微分学应用问题案例

22

005(2)5(2)lim lim 10V V I V I V V

∆→∆→∆-+∆--===∆∆100

d d )2000('2000

==

=T T

C

f 第二章 导数与微分及其应用

一．导数—瞬时变化率

案例1[低频跨导] 具有PN 节的半导体器件，其电流微变和引起这个变化的电压微变之比称为低频跨导．一种PN 节的半导体器件，其转移特性曲线方程为2

5I U =，求电压2U =-V 时的低频跨

导．

解: 低频跨导是电流微变和引起这个变化的电压微变之比，它在2V =-伏时的变化率为

案例2 [人口增长率]《全球2000年报告》指出世界人口在1975年为41亿，并以每年2％的相对比率

增长．若用P 表示自1975年以来的人口数，求dt dP ,0

=t dt dP

，15

=t dt

dP ，它们的实际意义分别是什么？

解: dt dP 表示世界人口总量关于时间的变化率，即 ()()

lim t dP P t t P t dt t ∆+∆-=∆，

在[,]t t t +∆时间内，世界人口的增长可视为是匀速增长的，由于相对比率为2％，速度为2()P t ％，即

()()2()P t t P t P t t +∆-≈∆％，故有 dt dP

=2％()P t ，

由于世界人口每年都以2％的相对比率增长，所以

dt dP 0

==t dt

dP 15

==

t dt

dP =2％()P t ，

案例 3 [铜矿开采费]从一个铜矿中开采T 吨铜矿的花费为

)(T f C =元，)2000('f = 100意味着什

么？

解: 对于．

因C 的单位为元，T 的单位为t ，所以T C

d d 的单位为元/t ，

100)2000('=f 表明当有2000t 铜矿从矿

中被开采出来时，再开采1t 铜矿需花费100元．

二、导数的运算

案例1[电流] 电路中某点处的电流i 是通过该点处的电量q

关于时间t 的瞬时变化率，如果某一电路中的电

量为 =)(t q t t +3

．求(1) 电流函数)(t i ；(2) 3=t 时的电流是多少？

(3) 什么时候电流为49．

解: （1）

()dq

i t dt =

(=3

)t t '+3()t t ''=

+（)231t =+； （2）

(3)i =23

(31)t t =+233128=⨯+=；

(3) 解方程

2

()3149i t t =+=，得4t =± （舍去负值），即当4t =时，电流为49．

案例2 [速度]已知某物体做直线运动，运动方程为2

(1)(1)s t t =++，s (单位：m)，t (单位：s) ．求

在3t =s 时物体的速度？

解: 物体运动的速度为

d d s

v t =

=2

[(1)(1)]t t '++

22(1)(1)(1)(1)t t t t ''=+++++

2

2(1)(1)1t t t =+++⨯2321t t =++， 3t =s 时的速度为

3

t v

==23

(321)

t t t =++=34(m/s).

案例 3 [电压的变化率] 一个电阻为3Ω，可变电阻为

R

的电路中的电压由下式给出：

325

6++=

R R V ．求在 7R =Ω时电压关于可变电阻R 的变化率．

解: 电压V 关于可变电阻R 的变化率为

6253R V R +''=+（

）26(3)(625)(3)R R R +-+=+2

3R =+7

-（），

在7R =Ω时电压关于可变电阻R 的变化率为

7

27

0.0710R V ='

=-

=-.

案例4 [并联电阻] 当电流通过两个并联电阻

21,r r 时，

总电阻由下式给出： 求R 对1r

的变化率．假定

2r 是常量．

由因为

2r 是常数，所以

解: 1dR dr =12112r r d dr r r +（）221212

2221212)r r r rr r r r r r +-==++（（）（）

案例5 [制冷效果] 某电器厂在对冰箱制冷后断电测试其制冷效果， t h 后冰箱的温度为

20105.02-+=

t t

T (单位：0

C )．问冰箱温度T 关于时间t 的变化率是多少

解: 冰箱温度T 关于时间t 的变化率为

dT

dt =2(

20)0.051t t '-+2()(20)0.051t t ''=-+

22(0.051)20.050(0.051)t t t +-⨯=

-+22

(0.051)t =

+(0/C 小时).

案例6 [放射物的衰减] 放射性元素碳-14（1g ）的衰减由下式

给出：其中Q 是t 年后碳-14存余的数量(单位：g)．问碳-14的衰减速度（单位：g/a ）是多

少？

解: 碳-14的衰减速度v 为

=

0.000121()t e -'0.0001210.000121)t

e t -'=-（0.0001210.000121t e -=-(g/a) ．

案例7 [钢棒长度的变化率] 假设某钢棒的长度L （单位：cm ）取决于气温H （单位：0

C ），而气温H

又取决于时间t （单位：h ），如果气温每升高10

C ，钢棒长度增加2cm ，而每隔1小时，气温上升30

C ，问钢棒

长度关于时间的增加有多快？

12

111R r r =+

12

111

R r r =+

1212

r r R r r =

+t

e Q 000121.0-=dQ

v dt

=