微分学应用问题案例
§8.9★多元函数微分学应用案例
L (a m1k )(a m2k )(a m3k ) (m1 m2 m3 m)
分别对 m1 , m2 , m3 及
求偏导数， 令它们为零，得方程组
L m k (a m 2 k )(a m 3 k ) 0 1 L m k (a m1 k )(a m 3 k ) 0 2 L k (a m k )(a m k ) 0 1 2 m 3 L m m m m 0 1 2 3
构造拉格朗日函数321321mmmmkmakmakmal??????????????????分别对321mmm及及??求偏导数令它们为零得方程组??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????0000321213312321mmmmlkmakmakmlkmakmakmlkmakmakml????????解得3321mmmm??????
P1 x P2 y ,
400000 1950x 2250y,
(400000 1950x 2250y ) ，
从而利润为 L (3390 0.1 x 0.03 y ) x (3990 0.04x 0.1 y ) y
即
L 0.1 x 2 0.1 y 2 0.07xy 1440x 1740y 400000 , ( x 0, y 0) ．
27英寸显示器的计算机和7043台31英寸显示器的计算机，才
能使利润最大．
二、如何才能使醋酸回收的效果最好 在A、B两种物质的溶液中，我们想提取出物质A，可以采用 这样的方法：在A、B的溶液中加入第三种物质C，而C与B不互溶 利用A在C中的溶解度较大的特点，将A提取出来．这种方法就是 化工中的萃取过程． 现在有稀水溶液的醋酸，利用苯作为溶剂，设苯的总体积为m. 进行3次萃取来回收醋酸．问每次应取多少苯量，方使从水溶
微分方程在流体力学中的应用
微分方程在流体力学中的应用流体力学是研究流体力学性质和流体力学行为的科学。
在流体力学的研究中，微分方程被广泛应用于描述流体的动力学和运动。
一、流体运动的微分方程描述在流体力学中，我们常用以下两个基本的微分方程来描述流体的运动：1. 运动方程（Navier-Stokes方程）：它是描述流体动量守恒的基本方程，用于描述流体介质内部任意一点的运动状态。
它可以表示为：∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0其中ρ是流体的密度，v是流体的速度矢量，t是时间，∇·表示散度。
2. 运动场的连续性方程（连续方程）：它是描述流体质点的连续性的方程，用于描述流体质点在空间的运动状态。
连续方程可以表示为：∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0通过求解这些微分方程，我们可以得到流体的速度分布、压力分布、流量等重要的物理量。
二、在流体力学中的应用案例1. 管道流动问题考虑一个无限长的圆形平面图案，假设进口处有一定的速度和压力，通过微分方程描述流体在管道中的运动状态，可以计算出流体在不同位置的速度和压力分布。
这对于实际的管道流动问题，如输油管道、水管道等的设计和分析非常重要。
2. 气象学中的天气预报流体力学中的微分方程也被广泛应用于天气预报中。
通过测量大气中的温度、湿度等参数，并将其转化为微分方程的形式，可以建立起大气的运动模型，从而预测未来的天气变化情况。
这对于农业生产、交通运输等方面都具有重要的实际意义。
3. 湍流流动湍流是流体力学中一个非常复杂的问题。
通过求解Navier-Stokes方程，可以研究湍流流动中的速度场和压力场的分布规律。
湍流流动在自然界和工程实践中都普遍存在，如河流、大气中的暴风雨等都与湍流有关。
总结：微分方程在流体力学中扮演着重要的角色，它通过描述流体的运动状态和守恒性质，为我们揭示了流体力学的各种现象和规律。
通过求解这些微分方程，我们可以进一步理解和优化流体的运动方式，为实际问题的解决提供有效的数学工具与方法。
微积分在工程领域的实际应用
微积分在工程领域的实际应用微积分是数学中的一个分支，是研究极限、导数、微分、积分和无穷级数等概念与运算的一门学科。
在工程领域中，微积分有着广泛的实际应用，对工程问题的建模、分析和解决起着至关重要的作用。
导数的应用在工程中，导数是一种描述变化率的重要工具。
例如，在机械工程中，物体的速度可以通过导数表示。
当我们需要知道一个系统的速度如何随时间变化时，可以使用导数来计算。
导数在电气工程中也有着广泛的应用。
在电路设计中，我们经常需要计算电流和电压之间的关系。
这种关系可以通过导数来描述，帮助工程师设计出更加优化的电路。
积分的应用积分是导数的逆运算，可以用来描述累积量。
在工程领域中，积分也有着重要的应用。
例如，在力学中，积分可以用来计算物体所受的总力，从而帮助工程师设计出更加稳定和安全的结构。
在控制工程中，积分也有着关键的作用。
积分控制是通过积分来调节一个系统的输出，使系统达到期望的状态。
这种控制方法在自动驾驶汽车、飞行器等系统中有着广泛的应用。
微积分在工程问题解决中的实际案例案例一：结构力学在建筑工程中，建筑物的结构设计需要考虑各种受力情况。
通过微积分中的力学知识，工程师可以计算出建筑物受到的各种力的大小和方向，从而设计出更加稳固的建筑结构。
案例二：电路分析在电气工程中，电路分析是一个重要的任务。
通过微积分中的电路分析方法，工程师可以计算电路中的电流、电压、功率等参数，从而确保电路的正常运行和安全性。
案例三：流体力学在航空航天工程中，流体力学是一个至关重要的领域。
通过微积分中的流体动力学知识，工程师可以模拟飞机飞行时的空气动力学效应，帮助设计出更加节能和稳定的飞行器。
结论微积分在工程领域中有着广泛的实际应用，帮助工程师解决各种复杂的工程问题。
通过对微积分的深入理解和应用，工程师可以设计出更加优化和高效的工程方案，推动工程领域的发展和进步。
导数与微分实际问题案例
导数与微分实际问题案例导数和微分是微积分中重要的概念，它们在现实世界中有着广泛的应用。
本文将通过一些实际问题案例，详细介绍导数和微分的应用。
案例一：车辆行驶问题假设一辆汽车在一段时间内以匀速行驶。
我们可以通过求解导数来计算汽车的速度。
设汽车的位移函数为s(t)，其中t表示时间，s表示位移。
那么汽车的速度可以通过求解导数s'(t)来得到。
例如，假设汽车的位移函数为s(t) = 2t^2 + 3t。
我们可以通过求解导数s'(t)来计算汽车的速度，即s'(t) = 4t + 3。
通过求解导数，我们可以得知汽车的速度在任意时间点上是多少。
这对于研究车辆行驶过程中的加速度、减速度等问题非常有帮助。
案例二：物体移动问题在物理学中，有一类常见的问题是求解物体的运动过程。
通过求解导数，我们可以推导出物体的速度和加速度函数。
设物体的位移函数为s(t)，其中t表示时间，s表示位移。
那么物体的速度可以通过求解导数s'(t)来得到，加速度可以通过求解导数s''(t)来得到。
例如，假设物体的位移函数为s(t) = 3t^2 - 4t + 2。
我们可以通过求解导数s'(t)来计算物体的速度，即s'(t) = 6t - 4；通过求解导数s''(t)来计算物体的加速度，即s''(t) = 6。
通过求解导数，我们可以分析物体的运动规律，例如物体的最大速度、加速度的变化情况等。
案例三：利润最大化问题在经济学中，有一个经典的问题是求解利润最大化。
假设某公司生产一种产品，售价为p（单位价格），销量为x（单位数量）。
成本函数可以表示为C(x)，那么利润可以表示为P(x) = px - C(x)。
为了求解利润最大化，我们需要计算利润函数P(x)的导数。
通过求解导数P'(x) = p - C'(x)，我们可以确定最大利润对应的销量。
数学与微分方程解析微分方程在科学与工程领域中的应用案例
数学与微分方程解析微分方程在科学与工程领域中的应用案例在科学与工程领域中，微分方程是一种重要的数学工具，用于描述物理、化学、生物等领域中的各种现象和问题。
微分方程解析的应用案例有很多，下面将介绍其中一些典型的案例。
案例一：电路中的RLC电路在电路中，RLC电路是一种常见的电路类型，由电阻（R）、电感（L）和电容（C）组成。
我们可以利用微分方程来描述电路中电压和电流的变化情况。
设电容的电压为Vc(t)，电感的电流为I(t)，电阻上的电压为VR(t)。
根据基尔霍夫电压定律和欧姆定律，可以得到如下微分方程：L(dI/dt) + RI + 1/C∫I(t)dt = V(t)通过解这个微分方程，我们可以得到电路中电流和电压随时间的变化规律，从而对电路的稳定性和响应进行分析和预测。
案例二：化学反应动力学在化学反应中，微分方程可以用来描述反应物的浓度随时间的变化规律。
例如，一级反应的速率可以用下面的微分方程来表示：d[A]/dt = -k[A]其中，[A]表示反应物A的浓度，k为反应速率常数。
通过求解这个微分方程，我们可以得到反应物浓度随时间的变化曲线，从而研究反应的速率和影响因素。
案例三：机械振动系统在工程领域中，微分方程可以用来描述机械振动系统的运动规律。
例如，单自由度弹簧振子的运动可以由下面的微分方程表示：m(d2x/dt2) + kx = 0其中，m为质量，k为弹簧的弹性系数，x为位移。
通过求解这个微分方程，我们可以得到振子的运动规律，包括振幅、频率和相位等信息。
案例四：人口增长模型微分方程还可以用来描述人口增长模型。
例如，常见的Logistic增长模型可以用下面的微分方程表示：dP/dt = rP(1-P/K)其中，P表示人口数量，r为人口增长率，K为环境容量。
通过解这个微分方程，我们可以研究人口的增长趋势和极限状态。
总结：微分方程在科学与工程领域中有着广泛的应用，上述案例只是其中的一部分。
数学与微分方程解析的应用可以帮助科学家和工程师更好地理解和预测自然和人工系统的行为，优化设计和控制方案。
常微分方程应用
常微分方程应用常微分方程是数学中的一个重要分支，它描述了物理、工程、经济等各个领域中的变化规律。
在实际应用中，常微分方程被广泛用于模拟和预测系统的行为，以及解决各种问题。
本文将介绍常微分方程在几个实际应用中的案例，并探讨其重要性和局限性。
一、人口增长模型人口增长是一个重要的社会经济问题，而常微分方程可以用来描述和预测人口变化的规律。
以Malthus模型为例，它假设人口增长的速度与当前人口数量成正比，即dP/dt = kP，其中P是人口数量，t是时间，k是增长率。
通过解这个方程，我们可以得到人口数量随时间的变化规律。
这种模型可以应用于城市规划、资源分配等问题中，帮助政府制定合理的政策。
二、物理系统建模常微分方程在物理学中有广泛的应用，可以用来描述各种运动和变化的规律。
以简谐振动为例，它可以由二阶常微分方程描述：d^2x/dt^2 + ω^2x = 0，其中x是物体的位移，t是时间，ω是角频率。
这个方程可以应用于机械振动、电路振荡等问题中，帮助我们理解和分析物理系统的行为。
三、化学反应动力学常微分方程在化学反应动力学中也有重要作用。
以一阶反应为例，它可以由一阶常微分方程描述：d[A]/dt = -k[A]，其中[A]是反应物的浓度，t是时间，k是反应速率常数。
通过解这个方程，我们可以得到反应物浓度随时间的变化规律。
这种模型可以应用于酶催化、药物代谢等领域，帮助我们理解和控制化学反应的过程。
尽管常微分方程在各个领域中都有广泛的应用，但它也存在一些局限性。
首先，常微分方程通常是基于一些简化假设得到的，这些假设可能无法完全满足实际情况。
其次，常微分方程的求解通常需要数值方法，这在某些情况下可能会带来精度和计算效率的问题。
此外，常微分方程模型的建立和参数的选择也需要一定的经验和专业知识。
总之，常微分方程作为一种数学工具，可以应用于各个领域中的问题求解和模拟预测。
通过合理选择模型和求解方法，我们可以更好地理解和控制自然和社会系统的行为。
常微分方程数学建模案例分析
常微分方程数学建模案例分析常微分方程是运用微积分中的概念与理论研究变化率的方程。
它是数学建模中常用的方法之一，可用于描述各种实际问题，如经济增长、生物扩散、化学反应等。
本文将通过一个关于人群传染病的数学建模案例，分析常微分方程在实际问题中的应用。
假设地有一种传染病，病毒的传播速度与感染者的接触频率有关。
现在我们要研究传染病的传播速度以及控制措施对传染病传播的影响。
为此，我们可以建立如下的数学模型：设N(t)表示时间t时刻的总人口数，而I(t)表示感染者的人口数，S(t)表示易感者的人口数。
根据该模型，易感者的人数随时间的变化率可表示为：dS/dt = -βSI其中，β表示感染率，即感染者每接触到一个易感者，会使其发病的概率。
感染者的人数随时间的变化率可表示为：dI/dt = βSI - γI其中，γ表示恢复率，即感染者每天被治愈的人数。
总人口数随时间的变化率可以通过易感者和感染者的变化率求和得到：dN/dt = dS/dt + dI/dt通过对该方程进行求解，我们可以得到感染者和易感者的人数随时间变化的解析解。
进一步，我们可以通过调节β和γ来研究不同的传播速度和控制措施对传染病传播的影响。
例如，如果β较大，表示感染率较高，此时传染速度会加快，可能导致传染病扩散的速度加快。
反之，如果β较小，表示感染率较低，传染病传播的速度会减慢。
另外，如果γ较大，表示恢复率较高，此时感染者的人数会快速减少，传染病传播的速度会减慢。
相反，如果γ较小，传染病传播的速度会加快。
通过对这些参数的调节，我们可以研究不同的控制措施对传染病传播的影响。
例如，我们可以通过降低感染率β或增加恢复率γ来减缓传染病传播的速度，从而控制疫情的爆发。
在实际应用中，常微分方程数学建模方法可以用于预测传染病的传播趋势，评估各种干预措施的效果。
此外，还可以通过引入更多的变量和参数，建立更复杂的模型，以更好地解释实际问题。
总之，常微分方程是数学建模中常用的方法之一，可以用于描述各种实际问题，如传染病的传播、经济增长等。
应用微积分解决实际问题
应用微积分解决实际问题微积分是数学的一个重要分支，其运用广泛，能够解决许多实际问题。
本文将通过几个具体的例子，展示微积分在解决实际问题中的应用。
例一：求取曲线下的面积使用微积分可以高效地求取曲线下的面积。
考虑一个简单的例子，给定函数y = f(x)在区间[a, b]上的曲线。
我们的目标是求取该曲线与x 轴之间的面积。
为了解决这个问题，我们可以将曲线划分为无穷多个微小的矩形，然后将这些矩形的面积相加。
具体而言，我们可以选择一个微小的宽度dx，并计算每个小矩形的面积。
将每个小矩形的面积相加，即可得到整个曲线下的面积。
通过微积分的方法，我们可以将问题转化为求取曲线上每个点的微小面积，随后通过求和的方式得到最终的结果。
这种方法可以应用于各种曲线的求面积问题，从简单的函数到复杂的曲线都适用。
例二：求取物体的体积微积分也可以用于求解物体的体积。
考虑一个简单的情况，假设我们要计算一个球的体积。
我们可以用微积分的方法来解决这个问题。
首先，我们可以将球体划分为无数个微小的圆柱体，并计算每个微小圆柱体的体积。
然后，我们将这些微小圆柱体的体积相加，即可得到整个球体的体积。
这个方法同样适用于其他形状的物体，只需将其划分为微小的基本形状，然后计算每个微小形状的体积并相加。
例三：求解极限问题微积分也可以用于求解极限问题。
考虑一个简单的示例，求解函数f(x) = 1/x在x趋于无穷大时的极限。
我们可以通过微积分的方法来解决这个问题。
首先，我们将函数f(x)进行变形，得到f(x) = 1/x²。
接下来，我们可以利用微积分的知识来求解f(x)的极限。
通过计算导数和极限的关系，我们可以证明该极限为0。
这个方法可以应用于各种极限问题，无论是求函数在某个点的极限，还是在无穷远处的极限，微积分都能够提供有效的解决方法。
总结微积分是解决实际问题中非常有用的工具。
通过求取曲线下的面积、计算物体的体积和求解极限问题，微积分可以帮助我们解决各种实际场景中的数学难题。
微分方程应用举例
ln M t ln c , 即M ce t ,
代入M
t 0
M 0 , 得 M 0 ce C
0
M M 0e
t
衰变规律
案例3【 物体冷却问题】 将某高温物体置于空气中冷却，假定空气 温度恒为 24o C ，在时刻 t 0时，测得其温度 为 150o C ， 10分钟后测得温度为 100o C ．已知 牛顿冷却定律：物体冷却速率与物体和介质的 温差成正比．求物体的温度与时间的函数关系， 并计算 分钟后该物体的温度． 20
解 设 T T (t ),
则T (t ) 0. 由牛顿冷却定律，有
dT k ( t 24), k 0 dt T (0) 150.
用通解公式法解得 24 126e T
将T (10) 100代入，解得
k t
1 126 k ln 0.051 10 76
R sin t L cos t
代入上式，得
E0 R sin t L cos t Ce i 2 2 2 R L
R t L
又i (0) 0，代入上式，求得
E0 L C 2 ， 2 2 R L
所以
R t E0 R sin t L cos t L e L i (t ) 2 2 2 R L
所以 T 24 126e
0.051t
将t 20代入，解得
T ( 20) 24 126e
0.05120
64(C )
案例4【电路电流问题】 设有一电路如图所示，R 是电阻，L是电感，它们 都是常数，电源的电动 势为 E E0 sin t
R
L E
定积分的应用优秀案例名称
定积分的应用优秀案例名称定积分是微积分学中的一个重要概念，其应用范围广泛，涉及到数学、物理、工程学等多个学科领域。
下面将围绕定积分的应用优秀案例，通过分步骤阐述，从实际问题入手，深入探讨定积分的应用。
一、汽车行驶里程问题汽车行驶里程问题是定积分的一个典型应用案例。
假设一个汽车匀速行驶，行驶速度为v，行驶时间为t，我们想知道汽车行驶的总里程。
首先，我们需要通过公式来表示汽车的行驶里程。
行驶里程=速度*时间，即s=v*t。
由此得到定积分公式为：∫sdt=∫vtdt因为汽车是匀速行驶，速度v为常数，因此可将上公式化简为：∫sdt=vt+C其中C是常数项，表示汽车的起始点。
因此，我们只需知道汽车的起始点和行驶时间，就可根据上述公式计算出汽车的行驶里程。
二、物理问题定积分在物理学中也有重要的应用。
例如，假设一个物体受到力F，进行相应的位移d，则所做的功为:W=∫Fds其中，F为力的大小，ds为位移的微小距离元素。
通过定积分，可以计算出物体所做的总功。
例如，假设一个物体受到的力F=2x+10 N，在位移为x的时候对它进行功的计算，其功为：W=∫Fdx=∫(2x+10)dx解上式的不定积分：W=∫(2x+10)dx=x^2+10x+C其中，C为常数项，表示物体的起始点。
通过此公式，我们可以计算出物体受到力F在位移为x时所做的功。
三、金融问题除了数学和物理领域外，定积分在金融领域也有涉及。
例如，假设一家公司每年的营业额为f(x)，其中x为年份。
我们想要计算该公司在某一时期内的总营业额。
由于营业额是一种累积变量，我们可以使用定积分来计算总营业额。
假设该公司在t1到t2年间营业额为f(x)，则总营业额为：∫t1到t2 f(x)dx通过定积分公式，我们可以计算出该公司在t1到t2年间的总营业额。
综上所述，定积分的应用范围十分广泛，涉及到多个领域，例如，数学、物理、金融等等。
通过具体的实例，我们可以更好地理解定积分的应用，并进一步掌握定积分的求解方法。
微分方程在物理学和工程学中的应用案例
微分方程在物理学和工程学中的应用案例微分方程是数学中的一个重要分支，它在物理学和工程学中有着广泛的应用。
本文将介绍一些微分方程在物理学和工程学中的应用案例，展示微分方程的重要性和实际价值。
1. 流体力学中的Navier-Stokes方程流体力学是研究流体运动规律的学科，而Navier-Stokes方程是描述流体运动的基本方程。
该方程是一个偏微分方程，包含了流体的质量守恒、动量守恒和能量守恒等方面的信息。
通过求解Navier-Stokes方程，可以研究流体的流动特性，如流速、压力分布等。
这对于设计飞机、汽车和水利工程等领域非常重要。
2. 电路中的RC电路方程在电路中，RC电路是一种常见的电路结构，它由电阻（R）和电容（C）组成。
RC电路方程是描述电路中电压和电流关系的微分方程。
通过求解RC电路方程，可以分析电路中电压和电流的变化规律，预测电路的响应和性能。
这对于电子设备的设计和故障诊断具有重要意义。
3. 热传导方程在热学中的应用热传导是研究热量传递和温度分布的学科，热传导方程是描述热传导过程的微分方程。
通过求解热传导方程，可以分析材料的热传导性能，预测温度分布和热量传递速率。
这对于热工设备的设计和优化具有重要意义，如锅炉、换热器等。
4. 力学中的运动方程力学是研究物体运动规律的学科，运动方程是描述物体运动的微分方程。
牛顿第二定律是力学中的基本方程，它描述了物体的质量、加速度和受力之间的关系。
通过求解运动方程，可以研究物体的运动轨迹、速度和加速度等特性。
这对于机械设计、航天工程等领域非常重要。
5. 电磁学中的麦克斯韦方程组电磁学是研究电磁现象和电磁场的学科，麦克斯韦方程组是描述电磁场的基本方程。
麦克斯韦方程组包含了电场和磁场的分布、变化和相互作用等信息。
通过求解麦克斯韦方程组，可以研究电磁波的传播、辐射和干涉等现象。
这对于通信技术、电磁波设备等领域具有重要意义。
综上所述，微分方程在物理学和工程学中有着广泛的应用。
微积分在生活中的实例
微积分在生活中的实例一、引言微积分是数学中的一个重要分支，它研究变化和积累的数学工具。
虽然在日常生活中我们可能不会直接使用微积分的符号和公式，但微积分的原理和概念却广泛应用于许多实际情境中。
本文将通过几个实例来说明微积分在生活中的应用。
二、汽车行驶距离与速度在驾驶汽车时，我们经常需要了解行驶的距离和速度。
通过微积分，我们可以计算车辆在不同时间段内的平均速度。
假设我们在一个小时内行驶了100公里，我们可以将这段时间划分为若干小段，并计算每段时间内的瞬时速度。
通过求解速度函数的定积分，我们可以得到整个行驶过程中的总路程。
三、物体的加速度与位移物理学中的运动学描述了物体的运动状态。
在这个过程中，微积分可以帮助我们计算物体的加速度和位移。
以自由落体为例，当一个物体从高处自由下落时，它的速度会逐渐增加。
通过微积分，我们可以求解加速度函数，并计算物体在不同时间段内的位移。
四、金融领域中的微积分应用微积分在金融领域中也有广泛的应用。
例如，在投资中，我们经常关注资产价格的变化趋势。
通过微积分的方法，我们可以计算资产价格的变化率，并预测未来的趋势。
此外，微积分还可以用于计算金融衍生品的定价和风险管理。
五、医学中的微积分应用微积分在医学研究中也发挥着重要的作用。
例如，在药物治疗中，医生需要确定药物在患者体内的代谢速率，以便控制药物的浓度。
通过微积分，可以建立药物在体内的动力学模型，并计算药物的清除速率。
这有助于医生制定合理的药物剂量和用药方案。
六、总结微积分作为数学的重要分支，不仅仅是学术领域的工具，也广泛应用于日常生活中的各个领域。
通过对变化和积累的研究，微积分帮助我们理解和解决实际问题。
从汽车行驶距离与速度到金融领域的应用，再到医学中的药物代谢，微积分无处不在。
因此，学习和理解微积分的原理和概念对于我们更好地应用它于生活和工作中至关重要。
导数与微分的实际应用案例
导数与微分的实际应用案例导数与微分是微积分的基本概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
它们通过计算变量的变化率和近似值，为我们提供了解决实际问题的有效工具。
本文将介绍导数与微分在实际应用中的几个案例，以展示它们的重要性和实用性。
案例一：速度与加速度计算导数与微分在物理学中的应用非常广泛，特别是在描述物体运动时。
例如，我们可以利用导数计算物体的速度和加速度。
考虑一辆汽车匀速行驶的情况，假设汽车的位移函数为 $s(t)$，其中 $t$ 表示时间。
则汽车的速度可以通过对位移函数$s(t)$ 进行微分得到，即 $v(t) = \frac{{ds(t)}}{{dt}}$。
同样地，加速度可以通过对速度函数 $v(t)$ 进行微分得到，即 $a(t) = \frac{{dv(t)}}{{dt}} =\frac{{d^2s(t)}}{{dt^2}}$。
通过这些导数的计算，我们可以准确地描绘汽车的运动状态，为实际驾驶和交通规划提供重要依据。
案例二：最优化问题求解导数与微分在优化问题中起着关键作用。
假设我们希望制作一个容量为 $V$ 的长方体箱子，但是只有限定的材料可以使用。
我们希望找到一个长方体的尺寸，使其表面积最小。
这个问题可以通过微分求解。
设长方体的长、宽、高分别为 $x$、$y$、$z$，则表面积为 $A = 2xy + 2xz + 2yz$，而容量为 $V = xyz$。
我们可以利用微分的方法，对表面积函数 $A$ 进行求导，并令导数为零，从而找到关于 $x$、$y$、$z$ 的方程组。
进一步求解这个方程组，就可以得到使表面积最小化的尺寸。
这个例子展示了导数与微分在解决实际最优化问题中的应用。
案例三：金融中的应用导数与微分在金融学中也有广泛的应用。
例如，投资者常常需要计算投资组合的风险和回报。
假设我们有两种投资资产，其价格分别为 $P_1(t)$ 和 $P_2(t)$，其中 $t$ 表示时间。
我们可以利用导数求解资产价格的变化率，即$\frac{{dP_1(t)}}{{dt}}$ 和 $\frac{{dP_2(t)}}{{dt}}$。
微分生活实例
微分生活实例
例子一：火力发电厂的冷却塔的外形要做成弯曲的原因就是冷却塔体积大，自重非常大，如果直上直下，那么最下面的建筑材料将承受巨大的压力，以至于无法承受（地球上的山峰最高只能达到3万米，否则最下面的岩石都要融化了）。
把冷却塔的边缘做成双曲线的性状，正好能够让每一截面的压力相等，冷却塔就能做的很大。
例子二：计算机内部指令需要通过硬件表达，把信号转换为能够让我们感知的信息。
Windows系统带了一个计算器，可以进行一些简单的计算，比如算对数。
计算机是计算是基于加法的，运用微积分的级数理论，可以把对数函数转换为一系列乘法和加法运算。
微积分理论可以粗略的分为几个部分，微分学研究函数的一般性质，积分学解决微分的逆运算，微分方程（包括偏微分方程和积分方程）把函数和代数结合起来，级数和积分变换解决数值计算问题，另外还研究一些特殊函数，这些函数在实践中有很重要的作用。
利用微分解决实际问题
利用微分解决实际问题微分作为数学的一个分支，广泛应用于解决实际问题。
通过微分的方法，我们可以揭示事物的变化趋势，从而能够更好地理解和探索自然界的规律。
本文将通过具体的案例来说明如何利用微分解决实际问题。
案例一：物体的运动问题假设有一辆汽车以匀速v的速度行驶在直线上，我们想要知道汽车的位移随时间的变化关系。
在这种情况下，可以通过微分的方法求解。
设汽车行驶的时间为t，位移为s，则有如下关系：s = vt通过对位移s关于时间t求导即可得到汽车的速度v。
案例二：人口增长问题假设某城市的人口增长率与当前的人口数量成正比。
我们想要知道在未来某个时间点的人口数量。
设人口数量为P，时间为t，则有如下微分方程：dP/dt = kP其中k为比例常数。
通过对该微分方程进行求解，可以得到人口数量随时间的变化规律。
案例三：求解极值问题某企业的年销售额与广告投入成正比。
我们想要确定什么样的广告投入能够使得销售额达到最大值。
设广告投入为x，销售额为y，则有如下关系：y = kx其中k为比例常数。
为了求解销售额的最大值，可以通过微分的方法来实现。
对销售额关于广告投入求导，并将导数等于0的解代入原方程，即可得到销售额的最大值对应的广告投入。
总结：微分作为数学的一个重要工具，在解决实际问题中发挥着重要作用。
通过微分的方法，我们可以揭示事物的变化趋势，探索事物的内在规律。
通过以上几个具体案例的介绍，可以看出微分在求解物体的运动问题、人口增长问题以及求解极值问题中的应用。
相信在实际问题中，微分仍然有着广泛的应用前景，帮助我们更好地理解和解决问题。
多元函数微分学的应用
多元函数微分学的应用引言多元函数微分学是微积分的一个重要分支，通过研究多元函数的极限、连续性、可微性、偏导数、全微分以及二阶偏导数等概念和性质，为解决实际问题提供了强大的工具和方法。
本文将介绍多元函数微分学在实际应用中的一些案例和方法。
1. 函数的极限多元函数的极限是多元函数微分学的基础，它描述了函数在某一点处的趋近性。
在实际应用中，我们常常需要确定一个多元函数在某一点的极限，以便对问题进行分析和计算。
对于给定的多元函数f(x,y)，如果当点(x,y)趋近于某一点(a,b)时，f(x,y)趋近于一个常数L，则称f(x,y)在点(a,b)处有极限，记为$\\lim_{(x, y) \\to (a, b)} f(x, y) = L$。
2. 函数的连续性函数的连续性是多元函数微分学的另一个重要概念。
一个多元函数f(x,y)在某一点(a,b)处连续，意味着在点(a,b)的任意一个邻域内，函数值和点(a,b)的距离趋近于零。
连续函数在实际应用中具有重要的意义，因为它们能够准确地描述函数的行为和性质。
3. 偏导数与全微分在实际问题中，我们常常需要计算多元函数的偏导数和全微分，以便分析函数的变化率和方向导数。
对于一个多元函数f(x,y)，它的偏导数$\\frac{\\partialf}{\\partial x}$和$\\frac{\\partial f}{\\partial y}$分别表示函数在x方向和y方向上的变化率。
全微分df表示函数的微小变化量，它可以用偏导数表示为$df =\\frac{\\partial f}{\\partial x}dx + \\frac{\\partial f}{\\partial y}dy$。
4. 高阶偏导数在多元函数微分学中，我们还可以计算多元函数的高阶偏导数。
高阶偏导数描述了函数的高阶变化率和曲率性质。
例如，一个二阶偏导数$\\frac{\\partial^2 f}{\\partial x^2}$表示函数在x方向上的曲率，而一个二阶偏导数$\\frac{\\partial^2 f}{\\partial x \\partial y}$表示函数在x和y方向上的变化率的关系。
数学导数与微分的应用
数学导数与微分的应用教案主题：数学导数与微分的应用引言：数学的导数与微分是非常重要的概念，在实际生活中存在着广泛的应用。
本教案将通过几个充满趣味的实例，介绍导数与微分在生活中的应用，并通过一些练习题，帮助学生更好地掌握这些概念。
1. 缓解交通拥堵的方案（800字）在城市中，交通拥堵是一个普遍存在的问题。
那么，如何通过数学的导数和微分概念来缓解交通拥堵呢？让我们通过具体的例子来展开讨论。
2. 金融投资中的应用（600字）在金融投资中，通过导数和微分的概念，我们可以更好地理解收益率和风险之间的关系，并做出更明智的投资决策。
让我们通过实际案例来解释这个概念。
3. 生态系统中的物种数量变化（600字）在生态学中，研究生态系统的物种数量变化是非常重要的。
通过导数和微分的概念，我们可以建立物种数量与时间的数学模型，了解物种数量的波动规律，并提出保护生物多样性的措施。
4. 电子设备中的电池寿命（600字）在现代生活中，电子设备已经成为我们生活中的重要组成部分。
如何延长电池的寿命是一个需要解决的问题。
通过导数和微分的知识，我们可以建立电池寿命与使用时间之间的数学模型，以提供更好的电池管理策略。
5. 彩票中的概率计算（600字）彩票是许多人都参与的游戏。
我们可以通过导数和微分的概念，来计算不同类型彩票中获奖的概率，并分析不同投注方式的胜率，以帮助人们制定更有效的投注策略。
6. 最佳路径规划（600字）在日常生活中，我们经常需要选择最佳路径来节省旅行时间。
通过导数和微分的概念，我们可以根据道路的变化率计算不同路径的最佳选择，并为人们提供最佳的导航方案。
结论：通过本教案的学习，我们了解了导数与微分的应用在现实生活中的重要性。
无论是在交通、金融、生态学、电子设备还是彩票等领域，导数与微分都起着关键的作用。
通过运用导数与微分的知识，我们可以更好地理解和解决各种问题。
因此，学习导数与微分不仅是学习数学的基础，也是培养学生综合应用知识解决实际问题能力的重要一环。
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22005(2)5(2)lim lim 10V V I V I V V∆→∆→∆-+∆--===∆∆100d d )2000('2000===T TCf 第二章 导数与微分及其应用一．导数—瞬时变化率案例1[低频跨导] 具有PN 节的半导体器件，其电流微变和引起这个变化的电压微变之比称为低频跨导．一种PN 节的半导体器件，其转移特性曲线方程为25I U =，求电压2U =-V 时的低频跨导．解: 低频跨导是电流微变和引起这个变化的电压微变之比，它在2V =-伏时的变化率为案例2 [人口增长率]《全球2000年报告》指出世界人口在1975年为41亿，并以每年2％的相对比率增长．若用P 表示自1975年以来的人口数，求dt dP ,0=t dt dP，15=t dtdP ，它们的实际意义分别是什么？解: dt dP 表示世界人口总量关于时间的变化率，即 ()()lim t dP P t t P t dt t ∆+∆-=∆，在[,]t t t +∆时间内，世界人口的增长可视为是匀速增长的，由于相对比率为2％，速度为2()P t ％，即()()2()P t t P t P t t +∆-≈∆％，故有 dt dP=2％()P t ，由于世界人口每年都以2％的相对比率增长，所以dt dP 0==t dtdP 15==t dtdP =2％()P t ，案例 3 [铜矿开采费]从一个铜矿中开采T 吨铜矿的花费为)(T f C =元，)2000('f = 100意味着什么？解: 对于．因C 的单位为元，T 的单位为t ，所以T Cd d 的单位为元/t ，100)2000('=f 表明当有2000t 铜矿从矿中被开采出来时，再开采1t 铜矿需花费100元．二、导数的运算案例1[电流] 电路中某点处的电流i 是通过该点处的电量q关于时间t 的瞬时变化率，如果某一电路中的电量为 =)(t q t t +3．求(1) 电流函数)(t i ；(2) 3=t 时的电流是多少？(3) 什么时候电流为49．解: （1）()dqi t dt =(=3)t t '+3()t t ''=+（)231t =+； （2）(3)i =23(31)t t =+233128=⨯+=；(3) 解方程2()3149i t t =+=，得4t =± （舍去负值），即当4t =时，电流为49．案例2 [速度]已知某物体做直线运动，运动方程为2(1)(1)s t t =++，s (单位：m)，t (单位：s) ．求在3t =s 时物体的速度？解: 物体运动的速度为d d sv t ==2[(1)(1)]t t '++22(1)(1)(1)(1)t t t t ''=+++++22(1)(1)1t t t =+++⨯2321t t =++， 3t =s 时的速度为3t v==23(321)t t t =++=34(m/s).案例 3 [电压的变化率] 一个电阻为3Ω，可变电阻为R的电路中的电压由下式给出：3256++=R R V ．求在 7R =Ω时电压关于可变电阻R 的变化率．解: 电压V 关于可变电阻R 的变化率为6253R V R +''=+（）26(3)(625)(3)R R R +-+=+23R =+7-（），在7R =Ω时电压关于可变电阻R 的变化率为7270.0710R V ='=-=-.案例4 [并联电阻] 当电流通过两个并联电阻21,r r 时，总电阻由下式给出： 求R 对1r的变化率．假定2r 是常量．由因为2r 是常数，所以解: 1dR dr =12112r r d dr r r +（）2212122221212)r r r rr r r r r r +-==++（（）（）案例5 [制冷效果] 某电器厂在对冰箱制冷后断电测试其制冷效果， t h 后冰箱的温度为20105.02-+=t tT (单位：0C )．问冰箱温度T 关于时间t 的变化率是多少解: 冰箱温度T 关于时间t 的变化率为dTdt =2(20)0.051t t '-+2()(20)0.051t t ''=-+22(0.051)20.050(0.051)t t t +-⨯=-+22(0.051)t =+(0/C 小时).案例6 [放射物的衰减] 放射性元素碳-14（1g ）的衰减由下式给出：其中Q 是t 年后碳-14存余的数量(单位：g)．问碳-14的衰减速度（单位：g/a ）是多少？解: 碳-14的衰减速度v 为=0.000121()t e -'0.0001210.000121)te t -'=-（0.0001210.000121t e -=-(g/a) ．案例7 [钢棒长度的变化率] 假设某钢棒的长度L （单位：cm ）取决于气温H （单位：0C ），而气温H又取决于时间t （单位：h ），如果气温每升高10C ，钢棒长度增加2cm ，而每隔1小时，气温上升30C ，问钢棒长度关于时间的增加有多快？12111R r r =+12111R r r =+1212r r R r r =+te Q 000121.0-=dQv dt=解: 已知长度对气温的变化率2d d =H L cm C 0/．气温对时间的变化率为/3d d 0C t H =h ．要求长度对时间的变化率，即求t Ld d ．将L 看作H 的函数，H 看作t 的函数，由复合函数求导的链式法则得632d d d d d d =⨯=⋅=t H H L t L (cm/h)．因而，长度关于时间的增长率为6cm/h ．案例8 [充电速度] 对电容器充电的过程中，电容器充电的电压为)1(RCtc eE u --=,求电容器的充电速度dt du c解: 利用复合函数的求导法则，dt du c [(1)]t RC E e -'=-(1)t RC E e -'=⋅-1[0()]t RC E e RC -=⋅-⋅-[0()]tRCt E eRC -'=⋅-⋅-1[0()]t RC E e RC -=⋅-⋅-RCteRC E -=案例9[电流与电压的关系] 在电容器两端加正弦电流电压)sin(φω+=t U u m c ，求电流i .解:dtdu Ci c=[sin()]m C U t ωφ'=+[cos()()]m C U t t ωφωφ'=++[cos()]m C U t ωωφ=+)2sin(πφωω++=t CU m )sin(θω+=t I m其中m m I CU =ω是电流的峰值（最大值），称振幅，初相2πφθ+=．从而可知，电容器上电流与电压有下列关系：（1）电流i 与电压c u 是同频率的正弦波；（2）电流i 比电压c u 相位提前2π；（3）电压峰值与电流峰值之比为ωωC U C U I U m m m m 1==， 电工学中称ωC 1为容抗（容性电抗）．三、导数的应用（一） 函数的单调性案例1 [增长率] 若某国的国民生产总值的增长率0dP dt >，由函数单调性的判定方法知()P t 是一单调增加函数，即该国的国民生产总值越来越大；反之，若某国的国民生产总值的增长率0dPdt <，则该国的国民生产总值越来越小．案例2 [石油蕴藏] 假设P 为在第t 年时地球的石油总蕴藏量（包括未被发现的），假设没有新的石油产生，并且P 以桶为单位计量， t Pd d 的单位是什么？它有何意义？它的符号为正还是负？解: 由于没有新的石油产生，而地球的石油是不可再生资源，随着对石油的消耗，其总量会越来越少，因此地球的石油总蕴藏量)P t （是一单调减少函数， 所以d 0d P t <．因为P 的单位是桶，t 的单位是年，所以t Pd d 的单位是桶/年．案例3 [人口增长] 中国的人口总数P （以10亿为单位）在1993年—1995年间可近似地用方程t P )014.1(15.1⨯=来计算，其中t 是以1993年为起点的年数，根据这一方程，说明中国人口总数在这段时间是增长还是减少？解: 中国人口总数在1993—1995年间的增长率(0>t )为d d P t =[1.15(1.014)]t '⨯ 1.15[(1.014)]t'=⨯1.15(1.014)ln1.0140t=⨯⨯>，因此中国人口总数在1993—1995年期间是增长的．案例4 [血液的压强] 血液从心脏流出，经主动脉后流到毛细血管，再通过静脉流回心脏．医生建立了某病人在心脏收缩的一个周期内血压P （单位：mmHg ）的数学模型11232522++=t t P ，0=t 表示血液从心脏流出的时间（t 的单位：秒）．问在心脏收缩的一个周期里，血压是单调增加的还是单调减少的解: 22251231t P t +''=+（）2222222512312512311t t t t t ''+++++（）（）-（）(）=（）22225012251231t t t t t +++（）-（）=（）2219601tt <+=-（） .因为0t >，所以P '2219601tt <+=-（），因此在心脏收缩的一个周期里，血压是单调减少的．（二） 函数的极值与最值案例1 [容器的设计] 要设计一个容积为500ml 的圆柱形容器，其底面半径与高之比为多少时容器所耗材料最少？解: 设其底面半径为r ，高为h ，其表面积为222Srh r ππ=+，容积为 2500V r h π==，即2500h r π=，代入222S rh r ππ=+，得表面积210002S r r π=+，求导 S '210004r r π=-+，解0S '=，得唯一驻点13500()2r π=，因为此问题的最小值一定存在，故此驻点即为最小值点，将13500()2r π=代入2500r h π=,得132000()h π=，即12r h =， 故当底面半径与高之比为1：2时，所用材料最少．案例2 [发动机的效率] 一汽车厂家正在测试新开发的汽车的发动机的效率，发动机的效率p （%）与汽车的速度v (单位：公里/小时)之间的关系为300004.0768.0v v p -=．问发动机的最大效率是多少？解:求发动机的最大效率p 最大，即求函数300004.0768.0v v p -=的最大值．先求导 32d 0.7680.000040.7680.00012d pv v v v '=-=-（）， 令d 0d pv =， 得80v =(单位：km/h) ．由实际问题知，此时发动机的效率最大，最大效率为80p ≈（）41(% )案例3 [最大容积] 设有一个长8分米和宽5分米的矩形铁片，在四个角上切去大小相同的小正方形，如图2.3.4所示，问切去的小正方形的边长为多少分米时，才能使剩下的铁片折成开口盒子的容积为最大？并求开口盒子容积的最大值．'y 22(4)6x '=-4= 解: 设切去的小正方形的边长为x 分米，则盒子的容积为)250( )25)(28(<<--=x x x x V求导 )25)(28()28(2)25(2x x x x x x V --+----=')103)(1(4--=x x ．令 0=V '，得驻点310 , 121==x x (252>x ，应舍去)，则符合题意的驻点只有x =1．由于开口盒子容积的最大值一定存在，而且在)25,0(内取得，而 0=V '在)25,0(内只有一个根x =1，故此点为所求的最大值点． 所以切去的小正方形的边长为1分米时，做成的开口盒子容积最大，最大容积是18立方分米．案例4 [油管铺设路线的设计] 要铺设一石油管道，将石油从炼油厂输送到石油罐装点，如图所示．炼油厂附近有条宽 2.5km 的河，罐装点在炼油厂的对岸沿河下游10km 处．如果在水中铺设管道的费用为6万元/km ，在河边铺设管道的费用为4万元/km ．试在河边找一点P ，使管道铺设费最低． 解: 设P 点距炼油厂的距离为x ，管道铺设费为y ，由题意有225.2)10(64+-+=x x y)0(>x ，令0'=y ，得驻点201010±=x ，舍去大于10的驻点，由于管道最低铺设费一定存在，且在(0,10)内取得，所以最小值点为764.7≈x km ，最低的管道铺设费为18.51≈y 万元．案例5 [最大输出功率] 设在如图所示的电路中，电源电动势为E ，内阻为r(E ，r 均为常量)，问负载电阻R 多大时，输出功率P 最大？22)(r R R E P +=解: 消耗在电阻R 上的功率为R I P 2=，其中I 是回路中的电流，由欧姆定律知r R EI +=，所以(0)R <<+∞.要使P 最大，应使0=dR dP ，即=dR dP 2224()2()()E R r E R R r R r +-++23()0()E r R R r =-=+，解之得 r R =， 此时，R E P 42=． 由于此闭合电路的最大输出功率一定存在，且在(0,)+∞内部取得，所以必在P 的唯一驻点r R =处取得．因此，当r R =时，输出功率最大为R E P 42=． 四、高阶导数及其应用案例1 [刹车测试] 在测试一汽车的刹车性能时发现，刹车后汽车行驶的距离（单位：m ）与时间t (单位：s)满足34.02.19t t s -=． 假设汽车作直线运动，求汽车在4=t s 时的速度和加速度．解:汽车刹车后的速度为dsv dt =3(19.20.4)t t '=-219.2 1.2t =-(m/s)， 汽车刹车后的加速度为dva dt =2(19.2 1.2)t '=- 2.4t =-（m/s 2)，4t =s 时，汽车的速度为 v =24(19.2 1.2)t t =-=0（m/s ），4t =s 时，汽车的加速度为 a42.49.6t t==-=-（m/s2).案例 2 [水量增加量] 如果一个容器中的水量W 随着时间的增加而增加，但增加量越来越小，则t W d d 、22d d Wt 的正、负符号分别为什么？解: 因为水量W 随着时间的增加而增加，所以d 0d Wt >，但因为增加量越来越小，所以22d 0d Wt <．案例3 [通货膨涨] 设函数)(t p 表示某种产品在时刻t 的价格，则在通货膨涨期间，)(t p 将迅速增加． 请用)(t p 的导数描述以下叙述：(1)通货膨涨仍然存在； (2)通货膨涨率正在下降； (3)在不久的将来，物价将稳定下来． 解:(1)0)(>'t p 表示产品的价格在上升，即通货膨涨仍然存在；(2)0)(>'t p 表示通货膨涨存在，()0p t ''<表示通货膨涨率正在下降；(3)()0p t '→表示产品的价格不再上升，即物价将稳定下来．案例4 [股票曲线] 假设)(t P 代表在时刻t 某公司的股票价格，请根据以下叙述判定)(t P 的一阶、二阶导数的正、负号．（a ） (b)(1) 股票价格上升得越来越快； (2) 股票价格接近最低点；(3) 图(a)所示为某种股票某天的价格走势曲线，请说明该股票当天的走势． 解:（1）股票价格上升得越来越快，一方面说明股票价格在上升，即ddPt>，另一方面说明上升的速度也是单调增加的，即22ddPt>，如图(b)所示．（2）股票价格接近最低点时，应满足d0 dPt=．（3）从图(a)所示的某股票在某天的价格走势曲线可以看出，此曲线是单调上升且为凸的，即ddPt>，且22ddPt<.这说明该股票当日的价格上升得越来越慢．案例5[桥梁的曲率] 若某一桥梁的桥面设计为抛物线，其方程为2xy=，求它在点M（1,1）处的曲率．解:由xy2='，2=''y，得12xy='=，12xy=''=，代入曲率公式，得()33222(1,1)215yKy''==='+案例6 [比较弧形弓件的弯曲程度]设有两个弧形弓件A、B，弓件A满足曲线方程3y x=，弓件B满足曲线方程2xy=，试比较此两个弓件在1x=处的弯曲程度．解:弓件A在1x=处21133x xy x=='==，1166x xy x==''==，其曲率为()133222(1,1)60.1897110yKy''===≈'+；弓件B 在1x =处，1122x x y x=='==，12x y =''=，其曲率为()233222(1,1)20.178915y K y ''==≈'+，所以，在1x =处弓件A 的弯曲程度大些．案例7 [弧形工件的加工原理]设某工件内表面的截线为抛物线20.4y x =，现在要用砂轮磨削其内表面， 问用直径多大的砂轮才比较合适？(提示：在磨削弧形工件时，为了不使砂轮与工件接触处附近的那部分工件磨去太多， 砂轮的半径应不大于弧形工件上各点处曲率半径中的最小值.已知抛物线在其顶点处的曲率最大.)解: 由于抛物线在其顶点处的曲率半径最小，因此，只要求出抛物线20.4y x =在其顶点(0,0)O 处的曲率半径.由0.8y x '=，0.8y ''=，有x y ='=，0.8x y =''=.将其代入曲率计算公式，得 0.8K =，因而求得抛物线顶点处的曲率半径11.25K ρ==所以选用砂轮的半径不得超过1.25单位长，即直径不得超过2.5单位长.五、函数的微分及其应用案例1 [金属立体受热后体积的改变量] 某一正立方形金属体的边长为2m ，当金属受热边长增加0.01m 时，体积的微分是多少？体积的改变量又是多少？解: 体积的微分为322()33dV x dx x dx x x '===∆， 将x=2，01.0=∆x 代入上式，得在x =2，01.0=∆x 处的微分20.01x x dV=∆=2320.010.12=⨯⨯=(m 3)，x =2，01.0=∆x 处体积的改变量为20.01x x V=∆=∆≈33(20.01)20.012006+-=(m 3)，由此可见，20.01x x V=∆=∆≈20.01x x dV=∆=.案例2 [电压改变量]设有一电阻负载25=R Ω，现负载功率P 从400W 变到401W ，求负载两端电压U 的改变量(如下图所示).解: 由电学知，负载功率2U P R =,即U =dU dP dP====，因为25=R ，400P =，1dP =，所以电压U 的改变量为1U dU ∆≈=125.0=（V ）.U案例3 [收入增加量] 某公司生产一种新型游戏程序，假设能全部出售，收入函数为R=20236x x -, 其中x 为公司一天的产量，如果公司每天的产量从250增加到260，请估计公司每天收入的增加量．解: 公司每天产量的增加量为10x ∆=，用dR 估计每天的收入增加量为R dR ∆≈=210(36)20x x x x∆='-∆360x =-．案例4 [放大电路] 某一负反馈放大电路，记其开环电路的放大倍数为A ，闭环电路的放大倍数为f A，则它们二者有函数关系10.01f AA A =+．当410A =时，由于受环境温度变化的影响，A 变化了10％，求fA 的变化量是多少？fA 的相对变化量又为多少？解: 由于410A =时，100f A ≈，用fdA 近似计算fA ∆，得f f A dA ∆≈=()f A A'∆，其中 ()f A '=()10.01A A '+2110.01A =+（）．fA 的变化量约为4100.1fA A AA =∆=∆≈42100.1110.01A A AA A =∆=⋅∆+（）4420.11010.0110⨯=+⨯（） 0.098≈，fA 的相对变化量约为ff A A ∆40.098/1009.810-≈=⨯案例5 [钟表误差] 一机械挂钟的钟摆的周期为1s ，在冬季，摆长因热涨冷缩而缩短了0.01cm ，已知单摆的周期为g lT π2=，其中980g =cm/s 2，问这只钟每秒大约快还是慢多少？解: 因为钟摆的周期为1秒，所以有glπ21=，解之得摆的原长为2)2(πgl=，又摆长的改变量为0.01l∆=-厘米，用dT近似计算T∆，得dTT dT l ldlπ∆≈=∆=，将2)2(πgl=，0.01l∆=-代入上式得)01.0()2(12-⨯⋅=∆=≈∆πππgglgldTT22(0.01)0.0002gπ=⨯-≈-(秒)这就是说，由于摆长缩短了0.01厘米，钟摆的周期相应地缩短了约0.0002秒．.。