运动学之质点的变速圆周运动
第二章质点运动学
例1、自由落体运动的运动方程为 、
1 y = gt 2
2
例2、平抛运动的运动方程 、
x = v0t 1 y = 2 gt
2
g 2 y= 2 x 2v 0
为轨迹方程
v •定义 定义 ∆r v r1 把由始点到终点的有向线段定义为质点 P2 v 的位移矢量，简称位移。 的位移矢量，简称位移。它是描述质点 r2 位置变化的物理量。 位置变化的物理量 v v v O y •计算 计算 r1 + ∆r = r2 v v v ∆r = r2 − r1 v v v x ∆r = r2 − r1 v v v v v v = ( x 2 i ＋y 2 j + z 2 k ) − ( x1 i ＋y1 j + z1 k ) v v v 说明 = ( x 2 − x1 )i + ( y2 − y1 ) j + ( z 2 − z1 )k •说明 •位移是矢量； 位移是矢量； 位移是矢量 • 具有瞬时性； 具有瞬时性； •位移与路程的区别 位移与路程的区别 • 具有相对性； 具有相对性； 位移是矢量： 位移是矢量：是指位置矢量的变化 • 单位： 单位：米（m） ） 路程是标量： 路程是标量：是指运动轨迹的长度
二、位置矢量、运动方程、位移 位置矢量、运动方程、
1、位置矢量 、
基本概念 从原点O到质点所在的位 从原点 到质点所在的位 置P点的有向线段，叫做 点的有向线段， 点的有向线段 位置矢量或位矢。 位置矢量或位矢。
z v
k
γ α
v r
β
P(x,y,z)
v v v v r ＝xi ＋yj + zk
大学物理第1章质点运动学的描述
t0
0 2 4
t 2s 4
2
t 2s
x/m
6
-6 -4 -2
例3 如图所示, A、B 两物体由一长为 l 的刚性 细杆相连, A、B 两物体可在光滑轨道上滑行.如物体 A以恒定的速率 v 向左滑行, 当 60 时, 物体B的 速率为多少？ 解 建立坐标系如图, 物体A 的速度
1. 5 arctan 56.3 1
（2） 运动方程
x(t ) (1m s )t 2m
y(t ) ( m s )t 2m
1 4 2 2
1
由运动方程消去参数
1 -1 2 y ( m ) x x 3m 4
轨迹图
t 4s
6
t 可得轨迹方程为
y/m
三、位置变化的快慢——速度
速度是描写质点位置变化快慢和方向的物理量，是矢量。
速率是描写质点运动路程随时间变化快慢的物理量，是标量。 1 平均速度 在t 时间内, 质点从点 A 运动到点 B, 其位移为
B
y
r r (t t) r (t)
r (t t)
s r
质点是经过科学抽象而形成的理想化的物理模 型 . 目的是为了突出研究对象的主要性质 , 暂不考 虑一些次要的因素 .
二、位置矢量、运动方程、位移
1 位置矢量
确定质点P某一时刻在 坐标系里的位置的物理量称 . 位置矢量, 简称位矢 r
y
y j
r xi yj zk
j k 式中 i 、 、 分别为x、y、z
xA xB xB x A
yB y A
o
x
经过时间间隔 t 后, 质点位置矢量发生变化, 由 始点 A 指向终点 B 的有向线段 AB 称为点 A 到 B 的 位移矢量 r . 位移矢量也简称位移.
圆周运动——精选推荐
圆周运动与平抛运动类似，圆周运动也是最为典型的曲线运动之⼀。
我们来分析圆周运动都有哪些特点？圆周运动的概念质点在以某点为圆⼼半径为r的圆周上运动时，即其轨迹是圆周的运动叫圆周运动。
在运动过程中速率的⼤⼩维持不变⽽仅仅是⽅向变化，这样的圆周运动称之为匀速圆周运动。
严格来说，匀速圆周运动应该叫做匀速率圆周运动。
因为其速度并⾮“均匀不变”的，速度是⽮量，其⼤⼩速率不变。
在圆周运动的过程中，速度⼤⼩不变，其⽅向时刻发⽣变化。
圆周运动是⼀种最常见的曲线运动。
例如电动机转⼦、车轮、⽪带轮等都作圆周运动。
圆周运动分为，匀速圆周运动和变速圆周运动。
变速圆周运动的代表是：竖直平⾯内绳或杆转动⼩球、竖直平⾯内的圆锥摆运动等。
在讲解机械振动的时候，我们研究的单摆其实在做的就是⾮匀速的圆周运动(往复性质)。
从运动性质上来说，匀速圆周运动是变速运动(v⽅向时刻在变)，⽽且是变加速运动(a⽅向时刻在变)。
请同学们注意，只要物体做圆周运动，那么必然受⼒不平衡，必须有外⼒提供向⼼⼒。
描述匀速圆周运动的物理量描述匀速圆周运动的物理量有很多，包括线速度v、⾓速度ω、周期T、频率f、转速n、向⼼加速度a、向⼼⼒F等等。
转速n的单位是r/s(转每秒)或r/min(转每分)，注意区分r/s和rad/s。
凡是直接⽤⽪带传动(包括链条传动、摩擦传动)的两个轮⼦，两轮边缘上各点的线速度⼤⼩相等；凡是同⼀个轮轴上(各个轮都绕同⼀根轴同步转动)的各点⾓速度相等(轴上的点除外)。
圆周运动向⼼⼒和向⼼加速度向⼼加速度的定义a = v^2/r；同时也可证明a =（2π）^2r/T^2；向⼼⼒的定义F = mv^2/r；也可表⽰为F=mω^2r(v是线速度，ω是⾓速度)⽜顿第⼆定律在圆周运动中的应⽤（1）做匀速圆周运动物体所受的合⼒为向⼼⼒。
“向⼼⼒”是⼀种效果⼒。
可以是⼀个⼒，也可以是⼏个⼒的合⼒，只要其最终效果是使物体做匀速圆周运动的，都可以作为向⼼⼒。
动力学质点的运动规律
动力学质点的运动规律动力学是物体运动的研究，而质点又是理想化的物体模型。
在动力学中，质点是一个没有大小和形状的物体，它的运动规律可以用简洁的数学表达式来描述。
本文将从牛顿第二定律和动力学方程的角度来探讨动力学质点的运动规律。
一、牛顿第二定律牛顿第二定律是描述物体运动的基本定律之一。
它的数学表达式为：F = ma。
其中，F代表作用在质点上的力，m代表质点的质量，a代表质点的加速度。
根据牛顿第二定律，我们可以推导出质点的运动方程。
假设质点的初始速度为v0，位置为x0，时间为t。
令a为质点的加速度，那么根据运动学的公式v = v0 + at，x = x0 + v0t + 0.5at²，可以得到质点的运动方程。
二、运动学方程在牛顿力学中，我们常用运动学方程来描述质点的运动规律。
根据质点的匀加速直线运动和匀速圆周运动的特点，运动学方程可以分为匀速直线运动和变速直线运动的情况。
1. 匀速直线运动当质点在直线上做匀速运动时，它的速度保持恒定，加速度为零。
因此，质点的运动方程可以简化为x = x0 + vt，其中x代表质点的位置，x0代表初始位置，v代表质点的速度，t代表时间。
2. 变速直线运动当质点在直线上做变速运动时，它的加速度不为零。
根据牛顿第二定律的推导，可以得到质点的运动方程为x = x0 + v0t + 0.5at²。
3. 匀速圆周运动当质点做匀速圆周运动时，它的速度大小保持不变，但方向不断变化，这意味着质点的加速度不为零且垂直于速度方向。
根据运动学的知识，我们知道圆周运动的速度与半径之间存在关系v = ωr，其中v代表速度，ω代表角速度，r代表半径。
而角速度则可以表示为ω = 2πf，其中f代表频率。
通过上述关系，我们可以得到质点的运动方程为x = rcos(ωt)，y = rsin(ωt)。
三、应用示例为了更好地理解动力学质点的运动规律，我们举一个简单的应用示例。
假设一个质点以15 m/s的速度沿x轴正方向运动，开始时位于原点。
大学物理质点运动学总结
大学物理质点运动学总结一、引言在大学物理课程中，运动学是物理学的基础，它研究物体的运动状态和运动规律。
其中，质点运动学是运动学的一部分，主要研究质点的运动性质和运动规律。
下面将对大学物理质点运动学进行总结。
二、质点的运动描述1. 位置和位移质点在运动过程中，位置可以用空间直角坐标系或极坐标系来描述。
而位移是指物体从初始位置到最终位置的变化量，它是个矢量量，具有大小和方向。
2. 速度与速度的计算方法速度是指单位时间内位移的变化量，可以用瞬时速度和平均速度来描述。
瞬时速度是指某一瞬间的速度，可以通过求导位移对时间的导数得到。
平均速度是指物体在一段时间内总位移与总时间的比值。
3. 加速度与加速度的计算方法加速度是指单位时间内速度的变化量，也是个矢量量。
可以用瞬时加速度和平均加速度来描述。
瞬时加速度是指某一瞬间的加速度，可以通过求导速度对时间的导数得到。
平均加速度是指物体在一段时间内总速度变化与总时间的比值。
三、常见的运动规律1. 一维运动规律一维运动规律描述了在一条直线上运动的物体的运动规律。
其中最重要的是匀速直线运动规律和匀加速直线运动规律。
匀速直线运动规律指出，当物体在匀速直线运动时，其位移与时间成正比。
匀加速直线运动规律指出，在匀加速直线运动中，物体的位移与时间的关系是二次函数。
2. 斜抛运动规律斜抛运动是指物体沿着一个初速度方向在空中做抛体运动的一种情况。
在斜抛运动中，物体的水平速度保持恒定，垂直速度受到重力的作用而发生改变。
斜抛运动的水平运动和垂直运动可以分开来考虑，通过合成两个运动，可以得出物体的轨迹和运动规律。
3. 圆周运动规律圆周运动是指物体在半径相同的圆内以恒定速度做匀速圆周运动的一种情况。
在圆周运动中，质点的速度方向始终垂直于半径的方向，因此质点在圆周上的运动轨迹是一个圆。
圆周运动的相关公式可以由质点完成单位时间所走过的弧长与所需的时间的比值来推导。
四、运动学的应用1. 自由落体问题自由落体是指物体在无空气阻力情况下，在重力作用下自由垂直下落的一种运动。
质点运动学——精选推荐
第1章质点运动学基本要求1.掌握描述质点运动的基本物理量 位置矢量㊁位移㊁速度和加速度等概念及其主要性质(矢量性㊁瞬时性和相对性)㊂2.理解运动方程和轨道方程的意义,能应用直线运动方程和运动叠加原理求解简单的质点运动学问题㊂(1)已知质点运动方程,求质点的位移㊁速度和加速度等物理量;(2)已知速度或加速度及初始条件,求质点的运动方程;(3)熟练掌握匀变速直线运动㊁抛体运动的规律㊂3.掌握圆周运动中角速度㊁角加速度㊁切向加速度和法向加速度等概念㊂基本概念和基本规律1.质点在所研究的问题中,物体的大小和形状可忽略不计时,我们把它看作只具有质量而无大小㊁形状的理想物体,称为质点㊂质点是物理学中物体的理想模型㊂2.位置矢量(或矢径)r在直角坐标系中点P的位置矢量(如图1.2.1所示)表示为r=x i+y j+z k位置矢量的大小为r=|r|=x2+y2+z2位置矢量的方向用方向余弦表示为c o sα=x r,c o sβ=y r,c o sγ=z r在二维运动中(如图1.2.2所示)r=x i+y jr=|r|=x2+y2θ=a r c t a n y x式中θ是r与x轴正向间夹角㊂Ң2大学物理学习指导图 1.2.1图 1.2.23.位移位移是描述质点在t ~t +Δt 时间内位置矢量变化的物理量(如图1.2.3所示)㊂质点在Δt 内由P 1到P 2的位移等于同一时间内位置矢量的增量Δr:图 1.2.3Δr =r 2-r 1=(x 2-x 1)i +(y 2-y 1)j +(z 2-z 1)k 位移的大小|Δr |=(x 2-x 1)2+(y2-y 1)2+(z 2-z 1)2位移的方向:c o s α=Δx |Δr |, c o s β=Δy |Δr |, c o s γ=Δz |Δr | 注意:①位移Δr 与位置矢量r 的物理意义不同,r 与时刻t 对应,Δr 与Δt 对应;②|Δr |ʂΔr =r 2-r 1,Δr =x 22+y 22+z 22-x 21+y21+z 21;③位移与参照系的选择有关,具有相对性;④直线运动中的位移Δx =x 2-x 1,Δx 的正负表示位移的方向沿x 轴的正向或负向㊂4.速度速度是描述质点的位置随时间变化快慢和方向的物理量㊂(1)平均速度췍-=Δr Δt =Δx Δt i +Δy Δt j +Δz Δtk =v -x i +v -y j +v -z k 췍-称为质点在t ~t +Δt 这段时间内的平均速度㊂(2)瞬时速度췍=d r d t =d x d t i +d y d t j +dz d tk =v x i +v yj +v z k 췍称为质点在时刻t 的瞬时速度,简称速度㊂注意:①v =|췍|=v 2x +v 2y +v 2z =d x d æèçöø÷t 2+d y d æèçöø÷t 2+d z d æèçöø÷t 2ʂd r d t;②直线运动中v =d x d t,v 的正负表示速度的方向沿x轴正向㊁负向㊂(3)平均速率v -=Δs Δt式中Δs 是质点在t ~t +Δt 时间内走过的路程,v -称质点在t ~t +Δt 时间内的平均速率㊂第1章 质点运动学Ң3(4)瞬时速率v =d s d tv 称为质点在t 时刻的瞬时速率,简称速率㊂同一瞬间的瞬时速率和瞬时速度的大小是相同的㊂5.加速度加速度是描述质点运动速度变化的物理量㊂(1)平均加速度a -=Δ췍Δt =Δv x Δt i +Δv y Δt j +Δv zΔtk a -称为质点在t ~t +Δt 这段时间内的平均加速度㊂(2)瞬时加速度a =d 췍d t =d v x d t i +d v y d t j +d v z d t k =d 2x d t 2i +d 2y d t 2j +d 2z d t2k =a x i +a yj +a z k a 称为质点在t 时刻的瞬时加速度,简称加速度㊂(3)质点作平面曲线运动时的加速度,亦可用自然坐标系中的法向加速度和切向加速度表示:法向加速度a n =v 2ρ,方向指向该处的曲率中心;切向加速度a τ=d v d t,正㊁负表示切向加速度的方向与该处速度方向 同 ㊁ 反 ㊂总加速度a =a n +a τ式中,v 为质点所在处的速率;ρ为质点所在处曲率半径㊂注意:①a 的方向是速度变化的方向,即Δ췍的极限方向,一般不代表质点的运动方向㊂②区分췍和a 概念:췍=0,a 不一定为零;췍大,a 不一定大㊂③曲线运动中a n ʂ0;直线运动中a n =0,a τ=d v d t;直线运动a 的正㊁负表示加速度的方向沿选定轴的正向㊁负向㊂6.圆周运动的角量描述设质点作圆周运动,t 时刻质点在A 点,t +Δt 时刻质点运动到B 点,如图1.2.4所示㊂则质点的运动亦可用下述角量描述㊂图 1.2.4θ为半径O A 与x 轴间夹角,θA 是质点在A 点的角位置,则Δθ=θB -θAΔθ称为质点在t ~t +Δt 内对O 点的角位移㊂ω=l i mΔt ң0ΔθΔt =d θd tω称为质点在t 时刻对O 点的瞬时角速度(简称角速度)㊂α=l i mΔt ң0ΔωΔt =d ωd tα称为质点在t 时刻对O 点的瞬时角加速度(简称角加速度)㊂Ң4大学物理学习指导角量与线量间的关系:v =R ωa n =v 2R , a τ=d v d t=R α7.运动方程r (t)质点的位置矢量r (t)(或角位置θ)随时间的变化规律称为质点的运动方程,可表示为r (t )=x (t )i +y (t )j +z (t )k 或θ=θ(t)质点的运动方程在直角坐标系中亦可用分量式表示为x =x (t )y =y (t )z =z (tìîíïïï) 运动方程反映了质点的空间位置随时间的变化过程㊂从运动方程的分量式中消去t,得到x ㊁y ㊁z 间的关系式,称为质点的轨道方程㊂8.运动叠加原理一个运动可看成几个各自独立进行的运动叠加而成,这称为运动叠加原理或运动独立性原理㊂例如,抛体运动可看成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动的叠加㊂9.几种简单的运动规律(1)直线运动的规律(假设运动发生在x 轴上)匀速直线运动方程:x =x 0+v t 匀变速直线运动方程:x =x 0+v 0t +12a t 2变速直线运动方程:x =x 0+ʏt 0v d t v =v 0+ʏt 0a dt式中x 0㊁v 0分别是t=0时质点的初始位置㊁初始速度㊂(2)圆周运动的角量描述规律匀速圆周运动:θ=θ0+ωt a n =R ω2, a τ=0 匀变速圆周运动:θ=θ0+ω0t +12αt 2a n =R ω2, a τ=d vd t=Rα第1章 质点运动学Ң5 式中θ0㊁ω0分别是t=0时质点的角位置㊁初角速度㊂(3)抛体运动规律图 1.2.5抛体运动(如图1.2.5所示)方程为x =v 0c o s θ0t y =h +v0s i n θ0t -12g t 2讨论:θ0=0时为平抛运动;θ0=π2时为竖直上抛运动;θ0=-π2且v 0=0,则为自由落体运动㊂10.运动的相对性由于位置矢量㊁速度和加速度的大小和方向都与参照系的选择有关,具有相对性,因此同一质点的运动对不同参照系的描述是不同的㊂设坐标系O x ᶄy ᶄz ᶄ相对于坐标系O x yz 的平动速度为u ,则位移Δr =Δr ᶄ+u Δt 速度췍=췍ᶄ+u或表示为췍A 对C =췍A 对B +췍B 对C上式称速度变换原理或速度合成定理㊂加速度a A 对C =a A 对B +a B 对C上式称加速度交换原理或加速度合成定理㊂解题指导本章的重点是深刻理解位置矢量㊁位移㊁速度和加速度等概念,注意其矢量性与相对性㊂本章习题一般分两大类:第一类是已知质点的运动方程,利用微分法求各物理量(速度㊁加速度等);第二类是已知速度或加速度及初始条件,利用积分法求运动方程㊂第二类问题和学会用速度合成定理处理运动的矢量性和相对性问题是本章的难点㊂在直线运动中,位移㊁速度和加速度的方向均在一直线上,建立坐标后,这些矢量可作为标量来处理㊂位移Δx ㊁速度v 和加速度a 的正负,表示其方向与选定坐标轴的正向一致或相反㊂应特别注意的是,中学阶段定量研究的是匀变速直线运动,加速度是常量㊂但大学物理中讨论的是具有普遍意义的运动,加速度不一定是常量,必须用高等数学中的微积分解题㊂由中学的 常量 到大学的 变量 ,这是学习的一个飞跃㊂质点运动学问题的一般解题程序为:(1)审清题意,确定研究对象,分析研究对象的运动情况㊂(2)选择适当的参照系,建立坐标系㊂(3)根据所求物理量的定义,列式并求解㊂或根据运动的特点和题设条件,列方程求解㊂Ң6大学物理学习指导(4)必要时进行分析讨论㊂ʌ例题1.1ɔ有一物体作直线运动,其运动方程为x=6t2-2t3,式中x的单位为m,t 的单位为s㊂求:(1)速度和加速度的表达式;(2)t=0,1,2,3,4s时物体的位置x㊁速度v和加速度a;(3)第2s内的平均速度;(4)最初4s内物体的位移㊁路程㊁平均速度和平均速率;(5)讨论物体的运动情况㊂ʌ解ɔ(1)物体的运动方程x=6t2-2t3速度v=d x d t=12t-6t2(m/s)加速度a=d v d t=12-12t(m/s2)(2)将t的各值代入上述三式,可得各时刻的x㊁v和a,见表1.3.1:表1.3.1t/s01234x/m0480-32v/(m/s)060-18-48a/(m/s2)120-12-24-36(3)第2s内平均速度v-1 2=x2-x1t2-t1=8-42-1=4(m/s)但这不能用下式来计算:v-1 2=v1+v22为什么不行?请读者自己思考㊂(4)位移Δx=x4-x0=-32-0=-32(m)式中负号表示位移的方向沿x轴负向㊂路程Δs是否等于位移Δx通常ΔsʂΔx,只有在直线运动中速度不改变方向的那段时间内,路程才与位移的大小相等㊂今由d x d t=12t-6t2=0得t=2s时开始速度改变方向,所以路程为Δs=Δs1+Δs2=|x2-x0|+|x4-x2|=|8-0|+|-32-8|=48(m)平均速度为v-0 4=x4-x0t4-t0=-324=-8(m/s)式中负号表示平均速度的方向沿x轴负向㊂第1章质点运动学Ң7平均速率为v-0 4=ΔsΔt=484=12(m/s)(5)由v=12t-6t2,可见t<2s,v>0;t=2s,v=0;t>2s,v<0㊂而由a=12-12t得t<1s,a>0;t=1s,a=0;t>1s,a<0㊂因此:t在0~1s内,v>0,a>0,物体作加速运动;t在1~2s内,v>0,a<0,物体作减速运动;t>2s,v<0,a<0,物体沿x轴负向作加速运动㊂应注意:a>0,并不表示物体作加速运动;a<0也不一定是减速运动㊂如何判断物体作加速还是减速运动呢?这应从a和v的方向是否一致来判断㊂a与v同号(即同方向),则为加速运动;a与v异号(即反向),则为减速运动㊂ʌ例题1.2ɔ已知质点的运动方程为x=3t,y=t2+t式中x㊁y以m计,t以s计㊂试求:(1)t=1s和2s时质点的位置矢量,并计算这1s内质点的位移和平均速度;(2)2s末质点的速度和加速度;(3)质点的轨道方程㊂ʌ解ɔ(1)质点的位置矢量为r=3t i+(t2+t)jt=1s时,r1=3i+(1+1)j=3i+2j(m)t=2s时,r2=6i+6j(m)根据位移的定义,这1s内的位移为Δr=r2-r1=(6-3)i+(6-2)j=3i+4j(m)或用位移的大小和方向表示为|Δr|=(Δx)2+(Δy)2=(6-3)2+(6-2)2=5(m)θ=a r c t a nΔyΔx=a r c t a n6-26-3=53ʎ式中θ是位移与x轴正向间夹角㊂根据平均速度的定义,这1s内的平均速度为췍-=ΔrΔt=3i+4j2-1=3i+4j(m/s)(2)根据速度的定义,可得速度的两个分量v x和v y:v x=d x d t=3(m/s)v y=d y d t=(2t+1)|t=2=2ˑ2+1=5(m/s)所以质点在2s末的速度为췍2=3i+5j(m/s)或用췍2的大小和췍2与x轴正向间夹角来表示为v2=v2x+v2y=32+52=5.83(m/s)Ң8大学物理学习指导θ=a r c t a n v y v x =a r c t a n 53=59ʎ式中θ是速度췍2与x 轴正向间夹角㊂根据加速度的定义,它的两个分量a x ㊁a y 分别为a x =d v xd t=0a y =d v y d t =2(m /s 2)所以a =a x i +a yj =2j (m /s 2)即加速度的大小为a =2m /s2,方向沿y 轴正向㊂由于加速度不随时间变化,所以本题中质点作匀加速运动㊂(3)从质点的运动方程中消去t ,即得轨道方程y =x æèçöø÷32+x 3即x 2+3x -9y =0ʌ例题1.3ɔ 一质点沿x 轴运动㊂已知加速度a =4t (S I ),t =0时,初速度v 0=0,初始位置x 0=10m ㊂试求质点的运动方程㊂ʌ解ɔ 根据加速度的定义a =d v d t,得a d t =4t d t =d v 对上式两边积分,得速度v 随时间t 的变化规律ʏt 04t d t =ʏv 0d v积分后代入上下限得v =2t2又根据速度的定义v =d xd t得d x =v d t =2t 2d t对上式两边积分后得质点的运动方程ʏxx 0d x =ʏt 02t 2d tx =x 0+23t 3将x 0=10m 代入上式得x =10+23t 2(m)本题属已知加速度及初始条件(即t =0时的x 0㊁v 0)求运动方程的问题,主要根据加速度和速度的定义,通过积分解决㊂需注意初始条件的运用和定积分的计算方法㊂ʌ例题1.4ɔ 一物体沿x 轴运动,开始时物体位于坐标原点,初速度v 0=3m /s ㊂若加第1章 质点运动学Ң9速度a =4x (S I),求:(1)物体经过x =2m 时的速度;(2)物体的运动方程㊂ʌ解ɔ (1)本题中加速度随x 而变化,所以物体作变速直线运动㊂根据加速度和速度的定义v =d x d t ,a =d v d t,得v d t =d xa d t =d v =ad xv所以v d v =a d x =4x d x两边积分:ʏvv 0v d v =ʏxx 04x dxv 2-v 20=4(x 2-x 20)将x 0=0,v 0=3m /s 及x =2m 代入上式得v =v 20+4x 2=32+4ˑ22=5(m /s ) (2)再根据速度的定义得d x =v d t =v 20+4x 2d t 所以ʏx 0d xv 20+4x 2=ʏt 0d t由积分公式ʏd x a 2+x2=l n (x +a 2+x 2),将上式积分,则有12l n (2x +v 20+4x 2)|x0=t2x +v 20+4x2v 0=e2t化简后得运动方程x =v 04(e 2t -e -2t )=34(e 2t -e -2t )(m )图 1.3.1需注意:通常解题时应先用文字式运算,求得结果的文字表达式后,再代入数据进行计算,得出最后的结果㊂ʌ例题1.5ɔ 如图1.3.1所示,在离水面高度h 的岸边上,有人用绳子拉船靠岸㊂船位于离岸的水平距离s 处㊂当人以v 0的匀速率收绳时,试求船的速度和加速度㊂ʌ解ɔ 本题要求췍和a ,但船的运动方程未知,因此须先根据已知条件,建立坐标后写出船的运动方程,然后根据定义求췍和a ㊂以人的收绳点为坐标原点,建立坐标系如图1.3.1所Ң10大学物理学习指导示,则船的位置矢量即运动方程为r =x i -h j式中h 是常量,x 随时间而变㊂根据速度和加速度的定义得췍=d r d t =d xd ti a =d 2r d t 2=d 2xd t2i 根据题意,人的收绳速率为v 0=-d r d t =-d d t x 2+h 2=-x x 2+h 2d x dt 这里因r =|r |随时间减小,所以d r d t<0,而v 0>0㊂由上式得v x =d x d t =-v 0x 2+h 2x所以船的速度为췍=-v 0s 2+h 2si 而a x =d v x d t =d d t -v 0x 2+h 2æèçöø÷x =d d x -v 0x 2+h 2æèçöø÷xd x dt =-h 2v 20x 3所以船的加速度为a =-h 2v 20x3i当船在x =s 处的速度和加速度为췍=-v 0s 2+h 2si a =-h 2v 20s3i讨论:(1)췍和a 的方向均沿x 轴负向,所以船向岸边作加速运动㊂(2)由a 的表达式,h 和v 0不变,s 随时间减小,|a |随时间增大,所以船作变加速运动㊂(3)船的速率v >v 0(人的收绳速率),这是严格按速度的定义求得的㊂显然v 不等于v 0在水平方向的分量㊂图 1.3.2ʌ例题1.6ɔ 一石子从倾角为α=30ʎ的斜面上的O 点抛出㊂已知初速度v 0=9.8m /s ,췍0与水平面的夹角θ=30ʎ,如图1.3.2所示㊂若忽略空气阻力,试求:(1)石子落到斜面上的B 点离O 点的距离l ;(2)石子所到达的最大高度;(3)t =1.5s 时石子的速度㊁切向加速度和法向加速度㊂ʌ解ɔ (1)石子的运动可看作水平方向的匀速直线运动和竖直方向的加速度为g 的匀变速直线运动的叠加㊂今以O 点为原点,建立坐标如图,则石子的加速度分量为。
圆周运动时的质点加速度
圆周运动时的质点加速度当一个物体在圆周运动时，我们知道它会受到一个向心力的作用。
而为了保持物体沿着圆周运动，还需要物体具有向心加速度。
本文将讨论圆周运动时的质点加速度以及它的一些重要性质。
1. 加速度的定义与计算在物理学中，加速度是指物体运动的速度变化率。
对于圆周运动，我们可以通过角速度和半径来计算加速度。
对于一个质点在圆周运动中的加速度a，可以使用以下公式计算：a = rω²其中，r为质点到圆心的距离（半径），ω为质点的角速度。
2. 向心力与向心加速度在圆周运动中，物体受到来自圆心的向心力的作用。
向心力的大小与质点的质量、运动速度以及半径有关。
向心力可以通过以下公式计算：F = mω²r其中，F为向心力，m为质点的质量，r为质点到圆心的距离（半径），ω为质点的角速度。
根据牛顿第二定律，质点的加速度与通过力产生的加速度成正比。
由于向心力是物体在圆周运动中产生的唯一力，质点的加速度即为向心加速度。
因此，通过上述公式可以得到圆周运动时质点的向心加速度与向心力之间的关系：a = F/m = ω²r3. 重力与圆周运动的复合运动在一些实际的情况下，质点的圆周运动可能会与其他运动如重力的影响相互叠加。
这样的情况下，质点的运动轨迹将不再是一个简单的圆形，而更接近于椭圆形或者其他形状。
对于圆周运动和重力的复合运动，我们可以使用位矢和向心力的概念来分析。
质点的位置可以表示为从参考点到质点的矢量，称为位矢。
而向心力和重力可以合力为一个合外力。
通过使用合外力和质点的质量，我们可以计算出合外力对质点的加速度。
类似地，通过计算合外力与质点质量之比得出质点的加速度。
4. 加速度的性质在圆周运动中，质点的加速度具有以下一些性质：（1）加速度的大小与角速度的平方成正比。
加速度的大小与角速度的平方成正比，即a∝ω²。
这意味着当角速度增加时，加速度也会增加。
（2）加速度的方向与向心力方向相同。
质点的圆周运动
质点的圆周运动质点是物体的一个理想化模型，假设没有大小和形状，只有质量。
在力学中，我们经常研究质点的运动，其中之一就是质点的圆周运动。
本文将详细介绍质点的圆周运动原理、运动参数和相关的应用。
一、质点的圆周运动原理质点的圆周运动是指质点在平面内沿圆周路径运动的一种运动方式。
当质点沿圆周运动时，它会受到向心力的作用。
向心力可以通过下列公式计算：F = m * a_c其中，F表示向心力，m表示质点的质量，a_c表示向心加速度。
向心加速度与质点的圆周运动半径r和角速度ω有关：a_c = r * ω^2根据以上公式，我们可以得知质点的向心力与质点的质量成正比，与圆周运动半径的平方成正比，与角速度的平方成正比。
二、质点的圆周运动参数1. 圆周运动半径（r）：圆周运动的质点所绕的圆的半径r，是质点运动的重要参数。
半径越大，质点的圆周运动越宽广，角速度较小；半径越小，质点的圆周运动越紧凑，角速度较大。
2. 角速度（ω）：角速度是质点在圆周运动中单位时间内转过的角度。
角速度越大，质点的转动速度越快。
3. 周期（T）：周期是指质点在圆周运动中所需要的时间，也就是质点绕一圈所用的时间。
周期与角速度成反比，可以通过以下公式计算：T = 2π/ω4. 频率（f）：频率定义为单位时间内圆周运动的循环次数，与周期成反比，可以通过以下公式计算：f = 1/T5. 线速度（v）：线速度是指质点在圆周运动中单位时间内所走过的弧长。
线速度与圆周运动半径和角速度的乘积成正比，可以通过以下公式计算：v = r * ω三、质点的圆周运动应用质点的圆周运动在生活和科学研究中有广泛的应用，以下是一些例子：1. 离心力机械：离心力机械是基于质点的圆周运动原理设计的，如风力发电机、离心泵等。
利用质点的圆周运动，可以将机械运动转化为电能或液体的运动能。
2. 粒子加速器：粒子加速器是用于加速带电粒子以便进行高能物理实验的装置。
其基本原理就是利用向心力将带电粒子加速至极高的速度。
大学物理 第一章 质点运动学
是否等于瞬时速率？ t 时刻位矢
瞬时速度的大小是否
r
等于瞬时速率？
A
r
r1
B t 时间内位移
x
t +t 时刻位矢
平面直角坐标系中的瞬时速度（简称速度）
v lim r dr
t0 t
dt
r(t) x(t)i y(t) j
v d r
dx
i
d
y
j
y
vy
v
dt dt dt
vx
vxi vy j
力 学
§1-1 参照系 &坐标系 质点 §1-2 位移、速度和加速度 §1-3 圆周运动 §1-5 牛顿运动定律 §1-6 牛顿运动定律的应用举例
1. 运动的绝对性 绝对静止的物体是没有的
地球自转 太阳表面的运动
太阳随银河系运动
为了确定一个物体的位置和描述一个物体的机
械运动，必须另选一个物体或内部无相对运动的物
3. 坐标系 为了定量地描述物体相对于参考系的 运动情况，要在参考系上选择一个固定的坐标系
坐标系选定后，运动物体A 中任一点 P 的位置
就可以用它在此坐标系中的坐标来描述
运动物体
运动参考系
y
A P(x,y,z)
运动物体
O
z 参考系
x
地面参考系
常用坐标系： 平面直角坐标系和自然坐标系
一、质点 一般情况下，运动物体的形状和大小都可能变化
y
y z koj
r
i
x
*P
x
方向的单位矢量.
z
位矢r 的值为
r
xi
yj
zk
r r x2 y2 z2
位矢 r 的方向余弦
质点的圆周运动
质点的圆周运动质点的圆周运动是物理学中常见的运动形式之一，用于描述质点在圆形轨道上运动的规律。
本文将介绍质点的圆周运动的特征和基本原理，以及相关的数学公式和应用。
一、质点的圆周运动特征质点的圆周运动具有以下几个特征：1. 运动路线为圆形轨道：质点在运动过程中沿着一个固定半径的圆形轨道运动，轨道的中心点为圆心。
2. 速度大小不变：质点在圆周运动过程中，以恒定的速率匀速运动，速度大小不发生变化。
3. 速度方向改变：尽管速度大小不变，但质点在圆周运动过程中，速度的方向会随着时间推移而改变。
4. 向心加速度存在：质点在圆周运动中会受到一个向心加速度的作用，该加速度指向圆心，使质点朝向圆心运动，而不是沿着切线方向。
二、质点的圆周运动基本原理质点的圆周运动可通过向心力来解释。
向心力是指质点在圆周运动中的一种向心的力量，它使得质点向圆心方向偏离直线运动，进而产生圆周运动。
向心力的大小可以通过以下公式进行计算：F = m * a其中，F表示向心力，m表示质点的质量，a表示向心加速度。
向心力的方向指向圆心，即与质点的运动方向相垂直。
三、质点的圆周运动数学表达在质点的圆周运动中，有一些关键的数学表达式可以用来描述运动的规律。
1. 周期：圆周运动的周期T是指质点从出发点绕圆周运动一周所需要的时间。
周期可以用以下公式计算：T = 2π * r / v其中，r表示圆周运动的半径，v表示质点的速度。
2. 角速度：圆周运动的角速度是指质点在圆周运动过程中角度的变化率，可以用以下公式计算：ω = 2π / T其中，ω表示角速度，T表示周期。
3. 向心加速度：圆周运动的向心加速度是指质点受到向心力作用而产生的加速度，可以用以下公式计算：a = v^2 / r其中，a表示向心加速度，v表示质点的速度，r表示圆周运动的半径。
四、质点的圆周运动应用质点的圆周运动在生活和科学研究中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 行星运动：行星围绕太阳的运动可以被视为质点的圆周运动。
大物 第一章 运动学
2
24
注意点 a) 加速度为速度随时间的改变率,加速度大, 速度不一定大.(如上抛运动)
b) 加速度的方向
i) 直线运动时 与速度方向成 0 或1800 ii) 曲线运动时 有指向凹
a
v
v v
a
a
25
处的。
以抛体为例
小结 (以一维运动为例) x = x(t)
求 导
v
dx dt
2
求0~5秒内物体走过的路程、位移和第5秒 时刻的速度。
28
解： x t 2 4t 2( SI）
t=0时，x1=2， t=5时，x2=7， 位移 x=x2 -x1=5(m)
速度 v=dx/dt=2t-4
令v=0,得t=2 路程S=13m -2 t=2 0
t=5 v=6m/s
2 t=0
rB
B
实际走过的路径的长度
位移(矢量) r -----位置的移动
y1 O
rA
A x1 x 2
r
X
14
2. 位移和路程的区别
位移和路程代表
不同的物理意义
Y y2
rB
B
位移的单值性和
路程的多值性
y1
rA
A
r
O
x1 x2
X
15
例1: 物体作何种运动时,其位移的大小和路 程相等? 答: 例2: 苏州 -50 无锡 单向直线运动 无锡 O 常州 常州 40 苏州 X(km)
2 2
1 2
at
2
V0 2a s
33
推导：
dv a ( const .) dt dv adt v v 0 at v dx dt v 0 at
圆周运动
圆周运动
第一章 质点运动学
自然坐标系
： et 和 en
B
et
A
e en 1 t
表示切向和法向的单位矢量。
en
1 - 6
一
圆周运动
第一章 质点运动学
圆周运动的角量描述 角坐标 (t )
d (t ) 角速度 (t ) dt
速率
y
B
v lim s r lim t0 t t0 t
匀变速圆周运动
0 t
0
2
1 2 0 0t t 2
2 02 2 ( 0 )
1 - 6
圆周运动
第一章 质点运动学
三、角量和线量的关系
ds Rd ds d v R R dt dt
y
B
ds
A
R d
o
v 2 an R R dv d at R R dt dt
en
et
0, 0 π , v 增大 2 π , v 常量 a t 0, 2 0, π π , v 减小 2
o a x a
1 - 6
圆周运动
第一章 质点运动学
匀速率圆周运动和匀变速率圆周运动 1 匀速率圆周运动：速率 常量 .
v 和角速度 都为
法向单位矢量
1 - 6
dv a et ven dt
圆周运动
第一章 质点运动学
切向加速度（速度大小变化引起） at dv r d2s dt dt 2
法向加速度（速度方向变化引起）
o
v2 et 2 v1 et1
变速圆周运动
要点·疑点·考点
三、竖直平面内的圆周运动问题的分析 竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，高考中经常 物体在最高点与最低点的两种情况.主要有以下两种类型： 1.如图4-4-1所示：无支撑物的小球在竖直平面内最高点情况.
图4-4-1
要点·疑点·考点
(1)临界条件：小球达最高点时绳子的拉力(或轨道的弹力) 刚好等于0，小球在最高点的向心力全部由重力来提供，这 时有mg=mv2min/r，式中的vmin是小球通过最高点的最小速 度，通常叫临界速度vmin= gr . (2)能通过最高点的条件：v＞vmin.
课前热身
3.如图4-4-3所示，长为L 的轻杆，一端固定着一个 小球，另一端可绕光滑的 水平轴转使小球在竖直平 面内运动，设小球在最高 点的速度为v,则(BC)
图4-4-3
课前热身
A.v的最小值为 gL B.v若增大，向心力也增大 C.当v由 gL逐渐增大时，杆对球的弹力也增大 D.当v由 gL 逐渐减小时，杆对球的弹力也逐渐减小
图4-4-4
能力·思维·方法
【解析】小球以O点为圆心在竖直面内做圆周运动，在 最低点时，小球除受重力外，还有杆的作用力，由于 合外力提供向心力且指向圆心，杆对小球的作用力只
在最高点时，杆对小球可以向下拉，也可以向上 推.当小球速度小于 gl 时，杆对小球向上推，当小球 的速度大于 gl 时，杆对小球向下拉.
(3)不能通过最高点条件v＞vmin，注意的是这是假设到最高 点而做出一个v，其实球没到最高点就脱离了轨道或是沿原 轨道返回或是做斜抛运动了.
要点·疑点·考点
2.有物体支撑的小球在竖地面最高点情况. (1)临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰好能 到最高点的临界速度vmin=0. (2)图4-4-2中的小球到达最高点时，轻杆对小球的作用力 情况；
质点作半径为R的变速圆周运动时的加速度大小为(v表示任...
5.(5382) (3分) 质点作半径为R 的变速圆周运动时的加速度大小为(v 表示任一时刻质点的速率)(A) d v/d t . (B) v 2/R . (C) d v/d t + v 2/R . (D) [(d v/d t )2+(v 4/R 2)]1/2.5.(0294) (3分)刚体角动量守恒的充分而必要的条件是(A)刚体不受外力矩的作用. (B)刚体所受合外力矩为零.(C)刚体所受的合外力和合外力矩均为零. (D)刚体的转动惯量和角速度均保持不变.3．(4341) (3分) 气缸中有一定量的氦气(视为理想气体),经过绝热压缩,体积变为原来的一半,问气体分子的平均速率变为原来的几倍？(A) 22 / 5 . (B) 21 / 5 . (C) 22 / 3 . (D) 21 / 3 .4．(4135) (3分) 根据热力学第二定律可知:(A) 功可以全部转换为热,但热不能全部转换为功.(B) 热可以从高温物体传到低温物体,但不能从低温物体传到高温物体. (C) 不可逆过程就是不能向相反方向进行的过程. (D) 一切自发过程都是不可逆的.1. 如图所示，半径为R 的均匀带电球面，总电量为Q ，设无穷远处的电势为零，则球内距离球心为r 的P 点处的电场强度的大小和电势为：(A) E = 0 , U = Q /4πε0r . (B) E = 0 , U = Q /4πε0R . (C) E = Q /4πε0r 2 , U = Q /4πε0r . E = Q /4πε0r 2 , U = Q /4πε0R .4. 一空气平行板电容器，接电源充电后电容器中储存的能量为W 0，在保持电源接通的条件下，在两极间充满相对电容率为εr 的各向同性均匀电介质，则该电容器中储存的能量W 为 (A) W = εr W 0; (B) W = W 0/εr ; (C)W = (1+εr )W 0 ; (D) W = W 01. 如图所示，无限长直导线在P 处弯成半径为R 的圆，当通以电流I 时，则在圆心O 点的磁感强度大小等于： (A) R I πµ20. (B)R I40µ. (C))11(20πµ−RI. (D))11(40πµ+RI.1. 面积为S 和2S 的两圆线圈1、2如图放置，通有相同的电流I ，线圈1的电流所产生的通过线圈2的磁通用Φ21表示,线圈2的电流所产生的通过线圆1的磁通用Φ12表示，则Φ21和Φ12的大小关系为：(A) Φ21=2Φ12 . (B) Φ21=Φ12 /2. (C) Φ21=Φ12 . (D) Φ21>Φ12 .．(3087) (3分) 一平面简谐波在弹性媒质中传播，在某一瞬时，媒质中某质元正处于平衡位置，此时它的能量是(A) 动能为零, 势能最大 . (B) 动能为零, 势能为零 . (C) 动能最大, 势能最大 . (D) 动能最大, 势能为零 .(3353) (3分) 在单缝夫琅和费衍射实验中，波长为λ的单色光垂直入射到宽度为a = 4 λ 的单缝上,对应于衍射角为30° 的方向,单缝处波阵面可分成的半波带数目为(A) 2 个. (B) 4个. (C) 6 个. (D) 8个. M+q二、填空题3．(5061) (3分).自由度为i 的一定量刚性分子理想气体，当其体积为V 、压强为p 时，其内能E = .3.(4686) (3分) 常温常压下,一定量的某种理想气体 (可视为刚性分子,自由度为i ), 在等压过程中吸热为Q ,对外作功为A ,内能增加为∆E , 则A / Q = , ∆E / Q =3．如图所示，一半径为R 的带有一缺口的细圆环，缺口长度为d (d <<R )，环上均匀带正电，总电量为q . 则圆心O 处的场强大小E = ，场强方向为 . dOR q 2••q 1 •1．电量分别为q 1, q 2, q 3的三个点电荷分别位于同一圆周的三个点上, 如图所示. 设无穷远处为电势零点，圆半径为R ，则b 点处的电势U = .qb一半圆形闭合线圈, 半径R = 0.2m , 通过电流I = 5A , 放在均匀磁场中. 磁场的方向与线圈平面平行, 如图所示. 磁感强度B = 0.5T. 则线圈所受到磁力矩为 . 若此线圈受磁力矩的作用从上述位置转到线圈平面与磁场方向成30°的位置, 则此过程中磁力矩作功为 .B3．(5314) (3分) 一质点同时参与了两个同方向的简谐振动,它们的振动方程分别为 x 1=0.05cos(ω t+π/4) (SI); x 2=0.05cos(ω t +19π/12) (SI). 其合成运动的运动方程为x = .2．(3167) (5分) 如图所示,假设有两个同相的相干点光源s 1和s 2 ,发出波长为λ 的光. A 是它们联机的中垂线上的一点, 若在s 1 与A 之间插入厚度为e 、折射角为n 的薄玻璃片, 则两光源发出的光在A 点的位相差∆ϕ = .若已知λ =5000Ǻ，n =1.5, A 点恰为第四级明纹中心 , 则e Å3．(3517) (3分) 在迈克耳孙干涉仪的一支光路上,垂直于光路放入折射率为n 、厚度为h 的透明介质薄膜,与未放入此薄膜时相比较,两光束光程差的改变量为 .2．(5659) (3分) 可见光的波长范围是400 n m —760 n m,用平行的白光垂直入射到平面透射光栅上时,它产生的不与另一级光谱重叠的完整的可见光光谱是第 级光谱.1．(7966) (3分) 一束光线入射到光学单轴晶体后, 成为两束光线, 沿着不同方向折射,这样的现象称为双折射现象.其中一束折射光称为寻常光; 它 定律; 另一束光线称为非常光, 它定律.1. 如图所示, 长直导线和矩形线圈共面, AB 边与导线平行, a = 1cm , b= 8cm , l = 30cm . 求：(1)若直导线中的电流i 在1s 内均匀地降为零, 线圈中的感应电动势的大小和方向如何. (2)求长直导线和线圈的互感系数M .2．(3138) (10分) 某质点作简谐振动,周期为2s, 振幅为0.06m, 开始计时(t =0)时, 质点恰好处在负向最大位移处, 求(1) 该质点的振动方程;(2) 此振动以速度u =2m/s 沿x 轴正方向传播时,形成的一维简谐波的波动方程 ; (3) 该波的波长.1. 一半径为R 的带电球体,其电荷体密度分布为)(4R r R qr≤=πρ (q 为一正的常数)ρ = 0 (r > R )试求: (1)带电体的总电量; (2) 球内、外各点的电场强度; (3) 球内、外各点的电势13．在牛顿环装置的平凸透镜和平玻璃板之间充满折射率n = 1.33的透明液体（设平凸透镜和平玻璃板的折射率都大于1.33），凸透镜的曲率半径为300cm ，波长λ = 6500Å的平行单色光垂直照射到牛顿环装置上，凸透镜顶部刚好与平玻璃板接触。
质点作半径为r的变速圆周运动时的加速度
质点作半径为r的变速圆周运动时的加速度
曲线运动是世界自然界中非常常见的运动，特别是不同的曲线运动也有各自的科学知识。
在物理学中，变速圆周运动是一种曲线运动，而且可以考虑作为质点的加速度。
那么，关
于变速圆周运动时质点的加速度，我们可以简要地介绍一下。
首先，从物理学角度来看，变速圆周运动是一种有规律的曲线运动，它在空间中沿正负半
径分别为r和-r方向运动，其中变加速度等于-rω²cosωt。
其中，ω是圆周运动的角速度，t为时间，cosωt为波形因子，r为半径。
可以看出，变速圆周运动的加速度可以表示为-
rω²cosωt的形式，即与圆周运动的角速度和半径有关。
其次，变速圆周运动时，质点的加速度向心加速度为ar，其中a是变速圆周运动时质点的加速度，r为变速圆周运动时圆周半径。
虽然ar只与半径r有关，但是这个公式中的参数
a还取决于转动的其他因素，所以既可以表示变速圆周运动的加速度，也可以表示变速圆
周运动的其他因素，例如，圆周运动的加速度。
综上所述，关于变速圆周运动时质点的加速度，可以用-rω²cosωt的公式来表示，其中ω
为圆周运动的角速度，t为时间，cosωt为波形因子，r为半径；而当变速圆周运动时，质点的加速度向心加速度可以用ar来表示，其中a是变速圆周运动时质点的加速度，r为变速圆周运动时圆周半径。
03运动学圆周运动 (自然坐标系、角速度、角加速度、切向加速度、法向加速度)
这时加速度可以表示为 a aτ t an n
6
由于τ与n相互垂直，加速度a的大小与aτ 、an的 关系为 2 2
a a an
例1、半径R=0.5米的飞轮绕中心轴转动， 其运动函数 为θ=t3+3t(SI)求t=2秒时，轮缘上一点的角速度角加速 度以及切向加速度、法向加速度。 解：ω=3t2+3
dr d d v R sin i R cos j R d ( sin i cos j ) dt dt dt dt
Y
V
r
d R [cos( )i sin( ) j ] dt 2 2
X
括号中的项是与r垂直的单位矢量
d lim t 0 t dt
2
平均角加速度 t
t 0
瞬时角加速度 lim d
t dt
(SI)单位：rad/s2 角速度与角加速度都是矢量，角速度的方向由右手定 则确定。（规定用右手螺旋定则来判定：四指方向为 绕向，大拇指方向为角速度方向！！ ） α与ω同向。质点作加速圆周运动。
an=gcos γ =gV x/V=9.13m/s2
aτ=gcosβ=gVy/V=3.53m/s2
ρ=V2/an=25.03m
11
5 质点运动学小结： 1、描述运动的物理量 ：t、Δt、r、Δr、v、a 、 s dv dr 加速度： a 2、定义：速度 v dt dt 对一维的情况：v=dx/dt a=dv/dt 3、质点运动学的两类问题： 1）已知运动方程，求速度、加速度。 解法：用求导数的方法解决。 2）已知速度（或加速度）及初始条件求运动方程。
△τ=1× △ θ 当△t→0时， dτ=1× d θ、方向指向曲率中 心（即法向）。 d d n dt dt
质点的运动轨迹与速度
质点的运动轨迹与速度在物理学中，质点是指一个没有大小和形状的物体，它被用来研究物体的运动。
质点的运动轨迹与速度是物理学中非常重要的概念，它们可以帮助我们理解物体在空间中的运动规律。
一、质点的运动轨迹质点的运动轨迹是指质点在空间中所描述的路径。
当一个质点在空间中运动时，它的运动轨迹可以是直线、曲线、圆周等各种形状。
当质点做直线运动时，它的运动轨迹是一条直线。
直线运动是最简单的一种运动形式，质点在空间中沿着一条直线不停地前进。
当质点做曲线运动时，它的运动轨迹是一条曲线。
曲线运动可以分为两种情况：一种是质点在空间中做曲线运动，但在任意时刻速度的大小保持不变；另一种是质点在空间中做曲线运动，同时速度的大小也在不断变化。
当质点做圆周运动时，它的运动轨迹是一个圆。
圆周运动是一种特殊的曲线运动，质点在空间中围绕一个固定点做圆周运动。
二、质点的速度质点的速度是指质点在单位时间内所移动的距离。
速度是一个矢量量，它包括大小和方向两个方面。
当质点做匀速直线运动时，它的速度大小保持不变，方向也保持不变。
例如，一个质点以每秒10米的速度沿着东方向匀速运动。
当质点做变速直线运动时，它的速度大小在不断变化，但方向保持不变。
例如，一个质点在前半段以每秒10米的速度向东运动，后半段以每秒5米的速度向东运动。
当质点做曲线运动时，它的速度大小和方向都在不断变化。
例如，一个质点在做圆周运动时，它的速度大小保持不变，但方向随着运动位置的变化而不断改变。
三、质点的运动轨迹与速度的关系质点的运动轨迹和速度之间存在着密切的关系。
质点的运动轨迹决定了它的速度的变化规律，而质点的速度则反映了它的运动轨迹的特点。
当质点做直线运动时，它的速度大小和方向保持不变，因此运动轨迹是一条直线。
当质点做曲线运动时，它的速度大小和方向在不断变化，因此运动轨迹是一条曲线。
曲线的形状和速度的变化规律密切相关，通过研究速度的变化可以推断出质点的运动轨迹。
当质点做圆周运动时，它的速度大小保持不变，但方向不断改变，因此运动轨迹是一个圆。
5.5圆周运动
思 线速度、角速度与周期的关系？
考
线速度与周期的关系：v
=
2πr
T
角速度与周期的关系：ω=
2π
T
v =ωr
22f 2n
T
比较图中A、B、C三点线速度的的大小关系
A B
A、B、C三点的线速度大小相等
①同一转盘上各点的角速度 相同
②同一皮带轮缘上各点的线 速度大小相等
例题
评注
解这类题目时注意抓住转动装置的特点： ➢ 同轴转动的是角速度相等 ➢ 皮带传动的是两轮边缘的向速度大小 相等（不打滑）
5、圆 周 运 动
圆周运动特征：质点的轨迹是圆周、具有周期性
生活中的圆周运动
飞轮 后轮
踏脚 牙盘
自行车哪些点 运动得更快？
思 考
两物体均做圆周运动，怎样比较它们运动的快慢？
比较物体 在一段时 间内通过 的圆弧的 长短
比较物体 在一段时 间内半径 转过的角 度
比较物 体转过 一圈所 用时间
比较物 体在一 段时间 内转过 的圈数
匀速圆周运动
任意相等时间内 通过的圆弧长度
相等
任取两段相等的时 间，比较圆弧长度
v
可见：尽管做匀速圆
周运动的物体在各个
o
时刻的线速度大小相
v
等，但线速度的方向
是不断变化的
v
Байду номын сангаас
变速 速率不变
匀速圆周运动是
运动！
是线速度大小不变的运动！
1、物理意义： 描述质点绕圆心转动的快慢。
2、定义：质点所在的半径转
小 结
1、圆周运动的概念 2、描述圆周运动的几个物理量及其关系
v
=
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
{范例1.3} 质点的变速圆周运动
根据题意，质点做圆周运动的角速度为 角加速度为
d dt 4
d dt
4t
质点的法向加速度为an = Rω2，
a an at
2 2
切向加速度为at = Rα， 合加速度为 当切向加速度的大小为合加速 度的大小的一半时，可得方程 代入法向加速度的公式得
切向加速度是一个常数， 因而是一条水平线。
法向加速度在开始 时比切向加速度小， 随时间合加速度的一 半，此时质点的角位 置是3.866弧度。
随着法向加速度的增 加，合加速度与切向 加速度之间的夹角越 来越大，趋近于90º 。
Δv Δv1 Δv 2 A v+Δv D Δv C v
B
{范例1.3} 质点的变速圆周运动
再令
a n lim v1 t
vA=v B vB=v+Δv A
t 0
当Δt→0时，有向线段BD的极限方向 O 就是垂直于v并指向轨道凹侧的方向， 所以an称为法向加速度，其大小为 v1 v d Δθ是相邻切线间的夹角，dθ/dt a n lim lim v t 0 t t 0 t 是切线方向的时间变化率。 dt 2 由于ds/dθ = R为圆周 d ds d v B an v v 运动的半径，所以 dt dt ds R Δv v Δv1 Δv 在一般的曲线运动中，ds/dθ为轨 2 A v+Δv D Δv C 道的曲率半径R，dθ/ds是曲率1/R。 直线可以当作半径为无穷大的 “圆”，当质点在做直线运动 当质点做匀速圆周运动时， 切向加速度大小at = 0，只 时，法向加速度大小an = 0， 有法向加速度a = v2/R。 只有切向加速度a = dv/dt。
t 0
a t lim
t 0
当Δt→0时，有向线段DC的极限方向就 是v的方向，所以at称为切向加速度。 速度大小的增量为Δv = vB - vA = Δv2， 因此切向加速度的大小为 v2 v dv 可见：切向加速度的大小 a t lim lim t 0 t t 0 t 等于速率的时间变化率。 dt
R
合加速度与切向加速度之间的夹角为φ = arctan(an/at)，
an at / 2 at
2 2
解得法向加速度与切向加速度之间的关系为 a
2
n
3a t
3 R
利用角速度的公式解得时间为t = 31/4/2 = 0.658s，
质点转过的角度为 3 3 / 2 3 .8 6 6 rad .
{范例1.3} 质点的变速圆周运动
可得Δv = Δv1 + Δv2， 注意：|Δv| ≠ Δv，前者表示速度增量 的大小，后者表示速度大小的增量。 加速度为 令
a lim
v2 t
vA=v B vB=v+Δv
A
O
v t
t 0
lim
v1 t
t 0
lim
v2 t
{范例1.3} 质点的变速圆周运动
一质点沿半径为R = 0.5m的圆周运动，运动方程为θ = 3 + 2t2(SI)，在2s内质点运动的加速度和方向随时间变化 的规律是什么？当切向加速度的大小为合加速度的大 小的一半时，经过了多长时间？此时θ的值为多少？ [解析]如图所示，在t时刻，质 点经过A点，速度为vA = v， vA=v B vB=v+Δv B 方向沿轨道在A点的切向； Δv A v 在t + Δt时刻，质点经过B Δv1 Δv 2 O 点，速度为vB = v + Δv， A v+Δv D Δv C 方向沿轨道在B点的切向。 取有向线段AB和AC分别表示v和v + Δv，BC就 表示Δv，Δv同时包含速度大小和方向的变化。 在AC上取一点D，使长度AD = AB = v。 因此，有向线段BD = Δv1是速度方向变化的矢 量，有向线段DC = Δv2是速度大小变化的矢量。