高考数学专题二函数第练函数中的易错题练习创新

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二次函数常见易错题解析_二次函数易错题

二次函数常见易错题解析_二次函数易错题常见易错题解析二次函数是数学中的重要知识点，也是高中数学课程中常见的考点。

在解题过程中，往往容易出现一些易错的情况。

下面是二次函数常见易错题解析，希望帮助同学们更好地理解和掌握这一部分内容。

易错点一：求解二次函数的零点时，难以正确计算平方根。

解析：在求解二次函数的零点时，往往需要计算平方根。

但是，由于平方根涉及到较为复杂的计算过程，容易出现计算错误的情况。

为了避免此类错误，我们可以注意以下几个方面：首先，注意根号内部的计算是否正确，特别是针对负数进行开平方根计算时，要注意虚数的概念；其次，在计算过程中可以采用分步骤进行计算，减少出错的可能性；最后，可以借助计算器等工具来进行计算，以提高准确性。

易错点二：对二次函数的图像特征理解不准确。

解析：二次函数的图像特征是学习和掌握二次函数的关键。

在解决二次函数相关问题时，往往需要根据图像特征进行分析和判断，但是很多同学对于图像的凹凸性、顶点位置等特征理解不准确，从而导致答案出错。

因此，在学习和掌握二次函数图像特征时，要注意以下几个方面：首先，要理解凹凸性的概念，搞清楚何时是凹、何时是凸；其次，要能够正确理解和计算顶点的坐标，特别是对于带有负号的情况，要仔细计算；最后，可以利用绘图工具进行练习，加深对图像特征的理解。

易错点三：对二次函数的平移、缩放等变换理解不准确。

解析：二次函数的平移、缩放等变换是解决二次函数相关题目的常见方法。

但是，很多同学对于变换的理解不准确，从而导致计算错误。

为了避免此类错误，我们可以注意以下几个方面：首先，要熟悉常见的变换规律，如平移、缩放等；其次，在计算过程中要仔细区分横坐标和纵坐标的变化情况；最后，可以通过绘图工具进行辅助，帮助理解变换的效果。

易错点四：对应用题中二次函数的建立和求解不准确。

解析：二次函数的应用是数学中的重要内容，也是考试中常见的题型。

但是，在应用题中，往往需要建立二次函数模型，并进行求解。

备战中考数学复习《二次函数》专项综合练习附答案解析

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y=13x ﹣43与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=32．（1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE=3PF ．求证：PE ⊥PF ；（3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【解析】【分析】（1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A ，对称轴是x=32列出关于a 、c 的方程组求解即可；（2）设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ，然后再证明∠FPC=∠EPB ，最后通过等量代换进行证明即可；（3）设E （a ，0），然后用含a 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到22x x x x Q P F E ++=，22y y y y Q P F E ++=，从而可求得点Q 的坐标（用含a 的式子表示），最后，将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可．【详解】（1）当y=0时，140 33x-=，解得x=4，即A（4，0），抛物线过点A，对称轴是x=32，得161203322a ca-+=⎧⎪-⎨-=⎪⎩，解得14ac=⎧⎨=-⎩，抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；（2）∵平移直线l经过原点O，得到直线m，∴直线m的解析式为y=13x．∵点P是直线1上任意一点，∴设P（3a，a），则PC=3a，PB=a．又∵PE=3PF，∴PC PBPF PE=．∴∠FPC=∠EPB．∵∠CPE+∠EPB=90°，∴∠FPC+∠CPE=90°，∴FP⊥PE．（3）如图所示，点E在点B的左侧时，设E（a，0），则BE=6﹣a．∵CF=3BE=18﹣3a，∴OF=20﹣3a．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF为矩形，∴22x x x xQ P F E++=，22y y y yQ P F E++=，∴Q x+6=0+a，Q y+2=20﹣3a+0，∴Q x=a﹣6，Q y=18﹣3a．将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．∴Q（﹣2，6）．如下图所示：当点E 在点B 的右侧时，设E （a ，0），则BE=a ﹣6．∵CF=3BE=3a ﹣18，∴OF=3a ﹣20．∴F （0，20﹣3a ）．∵PEQF 为矩形， ∴22x x x x Q P F E ++=，22y y y y Q P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0，∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ．将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．∴Q （2，﹣6）．综上所述，点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含a 的式子表示点Q 的坐标是解题的关键．2．如图1，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （4，0）两点，与y 轴交于点C ，且OC=3OA ．点P 是抛物线上的一个动点，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交直线BC 于点D ，连接PC ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，当动点P 只在第一象限的抛物线上运动时，求过点P 作PF ⊥BC 于点F ，试问△PDF 的周长是否有最大值？如果有，请求出其最大值，如果没有，请说明理由．（3）当点P 在抛物线上运动时，将△CPD 沿直线CP 翻折，点D 的对应点为点Q ，试问，四边形CDPQ 是否成为菱形？如果能，请求出此时点P 的坐标，如果不能，请说明理由．【答案】(1) y=﹣234x +94x+3；(2) 有最大值,365;(3) 存在这样的Q 点，使得四边形CDPQ 是菱形，此时点P 的坐标为（73，256）或（173，﹣253）．【解析】试题分析: （1）利用待定系数法求二次函数的解析式；（2）设P （m ，﹣34m 2+94m+3），△PFD 的周长为L ，再利用待定系数法求直线BC 的解析式为：y=﹣34x+3，表示PD=﹣2334m m +，证明△PFD ∽△BOC ，根据周长比等于对应边的比得：=PED PD BOC BC 的周长的周长，代入得：L=﹣95（m ﹣2）2+365，求L 的最大值即可；（3）如图3，当点Q 落在y 轴上时，四边形CDPQ 是菱形，根据翻折的性质知：CD=CQ ，PQ=PD ，∠PCQ=∠PCD ，又知Q 落在y 轴上时，则CQ ∥PD ，由四边相等：CD=DP=PQ=QC ，得四边形CDPQ 是菱形，表示P （n ，﹣23n 4 +94n+3），则D （n ，﹣34n+3），G （0，﹣34n+3），利用勾股定理表示PD 和CD 的长并列式可得结论．试题解析:（1）由OC=3OA ，有C （0，3），将A （﹣1，0），B （4，0），C （0，3）代入y=ax 2+bx+c 中，得：016403a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：34943a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，故抛物线的解析式为：y=﹣234x +94x+3；（2）如图2，设P （m ，﹣34m 2+94m+3），△PFD 的周长为L ， ∵直线BC 经过B （4，0），C （0，3），设直线BC 的解析式为：y=kx+b ，则403k b b +=⎧⎨=⎩解得：343k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线BC 的解析式为：y=﹣34x+3，则D （m ，﹣334m +），PD=﹣2334m m +， ∵PE ⊥x 轴，PE ∥OC ，∴∠BDE=∠BCO ，∵∠BDE=∠PDF ，∴∠PDF=∠BCO ，∵∠PFD=∠BOC=90°，∴△PFD ∽△BOC ， ∴=PED PD BOC BC的周长的周长，由（1）得：OC=3，OB=4，BC=5，故△BOC 的周长=12，∴2334125m m L -+=，即L=﹣95（m ﹣2）2+365， ∴当m=2时，L 最大=365；（3）存在这样的Q 点，使得四边形CDPQ 是菱形，如图3，当点Q 落在y 轴上时，四边形CDPQ 是菱形，理由是：由轴对称的性质知：CD=CQ ，PQ=PD ，∠PCQ=∠PCD ，当点Q 落在y 轴上时，CQ ∥PD ，∴∠PCQ=∠CPD ，∴∠PCD=∠CPD ，∴CD=PD ，∴CD=DP=PQ=QC ，∴四边形CDPQ 是菱形，过D 作DG ⊥y 轴于点G ，设P （n ，﹣234n +94n+3），则D （n ，﹣34n+3），G （0，﹣334n +），在Rt △CGD 中，CD 2=CG 2+GD 2=[（﹣34n+3）﹣3]2+n 2=22516n ，而|PD|=|（﹣239344n n ++ 3n ++）﹣（﹣34n+3）|=|﹣234n +3n|， ∵PD=CD ，∴﹣235344n n n +=①， ﹣235344n n n +=-②，解方程①得：n=73或0（不符合条件，舍去），解方程②得：n=173或0（不符合条件，舍去），当n=73时，P （73，256），如图3，当n=173时，P （173，﹣253），如图4，综上所述，存在这样的Q 点，使得四边形CDPQ 是菱形，此时点P 的坐标为（73，256）或（173，﹣253）．点睛: 本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求函数的解析式、菱形的性质和判定、三角形相似的性质和判定，将周长的最值问题转化为二次函数的最值问题，此类问题要熟练掌握利用解析式表示线段的长，并利用相似比或勾股定理列方程解决问题．3．已知如图，抛物线y =x 2+bx +c 过点A （3，0），B （1，0），交y 轴于点C ，点P 是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y 轴交直线AC于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）94；（3）点P（1，0）或（2，﹣1）；（4）M（2，﹣3）．【解析】试题分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到b、c的值，即可得解；（2）求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据二次函数的最值问题解答；（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，②求出抛物线顶点坐标，然后判断出点P为在抛物线顶点时，∠PAD是直角，分别写出点P的坐标即可；（4）根据抛物线的对称性可知MA=MB，再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时，|MA﹣MC|最大，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求解即可．试题解析：解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），∴93010b cb c++=⎧⎨++=⎩，解得43bc=-⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；（2）令x=0，则y=3，∴点C（0，3），则直线AC的解析式为y=﹣x+3，设点P（x，x2﹣4x+3）．∵PD∥y轴，∴点D（x，﹣x+3），∴PD=（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣32）2+94．∵a=﹣1＜0，∴当x=32时，线段PD的长度有最大值94；（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，此时，点P（1，0），②∵y=x2﹣4x+3=（x ﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）．∵A（3，0），∴点P为在抛物线顶点时，∠PAD=45°+45°=90°，此时，点P（2，﹣1）．综上所述：点P（1，0）或（2，﹣1）时，△APD能构成直角三角形；（4）由抛物线的对称性，对称轴垂直平分AB ，∴MA =MB ，由三角形的三边关系，|MA ﹣MC |＜BC ，∴当M 、B 、C 三点共线时，|MA ﹣MC |最大，为BC 的长度，设直线BC 的解析式为y =kx +b （k ≠0），则03k b b +=⎧⎨=⎩，解得：33k b =-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的解析式为y =﹣3x +3．∵抛物线y =x 2﹣4x +3的对称轴为直线x =2，∴当x =2时，y =﹣3×2+3=﹣3，∴点M （2，﹣3），即，抛物线对称轴上存在点M （2，﹣3），使|MA ﹣MC |最大．点睛：本题是二次函数综合题，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数的对称性以及顶点坐标的求解，（2）整理出PD 的表达式是解题的关键，（3）关键在于利用点的坐标特征作出判断，（4）根据抛物线的对称性和三角形的三边关系判断出点M 的位置是解题的关键．4．如图所示，抛物线2y ax bx c =++的顶点为()2,4M --，与x 轴交于A 、B 两点，且()6,0A -，与y 轴交于点C ．()1求抛物线的函数解析式；()2求ABC 的面积；()3能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P ，使APC 的面积最大？若能，请求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．【答案】()1 2134y x x =+-；()212；()27334APC x S =-当时，有最大值，点P 的坐标是153,4P ⎛⎫--⎪⎝⎭．【解析】【分析】(1)设顶点式并代入已知点()6,0A -即可；(2)令y=0，求出A 、B 和C 点坐标，运用三角形面积公式计算即可；(3)假设存在这样的点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点F ，线段PF 的长度即为两函数值之差，将APC 的面积计算拆分为APF CPF SS +即可.【详解】 ()1设此函数的解析式为2()y a x h k =++，∵函数图象顶点为()2,4M --，∴2(2)4y a x =+-，又∵函数图象经过点()6,0A -，∴20(62)4a =-+- 解得14a =， ∴此函数的解析式为21(2)44y x =+-，即2134y x x =+-； ()2∵点C 是函数2134y x x =+-的图象与y 轴的交点， ∴点C 的坐标是()0,3-，又当0y =时，有21304y x x =+-=，解得16x =-，22x =，∴点B 的坐标是()2,0，则11831222ABC S AB OC =⋅=⨯⨯=； ()3假设存在这样的点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点F ．设(),0E x ，则21,34P x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，设直线AC 的解析式为y kx b =+，∵直线AC 过点()6,0A -，()0,3C -，∴603k b b -+=⎧⎨-=⎩，解得123k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AC 的解析式为132y x =--， ∴点F 的坐标为1,32F x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则221113332442PF x x x x x ⎛⎫=---+-=-- ⎪⎝⎭， ∴1122APC APF CPF S S S PF AE PF OE =+=⋅+⋅ 2221113393276(3)22424244PF OA x x x x x ⎛⎫=⋅=--⨯=--=-++ ⎪⎝⎭， ∴当3x =-时，APC S 有最大值274，此时点P 的坐标是153,4P ⎛⎫--⎪⎝⎭．【点睛】本题第3问中将所求三角形拆分为两个小三角形进行求解，从而将面积最大的问题转化为PF 最大进行理解.5．对于二次函数 y=ax 2+（b+1）x+（b ﹣1），若存在实数 x 0，使得当 x=x 0，函数 y=x 0，则称x 0 为该函数的“不变值”.（1）当 a=1，b=﹣2 时，求该函数的“不变值”；（2）对任意实数 b ，函数 y 恒有两个相异的“不变值”，求 a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若该图象上 A 、B 两点的横坐标是该函数的“不变值”，且 A 、B 两点关于直线 y=kx-2a+3 对称，求 b 的最小值.【答案】（1）－1，3；（2）0<a<1；（3）－98【解析】【分析】（1）先确定二次函数解析式为y=x 2-x-3，根据x o 是函数y 的一个不动点的定义，把（x o ，x o ）代入得x 02-x 0-3=x o ，然后解此一元二次方程即可；（2）根据x o 是函数y 的一个不动点的定义得到ax o 2+（b+1）x o +（b-1）=x o ，整理得ax 02+bx o +（b-1）=0，则根据判别式的意义得到△=b 2-4a （b-1）>0，即b 2-4ab+4a>0，把b 2-4ab+4a 看作b 的二次函数，由于对任意实数b ，b 2-4ab+4a>0成立，则（4a ）2-4.4a<0，然后解此不等式即可.（3）（利用两点关于直线对称的两个结论，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直.找到a ，b 之间的关系式，整理后在利用基本不等式求解可得.【详解】解：（1）当a=1，b=-2时，二次函数解析式为y=x 2-x-3，把（x o ，x o ）代入得x 02-x 0-3=x o ，解得x o =-1或x o =3，所以函数y 的不动点为-1和3；（2）因为y=x o ，所以ax o 2+（b+1）x o +（b-1）=x o ，即ax 02+bx o +（b-1）=0，因为函数y 恒有两个相异的不动点，所以此方程有两个不相等的实数解，所以△=b 2-4a （b-1）>0，即b 2-4ab+4a>0，而对任意实数b ，b 2-4ab+4a>0成立，所以（4a ）2-4.4a<0，解得0<a<1.（3）设A （x 1，x 1），B （x 2，x 2），则x 1+x 2b a =-A ，B 的中点的坐标为（1212,22x x x x ++ ），即M （,22b b a a-- ） A 、B 两点关于直线y=kx-2a+3对称，又∵A ，B 在直线y=x 上，∴k=-1，A ，B 的中点M 在直线y=kx-2a+3上. ∴b a -=b a-2a+3 得：b=2a 2-3a 所以当且仅当a=34 时，b 有最小值－98【点睛】本题是在新定义下对函数知识的综合考查，是一道好题.关于两点关于直线对称的问题，有两个结论同时存在，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直.6．已知抛物线2(5)6y x m x m =-+-+-.（1）求证：该抛物线与x 轴总有交点；（2）若该抛物线与x 轴有一个交点的横坐标大于3且小于5，求m 的取值范围；（3）设抛物线2(5)6y x m x m =-+-+-与y 轴交于点M ，若抛物线与x 轴的一个交点关于直线y x =-的对称点恰好是点M ，求m 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）1?<?m?3<；（3）56m m ==或【解析】【分析】（1）本题需先根据判别式解出无论m 为任何实数都不小于零，再判断出物线与x 轴总有交点．（2）根据公式法解方程，利用已有的条件，就能确定出m 的取值范围，即可得到结果．（3）根据抛物线y=-x 2+（5-m ）x+6-m ，求出与y 轴的交点M 的坐标，再确定抛物线与x 轴的两个交点关于直线y=-x 的对称点的坐标，列方程可得结论．【详解】（1）证明：∵()()()222454670b ac m m m ∆=-=-+-=-≥∴抛物线与x 轴总有交点.（2）解：由（1）()27m ∆=-，根据求根公式可知，方程的两根为：2572m m x （）-±-=- 即1216x x m =-=-+，由题意，有 3<-m 6<5+1<?m 3∴<(3)解：令 x = 0， y =6m -+∴ M （0，6m -+）由（2）可知抛物线与x 轴的交点为（-1，0）和（6m -+，0），它们关于直线y x =-的对称点分别为（0 ， 1）和（0， 6m -），由题意，可得：6166m m m 或-+=-+=-56m m ∴==或【点睛】本题考查对抛物线与x 轴的交点，解一元一次方程，解一元一次不等式，根的判别式，对称等，解题关键是熟练理解和掌握以上性质，并能综合运用这些性质进行计算．7．如图①,已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图像经过点A （0，3)、B （1，0），其对称轴为直线l ：x=2，过点A 作AC ∥x 轴交抛物线于点C ，∠AOB 的平分线交线段AC 于点E ，点P 是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P 在直线OE 下方的抛物线上，连结PE 、PO ，当m 为何值时，四边形AOPE 面积最大，并求出其最大值；（3）如图②，F 是抛物线的对称轴l 上的一点，在抛物线上是否存在点P 使△POF 成为以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）当m=52时，四边形AOPE面积最大，最大值为758.（3）P点的坐标为：P1（3+5，152-），P2（352，1+52），P3（5+52，1+52），P4（55-，152-）.【解析】分析：（1）利用对称性可得点D的坐标，利用交点式可得抛物线的解析式；（2）设P（m，m2-4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得四边形AOPE的面积，利用配方法可得其最大值；（3）存在四种情况：如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据OM=PN列方程可得点P 的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标．详解：（1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D，由对称性得：D（3，0），设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），把A（0，3）代入得：3=3a，a=1，∴抛物线的解析式；y=x2-4x+3；（2）如图2，设P（m，m2-4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，∴∠AOE=45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE=OA=3，∴E （3，3），易得OE 的解析式为：y=x ，过P 作PG ∥y 轴，交OE 于点G ，∴G （m ，m ），∴PG=m-（m 2-4m+3）=-m 2+5m-3，∴S 四边形AOPE =S △AOE +S △POE ， =12×3×3+12PG•AE ， =92+12×3×（-m 2+5m-3）， =-32m 2+152m ， =32（m-52）2+758， ∵-32＜0， ∴当m=52时，S 有最大值是758；（3）如图3，过P 作MN ⊥y 轴，交y 轴于M ，交l 于N ，∵△OPF 是等腰直角三角形，且OP=PF ，易得△OMP ≌△PNF ，∴OM=PN ，∵P （m ，m 2-4m+3），则-m 2+4m-3=2-m ，解得：5+555- ∴P 5+51+555-152）；如图4，过P 作MN ⊥x 轴于N ，过F 作FM ⊥MN 于M ，同理得△ONP≌△PMF，∴PN=FM，则-m2+4m-3=m-2，解得：3+535；P3+5152-35，1+5综上所述，点P的坐标是：（52，1+52）或（552-，1523+515-35，1+5）．点睛：本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用配方法，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．8．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）（1）求该函数的关系式；（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15.【解析】【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B 点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标；（3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积．【详解】（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4，将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3），令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位，故A'（2，4），B'（5，﹣5），∴S△OA′B′=12×（2+5）×9﹣12×2×4﹣12×5×5=15．【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的求法等知识．熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.9．如图1，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，过点B的直线y=kx+23分别与y轴及抛物线交于点C，D．（1）求直线和抛物线的表达式；（2）动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值；（3）如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为：y=228233x x +-，BD 解析式为y=﹣2233x +；（2）t 的值为4915129±、233．（3）N 点坐标为（﹣2，﹣2），M 点坐标为（﹣32，﹣54），213 【解析】分析：（1）利用待定系数法求解可得；（2）先求得点D 的坐标，过点D 分别作DE ⊥x 轴、DF ⊥y 轴，分P 1D ⊥P 1C 、P 2D ⊥DC 、P 3C ⊥DC 三种情况，利用相似三角形的性质逐一求解可得；（3）通过作对称点，将折线转化成两点间距离，应用两点之间线段最短．详解：（1）把A （﹣4，0），B （1，0）代入y=ax 2+2x+c ，得168020a c a c -+=⎧⎨++=⎩，解得：2383a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴抛物线解析式为：y=228233x x +-， ∵过点B 的直线y=kx+23， ∴代入（1，0），得：k=﹣23， ∴BD 解析式为y=﹣2233x +；（2）由2282332233y x x y x ﹣⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得交点坐标为D （﹣5，4），如图1，过D 作DE ⊥x 轴于点E ，作DF ⊥y 轴于点F ，当P1D⊥P1C时，△P1DC为直角三角形，则△DEP1∽△P1OC，∴DEPO =PEOC，即4t=523t-，解得15129±，当P2D⊥DC于点D时，△P2DC为直角三角形由△P2DB∽△DEB得DBEB=2P BDB，52=526，解得：t=233；当P3C⊥DC时，△DFC∽△COP3，∴DFOC =3CFP O，即523=103t，解得：t=49，∴t的值为4915129±、233．（3）由已知直线EF解析式为：y=﹣23x﹣103，在抛物线上取点D的对称点D′，过点D′作D′N⊥EF于点N，交抛物线对称轴于点M过点N 作NH ⊥DD′于点H ，此时，DM+MN=D′N 最小．则△EOF ∽△NHD′设点N 坐标为（a ，﹣21033a -）， ∴OE NH =OF HD '，即52104()33a ---=1032a -，解得：a=﹣2，则N 点坐标为（﹣2，﹣2），求得直线ND′的解析式为y=32x+1，当x=﹣32时，y=﹣54， ∴M 点坐标为（﹣32，﹣54），此时，DM+MN 的值最小为22D H NH '+=2246+=213．点睛：本题是二次函数和几何问题综合题，应用了二次函数性质以及转化的数学思想、分类讨论思想．解题时注意数形结合．10．如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a≠0）经过A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当点P 到点A 、点B 的距离之和最短时，求点P 的坐标；（3）点M 也是直线l 上的动点，且△MAC 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标．【答案】（1）223y x x =--；（2）P （1，0）；（3）．【解析】试题分析：（1）直接将A 、B 、C 三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可；（2）由图知：A ．B 点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知，直线l 与x 轴的交点，即为符合条件的P 点；（3）由于△MAC 的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA=AC 、②MA=MC 、③AC=MC ；可先设出M 点的坐标，然后用M 点纵坐标表示△MAC 的三边长，再按上面的三种情况列式求解．试题解析：（1）将A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）代入抛物线2y ax bx c=++中，得：0{9303a b c a b c c -+=++==-，解得：1{23a b c ==-=-，故抛物线的解析式：223y x x =--．（2）当P 点在x 轴上，P ，A ，B 三点在一条直线上时，点P 到点A 、点B 的距离之和最短，此时x=2b a -=1，故P （1，0）；（3）如图所示：抛物线的对称轴为：x=2b a -=1，设M （1，m ），已知A （﹣1，0）、C （0，﹣3），则：2MA =24m +，2MC =2(3)1m ++=2610m m ++，2AC =10；①若MA=MC ，则22MA MC =，得：24m +=2610m m ++，解得：m=﹣1； ②若MA=AC ，则22MA AC =，得：24m +=10，得：m=6±；③若MC=AC ，则22MC AC =，得：2610m m ++=10，得：10m =，26m =-；当m=﹣6时，M 、A 、C 三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；综上可知，符合条件的M 点，且坐标为 M （1，6）（1，6-）（1，﹣1）（1，0）．考点：二次函数综合题；分类讨论；综合题；动点型．。

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《函数与导数》技巧及练习题附答案

【高中数学】数学《函数与导数》高考复习知识点一、选择题1．函数()2sin 2xf x x x x=+-的大致图象为（） A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】【分析】利用()10f <，以及函数的极限思想，可以排除错误选项得到正确答案。

【详解】()1sin112sin110f =+-=-<，排除，B ，C ，当0x =时，sin 0x x ==，则0x →时，sin 1xx→，()101f x →+=，排除A ，故选：D ．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用排除法结合函数的极限思想是解决本题的关键。

2．336ax ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭的展开式中，第三项的系数为1，则11a dx x =⎰（） A ．2ln 2 B ．ln 2 C ．2 D ．1【答案】A 【解析】【分析】首先根据二项式定理求出a ，把a 的值带入11adx x⎰即可求出结果. 【详解】解题分析根据二项式3ax ⎛- ⎝⎭的展开式的通项公式得221213()4aT C ax x +⎛== ⎝⎭. Q 第三项的系数为1，1,44aa ∴=∴=，则4411111d d ln 2ln 2a x x x x x ===⎰⎰.故选：A 【点睛】本题考查二项式定理及定积分. 需要记住二项式定理展开公式：1C k n k kk n T a b -+=.属于中等题.3．设定义在(0,)+∞的函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()3f x f x x'->，则关于x 的不等式31(3)(3)03x f x f ⎛⎫---< ⎪⎝⎭的解集为（）A ．()3,6B ．()0,3C ．()0,6D ．()6,+∞【答案】A 【解析】【分析】根据条件，构造函数3()()g x x f x =，利用函数的单调性和导数之间的关系即可判断出该函数在(,0)-∞上为增函数，然后将所求不等式转化为对应函数值的关系，根据单调性得出自变量值的关系从而解出不等式即可．【详解】解：Q 3(1)(3)(3)03x f x f ---<，3(3)(3)27x f x f ∴---（3）0<， 3(3)(3)27x f x f ∴--<（3），Q 定义在(0,)+∞的函数()f x ，3x ∴<，令3()()g x x f x =，∴不等式3(3)(3)27x f x f --<（3），即为(3)g x g -<（3），323()(())3()()g x x f x x f x x f x '='=+'，Q()()3f x f x x'->，()3()xf x f x ∴'>-， ()3()0xf x f x ∴'+>，32()3()0x f x x f x ∴+>，()0g x ∴'>， ()g x ∴单调递增，又因为由上可知(3)g x g -<（3）， 33x ∴-<，3x <Q ， 36x ∴<<．故选：A ．【点睛】本题主要考查不等式的解法：利用条件构造函数，利用函数单调性和导数之间的关系判断函数的单调性，属于中档题．4．已知3215()632f x x ax ax b =-++的两个极值点分别为()1212,x x x x ≠，且2132x x =，则函数12()()f x f x -=（） A ．1- B ．16C ．1D ．与b 有关【答案】B 【解析】【分析】求出函数的导数，利用韦达定理得到12,,a x x 满足的方程组，解方程组可以得到12,,a x x ，从而可求()()12f x f x -．【详解】()2'56f x x ax a =-+，故125x x a +=，126x x a =，且225240a a ->，又2132x x =，所以122,3x a x a ==，故266a a =，解得0a =（舎）或者1a =．此时122,3x x ==， ()3215632f x x x x b =-++，故()()()()()1215182749623326f x f x -=⨯---+-= 故选B ．【点睛】如果()f x 在0x 处及附近可导且0x 的左右两侧导数的符号发生变化，则0x x =必为函数的极值点且()00f x =．极大值点、极小值点的判断方法如下：（1）在0x 的左侧附近，有()'0f x >，在0x 的右侧附近，有()'0f x <，则0x x =为函数的极大值点；（2）在0x 的左侧附近，有()'0f x <，在0x 的右侧附近()'0f x >，有，则0x x =为函数的极小值点．5．函数f （x ）＝x ﹣g （x ）的图象在点x ＝2处的切线方程是y ＝﹣x ﹣1，则g （2）+g '（2）＝（） A ．7 B ．4C ．0D ．﹣4【答案】A 【解析】()()()(),'1'f x x g x f x g x =-∴=-Q ，因为函数()()f x x g x =-的图像在点2x =处的切线方程是1y x =--，所以()()23,'21f f =-=-，()()()()2'2221'27g g f f ∴+=-+-=，故选A ．6．已知函数()lg f x x =，0a b >>，()()f a f b =，则22a b a b+-的最小值等于（）．A B ．C ．2D ．【答案】D 【解析】试题分析：因为函数()lg f x x =，0a b >>，()()f a f b = 所以lg lg a b =- 所以1a b=，即1ab =，0a b >>22a ba b+-22()2()22()a b ab a b a b a b a b a b -+-+===-+---≥=当且仅当2a b a b-=-，即a b -=时等号成立所以22a b a b +-的最下值为故答案选D考点：基本不等式．7．函数()xe f x x=的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】函数()xe f x x=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U ，排除选项A ；当0x >时，()0f x >，且()2(1)'xx e f x x-= ，故当()0,1x ∈时，函数单调递减，当()1,x ∈+∞时，函数单调递增，排除选项C ；当0x <时，函数()0xe f x x=<，排除选项D ，选项B 正确．选B ．点睛：函数图象的识别可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复； (5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．8．三个数22323ln a b ln c e ===，，的大小顺序为( ) A ．b <c <a B ．b <a <cC ．c <a <bD ．a <b <c【答案】D 【解析】【分析】通过证明13a b c <<<，由此得出三者的大小关系. 【详解】132221ln 63a e e =<==，由于6123e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，6328==，所以13e <，所以131ln 3e =<13a b <<.而66113232228,339⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以113223<，所以11321ln 2ln 3ln 33<=，即b c <，所以a b c <<.故选：D 【点睛】本小题主要考查指数式、对数式比较大小，考查指数运算和对数运算，属于中档题.9．已知函数()322f x x ax bx a =+++在1x =处取极值10，则a =（）A ．4或3-B ．4或11-C ．4D ．3-【答案】C 【解析】分析：根据函数的极值点和极值得到关于,a b 的方程组，解方程组并进行验证可得所求．详解：∵322()f x x ax bx a =+++， ∴2()32f x x ax b '=++．由题意得2(1)320(1)110f a b f a b a =++=⎧⎨=+++='⎩，即2239a b a b a +=-⎧⎨++=⎩，解得33a b =-⎧⎨=⎩或411a b =⎧⎨=-⎩．当33a b =-⎧⎨=⎩时，22()3633(1)0f x x x x '=-+=-≥，故函数()f x 单调递增，无极值．不符合题意． ∴4a =．故选C ．点睛：（1）导函数的零点并不一定就是函数的极值点，所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是函数的极值点．（2）对于可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是函数f (x )在x ＝x 0处有极值的必要不充分条件，因此在根据函数的极值点或极值求得参数的值后需要进行验证，舍掉不符合题意的值．10．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,当0x ≥时,2()4f x x x =-,则不等式(2)5f x +<的解集为（）A ．(3,7)-B ．()4,5-C ．(7,3)-D ．()2,6-【答案】C 【解析】【分析】首先求出当0x ≥时不等式的解集，在根据偶函数的对称性求出当0x <时不等式的解集，从而求出()5f x <的解集，则525x -<+<，即可得解. 【详解】当0x ≥时,2()45f x x x =-<的解为05x <≤；当0x <时，根据偶函数图像的对称性知不等式()5f x <的解为5x 0-<<，所以不等式()5f x <的解集为{}55x x -<<，所以不等式(2)5f x +<的解集为{}{}52573x x x x -<+<=-<<. 故选：C 【点睛】本题考查偶函数的性质，涉及一元二次不等式，属于基础题.11．函数()2log ,0,2,0,x x x f x x ⎧>=⎨≤⎩则函数()()()2384g x f x f x =-+的零点个数是（）A ．5B ．4C ．3D ．6【答案】A 【解析】【分析】通过对()g x 式子的分析，把求零点个数转化成求方程的根，结合图象，数形结合得到根的个数，即可得到零点个数．【详解】函数()()()2384g x f x f x =-+=()()322f x f x --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的零点即方程()23f x =和()2f x =的根，函数()2log ,0,2,0xx x f x x ⎧>=⎨≤⎩的图象如图所示：由图可得方程()23f x =和()2f x =共有5个根，即函数()()()2384g x f x f x =-+有5个零点,故选：A. 【点睛】本题考查函数的零点与方程的根的个数的关系，注意结合图象，利用数形结合求得结果时作图很关键，要标准．12．在平面直角坐标系中，若P ，Q 满足条件：（1）P ,Q 都在函数f （x ）的图象上；（2）P ,Q 两点关于直线y=x 对称，则称点对{P ,Q}是函数f(x)的一对“可交换点对”.（{P ,Q}与{Q,P}看作同一“可交换点”.试问函数2232(0)(){log (0)x x x f x x x ++≤=>的“可交换点对有（）A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对【答案】C 【解析】试题分析：设p （x ，y ）是满足条件的“可交换点”,则对应的关于直线y=x 的对称点Q 是（y ，x ），所以232x x ++=2x ,由于函数y=232x x ++和y=2x 的图象由两个交点，因此满足条件的“可交换点对”有两个，故选C. 考点：函数的性质13．已知函数()f x 为偶函数，当x ＜0时，2()ln()f x x x =--，则曲线()y f x =在x ＝1处的切线方程为（） A ．x -y ＝0 B ．x -y -2＝0 C ．x +y -2＝0 D ．3x -y -2＝0【答案】A 【解析】【分析】先求出当0x >时，()f x 的解析式，再利用导数的几何意义计算即可得到答案. 【详解】当0x >时，0x -<，2()ln f x x x -=-，又函数()f x 为偶函数，所以2()ln f x x x =-，(1)1f =，所以'1()2f x x x=-，'(1)1f =，故切线方程为11y x -=-，即y x =.故选：A ．【点睛】本题考查导数的几何意义，涉及到函数的奇偶性求对称区间的解析式，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.14．已知函数()2814f x x x =++，()()2log 4g x x =，若[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，则a 的最大值为（）A ．-4B ．-3C ．-2D ．-1【答案】C 【解析】【分析】由[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立得：()f x 的值域为()g x 的值域的子集，从而28142a a ++≤，故可求a 的最大值为2-.【详解】由[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，得：()f x 的值域为()g x 的值域的子集，由()()2log 4g x x =(]20,1x ∈()2g x ⇒≤ ，所以(](),2g x ∈-∞ 当43a --≤≤ 时，()21f x-＃-，此时()f x 的值域为()g x 的值域的子集成立.当3a >-时，()22814f x a a -≤≤++，须满足()f x 的值域为()g x 的值域的子集，即28142a a ++≤，得62a -≤≤- 所以a 的最大值为2-. 故选：C. 【点睛】本题主要考查恒成立和存在性问题，注意把两类问题转化为函数值域的包含关系，此问题属于中档题目.15．已知定义在R 上的函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，且当2x >时，()()2()x f x f x f x ''⋅+>，若(1)1f =.则不等式1()2f x x <-的解集是（） A ．(2,3) B ．(,1)-∞C ．()(1,2)2,3⋃D ．()(,1)3,-∞⋃+∞【答案】C 【解析】【分析】令()|2|()F x x f x =-，当2x >时，则()(2)()F x x f x =-，利用导数可得当2x >时，()F x 单调递增，根据题意可得()F x 的图象关于2x =对称，不等式1()|2|f x x <-等价于|2|()1(2)x f x x -<≠，从而()(1)F x F <，利用对称性可得|2||12|x -<-，解不等式即可. 【详解】当2x >时，()()2()x f x f x f x ''⋅+>，∴(2)()()0x f x f x '-+>，令()|2|()F x x f x =-.当2x >时，则()(2)()F x x f x =-，()(2)()()0F x x f x f x ''=-+>，即当2x >时，()F x 单调递增. 函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，所以(2)(2)F x F x +=-，即()F x 的图象关于2x =对称，不等式1()|2|f x x <-等价于|2|()1(2)x f x x -<≠， (1)|12|(1)(1)1F f f =-==，即()(1)F x F <，所以|2||12|x -<-，解得13x <<且2x ≠，解集为(1,2)(2,3)U . 故选：C 【点睛】本题考查了导数在解不等式中的应用、函数的对称性的应用以及绝对值不等式的解法，属于中档题.16．已知函数f （x ）＝2x －1，()2cos 2,0?2,0a x x g x x a x +≥⎧=⎨+<⎩（a ∈R ），若对任意x 1∈[1，＋∞），总存在x 2∈R ，使f （x 1）＝g （x 2），则实数a 的取值范围是（） A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．[]1,1,22⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭U D ．371,,224⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U 【答案】C 【解析】【分析】对a 分a=0,a ＜0和a ＞0讨论，a ＞0时分两种情况讨论，比较两个函数的值域的关系，即得实数a 的取值范围. 【详解】当a =0时，函数f （x ）＝2x －1的值域为[1,+∞），函数()g x 的值域为[0,++∞），满足题意. 当a ＜0时，y =22(0)x a x +<的值域为（2a ,+∞）, y =()cos 20a x x +≥的值域为[a +2,-a +2],因为a +2-2a =2-a >0,所以a +2＞2a ,所以此时函数g (x )的值域为（2a ,+∞）, 由题得2a ＜1，即a ＜12，即a ＜0. 当a ＞0时，y =22(0)x a x +<的值域为（2a ,+∞）,y =()cos 20a x x +≥的值域为[-a +2,a +2], 当a ≥23时，-a +2≤2a ,由题得21,1222a a a a-+≤⎧∴≤≤⎨+≥⎩. 当0＜a ＜23时，-a +2＞2a ，由题得2a ＜1，所以a ＜12.所以0＜a ＜12. 综合得a 的范围为a ＜12或1≤a ≤2，故选C . 【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，考查指数函数和三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.17．函数2ln x x y x=的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】【分析】根据函数为偶函数排除B ,当0x >时,利用导数得()f x 在1(0,)e上递减,在1(,)e+∞上递增,根据单调性分析,A C 不正确,故只能选D . 【详解】令2ln ||()||x x f x x =,则2()ln ||()()||x x f x f x x ---==-,所以函数()f x 为偶函数,其图像关于y 轴对称,故B 不正确,当0x >时,2ln ()ln x xf x x x x==,()1ln f x x '=+,由()0f x '>,得1x e >,由()0f x '<,得10x e<<, 所以()f x 在1(0,)e上递减,在1(,)e +∞上递增,结合图像分析,,A C 不正确.故选:D 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性判断函数的图象,考查了利用导数研究函数的单调性,利用单调性判断函数的图象,属于中档题.18．函数()()()log 5,0,1a f x ax a a =->≠在()1,3上是减函数，则a 的取值范围是( )A ．5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,15⎛⎫⎪⎝⎭C ．51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．51,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】【分析】根据0a >可知5y ax =-在定义域内单调递减，若使得函数()()()log 5,0,1a f x ax a a =->≠在()1,3上是减函数，则需1530a a >⎧⎨-≥⎩，解不等式即可.【详解】 0a >Q5y ax ∴=-在定义域内单调递减若使得函数()()()log 5,0,1a f x ax a a =->≠在()1,3上是减函数则需1530a a >⎧⎨-≥⎩，解得513a <≤故选：D 【点睛】本题考查对数函数的单调性，属于中档题.19．科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到，任画一条线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每条小线段重复上述步骤，得到16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，…，如此进行“n 次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度达到初始线段的1000倍，则至少需要通过构造的次数是（）.（取lg30.4771≈，lg 20.3010≈）A ．16B ．17C ．24D ．25【答案】D 【解析】【分析】由折线长度变化规律可知“n 次构造”后的折线长度为43na ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由此得到410003n⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，利用运算法则可知32lg 2lg 3n ≥⨯-，由此计算得到结果.【详解】记初始线段长度为a ，则“一次构造”后的折线长度为43a ，“二次构造”后的折线长度为243a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，以此类推，“n 次构造”后的折线长度为43na ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若得到的折线长度为初始线段长度的1000倍，则410003na a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，即410003n⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，()()44lg lg lg 4lg32lg 2lg3lg1000333nn n n ⎛⎫∴==-=-≥= ⎪⎝⎭，即324.0220.30100.4771n ≥≈⨯-，∴至少需要25次构造.故选：D . 【点睛】本题考查数列新定义运算的问题，涉及到对数运算法则的应用，关键是能够通过构造原则得到每次构造后所得折线长度成等比数列的特点.20．设1130,,a xdx b xdx c x dx ===⎰⎰⎰，则,,a b c 的大小关系为（）A ．b c a >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．a b c >>【答案】D 【解析】根据微积分定理，3120022|33a xdx x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，1210011|22b xdx x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰，13410011|44c x dx x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰，所以a b c >>，故选择D 。

(带答案)高中数学第二章一元二次函数方程和不等式重点易错题

(每日一练)高中数学第二章一元二次函数方程和不等式重点易错题高中数学第二章一元二次函数方程和不等式重点易错题单选题1、关于x 的方程x 2+2(m −1)x +m 2−m =0有两个实数根α，β，且α2+β2=12，那么m 的值为（）A ．−1B ．−4C ．−4或1D ．−1或4答案：A分析：α2+β2=(α+β)2−2α⋅β，利用韦达定理可得答案.∵关于x 的方程x 2+2(m −1)x +m 2−m =0有两个实数根，∴Δ=[2(m −1)]2−4×1×(m 2−m )=−4m +4⩾0，解得：m ⩽1，∵关于x 的方程x 2+2(m −1)x +m 2−m =0有两个实数根α，β，∴α+β=−2(m −1)，α⋅β=m 2−m ，∴α2+β2=(α+β)2−2α⋅β=[−2(m −1)]2−2(m 2−m )=12，即m 2−3m −4=0，解得：m =−1或m =4(舍去).故选：A.2、已知正实数a ，b 满足a +1b =2，则2ab +1a 的最小值是（）A ．52B ．3C ．92D ．2√2+1答案：A分析：由已知得，a=2−1b 代入得2ab+1a=2(2b−1)+b2b−1，令2b−1=t，根据基本不等式可求得答案.解：因为a+1b =2，所以a=2−1b>0，所以0<b<2，所以2ab+1a =2(2−1b)b+b2b−1=2(2b−1)+b2b−1，令2b−1=t，则b=t+12，且−1<t<3，所以2ab+1a =2t+t+12t=2t+12t+12≥2√2t⋅12t+12=52，当且仅当2t=12t，即t=12，b=34,a=23时，取等号，所以2ab+1a 的最小值是52.故选：A.3、若不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|−1<x<2}，则不等式a(x2+1)+b(x−1)+c>2ax的解集是（）A．{x|0<x<3}B．{x|x<0或x>3}C．{x|1<x<3}D．{x|−1<x<3}答案：A分析：由题知{ba=−1ca=−2，a<0，进而将不等式转化为x2−3x<0，再解不等式即可.解：由a(x2+1)+b(x−1)+c>2ax，整理得ax2+(b−2a)x+(a+c−b)>0①．又不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|−1<x<2}，所以a<0，且{(−1)+2=−ba(−1)×2=ca，即{ba=−1ca=−2②．将①两边同除以a得：x2+(ba −2)x+(1+ca−ba)<0③．将②代入③得：x2−3x<0，解得0<x<3．故选：A4、设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点，若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（）A．4B．8C．16D．32答案：B分析：因为C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，可得双曲线的渐近线方程是y=±bax，与直线x=a联立方程求得D，E两点坐标，即可求得|ED|，根据△ODE的面积为8，可得ab值，根据2c=2√a2+b2，结合均值不等式，即可求得答案.∵C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)∴双曲线的渐近线方程是y=±bax∵直线x=a与双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点不妨设D为在第一象限，E在第四象限联立{x=ay=ba x，解得{x=ay=b故D(a,b)联立{x=ay=−ba x，解得{x=ay=−b故E(a,−b)∴|ED|=2b∴△ODE面积为：S△ODE=12a×2b=ab=8∵双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)∴其焦距为2c=2√a2+b2≥2√2ab=2√16=8当且仅当a=b=2√2取等号∴C的焦距的最小值：8故选：B.小提示：本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.5、若a>0，b>0，则下面结论正确的有（）A．2(a2+b2)≤(a+b)2B．若1a +4b=2，则a+b≥92C．若ab+b2=2，则a+b≥4D．若a+b=1，则ab有最大值12答案：B分析：对于选项ABD利用基本不等式化简整理求解即可判断，对于选项C取特值即可判断即可. 对于选项A：若a>0，b>0，由基本不等式得a2+b2≥2ab，即2(a2+b2)≥(a+b)2，当且仅当a=b时取等号；所以选项A不正确；对于选项B：若a>0，b>0，1 2×(1a+4b)=1，a+b=12×(1a+4b)(a+b)=12(5+ba+4ab)≥12(5+2√ba⋅4ab)=92，当且仅当1a +4b=2且ba=4ab，即a=32,b=3时取等号，所以选项B正确；对于选项C：由a>0，b>0，ab+b2=b(a+b)=2，即a+b=2b，如b=2时，a+b=22=1<4，所以选项C不正确；对于选项D：ab≤(a+b2)2=14，当且仅当a=b=12时取等则ab有最大值14，所以选项D不正确；故选：B6、已知函数y=x−4+9x+1(x>−1)，当x=a时，y取得最小值b，则a+b=（）A．−3B．2C．3D．8答案：C分析：通过题意可得x+1>0，然后由基本不等式即可求得答案解：因为x>−1，所以9x+1>0,x+1>0，所以y=x−4+9x+1=x+1+9x+1−5≥2√(x+1)⋅9x+1−5=1,当且仅当x+1=9x+1即x=2时，取等号，所以y的最小值为1，所以a=2,b=1，所以a+b=3，故选：C7、已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<−1或x>4}，则下列说法正确的是（）A．a>0B．不等式ax2+cx+b>0的解集为{x|2−√7<x<2+√7}C．a+b+c<0D．不等式ax+b>0的解集为{x|x>3}答案：B分析：根据解集形式确定选项A错误；化不等式为x2−4x−3<0,即可判断选项B正确；设f(x)=ax2+ bx+c，则f(1)>0，判断选项C错误；解不等式可判断选项D错误.解：因为关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<−1或x>4}，所以a<0，所以选项A错误；由题得{a<0−1+4=−ba−1×4=ca,∴b=−3a,c=−4a，所以ax2+cx+b>0为x2−4x−3<0,∴2−√7<x<2+√7.所以选项B正确；设f(x)=ax2+bx+c，则f(1)=a+b+c>0，所以选项C错误；不等式ax+b>0为ax−3a>0,∴x<3，所以选项D错误.故选：B8、已知实数a,b满足a+b=ab(a>1,b>1)，则(a−1)2+(b−1)2的最小值为( )A．2B．1C．4D．5答案：A分析：将a-1和b-1看作整体，由a+b=ab(a>1,b>1)构造出(a−1)(b−1)=1，根据(a−1)2+(b−1)2≥2(a−1)(b−1)即可求解．由a+b=ab(a>1,b>1)得a+b−ab−1=−1，因式分解得(a−1)(b−1)=1，则(a−1)2+(b−1)2≥2(a−1)(b−1)=2，当且仅当a=b=2时取得最小值．故选：A．9、若a>0,b>0，则“a+b≤4”是“ab≤4”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：A解析：本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取a,b的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.当a>0,b>0时，a+b≥2√ab，则当a+b≤4时，有2√ab≤a+b≤4，解得ab≤4，充分性成立；当a=1,b=4时，满足ab≤4，但此时a+b=5>4，必要性不成立，综上所述，“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件.小提示：易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取a,b的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.10、若实数a、b满足a>b>0，下列不等式中恒成立的是（）A．a+b>2√ab B．a+b<2√ab C．a2+2b>2√ab D．a2+2b<2√ab答案：A分析：利用作差法可判断各选项中不等式的正误.因为a>b>0，则a+b−2√ab=(√a−√b)2>0，故a+b>2√ab，A对B错；a 2+2b−2√ab=a2+2b−2√a2⋅2b=(√a2−√2b)2≥0，即a2+2b≥2√ab，当且仅当a2=2b时，即当a=4b时，等号成立，CD都错.故选：A.填空题11、已知关于x的不等式−x2+6ax−3a2≥0(a>0)的解集为[x1,x2]，则x1+x2+3ax1x2的最小值是___________.答案：2√6分析：由题知x1+x2=6a,x1x2=3a2，进而根据基本不等式求解即可.解：因为关于x的不等式−x2+6ax−3a2≥0(a>0)的解集为[x1,x2]，所以x1,x2是方程−x2+6ax−3a2=0(a>0)的实数根，所以x1+x2=6a,x1x2=3a2，因为a>0，所以x1+x2+3ax1x2=6a+1a≥2√6，当且仅当6a=1a，即a=√66时等号成立，所以x1+x2+3ax1x2的最小值是2√6所以答案是：2√612、函数y=√kx2−2kx+4的定义域为R，则实数k的取值范围为______．答案：[0,4]分析：函数y=√kx2−2kx+4的定义域为R，等价于kx2−2kx+4≥0恒成立，然后分k=0和k≠0两种情况讨论求解即可得答案函数y=√kx2−2kx+4的定义域为R，等价于kx2−2kx+4≥0恒成立，当k=0时，显然成立；当k≠0时，由Δ=(−2k)2−4k×4≤0，得0<k≤4．综上，实数k的取值范围为[0,4]．所以答案是：[0,4]13、已知正实数x，y满足：x2+xy+2xy =2，则3x+2y+2y的最小值为_________．答案：4√2分析：根据x2+xy+2xy =2，可得(x+y)(x+2y)=4，再令{x+y=mx+2y=4m，再利用基本不等式即可得出答案.解：因为x2+xy+2xy=2，所以x2+xy+2xy+2=4，所以x(x+y)+2y(x+y)=4，所以(x+y)(x+2y)=4，令{x +y =m x +2y =4m，则3x +2y +2y =2(x +y)+(x +2y )=2m +4m ≥2√2m ⋅4m=2√8=4√2，当且仅当2m =4m 即m =√2时取等号，所以3x +2y +2y 的最小值为4√2.所以答案是：4√2.14、函数y =3x +1x−1(x >1)的最小值是_____答案：3+2√3分析：利用基本不等式可求得原函数的最小值.因为x >1，则x −1>0，所以y =3(x −1)+1x−1+3≥2√3(x −1)×1x−1+3=2√3+3，当且仅当3(x −1)=1x−1，因为x >1，即当x =3+√33时，等号成立. 所以函数y =3x +1x−1(x >1)的最小值是2√3+3.所以答案是：3+2√3.15、为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为V 的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出10升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出8升后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则V 的取值范围为___________.答案：10≤V ≤40分析：根据题意列出不等式，最后求解不等式即可.第一次操作后，利下的纯药液为V −10，第二次操作后，利下的纯药液为V−10−V−10V×8，由题意可知：V−10−V−10V×8≤V⋅60%⇒V2−45V+200≤0⇒5≤V≤40，因为V≥10，所以10≤V≤40，所以答案是：10≤V≤4016、a>b>c，n∈N∗，且1a−b +1b−c≥na−c恒成立，则n的最大值为__．答案：4分析：将不等式变形分离出n，不等式恒成立即n大于等于右边的最小值；由于a−c=a−b+b−c，凑出两个正数的积是常数，利用基本不等式求最值．解：由于1a−b +1b−c≥na−c恒成立，且a>c即n≤a−ca−b +a−cb−c恒成立只要n≤a−ca−b +a−cb−c的最小值即可∵a−c a−b +a−cb−c=a−b+b−ca−b+a−b+b−cb−c=2+b−ca−b+a−bb−c∵a>b>c∴a−b>0，b−c>0，故(a−ca−b +a−cb−c)≥4，因此n≤4所以答案是：4．17、已知a，b∈R，且a>b2>0，则a2+1(2a−b)b的最小值是 _____．答案：2分析：两次利用基本不等式即可得出结论.∵a>b2>0，∴a2+1(2a−b)b ≥a2+1(2a−b+b2)2=a2+1a2≥2，当且仅当a＝1＝b时取等号，其最小值是2，所以答案是：2．18、若关于x的不等式x2+ax−2<0的解集是(−1,b)，则a+b=______.答案：1分析：由题意可得−1,b是方程x2+ax−2=0的两个根，所以−1+b=−a，从而可求得结果解：因为关于x的不等式x2+ax−2<0的解集是(−1,b)，所以−1,b是方程x2+ax−2=0的两个根，所以由根与系数的关系可得−1+b=−a，得a+b=1，所以答案是：119、若x,y∈R+，(x−y)2=(xy)3，则1x +1y的最小值为___________.答案：2分析：根据题中所给等式可化为(1y −1x)2=xy，再通过平方关系将其与1x+1y联系起来，运用基本不等式求解最小值即可.因为(x−y)2=(xy)3且x,y∈R+，则两边同除以(xy)2，得(1y −1x)2=xy，又因为(1x +1y)2=(1y−1x)2+41xy=xy+41xy≥2√xy⋅41xy=4，当且仅当xy=41xy，即x=2+√2,y=2−√2时等号成立，所以1x +1y≥√4=2.故答案为:220、若方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数解，则m的取值范围是__________．答案：{m|m≥9或m≤1}分析：根据一元二次方程根的判别式，结合解一元二次不等式的方法进行求解即可.由方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数解，∴Δ＝(m－3)2－4m≥0，即m2－10m＋9≥0，∴(m－9)(m－1)≥0，∴m≥9或m≤1.所以答案是：{m|m≥9或m≤1}解答题21、已知1≤a+b≤4，-1≤a-b≤2，求4a-2b的取值范围.答案：[−2,10]分析：令4a-2b=x(a+b)+y(a-b)，利用待定系数法求得x，y，再利用不等式的基本性质求解. 令4a-2b=x(a+b)+y(a-b)，所以4a-2b=(x+y)a+(x-y)b.所以{x+y=4，x-y=−2，解得{x=1，y=3.因为1≤a+b≤4，-1≤a-b≤2，所以-3≤3(a−b)≤6所以-2≤4a-2b≤10.22、设函数f(x)=mx2−mx−1．（1）若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；（2）解不等式f(x)<(m−1)x2+2x−2m−1．答案：（1）(−4,0]；（2）答案见解析．分析：（1）分别在m=0和m≠0两种情况下，结合二次函数图象的分析可确定不等式组求得结果；（2）将不等式整理为(x−m)(x−2)<0，分别在m<2，m>2和m=2三种情况下求得结果. （1）由f(x)<0知：mx2−mx−1<0，当m=0时，−1<0，满足题意；当m≠0时，则{m<0Δ=m2+4m<0，解得：−4<m<0；综上所述：m的取值范围为(−4,0]．（2）由f(x)<(m−1)x2+2x−2m−1得mx2−mx−1−mx2+x2−2x+2m+1<0，即x2−(m+2)x+2m<0，即(x−m)(x−2)<0；当m<2时，解得：m<x<2；当m>2时，解得2<x<m；当m=2时，解集为∅．综上所述：当m<2时，解集为(m,2)；当m>2时，解集为(2,m)；当m=2时，解集为∅．。

强烈推荐高一数学练习函数易错题

强烈推荐高一数学练习函数易错题高中数学练习（函数中的易错题）1. 作函数（1）y ＝3x -1与（2）y ＝3x -1的图像，正确的作图顺序是：____和____。

A. (1)f (x )=3x ?(2)y =f (x -1)?(3)y =f (x )B. (1)f (x )=3x ?(2)y =f (x )?(3)y =f (x -1)2. （1）若x 2+2x +a >0在R 上恒成立，则实数a 满足的条件是________________；（2）若9+2?3+a >0 在R 上恒成立，则实数a 满足的条件是________________。

3. （1）若f （x ）满足f （x ）－f （2－x ）＝0，则y ＝f （x ）图像的特征是___________________；（2）若f （x ）满足f （x ）＋f （2－x ）＝0，则y ＝f （x ）图像的特征是___________________；（3）若f （x ）满足f （x ）－f （x －2）＝0，则y ＝f （x ）图像的特征是___________________；（4）若f （x ）满足f （x ）＋f （x －2）＝0，则y ＝f （x ）图像的特征是___________________。

4. （1）若方程4x －2x 1＋a ＝0有解，则实数a 满足的条件是___________________;＋（2）若方程4x －2x 1＋a ＝0有两相异解，则实数a 满足的条件是__________________;（3）若方程x 2－2x ＋a ＝0有解，则实数a 满足的条件是_________________。

＋x x5. （1）若函数f （x ）＝______________; 11-a 2x 2+4(a -1)x +4的定义域为R ，则实数a 满足的条件是22（2）若函数f （x ）＝lg ?的定义域为R ，则实数a 满足的条件是1-a x +4(a -1)x +4?()??____________；22（3）若函数（f x ）＝lg ?的值域为R ，则实数a 满足的条件是__________。

数学二次函数的专项培优练习题(含答案)及详细答案

过 P2 作 P2Q⊥BC，此时，△ CP2Q∽ △ BCO，
③如图 3，作 BC 的中垂线，交 x 轴于 M4，连接 CM4，则 CM4=BM4，
设 OM4=x，则 CM4=BM4=x+1，由勾股定理得：22+x2=（1+x）2，
解得：x= 3 ， 2
∵ M4 在 x 轴的负半轴上，
∴ M4（- 3 ，0）， 2
综上所述，当 B、C、M 为顶点的三角形是等腰三角形时，M 的坐标为（-1，0）或
（2）连接 BE、OE．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出 BE＝ 1 CD＝CE．利 2
用 SSS 证明△ OBE≌ △ OCE，得出∠ BOE＝∠ COE，即点 E 在第四象限的角平分线上，设 E 点坐标为（m，﹣m），代入 y＝x2﹣2x﹣3，求出 m 的值，即可得到 E 点坐标；（3）过点 Q 作 AC 的平行线交 x 轴于点 F，连接 CF，根据三角形的面积公式可得 S△ ACQ＝ S△ ACF．由 S△ ACQ＝2S△ AOC，得出 S△ ACF＝2S△ AOC，那么 AF＝2OA＝2，F（1，0）．利用待定系数法求出直线 AC 的解析式为 y＝﹣3x﹣3．根据 AC∥ FQ，可设直线 FQ 的解析式为 y＝﹣ 3x+b，将 F（1，0）代入，利用待定系数法求出直线 FQ 的解析式为 y＝﹣3x+3，把它与抛
代入点 C（3, 0），可得 a＝－1．
∴ y＝－（x－1）2＋4＝－x2＋2x＋3．
（2）∵ P（1 1 t ，４）， 2
将 x 1 1 t 代入抛物线的解析式，y＝－（x－1）2＋4＝ 4 1 t 2 ，
2
4
∴ M（1 1 t ， 4 1 t 2 ），

(完整版)高中高考数学(函数部分)易错题汇总及解析

5．已知函数在上单调递增，则
A、 B、 C、 D、
答案：A
解析：根据导数解答，分出变量但注意等号是否取得。
6．已知函数在上是增函数，且是偶函数，则的大小顺序
是A B C D、
答案：A
解析：数形结合，根据题意易知函数f（x）在上为增函数利用单调性即可比较大小。
7．若都是定义在实数集上的函数，且方程有实数解，则不可能的是（）
（1）当时，，
（2）当，
（3）当，
综上：。
27、证明略。
28、，
，
。
27．已知奇函数的定义域为，且在上单调递增，
求证：在上单调递减。
28．已知，求的最大值与最小值。
答案：
一、选择题：BCCCAABBBDDCADA
二、（17），（18），（19），（20）3，（21）-4，（22），
（23）-4，（24），
三、解答题：
25、。
26、对称轴：Βιβλιοθήκη ，A、 B、C、 D、
答案：A
解析：易知 = 的形式，展开即可得a,b,c,d的关系，再利用当0<x<1时，f（x）小于零得关于b的不等式。
二、填空题：
17．若是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是。
18．已知，则不等式的解集为。
19．若关于的方程有实根，则实数的取值范围是。
20．若，函数的最大值为14，则 =。
A、 B、 C、 D、
答案：B
解析：可将选项逐次判断。
8．已知函数在区间上单调且，则方程在区间内（）
A、至少有一实根B、至多有一实根C、没有实根D、必有惟一实根

2021高考数学新高考版一轮习题：专题2 第20练函数中的易错题 (含解析)

1．若函数f (x )定义域为[0,1]，则f (x ＋a )·f (x －a )⎝⎛⎭⎫0<a <12的定义域为 ( ) A ．[0,1] B ．[－a ，a ] C ．[a,1－a ]D ．[0,1－a ]2．已知函数y ＝2－x ＋x ＋4的最大值为M ，最小值为m ，则m ·M 等于( ) A ．8 2 B ．6 2 C ．4 2 D ．2 23．已知g (x )是R 上的奇函数，当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g (x )，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( ) A ．(－∞，1)∪(2，＋∞) B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) C ．(1,2)D ．(－2,1)4．(2020·西安模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－e x ，x ≤0，x 2－2x ，x >0，若函数y ＝f (x )－m 有两个不同的零点，则实数m 的取值范围为( ) A ．(－1,1) B ．(－1,1] C ．(－1，＋∞)D ．[－1，＋∞)5．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47), b ＝13(log 3)f ，c ＝f (0.2－0.6)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <a <bB ．c <b <aC ．b <c <aD ．a <b <c6．已知点A (1,0)，点B 在曲线G ：y ＝ln x 上，若线段AB 与曲线M ：y ＝1x 相交且交点恰为线段AB 的中点，则称B 为曲线G 关于曲线M 的一个关联点．那么曲线G 关于曲线M 的关联点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．47．(多选)已知函数f (x )＝122log x x - ，且实数a ，b ，c (a >b >c >0)满足f (a )f (b )f (c )<0.若实数x 0是函数y ＝f (x )的一个零点，那么下列不等式中可能成立的是( ) A ．x 0<a B ．x 0>a C ．x 0<bD ．x 0<c8．(多选)定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足：f (x )＋g (x )＝4x ，下列结论正确的有( ) A ．f (x )＝4x －4－x 2，且0<f (1)<g (2)B ．∀x ∈R ，总有[g (x )]2－[f (x )]2＝1C ．∀x ∈R ，总有f (－x )g (－x )＋f (x )g (x )＝0D ．∃x 0∈R ，使得f (2x 0)>2f (x 0)g (x 0)9．(2020·湖北荆州中学期末)已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为( ) A.13 B.12 C.34D ．1 10．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2.令g (x )＝f (x )－kx －k ，若在区间[－1,3]内，关于x 的方程g (x )＝0有4个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B.⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎝⎛⎦⎤0，14 D.⎣⎡⎦⎤14，1311．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －1)x ＋4－2a ，x <1，1＋log 2x ，x ≥1，若f (x )的值域为R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1,2] B ．(－∞，2] C ．(0,2]D ．[2，＋∞)12．定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ，x ∈[0，1)，1－|x －3|，x ∈[1，＋∞)，则关于x 的函数f (x )＝f (x )－a (0<a <1)的所有零点之和为( ) A ．2a －1 B ．1－2－a C ．－log 2(1＋a )D ．log 2(1－a )13．若定义运算f (a *b )＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≥b ，a ，a <b ，则函数f (3x *3－x )的值域是________．14．(2020·昆明质检)已知函数f (x )＝x 2－2mx ＋m ＋2，g (x )＝mx －m ，若存在实数x 0∈R ，使得f (x 0)<0且g (x 0)<0同时成立，则实数m 的取值范围是________．15．已知a >0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ＋a ，x ≤0，－x 2＋2ax －2a ，x >0，则f ⎝⎛⎭⎫－12＝________，若关于x 的方程f (x )＝ax 恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是________．16．定义：如果在函数y ＝f (x )定义域内的给定区间[a ，b ]上存在x 0(a <x 0<b )，满足f (x 0)＝f (b )－f (a )b －a ，则称函数y ＝f (x )是[a ，b ]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值点，如y ＝x 4是[－1,1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1,1]上的平均值函数，则实数m 的取值范围是________．答案精析1．C 2.B 3.D 4.A 5.B 6.B 7．ABC 8.ABC 9.D 10.C 11.A12．C [当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x，x ∈[0，1)，1－|x －3|，x ∈[1，＋∞)，又f (x )是奇函数，由图象可知，f (x )＝0⇒f (x )＝a (0<a <1)有5个零点，其中有两个零点关于x ＝－3对称，还有两个零点关于x ＝3对称，所以这四个零点的和为零，第五个零点是直线y ＝a 与函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x－1，x ∈(－1,0]交点的横坐标，即方程a ＝⎝⎛⎭⎫12x －1的解，x ＝－log 2(1＋a )．] 13．(0,1] 14．(3，＋∞)解析若m ＝0，g (x )＝0，不存在g (x 0)<0.若m >0，因为当x <1时， g (x )<0，所以f (x )<0在(－∞，1)有解，则⎩⎨⎧ f (1)<0，m >0或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ>0，f (1)≥0，m ≤1，也即是m >3或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m 2－m －2>0，3－m ≥0，m ≤1(无解)，故m >3.若m <0，因为当x >1, g (x )<0，所以f (x )<0在(1，＋∞)有解，所以⎩⎪⎨⎪⎧f (1)<0，m <0，此时不等式组无解．综上， m 的取值范围为(3，＋∞)． 15.14(4,8) 解析 f ⎝⎛⎭⎫－12＝⎝⎛⎭⎫－122＋2a ·⎝⎛⎭⎫－12＋a ＝14. 作出函数f (x )的示意图，如图．l 1是过原点且与抛物线y ＝－x 2＋2ax －2a 相切的直线，l 2是过原点且与抛物线y ＝x 2＋2ax ＋a 相切的直线．由图可知，当直线y ＝ax 在l 1，l 2之间(不含直线l 1，l 2) 转动时，符合题意．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ，y ＝－x 2＋2ax －2a ，消去y ，整理得x 2－ax ＋2a ＝0. 由Δ＝0，得a ＝8(a ＝0舍去)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ，y ＝x 2＋2ax ＋a ，消去y ，整理得x 2＋ax ＋a ＝0. 由Δ＝0，得a ＝4(a ＝0舍去)．综上，得4<a <8. 16．(0,2)解析因为函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1,1]上的平均值函数，设x 0为均值点，所以f (1)－f (－1)1－(－1)＝m ＝f (x 0)，即关于x 0的方程－x 20＋mx 0＋1＝m 在(－1,1)内有实数根，解方程得x 0＝1或x 0＝m －1. 所以必有－1<m －1<1，即0<m <2，所以实数m 的取值范围是(0,2)．。

精选备战中考数学易错题专题复习二次函数及详细答案

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，且抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中(1,0)A ，(0,3)C .（1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点，求使BPC ∆为直角三角形的点P 的坐标.【答案】（1）抛物线的解析式为223y x x =--+，直线的解析式为3y x .（2）(1,2)M -；（3）P 的坐标为(1,2)--或(1,4)-或317(+-或317()--. 【解析】分析：（1）先把点A ，C 的坐标分别代入抛物线解析式得到a 和b ，c 的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a 和b 的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a ，b ，c 的值即可得到抛物线解析式；把B 、C 两点的坐标代入直线y=mx+n ，解方程组求出m 和n 的值即可得到直线解析式；（2）设直线BC 与对称轴x=-1的交点为M ，此时MA+MC 的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y 的值，即可求出点M 坐标；（3）设P （-1，t ），又因为B （-3，0），C （0，3），所以可得BC 2=18，PB 2=（-1+3）2+t 2=4+t 2，PC 2=（-1）2+（t-3）2=t 2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t 值即可求出点P 的坐标．详解：（1）依题意得：1203b a a b c c ⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =--+.∵对称轴为1x =-，且抛物线经过()1,0A ，∴把()3,0B -、()0,3C 分别代入直线y mx n =+，得303m n n -+=⎧⎨=⎩，解之得：13m n =⎧⎨=⎩， ∴直线y mx n =+的解析式为3y x =+.（2）直线BC 与对称轴1x =-的交点为M ，则此时MA MC +的值最小，把1x =-代入直线3y x =+得2y =，∴()1,2M -.即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为()1,2-. （注：本题只求M 坐标没说要求证明为何此时MA MC +的值最小，所以答案未证明MA MC +的值最小的原因）.（3）设()1,P t -，又()3,0B -，()0,3C ，∴218BC =，()2222134PB t t =-++=+，()()222213610PC t t t =-+-=-+， ①若点B 为直角顶点，则222BC PB PC +=，即：22184610t t t ++=-+解得：2t =-，②若点C 为直角顶点，则222BC PC PB +=，即：22186104t t t +-+=+解得：4t =，③若点P 为直角顶点，则222PB PC BC +=，即：22461018t t t ++-+=解得： 1317t +=2317t -=. 综上所述P 的坐标为()1,2--或()1,4-或3171,2⎛+- ⎝⎭或3171,2⎛- ⎝⎭. 点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．2．如图，已知直线y kx 6=-与抛物线2y ax bx c =++相交于A ，B 两点，且点A （1，－4）为抛物线的顶点，点B 在x 轴上。

一元二次方程及二次函数易错题集锦

1．问题：构造ax 2+bx+c=0解题，已知：21a +1a－1=0，b 4+b 2－1=0，且1a ≠b 2，求21ab a的值．2. （2011年四川省绵阳市，12，3分）若x 1，x 2（x 1＜x 2）是方程（x －a ）（x －b ）=1（a ＜b ）的两个根，则实数x 1，x 2，a ，b 的大小关系为（）A 、x 1＜x 2＜a ＜bB 、x 1＜a ＜x 2＜bC 、x 1＜a ＜b ＜x 2D 、a ＜x 1＜b ＜x 23. （2011四川眉山，17，3分）已知一元二次方程y 2﹣3y+1=0的两个实数根分别为y 1、y 2，则（y 1﹣1）（y 2﹣1）的值为4.（2011杭州，15，4分）已知分式2-3-5+x x x a，当x =2时，分式无意义，则a = ；当a＜6时，使分式无意义的x 的值共有个． 5．（12分）如图，抛物线y =21x 2+bx －2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且A （一1，0）．⑴求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； ⑵判断△ABC 的形状，证明你的结论； ⑶点M (m ，0)是x 轴上的一个动点，当CM +DM 的值最小时，求m 的值．第25题图6.已知关于X的方程（k-3）x²+kx+1=0（1）求证：不论k取何值时，方程总有实数根；（2）当k=4时，设该方程的两个根为d、m，求d²+m²的值7.已对方程 2x2+3x－l＝0．求作一个二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数．8.某市近年来经济发展速度很快，根据统计，该市国内生产总值1990年为8．6亿元人民币，1995年为10．4亿元人民币，2000年为12．9亿元人民币，经论证，上述数据适合一个二次函数关系．请你根据这个函数关系预测2005年该市国内生产总值将达到多少？9.二次函数2y ax bx c=++的图象的一部分如图2－3－1所示。

(精选试题附答案)高中数学第二章一元二次函数方程和不等式易错题集锦

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第二章一元二次函数方程和不等式易错题集锦单选题1、若x >53，则3x +43x−5的最小值为（）A ．7B ．4√3C ．9D ．2√3答案：C分析：利用基本不等式即可求解.解：∵ x >53， ∴ 3x −5>0，则3x +43x−5=(3x −5)+43x−5+5≥2√(3x −5)⋅43x−5+5=9，当且仅当3x −5=2时，等号成立，故3x +43x−5的最小值为9，故选：C ．2、已知a >0，b >0，若a +4b =4ab ，则a +b 的最小值是（）A ．2B ．√2+1C ．94D ．52 答案：C分析：将a +4b =4ab ，转化为1b +4a =4，由a +b =14(a +b )(1b +4a )=14(5+a b +4b a )，利用基本不等式求解.因为a +4b =4ab ，所以1b +4a =4，所以a +b =14(a +b )(1b +4a )=14(5+a b +4b a )， ≥14(5+2√a b ⋅4b a )=94，当且仅当{1b +4a =4a b =4b a ，即{a =32b =34 时，等号成立，故选：C3、已知a =√2，b =√7−√3，c =√6−√2，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a答案：B分析：通过作差法，a −b =√2+√3−√7，确定符号，排除D 选项；通过作差法，a −c =2√2−√6，确定符号，排除C 选项；通过作差法，b −c =(√7+√2)−(√6+√3)，确定符号，排除A 选项；由a −b =√2+√3−√7，且(√2+√3)2=5+2√6>7，故a >b ；由a −c =2√2−√6且(2√2)2=8>6，故a >c ；b −c =(√7+√2)−(√6+√3)且(√6+√3)2=9+2√18>9+2√14=(√7+√2)2，故c >b .所以a >c >b ，故选：B .4、若正数x ，y 满足3x +1y=5，则3x +4y 的最小值是（） A ．245B ．285C ．5D ．25答案：C分析：由3x +4y =15(3x +4y )(3x +1y )配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得结果.∵3x +4y =15(3x +4y )(3x +1y )=15(13+3x y +12y x )≥15(13+2√3x y ⋅12y x )=5（当且仅当3x y =12y x ，即x =2y =1时取等号），∴3x +4y 的最小值为5.故选：C.5、若不等式2x 2+2mx+m4x 2+6x+3<1对一切实数x 均成立，则实数m 的取值范围是（）A ．(1,3)B ．(−∞,1)C ．(−∞,1)∪(3,+∞)D ．(3,+∞)答案：A分析：因为4x 2+6x +3=4(x +34)2+34>0恒成立，则2x 2+2mx+m4x 2+6x+3<1恒成立可转化为2x 2+(6−2m )x +(3−m )>0恒成立，则Δ<0，即可解得m 的取值范围因为4x 2+6x +3=4(x +34)2+34>0恒成立所以2x 2+2mx+m4x 2+6x+3<1恒成立⇔2x 2+2mx +m <4x 2+6x +3恒成立⇔2x 2+(6−2m )x +(3−m )>0恒成立故Δ=(6−2m )2−4×2×(3−m )<0解之得：1<m <3故选：A6、已知正实数a,b 满足4a+b +1b+1=1，则a +2b 的最小值为（） A ．6B ．8C ．10D ．12答案：B分析：令a +2b =a +b +b +1−1，用a +b +b +1分别乘4a+b +1b+1=1两边再用均值不等式求解即可. 因为4a+b +1b+1=1，且a,b 为正实数所以a +b +b +1=(a +b +b +1)(4a+b +1b+1)=4+a+b b+1+4(b+1)a+b +1 ≥5+2√a+b b+1×4(b+1)a+b =9，当且仅当a+b b+1=4(b+1)a+b 即a =b +2时等号成立.所以a+2b+1≥9,a+2b≥8. 故选：B.7、若不等式组{x−1>a2x−4<2a的解集非空，则实数a的取值范围是（）A．(−1,3)B．(−∞,−1)∪(3,+∞)C．(−3,1)D．(−∞,−3)∪(1,+∞)答案：A分析：分别解出两个不等式的解，再根据集合交集的概念求解．由题意{x>a2+1x<2a+4，∴a2+1<2a+4，即a2−2a−3<0，解得−1<a<3．故选：A．小提示：本题考查不等式组的解，考查集合的交集运算，属于基础题．8、已知0<x<2，则y=x√4−x2的最大值为（）A．2B．4C．5D．6答案：A分析：由基本不等式求解即可因为0<x<2，所以可得4−x2>0，则y=x√4−x2=√x2⋅(4−x2)≤x2+(4−x2)2=2，当且仅当x2=4−x2，即x=√2时，上式取得等号，y=x√4−x2的最大值为2．故选：A．9、不等式x(2x+7)≥−3的解集为（）A．(−∞,−3]∪[−12,+∞)B．[−3,−12]C ．(−∞,−2]∪[−13,+∞)D ．[−2,−13]答案：A分析：解一元二次不等式即可.x (2x +7)≥−3可变形为2x 2+7x +3≥0，令2x 2+7x +3=0，得x 1=−3，x 2=−12，所以x ≤−3或x ≥−12，即不等式的解集为(−∞,−3]∪[−12,+∞).故选：A.10、已知x >2，则x +4x−2的最小值为（）A ．6B ．4C ．3D ．2答案：A分析：利用基本不等式可得答案.∵x >2，∴x −2>0，∴x +4x−2= x −2+4x−2+2≥2√(x −2)⋅4x−2+2＝6，当且仅当x −2=4x−2即x =4时， x +4x−2取最小值6，故选：A ．填空题11、已知a,b,a +m 均为大于0的实数,给出下列五个论断:①a >b ,②a <b ,③m >0,④m <0,⑤b+m a+m >b a .以其中的两个论断为条件,余下的论断中选择一个为结论,请你写出一个正确的命题___________.答案：①③推出⑤(答案不唯一还可以①⑤推出③等)解析：选择两个条件根据不等式性质推出第三个条件即可，答案不唯一.已知a,b,a +m 均为大于0的实数,选择①③推出⑤.①a >b ，③m >0，则b+ma+m −ba=ab+am−ab−bma(a+m)=am−bma(a+m)=(a−b)ma(a+m)>0，所以b+ma+m >ba.所以答案是：①③推出⑤小提示：此题考查根据不等式的性质比较大小，在已知条件中选择两个条件推出第三个条件，属于开放性试题，对思维能力要求比较高.12、已知a,b,c∈R,a+b+c=0,a+bc−1=0，则a的取值范围是________答案：a≥−2+2√2或a≤−2−2√2分析：先由已知条件，得到−a=b+c,bc=1−a，对bc的正负进行分类讨论，利用基本不等式得到关于a的不等式，解出a的范围.①当b>0,c>0时,∵a+b+c=0,a+bc−1=0，∴−a=b+c,bc=1−a,可得：−a>0,1−a>0，可得：a<0，∴−a=b+c≥2√bc=2√1−a,化为a2+4a−4≥0,解得：a≤−2−2√2；②当b<0,c<0时,∵a+b+c=0,a+bc−1=0,∴a=(−b)+(−c),bc=1−a，可得：a>0,1−a>0，可得0<a<1.∴a=−b−c≥2√bc=2√1−a,化为a2+4a−4≥0,解得：−2+2√2≤a<1；③当bc=0时，不妨取c=0,由已知可得：a=1,b=−1，此时a=1；④当bc<0时，∵a+b+c=0,a+bc−1=0，∴a=−(b+c),a=1−bc>1.综上可得：a的取值范围是a≥−2+2√2或a≤−2−2√2.所以答案是：a≥−2+2√2或a≤−2−2√213、已知x>0，则7−x−9x的最大值为________．答案：1分析：直接利用基本不等式求最大值.∵x>0，则7−x−9x =7−(x+9x)≤7−2√x⋅9x=1，当且仅当x=9x即x=3时取等号．所以答案是：114、若关于x的二次方程x2+mx+4m2−3=0的两个根分别为x1，x2，且满足x1+x2=x1x2，则m的值为______答案：34分析：先求出方程有两根时m的范围，再由根与系数关系将x1,x2用m表示，建立关于m的方程，求解即可. 关于x的二次方程x2+mx+4m2−3=0有两个根，则Δ=m2−4(4m2−3)=−3(5m2−4)≥0，∴−2√55≤m≤2√55,x1+x2=−m,x1⋅x2=4m2−3，又∵x1+x2=x1x2,∴−m=4m2−3，即4m2+m−3=0，解得m=34或m=−1（舍去），∴m的值为34.小提示：本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，要注意两根存在的条件，属于基础题.15、函数y=2√x2+1的最小值是___________.答案：4分析：根据基本不等式可求出结果.令t=√x2+1≥1，则y=2√x2+1=t+4t≥4，当且仅当t=2，即x=±√3时，y min=4.所以函数y=2√x2+1的最小值是4.所以答案是：4小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.解答题16、冬奥会期间，冰墩墩成热销商品，一家冰墩墩生产公司为加大生产，计划租地建造临时仓库储存货物，若记仓库到车站的距离为x（单位：km），经过市场调查了解到：每月土地占地费y1（单位：万元）与(x+1)成反比，每月库存货物费y2（单位：万元）与(4x+1)成正比；若在距离车站5km处建仓库，则y1与y2分别为12.5万元和7万元.记两项费用之和为ω.(1)求ω关于x的解析式；(2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？求出最小值．答案：(1)ω=75x+1+13(4x+1)(2)这家公司应该把仓库建在距离车站6.5千米处，才能使两项费用之和最小，最小值为19万元分析：（1）依题意设出y1=k1x+1，y2=k2(4x+1)，然后根据已知求出k1,k2，然后可得；（2）通过配凑使得积为定值，然后由基本不等式可得.（1）∵每月土地占地费y1（单位：万元）与(x+1)成反比，∴可设y1=k1x+1，∵每月库存货物费y2（单位：万元）与（4x+1）成正比，∴可设y2=k2(4x+1)，又∵在距离车站5km处建仓库时，y1与y2分别为12.5万元和7万元，∴k1=6×12.5=75，k2=74×5+1=13.∴y 1=75x+1,y 2=13(4x +1) ∴ω=y 1+y 2=75x+1+13(4x +1). （2） ω=y 1+y 2=75x +1+13(4x +1)=75x +1+43(x +1)−1≥2√75x +1×43(x +1)−1=19 当且仅当75x+1=43(x +1)，即x ＝6.5时等号成立， ∴这家公司应该把仓库建在距离车站6.5千米处，才能使两项费用之和最小，最小值为19万元．17、设函数f(x)=ax 2+(b −2)x +3.（1）若不等式f (x )>0的解集为(−1,1)，求实数a,b 的值；（2）若f (1)=0，且存在x ∈R ，使f (x )>4成立，求实数a 的取值范围.答案：（1）{a =−3b =2；（2）(−∞,−9)∪(−1,+∞). 解析：（1）由不等式的解集得相应二次方程的两根，由韦达定理可求得a,b ；（2）由f (1)=0得b =−a −1，问题可转化为存在x ∈R ，使得ax 2−(a +3)x −1>0成立.，a ≥0不等式可以成立，a <0时由二次不等式有解可得a 的范围．解：（1）由题意可知：方程ax 2+(b −2)x +3=0的两根是−1，1所以{−b−2a =−1+1=03a =(−1)×1=−1解得{a =−3b =2（2）由f (1)=0得b =−a −1存在x ∈R ，f (x )>4成立，即使ax 2+(b −2)x −1>0成立，又因为b =−a −1，代入上式可得ax 2−(a +3)x −1>0成立.当a ≥0时，显然存在x ∈R 使得上式成立；当a <0时，需使方程ax 2−(a +3)x −1=0有两个不相等的实根所以Δ=(a+3)2+4a>0即a2+10a+9>0解得a<−9或−1<a<0综上可知a的取值范围是(−∞,−9)∪(−1,+∞)．小提示：关键点点睛：本题考查一元二次不等式的解集，解题关键是掌握“三个二次”的关系．对一元二次不等式的解集，一元二次方程的根，二次函数的图象与性质的问题能灵活转化，熟练应用．解题中注意不等式的解区间的端点处的值是相应二次方程的根，是二次函数图象与x轴交点横坐标．18、（1）已知a>b,c<d，求证：a−c>b−d；（2）已知a>b,ab>0，求证：1a <1b；（3）已知a>b>0,0<c<d，求证：ac >bd.答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.分析：（1）根据c<d不等号左右两边同时乘以一个负数,不等号方向改变得到−c>−d, 再用同向可加性法则即可得出结果.（2）根据正数的倒数大于0可得1ab>0,再用同向同正可乘性得出结果.（3）因为0<c<d，根据（2）的结论，得1c >1d>0,再用同向同正可乘性得出结果.证明：（1）因为a>b,c<d，所以a>b,−c>−d. 则a−c>b−d.（2）因为ab>0，所以1ab>0.又因为a>b，所以a⋅1ab >b⋅1ab，即1b >1a，因此1a<1b.（3）因为0<c<d，根据（2）的结论，得1 c >1d>0.又因为a>b>0，则a⋅1c >b⋅1d，即ac >bd.小提示：本题考查不等式的基本性质与不等关系,是基础题.19、已知关于x一元二次不等式x2+2mx+m+2≥0的解集为R.(1)求函数f(m)=m+3m+2的最小值；(2)求关于x的一元二次不等式x2+(m−3)x−3m>0的解集.答案：(1)2√3−2(2)(−∞,−m)∪(3,+∞)分析：（1）由题意可得Δ≤0，解不等式求出m的取值范围，再利用基本不等式求f(m)的最小值；（2）不等式化为(x+m)(x−3)>0，比较−m和3的大小，即可得出不等式的解集.(1)因为关于x一元二次不等式x2+2mx+m+2≥0的解集为R，所以Δ=4m2−4(m+2)≤0，化简可得：m2−m−2≤0，解得：−1≤m≤2，所以1≤m+2≤4，所以f(m)=m+3m+2=m+2+3m+2−2≥2√(m+2)⋅3m+2−2=2√3−2，当且仅当m+2=3m+2即m=√3−2，f(m)的最小值为2√3−2.(2)不等式x2+(m−3)x−3m>0，可化为(x+m)(x−3)>0，因为−1≤m≤2，所以−2≤−m≤1<3，所以该不等式的解集为(−∞,−m)∪(3,+∞).。

新高考专用备战2024年高考数学易错题精选专题02函数及其应用指对幂函数学生版

专题02函数及其应用、指对幂函数易错点一：对函数定义域、值域及解析式理解存在偏差（定义域、值域及解析式的求算）已知函数的具体解析式求定义域的方法法1：若()f x 是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集.法2：复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可.函数解析式的常见求法法1：配凑法：已知(())()f h x g x ，求()f x 的问题，往往把右边的()g x 整理或配凑成只含()h x 的式子，然后用x 将()h x 代换.法2：待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，比如二次函数()f x 可设为2()(0)f x ax bx c a ，其中,,a b c 是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出,,a b c 即可.法3：换元法：已知(())()f h x g x ，求()f x 时，往往可设()h x t ，从中解出x ，代入()g x 进行换元.应用换元法时要注意新元的取值范围.法4：解方程组法：已知 f x 满足某个等式，这个等式除f (x )是未知量外，还有其他未知量，如1f x(或()f x -)等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出 f x ．分段函数第一步：求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值．第二步：当出现 f f a 的形式时，应从内到外依次求值．第三步：当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点。

结论：复合函数：一般地，对于两个函数()y f u 和()u g x ，如果通过变量,u y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u 和()u g x 的复合函数，记作(())y f g x ，其中()y f u 叫做复合函数(())y f g x 的外层函数，()u g x 叫做(())y f g x 的内层函数.抽象函数的定义域的求法：(1)若已知函数()f x 的定义域为[,]a b ，则复合函数(())f g x 的家义域由()a g x b 求出.(2)若已知函数(())f g x 的定义域为[,]a b ，则()f x 的定义域为()g x 在[,]x a b 时的值域.易错提醒：函数的概念①一般地，给定非空数集A ，B ，按照某个对应法则f ，使得A 中任意元素x ，都有B 中唯一确定的y 与之对应，那么从集合A 到集合B 的这个对应，叫做从集合A 到集合B 的一个函数.记作：()x y f x ，②函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射.③函数表示法：函数书写方式为()y f x ，x D ④函数三要素：定义域、值域、对应法则.⑤同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同.基本的函数定义域限制求解函数的定义域应注意：①分式的分母不为零；②偶次方根的被开方数大于或等于零：③对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；④零次幂或负指数次幂的底数不为零；①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；⑦对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.基本初等函数的值域①(0)y kx b k 的值域是R .④(0x y a a 且1)a 的值域是(0) ，.⑤log (0a y x a 且1)a 的值域是R.分段函数的应用分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决．1.函数的单调性是对函数定义内的某个区间而言的。

2017高考数学备考复习易错题二：基本初等函数

2017高考数学备考复习易错题二：基本初等函数一、单选题(共15题；共30分)1．（2分）已知f(x)={(3−a)x −4a ，x <1loga x，x ≥1是（-∞，+∞）上的增函数，那么a 的取值范围是( )A ．(1， +∞)B ．(-，3)C ．[35，3)D ．(1，3)2．（2分）已知函数f(x)=x 2+lg(x +√x 2+1)，若f(a)=M ，则f(−a)等于（）A ．2a 2−MB ．M −2a 2C ．2M −a 2D ．a 2−2M3．（2分）已知函数f (x )是R 上的单调增函数且为奇函数，数列{a n }是等差数列，a 3＞0，则f (a 1)+f (a 3)+f (a 5)的值 ( ) A ．恒为正数B ．恒为负数C ．恒为0D ．可正可负4．（2分）函数f (x )=log 2(x 2+2x −3)的定义域是（）A ．[−3,1]B ．(−3,1)C ．(−∞,−3]∪[1,+∞)D ．(−∞,−3)∪(1,+∞)5．（2分）函数f (x )=√4−|x |+1g x 2−5x+6x−3的定义域为（）A ．(2,3)B ．(2,4)C ．(2,3)∪(3,4]D ．(−1,3)∪(3,6]6．（2分）若定义在R 上的函数f (x ) 满足f (0)=-1，其导函数f′(x ) 满足f′(x )>k >1 ，则下列结论中一定错误的是（）A ．f (1k )<1kB ．f (1k )>1k−1C ．f (1k−1)<1k−1D ．f (1k−1)>k k−17．（2分）四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是f 1（x ）=x 2，f 2（x ）=4x ，f 3（x ）=log 2x ，f 4（x ）=2x 如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是（） A ．f 1（x ）=x 2 B ．f 2（x ）=4x C ．f 3（x ）=log 2xD ．f 4（x ）=2x8．（2分）如果函数f(x)=12(m-2)x 2+(n-8)x+1(m≥0， n≥0）在区间[12, 2]上单调递减，则mn 的最大值为（） A ．16B ．18C ．25D ．8129．（2分）已知函数f （x ）=log 2（x 2﹣ax+3a ）在[2，+∞）上是增函数，则a 的取值范围是（）A ．（﹣∞，4]B ．（﹣∞，2]C．（﹣4，4] D．（﹣4，2]10．（2分）在同一个坐标系中画出函数y=a x，y=sinax的部分图象，其中a＞0且a≠1，则下列所给图象中可能正确的是（）A．B．C．D．11．（2分）函数y=a x与y=﹣log a x（a＞0，且a≠1）在同一坐标系中的图象只可能是（）A．B．C．D．12．（2分）如图，设a，b，c，d＞0，且不等于1，y=a x，y=b x，y=c x，y=d x在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小顺序（）A．a＜b＜c＜d B．a＜b＜d＜c C．b＜a＜d＜c D．b＜a＜c＜d 13．（2分）若直线kx﹣y﹣2k+4=0恒过定点P，幂函数y=f（x）也过点P，则f（x）的解析式为（）A．y=x2B．y=x3C．y=x﹣1D．y=√x14．（2分）函数y=2()√2−x的定义域是（）A．（1，2]B．（1，2）C．（2，+∞）D．（﹣∞，2）15．（2分）已知f(x)={a−x2−2x(x<0)f(x−1)(x≥0)且函数y=f（x）﹣x恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．[﹣1，0）C．[﹣1，+∞）D．[﹣2，+∞）二、填空题(共5题；共5分)16．（1分）a为实数，函数f(x)=|x2−ax|在区间[0,1]上的最大值记为g(a). 当a=时，g(a)的值最小.17．（1分）若函数f(x)=|x+1|+2|x−a|的最小值为5，则实数a=。

数学二次函数的专项培优练习题及答案

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加x 元．求：（1）房间每天的入住量y （间）关于x （元）的函数关系式；（2）该宾馆每天的房间收费p （元）关于x （元）的函数关系式；（3）该宾馆客房部每天的利润w （元）关于x （元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w 有最大值？最大值是多少？【答案】（1）y=60-10x；（2）z=-110x 2+40x+12000；（3）w=-110x 2+42x+10800，当每个房间的定价为每天410元时，w 有最大值，且最大值是15210元．【解析】试题分析：（1）根据题意可得房间每天的入住量=60个房间﹣每个房间每天的定价增加的钱数÷10；（2）已知每天定价增加为x 元，则每天要（200+x ）元．则宾馆每天的房间收费=每天的实际定价×房间每天的入住量；（3）支出费用为20×（60﹣10x ），则利润w =（200+x ）（60﹣10x ）﹣20×（60﹣10x），利用配方法化简可求最大值．试题解析：解：（1）由题意得：y =60﹣10x （2）p =（200+x ）（60﹣10x ）=﹣2110x +40x +12000 （3）w =（200+x ）（60﹣10x ）﹣20×（60﹣10x ） =﹣2110x +42x +10800 =﹣110（x ﹣210）2+15210 当x =210时，w 有最大值．此时，x +200=410，就是说，当每个房间的定价为每天410元时，w 有最大值，且最大值是15210元．点睛：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题主要考查的是二次函数的应用，难度一般．2．如图，过()A 1,0、()B 3,0作x 轴的垂线，分别交直线y 4x =-于C 、D 两点.抛物线2y ax bx c =++经过O 、C 、D 三点．()1求抛物线的表达式；()2点M 为直线OD 上的一个动点，过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，问是否存在这样的点M ，使得以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M 的横坐标；若不存在，请说明理由；()3若AOC 沿CD 方向平移(点C 在线段CD 上，且不与点D 重合)，在平移的过程中AOC 与OBD 重叠部分的面积记为S ，试求S 的最大值．【答案】（1）2413y x x 33=-+；（2）32332+332-；（3）13．【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）由题意，可知MN ∥AC ，因为以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，则有MN =AC =3．设点M 的横坐标为x ，则求出MN =|43x 2﹣4x |；解方程|43x 2﹣4x |=3，求出x 的值，即点M 横坐标的值；（3）设水平方向的平移距离为t （0≤t ＜2），利用平移性质求出S 的表达式：S 16=-（t ﹣1）213+；当t =1时，s 有最大值为13．【详解】（1）由题意，可得C （1，3），D （3，1）．∵抛物线过原点，∴设抛物线的解析式为：y =ax 2+bx ，∴3931a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得43133a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的表达式为：y 43=-x 2133+x ．（2）存在．设直线OD 解析式为y =kx ，将D （3，1）代入，求得k 13=，∴直线OD 解析式为y 13=x ．设点M 的横坐标为x ，则M （x ，13x ），N （x ，43-x 2133+x ），∴MN =|y M ﹣y N |=|13x ﹣（43-x 2133+x ）|=|43x 2﹣4x |．由题意，可知MN ∥AC ，因为以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，则有MN =AC =3，∴|43x 2﹣4x |=3．若43x 2﹣4x =3，整理得：4x 2﹣12x ﹣9=0，解得：x 32+=或x 32-= 若43x 2﹣4x =﹣3，整理得：4x 2﹣12x +9=0，解得：x 32=，∴存在满足条件的点M ，点M 的横坐标为：32或32+或32-．（3）∵C （1，3），D （3，1），∴易得直线OC 的解析式为y =3x ，直线OD 的解析式为y 13=x ．如解答图所示，设平移中的三角形为△A 'O 'C '，点C '在线段CD 上．设O 'C '与x 轴交于点E ，与直线OD 交于点P ；设A 'C '与x 轴交于点F ，与直线OD 交于点Q ．设水平方向的平移距离为t （0≤t ＜2），则图中AF =t ，F （1+t ，0），Q （1+t ，1133+t ），C '（1+t ，3﹣t ）．设直线O 'C '的解析式为y =3x +b ，将C '（1+t ，3﹣t ）代入得：b =﹣4t ，∴直线O 'C '的解析式为y =3x ﹣4t ，∴E （43t ，0）．联立y =3x ﹣4t 与y 13=x ，解得：x 32=t ，∴P （32t ，12t ）．过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，则PG 12=t ，∴S =S △OFQ ﹣S △OEP 12=OF •FQ 12-OE •PG 12=（1+t ）（1133+t ）12-•43t •12t 16=-（t ﹣1）213+当t =1时，S 有最大值为13，∴S 的最大值为13．【点睛】本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、函数图象上点的坐标特征、平行四边形、平移变换、图形面积计算等知识点，有一定的难度．第（2）问中，解题的关键是根据平行四边形定义，得到MN=AC=3，由此列出方程求解；第（3）问中，解题的关键是求出S的表达式，注意图形面积的计算方法．3．对于二次函数 y=ax2+（b+1）x+（b﹣1），若存在实数 x0，使得当 x=x0，函数 y=x0，则称x0为该函数的“不变值”.（1）当 a=1，b=﹣2 时，求该函数的“不变值”；（2）对任意实数 b，函数 y 恒有两个相异的“不变值”，求 a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若该图象上 A、B 两点的横坐标是该函数的“不变值”，且 A、B 两点关于直线 y=kx-2a+3 对称，求 b 的最小值.【答案】（1）－1，3；（2）0<a<1；（3）－9 8【解析】【分析】（1）先确定二次函数解析式为y=x2-x-3，根据x o是函数y的一个不动点的定义，把（x o，x o）代入得x02-x0-3=x o，然后解此一元二次方程即可；（2）根据x o是函数y的一个不动点的定义得到ax o2+（b+1）x o+（b-1）=x o，整理得ax02+bx o+（b-1）=0，则根据判别式的意义得到△=b2-4a（b-1）>0，即b2-4ab+4a>0，把b2-4ab+4a看作b的二次函数，由于对任意实数b，b2-4ab+4a>0成立，则（4a）2-4.4a<0，然后解此不等式即可.（3）（利用两点关于直线对称的两个结论，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直.找到a，b之间的关系式，整理后在利用基本不等式求解可得.【详解】解：（1）当a=1，b=-2时，二次函数解析式为y=x2-x-3，把（x o，x o）代入得x02-x0-3=x o，解得x o=-1或x o=3，所以函数y的不动点为-1和3；（2）因为y=x o，所以ax o2+（b+1）x o+（b-1）=x o，即ax02+bx o+（b-1）=0，因为函数y 恒有两个相异的不动点，所以此方程有两个不相等的实数解，所以△=b 2-4a （b-1）>0，即b 2-4ab+4a>0，而对任意实数b ，b 2-4ab+4a>0成立，所以（4a ）2-4.4a<0，解得0<a<1.（3）设A （x 1，x 1），B （x 2，x 2），则x 1+x 2b a=- A ，B 的中点的坐标为（1212,22x x x x ++ ），即M （,22b ba a-- ） A 、B 两点关于直线y=kx-2a+3对称，又∵A ，B 在直线y=x 上，∴k=-1，A ，B 的中点M 在直线y=kx-2a+3上.∴b a -=ba-2a+3 得：b=2a 2-3a 所以当且仅当a=34 时，b 有最小值－98【点睛】本题是在新定义下对函数知识的综合考查，是一道好题.关于两点关于直线对称的问题，有两个结论同时存在，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直.4．红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量(件)与时间(天)的关系如下表：时间(天) 1 3 6 10 36 … 日销售量(件)9490847624…未来40天内，前20天每天的价格y 1(元/件)与t 时间(天)的函数关系式为：y 1=t+25(1≤t≤20且t 为整数)；后20天每天的价格y 2(原/件)与t 时间(天)的函数关系式为：y 2=—t+40(21≤t≤40且t 为整数).下面我们来研究这种商品的有关问题.(1)认真分析上表中的数量关系，利用学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据之间的函数关系式；(2)请预测未来40天中那一天的销售利润最大，最大日销售利润是多少？(3)在实际销售的前20天中该公司决定每销售一件商品就捐赠a 元利润(a ＜4)给希望工程，公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t 的增大而增大，求a 的取值范围.【答案】（1）y=﹣2t+96；（2）当t=14时，利润最大，最大利润是578元；（3）3≤a ＜4．【解析】分析：（1）通过观察表格中的数据日销售量与时间t 是均匀减少的，所以确定m 与t 是一次函数关系，利用待定系数法即可求出函数关系式；（2）根据日销售量、每天的价格及时间t 可以列出销售利润W 关于t 的二次函数，然后利用二次函数的性质即可求出哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少；（3）列式表示前20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数的性质求出a 的取值范围．详解：（1）设数m=kt+b ，有,解得∴m=-2t+96，经检验，其他点的坐标均适合以上析式故所求函数的解析式为m=-2t+96．（2）设日销售利润为P ，由P=（-2t+96）=t 2-88t+1920=（t-44）2-16，∵21≤t≤40且对称轴为t=44，∴函数P 在21≤t≤40上随t 的增大而减小，∴当t=21时，P 有最大值为（21-44）2-16=529-16=513（元），答：来40天中后20天，第2天的日销售利润最大，最大日销售利润是513元. （3）P 1=（-2t+96）=-+（14+2a ）t+480-96n ，∴对称轴为t=14+2a ， ∵1≤t≤20，∴14+2a≥20得a≥3时，P 1随t 的增大而增大，又∵a ＜4， ∴3≤a ＜4．点睛：解答本题的关键是要分析题意根据实际意义准确的求出解析式，并会根据图示得出所需要的信息．同时注意要根据实际意义准确的找到不等关系，利用不等式组求解．5．如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，且抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中(1,0)A ，(0,3)C .（1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点，求使BPC ∆为直角三角形的点P 的坐标.【答案】（1）抛物线的解析式为223y x x =--+，直线的解析式为3yx .（2）(1,2)M -；（3）P 的坐标为(1,2)--或(1,4)-或317(1,)+-或317(1,)--.【解析】分析：（1）先把点A ，C 的坐标分别代入抛物线解析式得到a 和b ，c 的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a 和b 的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a ，b ，c 的值即可得到抛物线解析式；把B 、C 两点的坐标代入直线y=mx+n ，解方程组求出m 和n 的值即可得到直线解析式；（2）设直线BC 与对称轴x=-1的交点为M ，此时MA+MC 的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y 的值，即可求出点M 坐标；（3）设P （-1，t ），又因为B （-3，0），C （0，3），所以可得BC 2=18，PB 2=（-1+3）2+t 2=4+t 2，PC 2=（-1）2+（t-3）2=t 2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t 值即可求出点P 的坐标．详解：（1）依题意得：1203ba abc c ⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =--+. ∵对称轴为1x =-，且抛物线经过()1,0A ， ∴把()3,0B -、()0,3C 分别代入直线y mx n =+，得303m n n -+=⎧⎨=⎩，解之得：13m n =⎧⎨=⎩，∴直线y mx n =+的解析式为3y x =+.（2）直线BC 与对称轴1x =-的交点为M ，则此时MA MC +的值最小，把1x =-代入直线3y x =+得2y =，∴()1,2M -.即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为()1,2-. （注：本题只求M 坐标没说要求证明为何此时MA MC +的值最小，所以答案未证明MA MC +的值最小的原因）.（3）设()1,P t -，又()3,0B -，()0,3C ，∴218BC =，()2222134PB t t =-++=+，()()222213610PC t t t =-+-=-+， ①若点B 为直角顶点，则222BC PB PC +=，即：22184610t t t ++=-+解得：2t =-，②若点C 为直角顶点，则222BC PC PB +=，即：22186104t t t +-+=+解得：4t =，③若点P 为直角顶点，则222PB PC BC +=，即：22461018t t t ++-+=解得：13172t +=，23172t -=. 综上所述P 的坐标为()1,2--或()1,4-或3171,⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭或3171,⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭. 点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．6．如图，抛物线y ＝ax 2+bx+c 经过A （﹣3，0），B （1，0），C （0，3）三点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，P 为抛物线上在第二象限内的一点，若△PAC 面积为3，求点P 的坐标；（3）如图2，D 为抛物线的顶点，在线段AD 上是否存在点M ，使得以M ，A ，O 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y ＝﹣x 2﹣2x+3；（2）点P 的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）；（3）存在，（32-，32）或（34-，94），见解析. 【解析】【分析】（1）利用待定系数法，然后将A 、B 、C 的坐标代入解析式即可求得二次函数的解析式；（2））过P 点作PQ 垂直x 轴，交AC 于Q ，把△APC 分成两个△APQ 与△CPQ ，把PQ 作为两个三角形的底，通过点A ，C 的横坐标表示出两个三角形的高即可求得三角形的面积．（3）通过三角形函数计算可得∠DAO=∠ACB ，使得以M ，A ，O 为顶点的三角形与△ABC 相似，则有两种情况，∠AOM=∠CAB=45°，即OM 为y=-x ，若∠AOM=∠CBA ，则OM 为y=-3x+3，然后由直线解析式可求OM 与AD 的交点M ．【详解】（1）把A （﹣3，0），B （1，0），C （0，3）代入抛物线解析式y ＝ax 2+bx+c 得93003a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以抛物线的函数表达式为y ＝﹣x 2﹣2x+3．（2）如解（2）图1，过P 点作PQ 平行y 轴，交AC 于Q 点，∵A （﹣3，0），C （0，3）， ∴直线AC 解析式为y ＝x+3，设P 点坐标为（x ，﹣x 2﹣2x+3．），则Q 点坐标为（x ，x+3）， ∴PQ ＝﹣x 2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x 2﹣3x ． ∴S △PAC ＝1PQ A 2O ⋅， ∴()213332x x --⋅=，解得：x 1＝﹣1，x 2＝﹣2．当x ＝﹣1时，P 点坐标为（﹣1，4），当x ＝﹣2时，P 点坐标为（﹣2，3），综上所述：若△PAC 面积为3，点P 的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3），（3）如解（3）图1，过D 点作DF 垂直x 轴于F 点，过A 点作AE 垂直BC 于E 点，∵D 为抛物线y ＝﹣x 2﹣2x+3的顶点， ∴D 点坐标为（﹣1，4），又∵A （﹣3，0），∴直线AC 为y ＝2x+4，AF ＝2，DF ＝4，tan ∠PAB ＝2， ∵B （1，0），C （0，3）∴tan ∠ABC ＝3，BC ＝10，sin ∠ABC ＝310，直线BC 解析式为y ＝﹣3x+3． ∵AC ＝4，∴AE ＝AC•sin ∠ABC ＝310410⨯＝6105，BE ＝2105， ∴CE ＝310， ∴tan ∠ACB ＝2AECE=， ∴tan ∠ACB ＝tan ∠PAB ＝2， ∴∠ACB ＝∠PAB ，∴使得以M ，A ，O 为顶点的三角形与△ABC 相似，则有两种情况，如解（3）图2Ⅰ．当∠AOM ＝∠CAB ＝45°时，△ABC ∽△OMA ，即OM 为y ＝﹣x ，设OM 与AD 的交点M （x ，y ）依题意得：3y xy x =-⎧⎨=+⎩，解得3232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即M 点为（32-，32）． Ⅱ．若∠AOM ＝∠CBA ，即OM ∥BC ， ∵直线BC 解析式为y ＝﹣3x+3．∴直线OM 为y ＝﹣3x ，设直线OM 与AD 的交点M （x ，y ）．则依题意得：33y xy x =-⎧⎨=+⎩，解得3494x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即M 点为（34-，94），综上所述：存在使得以M ，A ，O 为顶点的三角形与△ABC 相似的点M ，其坐标为（32-，32）或（34-，94）．【点睛】本题结合三角形的性质考查二次函数的综合应用，函数和几何图形的综合题目，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．7．如图，已知抛物线2y ax bx c =++的顶点为()4,3A ，与y 轴相交于点()0,5B -，对称轴为直线l ，点M 是线段AB 的中点.（1）求抛物线的表达式；（2）写出点M 的坐标并求直线AB 的表达式；（3）设动点P ，Q 分别在抛物线和对称轴l 上，当以A ，P ，Q ，M 为顶点的四边形是平行四边形时，求P ，Q 两点的坐标. 【答案】（1）21452=-+-y x x ；（2）()2,1-M ，25y x =-；（3）点P 、Q 的坐标分别为()6,1或()2,1、()4,3-或()4,1．【解析】【分析】（1）函数表达式为：()243y a x ==+，将点B 坐标代入上式，即可求解；（2）()4,3A 、()0,5B -，则点()2,1-M ，设直线AB 的表达式为：5y kx =-，将点A 坐标代入上式，即可求解；（3）分当AM 是平行四边形的一条边、AM 是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可. 【详解】解：（1）函数表达式为：()243y a x ==+，将点B 坐标代入上式并解得：12a =-，故抛物线的表达式为：21452=-+-y x x ；（2）()4,3A 、()0,5B -，则点()2,1-M ，设直线AB 的表达式为：5y kx =-，将点A 坐标代入上式得：345k =-，解得：2k =，故直线AB 的表达式为：25y x =-；（3）设点()4,Q s 、点21,452P m m m ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭， ①当AM 是平行四边形的一条边时，点A 向左平移2个单位、向下平移4个单位得到M ，同样点21,452P m m m ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭向左平移2个单位、向下平移4个单位得到()4,Q s ，即：24m -=，214542m m s -+--=，解得：6m =，3s =-，故点P 、Q 的坐标分别为()6,1、()4,3-； ②当AM 是平行四边形的对角线时，由中点定理得：424m +=+，2131452m m s -=-+-+，解得：2m =，1s =，故点P 、Q 的坐标分别为()2,1、()4,1；故点P 、Q 的坐标分别为()6,1，()4,3-或()2,1、()4,3-，()2,1或()4,1．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图象的面积计算等，其中（3），要主要分类求解，避免遗漏.8．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B （4，0）、C （8，0）、D （8，8）.抛物线y=ax 2+bx 过A 、C 两点.(1)直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点P 从点A 出发．沿线段AB 向终点B 运动，同时点Q 从点C 出发，沿线段CD 向终点D 运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒.过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E ①过点E 作EF ⊥AD 于点F ，交抛物线于点G.当t 为何值时，线段EG 最长?②连接EQ ．在点P 、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形?请直接写出相应的t 值.【答案】(1)点A 的坐标为（4，8）将A (4,8)、C （8，0）两点坐标分别代入y=ax 2+bx 得8=16a+4b 0=64a+8b 解得a=,b=4∴抛物线的解析式为：y=-x 2+4x（2）①在Rt △APE 和Rt △ABC 中，tan ∠PAE=PE AP =BC AB ,即PE AP =48∴PE=AP=t ．PB=8-t ．∴点Ｅ的坐标为（4+t ，8-t ）.∴点G的纵坐标为：-（4+t）2+4(4+t）=-t2+8.∴EG=-t2+8-(8-t)=-t2+t.∵-＜0，∴当t=4时，线段EG最长为2.②共有三个时刻：t1=163， t2=4013，t3=8525．【解析】（1）根据题意即可得到点A的坐标，再由A、C两点坐标根据待定系数法即可求得抛物线的解析式；（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，由tan∠PAE，即可表示出点E的坐标，从而得到点G 的坐标，EG的长等于点G的纵坐标减去点E的纵坐标，得到一个函数关系式，根据函数关系式的特征即可求得结果；②考虑腰和底，分情况讨论．9．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P做x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）已知点F（0，12），当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？（3）点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=﹣12x2+32x+2；（2）m=﹣1或m=3时，四边形DMQF是平行四边形；（3）点Q的坐标为（3，2）或（﹣1，0）时，以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似．【解析】分析：（1）待定系数法求解可得；（2）先利用待定系数法求出直线BD 解析式为y=12x-2，则Q （m ，-12m 2+32m+2）、M（m ，12m-2），由QM ∥DF 且四边形DMQF 是平行四边形知QM=DF ，据此列出关于m 的方程，解之可得；（3）易知∠ODB=∠QMB ，故分①∠DOB=∠MBQ=90°，利用△DOB ∽△MBQ 得12DO MB OB BQ ==，再证△MBQ ∽△BPQ 得BM BP BQ PQ=，即214 132222mm m -=-++，解之即可得此时m 的值；②∠BQM=90°，此时点Q 与点A 重合，△BOD ∽△BQM′，易得点Q 坐标．详解：（1）由抛物线过点A （-1，0）、B （4，0）可设解析式为y=a （x+1）（x-4），将点C （0，2）代入，得：-4a=2，解得：a=-12，则抛物线解析式为y=-12（x+1）（x-4）=-12x 2+32x+2；（2）由题意知点D 坐标为（0，-2），设直线BD 解析式为y=kx+b ，将B （4，0）、D （0，-2）代入，得：402k b b +⎧⎨-⎩＝＝，解得：122k b ⎧⎪⎨⎪-⎩＝＝， ∴直线BD 解析式为y=12x-2， ∵QM ⊥x 轴，P （m ，0），∴Q （m ，--12m 2+32m+2）、M （m ，12m-2），则QM=-12m 2+32m+2-（12m-2）=-12m 2+m+4，∵F （0，12）、D （0，-2），∴DF=52，∵QM ∥DF ，∴当-12m2+m+4=52时，四边形DMQF是平行四边形，解得：m=-1（舍）或m=3，即m=3时，四边形DMQF是平行四边形；（3）如图所示：∵QM∥DF，∴∠ODB=∠QMB，分以下两种情况：①当∠DOB=∠MBQ=90°时，△DOB∽△MBQ，则21=42 DO MBOB BQ==，∵∠MBQ=90°，∴∠MBP+∠PBQ=90°，∵∠MPB=∠BPQ=90°，∴∠MBP+∠BMP=90°，∴∠BMP=∠PBQ，∴△MBQ∽△BPQ，∴BM BPBQ PQ=，即214132222mm m-=-++，解得：m1=3、m2=4，当m=4时，点P、Q、M均与点B重合，不能构成三角形，舍去，∴m=3，点Q的坐标为（3，2）；②当∠BQM=90°时，此时点Q与点A重合，△BOD∽△BQM′，此时m=-1，点Q的坐标为（-1，0）；综上，点Q的坐标为（3，2）或（-1，0）时，以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似．点睛：本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及分类讨论思想的运用．10．如图，抛物线交轴于点，交轴于点，已知经过点的直线的表达式为．（1）求抛物线的函数表达式及其顶点的坐标；（2）如图①，点是线段上的一个动点，其中，作直线轴，交直线于，交抛物线于，作∥轴，交直线于点，四边形为矩形．设矩形的周长为，写出与的函数关系式，并求为何值时周长最大；（3）如图②，在抛物线的对称轴上是否存在点，使点构成的三角形是以为腰的等腰三角形．若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．图① 图②【答案】（1）抛物线的表达式为y=-x2-2x+3，顶点C坐标为（-1,4）；（2）L=-4m2-12m=-4（m+）2+9；当m=-时，最大值L=9；（3）点Q的坐标为（-1，），（-1，-），（-1，3+），（-1，3-）．【解析】试题分析：（1）由直线经过A、B两点可求得这两点的坐标，然后代入二次函数解析式即可求出b、c的值，从而得到解析式，进而得到顶点的坐标；（2）由题意可表示出D、E的坐标，从而得到DE的长，由已知条件可得DE=EF，从而可表示出矩形DEFG的周长L，利用二次函数的性质可求得最大值；（3）分别以点A、点B为圆心，以AB长为半径画圆，圆与对称轴的交点即为所求的点．试题解析：（1）直线y=x+3与x轴相交于A（-3,0 ），与y轴相交于B（0,3）抛物线y=-x2+bx+c经过A（-3,0 ），B（0,3），所以，,∴，所以抛物线的表达式为y=-x2-2x+3，∵y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4,所以，顶点坐标为C（-1,4）．（2）因为D在直线y=x+3上，∴D（m,m+3）．因为E在抛物线上，∴E（m，-m2-2m+3）．DE=-m2-2m+3-（m+3）=-m2-3m．由题意可知，AO=BO,∴∠DAP=∠ADP=∠EDF=∠EFD=45°，∴DE=EF．L=4DE=-4m2-12m．L=-4m2-12m=-4（m+）2+9．∵a=-4<0,∴二次函数有最大值当m=-时，最大值L=9．（3）点Q的坐标为（-1，），（-1，-），（-1，3+），（-1，3-）．考点：1、待定系数法；2、正方形的判定；3、二次函数的性质的应用；4、等腰三角形．。

专题训练(二) 一次函数易错题——忽略条件致错

专题训练(二)一次函数易错题——忽略条件致错易错点一对函数的概念理解不透彻致错1．下列四个图像分别给出了x与y的对应关系，其中y是x的函数的是()图2－ZT－12．在下列4个等式中：①y＝x＋1；②y＝－2x；③y2＝x；④y＝x2，y是x的函数的是________(填序号)．易错点二忽视函数定义中的限制条件致错3．若y＝(a＋3)xa2－8＋5是关于x的一次函数，则a的值是()A．±3 B．3C．－3 D．2 24．若关于x的函数y＝－2mx－(m2－4)的图像经过原点，且y随x的增大而增大，则()A．m＝2 B．m＝－2C．m＝±2 D．以上都不对易错点三忽略正比例函数是特殊的一次函数致错5．下列函数中：①y＝3πx；②y＝8x－6；③y＝1x；④y＝12－8x；⑤y＝5x2－4x＋1，是一次函数的有____________(填序号)．6．一次函数y＝kx＋b的图像不经过第三象限，则k________，b________．易错点四忽视分类讨论或分类讨论不全面致错7．如图2－ZT－2，在同一平面直角坐标系内，直线l1：y＝(k－2)x＋k和l2：y＝kx的位置可能是()图2－ZT－28．函数y＝－3x＋2的图像上存在一点P，点P到x轴的距离等于3，则点P的坐标为________．9．已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图像过点(0，2)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求此一次函数的表达式．10．已知直线y＝kx＋3经过点A(－4，0)，且与y轴交于点B，O为坐标原点．(1)求k的值；(2)求点O到直线AB的距离；(3)过点C(0，1)的直线把△AOB的面积分成相等的两部分，求这条直线的函数表达式．易错点五忽视自变量的取值范围致错11．汽车由重庆驶往相距400 km的某地，如果汽车的平均速度是100 km/h，那么汽车距该地的路程s(km)与行驶时间t(h)的函数关系用图像表示为()图2－ZT－312.图2－ZT－4是某种蜡烛在燃烧过程中高度y(cm)与燃烧时间x(h)之间关系的图像，由图像解答下列问题：(1)此蜡烛燃烧1 h后，高度为________cm，经过________h燃烧完毕；(2)求这种蜡烛在燃烧过程中高度y与燃烧时间x之间的函数表达式．图2－ZT－413．点P(x，y)在第一象限内，且x＋y＝10，点A的坐标为(8，0)，设原点为O，△OPA 的面积为S.(1)求S与x的函数关系式，写出x的取值范围，并画出这个函数的图像；(2)当S＝12时，求点P的坐标；(3)△OPA的面积能大于40吗？为什么？易错点六忽视一次函数的性质致错14．若函数y＝(m－2)x＋(m2－9)的图像经过原点，且函数图像过第二、四象限，则() A．m＝3 B．m＝－3C．m＝±3 D．以上都不对15．已知直线y＝mx＋2m－4不经过第二象限，试求m的取值范围．16．已知一次函数y＝(2m－3)x＋m－1.(1)若函数图像经过原点，求m的值；(2)若函数图像与y轴交点的纵坐标为－3，求m的值；(3)若函数图像平行于直线y＝x＋2，求m的值；(4)若该函数关系式中m为负数，则函数图像经过哪几个象限？详解详析1．D2．①②④3．B [解析] 根据一次函数的定义可知a 2－8＝1且a ＋3≠0，解得a ＝3.故选B. 4．B5．①②④ 6．＜0 ≥07．A [解析] 由题意知，需分三种情况进行讨论：(1)当k ＞2时，直线y ＝(k －2)x ＋k 经过第一、二、三象限；函数y ＝kx 中y 随x 的增大而增大，并且直线l 2比l 1倾斜程度大，故C 选项错误．(2)当0＜k ＜2时，直线y ＝(k －2)x ＋k 经过第一、二、四象限；函数y ＝kx 中y 随x 的增大而增大，A 选项正确，D 选项错误．(3)当k ＜0时，直线y ＝(k －2)x ＋k 经过第二、三、四象限；函数y ＝kx 中y 随x 的增大而减小，但直线l 1比l 2倾斜程度大，故B 选项错误．故选A.8．(－13，3)或(53，－3) [解析] 因为点P 到x 轴的距离等于3，所以点P 的纵坐标的绝对值为3，所以点P 的纵坐标为3或－3.当y ＝3时，－3x ＋2＝3，解得x ＝－13；当y ＝－3时，－3x ＋2＝－3，解得x ＝53，所以点P 的坐标为(－13，3)或(53，－3)．9．解：因为一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图像过点(0，2)，所以b ＝2.令y ＝0，则x ＝－2k .因为函数图像与两坐标轴围成的三角形的面积为2，所以12×2×⎪⎪⎪⎪－2k ＝2，即⎪⎪⎪⎪－2k ＝2. 当k ＞0时，2k ＝2，解得k ＝1；当k ＜0时，－2k＝2，解得k ＝－1.故此一次函数的表达式为y ＝x ＋2或y ＝－x ＋2. 10．解：(1)依题意，得－4k ＋3＝0，解得k ＝34.(2)由(1)得y ＝34x ＋3，当x ＝0时，y ＝3，即点B 的坐标为(0，3)．如图，过点O 作OP ⊥AB 于点P ，则线段OP 的长即为点O 到直线AB 的距离．由勾股定理，易得AB ＝OA 2＋OB 2＝5. 因为S △AOB ＝12AB ·OP ＝12OA ·OB ，所以OP ＝OA ·OB AB ＝4×35＝125，即点O 到直线AB 的距离为125.(3)设所求过点C (0，1)的直线的函数表达式为y ＝mx ＋1. S △AOB ＝12OA ·OB ＝12×4×3＝6.分两种情况讨论：①当直线y ＝mx ＋1与OA 相交时，设交点为D ，则S △COD ＝12OC ·OD ＝12×1×OD ＝3，解得OD ＝6.因为OD ＞OA ，所以OD ＝6不合题意，应舍去；②当直线y ＝mx ＋1与AB 相交时，设交点为E ，则S △BCE ＝12BC ×|x E |＝12×2×|x E |＝3，解得|x E |＝3，则x E ＝－3.当x ＝－3时，y ＝34×(－3)＋3＝34，即点E 的坐标为(－3，34)．将E (－3，34)代入y ＝mx ＋1，得－3m ＋1＝34，解得m ＝112.故这条直线的函数表达式为y ＝112x ＋1.11．C [解析] 注意自变量的取值范围要使实际问题有意义，函数图像是一条线段，且s 随t 的增大而减小．12．解：(1)7158(2)设所求的函数表达式为y ＝kx ＋b . 因为点(0，15)，(1，7)在函数图像上，所以b ＝15，k ＋b ＝7，解得k ＝－8，所以所求的函数表达式为y ＝－8x ＋15(0≤x ≤158)．13．解：(1)因为点A ，P 的坐标分别是(8，0)，(x ，y )，所以△OP A 的面积S ＝12OA ·|y P |，所以S ＝12×8×|y |＝4y .因为x ＋y ＝10，所以y ＝10－x ，所以S ＝4(10－x )＝40－4x .因为S ＝－4x ＋40＞0，解得x ＜10. 又因为点P 在第一象限，所以x ＞0，即x 的取值范围为0＜x ＜10. 画函数图像如下：(2)因为S ＝－4x ＋40，所以当S ＝12时，12＝－4x ＋40，解得x ＝7，所以y ＝10－7＝3，即点P 的坐标为(7，3)．(3)△OP A 的面积不能大于40.理由如下：因为S ＝－4x ＋40，－4＜0，所以S 随x 的增大而减小．又因为当x ＝0时，S ＝40，所以当0＜x ＜10时，S ＜40，即△OP A 的面积不能大于40. 14．B15．解：由题意可得，直线y ＝mx ＋2m －4经过第一、三、四象限或第一、三象限，则m >0，2m －4≤0，解得0<m ≤2.特别地，当m ＝0时，y ＝－4也符合题意，所以0≤m ≤2.16．解：(1)因为函数图像经过原点，所以m －1＝0且2m －3≠0，解得m ＝1.(2)因为函数图像与y 轴交点的纵坐标为－3，所以当x ＝0时，y ＝－3，即m －1＝－3且2m －3≠0，解得m ＝－2. (3)因为函数图像平行于直线y ＝x ＋2，所以2m －3＝1且m －1≠2，解得m ＝2.(4)因为m 为负数，所以2m －3<0，m －1<0，所以函数图像经过第二、三、四象限．。

高考数学专题二函数第15练函数中的易错题练习

【步步高】（浙江专用）2017年高考数学专题二函数第15练函数中的易错题练习训练目标(1)函数概念、性质、图象知识的巩固深化；(2)解题过程的严谨性、规范化训练.训练题型函数中的易错题. 解题策略 (1)讨论函数性质要注意定义域；(2)函数性质和图象相结合；(3)条件转化要等价.一、选择题 1．若f (x )＝1log 12(2x ＋1)，则f (x )的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．(0，＋∞)2．函数y ＝e|ln x |－|x －1|的图象大致是( )3．(2015·湖北浠水实验高中期中)设f (x )＝1－(x －a )(x －b )(a <b )，m ，n 为y ＝f (x )的两个零点，且m <n ，则a ，b ，m ，n 的大小关系是( ) A ．a <m <n <b B ．m <a <b <n C ．a <b <m <nD ．m <n <a <b4．定义在R 上的函数f (x )既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期，若将该函数在区间[－T ，T ]上的零点个数记为n ，则n 可能为( ) A ．0 B ．1 C ．3 D ．55．(2015·广东汕头澄海凤翔中学段考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋1，x ≥0，(a －2)e x，x <0是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．(2,3] C ．(－∞，3]D ．(2,3)6．(2015·湖南娄底高中名校联考)对于函数f (x )，使f (x )≤n 成立的所有常数n 中，我们把n 的最小值G 叫做函数f (x )的上确界．则函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≥0，log 12(12－x )，x <0的上确界是( ) A ．0 B.12 C ．1D ．27．(2015·青海西宁第四高级中学月考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 0.5x ，x >1.若对于任意x∈R ，不等式f (x )≤t 24－t ＋1恒成立，则实数t 的取值范围是( )A ．(－∞，1]∪[2，＋∞)B ．(－∞，1]∪[3，＋∞)C ．[1,3]D ．(－∞，2]∪[3，＋∞)8．(2015·湖北重点中学月考)设方程2x＋x ＋2＝0和方程log 2x ＋x ＋2＝0的根分别为p 和q ，函数f (x )＝(x ＋p )(x ＋q )＋2，则( ) A ．f (2)＝f (0)<f (3) B ．f (0)<f (2)<f (3) C ．f (3)<f (0)＝f (2) D ．f (0)<f (3)<f (2)二、填空题9．已知y ＝f (x )在(0,2)上是增函数，y ＝f (x ＋2)是偶函数，则f (1)，f (52)，f (72)的大小关系是____________．(用“<”连接)10．(2015·苏州上学期期中)若关于x 的不等式ax 2＋x －2a <0的解集中仅有4个整数解，则实数a 的取值范围为________．11．(2015·四川成都新都一中月考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x >0，－x 2＋bx ＋c ，x ≤0满足f (0)＝1，且有f (0)＋2f (－1)＝0，那么函数g (x )＝f (x )＋x 的零点有________个．12．已知f (x )＝|log a |x －1||(a >0，a ≠1)，若x 1<x 2<x 3<x 4，且f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，则1x 1＋1x 2＋1x 3＋1x 4＝________.答案解析1．A [由题意，可知log 12(2x ＋1)>0，又因为2x ＋1>0，所以可得0<2x ＋1<1，解得－12<x <0.]2．D [原式＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x－1，0<x <1，1，x ≥1.对照图象知选D.]3．B [因为函数f (x )＝1－(x －a )(x －b )的图象开口向下，且f (a )＝f (b )＝1>0，所以在区间[a ，b ]上，f (x )>0恒成立，所以函数f (x )＝1－(x －a )(x －b )的两个零点在区间[a ，b ]的两侧，即m <a <b <n .故选B.]4．D [因为奇函数f (x )在x ＝0处有意义，所以f (0)＝0，即x ＝0为函数f (x )的一个零点；再由周期函数的定义，可知f (T )＝f (－T )＝f (0＋T )＝f (0－T )＝f (0)＝0，所以x ＝T ，x ＝－T 也是函数f (x )的零点；又f (－T 2)＝f (－T 2＋T )＝f (T 2)，而由奇函数的定义，知f (－T2)＝－f (T 2)，所以f (T 2)＝－f (T 2)，即f (T 2)＝0.所以f (－T 2)＝0.所以x ＝T 2，x ＝－T2也是函数f (x )的零点．故选D.]5．B [若f (x )在R 上单调递增，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a －2>0，a －2≤1，解得2<a ≤3；若f (x )在R 上单调递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧a <0，a －2<0，a －2≥1，a 无解．综上，实数a 的取值范围是(2,3]．故选B.]6．C [f (x )在(－∞，0)上是单调递增的，f (x )在[0，＋∞)上是单调递减的，∴f (x )在R 上的最大值是f (0)＝1，∴n ≥1，∴G ＝1，故选C.]7．B [由题意可知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 0.5x ，x >1的最大值为14，若对于任意x ∈R ，不等式f (x )≤t 24－t ＋1恒成立，则14≤t24－t ＋1，解得t ∈(－∞，1]∪[3，＋∞)．故选B.]8．A [方程2x＋x ＋2＝0和方程log 2x ＋x ＋2＝0可以看作方程2x＝－x －2和方程log 2x ＝－x －2.因为方程2x＋x ＋2＝0和方程log 2x ＋x ＋2＝0的根分别为p 和q ，即函数y ＝2x 与函数y ＝－x －2的交点B 的横坐标为p ；函数y ＝log 2x 与函数y ＝－x －2的交点C 的横坐标为q .因为y ＝2x与y ＝log 2x 互为反函数且关于y ＝x 对称，所以BC 的中点A 一定在直线y ＝x 上，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－x －2，解得A 点坐标为(－1，－1)．根据中点坐标公式得到p ＋q2＝－1即p ＋q ＝－2，则函数f (x )＝(x ＋p )(x ＋q )＋2为开口向上的抛物线，且对称轴为x ＝－p ＋q2＝1，得到f (0)＝f (2)，且当x >1时，函数为增函数，所以f (3)>f (2)．综上所述，f (3)>f (2)＝f (0)．故选A.] 9．f (72)<f (1)<f (52)解析因为y ＝f (x ＋2)是偶函数，f (x ＋2)的图象向右平移2个单位即得f (x )的图象．所以函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，又因为f (x )在(0,2)上是增函数，所以f (x )在(2,4)上是减函数，且f (1)＝f (3)，由于72>3>52，所以f (72)<f (3)<f (52)，即f (72)<f (1)<f (52)．10．[27，37)解析设f (x )＝ax 2＋x －2a ，由题中不等式ax 2＋x －2a <0的解集中仅有4个整数解，易知抛物线的开口向上，即a >0.又f (0)＝－2a <0，知解集中有0；f (－1)＝－1－a <0，知解集中有－1；而f (1)＝1－a 与f (－2)＝2a －2＝2(a －1)异号，又f (2)＝2>0，则可推出解集中四个整数为：－3，－2，－1,0，故有⎩⎪⎨⎪⎧f (－3)<0，f (－4)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧7a －3<0，14a －4≥0，解得a ∈[27，37)．11．2解析由f (0)＝1，且有f (0)＋2f (－1)＝0，得c ＝1，b ＝12，g (x )＝f (x )＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x >0，－x 2＋32x ＋1，x ≤0.当x >0时，函数g (x )有一个零点x ＝1；当x ≤0时，函数g (x )是开口向下的抛物线，且与y 轴交于点(0,1)，故在x 轴的负半轴有且只有一个零点．故函数g (x )有2个零点．12．2解析如图所示，f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，即|log a |x 1－1||＝|log a |x 2－1||＝|log a |x 3－1||＝|log a |x 4－1||，因为x 1<0,0<x 2<1，所以1－x 1>1,0<1－x 2<1，所以log a |x 1－1|＋log a |x 2－1|＝0，即log a (1－x 1)＋log a (1－x 2)＝0，即(1－x 1)(1－x 2)＝1，x 1x 2－(x 1＋x 2)＝0，所以1x 1＋1x 2＝1.同理可得1x 3＋1x 4＝1，所以1x 1＋1x 2＋1x 3＋1x 4＝2.。

专题02 函数备战2021年新高考数学清除易错点(学生版)

易错02 函数易错点1抽象函数定义域【例1】（2020·莆田第二十五中学月考）已知函数()f x 的定义域为[3,6]，则函数y =域为（）A ．3,+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭B ．3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭D ．1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【举一反三】1．（2020·湖北黄冈·高考模拟）已知函数()1f x +的定义域为()2,0-，则()21f x -的定义域为( ) A ．()1,0-B ．11,22⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．()0,1D ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭2．（2021·宜宾市叙州区第二中学校月考）若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域为( ) A ．[0,4]B ．[0,1)C ．[0,1)(1,4] D ．(0,1)3．（2020·河南宛城·南阳中学高三月考（文））函数()f x =()32-f x 的定义城是（）A ．24,35⎡⎫⎪⎢⎭⎣ B ．114,155⎡⎫⎪⎢⎭⎣ C ．1113,1515⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．11,15⎡⎫+∞⎪⎢⎭⎣易错点02 单调性勿忘定义域【例2】．（2020·全国其他）函数()()2ln 31f x x =-+的单调递减区间为（）A ．0,3⎛ ⎝⎭B ．,03⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭C．⎛ ⎝⎭D．⎛ ⎝⎭【举一反三】1．（2020·渝中·重庆巴蜀中学月考）函数=y 的单调递减区间为（）A ．(],2-∞B ．[)2,+∞C ．[]2,6D ．[]22-,2．（2020·南昌市豫章中学月考）已知函数()f x 在R 上单调递减，则f 的单调递增区间为_________．3．（2020·江西南昌十中月考）函数y ______易错点3 奇偶性勿忘定义域【例3】判断y =【举一反三】1．（2020·全国高一课时练习）判断下列函数的奇偶性: (1)2()3,(2,2]f x x x =∈-;(2)()(f x x =-2．（2020·全国）根据定义，判断下列函数的奇偶性：（1）()f x = （2）()22,0,0x x x f x x x x ⎧+≤=⎨-+>⎩；（3）()22f x x =+-；（4）()f x =.易错点4 分段函数求值【例4】．（2020·南昌县莲塘第二中学期末）已知()()()235121(11)521x x f x x x x x ⎧+≤-⎪=+-<<⎨⎪-≥⎩，若()2f x =，则x 的值是（） A ．1-B ．1-或45C．D ． 1-或±【举一反三】1．（2020·宁夏吴忠中学高二开学考试）设函数()221,2,log ,02,x x f x x x ⎧-≥=⎨<<⎩若()3f m =，则实数m 的值为（）． A ．2-B ．8C ．1D ．22．（2020·山东省东明县实验中学月考）已知函数()212,121log ,12x x f x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，若()2f a =，则a =________.易错点5 对称性与周期性的区别【例5】（1）（2021·河南宛城·南阳中学月考（理））已知奇函数()f x 满足()(4)f x f x =+，当(0,1)x ∈时，()2x f x =，则()2log 12f =（）A ．43-B ．2332 C ．34D ．38-（2）（2020·渝中·重庆巴蜀中学高三月考）定义在R 上的偶函数()f x 满足()()22f x f x -=+，且()10x ∈-，时，()129x f x =+，则()2log 18f =（）A ．1-B ．89-C ．1D ．89【举一反三】1．（2020·定远县育才学校月考（文））定义在R 上的函数()f x 满足()()()(),4f x f x f x f x -=-=+,且()1,0x ∈-时,()125xf x =+,则()2log 20f = A ．1 B ．45 C ．1-D ．45-2．（2020·陕西榆林·高三其他（文））已知定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x -=- ，(2)()f x f x +=- ，且当02x <<时，28l )2og (f x x x =-，则()47f = ( )A ．﹣1B ．﹣2C ．0D ．13．（2020·霍邱县第二中学开学考试（文））已知()f x 是定义域为()-∞+∞，的奇函数，满足()()11f x f x -=+.若()12f =，则()()()()1232018f f f f ++++=（）A ．2018-B ．0C ．50D ．2易错点6 分段函数单调性分界点函数值【例6】（2020·渝中·重庆巴蜀中学月考）若函数223,1()1,1x ax x f x ax x ⎧++≤=⎨+>⎩是R 上的减函数，则a 的取值范围是（）A ．[3,1]--B ．(,1]-∞-C ．[1,0)-D ．[2,0)-【举一反三】1．（2021·宜宾市叙州区第二中学校月考）已知函数,1()(32)2,1ax f x xa x x ⎧-≤-⎪=⎨⎪-+>-⎩在(),-∞+∞上为增函数，则实数a 的取值范围是（） A ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．（2020·贵溪市实验中学月考（文））()()()1 4212x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，，是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为（）A ．()1，∞+ B ．[)48， C ．()48， D ．()18，易错点7 对数函数值域为R【例7】（2020·黑龙江哈尔滨·月考（理））函数y =的值域为R ，则实数a 的取值范围是（） A ．[0,)+∞ B ．[1,0)(0,)-⋃+∞ C ．(,1)-∞- D ．[1,1)-【举一反三】1．（2020·安徽）已知函数()()()()10,ln 10ax x f x x a x ⎧+<⎪=⎨++≥⎪⎩的值城为R ，则a 的取值范围是（）A ．(),1-∞B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．(]0,1D ．[)1,+∞2．（2019·浙江高一期中）已知函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，则m 的取值范围为______．1．（2020·山东省实验中学高三一模（理））若函数()f x 的定义域为［1，8］，则函数(2)3xf x -的定文域为 .2．（2020·浙江下城·杭州高级中学高三其他）已知函数()f x =(1,2)，则函数2()f x 的定义域是3．（2020·江苏高三专题练习）若函数()f 1x +的定义域是[]1,1-，则函数12f log x ⎛⎫⎪⎝⎭的定义域为________．4．（2020·渝中·重庆巴蜀中学月考）已知函数()3=-y f x 的定义域是[]2,4-，则()()211-+-=f x f x y x的定义域是______5．（2020·四川省乐至县良安中学高一期中）已知函数()24y f x =-的定义域是[]1,5-，则函数()21y f x =+的定义域为______.6．（2020·横峰中学月考（文））函数212()log (6)f x x x =--的单调递增区间是________7．（2020·四川省宜宾市第四中学校月考）函数21()45f x x x =--的单调递增区间为__________．8．（2020·江苏南通·月考）若函数(31)4,1(),1a x a x f x ax x -+<⎧=⎨-≥⎩，是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围为 .9．（2020·南昌市豫章中学月考）若函数()28,12,1ax x x f x a x x⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩为R 上的减函数，则实数a 的取值范围是 .10．（2020·全国高三其他）若定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，()()4f x f x +=，且当()0,2x ∈时，()2x f x =，则()2log 2019f = .11．（2019·福建思明·厦门一中高一月考）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，(1)(1)f x f x +=-，且当[01]x ∈，时，2()log (1)=+f x x ，则(31)f = .12（2020·天津和平·耀华中学月考）设实数0a ≠，函数()f x 对任意的实数x 都满足()()4f x f x =-+，当(]2,2x ∈-时，()22sin 21x f x ax x =-+，若()12f -=，则()2021f = .13．（2020·全国课时练习）函数()()22a f x log x ax =-+在区间（1，+∞）上恒为正值，则实数a 的取值范围 .14．（2020·重庆北碚·西南大学附中）已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，则函数1f x y +=的定义域是__________．15．（2020·四川双流·棠湖中学月考）函数()()21(2)12ax x x f x x x ⎧+->⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围是______ .16．（2020·西藏日喀则·高三其他（文））已知函数2log(1),0()1,02xx xf xx+>⎧⎪=⎨⎛⎫≤⎪⎪⎝⎭⎩，若()2f a=，则实数a的值是_______________.17．（2020·宁夏银川二中高二期末（文））判断下列函数的奇偶性．（1）()f x=（2）()f x=．。

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【步步高】（浙江专用）2017年高考数学专题二函数第15练函数中的易错题练习一、选择题 1．若f (x )＝1log 12(2x ＋1)，则f (x )的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．(0，＋∞)2．函数y ＝e|ln x |－|x －1|的图象大致是( )3．(2015·湖北浠水实验高中期中)设f (x )＝1－(x －a )(x －b )(a <b )，m ，n 为y ＝f (x )的两个零点，且m <n ，则a ，b ，m ，n 的大小关系是( ) A ．a <m <n <b B ．m <a <b <n C ．a <b <m <nD ．m <n <a <b4．定义在R 上的函数f (x )既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期，若将该函数在区间[－T ，T ]上的零点个数记为n ，则n 可能为( ) A ．0 B ．1 C ．3 D ．55．(2015·广东汕头澄海凤翔中学段考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋1，x ≥0，(a －2)e x，x <0是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．(2,3] C ．(－∞，3]D ．(2,3)6．(2015·湖南娄底高中名校联考)对于函数f (x )，使f (x )≤n 成立的所有常数n 中，我们把n 的最小值G 叫做函数f (x )的上确界．则函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≥0，log 12(12－x )，x <0的上确界是( ) A ．0 B.12 C ．1D ．27．(2015·青海西宁第四高级中学月考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 0.5x ，x >1.若对于任意x∈R ，不等式f (x )≤t 24－t ＋1恒成立，则实数t 的取值范围是( )A ．(－∞，1]∪[2，＋∞)B ．(－∞，1]∪[3，＋∞)C ．[1,3]D ．(－∞，2]∪[3，＋∞)8．(2015·湖北重点中学月考)设方程2x＋x ＋2＝0和方程log 2x ＋x ＋2＝0的根分别为p 和q ，函数f (x )＝(x ＋p )(x ＋q )＋2，则( ) A ．f (2)＝f (0)<f (3) B ．f (0)<f (2)<f (3) C ．f (3)<f (0)＝f (2) D ．f (0)<f (3)<f (2)二、填空题9．已知y ＝f (x )在(0,2)上是增函数，y ＝f (x ＋2)是偶函数，则f (1)，f (52)，f (72)的大小关系是____________．(用“<”连接)10．(2015·苏州上学期期中)若关于x 的不等式ax 2＋x －2a <0的解集中仅有4个整数解，则实数a 的取值范围为________．11．(2015·四川成都新都一中月考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x >0，－x 2＋bx ＋c ，x ≤0满足f (0)＝1，且有f (0)＋2f (－1)＝0，那么函数g (x )＝f (x )＋x 的零点有________个．12．已知f (x )＝|log a |x －1||(a >0，a ≠1)，若x 1<x 2<x 3<x 4，且f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，则1x 1＋1x 2＋1x 3＋1x 4＝________.答案解析1．A [由题意，可知log 12(2x ＋1)>0，又因为2x ＋1>0，所以可得0<2x ＋1<1，解得－12<x <0.]2．D [原式＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x－1，0<x <1，1，x ≥1.对照图象知选D.]3．B [因为函数f (x )＝1－(x －a )(x －b )的图象开口向下，且f (a )＝f (b )＝1>0，所以在区间[a ，b ]上，f (x )>0恒成立，所以函数f (x )＝1－(x －a )(x －b )的两个零点在区间[a ，b ]的两侧，即m <a <b <n .故选B.]4．D [因为奇函数f (x )在x ＝0处有意义，所以f (0)＝0，即x ＝0为函数f (x )的一个零点；再由周期函数的定义，可知f (T )＝f (－T )＝f (0＋T )＝f (0－T )＝f (0)＝0，所以x ＝T ，x ＝－T 也是函数f (x )的零点；又f (－T 2)＝f (－T 2＋T )＝f (T 2)，而由奇函数的定义，知f (－T2)＝－f (T 2)，所以f (T 2)＝－f (T 2)，即f (T 2)＝0.所以f (－T 2)＝0.所以x ＝T 2，x ＝－T2也是函数f (x )的零点．故选D.]5．B [若f (x )在R 上单调递增，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a －2>0，a －2≤1，解得2<a ≤3；若f (x )在R 上单调递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧a <0，a －2<0，a －2≥1，a 无解．综上，实数a 的取值范围是(2,3]．故选B.]6．C [f (x )在(－∞，0)上是单调递增的，f (x )在[0，＋∞)上是单调递减的，∴f (x )在R 上的最大值是f (0)＝1，∴n ≥1，∴G ＝1，故选C.]7．B [由题意可知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 0.5x ，x >1的最大值为14，若对于任意x ∈R ，不等式f (x )≤t 24－t ＋1恒成立，则14≤t24－t ＋1，解得t ∈(－∞，1]∪[3，＋∞)．故选B.]8．A [方程2x＋x ＋2＝0和方程log 2x ＋x ＋2＝0可以看作方程2x＝－x －2和方程log 2x ＝－x －2.因为方程2x＋x ＋2＝0和方程log 2x ＋x ＋2＝0的根分别为p 和q ，即函数y ＝2x 与函数y ＝－x －2的交点B 的横坐标为p ；函数y ＝log 2x 与函数y ＝－x －2的交点C 的横坐标为q .因为y ＝2x与y ＝log 2x 互为反函数且关于y ＝x 对称，所以BC 的中点A 一定在直线y ＝x 上，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－x －2，解得A 点坐标为(－1，－1)．根据中点坐标公式得到p ＋q2＝－1即p ＋q ＝－2，则函数f (x )＝(x ＋p )(x ＋q )＋2为开口向上的抛物线，且对称轴为x ＝－p ＋q2＝1，得到f (0)＝f (2)，且当x >1时，函数为增函数，所以f (3)>f (2)．综上所述，f (3)>f (2)＝f (0)．故选A.] 9．f (72)<f (1)<f (52)解析因为y ＝f (x ＋2)是偶函数，f (x ＋2)的图象向右平移2个单位即得f (x )的图象．所以函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，又因为f (x )在(0,2)上是增函数，所以f (x )在(2,4)上是减函数，且f (1)＝f (3)，由于72>3>52，所以f (72)<f (3)<f (52)，即f (72)<f (1)<f (52)．10．[27，37)解析设f (x )＝ax 2＋x －2a ，由题中不等式ax 2＋x －2a <0的解集中仅有4个整数解，易知抛物线的开口向上，即a >0.又f (0)＝－2a <0，知解集中有0；f (－1)＝－1－a <0，知解集中有－1；而f (1)＝1－a 与f (－2)＝2a －2＝2(a －1)异号，又f (2)＝2>0，则可推出解集中四个整数为：－3，－2，－1,0，故有⎩⎪⎨⎪⎧f (－3)<0，f (－4)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧7a －3<0，14a －4≥0，解得a ∈[27，37)．11．2解析由f (0)＝1，且有f (0)＋2f (－1)＝0，得c ＝1，b ＝12，g (x )＝f (x )＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x >0，－x 2＋32x ＋1，x ≤0.当x >0时，函数g (x )有一个零点x ＝1；当x ≤0时，函数g (x )是开口向下的抛物线，且与y 轴交于点(0,1)，故在x 轴的负半轴有且只有一个零点．故函数g (x )有2个零点．12．2解析如图所示，f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，即|log a |x 1－1||＝|log a |x 2－1||＝|log a |x 3－1||＝|log a |x 4－1||，因为x 1<0,0<x 2<1，所以1－x 1>1,0<1－x 2<1，所以log a |x 1－1|＋log a |x 2－1|＝0，即log a (1－x 1)＋log a (1－x 2)＝0，即(1－x 1)(1－x 2)＝1，x 1x 2－(x 1＋x 2)＝0，所以1x 1＋1x 2＝1.同理可得1x 3＋1x 4＝1，所以1x 1＋1x 2＋1x 3＋1x 4＝2.。