选修4-5证明不等式的基本方法

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考向二 放缩法证明不等式 [典例剖析] 【例 2 】 3 1 1 1 1 1 求证： － ＜ 1 ＋ 2＋ 2＋…＋ 2 ＜2 － 2 n＋1 2 3 n n
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(2)∵a2＋4b2≥2 a2· 4b2＝4ab， a2＋9c2≥2 a2· 9c2＝6ac， 4b2＋9c2≥2 4b2· 9c2＝12bc，
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∴2a2＋8b2＋18c2≥4ab＋6ac＋12bc. 故 a2＋4b2＋9c2≥2ab＋3ac＋6bc.
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将上述不等式相加得：
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1 1 1 1 1 1 － ＋ － ＋…＋ － 2 3 3 4 n n＋1 1 1 1 1 1 1 1 1 ＜ 2＋ 2＋…＋ 2＜1－ ＋ － ＋…＋ － ， 2 3 n 2 2 3 n－1 n 1 1 1 1 1 1 即 － ＜ ＋ ＋…＋ 2＜1－ ， 2 n＋1 22 32 n n 3 1 1 1 1 1 ∴ － ＜1＋ 2＋ 2＋…＋ 2＜2－ . 2 n＋1 2 3 n n
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1 2． (2014· 课标全国卷Ⅱ)设函数 f(x)＝x＋a ＋|x－a|(a>0)．
(1)证明：f(x)≥2； (2)若 f(3)<5，求 a 的取值范围．
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【 解 】 (1) 由 a>0 ， 有 f(x) ＝
1 x ＋ a
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＋ |x －
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1 1 a|≥x＋a－x－a ＝a＋a≥2.
所以 f(x)≥2.
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1 ≥ a＋ b＋ c， abc 即证 a bc＋b ac＋c ba≤ab＋bc＋ca.
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ab＋ac ab＋bc 而 a bc＝ ab ac≤ ，b ac＝ ab bc≤ ， 2 2 cb＋ac c ba＝ cb ac≤ ， 2 3 所以 a bc＋b ac＋ c ba≤ab＋bc＋ca(a＝b＝ c＝ 时 3 等号成立)．所以原不等式成立．
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【证明】 (1)要证 a＋b＋c≥ 3，由于 a，b，c＞0，因
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此只需证明 (a ＋ b ＋ c)2≥3 ，即证 a2 ＋ b2 ＋ c2 ＋ 2(ab ＋ bc ＋ ac)≥3，而 ab＋bc＋ca＝1，故需证明 a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc ＋ac)≥3(ab＋bc＋ac)，即证 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac. a2＋b2 c2＋b2 a2＋c2 因为 ab ＋ bc ＋ ca≤ ＋ ＋ ＝ a2 ＋ b2 ＋ 2 2 2 c2(当且仅当 a＝b＝c 时等号成立)， 所以原不等式成立．
从近几年的高考试题看， 利用基本不等式求最 值和证明不等式是高考命题的热点， 将绝对值 不等式与函数相结合是命题的新动向． 预测 2016 年高考仍会以基本不等式为载体， 重点考查不等式的最值求法和证明不等式， 难 度不大.
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考向 预测
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【解】 (1)因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3， 当且仅当－1≤x≤2 时，等号成立， 所以 f(x)的最小值等于 3，即 a＝3. (2)证明：由(1)知 p＋q＋r＝3，又因为 p，q，r 是正实数，
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(2)
a ＋ bc
b ＋ ac
c a＋b＋c ＝ . ba abc
在(1)中已证 a＋b＋c≥ 3， 因此要证原不等式成立，只需证明
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[对点练习] 设 a，b，c＞0，且 ab＋bc＋ca＝1.求证： (1)a＋b＋c≥ 3； (2) a ＋ bc b ＋ ac c ≥ 3( a＋ b＋ c)． ba
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2．能够利用三维的柯西不等式证明一些简单不等式，解 决最大(小)值问题．
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[基础真题体验] 考查角度[ 利用均值不等式证明不等式] 1 1 1．(2014· 课标全国卷Ⅰ)若 a>0，b>0，且 ＋ ＝ ab. a b (1)求 a3＋b3 的最小值； (2)是否存在 a，b，使得 2a＋3b＝6？并说明理由．
6 6
等式．
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【证明】 (1)3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2) ＝3a2(a－b)－2b2(a－b) ＝(a－b)(3a2－2b2)． ∵a≥b＞0，
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∴a－b≥0,3a2－2b2＞0. 因此(a－b)(3a2－2b2)≥0. 故 3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.
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考向一 不等式证明的基本方法
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[典例剖析] 【例 1】 证明下列不等式： (1)若 a≥b＞0，则 3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2；
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(2)a2＋4b2＋9c2≥2ab＋3ac＋6bc； 1 6 (3)a ＋8b ＋ c ≥2a2b2c2. 27 【思路点拨】 (1)作差比较；(2)综合法；(3)利用柯西不
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【解】
1 1 2 (1)由 ab＝ ＋ ≥ ，得 ab≥2，且当 a＝b a b ab
＝ 2时等号成立． 故 a3＋b3≥2 a3b3≥4 2，且当 a＝b＝ 2时等号成立． 所以 a3＋b3 的最小值为 4 2. (2)由(1)知，2a＋3b≥2 6 ab≥4 3. 由于 4 3>6，从而不存在 a，b，使得 2a＋3b＝6.
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用放缩法证明不等式的常用方法：
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(1)添加或舍去一些项， 如a
2
1 1 2 3 2 ＋a＋1＝a＋2 ＋ ＞a＋2 . 4
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(2)将分子或分母放大(或缩小)，如
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1 2 2 ① ＝ ＞ ＝2( k＋1－ k)； k k＋ k k＋ k＋1 1 2 2 ＝ ＜ ＝ 2( k－ k－1)(k ∈ N ＋ ，k ＞ k k＋ k k＋ k－1 1)． 1 1 1 1 1 1 1 1 ② 2＜ ＝ － ； ＞ ＝ － . k kk－1 k－1 k k2 kk＋1 k k＋1 1 1 1 1 1 1 － ③ 2＜ 2 ＝ ＝ . k k －1 k－1k＋1 2k－1 k＋1
1＋ 的取值范围是 2
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5 5＋ 21 . ， 2
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考查角度[ 利用柯西不等式证明不等式] 3．(2014· 福建高考)已知定义在 R 上的函数 f(x)＝|x＋1| ＋|x－2|的最小值为 a. (1)求 a 的值； (2)若 p，q，r 是正实数，且满足 p＋q＋r＝a，求证：p2 ＋q2＋r2≥3.
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3 8 1 (3)∵a6＋8b6＋ c6≥3 a6b6c6 27 27 2 2 2 2 ＝3× a b c ＝2a2b2c2， 3 1 6 ∴a ＋8b ＋ c ≥2a2b2c2. 27
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分别令 k＝2,3，…，n 得 1 1 1 1 － ＜ ＜1－ ； 2 3 22 2 1 1 1 1 1 － ＜ ＜ － ； 3 4 32 2 3 … 1 1 1 1 1 － ＜ 2＜ － ； n n＋1 n n－1 n
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1 (2)f(3)＝3＋a ＋|3－a|.
5＋ 21 1 当 a>3 时，f(3)＝a＋ ，由 f(3)<5，得 3<a< . a 2 1＋ 5 1 当 0<a≤3 时，f(3)＝6－a＋ ，由 f(3)<5，得 <a≤3. a 2 综上，a
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第二节 证明不等式的基本方法
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考纲要求：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综 合法、分析法、反证法、放缩法，并能利用它们证明一些简 单不等式．
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(n≥2，n∈N＋)．
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【思路点拨】 利用 n(n＋1)＞n2＞n(n－1)(n≥2)及裂项 求和法证明．
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【证明】 ∵k(k＋1)＞k2＞k(k－1)，k≥2， 1 1 1 ∴ ＜ 2＜ ， k kk＋1 kk－1 1 1 1 1 1 即 － ＜ ＜ － ， k k＋1 k2 k－1 k
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不等式证明的常用方法有： 比较法、 综合法与分析法． 其 中运用综合法证明不等式时，主要是运用基本不等式与柯西 不等式证明，与绝对值有关的不等式证明常用绝对值三角不 等式．证明过程中一方面要注意不等式成立的条件，另一方 面要善于对式子进行恰当的转化、变形．
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所以(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p×1＋q×1＋r×1)2＝(p ＋q＋r)2＝9， 即 p2＋q2＋r2≥3.
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[Fra Baidu bibliotek命题规律预测]
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