.如图所示，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，过点A 作SB 的垂线，垂足为E ，过点E 作SC 的垂线，垂足为F .求证：AF ⊥SC .证明：要证AF ⊥SC ，而EF ⊥SC ，故只需证SC ⊥平面AEF ， 只需证AE ⊥SC ，而AE ⊥SB ，故只需证AE ⊥平面SBC ，只需证AE ⊥BC ，而AB ⊥BC ，故只需证BC ⊥平面SAB ，只需证BC ⊥SA .由SA ⊥平面ABC 可知，SA ⊥BC ，即上式成立，所以AF ⊥SC 成立．B 级 能力提升1．若a ＜b ＜c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内解析：因为a ＜b ＜c ，所以f (a )＝(a －b )(a －c )＞0，f (b )＝(b －c )(b －a )＜0，f (c )＝(c －a )(c －b )＞0，由零点存在性定理知，选项A 正确．答案：A2．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则实数a ，b 应满足的条件是________．解析：要证a a ＋b b >a b ＋b a ，只需证a a －a b >b a －b ·b ，即证a (a －b )>b (a －b )，即证(a －b )·(a －b )>0，即证(a ＋b )(a －b )2>0，要使该不等式成立，只需a ≠b 且a ，b 都不小于零即可．答案：a ≥0，b ≥0且a ≠b3．△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c. 证明：要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 只需证c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )，即证c 2＋a 2＝ac ＋b 2.因为△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，故B ＝60°，由余弦定理，得b 2＝c 2＋a 2－2ac cos 60°，即b2＝c2＋a2－ac，即c2＋a2＝ac＋b2，所以原式得证．。
2018年秋高中数学 课时分层作业14 综合法和分析法 新人教A版选修2-2
课时分层作业(十四) 综合法和分析法(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．证明命题“f(x)＝e x＋1e x在(0，＋∞)上是增函数”，一个同学给出的证法如下：∵f(x)＝e x＋1e x ，∴f′(x)＝e x－1e x.∵x>0，∴e x>1,0<1e x<1∴e x－1e x>0，即f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．他使用的证明方法是( )【导学号：31062147】A．综合法B．分析法C．反证法D．以上都不是A[该证明方法符合综合法的定义，应为综合法．故选A.]2．设P＝2，Q＝7－3，R＝6－2，那么P，Q，R的大小关系是( ) A．P＞Q＞R B．P＞R＞QC．Q＞P＞R D．Q＞R＞PB[先比较R，Q的大小，可对R，Q作差，即Q－R＝7－3－(6－2)＝(7＋2)－(3＋6)．又(7＋2)2－(3＋6)2＝214－218＜0，∴Q＜R，由排除法可知，选B.]3．要证3a－3b＜3a－b成立，a，b应满足的条件是( )A．ab＜0且a＞bB．ab＞0且a＞bC．ab＜0有a＜bD．ab＞0且a＞b或ab＜0且a＜bD[要证3a－3b＜3a－b，只需证(3a－3b)3＜(3a－b)3，即证a －b －33a 2b ＋33ab 2＜a －b ， 即证3ab 2＜3a 2b ，只需证ab 2＜a 2b ，即证ab (b －a )＜0. 只需ab ＞0且b －a ＜0或ab ＜0，且b －a ＞0. 故选D.]4．下面的四个不等式：①a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ；②a (1－a )≤14；③b a ＋a b≥2；④(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2. 其中恒成立的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个C [∵(a 2＋b 2＋c 2)－(ab ＋bc ＋ac )＝12[(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2]≥0，a (1－a )－14＝－a 2＋a －14＝－⎝⎛⎭⎪⎫a －122≤0，(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2≥a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2＝(ac ＋bd )2.∴应选C.]5．若两个正实数x 、y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是( )【导学号：31062148】A ．(－1,4)B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－4,1)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)B [∵x >0，y >0，1x ＋4y＝1，∴x ＋y 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝2＋y 4x ＋4x y≥2＋2y 4x ·4xy＝4， 等号在y ＝4x ，即x ＝2，y ＝8时成立， ∴x ＋y4的最小值为4，要使不等式m 2－3m >x ＋y4有解，应有m 2－3m >4，∴m <－1或m >4，故选B.] 二、填空题6．如图222所示，四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD ⊥A 1C (写上一个条件即可)．图222[解析] 要证BD ⊥A 1C ，只需证BD ⊥平面AA 1C . 因为AA 1⊥BD ，只要再添加条件AC ⊥BD ， 即可证明BD ⊥平面AA 1C ，从而有BD ⊥A 1C . [答案] AC ⊥BD (答案不唯一)7．已知sin α＋sin β＋sin r ＝0，cos α＋cos β＋cos r ＝0，则cos(α－β)的值为________.【导学号：31062149】[解析] 由sin α＋sin β＋sin r ＝0，cos α＋cos β＋cos r ＝0，得sin α＋sin β＝－sin r ，cos α＋cos β＝－cos r ，两式分别平方，相加得2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1，所以cos(α－β)＝－12. [答案] －128．设a >0，b >0，则下面两式的大小关系为lg(1＋ab )________12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]．[解析] ∵(1＋ab )2－(1＋a )(1＋b ) ＝1＋2ab ＋ab －1－a －b －ab ＝2ab －(a ＋b )＝－(a －b )2≤0.∴(1＋ab )2≤(1＋a )(1＋b )，∴lg(1＋ab )≤12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]．[答案] ≤ 三、解答题9. 设实数a ，b ，c 成等比数列，非零实数x ，y 分别为a 与b ，b 与c 的等差中项，求证：a x ＋c y＝2.[证明] 由已知条件得b 2＝ac ， 2x ＝a ＋b,2y ＝b ＋c . ①要证a x ＋c y＝2，只要证ay ＋cx ＝2xy ， 只要证2ay ＋2cx ＝4xy . ②由①②得2ay ＋2cx ＝a (b ＋c )＋c (a ＋b )＝ab ＋2ac ＋bc ， 4xy ＝(a ＋b )(b ＋c )＝ab ＋b 2＋ac ＋bc ＝ab ＋2ac ＋bc ， 所以2ay ＋2cx ＝4xy .命题得证． 10. 设a ＞0，b ＞0,2c ＞a ＋b ，求证： (1)c 2＞ab ；(2)c －c 2－ab ＜a ＜c ＋c 2－ab .[证明] (1)∵a ＞0，b ＞0,2c ＞a ＋b ≥2ab ， ∴c ＞ab ， 平方得c 2＞ab ；(2)要证c －c 2－ab ＜a ＜c ＋c 2－ab . 只要证－c 2－ab ＜a －c ＜c 2－ab . 即证|a －c |＜c 2－ab ， 即(a －c )2＜c 2－ab ，∵(a －c )2－c 2＋ab ＝a (a ＋b －2c )＜0成立， ∴原不等式成立．[能力提升练]1．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，a 、b ∈R ＋，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A 、B 、C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤AA [ a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b ，又函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(－∞，＋∞)上是单调减函数，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b . 即A ≤B ≤C .]2．若a 、b 、c ∈R ，且ab ＋bc ＋ca ＝1，则下列不等式成立的是( )A ．a 2＋b 2＋c 2≥2 B ．(a ＋b ＋c )2≥3 C.1a ＋1b ＋1c≥2 3D ．abc (a ＋b ＋c )≤13B [∵a 、b 、c ∈R ，∴a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，a 2＋c 2≥2ac ，∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ＝1，又(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ＝a 2＋b 2＋c 2＋2≥3.] 3．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________.【导学号：31062150】[解析] 若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，只需求y ＝xx 2＋3x ＋1的最大值，且令a不小于这个最大值即可．因为x >0，所以y ＝xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12x ·1x＋3＝15，当且仅当x ＝1时，等号成立，所以a的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞. [答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞. 4．已知x 1是方程x ＋2x＝4的根，x 2是方程x ＋log 2x ＝4的根，则x 1＋x 2的值是________． [解析] ∵x ＋2x＝4，∴2x＝4－x ，∴x 1是y ＝2x与y ＝4－x 交点的横坐标． 又∵x ＋log 2x ＝4，∴log 2x ＝4－x ，∴x 2是y ＝log 2x 与y ＝4－x 交点的横坐标． 又y ＝2x与y ＝log 2x互为反函数，其图象关于y ＝x 对称，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4－x ，y ＝x 得x ＝2，∴x 1＋x 22＝2，∴x 1＋x 2＝4.[答案] 45．求证抛物线y 2＝2px (p ＞0)，以过焦点的弦为直径的圆必与x ＝－p2相切.【导学号：31062151】[证明] 如图，作AA ′、BB ′垂直准线，取AB 的中点M ，作MM ′垂直准线．要证明以AB 为直径的圆与准线相切，只需证|MM ′|＝12|AB |，由抛物线的定义：|AA ′|＝|AF |，|BB ′|＝|BF |， 所以|AB |＝|AA ′|＋|BB ′|，因此只需证|MM ′|＝12(|AA ′|＋|BB ′|)根据梯形的中位线定理可知上式是成立的． 所以以过焦点的弦为直径的圆必与x ＝－p2相切.。
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课时分层作业(十四) 综合法和分析法(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．证明命题“f(x)＝e x＋1e x在(0，＋∞)上是增函数”，一个同学给出的证法如下：∵f(x)＝e x＋1e x ，∴f′(x)＝e x－1e x.∵x>0，∴e x>1,0<1e x<1∴e x－1e x>0，即f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．他使用的证明方法是( )【导学号：31062147】A．综合法B．分析法C．反证法D．以上都不是A[该证明方法符合综合法的定义，应为综合法．故选A.]2．设P＝2，Q＝7－3，R＝6－2，那么P，Q，R的大小关系是( ) A．P＞Q＞R B．P＞R＞QC．Q＞P＞R D．Q＞R＞PB[先比较R，Q的大小，可对R，Q作差，即Q－R＝7－3－(6－2)＝(7＋2)－(3＋6)．又(7＋2)2－(3＋6)2＝214－218＜0，∴Q＜R，由排除法可知，选B.]3．要证3a－3b＜3a－b成立，a，b应满足的条件是( )A．ab＜0且a＞bB．ab＞0且a＞bC．ab＜0有a＜bD．ab＞0且a＞b或ab＜0且a＜bD[要证3a－3b＜3a－b，只需证(3a－3b)3＜(3a－b)3，即证a －b －33a 2b ＋33ab 2＜a －b ， 即证3ab 2＜3a 2b ，只需证ab 2＜a 2b ，即证ab (b －a )＜0. 只需ab ＞0且b －a ＜0或ab ＜0，且b －a ＞0. 故选D.]4．下面的四个不等式：①a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ；②a (1－a )≤14；③b a ＋a b≥2；④(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2. 其中恒成立的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个C [∵(a 2＋b 2＋c 2)－(ab ＋bc ＋ac )＝12[(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2]≥0，a (1－a )－14＝－a 2＋a －14＝－⎝⎛⎭⎪⎫a －122≤0，(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2≥a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2＝(ac ＋bd )2.∴应选C.]5．若两个正实数x 、y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是( )【导学号：31062148】A ．(－1,4)B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－4,1)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)B [∵x >0，y >0，1x ＋4y＝1，∴x ＋y 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝2＋y 4x ＋4x y≥2＋2y 4x ·4xy＝4， 等号在y ＝4x ，即x ＝2，y ＝8时成立， ∴x ＋y4的最小值为4，要使不等式m 2－3m >x ＋y4有解，应有m 2－3m >4，∴m <－1或m >4，故选B.] 二、填空题6．如图222所示，四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD ⊥A 1C (写上一个条件即可)．图222[解析] 要证BD ⊥A 1C ，只需证BD ⊥平面AA 1C . 因为AA 1⊥BD ，只要再添加条件AC ⊥BD ， 即可证明BD ⊥平面AA 1C ，从而有BD ⊥A 1C . [答案] AC ⊥BD (答案不唯一)7．已知sin α＋sin β＋sin r ＝0，cos α＋cos β＋cos r ＝0，则cos(α－β)的值为________.【导学号：31062149】[解析] 由sin α＋sin β＋sin r ＝0，cos α＋cos β＋cos r ＝0，得sin α＋sin β＝－sin r ，cos α＋cos β＝－cos r ，两式分别平方，相加得2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1，所以cos(α－β)＝－12. [答案] －128．设a >0，b >0，则下面两式的大小关系为lg(1＋ab )________12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]．[解析] ∵(1＋ab )2－(1＋a )(1＋b ) ＝1＋2ab ＋ab －1－a －b －ab ＝2ab －(a ＋b )＝－(a －b )2≤0.∴(1＋ab )2≤(1＋a )(1＋b )，∴lg(1＋ab )≤12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]．[答案] ≤ 三、解答题9. 设实数a ，b ，c 成等比数列，非零实数x ，y 分别为a 与b ，b 与c 的等差中项，求证：a x ＋c y＝2.[证明] 由已知条件得b 2＝ac ， 2x ＝a ＋b,2y ＝b ＋c . ①要证a x ＋c y＝2，只要证ay ＋cx ＝2xy ， 只要证2ay ＋2cx ＝4xy . ②由①②得2ay ＋2cx ＝a (b ＋c )＋c (a ＋b )＝ab ＋2ac ＋bc ， 4xy ＝(a ＋b )(b ＋c )＝ab ＋b 2＋ac ＋bc ＝ab ＋2ac ＋bc ， 所以2ay ＋2cx ＝4xy .命题得证． 10. 设a ＞0，b ＞0,2c ＞a ＋b ，求证： (1)c 2＞ab ；(2)c －c 2－ab ＜a ＜c ＋c 2－ab .[证明] (1)∵a ＞0，b ＞0,2c ＞a ＋b ≥2ab ， ∴c ＞ab ， 平方得c 2＞ab ；(2)要证c －c 2－ab ＜a ＜c ＋c 2－ab . 只要证－c 2－ab ＜a －c ＜c 2－ab . 即证|a －c |＜c 2－ab ， 即(a －c )2＜c 2－ab ，∵(a －c )2－c 2＋ab ＝a (a ＋b －2c )＜0成立， ∴原不等式成立．[能力提升练]1．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，a 、b ∈R ＋，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A 、B 、C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤AA [ a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b ，又函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(－∞，＋∞)上是单调减函数，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b . 即A ≤B ≤C .]2．若a 、b 、c ∈R ，且ab ＋bc ＋ca ＝1，则下列不等式成立的是( )A ．a 2＋b 2＋c 2≥2 B ．(a ＋b ＋c )2≥3 C.1a ＋1b ＋1c≥2 3D ．abc (a ＋b ＋c )≤13B [∵a 、b 、c ∈R ，∴a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，a 2＋c 2≥2ac ，∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ＝1，又(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ＝a 2＋b 2＋c 2＋2≥3.] 3．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________.【导学号：31062150】[解析] 若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，只需求y ＝xx 2＋3x ＋1的最大值，且令a不小于这个最大值即可．因为x >0，所以y ＝xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12x ·1x＋3＝15，当且仅当x ＝1时，等号成立，所以a的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞. [答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞. 4．已知x 1是方程x ＋2x＝4的根，x 2是方程x ＋log 2x ＝4的根，则x 1＋x 2的值是________． [解析] ∵x ＋2x＝4，∴2x＝4－x ，∴x 1是y ＝2x与y ＝4－x 交点的横坐标． 又∵x ＋log 2x ＝4，∴log 2x ＝4－x ，∴x 2是y ＝log 2x 与y ＝4－x 交点的横坐标． 又y ＝2x与y ＝log 2x互为反函数，其图象关于y ＝x 对称，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4－x ，y ＝x 得x ＝2，∴x 1＋x 22＝2，∴x 1＋x 2＝4.[答案] 45．求证抛物线y 2＝2px (p ＞0)，以过焦点的弦为直径的圆必与x ＝－p2相切.【导学号：31062151】[证明] 如图，作AA ′、BB ′垂直准线，取AB 的中点M ，作MM ′垂直准线．要证明以AB 为直径的圆与准线相切，只需证|MM ′|＝12|AB |，由抛物线的定义：|AA ′|＝|AF |，|BB ′|＝|BF |， 所以|AB |＝|AA ′|＋|BB ′|，因此只需证|MM ′|＝12(|AA ′|＋|BB ′|)根据梯形的中位线定理可知上式是成立的． 所以以过焦点的弦为直径的圆必与x ＝－p2相切.。