运动学之质点的变速圆周运动

切向加速度是一个常数， 因而是一条水平线。
法向加速度在开始 时比切向加速度小， 随时间延续，法向 加速度迅速增加。
经过0.658s，切向加 速度是合加速度的一 半，此时质点的角位 置是3.866弧度。
随着法向加速度的增 加，合加速度与切向 加速度之间的夹角越 来越大，趋近于90º 。
Δv Δv1 Δv 2 A v+Δv D Δv C v
B
{范例1.3} 质点的变速圆周运动ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
再令
a n lim v1 t
vA=v B vB=v+Δv A
t 0
当Δt→0时，有向线段BD的极限方向 O 就是垂直于v并指向轨道凹侧的方向， 所以an称为法向加速度，其大小为 v1 v d Δθ是相邻切线间的夹角，dθ/dt a n lim lim v t 0 t t 0 t 是切线方向的时间变化率。 dt 2 由于ds/dθ = R为圆周 d ds d v B an v v 运动的半径，所以 dt dt ds R Δv v Δv1 Δv 在一般的曲线运动中，ds/dθ为轨 2 A v+Δv D Δv C 道的曲率半径R，dθ/ds是曲率1/R。 直线可以当作半径为无穷大的 “圆”，当质点在做直线运动 当质点做匀速圆周运动时， 切向加速度大小at = 0，只 时，法向加速度大小an = 0， 有法向加速度a = v2/R。 只有切向加速度a = dv/dt。
{范例1.3} 质点的变速圆周运动
可得Δv = Δv1 + Δv2， 注意：|Δv| ≠ Δv，前者表示速度增量 的大小，后者表示速度大小的增量。 加速度为 令
a lim
v2 t
vA=v B vB=v+Δv
A
O
v t
t 0
lim
v1 t
t 0
lim
v2 t
{范例1.3} 质点的变速圆周运动
一质点沿半径为R = 0.5m的圆周运动，运动方程为θ = 3 + 2t2(SI)，在2s内质点运动的加速度和方向随时间变化 的规律是什么？当切向加速度的大小为合加速度的大 小的一半时，经过了多长时间？此时θ的值为多少？ [解析]如图所示，在t时刻，质 点经过A点，速度为vA = v， vA=v B vB=v+Δv B 方向沿轨道在A点的切向； Δv A v 在t + Δt时刻，质点经过B Δv1 Δv 2 O 点，速度为vB = v + Δv， A v+Δv D Δv C 方向沿轨道在B点的切向。 取有向线段AB和AC分别表示v和v + Δv，BC就 表示Δv，Δv同时包含速度大小和方向的变化。 在AC上取一点D，使长度AD = AB = v。 因此，有向线段BD = Δv1是速度方向变化的矢 量，有向线段DC = Δv2是速度大小变化的矢量。
R
合加速度与切向加速度之间的夹角为φ = arctan(an/at)，
an at / 2 at
2 2
解得法向加速度与切向加速度之间的关系为 a
2
n

3a t

3 R
利用角速度的公式解得时间为t = 31/4/2 = 0.658s，
质点转过的角度为 3 3 / 2 3 .8 6 6 rad .
{范例1.3} 质点的变速圆周运动
根据题意，质点做圆周运动的角速度为 角加速度为
d dt 4

d dt
4t
质点的法向加速度为an = Rω2，
a an at
2 2
切向加速度为at = Rα， 合加速度为 当切向加速度的大小为合加速 度的大小的一半时，可得方程 代入法向加速度的公式得
t 0
a t lim
t 0
当Δt→0时，有向线段DC的极限方向就 是v的方向，所以at称为切向加速度。 速度大小的增量为Δv = vB - vA = Δv2， 因此切向加速度的大小为 v2 v dv 可见：切向加速度的大小 a t lim lim t 0 t t 0 t 等于速率的时间变化率。 dt