辗转相除法演示教学

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2024年《算法案例辗转相除法与更相减损术》教学教案

2024年《算法案例辗转相除法与更相减损术》教学优秀教案一、教学目标：1. 让学生理解并掌握辗转相除法的基本原理和应用。

2. 让学生了解并学会使用更相减损术求最大公约数。

3. 培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。

二、教学内容：1. 辗转相除法的基本原理和步骤。

2. 更相减损术的原理和步骤。

3. 实际案例分析，运用辗转相除法和更相减损术求最大公约数。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：辗转相除法的基本原理、步骤及应用，更相减损术的原理和步骤。

2. 教学难点：理解和运用辗转相除法和更相减损术求最大公约数。

四、教学方法：1. 讲授法：讲解辗转相除法和更相减损术的原理和步骤。

2. 案例分析法：分析实际案例，引导学生运用所学知识解决问题。

3. 互动教学法：引导学生积极参与讨论，提高学生的逻辑思维能力。

五、教学过程：1. 导入：通过一个实际案例，引发学生对求最大公约数的兴趣。

2. 讲解辗转相除法的原理和步骤，让学生理解并掌握。

3. 讲解更相减损术的原理和步骤，让学生了解并学会使用。

4. 开展小组讨论，让学生运用所学知识解决实际问题。

六、教学评估：1. 课堂问答：通过提问的方式检查学生对辗转相除法和更相减损术的理解程度。

2. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，评估其合作能力和问题解决能力。

3. 课后作业：布置有关辗转相除法和更相减损术的练习题，检查学生的掌握情况。

七、教学资源：1. 教材：《算法案例辗转相除法与更相减损术》相关章节。

2. PPT课件：展示辗转相除法和更相减损术的原理、步骤及案例。

3. 网络资源：提供相关的学习网站和视频，方便学生课后自主学习。

八、教学进度安排：1. 第一课时：介绍辗转相除法的基本原理和步骤。

2. 第二课时：讲解更相减损术的原理和步骤，并进行案例分析。

3. 第三课时：开展小组讨论，学生运用所学知识解决实际问题。

九、课后作业：十、教学反思：1. 反思教学方法：根据学生的反馈，调整教学方法，提高教学效果。

1.3.1 辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法(共32张PPT)

1.3

算法案例
第一课时辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法
知识能力目标引航 1.理解辗转相除法与更相减损术的含义,了解其执行过程,并会求最大公约数. 2.掌握秦九韶算法的计算过程,了解它提高计算效率的实质,并会求多项式的值. 3.进一步体会算法的基本思想.
1.辗转相除法与更相减损术 (1)辗转相除法. ①算法步骤: 第一步,给定两个正整数 m,n. 第二步,计算 m 除以 n 所得的余数 r. 第三步,m=n,n=r. 第四步,若 r=0,则 m,n 的最大公约数等于 m;否则返回第二步. ②程序框图如图所示.
求两个正整数的最大公约数的问题,可以用辗转相除法,也可以用更相减损术.用辗转相除法,即根据 a=nb+r 这个式子,反复相除,直到 r=0 为止;用更相减损术,即根据 r=|a-b|这个式子,反复相减,直到 r=0 为止.
题型二求多项式的值【例题 2】用秦九韶算法求多项式 f(x)=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x 当 x=3 时的值. 分析:解决本题首先需要将原多项式化成 f(x)=((((((7x+6)x+5)x+4)x+3)x+2)x+1)x 的形式,其次再弄清 v0,v1,v2,…,v7 分别是多少,再针对这些式子进行计算.
秦九韶算法的关键在于把 n 次多项式转化为一次多项式,注意体会递推的实现过程,实施运算时要由内向外,一步一步执行.
题型三
易错辨析
【例题 3】已知 f(x)=3x4+2x2+4x+2,利用秦九韶算法求 f(-2)的值. 错解:f(x)=((3x2+2)x+4)x+2, v1=3×(-2)2+2=14; v2=14×(-2)+4=-24; v3=-24×(-2)+2=50. 故 f(-2)=50. 错因分析:所求 f(-2)的值是正确的,但是错解中没有抓住秦九韶算法原理的关键,正确改写多项式,并使每一次计算只含有 x 的一次项. 正解:f(x)=3x4+0·x3+2x2+4x+2=(((3x+0)x+2)x+4)x+2, v1=3×(-2)+0=-6; v2=-6×(-2)+2=14; v3=14×(-2)+4=-24; v4=-24×(-2)+2=50. 故 f(-2)=50.

辗转相除法的算法步骤

辗转相除法的算法步骤辗转相除法，也称为欧几里得算法，是一种用于求两个数的最大公约数的算法。

它的基本思想是通过反复将较大的数除以较小的数，直到余数为0为止，此时较小的数即为最大公约数。

1. 确定两个数的大小顺序：首先，我们需要确定两个数的大小顺序。

假设我们要求两个数a和b的最大公约数，我们将a和b进行比较，如果a小于b，我们交换a和b的值，这样可以确保a始终大于等于b。

2. 用较小数除以较大数：接下来，我们用较小的数除以较大的数，并计算余数。

设较大数为x，较小数为y，那么我们计算x除以y的余数r。

3. 判断余数：如果余数r等于0，那么较小的数y即为最大公约数。

如果余数r不等于0，我们继续进行下一步操作。

4. 更新数值：将较大数x更新为较小数y，较小数y更新为余数r。

5. 重复步骤2-4：重复步骤2-4，直到余数r等于0为止。

此时，较小的数y即为最大公约数。

辗转相除法的原理是基于最大公约数的性质：设a和b为整数，c 为a除以b的余数，则a和b的最大公约数等于b和c的最大公约数。

接下来，我们通过一个实例来演示辗转相除法的具体步骤。

假设我们要求48和36的最大公约数。

我们比较两个数的大小，确定较大的数和较小的数。

48大于36，所以我们将48赋值给较大数x，将36赋值给较小数y。

然后，我们用较小的数36除以较大的数48，计算余数。

48除以36，余数为12。

接着，我们判断余数是否为0。

由于余数不为0，我们继续进行下一步操作。

我们将较大数48更新为较小数36，将较小数36更新为余数12。

然后，我们用较小的数12除以较大的数36，计算余数。

36除以12，余数为0。

我们判断余数是否为0。

由于余数等于0，较小的数12即为最大公约数。

所以，48和36的最大公约数为12。

辗转相除法是一种简单而有效的求最大公约数的方法。

它的时间复杂度较低，适用于大多数情况下的最大公约数求解。

辗转相除法的应用广泛，不仅可以用于求解最大公约数，还可以用于判断两个数是否互质，即它们的最大公约数是否为1。

人教a版必修3数学教学课件第1章算法初步第3节算法案例

多项式改写,依次计算一次多项式,由于后项计算用到前项的结果,
故应认真、细心,确保中间结果的准确性.若在多项式中有几项不
存在,可将这些项的系数看成0,即把这些项看成0·xn.
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题型一
题型二
Z 知识梳理 Z重难聚焦
HISHISHULI
HONGNANJUJIAO
D典例透析
IANLITOUXI
题型三
【变式训练3】用秦九韶算法求多项式f(x)=8x7+5x6+3x4+2x+1
当x=2时的值.
v3=-24×(-2)+2=50.故f(-2)=50.
错因分析:所求f(-2)的值是正确的,但是错解中没有抓住秦九韶算
法原理的关键,正确改写多项式,并使每一次计算只含有x的一次项.
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【做一做2】用秦九韶算法求f(x)=2x3+x-3当x=3时的值的过程
中,v2=
.
解析:f(x)=((2x+0)x+1)x-3,
v0=2;
减小数.
解:(1)用辗转相除法求840和1 785的最大公约数.
1 785=840×2+105,
840=105×8.
所以840和1 785的最大公约数是105.

人教版数学必修A版辗转相除法

课件9 辗转相除法
课件编号：AB Ⅲ-1-3-1．
课件名称：辗转相除法．
课件主要功能：利用幻灯片展示辗转相除法的程序设计过程，利用VB进行程序设计及运行．供教师教学和学生学习过程中进一步理解教材中的算法分析，体会算法和程序的概念．
课件运行环境：PowerPoint 2000．
课件使用说明：
1．直接双击素材名或运行PowerPoint后打开素材，进入PowerPoint的编辑状态,在进入编辑状态时，由于素材带有宏，应在出现提示时选择“启用宏”．2．单击放映按钮或按F5键进入放映状态．单击“辗转相除法”按钮，按屏幕提示依次输入两个正整数，运行程序后将输出它们的最大公约数．3．在编辑状态或在放映状态按Esc进入编辑状态，双击“辗转相除法”按钮，将进入VB的编辑状态，给出了这个操作的源程序，可对源程序做修改．
（浙江省黄岩中学金克勤）。

数学人教A版必修3课件：第一章 1.3 第1课时辗转相除法与更相减损术

求三个正整数的最大公约数
典例用辗转相除法和更相减损术两种方法，求三个数72,120,168的最大公约数.
素养评析 (1)求多个正整数的最大公约数，先求两个数的最大公约数，再求这个最大公约数与另一个数的最大公约数，依次类推. (2)求最大公约数，首先要设计运算方案，选择运算方法，求得运算结果，所以说，这类题目是培养学生数学核心素养的重要内容.
3 达标检测
PART THREE
1.1 337与382的最大公约数是
A.3
√C.191
B.382 D.201
解析 1 337＝382×3＋191,382＝191×2，所以1 337与382的最大公约数是191.
12345
2.下列各组关于最大公约数的说法中不正确的是 A.16和12的最大公约数是4 B.102和84的最大公约数是6
√C.85和357的最大公约数是34
D.105和315的最大公约数是105 解析 85和357的最大公约数是17.
12345
3.用更相减损术求36与134的最大公约数，第一步应为_先__除__以__2_，__得__到__1_8_与__6_7__. 解析 ∵36与134都是偶数， ∴第一步应为先除以2，得到18与67. 4.已知a＝333，b＝24，则使得a＝bq＋r(q，r均为自然数，且0≤r＜b)成立的q 和r的值分别为__1_3_,2_1___. 解析用333除以24，商即为q，余数就是r.333÷24＝13……21.
思考辨析判断正误
SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU
1.辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数.( √ ) 2.求最大公约数的方法除辗转相除法之外，没有其他方法.( × ) 3.编写辗转相除法的程序时，要用到循环语句.( √ )

多项式辗转相除法

多项式辗转相除法，是基于高斯带余除法。

主要用于求解最大公因式。

所以辗转相除法求多项式最大公因式的过程是不断使用带余除法把次数降低，当恰好整除时就可以得到最大公因式的结果。

辗转相除法，又名欧几里德算法（Euclidean algorithm），是求最大公约数的一种方法。

多项式辗转相除法是辗转相除法的扩展。

过程总结
1.多度项式的除法和数的除法过程很相似。

2.观察被除数的最高项系数，给合适的商消去最高项。

3.消完后余数我们再进行分式分解。

注意事项
•一个多项式能被另一个多项式整除。

•多项式除以多项式一般用竖式进行演算。

多项式辗转相除法实际上也是一种形式的因式分解。

也可以进行判别。

艾森斯坦(Eisenstein)判别法：设
是一个整系数多项式.如果有一个素数p，使得
(1)an不能整除以p
(2)a n-1,a n-2,...,a0均能整除以p
(3)a0不能整除以p²
那么f(x)在有理数域上是不可约的.。

1.3.1 算法案例(辗转相除法)

***思考：你能根据更相减损术设计程序，求两个正整数的最大公约数吗？
(1)、算法步骤第一步：输入两个正整数a,b(a>b); 第二步：若a不等于b ,则执行第三步；否则转到第五步；第三步：把a-b的差赋予r; 第四步：如果b>r, 那么把b赋给a,把r赋给b;否则把r赋给a，执行第二步；
(1)、算法步骤：第一步：输入两个正整数m,n(m>n). 第二步：计算m除以n所得的余数r.
第三步：m=n,n=r.
第四步：若r＝0,则m,n的最大公约数等于m；否则转到第二步. 第五步：输出最大公约数m.
(2)、程序框图：
开始
程序：
INPUT “m,n=“;m,n DO r=m MOD n m=n
所以，49和63的最大公约数为7
思考：除了用这种方法外还有没有其它方法？例：如何算出8251和6105的最大公约数？
新课讲解：
一、辗转相除法（欧几里得算法）
1、定义：所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数。若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数。
第五步：输出最大公约数b.
(2)、程序框图
程序
INPUT “a,b=“;a,b WHILE a<>b r=a-b IF b>r THEN a=b b=r ELSE a=r END IF WEND PRINT b END
开始
输入a,b a≠b? 是 r=a-b 否
a=r
否
r<b? 是 a=b b=r 输出b 结束
小结
比较辗转相除法与更相减损术的区别

不定方程辗转相除法

不定方程辗转相除法
不定方程是指含有未知数的方程，例如ax + by = c，其中a、b、c为已知数，x、y为未知数。

而辗转相除法是一种求解整数解线性方程的方法，也称为欧几里得算法。

该算法的基本思想是利用两个整数的最大公约数性质来求解方程的整数解。

辗转相除法的具体步骤如下：
1. 首先利用辗转相除法求出方程ax + by = d的一组特解，其中d为a和b的最大公约数。

2. 然后利用特解和通解的关系，可以求得方程ax + by = c的通解。

举个例子来说明辗转相除法的具体应用：
假设我们要解方程21x + 14y = 7，首先求出21和14的最大公约数，即gcd(21, 14) = 7。

然后利用辗转相除法求得特解为x0 = 1，y0 = -1。

接着根据特解和通解的关系，可以得到通解为x = 1 + 14t，y = -1 21t，其中t为整数。

总的来说，辗转相除法是一种用于求解整数解线性方程的有效方法，通过寻找特解，然后利用特解和通解的关系，可以得到方程的整数解。

这种方法在数论和离散数学中有着重要的应用，能够帮助我们解决一些实际问题。

辗转相除法算法课课件

教材分析
目标分析
过程分析
教法分析
评价分析
程序三：鼓励拓展，飞跃点睛
问题四：求m与n的最大公约数（其中，m,n是正整数且m>n)
请写出相应的算法。
难点1：字母问题较抽象，不易想象。难点2：从算法中提炼循环结构。确定循环体、循环结束的条件。
126 mod 98=28
m
mod
n = r， m=n ,n=r
原理----- （126，98）=（98，28）=（28，14）
设计意图
（1）可采用短除法、质因数分解法。
目的是让学生回顾已有知识，（2）同时，引导学生考虑是否还有别的方法。目的是让学生并再次感知辗转相除法，并揭示辗转相除法的原理。教材分析目标分析过程分析教法分析评价分析
程序二：合作学习，探索新知
教材分析过程分析教法分析教材分析目标分析过程分析教法分析评价分析教材分析过程分析目标分析教法分析评价分析教材分析目标分析过程分析教法分析评价分析通高中课程标准实验教科书必修3第一章第三节第一课时
人教A版普通高中课程标准实验教科书《数学》（必修3）
辗转相除法
说课人：周郑鹃
教材分析学情分析
教学目标教法学法教学过程评价分析
教材分析目标分析过程分析教法分析评价分析
教材分析
教材的地位和作用本节课是人教版/普通高中课程标准/实验教科书必修3/第一章第三节第一课时。算法是计算机科学的重要基础，算法思想已渗透在日常生活中的方方面面。学习算法不仅对已学过的数学知识（如：四则运算，解方程）能有更深刻的认识，而且对今后将要学习的数列问题也有帮助。本节课通过探究古代算法案例---辗转相除法，进一步巩固算法的三种语言（自然语言、程序框图和程序语句），“使学生体会算法的基本思想，发展有条理的思考和表达能力”，符合新课标提出的要求和建议。教材分析目标分析过程分析教法分析评价分析

(vip免费)1.3.(vip免费)1《算法案例--辗转相除法与更相减损术》课件((vip免费)1)(新人教A版必修3)

高考总分:711分毕业学校:北京八中语文139分数学140分英语141分理综291分报考高校：北京大学光华管理学院
北京市理科状元杨蕙心
班主任孙烨：杨蕙心是一个目标高远的学生，而且具有很好的学习品质。学习效率高是杨蕙心的一大特点，一般同学两三个小时才能完成的作业，她一个小时就能完成。杨蕙心分析问题的能力很强，这一点在平常的考试中可以体现。每当杨蕙心在某科考试中出现了问题，她能很快找到问题的原因，并马上拿出解决办法。
（1）、《九章算术》中的更相减损术：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，
更相减损，求其等也，以等数约之。（2）、现代数学中的更相减损术：
第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。
第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公约数。
青春风采
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分数学145分英语141分文综255分
毕业学校：北京二中报考高校：
北京大学光华管理学院
北京市文科状元阳光女孩--何旋
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她的笑声，远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者，非常外向，如果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。考试结束后，她还问我怎么给边远地区的学校捐书”。
思路分析：求三个数的最大公约数可以先求出两个数的最大公约数，第三个数与前两个数的最大公约数的最大公约数即为所求。

辗转相除法

辗转相除法辗转相除法，又名欧几里德算法（Euclidean algorithm）乃求两个正整数之最大公因子的算法。

它是已知最古老的算法，其可追溯至3000年前。

例如：展开编辑本段简介辗转相除法的演示动画在数学中，辗转相除法，又称欧几里得算法，是求最大公约数的算法。

辗转相除法首次出现于欧几里得的《几何原本》（第VII卷，命题i和ii）中，而在中国则可以追溯至东汉出现的《九章算术》。

两个整数的最大公约数是能够同时整除它们的最大的正整数。

辗转相除法基于如下原理：两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数的相除余数的最大公约数。

例如，252和105的最大公约数是21（252 = 21 × 12；105 = 21 × 5）；因为252 ? 105 = 147，所以147和105的最大公约数也是21。

在这个过程中，较大的数缩小了，所以继续进行同样的计算可以不断缩小这两个数直至其中一个变成零。

这时，所剩下的还没有变成零的数就是两数的最大公约数。

由辗转相除法也可以推出，两数的最大公约数可以用两数的整数倍相加来表示，如21 = 5 × 105 + (?2）× 252。

这个重要的等式叫做贝祖等式。

辗转相除法最早出现在欧几里得的几何原本中（大约公元前300年），所以它是现在仍在使用的算法中最早出现的。

这个算法原先只用来处理自然数，但在19世纪，辗转相除法被推广至其他类型的数，如高斯整数和一元多项式。

自此，现代抽象代数概念如欧几里得整环开始出现。

后来，辗转相除法又扩展至其他数学领域，如纽结理论和多元多项式。

辗转相除法有很多应用，它甚至可以用来生成全世界不同文化中的传统音乐节奏。

在现代密码学方面，它是RSA算法（一种在电子商务中广泛使用的公钥加密算法）的重要部分。

它还被用来解丢番图方程，寻找满足中国剩余定理的数，或者求有限域的倒数。

辗转相除法还可以用来构造连分数，在施图姆定理和一些整数分解算法中也有应用。

辗转相除法的证明

辗转相除法的证明
辗转相除法的证明
设两数为a、b(b＜a)，求它们最⼤公约数的步骤如下：⽤b除a，得a＝bq＋r（0≤r＜b）（q是这个除法的商）。

若r=0,则b 是a和b的最⼤公约数。

若r≠0,则继续考虑。

⾸先，应该明⽩的⼀点是任何 a 和 b 的公约数都是 r 的公约数。

要想证明这⼀点，就要考虑把 r 写成 r=a-bq。

现在，如果a 和 b 有⼀个公约数 d，⽽且设 a=sd , b=td, 那么 r = sd-tdq = (s-tq)d。

因为这个式⼦中，所有的数（包括 s-tq )都为整数，所以r 可以被 d 整除。

对于所有的 d 的值，这都是正确的；所以 a 和 b 的最⼤公约数也是 b 和 r 的最⼤公约数。

因此我们可以继续对 b 和 r 进⾏上述取余的运算。

这个过程在有限的重复后，可以最终得到 r=0 的结果，我们也就得到了 a 和 b 的最⼤公约数。

阿基米德辗转相除法

阿基米德辗转相除法
阿基米德辗转相除法，也称为阿基米德算法或经典欧几里得算法，是一种用于求两个数的最大公约数的算法。

该算法基于以下原理：两个数的最大公约数与它们的余数的最大公约数相等。

具体步骤如下：
1. 假设需要求取两个正整数a和b的最大公约数。

如果a<b，则交换a和b的值，使得a>=b。

2. 用b去除a，计算余数r=a%b。

3. 如果余数r等于0，则b即为最大公约数。

4. 如果余数r不等于0，则将b的值赋给a，将余数r的值赋给b，然后回到第2步继续进行计算，直到余数r等于0为止。

辗转相除法PPT学习教案

34＝ 17×2＋0
【原理】
（204，85）＝（85，34）＝（34，17）第7页/共22页
一一、、教教材材分分析析二、目二的、分教析法分三析、教法分三析、过四程、分过析程分析四五、、评评价价分分析析
（二）理解辗转相除法原理【练1】求678与35的最大公约数？
【设计意图】巩固练习
第8页/共22页
三、过程分析
感知辗转相除法
布置作业
理解辗转相除法原理
课堂小结
设计辗转相除法算法
应用辗转相除法算法
第5页/共22页
一一、、教教材材分分析析二、目二的、分教析法分三析、教法分三析、过四程、分过析程分析四五、、评评价价分分析析
（一）情景设置——感知辗转相除法
22cm
6cm
试用数学的方法，求得此正方形的边长？
第13页/共22页
一一、、教教材材分分析析二、目二的、分教析法分三析、教法分三析、过四程、分过析程分析四五、、评评价价分分析析
（四）、应用辗转相除法算法
【练3】右面一段伪代码的
输出结果是（ A ）
A.1 B.429 C.190 D. 6
【设计意图】
会“识”当型循环语句描述辗转相除法并且会 “算”最大公约数。
一一、、教教材材分分析析二、目二的、分教析法分三析、教法分三析、过四程、分过析程分析四五、、评评价价分分析析
(三）、设计辗转相除法算法【问4】写出两个正整数 a, b(a b) 的最大公约数
的一个算法。
【分析】 a, b, r1 , r2 ,, rn1 , rn ,0 递推关系： rn mod(rn1, rn2 )
第12页/共22页
一一、、教教材材分分析析二、目二的、分教析法分三析、教法分三析、过四程、分过析程分析四五、、评评价价分分析析