由一道高考题引发的研究性学习

Ｙｔ Ｙ — — — ｚ
ａ
生。 出问题 １将原题 的椭 圆方程一般 化后 ， 论 提 ： 结
是 否仍 成 立 ？
２
…
Ｚ ｏ ２ｂ ｋ ０ ６ Ｙ 一 ｘ ｋ ｙ ＋ ｘ ＋ ｏ ４ｂ ｋ ｏ
ｎ ＋ ６
・ ・ ・
一ｎ ｋ ＋ｂ ’
２
＝
问题 １ 设 Ａ是 椭 圆 Ｃ ： ＋ ＝１ ａ ｂ Ｏ 上 的 一 。 （＞＞ ）
课堂上在原题再 现 （ 篇幅所 限， 后 ， 生似乎 意 略） 学 犹 未尽 ， 为此 ， 趁热打铁 ， 让同学 们分组合作 ， 积极 思考 ， 并提 出各 自的问题．
一
０ 后 ＋６
一
一 口 ＋６ ’
ａ
２ ０ ２ ｘ ＋ ０ ｋ Ｙ — ｂ ｋ ０ ６ Ｙ
－
“ ｏ
为定值・
ａ Ｙｏ
个定点 ， Ｆ是椭 圆 Ｃ Ｅ， 上 的两 个动点 ， 直线 Ａ 若 Ｅ的斜 率与直线 Ａ Ｆ的斜率互为相反数 ， 则直线 Ｅ Ｆ的斜率是否
一
最后将上述探究结果整理得到如下结论 ：
结论１ 设ａｘ， ） ０是椭圆Ｃ： ＋ １ （ Ｙ（ ） 。 ｏ ≠ 。 告＝
・ ‘
结论２ 设Ａ％， ）ｙ ０是双曲线Ｃ： 告： （ ｙ （≠ ） ０ ０ 一
１ ａ Ｏ ｂ Ｏ 上的一 个定点 ， ， （ ＞ ，＞ ） Ｅ Ｆ是 双曲线 Ｃ 上 的两个 ： 动点 ， 若直线 Ａ Ｅ的斜率 与直线 Ａ Ｆ的斜率 互为相反 数 ，
．
（ ，ｏ ， （ 。Ｙ） 椭 圆 Ｃ 上 ， Ｙ ） Ｅ ｘ ，。在
析几何 的基本思 想方 法． 题的解答并 不 困难 ， 其 进 本 对
行适 当的探究 ， 既可 以让学 生达到深 化认 识 ， 一反 三 举 的 目的 ， 又可 以激发 学生 的数学学 习兴趣 ， 养成 独立 思 考， 积极 探索 的习惯． 这也 正是我们 选择其作 为圆锥 曲
线 背 景 下 的 定 值 问 题 进 行探 究 的 出发 点． １ 推 广 探 究
．Leabharlann 郑 明武 ・ ．．
，
为方程①的两个实根 ，
～
’
了一次 富有成效 的研究性学 习， 现将 探究过程 和结 果整
理后奉 献给大家 ， 希望对广大读者有所启示和帮助．
原题
１
二
・
・
＋Ｘｏ —
２ （ ｏ ） ａｋ Ｙ一
，
一
２ａ
— ＿
＋ 。 ｏ ｎ ｋ 一ｂ
ａＹ ｏ
再考虑一般情形 ， 即若点 Ａ是 椭圆 Ｃ 上不 同于 长 。 轴端 点 的 一个 定点 ， 可设 Ａ， ， Ｅ Ｆ三 点 的 坐标 分 别 为 ａ ｘ ，ｏ （ｏ ） Ｅ ｘ ，。 ， （ ，２ ， （。Ｙ ） Ｙ ≠０ ， （ ，Ｙ ） Ｆ Ｙ ） 直线 Ａ Ｅ的斜 率
为 ｋ则 直 线 Ａ 的方 程 为 一 ＝ （ － 。 ， ｙ ｋ＋ Ｙ一 ， Ｅ ｋ Ｘ ． ） 即 ＝ ｘ （ 。 ￣
同理 可 得 Ｆ点 坐标 为
２ 。 口
，
一
＋ 口
一
一 ｏ 一 ｙ 十 ６ 。 。 ２６
十 、 ６
ａ
： ＋２ 一 ’ ｋｂ ２。 一一 ： ： 一 ．
一
２ ｙ ＋ ０ ｏ ａ ｋ ０ ｎ ｋ 一ｂ
— －
‘
・ －
： —
２口 。
＋０ 。 ０ 一 ｂ ０ —４ 。 ａ
生， 提出问题 ２ 将结论 １中的椭圆换成双曲线或抛 ：
物线后 ， 结论是否仍成立？
由于椭 圆与双曲线都是 有心圆锥 曲线 ， 以很快学 所
生仿照问题 １ 的探究得到 了如下的结论 ．
ｋ。 ， ｘ ） 代入椭 圆 ｃ 方程并消去 Ｙ 。 得
（ ６）２２ （ｏ ０ｘ ａ （０ ０ 一 ２ ＝ ． ｎ七＋ Ｘ＋ ａｋ ｙ一 ）＋ １一 ） ａｂ ０ ｙ ①
斜率与 Ａ Ｆ的斜 率 互 为 相 反 数 ， 明 ： 线 Ｅ 的斜 率 为 证 直 ， 定 值．
） ： 。 （， ） － ２２ ２ｂ ｋ ｏ＋ｂ ｙ ， ＋ ）一 。 ｏ ：— ｋ ｙ － ｘ ： ｏ ａ ｏ ￣
— 一
广
，
Ｅ点 坐标 为
，一
—
２ Ｚ ＋ ａｋｏ。
—
十・擞 ・ （ ｌ － 期． 中 ） ？ ７ ２ｏ ｇ ｏ ＃ ６ 高 版
． 复习参考 ．
由 一 道 高 考 题 引 发 酌 研 究 牲 学 习
４ ０ ６ 湖北 省武 昌实验 中学 湛 凤高 ３０ １
在最近 的高三 专题 复 习课上 ， 我们 以 ２０ ０９年 辽宁 卷的理科第 ２ Ｏ题 （ 文科第 ２ ２题 ） 为例 ， 和学 生一起 进行
．
复习参考 ．
ｏ
．
十’擞 。 （ １年 期・ 中 ） ？ ７ ２ ０ 第６ 高 版 ０
ａ ／ 十 Ｄ ｇ ．
‘ －
・
’２ ０ （ ０ ９年 辽 宁 ） 知 椭 圆 Ｃ 经 过 点 Ａ（ ， 已 １
—
广
，
÷ ） 两个焦点为（ １０ ， １０ ． ， 一 ， ） （ ，）
（Ｉ） 求椭 圆 Ｃ的方程 ； （ Ｅ， Ⅱ） Ｆ是椭圆 Ｃ上的两个 动点 ， 如果直线 Ａ Ｅ的
（ ＞ ＞ ） 的 一 个 定 点 ， ，是 椭 圆 Ｃ 上 的 两 个 动 点 ， ｎ６Ｏ 上 Ｅ， 。
定为定值？ 探究 先 从 特 殊 情 形 出发 ， 若 点 Ａ是 椭 圆 Ｃ 即 长
轴 的一个端点 ， Ｅ Ｆ关 于 轴对称 ， 则 ， 直线 的斜 率不 存在．
若直线 Ａ Ｅ的斜率与直线 Ａ Ｆ的斜率互 为相反数 ， 则直线 Ｅ Ｆ的斜率为定值 ．
一 ｂ‰
～
一 ｏ ２ｂ ｋ ｏ Ｙ Ⅱ ｋ Ｙ 一 ｘ ＋ ｏ
、
’ — —
广
‘
’ ．
’
ｋ ＝一 ＾ ＾ ｋ ，，
本题考查 了椭 圆的标准 方程和几何性质 ， 以及直 线 与椭圆的位置关 系的知识 ， 查曲线 和方程 的关系等 解 考
・
．
．
直线 Ａ Ｆ的斜 率 为 一 ， 程 为 方 ） ＝ ｋ 一 ０ ， ， 一 － （ ）