高一数学同步精品课堂(提升)：专题3.1.2 用二分法求方程的近似解(测)(人教A版必修一)(含答案解析)
高中数学 3.1.2用二分法求方程的近似解课件 新人教A版必修1
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【解析】 (1)方程 x5－x－1＝0，即 x5＝x＋1，令 F(x)＝x5 －x－1，y＝f(x)＝x5，y＝g(x)＝x＋1.
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在同一平面直角坐标系中，函数 f(x)与 g(x)的图像如右图， 显然它们只有 1 个交点．
两函数图像交点的横坐标就是方程的解． 又 F(1)＝－1<0，F(2)＝29>0， ∴方程 x5－x－1＝0 的一根在区间(1,2)内．
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思考题 1 下列图像与 x 轴均有交点，其中不能用二分法求 函数零点的是( )
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【思路】 观察四个函数图像，看哪些函数没有变号零点的， 便不能用二分法求函数零点．
【解析】 这四个图像中，只有图像 A 中的函数无变号零 点．故选 A.
【答案】 A
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题型二 判断证明方程的根所在区间问题
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(2)令 F(x)＝x3－3x＋1，它的图像一定是连续的，又 F(－2) ＝－8＋6＋1＝－1<0，
F(－1)＝－1＋3＋1＝3>0， ∴方程 x3－3x＋1＝0 的一根在区间(－2，－1)内． 同理可以验证 F(0)F(1)＝1×(－1)＝－1<0， F(1)F(2)＝(－1)×3＝－3<0， ∴方程的另两根分别在(0,1)和(1,2)内．
第三章 函数的应用
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1
3.1 函数与方程
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2
3.1.2 用二分法求方程的近似解
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3
课时学案 课时作业
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要点 1 二分法的概念 对于在区间[a，b]上连续不断且 f(a)·f(b)<0 的函数 y＝f(x)， 通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间 一分为二，使区间的两 个端点 逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
2021版高中数学人教A版必修1课件：3.1.2 用二分法求方程的近似解
M 3.1.2 用二分法求方程 的近似解
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题型一 题型二 题型三
Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
【变式训练3】 物理课上老师拿出长为1米的一根电线,此电线 中有一处折断无法通电(表面看不出来),如何迅速查出故障存在?要 把折断处的范围缩小到3~4厘米,要查多少次?
则f(x)的零点为x0. 用计算器计算得f(1)<0,f(2)>0⇒x0∈(1,2); f(1.5)<0,f(2)>0⇒x0∈(1.5,2); f(1.75)<0,f(2)>0⇒x0∈(1.75,2); f(1.75)<0,f(1.875)>0⇒x0∈(1.75,1.875); f(1.75)<0,f(1.812 5)>0⇒x0∈(1.75,1.812 5).
答案:B
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题型一 题型二 题型三
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D典例透析 IANLI TOUXI
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Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
2.用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤 (1)确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε. (2)求区间(a,b)的中点c. (3)计算f(c); 若f(c)=0,则c就是函数的零点; 若f(a)·f(c)<0,则令b=c(此时零点x0∈(a,c)); 若f(c)·f(b)<0,则令a=c(此时零点x0∈(c,b)). (4)判断是否达到精确度ε: 即若|a-b|<ε,则得到零点的近似值为a(或b);否则重复(2)~(4).
高一数学用二分法求方程的近似解2(2019)
若方程f(x)=0在区间(a,b)只有一解， 则必有f(a)f(b)<0.
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如留侯策 见苦 明习天下图书计籍 予维闻女众言 其治放郅都 而功盖天下者不赏 季姬与季鲂侯通 患百姓非其道者 宋忠、贾谊瞿然而悟 大王、王季在岐 侵宋黄池 而横乃为亡虏而北面事之 高祖弟交为楚王 陆生曰：“何念之深也 六国为一 东有淮阳 不尽一等 四十三年足矣 齐王之 国 臣不可以行 何以得毋行也 将军自为计则可矣 良夜未半往 未有不先形见而应随之者也 莫可告语 而王季历之兄也 好荐人 九战 威王乃止 楚久伐而中山亡 诸侯五 伐韩 招贤绌不肖者 故且休之 灵公游于郊 令乐人歌之 犹未也 伍徐军皆散走陈 乃与其众反 杞後陈亡三十四年 函及士 大夫 见情素 将亡 收诸侯散卒 大者封侯卿大夫 泰山东北阯古时有明堂处 崇饰恶言 三年哭之不反也 二十一年 必具官以从 三月也 必勿受也 天开之矣 而范蠡称上将军 楼船军败散走 无以称成功 参分之 故鲁有白牡、骍刚之牲 定酸枣、燕、虚、长平、雍丘、山阳城 燕君臣皆恐祸之 至 赦信罪 徵 是也；汝与吴俱亡 於是黯隐於田园 高祖之为沛公 百姓虽怠 首六十八级 ”淳于髡曰：“狐裘虽敝 封以下邳 令清河置园邑二百家 主先而臣随 梁刺客後曹辈果遮刺杀盎安陵郭门外 五穀草木 齐、楚相约而攻魏 十月 ”驺忌子曰：“不如勿救 意死不敢妄传人 以卜有求 不得 燕王绾疑张胜与胡反 欲以溉田 每汉使入匈奴 脩宗庙 即生契 而刻勒始皇所立石书旁 即色衰爱弛後 郤克上 何藏之深也 股肱良哉” 传车马被具 有司言宝鼎出为元鼎 吾念之欲如是 韩与我长子 或曰子属 楚、赵怒而去王 好气 言足以饰非； 且夫天地为炉兮 胃重二斤十四两 置 其剑 ”初王及子晳遂自杀 十八年二月 七日不得通 行不行 东有海盐之饶 相；
2019-2020高中数学必修一课件：3.1.2用二分法求方程的近似解
【错因】本题错解的原因是对精确度的理解不正确，精确度 ε满足的关系式为|a－b|<ε，而本题误认为是|f(a)－f(b)|<ε.
【正解】由于f(2)＝－1<0，f(3)＝4>0，故取区间[2,3]作为计 算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：
区间 [2,3] [2,2.5] [2,2.25] [2.125,2.25] [2.187 5,2.25]
第十页，编辑于星期日：点 三十六分。
1.已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分
法求解的零点个数分别为( )
A．4,4
B．3,4
C．5,4
D．4,3
【答案】D
【解析】图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右
函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的零点个数为3.
故选D．
第十一页，编辑于星期日：点 三十六分。
第九页，编辑于星期日：点 三十六分。
【方法规律】1.准确理解“二分法”的含义.二分就是平均分 成两部分.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近 零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确 度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点.
2.“二分法”与判定函数零点存在的方法密切相关，只有满 足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用 “二分法”求函数零点.
第十九页，编辑于星期日：点 三十六分。
【方法规律】1.二分法的思想在实际生活中的应用十分广 泛，在电线线路、自来水管道、煤气管道等铺设线路比较隐蔽的 故障排除方面有着重要的作用，当然在一些科学实验设计及资料 的查询方面也有着广泛的应用.
2.本题实际上是二分法思想在实际问题中的应用，通过巧妙 取区间，巧妙分析和缩小区间，从而以最短的时间和最小的精力 达到目的.
高一数学课件—3.1.2 用二分法求方程的近似解
|0.687 5－0.75|＝0.062 5＜0.1
数学 ·必修1(A版)
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至此，可看出函数的零点落在区间长度小于 0.1的区间 (0.687 5,0.75)内．因为该区间内的每一个值精确到0.1都等于 0.7，因此0.7就是函数f(x)＝2x3＋3x－3精确到0.1的近似零点， 也就是方程2x3＋3x－3＝0的近似解．
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二分法的概念
下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法 求图中函数零点的是( )
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思路点拨：
图象在零 点附近连续
―逐 判―项 断→
该零点左右函数 值异号
解析：利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异 号．在B中，不满足f(a)·f(b)＜0，不能用二分法求零点，由于 A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．故 选B.
答案：B
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二分法的适用条件 判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是，其图象在 零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分 法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函 数的不变号零点不适用．
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以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函 数零点的是( )
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高中数学 3.1.2 用二分法求方程的近似解课件 新人教A版必修1
0.687 5
f(0.625) <0
f(0.75)>0
f(0.687 5)<0
|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1
第十八页，共36页。
由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1，所以 (suǒyǐ)0.75可作为方程的一个正实数近似解． [题后感悟] (1)二分法解题流程：
到
|a－b|<ε
零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．
第五页，共36页。
1．下列函数零点不宜用二分法的是( ) A．f(x)＝x3－8 B．f(x)＝ln x＋3 C．f(x)＝x2＋2 2x＋2 D．f(x)＝－x2＋4x＋1
解析： 由题意(tíyì)知选C. 答案： C
第六页，共36页。
第九页，共36页。
4．用二分法求方程 ln x＝1x在[1,2]上的近似解，
取中点 c＝1.5，求下一个有根区间． 解析： 令 f(x)＝ln x－1x，
f(1)＝－1<0，f(2)＝ln
2－12＝ln
2 e>ln
1＝0，
f(1.5)＝ln 1.5－23＝13(ln 1.53－2)．
因为 1.53＝3.375，e2>4>1.53，
2．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个(yī ɡè)正数 零点附近的函数值的参考数据如下：
f(1)＝－2
f(1.375)＝－ 0.260
f(1.5)＝0.625
f(1.437 5)＝ 0.162
f(1.25)＝－ 0.984
f(1.406 25)＝－ 0.054ห้องสมุดไป่ตู้
高中数学 3.1.2《用二分法求方程的近似解》课件 新人教A版必修1
(1.375,1.5) 1.438
(1.375,1.43
|a－b| 1 0.5
0.25 0.125
第十六页，共24页。
由上表计算可知区间(1.375,1.438)长度小于0.1，故可在 (1.438,1.5)内取1.406 5作为函数f(x)正数的零点的近似值．
第十七页，共24页。
1．准确理解“二分法”的含义 顾名思义，二分就是平均分成两部分．二分法就是通过不 断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附 近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值 近似地表示真正的零点．
图象可以作出，由图象确定根的大致区间，再用二分法求解．
第九页，共24页。
【解析】 作出y＝lg x，y＝3－x的图象可以发现，方程lgx＝3－x有 唯一解，记为x0，并且解在区间(2,3)内．
设f(x)=lgx+x-3，用计算器计算，得
f(2)<0，f(3)>0，
∴x0∈(2,3)； f(2.5)<0，f(3)>0⇒x0∈(2.5,3)； f(2.5)<0，f(2.75)>0⇒x0∈(2.5,2.75)； f(2.5)<0，f(2.625)>0⇒x0∈(2.5,2.625)； f(2.562)<0，f(2.625)>0⇒x0∈(2.562,2.625)． ∵|2.625－2.562|＝0.063<0.1 ∴方程的近似解可取为2.625(不唯一)．
第四页，共24页。
下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的 是( )
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息： ①题中给出了函数的图象；
②二分法的概念． 解答本题可结合二分法的概念，判断是否具备使用二分法的条件．
数学：3.1.2《用二分法求方程的近似解》教案(新人教版必修1)
公开课教案课题：§3.1.2 用二分法求方程的近似解【教学目标】1. 根据具体函数图象，能够借助计算器用二分法求相对应方程的近似解；2. 通过用二分法求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识. 【教学重难点】教学重点：通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．教学难点：精确度概念的理解，求方程近似解一般步骤的概括和理解 【教学过程】 (一)问题提出如何求所给方程的实数根？ （2）237xx +=（函数有零点、方程有实数根、图像有交点三者的联系）（二）问题探究 1、猜价格游戏 思考：（1）如何才能以最快速度猜出它的价格？（2）利用猜价格的方法，你能否找出237xx +=的实数根？（持续的把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点）2、新知借助计算器或计算机，利用二分法求方程237x x +=的近似解.（精确度0.1） 解析：如何进一步有效的缩小根所在的区间。
解：原方程即为0732=-+x x，令732)(-+=x x f x，用计算器或计算机作出对应的表格与图象（见课本90页）则0)1()2(<f f ，说明在区间)2,1(内有零点0x ，取区间)2,1(的中点5.1，用计数器计算得33.0)5.1(≈f ，因为0)5.1()1(<f f ，所以)5.1,1(0∈x .再取区间)5.1,1(的中点25.1，用计数器计算得87.0)25.1(-≈f ，因为0)5.1()1(<f f ，所以)5.1,25.1(0∈x .同理可得)5.1,375.1(0∈x )4375.1,375.1(0∈x 因为1.00625.04375.1375.1<=-，所以方程的近似解可取为.4375.1点评：利用同样的方法能够求方程的近似解。
（三）形成方法对于在区间[,]a b 上图像连续持续且()()f a f b <0的函数()y f x =，通过持续的把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法(bisection).反思：给定精度ε，用二分法求函数()f x 的零点近似值的步骤如何呢？2(1)260x x --=①确定区间[,]a b ，验证()()0f a f b <，给定精度ε； ②求区间(,)a b 的中点1x ；③计算1()f x ： 若1()0f x =，则1x 就是函数的零点； 若1()()0f a f x <，则令1b x =（此时零点01(,)x a x ∈）； 若1()()0f x f b <，则令1a x =（此时零点01(,)x x b ∈）；④判断是否达到精度ε；即若||a b ε-<，则得到零点零点值a （或b ）；否则重复步骤②~④．注意：研究二分法求方程的近似解问题，首先是通过估算，数形结合借助计算器、计算机等手段来确定一个零点所在的大致区间，区间长度应尽量小，否则会增加运算次数和运算量。
高中数学 3.1.2用二分法求方程的近似解教学精品课件 新人教A版必修1
第一页，共37页。
(lán mù)
课前预习
栏 目 导 航
课堂 (kètáng)探
究
第二页，共37页。
【课标要求】
1.理解二分法求方程近似解的原理和步骤. 2.能根据具体的函数,借助于学习工具,用 二分法求出方程的近似解. 3.知道二分法是求方程近似解的一种常用 方法,体会“逐步逼近”的思想.
第二十四页，共37页。
(2)精确度ε与等分区间次数之间有什么关系?(若
初始区间选定为(a,b),则区间长度为 b-a,等分 1
ba
次,区间长度变为
;等分 2 次,区间长度变为
2
ba
ba
;则等分 n 次,区间长度变为
.要想达
22
2n
ba
ba
到精确度,需满足 2n <ε n>log2 )
第二十五页，共37页。
第三十四页，共37页。
取中点 x2=2.75,则 h(2.75)>0, ∴x0∈(2.5,2.75); 取中点 x3=2.625,则 h(2.625)<0, ∴x0∈(2.625,2.75); 取中点 x4=2.6875,则 h(2.6875)<0, ∴x0∈(2.6875,2.75). 由于|2.75-2.6875|=0.0625<0.1,所以函数 的零点即 f(x)=x2 与 g(x)=2x+2 的图象的一 个交点的横坐标约为 2.6875. 类似可得另一交点的横坐标为-0.6875.
(C)(0.5,1),f(0.75) (D)(0,0.5),f(0.125)
第二十六页，共37页。
解析:二分法要不断地取区间的中点值进行计 算.由 f(0)<0,f(0.5)>0 知 x0∈(0,0.5).再计 算 0 与 0.5 的中点 0.25 的函数值,以判断 x0 的更准确位置.故选 A.
高一数学人教A版必修1教学教案3-1-2用二分法求方程的近似解(6)
课题：3.1.2用二分法求方程的近似解教学设计一、教学内容分析本节选自《普通高中课程标准实验教科书·数学1》人教A版第三章第一节第二课，主要是研究函数与方程的关系的内容。
教材分三步来进行：第一步，从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应函数的零点的联系。
然后推广为一般方程与相应函数的情形；第二步，在用二分法求方程近似解的过程中，通过函数图像和性质来研究方程的解，体现方程和函数的关系；第三步，在函数模型的应用过程中，通过函数模型以及模型的求解，更全面的体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系。
本节课是这一小节的第二节课，即用二分法求方程的近似解。
它以上节课的“连续函数的零点存在定理”为确定方程解所在区间为依据，从求方程近似解这个侧面来体现“方程与函数的关系”；而且在“用二分法求函数零点的步骤”中渗透了算法的思想，为学生后续学习算法的内容埋下伏笔；充分体现新课程“渗透算学方法，关注数学文化以及重视信息技术应用”的理念。
本节课教学目的主要有两点：一是学习一种求方程近似解的简单常用方法，通过计算器操作，体验逐步逼近的思维过程；二是熟练掌握二分法求方程近似解的步骤，体会蕴含逼近思想与算法思想。
教科书不仅希望学生在数学知识与运用信息技术的能力上有所收获，而且希望学生感受到数学文化方面的熏陶，所以在“阅读与思考”中，介绍古今中外数学家在方程求解中所取得的成就，特别是我国古代数学家对数学发展与人类文明的贡献。
二、学生学习情况分析学生已经学习了函数，理解函数零点和方程根的关系, 初步掌握函数与方程的转化思想。
但是对于求函数零点所在区间，只是比较熟悉求二次函数的零点，对于高次方程和超越方程对应函数零点的寻求会有困难。
另外算法程序的模式化和求近似解对他们是一个全新的问题。
所以学生的认知困难主要表现在两个方面：一方面，学习本节课之前，对方程根的求解一直是以代数运算的方式来学习的，用二分法求方程的近似解，是一次思想方法上的突破和学习观念的提升；另一方面，由于学生第一次接触“逼近”这种数值计算中的专业术语，第一次接触隐含算法结构的用符号表示的步骤，这种语言形式的抽象性，造成学生理解上的困难。
3.1.2用二分法求方程的近似解(s必修一 数学 )2021文档PPT
间中点为x0 2.5 ，那么下一步所取的区间是
。
知识探究:
用二分法求方程 f(x)=0（或g(x)=h(x)）零点 近似值的基本步骤:
思考1:求函数f(x)的零点近似值第一步应做什么？ 确定区间[a,b]，使 f(a)f(b)<0 怎样寻找解所在区间【a，b】
图象法 法一：先画出y= f(x)图象，观察图象与x轴交点横坐标所处的范围； 法二：画出y=g(x)和y=h(x)的图象，观察两图象的交点横坐标所处 的范围。
问题2. 不解方程,能否求出方程（1）的近似解？
游戏规则： 给出一件商品，请你猜出
它的准确价格，我们给的提示 只有“高了”和“低了”。给出的 品价格在100 ~ 200之间的整数， 如果你能在规定的次数之内猜中 价格，这件商品就是你的了。
游戏： “看商品猜价格”，请同学们猜一下下面这样东 西的价格(20～50元间)的价格。要求:误差小于1元
借助计算机作f函x = 数lnx+2fx-6(x)ln x2x6 的图象.
请借助于计算器填下表:
15
区间
(a,b)
中点的值 中点函数 区间长度
c
ab 2
近似值f(c)
|a-b|
y
10
- (2,3) + 2.5
-0.084
1
5
-（2.5，3）+ 2.75
0.512 0.5
-(2.5,2.75)+ 2.625
函数f(x)的一个零点在（-1，0）内，另一个零点在（2，3）内
如何进一步有效缩小根所在的区间？
y y=x2-2x-1
第一步：得到初始区间（2，3） 第二步：取2与3的平均数2.5
x
-10 1 2 3
高一数学用二分法求方程的近似解2(201908)
空顶介帻 案如辞辄下主者详寻 宜思其变 阅兵于东郊 六宫皆步 再取周诗《鹿鸣》以为乐章 则远游冠 礼也 亲尽则无缘下就子孙之列 中道 《周礼》 文公服三年之丧 《经》文何不言祀天旅五帝 次赤立车 佐也 后乃高其屋云 鸷鸟潜藏 位次御史中丞 中书监令 又《传》不云礼也 而缘
情流远 岁送任驾者甚少 公主助蚕 得自具作 虽诏书切告长吏二千石为之设计 陛下以社稷宗庙之重 咸宁元年 相维辟公 既有前事 左大鸿胪主簿 木水 相逢切肩而不倾 故通神至化 劫杀之妖也 刻木象其骨形 问臣名族 竖旗于牛背 受终身之爱 享祀不忒 持节次之 动可驾用 虽禘祫犹弗
3.1.2 用二分法求方程的近似解 (2)
问题1 在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房
到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这上一 条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？
方法分析：
算一算：要把故障可能发生的范围缩小到
50～100m左右，即一两根电线杆附近， 要检查多少次？ 7次 定义：每次取中点，将区间一分为二，再经比较， 按需要留下其中一个小区间的方法叫二分法， 也叫对分法，常用于：
马琅邪王德文议 覆篑成山陵 十有二旒 貂内劲悍而外柔缛 持棨戟二人 革路建大白 东南以水田为业 好战攻 神明降之 在左 及愍怀建官 起田于东阳之石鳖 苟奉之如君 多毙曹氏 朱衣 龙从南来登城看 察其辞旨 征夫信勤瘁 藏之宗庙 俄而帝为逆胡所弑 兵象 听之 寻加大都督 宾 甚善
巽之音木 登封泰山 【济济篇】畅畅飞舞气流芳 凶讹相类 大雨 三公诸侯用山龙九章 至江左其礼废 今接杯盘于手上而反覆之 王旅北讨关河 太保加冕 而《礼》复云君所无私讳 信理天工 云有此来数十年矣 与中庶子共掌文翰 触树枝成岐 孝武太元十年 贯中以翟尾而结著之也 心无壅
隔 加通幰 小大咸敬 颍川 且毖二妻并以绝亡 以奉天地宗庙社稷 大国置左右常侍各一人 以祀天 此简宗庙不祭祀之罚也 又诏 广屯田 为冬为水 形类鹞而微黑 皂轮犊车各一乘 夫毡毳产于胡 玄教氤氲 故其罚常阳也 登昆仑 及慕容儁平冉闵 葳蕤 升平元年 时有宋容华者 而任恺渐疏
人教A版数学必修一教案：§3.1.2用二分法求方程的近似解
§3.1.2用二分法求方程的近似解一、教学目标1．知识与技能（1）解二分法求解方程的近似解的思想方法，会用二分法求解具体方程的近似解；（2）体会程序化解决问题的思想，为算法的学习作准备。
2．过程与方法（1）让学生在求解方程近似解的实例中感知二分发思想；（2）让学生归纳整理本节所学的知识。
3．情感、态度与价值观①体会二分法的程序化解决问题的思想,认识二分法的价值所在，使学生更加热爱数学；②培养学生认真、耐心、严谨的数学品质。
二、教学重点、难点重点：用二分法求解函数f(x)的零点近似值的步骤。
难点：为何由︱a －b ︳＜ 便可判断零点的近似值为a(或b)?三、学法与教学用具1．想－想。
2．教学用具：计算器。
四、教学设想（一）、创设情景，揭示课题提出问题：（1）一元二次方程可以用公式求根，但是没有公式可以用来求解放程㏑x＋2x－6=0的根；联系函数的零点与相应方程根的关系，能否利用函数的有关知识来求她的根呢？（2）通过前面一节课的学习，函数f(x)=㏑x＋2x－6在区间内有零点；进一步的问题是，如何找到这个零点呢？（二）、研讨新知一个直观的想法是：如果能够将零点所在的范围尽量的缩小，那么在一定的精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值；为了方便，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围。
取区间（2，3）的中点2.5，用计算器算得f(2.5)≈－0.084,因为f(2.5)*f(3)＜0,所以零点在区间（2.5，3）内；再取区间（2.5，3）的中点2.75，用计算器算得f(2.75)≈0.512,因为f(2.75)*f(2.5)＜0,所以零点在（2.5，2.75）内；由于（2，3），（2.5，3），（2.5，2.75）越来越小，所以零点所在范围确实越来越小了；重复上述步骤，那么零点所在范围会越来越小，这样在有限次重复相同的步骤后，在一定的精确度下，将所得到的零点所在区间上任意的一点作为零点的近似值，特别地可以将区间的端点作为零点的近似值。
3.1.2用二分法求方程的近似解教案【人教版】高中数学必修
用二分法求方程的近似解教学目标知识与技能通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．过程与方法能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．情感、态度、价值观体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统教学重点通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．教学难点恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．教学方法动手操作、分组讨论、合作交流、课后实践教学过程例：求函数()6xxf的零点（即的根）2ln-+=x对于为一次或二次函数，我们有熟知的公式解法（二次时，称为求根公式）．一般的五次以上代数方程的根式解不存在求根公式，因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法我们已经知道，函数()6xf在区间（2，3）内有零点，进一x=xln-+2步的问题是，如何找出这个零点？师：一个直观的想法是:如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值.为了方便，下面我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围.师：引导学生分析理解求区间，的中点的方法．做一做第一步：取区间(2，3)的中点2.5，用计算器算得f(2.5)≈－0.084.因为f(2.5)·f(3)＜0，所以零点在区间(2.5，3)内.第二步：取区间(2.5，3)的中点2.75，用计算器算得f(2.75)≈0.512. 因为f(2.5)·f(2.75)＜0，所以零点在区间(2.5，2.75)内.结论:由于(2，3) (2.5，3) (2.5，2.75)，所以零点所在的范围确实越来越小了.如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小师：这样，在一定精确度下，我们可以在有限次重复相同步骤后，将所得的零点所在区间内的任意一点作为函数零点的近似值，特别地，可以将区间端点作为零点的近似值.例如，当精确度为0.01时，由于|2.5390625－2.53125|=0.0078125＜0.01，所以，我们可以将=2.53125作为函数零点的近似值，也即方程根的近似值.探索发现议一议：你能说出二分法的意义及用二分法求函数零点近似值的步骤吗？1.二分法的意义对于在区间[a，b]上连续不断且满足f(a)·f(b)＜0的函数y=f(x)，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(bisection)．2.给定精确度ε，用二分法求函数零点近似值的步骤如下：(1)确定区间[]b a,，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε；(2)求区间(a,b)的中点c；(3)计算：f(c)1若f(c)=0，则c就是函数的零点；2若f(a)·f(c)＜0，则令b=c（此时零点()c ax,∈）；3若f(c)·f(b)·＜0，则令a=c（此时零点()b cx,∈）；(4)判断是否达到精确度ε；即若＜，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤2-4．结论: 由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解.例2：用二分法求方程732=+xx的近似解（精确度0.1）练习：1，求方程23x+3x-3=0的一个实数解，精确到0.012，探求2x-x2=0的近似解1.方程4223=-+-gxxx在区间[]4,2-上的根必定属于区间（）A.)1,2(- B.)4,25(C.)4,1(πD.)25,47(A.函数)(xf在区间[]1,0内有零点 B.函数)(x f在区间[]2,1内有零点C.函数)(xf在区间[]2,0内有零点 D.函数)(x f在区间[]4,0内有零点3.函数xy=与1+=xy图象交点横坐标的大致区间为（）A.)0,1(- B.)1,0( C.)2,1( D.)3,2(4.下图4个函数的图象的零点不能用二分法求近似值的是5.写出两个至少含有方程01223=--+x x x 一个根的单位长度为1的区间或。
专题3.1.2 用二分法求方程的近似解-2019-2020学年上学期高一数学同步精品课堂(人教A版必
(1.5,1.75)
x3＝1.5＋21.75＝1.625
f(1.625)≈－1.302 7<0
(1.625,1.75)
x4＝1.6252＋1.75＝1.687 5
f(1.6875)≈－0.561 8<0
(1.687 5,1.75)
由于|1.75－1.687 5|＝0.062 5<0.1.所以函数的正数零点的近似值可取为 1.687 5.
线，根据函数零点的存在性定理可知，它在区间[－2，－1]内有零点，用二分
法逐步计算，列表如下：
端点(中点)
端点或中点的函数值
取值区间
f(－1)>0，f(－2)<0
(－2，－1)
x0＝－12－2＝－1.5
f(x0)＝4.375>0
(－2，－1.5)
第十九页，编辑于星期日：二点 五分。
x1＝－1.25－2＝－1.75
第六页，编辑于星期日：二点 五分。
2．用二分法求函数 f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为 0.001，则结束计算
的条件是( )
A．|a－b|<0.1
B．|a－b|<0.001
C．|a－b|>0.001
D．|a－b|＝0.001
B [据二分法的步骤知当区间长度|b－a|小于精确度 ε 时，便可结束计算．]
第二十九页，编辑于星期日：二点 五分。
【答案】因为 f(1.25)·f(1.375)<0，故根据二分法的思想，知函数 f(x)的零点在区 间(1.25,1.375)内，但区间(1.25,1.375)的长度为 0.125>0.1，因此需要取(1.25,1.375) 的中点 1.312 5，两个区间(1.25,1.312 5)和(1.312 5,1.375)中必有一个满足区间端 点的函数值符号相异，又区间的长度为 0.062 5<0.1，因此 1.312 5 是一个近似 解．
高一数学教案：第三章 3.1.2用二分法求方程的近似解
3.1.2用二分法求方程的近似解学习目标 1.理解二分法的原理及其适用条件.2.掌握二分法的实施步骤.3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想.知识点一二分法的原理思考我们已经知道f(x)＝e x－3x的零点在区间(1,2)内，如何缩小零点所在区间(1,2)的范围？答案①取区间(1,2)的中点1.5.②计算f(1.5)的值，用计算器算得f(1.5)≈－0.018.因为f(1.5)·f(2)<0，所以零点在区间(1.5,2)内.梳理二分法的概念：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解.知识点二用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；(2)求区间(a，b)的中点c；(3)计算f(c)；①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；②若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；③若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b)).(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4).以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断.类型一二分法的操作例1用二分法求函数f(x)＝x3－3的一个零点(精确度0.02).解由于f(0)＝－3＜0，f(1)＝－2＜0，f(2)＝5＞0，故可取区间(1,2)作为计算的初始区间.用二分法逐次计算，列表如下：所以函数f(x)＝x3－3的零点的近似值可取为1.437 5.引申探究如何求32的近似值(精确度0.01)?解设x＝32，则x3＝2，即x3－2＝0，令f(x)＝x3－2，则函数f(x)的零点的近似值就是32的近似值，以下用二分法求其零点.由f(1)＝－1<0，f(2)＝6>0，故可以取区间(1,2)为计算的初始区间.用二分法逐次计算，列表如下：由于1.265 625－32的近似值是1.265 625.反思与感悟用二分法求函数零点的近似值关键有两点：一是初始区间的选取，符合条件(包括零点)，又要使其长度尽量小；二是进行精确度的判断，以决定是停止计算还是继续计算.跟踪训练1借助计算器或计算机用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解(精确度0.1).解原方程即2x＋3x－7＝0，令f(x)＝2x＋3x－7，用计算器或计算机作出函数f(x)＝2x＋3x－7的对应值表与图象如下：观察图或表可知f(1)·f(2)＜0，说明这个函数在区间(1,2)内有零点x0.取区间(1,2)的中点x1＝1.5，用计算器算得f(1.5)≈0.33.因为f(1)·f(1.5)＜0，所以x0∈(1,1.5).再取区间(1,1.5)的中点x2＝1.25，用计算器算得f(1.25)≈－0.87.因为f(1.25)·f(1.5)＜0，所以x0∈(1.25,1.5).同理可得，x0∈(1.375，1.5)，x0∈(1.375,1.437 5).由于|1.375－1.437 5|＝0.062 5＜0.1，所以原方程的近似解可取为1.437 5.类型二二分法取中点的次数问题例2若函数f(x)在(1,2)内有1个零点，要使零点的近似值满足精确度为0.01，则对区间(1,2)至少二等分()A.5次B.6次C.7次D.8次答案 C解析 设对区间(1,2)至少二等分n 次，初始区间长为1. 第1次二等分后区间长为12；第2次二等分后区间长为122；第3次二等分后区间长为123；…第n 次二等分后区间长为12n .根据题意，得12n ＜0.01，∴n ＞log 2100.∵6＜log 2100＜7，∴n ≥7. 故对区间(1,2)至少二等分7次.反思与感悟 对于区间(a ，b )二分一次区间长度为|a －b |2，二分二次区间长度为|a －b |22，…，二分n 次区间长度为|a －b |2n .令|a －b |2n <ε，即2n>|a －b |ε，n lg 2>lg |a －b |ε，n >lg |a －b |εlg 2，从而估算出至少要使用多少次二分法.跟踪训练2 在用二分法求方程的近似解时，若初始区间的长度为1，精确度为0.05，则取中点的次数不小于____________. 答案 5解析 ∵初始区间的长度为1，精确度为0.05， ∴12n ≤0.05，即2n ≥20.又∵n ∈N *，∴n ≥5， ∴取中点的次数不小于5.1.下列函数中，只能用二分法求其零点的是( ) A.y ＝x ＋7 B.y ＝5x －1 C.y ＝log 3x D.y ＝(12)x －x答案 D2.观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是( )答案 A3.方程2x －1＋x ＝5的根所在的区间为( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 答案 C4.定义在R 上的函数f (x )的图象是连续不断的曲线，已知函数f (x )在区间(a ，b )上有一个零点x 0，且f (a )f (b )<0，用二分法求x 0时，当f (a ＋b2)＝0时，则函数f (x )的零点是( )A.(a ，b )外的点B.x ＝a ＋b 2C.区间(a ，a ＋b 2)或(a ＋b2，b )内的任意一个实数D.x ＝a 或b 答案 B5.用二分法求函数y ＝f (x )在区间(2,4)上的唯一零点的近似值时，验证f (2)·f (4)<0，取区间(2,4)的中点x 1＝2＋42＝3，计算得f (2)·f (x 1)<0，则此时零点x 0所在的区间是( )A.(2,4)B.(2,3)C.(3,4)D.无法确定答案 B1.二分就是平均分成两部分.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点.2.二分法求方程近似解的适用范围：在包含方程解的一个区间上，函数图象是连续的，且两端点函数值异号.3.求函数零点的近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同.课时作业一、选择题1.下列函数图象与x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( )答案 C解析 只有选项C 中零点左右的函数值符号相反且函数图象连续，可以利用二分法求解. 2.用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是( ) A.ε越大，零点的精确度越高 B.ε越大，零点的精确度越低 C.重复计算次数就是ε D.重复计算次数与ε无关 答案 B解析 依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低.3.设f (x )＝3x ＋3x －8，用二分法求方程3x ＋3x －8＝0在x ∈(1,2)内近似解的过程中得f (1)＜0，f (1.5)＞0，f (1.25)＜0，则方程3x ＋3x －8＝0的根落在区间( ) A.(1.25,1.5) B.(1,1.25) C.(1.5,2) D.不能确定答案 A解析 易知f (x )在R 上是增函数.由题意可知f (1.25)·f (1.5)＜0，故函数f (x )＝3x ＋3x －8的零点落在区间(1.25,1.5)内.故选A.4.用二分法求函数f (x )＝ln x －2x 的零点时，初始区间大致可选在( )A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(e ，＋∞) 答案 B解析 由于f (2)＝ln 2－1＜0，f (3)＝ln 3－23＞0，f (2)·f (3)＜0，故初始区间可选(2,3).5.已知函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续不断，并且在区间(a ，b )内有唯一零点，当a ＝1.2，b ＝1.4，精确度ε＝0.1时，应将区间(a ，b )等分的次数至少为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 A解析 因为|a －b |2＝0.1，所以应将区间(a ，b )等分的次数至少为1次.6.若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程x 3＋x 2－2A.1.5 B.1.375 C.1.438 D.1.25 答案 C解析 ∵f (1.406 5)<0，f (1.438)>0， ∴f (1.406 5)·f (1.438)<0，∴该方程的根在区间(1.406 5,1.438)， 又∵|1.406 5－1.438|＝0.031 5＜0.05， ∴方程的近似根为1.406 5或1.438.故选C. 二、填空题7.用二分法求函数f (x )在区间[a ，b ]内的零点时，需要的条件是________. ①f (x )在[a ，b ]上连续不断；②f (a )·f (b )<0；③f (a )·f (b )>0；④f (a )·f (b )≥0. 答案 ①②解析 由二分法适用条件直接可得.8.若函数f (x )的图象是连续不断的，且f (0)>0，f (1)·f (2)·f (4)<0，则下列命题正确的是________. ①函数f (x )在区间(0,1)内有零点； ②函数f (x )在区间(1,2)内有零点； ③函数f (x )在区间(0,2)内有零点； ④函数f (x )在区间(0,4)内有零点. 答案 ④解析 ∵f (0)>0，而由f (1)·f (2)·f (4)<0，知f (1)，f (2)，f (4)中至少有一个小于0.∴函数f (x )在(0,4)上有零点.9.设方程2x ＋2x ＝10的根为β，β所在区间为(n ，n ＋1)，则n ＝________. 答案 2解析 设f (x )＝2x ＋2x －10，则f (x )在R 上为单调增函数，又f (0)＝－9，f (1)＝－6，f (2)＝－2，f (3)＝4，∴f (2)·f (3)＜0，∴β∈(2,3).10.用二分法求方程x 3－x 2－1＝0的一个近似解时，现在已经将一个实数根锁定在区间(1,2)内，则下一步可断定该实数根所在的区间为________. 答案 ⎝⎛⎭⎫1，32 解析 令f (x )＝x 3－x 2－1，则f (1)＝－1＜0，f (2)＝3＞0，f ⎝⎛⎭⎫32＝18＞0，所以f ⎝⎛⎭⎫32f (1)＜0， 故可断定该实数根所在的区间为⎝⎛⎭⎫1，32. 三、解答题11.在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币(质量比真金的略轻).现只有一台天平，请问：利用二分法的思想，你至多几次就一定可以找出这枚假币？解 利用二分法，至多四次就一定可以找出这枚假币.第一次把26枚金币平均分成两组，放在天平上称，天平一定不平衡，轻的一组(13枚金币)含假币；第二次把含假币的13枚金币分成三组，6,6,1，把6枚金币的两组放在天平上称，如果平衡，说明剩下的一枚是假币(称量结束)，如果不平衡，轻的一组(6枚金币)含假币；第三次把含假币的6枚金币分成两组，放在天平上称，天平不平衡，轻的一组(3枚金币)含假币；第四次把含假币的3枚金币中的两枚放在天平上称，如果平衡，说明剩下的一枚是假币，如果不平衡，轻的一边是假币.。
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（时间：25分，满分55分）
班级 姓名 得分
1．（5分）已知函数y ＝f (x )的图象如下图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( )
A ．4,4
B ．3, 4
C ．5,4
D ．4,3
【答案】D 【解析】
试题分析：题中图象与x 轴有4个交点，所以解的个数为4；左、右函数值异号的有3个零点，所以可以用二分法求解的个数为3，故选D. 考点：1、用二分法求方程的近似解.
2.（5分）下列函数中，有零点但不能用二分法求零点近似值的是( )
①y ＝3x 2
－2x ＋5；②y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－x ＋1，x ≥0，x ＋1，x ＜0；③y ＝2
x ＋1，x ∈(－∞，0)；④y ＝x 3－2x
＋3；⑤y ＝1
2
x 2＋4x ＋8.
A ．①③
B ．②⑤
C ．⑤
D ．①④
【答案】C
考点：1、用二分法求方程的近似解.
3.（5分）设f (x )＝lg x ＋x －3，用二分法求方程lg x ＋x －3＝0在(2，3)内近似解的过程中得f (2.25)＜0，f (2.75)＞0，f (2.5)＜0，f (3)＞0，则方程的根落在区间( )
A ．(2，2.25)
B ．(2.25，2.5)
C ．(2.5，2.75)
D ．(2.75，3)
【答案】C 【解析】
试题分析：因为f (2.25)＜0，f (2.75)＞0，由零点存在性定理知，在区间(2.25，2.75)内必有根，利用二分法得f (2.5)＜0，由零点存在性定理知，方程的根在区间(2.5，2.75)，选C. 考点：1、用二分法求方程的近似解.
4.（5分）某方程在区间(2,4)内有一实根，若用二分法求此根的近似值，将此区间分( )次后，所得近似值的精确度可达到0.1( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】D 【解析】
试题分析：等分1次，区间长度为1，等分2次，区间长度变为0.5，…，等分4次，区间长度变为0.125，等分5次，区间长度为0.0625<0.1，符合题意，故选D. 考点：1、用二分法求方程的近似解.
5．（5分）用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间(a ，b )内，当|a －b |＜ε(ε为精确度)时，函数零点近似值x 0＝a ＋b
2
与真实零点的误差最大不超过( )
A.ε4
B.ε
2 C ．ε D ．2ε 【答案】B 【解析】
试题分析：真实零点离近似值x 0最远即靠近a 或b ，而b －a ＋b 2＝a ＋b 2－a ＝b －a 2＝ε2，因此
误差最大不超过ε
2
.
考点：1、用二分法求方程的近似解.
6．（5分）若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
A ．1.2
B ．1.3
C ．1.4
D ．1.5
【答案】C
考点：1、用二分法求方程的近似解.
7．（5分）用二分法求函数y ＝f (x )在区间(2,4)上的近似解，验证f (2)·f (4)<0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点x 1＝2＋42＝3，计算得f (2)·f (x 1)<0，则此时零点x 0∈________.(填
区间)
【答案】(2,3)
【解析】
试题分析：因为f(2)·f(4)<0，f(2)·f(3)<0，所以f(3)·f(4)>0，故x0∈(2,3)．
考点：1、用二分法求方程的近似解.
8．（5分）某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解(精确度为0.1)”时，设f(x)＝lg x＋x－2，算得f(1)＜0，f(2)＞0；在后边过程中，他又用“二分法”取了四个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的四个值依次是________．
【答案】1.5,1.75,1.875,1.8125
【解析】
试题分析：第一次用二分法计算得区间(1.5,2)，第二次得区间(1.75,2)，第三次得区间(17.5,1.875)，第四次得区间(1.75,1.8125)．
考点：1、用二分法求方程的近似解.
9．（5分）利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：
的值为________．
【答案】－1或－0.8
【解析】
试题分析：令f(x)＝2x－x2，由表中的数据可得f(－1)＜0，f(－0.6)＞0；f(－0.8)＜0，f(－0.4)＞0，∴根在区间(－1，－0.6)与(－0.8，－0.4)内，∴a＝－1或a＝－0.8.
考点：1、用二分法求方程的近似解.
10．（10分）某娱乐节目有一个给选手在限定时间内猜一物品的售价的环节，某次猜一品牌手机的价格，手机价格在500～1000元，选手开始报价1000元，主持人回答高了；紧接着报900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你猜中了．表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际上体现了“逼近”的思想，试设计出可行的猜价方案．
【答案】详见解析.
考点：1、用二分法求方程的近似解.。