物理学 第五版 5-6+静电场的环路定理+电势能
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静电场的环路定理
静电场的环路定理物理学第五版一、静电场力所做的功0d d A q E l=⋅l rrεqq d ˆπ4200⋅=020d d 4πqq A r εr= 点电荷的电场qq Ar ABBr Errˆl d θrd r θl l rd cos d d ˆ==⋅物理学第五版20d 4πBAr r qq r A εr=⎰)11(π400BA r r εqq -=结论: A 仅与q 0的始末位置有关，与路径无关20d d 4πqq A r εr=qq Ar ABBr Errˆl d θrd物理学第五版任意带电体的电场∑=iiE E 0d lA q E l =⋅⎰⎰∑⋅=li ilE qd 0结论：静电场力做功，与路径无关。
静电场力是保守力。
（点电荷的组合）++=+⋅+⋅=⎰⎰212010A A l d E q l d E q baba物理学第五版二、静电场的环路定理⎰⎰⋅=⋅ADCABCl E q l E qd d 000)d d (0=⋅+⋅⎰⎰CDAABCl E l E qd =⋅⎰ll E静电场是保守场结论：沿闭合路径一周，电场力作功为零.EABCD物理学第五版静电场的环流定理反映了静电场的一个重要性质。
它说明静电场是保守场（无旋场），可以引入势的概念，所以也叫势场。
根据斯托克斯公式s d E l d E ls⋅⨯∇=⋅⎰⎰)(0=⨯∇E静电场的旋度为零，静电场是无旋场物理学第五版例：用环流定理证明“静电场电力线不会闭合”。
证：用反证法证明：先假设电力线形成闭合线，则以此闭合线为路径应用环流定理El⎰⎰⎰>==⋅lEdl Edl l d E 0cos 0与 ⎰=⋅ll d E 0相矛盾说明：假设不正确，静电场的电力线不会闭合物理学第五版例：证明非无限大平行板电容器电力线不可能只分布内部。
带电平行板电容器的电场线+ + + + + + + + + + + + +- - - - - - - - - - - - -物理学第五版+ + + + + + + + + + + + +- - - - - - - - - - - - - 证：用反证法，假设外部 0=E 如图作一闭合回路 ⎰=⋅ll d E⎰⎰⎰⎰⋅+⋅+⋅+⋅DACD AB BC l d E l d E l d E l d E EL =与 ⎰=⋅l l d E 0相矛盾，A B CD说明：假设不正确。
电势
l
i l
结论：静电场力做功与路径无关.
§5-6 静电场的环路定理 二 静电场的环路定理
电势能
q0 E dl q0 E dl
A1B A2 B
1
B
2
q0 ( E dl E dl ) 0
A1B B2 A
A
E
E dl 0
§5-6 静电场的环路定理 一 静电场力所做的功 点电荷的电场
电势能
dW q0 E dl
er dl dl cos
qq0 e dl 2 r 4 π 0 r
B dl dr E rB
dr
r
q
rA
A
qq0 dW dr 2 4π 0r
x 0，V0
q
o
x
q 2 2 12 4π 0 (x R )
§5-7 Eg.2
电势
均匀带电薄圆盘轴线上的电势
dr
o r
dq 2 π rdr
x r
2 2
R
x
R
P
x
1 VP 4π 0
x R
( x 2 R 2 x) 0 x 2 r 2 2 0 2 R V q 4 π 0 x 2 2 x R x （点电荷电势） 2x
B
A dl
E cos El
U AB VA VB dV
dV dV El dl ， l E dl
El E
V dV
V
§5-8 电场强度与电势梯度
dV El dl
电场中某一点的电场强度沿某一方向的分量，等于 这一点的电势沿该方向单位长度上电势变化率的负值.
i l
结论：静电场力做功与路径无关.
§5-6 静电场的环路定理 二 静电场的环路定理
电势能
q0 E dl q0 E dl
A1B A2 B
1
B
2
q0 ( E dl E dl ) 0
A1B B2 A
A
E
E dl 0
§5-6 静电场的环路定理 一 静电场力所做的功 点电荷的电场
电势能
dW q0 E dl
er dl dl cos
qq0 e dl 2 r 4 π 0 r
B dl dr E rB
dr
r
q
rA
A
qq0 dW dr 2 4π 0r
x 0，V0
q
o
x
q 2 2 12 4π 0 (x R )
§5-7 Eg.2
电势
均匀带电薄圆盘轴线上的电势
dr
o r
dq 2 π rdr
x r
2 2
R
x
R
P
x
1 VP 4π 0
x R
( x 2 R 2 x) 0 x 2 r 2 2 0 2 R V q 4 π 0 x 2 2 x R x （点电荷电势） 2x
B
A dl
E cos El
U AB VA VB dV
dV dV El dl ， l E dl
El E
V dV
V
§5-8 电场强度与电势梯度
dV El dl
电场中某一点的电场强度沿某一方向的分量，等于 这一点的电势沿该方向单位长度上电势变化率的负值.
高等物理静电场环路定理
a
a 20
V Edl Edr pp
p
R
z
1q
y
4 0 r
xz
2 ) 定义法:
1
Vp
4 0r
dq
q
qx
x 40(R2x2)3/2dx
q 4
0
1 (R2 x2)1/2
x
o q
4 0 R2 x2
特例:
★若x = 0，
得：Vp
q
40R
W A B q 0 A B E d l E p A E p B ( E p B E p A )
试探电荷q o 在电场中某一点的静电势能在数值上等于 把试探电荷q o 由该点移到零势能点静电力所作的功。 若选 B 点为电势能零点，则
B
E P A q 0A E d l q 0A B E d l
E内 0
p
R
q
z
x
z
4 0 R2 x2
V 0
场强分布
电势分布
q
例题2均匀带电球面内外的电势分布。带电量为Q，球面半径为R
。
解∶由高斯定理得：
p
E外
1 4 0
Q r2
1 V
40
dV
r
1）对球内的一点P，其电势为:
r
r dWFdlq0Edl
Q
p
VEdr drrC
q0Q
1 (1)
20 20
4 0 r ra
2、电势、电势差 ：
V dV （1）、定义：
电势的物理意义：
电势能 电势
o c. 均匀带电圆平面（σ, R）轴线上V 分布？ ∞ Ⅰ法 叠加法
取均匀带电细圆环( r,d r ) 利用上例结论积分
R
b. x R “点电荷”
x
( x 2 r 2 )1/ 2
P
r
dr
o
x
x
Ⅱ法 线积分法
利用P.160例2结论 ， 选 x 轴为积分路径
[例2] 真空中有一电荷为Q，半径为R的均匀带 电球面. 试求 (1) 球面外两点间的电势差; (2) 球 面内两点间的电势差; (3) 球面外任意点的电势 ; (4) 球面内任意点的电势.
V Ex x
V Ey y
V Ez z
梯度
V V V E （ i j k ) (grad)V V x y z — 电势梯度 梯度算符 i j k
x y z
注 a. 式中V 为所求点相关区域空间分布函数， 而非所求点V 值 b. V 与E 本质 —— 微积分关系 V — E 的空间累积效应（线积分） E — V 的空间变化率（方向导数）
q dl 任取点电荷 dq o 2R dq dV 4πε0 r 积分中：r与d q 选取无关 常量
P
x
x
b. 线积分法
利用P.159例1结论 积分路径 P
x轴
无穷远
讨论 结论
V
q 4πε0 x R
2 2
（记住）
q 4 πε0 R
V
q 4πε0 x 2 R 2
a. 比较上述两种方法的区别
9－6
一. 电势
电势
定义： V E pA 、 A q0
一般取V∞= 0 (场源电荷作有限分布 )
取均匀带电细圆环( r,d r ) 利用上例结论积分
R
b. x R “点电荷”
x
( x 2 r 2 )1/ 2
P
r
dr
o
x
x
Ⅱ法 线积分法
利用P.160例2结论 ， 选 x 轴为积分路径
[例2] 真空中有一电荷为Q，半径为R的均匀带 电球面. 试求 (1) 球面外两点间的电势差; (2) 球 面内两点间的电势差; (3) 球面外任意点的电势 ; (4) 球面内任意点的电势.
V Ex x
V Ey y
V Ez z
梯度
V V V E （ i j k ) (grad)V V x y z — 电势梯度 梯度算符 i j k
x y z
注 a. 式中V 为所求点相关区域空间分布函数， 而非所求点V 值 b. V 与E 本质 —— 微积分关系 V — E 的空间累积效应（线积分） E — V 的空间变化率（方向导数）
q dl 任取点电荷 dq o 2R dq dV 4πε0 r 积分中：r与d q 选取无关 常量
P
x
x
b. 线积分法
利用P.159例1结论 积分路径 P
x轴
无穷远
讨论 结论
V
q 4πε0 x R
2 2
（记住）
q 4 πε0 R
V
q 4πε0 x 2 R 2
a. 比较上述两种方法的区别
9－6
一. 电势
电势
定义： V E pA 、 A q0
一般取V∞= 0 (场源电荷作有限分布 )
第10讲 静电场的环路定理 静电场力的功 电势能
W W o W 28.8 10 7 J 0
电场力作功等于电势能增量的负值！
电势能
例题2 如图已知+q 、-q、R。求： ①单位正电荷沿odc 移至c ，电场力所作的功。 ②将单位负电荷由∞移到 o 点电场力所作的功。
d
解：① 由对称性知
Uo 0
a
q
o
b q
c
0
rR
U r E dl E dl
R r R
q
rR
P1
q r 0
2
0
4
R
q
0
r
2
dr
Ur
4
r
dr
P2
q 4 0 R
q 4 0 r
例题5 L长一节同轴圆柱面，内外半径RA 、RB，均匀 带电等量异号。①求电场分布； ②若UAB = 450V，求电荷线密度λ＝？ 解： 由高斯定理
xp
y
qxdx
2 3 2
xp
4 0 ( x R )
2
z
q 4 0 R x
2 2
R
x
□
O
例题4 求均匀带电球面电场中电势的分布，已知R,q.
q
解：由高斯定理求出场强分布 E
由定义 U p E dl
P
4 0 r
2
rR rR
U 最小
r U r
U 最大
以q为球心的同一球面上各点的电势相等。
② 电势叠加原理 若场源为q1 、q2 qn构成的点电荷系，则场中任一点 的电势等于各点电荷单独存在时在该点电势的代数和。
电场力作功等于电势能增量的负值！
电势能
例题2 如图已知+q 、-q、R。求： ①单位正电荷沿odc 移至c ，电场力所作的功。 ②将单位负电荷由∞移到 o 点电场力所作的功。
d
解：① 由对称性知
Uo 0
a
q
o
b q
c
0
rR
U r E dl E dl
R r R
q
rR
P1
q r 0
2
0
4
R
q
0
r
2
dr
Ur
4
r
dr
P2
q 4 0 R
q 4 0 r
例题5 L长一节同轴圆柱面，内外半径RA 、RB，均匀 带电等量异号。①求电场分布； ②若UAB = 450V，求电荷线密度λ＝？ 解： 由高斯定理
xp
y
qxdx
2 3 2
xp
4 0 ( x R )
2
z
q 4 0 R x
2 2
R
x
□
O
例题4 求均匀带电球面电场中电势的分布，已知R,q.
q
解：由高斯定理求出场强分布 E
由定义 U p E dl
P
4 0 r
2
rR rR
U 最小
r U r
U 最大
以q为球心的同一球面上各点的电势相等。
② 电势叠加原理 若场源为q1 、q2 qn构成的点电荷系，则场中任一点 的电势等于各点电荷单独存在时在该点电势的代数和。
(完整版)静电场环路定理电势
E dl
p
q1
r1
E2
q2
r2 P
E1
p (E1 E2 ) dl
q1 dr
r1 4 0r 2
q2 dr
r2 4 0r 2
q1 q2
40r1 40r2
对n 个点电荷
n
u
qi
i1 40ri
• 在点电荷系产生的电场中，某点的电势是各个点电荷单独存 在时，在该点产生的电势的代数和。这称为电势叠加原理。
ua
Aa"0" q0
"0" E dl
a
中电场力作的 功。
• 电势的理解： 1.电势是标量，电势的正负由电势零点的选取而定
如 q
若 U 0
a Ob
则Ua E dl 0
a
Ub E dl 0
b
若 U0 0
0
则Ua E dl 0
a
0
Ub E dl 0
b
2. 电势的单位：伏。
1) rc
c qE dl
a
a qQ
40
(1 ra
1 rc
)
两点的电势能差：
Wa Wb
b qE dl
(1 1)
a
40 ra rb
§10.5 电势 电势差
a点电势在量值 上等于：将单
一. 电势（电势是从能的角度来描述电场分布的物理量） 位正电荷
a“零”过程
• 电势定义
ua
Wa q0
对连续分布的带电体 u
dq
V 40r
——标量积分
三.电势的计算
（1） 已知电荷分布 u
dq
方法
静电场的环路定理、电势
R2
3
)2
=……
例3：求无限长均匀带电直线的电场中的电势 分布。
解：选取B点为电势零点，B点距带电直导 线为 rB 。
B B
U E dl
dr
p
p 2 0r
2 0 ln r 2 0 ln r0 2 0 ln r C
rp
Q rB B
☆当电荷分布扩展到无穷远时，电势零点不能 再选在无穷远处。
a
b
a
a、b两点的电势差等于将单位正电荷从a点移
到b时，电场力所做的功。
电势和电势能的区别：
电势是电场的属性，与试验电荷无关； 电势能是属于电荷和电场系统所共有。
注意:
1、电势是相对量，电势零点的选择是任意的。 对于有限带电体而言,电势零点的选择在无限 远点;对于仪器而言电势零点选择在底板上.
2、两点间的电势差与电势零点选择无关。
六、电势的计算
1、点电荷电场中的电势
q • r0
•P
距q为r（P点）的场强为
q
E 4 0r 2 r0
r
由电势定义得：uP
P
E • dl
q
r
4
0r
2
dr
q
4 0r
讨论：
➢大小
q 0 u 0 r u r u最小 q 0 u 0 r u r u最大
就等于把它从该点移到零势能处静电场力所作的功
五、电势、电势差
定义电势
ua
Wa q0
E dl
a
Wa q0 E dl
a
单位正电荷在该点 所具有的电势能
单位正电荷从该点到无穷远 点(电势零)电场力所作的功
定义电势差 ua ub
电场中任意两点 的 电势之差（电压）
静电场环路定理电势能
b
a
q0 E dl -Wb Wa Wa Wb
取无穷远为势能零点 W 0 则q0 在a点的电势能： Wa dl
注意：Wa 属于 q0 及 E 的系统
§5.7 电势
一. 电势
• 电势定义
Wa q0 E dl
a
rb
q
r
ra
q0
E
a
保守力
qq0 1 1 q0 dr 2 ra 4 0 r 4 0 ra rb q
（与路径无关）
推广：任意带电体系产生的电场中
Aab q0 ( E1 E2 En ) dl
b b q0 E1 dl q0 E2 dl q0 En dl a a a
dq
r
R O P
qx E 4 0 ( x 2 R 2 )3 / 2
1
x
x
u
P
1 qx E dl dx 2 2 3 / 2 x 4 ( x R ) 0
q 4 0
R
2
2
x
2 1/ 2 x
4 0 R r
q
2 1/ 2
在静电场中，沿闭合路径acbda移动q0，电场力作功
A F d l q 0 E dl 0
b
c
acb
q0 E dl q0 E dl
bda
q0 E dl q0 E dl 0 acb adb
a b
a
a、b两点的电势差在数值上等于将单位正电荷从a点移到 b点时，电场力所作的功。
56静电场的环路定理电势能
4πε0r
VA
1 4πε0
dq r
dq
r
A
17
四.电势的计算
4.1 从点电荷电势和电势叠加原理计算电势
点电荷的电势：
V V (r) q
4 0 r
+ q
dl
r
rP
a
有限大带电体，选无限远处电势为零.
18
点电荷系的电势
V
Vi
i
i
qi
40r i
电荷连续分布的带电体的电势
dV dq
4 0 r
令 VB 0
VA
E dl
AB
q0 A EVpA
B
EVpBB
E
10
Va
Epa q0
b
E dl
a
（任意路径）
➢ 电势决定产生电场的电荷，而与试验电荷 q0 无关。 ➢ 电势的大小与零电势的参考点选择有关。
11
电势零点的选取：
有限带电体以无穷远为电势零点，实际
问题中常选择地球电势为零.
VA
W q0
E dl 0
l
l E dl 0
B
C
DE
A
➢ 静电场是保守场。 ➢ 静电场中的电场线不闭合。
5
三 电势能
静电场是保守场，静 电场力是保守力. 静 电场力所做的功就等 于电荷电势能增量的 负值.
A EpA
WAB EpA EpB (EpB EpA )
电场力做正功，电势能减少.
解
dVP
1 4πε0
dq r
1
VP 4πε0r dq
dq
q
r
R
4πε0r q
xo x
VA
1 4πε0
dq r
dq
r
A
17
四.电势的计算
4.1 从点电荷电势和电势叠加原理计算电势
点电荷的电势：
V V (r) q
4 0 r
+ q
dl
r
rP
a
有限大带电体，选无限远处电势为零.
18
点电荷系的电势
V
Vi
i
i
qi
40r i
电荷连续分布的带电体的电势
dV dq
4 0 r
令 VB 0
VA
E dl
AB
q0 A EVpA
B
EVpBB
E
10
Va
Epa q0
b
E dl
a
（任意路径）
➢ 电势决定产生电场的电荷，而与试验电荷 q0 无关。 ➢ 电势的大小与零电势的参考点选择有关。
11
电势零点的选取：
有限带电体以无穷远为电势零点，实际
问题中常选择地球电势为零.
VA
W q0
E dl 0
l
l E dl 0
B
C
DE
A
➢ 静电场是保守场。 ➢ 静电场中的电场线不闭合。
5
三 电势能
静电场是保守场，静 电场力是保守力. 静 电场力所做的功就等 于电荷电势能增量的 负值.
A EpA
WAB EpA EpB (EpB EpA )
电场力做正功，电势能减少.
解
dVP
1 4πε0
dq r
1
VP 4πε0r dq
dq
q
r
R
4πε0r q
xo x
静电场环路定理电势能和电势.pptx
V
dV
1dq
Q440r0
r
Q
dq
Q
4 0 R2 x 2
(解毕 )
第23页/共43页
x a
x V (x) dr R o Qr
4 0R
o
x
课堂练习 求均匀带电园盘( R, σ )轴线上电势分布。
提示： 建立坐标系，取元，如图所示。
选∞处为电势零点，则：
dV 2dqrdr 4 0 r 2 x 2
q
r
r
r
4
q
0 r 2
dr
aq r
r 10V
E
8V 6V
V (r )
q
4 0r
( 球对称分布 )
等势面分布
第14页/共43页
课堂练习 求半径为R均匀带电 Q 的球面电势分布。
解 选∞处为电势零点，则：
V (r) r E dr
0
E(r) Q
4 0r 2
(r R) (r R)
r
4
即：电势 V 的叠加为标量叠加，而 叠加，后者运算较繁。
的叠加却为矢量
E
第13页/共43页
E
☻由于静电场的保守特性，
b
V与a积分路a 径E无 dr
关，可选取一合理的路径进行积分。
例 求点电荷 q 的电势分布。
解 选∞处为电势零点，则：
V (r)
E dr
E dr cos 0
(r (r)
R)
E
dr
R
E
dr
E dr
r
r
R
V (r) 0
Q
R 4 0r2
dr
cos
0
Q
静电场的环路定理 电势
E2
B
AAB q0
A i 1
n n qq 1 B 1 Ei dl qo Ei dl 0 i ( ) A rAi rBi i 1 4πε0 i 1
试探电荷在任何静电场中移动时, 电场力所做的功只与试探 3 电荷的电量及路径的起点和终点的位置有关, 而与路径无关 .
0
13
[ 例1] 均匀带电球面场中电势分布（
q ， R）
q
由高斯定理
o R
E
P r
E
E
0 qr 3 4 0 r
(r R) (r R)
r
o
R
令 V 0 沿径向积分 1 面外 2
r
qr dr V外 E 外 dr 3 4 0 r P r 1 4 0 r r q
AAB W (WB WA ) WA WB
若取 B点 : WB 0
AAB
B
A
B F dl q0 E dl
A
A WA
"0"
q0 在 A 点处的电势能：W A
AA"0" q0
A
E dl
1）电势能零点的选取是任意的, 一般视问题方便而定, 通常参 考点不同 ,电势能不同。对于有限带电体，一般选无限远为势 能零点 , 实际应用中或研究电路问题时常取大地、仪器外壳等 为势能零点；对于无限大带电体，常取有限远为势能零点； 2）电势能是属于系统的 (电场 + 试验电荷) 5
21
a
E dr
6
2、电势
WA q0
WA A q0
" 0"
2022-2023学年高二物理竞赛课件：静电场的环路定理和电势能
静电场的环路定理和电势 能
静电场的环路定理和电势能
一.电场力所作的功
试探电荷 q0在点电荷q 的电场中从点a移到点
b的过程中，静电场力所作的功为:
dA F dl qoE dl
a q0 F
b b
ra r
dl
Aab a qoE dl a qoE dlcos q
dl cos dr
解：由于是球对称场，在球
r
体内部和外部各作一半径为r
同心高斯球面,根据高斯定理
E dS E dS 4 r 2E
RQ
S
S
当场点在球体外时 当场点在球体内时
qi Q i
E1＝
4
Q
0r
2
rR
qi
i
Q
4 R3
4 r 3
3
Qr 3 R3
Байду номын сангаас
3
E2＝
4
Qr
0 R
3
rR
例 线电荷密度为λ,无限长均匀带电直线的电场强度.
称为电势差，也叫电压.
令 ub 0
ua E dl ab
3.说明:
◆电势是标量,有正负无方向,电势的叠加即求代数和;
◆ 电势零点选择方法：有限带电体以无穷远为电势零
点，实际问题中常选择地球电势为零.
ua E dl a
与电势零点选取有关
◆电势的物理意义： 把单位正试验电荷从点a移到无 穷远时，静电场力所作的功.
3）电势能属于系统(电荷与电场). 和人们从力的观点引入了E，用以描述电场
性质类似，人们希望从功、能的观点引入另外一 个描述电场性质的物理量。
因为电势能和电荷 q本0 身有关，所以不适合。
静电场的环路定理和电势能
一.电场力所作的功
试探电荷 q0在点电荷q 的电场中从点a移到点
b的过程中，静电场力所作的功为:
dA F dl qoE dl
a q0 F
b b
ra r
dl
Aab a qoE dl a qoE dlcos q
dl cos dr
解：由于是球对称场，在球
r
体内部和外部各作一半径为r
同心高斯球面,根据高斯定理
E dS E dS 4 r 2E
RQ
S
S
当场点在球体外时 当场点在球体内时
qi Q i
E1＝
4
Q
0r
2
rR
qi
i
Q
4 R3
4 r 3
3
Qr 3 R3
Байду номын сангаас
3
E2＝
4
Qr
0 R
3
rR
例 线电荷密度为λ,无限长均匀带电直线的电场强度.
称为电势差，也叫电压.
令 ub 0
ua E dl ab
3.说明:
◆电势是标量,有正负无方向,电势的叠加即求代数和;
◆ 电势零点选择方法：有限带电体以无穷远为电势零
点，实际问题中常选择地球电势为零.
ua E dl a
与电势零点选取有关
◆电势的物理意义： 把单位正试验电荷从点a移到无 穷远时，静电场力所作的功.
3）电势能属于系统(电荷与电场). 和人们从力的观点引入了E，用以描述电场
性质类似，人们希望从功、能的观点引入另外一 个描述电场性质的物理量。
因为电势能和电荷 q本0 身有关，所以不适合。
5.6 静电场的环路定理
r
dr
x
dq 2r dr
其在轴线上 p 点的电势为
dV
dq 40 (r x )
2 2
R 0 2
1
2
整个圆盘在 p 点的电势为
V dV
2r dr
2 1 2
40 (r x )
2 1 2
2 0
R 2
rdr (r x )
0
E Q er (r R)，E 0(r R) 2 40 r 1
用电势定义式计算
若r R，则V
r
E dl
Q 40 r
2
40 r R 若r R, 则V E dl E dl
r
r r
dr
若r R，V E dl r R E dl E dl
r R
R
Q 40 R Q
3
r
rdr Qr
2 3
Q 40 r Q 40 R
or
R
2
R
dr
80 R Q 80 R
80 R
2
2
3
(3R r )
p
r
p
另一方法
可以将均匀带电球体视 为由许多半径不同的均匀带 电薄球壳组成，根据球壳内外一点电势 的计算式，用电势叠加的方法计算整个 球体内外电势。（将在习题课上讨论）
例题5 . 两个同心球面，半 径分别为 R1 R2 、，内球面带 电 q，外球面带电 Q ，求： （1）空间的电势分布； （2）内外两球的电势差。 解：方法一 由电场与电势积分关系求出
5-6 静电场的环路定理 电势能
当电荷分布在有限空 间时， 间时，无限远处的电 势能和电势为零
V A = ∫ E ⋅ dl
A∞
2、说明： 、说明：
•电势是标量，有正有负； 电势是标量，有正有负； 电势是标量 •电势的单位：伏特 1V=1J.C-1； 电势的单位： 电势的单位 •电势具有相对意义，它决定于电势零点的选择。在理论 电势具有相对意义， 电势具有相对意义 它决定于电势零点的选择。 计算中，通常选择无穷远处的电势为零； 计算中，通常选择无穷远处的电势为零； •在实际工作中，通常选择地面的电势为零。 在实际工作中， 在实际工作中 通常选择地面的电势为零。 •但是对于“无限大”或“无限长”的带电体，只能在 但是对于“ 无限长”的带电体， 但是对于 无限大” 有限的范围内选取某点为电势的零点。 有限的范围内选取某点为电势的零点。
AB
结论：试验电荷 在电场中点A的 结论：试验电荷q0在电场中点 的 电势能，在取值上等于把它从点A 电势能，在取值上等于把它从点 移到到零电势能处的电场力所作的 功。
5－7 电势 －
一、电势
1、电势 、
无关， 比值 (EpA-EPB)/ q0与q0无关，只决定于电场的 性质及场点的位置， 性质及场点的位置，所以这个比值是反映电场 本身性质的物理量，可以称之为电势 本身性质的物理量，可以称之为电势
B EpBEFra bibliotekA E pAW AB = − ( E PB − E PA ) = E PA − E PB
q0 ∫ E ⋅ dl = E PA − E PB
AB
电势能的参考点选择也是任意的， 电势能的参考点选择也是任意的，若EPB=0，则电场中 ，则电场中A 点的电势能为： 点的电势能为：
E PA = q0 ∫ E ⋅ dl
5-6 静电场的环路定理 电势能lgy
物理学
第五版
5-6 静电场的环路定理 电势能
一 静电场力所做的功
点电荷的电场
dW F r q0E dl
qq0 4πε0r 2
er
dl
er dl dl cosθ dr
dW qq0 dr 4πε0r 2
B
rB
dr
dl
E
r
er
q
rA
q0 A
5-6 静电场的环路定理 电势能 1
三 电势能 物理学 第五版 定义：电荷在静电场中的一定位置所具有的势能 复习: WG ΔEP (EP2 EP1) EP1 EP2 若q处0 于A、B 两位置时的电势能分别用 E和pA 表E示pB ， B 则 WAB q0 E dl (EpB EpA ) EpA EpB A 电场力做正功，电势能减少.
点的位置有关,而与路径无关. 即电场力是保守力.
5-6 静电场的环路定理 电势能 3
物理学
第五版 二 静电 场的环 路定理
q0 E dl q0 E dl
ABC
ADC
q0 E dl q0 E dl
ADC
CDA
B
C
q0( E dl E dl ) 0
DE
ABC
CDA
A
l E dl 0
结论：沿闭合路径一 周，电场力作功为零.
5-6 静电场的环路定理 电势能 4
物理学
第五版
l E dl 0
——场强 E 的环流等于零,
称为静电场的环路定理
意义: 反映了静电场的基本特性,即静电场是保守力
场,或叫势场.
l E dl 0
E S
dS
q
/0
0
保守场 有源场
第五版
5-6 静电场的环路定理 电势能
一 静电场力所做的功
点电荷的电场
dW F r q0E dl
qq0 4πε0r 2
er
dl
er dl dl cosθ dr
dW qq0 dr 4πε0r 2
B
rB
dr
dl
E
r
er
q
rA
q0 A
5-6 静电场的环路定理 电势能 1
三 电势能 物理学 第五版 定义：电荷在静电场中的一定位置所具有的势能 复习: WG ΔEP (EP2 EP1) EP1 EP2 若q处0 于A、B 两位置时的电势能分别用 E和pA 表E示pB ， B 则 WAB q0 E dl (EpB EpA ) EpA EpB A 电场力做正功，电势能减少.
点的位置有关,而与路径无关. 即电场力是保守力.
5-6 静电场的环路定理 电势能 3
物理学
第五版 二 静电 场的环 路定理
q0 E dl q0 E dl
ABC
ADC
q0 E dl q0 E dl
ADC
CDA
B
C
q0( E dl E dl ) 0
DE
ABC
CDA
A
l E dl 0
结论：沿闭合路径一 周，电场力作功为零.
5-6 静电场的环路定理 电势能 4
物理学
第五版
l E dl 0
——场强 E 的环流等于零,
称为静电场的环路定理
意义: 反映了静电场的基本特性,即静电场是保守力
场,或叫势场.
l E dl 0
E S
dS
q
/0
0
保守场 有源场
静电场的环路定理电势能
静电场是保守场
第八章 静电场和稳恒电场
4
物理学
第五版
8.3 电场力的功 电势
三、 电势能
静电场是保守场， 静电场力是保守力. 静 电场力所做的功就等于 电荷电势能增量的负值.
A EpA
B
EpB E
AAB EpA EpB (EpB EpA )
电场力做正功，电势能减少.
第八章 静电场和稳恒电场
第五版
8.3 电场力的功 电势
任意带电体的电场（点电荷的组合）
E i Ei
A q0
E dl
l
b b b
q0 E dl q0 E1 dl q0 E2 dl …
a
a
a
q0 l Ei dl
i
结论：静电场力做功，与路径无关.
5
物理学
第五版
8.3 电场力的功 电势
AB q0E dl EpA EpB (EpB EpA )
令 EpB 0
零势点
得 EPA q0 E dl
A
(8.23)
A EpA
B
EpB E
试验电荷q0在电场中某点的电势能，在 数值上等于把它从该点移到零势能处静电场
第五版
8.3 电场力的功 电势
dA
4
qq0 πε0r 2
dr
A qq0 rB dr
4 πε0 r rA 2 qq0 ( 1 1 )
4 πε0 rA rB
B
rB
dr
dl
E
r
结论: A仅与q0的始末位
高二物理竞赛课件：静电场的环路定理 电势能
E Ei
i
W
q0
E dl
l
i
q0 l Ei dl
结论：静电场力做功与路径无关.
静电场的环路定理
q0 E dl q0 E dl
A1B
A2B
q0 ( E dl E dl ) 0
A1B
B2A
l E dl 0
1B
A
2E
静电场是保守场
在静电场中，场强沿任意闭合路径的线积分（称为 场强的环流）恒为零。
VB
EpB q0
VA AB E dl VB
A 点电势
VA
EpA q0
（ VB为参考电势，值任选）
VA
E dl
AB
VB
令 VB 0
VA
E dl
AB
"0"
VA E dl
A
电势的物理意义：把单位正试验电荷从点 A 移到
无穷远时，静电场力所作的功.
电势零点的选择方法：
一般,场源电荷有限分布:选 V 0
i
qi
4π 0ri
电荷连续分布带电体
VP
dq
4π 0r
V q
4 π0r
q1 q2
r1 r2
q3
r3
E3
E2
A
E1
dqqdrqP
dV
dE
均匀带电圆环轴线上的电场强度
E
4 0
qxi (x2
Hale Waihona Puke R2 )32无限长均匀带电直线的电场强度
E 2π 0r
无限大均匀带电平面的电场强度
E 2 0
由高斯定理求电场分布的步骤 1. 由电荷分布的对称性分析电场分布的对称性。