华东理工大学继续教育学院《高等数学》(下)练习试卷(答案)

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华理高数答案(下)

解法一可分离变量方程的分离变量法这是一个一阶可分离变量方程同时也是一个一阶线性非齐次方程这时一般作为可分离变量方程求解较为容易
第 9 章（之 1）（总第 44 次）
教学内容:§9.1 微分方程基本概念 *1．微分方程 2( y ) 9 y y 5xy 的阶数是
3 7
（（D）7．
0．
解：方程变形为
y
2 1 1 y 2 ，是一阶线性非齐次方程，其通解为 x x x
ye

2 2 1 1 x dx x dx c ( ) e dx 2 x x

1 x2
c 1 1 1 1 1 1 c ( 2 ) x 2 dx 2 c x 2 x 2 2 x x x 2 x x
y C cos 2 x 1 C sin 2 x ，实质上只有一个任意常数；
（D）中的函数确实有两个独立的任意常数，而且经验算它也确实是方程的解． *3．在曲线族 y c1e c2 e 中，求出与直线 y x 相切于坐标原点的曲线．
x x
2
解
根据题意条件可归结出条件 y(0) 0, y (0) 1，
2
解：分离变量 2 ye y dy xe 2 x dx ，两边积分就得到了通解
ey
2
1 1 1 ( xe 2 x e 2 x dx) ( xe 2 x e 2 x ) c ． 2 2 2

（3） (2 x 1)e y y 2e y 4 0 ．
ey d y dx 解：， y 2x 1 2e 4
2
为 y y (2 x yy ) ．
2

华东理工大学级(下)高等数学期中考试试卷(学分)解答

华东理工大学级(下)高等数学期中考试试卷(学分)解答————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：华东理工大学2013–2014学年第二学期《高等数学（下）11学分》课程期中考试试卷 2014.4开课学院：理学院，专业：大面积, 考试形式：闭卷，所需时间 120 分钟考生姓名：学号：班级任课教师题序一二三四五六总分得分阅卷人注意：试卷共两页六大题一．填空题（本大题共11小题，每小题4分，共44分）：1、微分方程222'y x e yx y -=的通解为。

答：C e xe e xx y +-=22412122、微分方程0''9)4(=+y y 的通解为。

答：x C x C x C C y 3sin 3cos 4321+++=3、函数 zxy u )(= 对变量x 的偏导数 =x u 。

答：12)(--=z x xy x yz u 4、设 ))arctan(,,(xyz e y xze f u zy+=，其中f 关于所有变量有一阶连续偏导数，则=∂∂yu。

答：3222211f zy x xz f f xze y u y +++=∂∂ 5、设函数z z x y =(,)由方程 ),(yzxz f z = 所确定，其中f 关于所有变量有一阶连续偏导数，则∂∂zy= 。

答：21222yf f xy y zf ---6、设1)(-=⋅⨯c b a ρρρ，则=+⨯+⋅)]()[(c b b a b ρρρρϖ 。

答： 17、函数)ln(22z y x u ++=在点)1,0,1(处最大的方向导数等于。

答：228、微分方程 0'2''=+y xy 的通解=y 。

答： 21C xC y +-= 9、设平面π过直线⎩⎨⎧=+-=++04,05:z x z y x L 则原点到平面π距离d 的范围是。

理工大学高等数学第二学期期末试卷及答案

系部专业班级学号姓名密封线答题留空不够时，可写到纸的背面注意保持装订完整，试卷折开无效装订线
4、已知两直线的方程是则过且平行于
的平面方程是
三、计算题（每小题 7 分，共 14 分）
1、设，求．
解
， 4 分
7 分
2、设，求
. 解: 因为
，所以
6分
． 7分
理工大学考试试卷
(2011-2012 学年度第二学期)
课程名称：高等数学（一） B 卷
命题：高等数学教研室
题号一
二
三
四
五
六
七
八
总分
得分
一、单项选择题（每小题3分，共12分） 1．设有连续的一阶偏导数，则（
）．（A ）；（B ）
；（C ）
；（D ）
2、，是圆
在第一象限从点到点
的
一段，则 ( ) ．
（A ）
, （B ）, （C ）
, （D ）
3、下列无穷积分收敛的是（D ）. （A ）
(B)
(C)
(D)
4、二阶微分方程的通解是（ A ）.
（A ）；（B ）；（C ）
；（D ）
二、填空题（每小题3分，共 12分） 1、改变二次积分的积分次序
．
2、设, 则.
3、．
11
∑+∑∑-⎰⎰⎰⎰
2x y dxdydz Ω+-⎰⎰⎰
⎰⎰（注意z 的积分限应该为。

华东理工大学继续教育学院《高等数学》(下)练习试卷(1)(答案)

华东理工大学继续教育学院成人教育《高等数学》（下）（专升本68学时）练习试卷（1）（答案）一、单项选择题1、设xye y z 2=，则=)1,1(dz 答（ A ）（A ）)3(dy dx e + （B ）)3(dy dx e -（C ）)2(dy dx e + （D ）)2(dy dx e - 解（知识点：全微分的概念、全微分的计算方法）因为 32 , 2xy xy xy x y z y e z ye xy e ==+，得 (1,1) , (1,1)3x y z e z e ==，所以 (1,1)(1,1)(1,1)3(3)x y dz z dx z dy edx edy e dx dy =+=+=+ 2、设方程0yz z 3y 2x 2222=-++确定了函数z=z （x ，y ），则=∂∂xz答（ B ）（A ）y z x -64 （B ）zy x64- （C ）y z y +64 （D ）yz y-64解（知识点：多元隐函数的概念、隐函数求导法）将方程两边对x 求导得 460z zx zy x x∂∂+-=∂∂，解得46z x x y z ∂=∂- 3、平面0D Cz By Ax =+++过y 轴，则答（ C ）（A ）A=D=0 （B ）B=0，0D ≠ （C ）0D ,0B == （D ）C=D=0 解（知识点：平面0D Cz By Ax =+++中的系数是否为零与平面位置的关系）由平面0D Cz By Ax =+++过y 轴知平面平行于y 轴 0B ⇒=. 平面过原点 0D ⇒=，所以有 0D ,0B ==，选（C ）. 4、设u =，则(0,0)ux∂=∂ 答（ A ）（A ）等于0 （B ）不存在（C ）等于1- （D ）等于1 解：（知识点：偏导数的定义）0(0,0)(0,0)(0,0)0limlim 0x x u f x f xxx →→∂+∆-===∂∆∆ ，所以选（A ） 5、极限 00s i n l i m x y xyx→→= 答（ C ）（A ）不存在（B ）1 （C ）0 （D ）∞解：（知识点：二重极限的概念、极限的四则运算性质、重要极限0sin lim1x xx→=的运用）000sin sin limlim 011x x y y xy xyy x xy →→→→=⋅=⋅=，所以选（C ）二、填空题1、设函数)ln(sin 22y x y z +=，则=∂∂yz解：（知识点：偏导数的概念、偏导数的计算方法）2、改变积分⎰⎰ex dy y x f dx1ln 0),(的积分次序，⎰⎰e x dy y x f dx 1ln 0),( =解：（知识点：化二重积分为二次积分、交换二次积分积分次序的方法）因为 ln 1(,)(,)ex Ddxf x y dy f x y dxdy =⎰⎰⎰⎰，其中 {(,)1,0ln }D x y x e y x =≤≤≤≤，所以有 ln 1(,)(,)ex Ddxf x y dy f x y dxdy =⎰⎰⎰⎰=10(,)ye e dyf x y dx ⎰⎰3、设{2,1,3},{2,1,3}a b =-=-，则25a b += 解：（知识点：向量的坐标运算方法）4、函数ln()arcsinyz y x x=-+ 的定义域为解：（知识点：函数的定义域的概念及确定方法）为使表达式xyarcsin)x y ln(z +-=有意义 0,1,yy x y x y x x⇒->≤⇒>≤，所以函数的定义域为 x y x <≤- 5、设 (,^),3,43a b a b π===，则 (2)a b -⨯=解：（知识点：外积的概念及运算性质）三、解答下列各题 1、求微分方程 y y dxdyxln = 的通解。

2005-2006高数下(8学分)期末试题A及解答

华东理工大学2005-2006学年高等数学下(8学分)期末考试试卷A 2006.6一. 填空题(每小题4分, 共36分) 1.一阶微分方程0)21(22=-+'y x y x 的通解是y =____________.2.微分方程052=+'+''y y y 满足初始条件3)0(,1)0(='=y y 的特解为y =___________.3.已知ABC ∆的三个顶点为)2,3,4(),4,3,2(),1,1,1(C B A =, 则ABC ∆的面积S =_______.4.已知)0,2,2(),1,,0(-=ππB A , 则函数)sin(2yz e u x =在点A 处沿方向B A方向导数A lu |∂∂=_______.5.空间曲线)(),(z g y y f x ==(其中g f ,是可微函数)上对应于0z z =点的切线方程是_____________________6.设函数)(⋅f 具有二阶连续导数, ),(⋅⋅g 具有二阶连续偏导数, ),()(z xyz g z xy f u ++=,则zx u ∂∂∂2=_____________.7.二次积分dy e dx xy ⎰⎰-2222的值等于______________.8.某公司生产产品A , 当生产到第x 个单位的边际成本是34)(+='x x c (万元/单位), 其固定成本是100万元, 则生产量为10单位时的平均成本等于_______(万元/单位). 9.设22224|),,{(y x z y x z y x --≤≤+=Ω, 则Ω的体积V =________. 10.函数)1ln(),,(2z x ye z y x f z ++=在点)0,1,1(P 处的梯度)(P gradf ________.二. 选择题(每小题4分, 共32分)1. 微分方程1+=-''x e y y 的一个特解应具有形式(式中b a ,为常数), ( ) (A)b ae x +; (B)b axe x +; (C)bx ae x +; (D)bx axe x +.2.函数),(y x f y =在点),(00y x 处具有偏导数),(00y x f x , ),(00y x f y 是该函数在点),(00y x 可微的()(A)充要条件; (B)必要条件; (C)充分条件; (D)既非充分条件也非必要条件.3.已知非零向量b a,满足||||b a b a +=-,则必成立的是 ( )(A)b a b a +=-; (B)b a =; (C)0=⨯b a ; (D)0=⋅b a.4.下列广义积分中收敛的是( ) (A)dx xx e⎰1ln 1; (B)dx xx e⎰+∞ln 1; (C)dxxx e⎰+∞ln 1; (D)dxxx e⎰12ln 1.5*.二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x y x xyy x f 在)0,0(点处( )(A)连续且偏导数存在; (B)连续, 偏导数不存在;(C)不连续, 偏导数存在; (D)不连续, 偏导数不存在三. (本题8分) 设函数yz e x u =, 而)(x z z =与)(y z z =分别是由方程1=-xz e z 与2sin =-y z e z所确定,计算yux u ∂∂∂∂,. 四. (本题6分)曲线过点)1,1(, 其上任一点与原点的距离平方等于该点横坐标与该点的法线在x 轴上截距的乘积的两倍, 求曲线方程.五. (本题6分) 计算数列极限2)1tan511(lim 2nn nn-+∞→.六. (本题8分)在曲面1:=++∑z y x 上作一切平面, 使它与三个坐标面所围成的四面体体积最大, 求切平面方程.七、(本题8分)设1D 是由抛物线22x y =和直线2,==x a x 及0=y 所围成的平面区域,2D 是由抛物线22x y =和直线a x y ==,0所围成的平面区域, 其中20<<a .(1)求1D 绕x 轴旋转而生成的旋转体体积)(1a V , 求2D 绕x 轴旋转而生成的旋转体体积)(1a V ; (2)当a 取何值时, )()(21a V a V +取得最大值? 并求此最大值. 八、设函数)(x f 在]1,0[上连续, 2)(1=⎰dx x f , 证明:3)(1)(11)(≥⋅⎰⎰dx x f dx ex f x f .华东理工大学2005-2006学年第二学期《高等数学（下）》课程期终考试试卷参考答案与评分标准一．填空题（每小题4分，共40分）1.cx x +-2||ln 1 2.)2si n (cos x x e y x +=- 3. 62 4.32π+5.1)()()()]([)]([000000z z z g z g y z g z g f z g f x -='-='⋅'- 6. 22321221g zx g zy g zf y -+-''7. 41--e 8. 33 9.二．选择题（每小题4分，共32分）：5.C;A ; 4.D; 3.;B 2.;1.B三．xz xyeexu yzyz∂∂+=∂∂,yz xyexze yu yzyz∂∂+=∂∂而xe z xz z-=∂∂,ye z z yz zsin cos -=∂∂, ------------------------------------------------（2分xe xyzeex z zyzyz-+=∂∂, ------------------------------------------------（2分）ye xyzexzeyz zyzyzsin -+=∂∂, -----------------------------------------(2分)四．曲线在点),(y x 处的法线方程为: )(1x X y y Y -'-=-,令0=Y , 得曲线在x 轴上截距为: y y x X '+=,根据题意得: )(222y y x x y x '+=+或 x y xy y -=-'212, 1)1(=y , -------------( 2分)令2y z =,x z xdxdz -=-1 ------------(3分))())(()1()1(2c x x c dx ex ez y dxxdxx+-=+-==⎰⎰-⎰--, -------------------------------------(3分)由1)1(=y , 得2=c ,所求曲线为)2(2x x y -=或.222x y x =+ ----------------------------(1分)六．（本题8分）曲面∑在点),,(000z y x 处的切平面方程为:0)(1)(1)(1000000=-+-+-z z z y y y x x x , -------------------------------（2分）,100=++z z y y x x ,截距分别为000,,z y x ,问题为求xyz V 61=在条件1000=++z y x 下的最大值, ---------（2分）令 )1(6100-+++=z y x xyz L λ,⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-++==+==+==+=010212102121,02121z y x L zzxy L yy xz L xx yz L zy yxλλλ, 解得: 91===z y x ,-----------------------------------------（3分）因为问题的最大值存在,故91===z y x 就是最大值点,此时截距为31000===z y x ,所求切平面为: 31=++z y x . --------------------------（1分）七、)32(54)2()(52221a dx x a V a-==⎰ππ, -------------------------（2分）422222)(a dx x x a V aππ=⋅=⎰, -------------------------(2分)设)()()(21a V a V a V +=, 令 0)1(4)(3=-='a a a V π, 得唯一驻点: 1=a , ----（2分）当10<<a 时, 0)(>'a V ; 当21<<a 时, 0)(<'a V ;故当1=a 时, )()()(21a V a V a V +=取到最大值π5129)1(=V . --------------------（2分）八、dx x f dx e x f x f ⎰⎰⋅110)()(1)(dy y f dx ex f x f ⎰⎰⋅=11)()(1)(⎰⎰=Dx f dxdy ey f x f )()()(,其中}10,10|),{(≤≤≤≤=y x y x D , --------------------(2)又dx x f dy ey f y f ⎰⎰⋅=11)()(1)(⎰⎰=Dy f dxdy ex f y f )()()(,所以dx x f dx ex f x f ⎰⎰⋅11)()(1)(⎰⎰+=Dy f x f dxdy ex f y f ey f x f ])()()()([21)()(⎰⎰+≥Dy f x f dxdye)]()([21--------------------(2)⎰⎰++≥Ddxdy y f x f ]2)()(1[3)(21)(2111111=++≥⎰⎰⎰⎰dy y f dx dy dx x f . ----------(2)填空题解答:1. 0)21(22=-+'y x y x , 是可分离变量微分方程,分离变量得: dx xx dy y )12(2-=, 积分得: c x x y--=-||ln 12,化简为:cx x +-2||ln 1.2. 特征方程: 0522=++λλ, 解得: i 212542222,1±-=⨯-±-=λ,故通解为: )2si n (co s x x e y x +=-. 3.|}1,2,3{}3,2,1{|21||21⨯=⨯=AB AC S 6216641621|}4,8,4{|21=++=--=.4.}1,2,2{--=B A , 32cos =α,32cos -=β, 31cos -=γ ,0|)sin(2|2==∂∂A xA exy x xu ,1|)cos(|2-==∂∂A xA eyz z yu ,π-==∂∂A xeyz y zu |)cos(2,γβαcos |cos |cos |A A A zu yu xu lu ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂=323132)1(320ππ+=-⨯+-⨯-+⨯.。

高等数学下册试卷及答案

高等数学（下册）考试试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= 。

2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为。

3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。

4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。

5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++⎰⎰∑ds y x )122（。

6、微分方程xyx y dx dy tan +=的通解为。

7、方程04)4(=-y y的通解为。

8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为。

二、选择题（每小题2分，共计16分）1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（）（A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；（C ） y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时，是无穷小；（D ）0)()(),(),(lim2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x 。

2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222yuy x u x ∂∂+∂∂等于（）（A ）y x +；（B ）x ； (C)y ； (D)0 。

3、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 等于（）（A ）4⎰⎰⎰202013cos sin ππϕϕϕθdr r d d ；（B ）⎰⎰⎰2012sin ππϕϕθdr r d d ；（C ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ202013cos sin dr r d d ；（D ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ20013cos sin dr r d d 。

高等数学下考试题库(附答案)

高等数学下考试题库(附答案) 高等数学》试卷1（下）一、选择题（3分×10）1.点M1(2,3,1)到点M2(2,7,4)的距离M1M2=（）.A.3B.4C.5D.62.向量a=-i+2j+k，b=2i+j，则有（）.A.a∥bB.a⊥bC.a,b=D.a,b=3.函数y=2-x^2-y^2+1/x+y-12/2+y^2的定义域是（）.A.{(x,y)|1<x<2,1≤x^2+y^2≤2}B.{(x,y)|x,y<0}C.{(x,y)|1<x≤2,2+y^2<2}D.{(x,y)|2+y^2<x}4.两个向量a与b垂直的充要条件是（）.A.a·b=0B.a×b=0C.a-b=0D.a+b=05.函数z=x+y-3xy的极小值是（）.A.2B.-2C.1D.-16.设z=xsiny，则∂z/∂y|(π/4,3/4)=（）.A.2/√2B.-2/√2C.2D.-27.若p级数∑n=1∞pn收敛，则（）.A.p1 D.p≥18.幂级数∑n=1∞xn/n的收敛域为（）.A.[-1,1]B.(-1,1)C.[-1,1)D.(-1,1]9.幂级数∑n=2∞x^n/(n-1)在收敛域内的和函数是（）.A.1/(1-x)B.2/(1-x)^2C.2/(1+x)D.1/(1+x)10.微分方程xy'-ylny=0的通解为（）.A.y=cxB.y=e^xC.y=cxe^xD.y=ex二、填空题（4分×5）1.一平面过点A(1,2,3)且垂直于直线AB，其中点B(2,-1,1)，则此平面方程为______________________.2.函数z=sin(xy)的全微分是______________________________.3.设z=xy-3xy^2+1，则(∂^2z)/(∂x∂y)|3/2=-___________________________.三、计算题（5分×6）4.1.设z=esinv，而u=xy,v=x+y，求u∂z/∂x-∂z/∂y.2.已知隐函数z=z(x,y)由方程x^2+y^2+z^2=1确定，求∂z/∂x.3.设f(x,y)=x^2y-xy^2，求f在点(1,1)处的方向导数沿向量i+j的值.4.设z=f(x^2+y^2)，其中f(u)在u=1处可导，求∂z/∂x|P，其中P为曲线x^2+y^2=1,z=1上的点.5.设z=ln(x+y)cos(x-y)，求∂^2z/∂x^2-2∂^2z/∂x∂y+∂^2z/∂y^2.6.设f(x,y)在点(0,0)处可微，且f(0,0)=0，证明：∂f/∂x和∂f/∂y在点(0,0)处连续.1.已知函数f(x)在区间[0,1]上连续，且f(0)=0，f(1)=1，则方程f(x)=0在区间(0,1)内至少有（）个实根。

高数答案下(排版后)

GS 下试卷1答案及评分标准：一、填空)04410('='⨯1、1 2、62 3、0323=-++z y x 4、}93),{(22≤+<y x y x 5、1，发散的 6、0 7、2)(2y x x- 8、⎰⎰⎰⎰-+----+01111011),(),(xxxx dy y x f dx dy y x f dx 9、xdy x dx yx dz y y ln 1+=- 10、23113c x c x c ++二、求偏导数)6182('='⨯1、)ln(1)ln(xy y xyxxy x z +=+=∂∂ 4'y xy x xy x x z y y x z 1)(2===∂∂∂∂=∂∂∂ 4' 2、令xyz v z y x u =++=,，则v u v u f yz f yz f f xw'+'=⋅'+⋅'=∂∂1 4')1(1)(2xz f f yz f z xz f f x wy y x w vv vu v uv uu''+⋅''+'+⋅''+⋅''=∂∂∂∂=∂∂∂f z f xyz f z y x f vv uv uu '+''+''++''=2)( 4'三、求积分)8192('='⨯）1、作极坐标变换 θρθρsin ,cos ==y x ，则θρρσd d d =D 可以化为 20,20≤≤≤≤ρπθ 3'⎰⎰⎰⎰=+22022ρρθσρπd e d d eDy x2')1(2124202-=⋅=e e ππρ4'２、∵Ω在xoy 面上的投影为 0,0,1≥≥≤+y x y x ，∴y x z x y x --≤≤-≤≤≤≤Ω10,10,10： 2'⎰⎰⎰⎰⎰⎰---Ω=y x x xdz dy dx xdv 1010102'⎰⎰---=xdy y x xdx 1010)1( 2'241)2(211032=+-=⎰dx x x x 3' 四、)01('3sin )3sin(3cos )3cos(3)3(cos cos ππππππ+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=x x x x )3sin(23)3cos(21ππ+++=x x 4'∑∑∞=+∞=++-++-=01202)3()!12()1(23)3()!2()1(21n n n n n n x n x n ππ 4' )()3()!12(3)1()3()!2()1(210122+∞<<-∞⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-++-=∑∞=+x x n x n n n n n n ππ 2' 五、)01('对应的齐次方程为 032=-'-''y y y 特征方程 0322=--r r 2'解得 31或-=r ，齐次方程的通解 2321'+=-xx e c e c Y 13)(+=x x f 属于0,)(=λλx m e x p 不是特征根,设特解为B Ax y +=* 2'代入原方程得13323+=---x B A Ax31,113233=-=⎩⎨⎧=--=-B A B A A 得，于是31*+-=x y ,通解为431321'+-+=-x e c e c y xx六、)6('证明：设),(),,(bz cy az cx z y x F --Φ=，则11Φ'=⋅Φ'='c c F x ，22Φ'=⋅Φ'='c c F y ，)()()(2121Φ'+Φ'-=-⋅Φ'+-⋅Φ'='b a b a F z ∴ 211Φ'+Φ'Φ'=''-=∂∂b a c F F x z z x ， 2'212Φ'+Φ'Φ'=''-=∂∂b a c F F y zz y 2' 从而c b a b a c b a bc b a ac y zb x z a=Φ'+Φ'Φ'+Φ'=Φ'+Φ'Φ'+Φ'+Φ'Φ'=∂∂+∂∂2121212211)( 2'GS 下试卷2答案及评分标准：一、填空)04410('='⨯1、052=+z x 2、3π3、)4,716,712(---4、10≤<p5、充分 6、3ln 162 7、⎰⎰----221111),(x x dy y x f dx 8、2ce 9、2110、)(c x e x +-二、求偏导数)4172('='⨯1、y x y x x y y x x z 222211)1(11-+=-++=∂∂ 3'222221)(2)(yx y x y x z y y x z ⋅++-=∂∂∂∂=∂∂∂ 4' 2、令v u v u f xy f y xy f y f xzy x v xy u '+'=⋅'+⋅'=∂∂==22,,2222则3' )2(22)2(2)(2222x f yx f xy f x x f yx f y f y xzy y x z vv vu v uv uu⋅''+⋅''+'+⋅''+⋅''+'=∂∂∂∂=∂∂∂ v u vv uv uuf x f y f y x f y x f xy '+'+''+''+''=222523223 4' 三、求积分)02012('='⨯1、积分区域D 可化为 21≤≤x ，x y ≤≤1 2' ∴⎰⎰Dxydxdy ⎰⎰=xxydy dx 1213'⎰-=213)(21dx x x 89= 5' 2、由⎩⎨⎧+==)(2545222y x z z 得 422=+y x ，从而Ω在xoy 面上的投影区域为 422≤+y x 2' 作柱面坐标变换：z z y x ===,sin ,cos θρθρ，则dz d d dv θρρ=Ω可以化为：525,20,20≤≤≤≤≤≤z ρρπθ ⎰⎰⎰=52520320ρπρρθdz d d 原式 4'πρρρπ8)255(2243=-=⎰d 4'四、)8(')4(31)4(2121112312+--+-=+-+=++x x x x x x ， 2' 由∑∞==-011n n x x ，得原式∑∑∞=∞=+-+=00)34(31)24(21n n n n x x 4')26(,)4)(3121(101-<<-+-=+∞=+∑x x n n n n 2' 五、)01('方程即x y y 2sin -=+''，对应的齐次方程为 0=+''y y特征方程为 012=+r ，解得 i r ±= 齐次方程的通解为 x c x c Y sin cos 21+= 3'∵不是特征根i i x x f 2,2sin )(=+-=ωλ，∴取k =0 设特解为 x B x A y 2sin 2cos *+=3' 代入原方程得 x x B x A 2sin 2sin 32cos 3-=-- ∴x y B A 2sin 31*,31,0===通解为 x x c x c y 2sin 31sin cos 21++= 2' 又 x x c x c y 2cos 32cos sin 21++-='，由1,1='===ππx x y y ，得31,121-=-=c c 因此，所求特解为 x x x y 2sin 31sin 31cos +--= 2'六、)8('设椭圆上点的坐标为),,(z y x ，则原点到此点的距离平方为2222z y x d ++=附加条件22y x z +=，1=++z y x 2' 作拉格朗日函数)1()(),,(22222-+++--+++=z y x u y x z z y x z y x L λ 2'令 ⎪⎩⎪⎨⎧=++='=+-='=+-='02022022u z L u y y L u x x L zy xλλλ 解得 y x = 代入22y x z +=和1=++z y x ，得32,231μ=±-==z y x ， 2' 由题意可知，原点到椭圆存在最长和最短距离，且可能取到极值的驻点只有两个)32,231,231(μ±-±-，因此，d 在这两点)32,231,231(μ±-±-取到最大值或最小值。

大学高等数学下考试题库(附答案)

《高等数学》试卷1(下）一。

选择题（3分10）1。

点到点的距离( ）.A.3 B。

4 C。

5 D.62.向量，则有（）.A。

∥B。

⊥ C. D。

3.函数的定义域是( ）.A. B.C。

D4。

两个向量与垂直的充要条件是( ）.A. B. C. D.5.函数的极小值是( ）.A。

2 B。

C。

1 D。

6。

设，则＝（）。

A. B. C. D。

7.若级数收敛,则（）。

A. B。

C。

D.8。

幂级数的收敛域为（）.A. B C。

D。

9。

幂级数在收敛域内的和函数是( ）.A. B。

C。

D。

10。

微分方程的通解为（）.A. B. C。

D。

二.填空题（4分5）1.一平面过点且垂直于直线，其中点，则此平面方程为______________________.2。

函数的全微分是______________________________.3.设，则_____________________________。

4.的麦克劳林级数是___________________________.5。

微分方程的通解为_________________________________.三。

计算题（5分6）1.设，而,求2。

已知隐函数由方程确定，求3.计算，其中.4.如图,求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积(为半径）。

5.求微分方程在条件下的特解。

四.应用题（10分2）1.要用铁板做一个体积为2的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？2。

曲线上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2倍，且曲线过点,求此曲线方程.《高数》试卷2（下）一。

选择题（3分10）1.点,的距离( )。

A. B. C. D.2.设两平面方程分别为和,则两平面的夹角为（）.A。

B。

C. D。

3。

函数的定义域为（）。

A. B.C。

D.4。

点到平面的距离为( ）。

A。

3 B.4 C。

5 D.65.函数的极大值为（）。

A.0B.1C.D.6。

高数下模拟试卷

华东理工大学继续教育学院成人教育《高等数学》（下）（本科136学时）练习试卷（1）一、单项选择题1、设xy e y z 2=，则=)1,1(dz 答（）（A ）)3(dy dx e + （B ）)3(dy dx e -（C ）)2(dy dx e + （D ）)2(dy dx e -2、设方程0yz z 3y 2x 2222=-++确定了函数z=z （x ，y ），则=∂∂xz答（）（A ）y z x -64 （B ）zy x64- （C ）y z y +64 （D ）yz y-643、平面0D Cz By Ax =+++过y 轴，则答（）（A ）A=D=0 （B ）B=0，0D ≠ （C ）0D ,0B == （D ）C=D=04、设u =(0,0)ux∂=∂ 答（）（A ）等于0 （B ）不存在（C ）等于1- （D ）等于15、极限 00s i n l i mx y xyx→→= 答（）（A ）不存在（B ）1 （C ）0 （D ）∞二、填空题1、设函数)ln(sin 22y x y z +=，则=∂∂yz2、改变积分⎰⎰e x dy y x f dx1ln 0),(的积分次序，⎰⎰e x dy y x f dx 1ln 0),( =3、积分=+⎰-112)25(dx x x4、函数ln()arcsinyz y x x=-+ 的定义域为 5、曲线段 3223y x =(38)x ≤≤的弧长s =三、解答下列各题 1、求微分方程 y y dxdyx ln = 的通解。

2、计算二重积分：⎰⎰+Dd y x σ)23(，其中D 是由曲线2x y =及直线y=1所围成的区域。

3、判别级数∑∞=+132n nn 的敛散性。

4、设),(2zy y x f u =，其中f 为可微函数，求,u uy x ∂∂∂∂。

5、计算定积分 2sin x xdx π⎰6、求过点(0,1,2)M -且平行于直线113211x y z -+-==-的直线方程。

大学高数下试题及答案

大学高数下试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 设函数f(x)=x^3-3x^2+2x，求f'(x)的值。

A. 3x^2-6x+2B. x^3-3x^2+2C. 3x^2-6xD. 3x^2-6x+2答案：A2. 计算定积分∫(0到1) x dx。

A. 1/2B. 0C. 1D. 2答案：A3. 已知级数∑(从n=1到∞) 1/n^2 收敛，那么级数∑(从n=1到∞) 1/n 收敛吗？A. 收敛B. 发散C. 不确定D. 收敛于0答案：B4. 以下哪个选项是函数y=e^x的反函数？A. y=ln(x)B. y=e^(-x)C. y=x^eD. y=e^x答案：A5. 设函数f(x)=x^2+2x+1，求f(x)的极值点。

A. x=-1B. x=1C. x=0D. 无极值点答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的拐点是______。

答案：x=1, 22. 求极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值为______。

答案：13. 计算二重积分∬(从0到1, 从0到x) xy dA的值为______。

答案：1/64. 已知函数f(x)在点x=a处可导，且f'(a)=3，那么曲线y=f(x)在点(a, f(a))处的切线斜率为______。

答案：35. 计算定积分∫(从0到π) sin(x) dx的值为______。

答案：2三、解答题（共60分）1. （10分）求函数y=x^2-4x+3在区间[1,3]上的最大值和最小值。

答案：函数y=x^2-4x+3的导数为y'=2x-4。

令y'=0，解得x=2，即在x=2处可能存在极值。

计算f(1)=0，f(2)=-1，f(3)=0，因此最小值为-1，最大值为0。

2. （15分）计算级数∑(从n=1到∞) (1/n - 1/(n+1))的和。

答案：级数∑(从n=1到∞) (1/n - 1/(n+1))是一个望远镜级数，其和为1。

高等数学下册试题题库及参考答案

高等数学下册试题库一、选择题（每题4分，共20分）1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量AB 的模是：（ A ）A ）5B ） 3C ） 6D ）9解 AB ={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}，||=5)1(20222=-++.2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ）A ）{-1,1,5}.B ） {-1,-1,5}.C ） {1,-1,5}.D ）{-1,-1,6}.解 (1) c =3a -2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}.3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1, -2}，求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b ; （ A ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k解c ={-1,-2,5}=-i -2j +5k .4. 求两平面032=--+z y x 和52=+++z y x 的夹角是：（C ）A ）2πB ）4π C ）3π D ）π 解由公式（6-21）有21112)1(211)1(1221c o s 2222222121=++⋅-++⨯-+⨯+⨯=⋅⋅=n n n n α，因此，所求夹角321arccos πα==．5. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（D ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0 C ）x+y+1=0 D ）01=-+y x ．解由于平面平行于z轴，因此可设这平面的方程为因为平面过1M 、2M 两点，所以有解得D B D A -=-=,，以此代入所设方程并约去)0(≠D D ，便得到所求的平面方程6．微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是( D )。

华工大高等数学下2008级含+答案

高等数学下册试卷2009．7．1姓名：学院与专业：学号：一、填空题[共24分]1、[4分]函数(),f x y 在点(),x y 处可微是它在该点偏导数z x ∂∂与zy∂∂连续的必要条件（填必要、充分或充要），又是它在该点有方向导数的充分条件（填必要、充分或充要）2、[4分]向量场()2cos xy A e i xy j xz k =++ 的散度为()sin 2xy ye x xy xy -+.向量场()()()2332B z y i x z j y x k =-+-+-的旋度为{}2,4,6.3、[4分] ]设()(),,,z f x xy f u v =有连续偏导数，则dz =()122f yf dx xf dy ++ 4、[4分] 交换二次积分的积分次序()2220,y y dy f x y dx =⎰⎰()402,x f x y dy ⎰5、[4分]设曲面∑为柱面221x y +=介于平面0z =与1z =部分的外侧，则曲面积分()22x y dxdy ∑+=⎰⎰ 0 ，()22x y dS ∑+=⎰⎰2π6、设()3322,339,0f x y x y x y x x =-++->，则它有极小值()1,05f =-二、[8分] 设ze xyz =，求22zx∂∂解：两边取微分，得z e dz xydz xzdy yzdx =++,z z xzdy yzdx yzdx xzdye dz xydz xzdy yzdx dz e xy xyz xy++-=+==--从而z z x xz x ∂=∂-，()()222211z z xz x z z x z z z x x x x x x xz x x z ∂∂⎛⎫--+- ⎪∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎝⎭=== ⎪ ⎪∂∂∂∂-⎝⎭⎝⎭-()()()()()()()22222322332222211221111z z z z x z z x z z z z x z z z z z x x x z x z x z x z ∂--------∂--∂====∂---- 三、[7分] 设长方形的长x 、宽y 、高z 满足1111x y z++=，求体积最小的长方体。

2006-2007高数下(8学分)期末试题A及解答

华东理工大学2006-2007学年高等数学下(8学分)期末考试试卷A 2007.7一. 填空题(每小题4分, 共36分) 1.微分方程22x x e xy y -=+'满足初始条件0)0(=y 的特解为y =____________. 2.微分方程09)4(=''+y y 的通解为y =________________.3.1||||==b a , a 与b 夹角等于3π, 则|32|b a -=_____________.4.过直线⎩⎨⎧=-=+21:z y y x L 且平行于}4,1,2{--=l 的平面方程是____________5.设),4()(2)4(t e t f t F -+=, 其中1),(C y x f ∈且有a f =-)1,2(及b f =-')1,2(1, c f =-')1,2(2, 则)0(F '=______________6.设函数),(y x z z =由方程xz xy e z y x -=-+32确定, 则)0,0(dz =_____________.7.σd y x y x y x ⎰⎰≤++++12222222)(1)(=______________.8.广义积分dx x x ⎰+∞+1)1(1=_______________. 9.极坐标系下心脏线)cos 1(2ϑρ+=所围成区域D 的面积为A =_______________.二. 选择题(每小题4分, 共32分)1.椭圆122≤+y x 绕x 轴和y 轴旋转所得的体积分别是上x V 和y V , 则 ( ) (A)y x V V 49=; (B)y x V V 32=; (C)y x V V 94=; (D)y x V V 23=.2.函数Cx y =是微分方程032=+'-''y y x y x 的 ( ) (A)通解; (B)特解; (C)是解, 但既不是通解, 也不是特解; (D)以上都不对.3.若a 与b不平行, 且μλ≠, 则b a λ+与b a μ+ ( ) (A)必不平行; (B)模不相等; (C)必不垂直(正交); (D)不排除有平行的可能性; 4.“函数),(y x f 在),(00y x 点两个一阶偏导数都存在”是“函数),(y x f 在),(00y x 点可微”的 ( ) (A)充分条件, 但不是必要条件; (B)必要条件, 但不是充分条件;(C)必要条件; (D)既不是充分条件, 也不是必要条件.5.设2C f ∈, ),,2(xz z y y x f u -+=, 则yx u∂∂∂2= ( )(A)131122f z f ''+''; (B)23131122f z f z f ''+''+''; (C)2313121122f z f z f f ''+''+''+''; (D)23131211222f z f z f f ''+''+''+'' 6.C f ∈, 则⎰⎰ϑϑπρρρρϑρϑcos 2sec 40)sin ,cos (d f d = ( )(A)⎰⎰--111102),(y dx y x f dy ; (B)⎰⎰-22121),(x x dy y x f dx ; (C)⎰⎰-22020),(x x dy y x f dx ; (D)⎰⎰-+211110),(y dx y x f dy .7.下列极限中等于0的是 ( ) (A)dx e n nn xn ⎰+∞→12lim ; (B)dx e n nn xn ⎰+∞→12lim ; (C)dx e n nn xn ⎰+∞→12lim ; (D)dx e n nn xn ⎰+∞→1222lim .8.边际成本等于边际收益是利润最大的 ( )(A)充要条件; (B)充分条件, 非必要条件;(C)必要条件, 非充分条件; (D)既不是必要条件, 也不是充分条件.三. (本题8分) 微分方程y y y y ''='+''2)(2满足初始条件2)0(=y , 3)0(='y 的特解.四. (本题8分)求曲线⎩⎨⎧-=++=++3zx yz xy z y x L ：上的点P , 使L 在点P 处的切线平行与平面0=-+z y x .五. (本题8分) 利用夹逼性准则求极限)332211(lim 2222nn nn n n n n n n n ++++++++++++∞→ . 六. (本题8分)求有二阶连续导数的函数)0)((>t t f , 使)(22y x f u +=满足12222=∂∂+∂∂y ux u .华东理工大学2006-2007学年第二学期《高等数学（下）》课程期终考试试卷参考答案与评分标准一．填空题（每小题4分，共36分）1.)1e (e2--x x 2.x C x C x C C 3sin 3cos 4321+++ 3.7 4. 123=++z y x5. )8(3c b a - 6. y xd 20d 1+ 7. )122(3-π8. 2ln 9. π6二．选择题（每小题4分，共32分）：8.C. 7.C; 6.D; 5.B; B; 4.A; 3.; C 2.; 1.D三．以y p '=为新未知函数，暂以y 为新自变量，原方程可化为 p ypy 2d d )1(=----(2分)解得 21)1(-=y C p ------------------------------------------------（2分）由32==y p可得31=C ---------------------------------------------------------------------------（1分）由2)1(3-='y y 解得x C y 3112-=----------------------------------------------------------（2分）根据条件2)0(=y 可得12=C ，即x y 3111-=-或xxy 3132--=------------------------（1分）四．因为{}1,1,11=→n ，{}y x x z z y n +++=→,,2，所以切向量为 {}y x x z z y n n t ---=⨯=→→→,,21 --------------------------（ 3分）{}{}y x y x x z z y l t lt =⇒=-⋅---⇒=⋅⇒⊥→→→→1,1,1.,0 ------------(3分)代入原曲线方程（组）得⎩⎨⎧-=+=+32,022zx x z x 解得)2,1,1(1-=P 和)2,1,1(2--=P -------（2分）五．（本题8分）记kn kn b k ++=2，n k ,,3,2,1 =，并记n n b b b a +++= 21，适当放大缩小可得11122++≤≤++=n n n b n n n n k ，n k ,,3,2,1 =, 所以 n k n Q n n n n a n n P =⎪⎪⎭⎫⎝⎛++≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=112----------------------------------------------------（5分）而1lim lim ==∞→∞→n n n n Q P ，根据夹逼准则可得1lim =∞→k n a -------------------------------------（3分）六．（本题8分）记22y x t +=，则有)(t f u =，所以tx t f x u ⋅'=∂∂)(，t y t f y u⋅'=∂∂)(-------------------------------（1分） 322222)()(ty t f t x t f x u ⋅'+⋅''=∂∂，322222)()(t x t f t y t f y u ⋅'+⋅''=∂∂---------（2分）原方程可化为 1)(1)(='+''t f tt f ---------------------------------------------------------（1分）以)(t f p '=为新的未知函数，仍然以x 为自变量，得到新方程为11=+'p tp ------------------------------------------------（2分）解得t C t p t f 121)(+=='，从而有212ln 21)(C t C t t f ++=--------------------------（2分）。

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6、设是一空间有界区域，其边界曲面
是由有限块分片光滑的曲面所组成，如果
函数 P( x, y, z) ， Q ( x, y, z) ， R(x, y, z) 在上具有一阶连续偏导数，则三重积分与
第二型曲面积分之间有关系式：
式称为
公式。
7、微分方程 y 6 y 9 y x2 6 x 9 的特解可设为 y*
dx dx
（ C）方程 ( x 2 2xy 3) dx ( y2 3 x 2 y 2 ) dy 0 是全微分方程；
（ D）方程 dy
1x
2y
是伯努利方程。
dx 2 x
7、已知曲线 y y(x) 经过原点，且在原点处的切线与直线 2x y 6 0 平行，而 y(x)
满足微分方程 y 2 y 5 y 0 ，则曲线的方程为 y （
6
高等数学（下册）试卷（三）
一、填空题（每小题 3 分，共计 24 分）
1、设 u
yz et2 dt ，则 u
。
xz
z
2、函数 f ( x, y) xy sin( x 2 y) 在点（ 0， 0）处沿 l (1,2) 的方向导数
f
l (0 ,0 ) =
。
3 、设为曲面 z 1 x2
y2 ,z
2a cos
r
4a 2
r 2 dr ；
0
（C） 8 2 d 0
2a cos
r
4a 2
r 2 dr ；
0
（D） 2 d
2
2 a cos
r
4a 2
0
r 2 dr 。
5、设有界闭区域 D 由分段光滑曲线 L 所围成， L 取正向，函数 P( x, y), Q ( x, y) 在 D

高等数学下册试题及参考答案

高等数学下册试题(题库)及参考答案(总21页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--高等数学下册试题库一、选择题（每题4分，共20分）1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是：（ A ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9解 AB ={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}，|AB |=5)1(20222=-++. 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ）A ）{-1,1,5}.B ） {-1,-1,5}.C ） {1,-1,5}.D ）{-1,-1,6}.解 (1) c =3a -2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}.3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1, -2}，求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b ; （ A ）A ）-i -2j +5kB ）-i -j +3kC ）-i -j +5kD ）-2i -j +5k解c ={-1,-2,5}=-i -2j +5k .4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（C ）A ）2πB ）4πC ）3π D ）π 解由公式（6-21）有21112)1(211)1(1221cos 2222222121=++⋅-++⨯-+⨯+⨯=⋅⋅=n n n n α，因此，所求夹角321arccosπα==．5. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（D ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0 C ）x+y+1=0 D ）01=-+y x ．解由于平面平行于z 轴，因此可设这平面的方程为 0=++D By Ax 因为平面过1M 、2M 两点，所以有⎩⎨⎧=+-=+020D B A D A解得D B D A -=-=,，以此代入所设方程并约去)0(≠D D ，便得到所求的平面方程01=-+y x6．微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是( D )。

高等数学下册试题题库及参考答案

高等数学下册试题库一、选择题（每题4分，共20分）1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量的模是：（ A ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9解 AB ={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}，||=5)1(20222=-++. 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ）A ）{-1,1,5}.B ） {-1,-1,5}.C ） {1,-1,5}.D ）{-1,-1,6}.解 (1) c =3a -2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}.3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1, -2}，求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b ; （ A ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k解c ={-1,-2,5}=-i -2j +5k .4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（C ）A ）2πB ）4πC ）3π D ）π 解由公式（6-21）有21112)1(211)1(1221c o s 2222222121=++⋅-++⨯-+⨯+⨯=⋅⋅=n n n n α，因此，所求夹角321arccos πα==．5. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（D ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0 C ）x+y+1=0 D ）01=-+y x ．解由于平面平行于z 轴，因此可设这平面的方程为 0=++D By Ax 因为平面过1M 、2M 两点，所以有⎩⎨⎧=+-=+020D B A D A解得D B D A -=-=,，以此代入所设方程并约去)0(≠D D ，便得到所求的平面方程01=-+y x6．微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是( D )。