]2010年上海市松江一中高二上学期期中考试(数学含答案)
(整理版)松江二中第一学期期中考试卷
松江 度第一学期期中考试卷高二数学〔第I 卷〕一． 填空题〔每题4分，共48分〕1．过点(2,3)M -，且垂直于x 轴的直线方程为 ▲ ． 2．一个关于,x y 的二元一次方程组的增广矩阵是112012-⎛⎫ ⎪⎝⎭，那么x y += ▲ ．3．设()()2,3,1,1a b =-=-，c 是a b -的单位向量，那么→c 的坐标是 ▲ ．4．直线03)1(3=+++y a x 与022=++y ax 互相平行，那么实数a 的值等于 ▲ ．5．过点(5,2)P -且与直线50x y --=相交成45°角的直线l 的方程 ▲ ．6．三阶行列式42354112k ---第2行第1列元素的代数余子式为10-，那么=k __▲_____．7．点)0,10(-A ，)5,0(B ，假设53AB BP =，那么点P 到直线0543=-+y x 的距离 是 ▲ ．8．直线l :y ＝3(sin )13x θ+的倾斜角α的取值范围是 ▲ ．9．阅读右边的程序框图，该程序输出的结果是 ▲ ．10．在四边形ABCD 中，(1,1)AB DC ==，3BA BC BD BA BC BD+=，那么四边形ABCD 的面积是 ▲ ． 11．向量(1,2)a =,(2,1)b =-，假设存在正数k 和t ，使得向量2(1)c a t b =++与1d ka b t =-+互相垂直，那么k 的最小值是 ▲ .12．设函数xx f +=11)(，点0A 的坐标为(0,0)，点)))((,(*∈N n n f n A n ，假设向量01121n n n a A A A A A A -=+++，θ是n a 与i 的夹角〔其中)0,1(=i 〕，设12tan tan tan n n S θθθ=+++，那么=∞→n n S lim _____▲_______． 二、选择题〔每题4分，共16分〕13．假设向量)sin ,(cos αα=a ，)sin ,(cos ββ=b ，那么a 与b 一定满足 〔 ▲ 〕A ．夹角为βα-B ．)()(b a b a -⊥+C ．b a //D ．b a ⊥14．设a 、b 、c ▲〕 ①0)()(=⋅-⋅b a c c b a ； ②a b a b -<-；③b a c a c b )()(⋅-⋅与c 垂直； ④0=+b a μλ0,0==⇔μλ〔μλ,为实数〕；A. ①②③B. ②③④C. ①③④D. ①②③④15．假设点(2,0)A -和点B 〔4，8〕到直线l 的距离等于4，那么直线l 的条数是 〔 ▲ 〕A ．1B ．2C ．3D ．416．点),(111y x P 、),(222y x P 分别在直线l 上和在l 外，假设直线l 的方程为0),(=y x f ，那么方程0),(),(),(2211=--y x f y x f y x f 表示 〔 ▲ 〕A ．与l 重合的直线B ．与l 平行，且过1P 的直线C ．与l 平行，且过2P 的直线D ．同时过1P 、2P的直线 三、解答题〔共36分〕17．〔8分〕用行列式讨论关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=++=+mmy x m y mx 21解的情况并求解.18．〔9分〕 设平面内的向量)7,1(=OA ，)1,5(=OB ，)1,2(=OM ，点P 是直线OM 上的一个动点，求当PB PA ⋅取最小值时，OP 的坐标及∠APB 的余弦值．〔8分〕19．〔9分〕等边三角形ABC 中，P 在线段AB 上，且AP AB λ=，假设CP AB PA PB ⋅=⋅，求实数λ的值.20．〔10分〕过点P (4,2)作相互垂直的直线1l 和2l ，使得1l 与x 轴的正半轴相交于点A ，2l 与y 轴的正半轴相交于点B ，假设直线AB 平分四边形OAPB 的面积，求直线AB 的方程．松江 度第一学期期中考试卷高二数学〔第II 卷〕一．填空题：〔每题5分，共20分〕1．)2,(λλ=→a ，)2,3(λ=→b ，如果→a 与→b 的夹角为锐角，那么λ的取值范围是 ▲.2．直线0=-y x 绕着点)1,1(P 逆时针旋转12π得到的直线方程为 ▲ . 3．等腰三角形两腰所在直线的方程分别为20x y +-=与740x y --=，原点在等腰三角形的底边上，那么底边所在直线的斜率为 ▲ .4．设全集{}R y R x y x U ∈∈=,),( ，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧=--=124),(x y y x M ，{}x y y x N 2),(≠=，那么U M C N ⋂= ▲ .二．解答题〔共30分〕5．〔13分〕三角形ABC 的两个顶点(1,5)A -和(0,1)B -，又知C ∠的平分线所在的直线方程为2360x y -+=，求直线AB 、BC 方程.6．〔17分〕如图，抛物线221x y -=上有两点1122(,)(,)A x y B x y 、，且0OA OB ⋅=，又(02)OM =-，.〔1〕求证：AM AB〔2〕假设2MA MB =-，求AB 所在直线方程.。
高二(上学期)期中考试数学试卷及答案
高二（上学期）期中考试数学试卷及答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．一直线过点(0,3),(3,0)-，则此直线的倾斜角为（ ）A ．45°B ．135°C ．－45°D ．－135°2．已知{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 为其前n 项和．若3133S a =+，则d =（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．23．已知ABC 的顶点B ，C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC 的周长是（ ）A ．B ．6C ．4D ．4．设a R ∈，若直线10ax y +-=与直线10x ay ++=平行，则a 的值是（ ）A ．1B ．1,1-C ．0D ．0，15．已知直线:sin cos 1l x a y a -=，其中a 为常数且[0,2)a π∈．有以下结论：①直线l 的倾斜角为a ；①无论a 为何值，直线l 总与一定圆相切；①若直线l 与两坐标轴都相交，则与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1；①若(,)p x y 是直线l 上的任意一点，则221x y +≥．其中正确结论的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>满足b a =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则双曲线C 的方程为（ ）A ．22145x y -= B ．221810x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -= 7．在平面直角坐标系xoy 中，已知点()3,1P -在圆222:22150C x y mx y m +--+-=内，动直线AB 过点P 且交圆C 于,A B 两点，若ABC 的面积的最大值为8，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(3-+B ．[]1,5C ．][(35,3-⋃+D ．][(),15,∞∞-⋃+8．已知A ，B 为圆22:2430C x y x y +--+=上的两个动点，P 为弦AB 的中点，若90ACB ∠=︒，则点P 的轨迹方程为（）A ．221(1)(2)4x y -+-=B ．22(1)(2)1x y -+-=C ．221(1)(2)4x y +++=D ．22(1)(2)1x y +++=二、多选题9．已知直线30ax y a -+-=在两坐标轴上的截距相等，则实数=a （ ）A ．1B ．1-C ．3D ．3-10．设抛物线24y x =，F 为其焦点，P 为抛物线上一点.则下列结论正确的是（ ）A ．若()1,2P ，则2PF =B ．若P 点到焦点的距离为3，则P 的坐标为(2,.C ．若()2,3A ，则PA PF +D ．过焦点F 做斜率为2的直线与抛物线相交于A ，B 两点，则6AB =11．如图，椭圆221:13+=x C y 和222:13y C x +=的交点依次为,,,.A B C D 则下列说法正确的是（ ）A ．四边形ABCD 为正方形B ．阴影部分的面积大于3.C ．阴影部分的面积小于4.D ．四边形ABCD 的外接圆方程为222x y +=12．已知圆222:22(1)2230()C x y mx m y m m m R ++-+++-=∈上存在两个点到点(0,1)A -的距离为4，则m 的可能的值为A ．1B ．1-C ．3-D ．5-三、填空题13．设()1,0F c -，()2,0F c 分别为椭圆()222210x y a b a b +=>>的左，右焦点，若直线22a x c=上存在点P ，使22PF c =，则椭圆离心率的取值范围为______.14．已知在数列{}n a 中，12a =，111n na a +=-，*n N ∈，则2021a =________．15．已知焦点为1F ，2F 的双曲线C P 为C 上一点，且满足2123PF PF =，若12PF F △的面积为C 的实轴长为________四、双空题16．抛物线2:2C y x =的焦点坐标是______；经过点()4,1P 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且点P 恰为AB 的中点，F 为抛物线的焦点，则AF BF +=______．五、解答题17．已知{n a }为等差数列，Sn 为其前n 项和，若1356,0a a a =+=．(1)求数列{n a }的通项公式；(2)求Sn ．18．已知A (4, 9), B (6, 3)两点，求以线段AB 为直径的圆的方程．19．已知直线10:4l mx y ++=和直线()()2:2100,0l m x ny m n +-+=>>互相垂直，求m n 的取值范围． 20．已知①ABC 的顶点A （-1，5），B （-1，-1），C （3，7）.(1)求边BC 上的高AD 所在直线的方程；(2)求边BC 上的中线AM 所在直线的方程；(3)求①ABC 的面积.21．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，且M 点的纵坐标为4，52p MF =．(1)求抛物线C 的方程；(2)过点(0,4)Q -作直线交抛物线C 于,A B 两点，试问抛物线C 上是否存在定点N 使得直线NA 与NB 的斜率互为倒数？若存在求出点N 的坐标，若不存在说明理由．22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，以椭圆C 的四个顶点为顶点的四边形面积为 (1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 的左顶点为A ，右焦点是F ．点P 是椭圆C 上的点（异于左、右顶点），M 为线段PA 的中点，过M 作直线PF 的平行线l ．延长PF 交椭圆C 于Q ，连接AQ 交直线l 于点B ．①求证：直线l 过定点．①是否存在定点1D 、2D ，使得12BD BD +为定值，若存在，求出1D 、2D 的坐标；若不存在说明理由．参考答案：1．A【分析】根据斜率公式求得直线的斜率，得到tan 1α=，即可求解.【详解】设直线的倾斜角为α， 由斜率公式，可得03130k -==--，即tan 1α=， 因为0180α≤<，所以45α=，即此直线的倾斜角为45.故选：A.2．C【解析】根据{}n a 是公差为d 的等差数列，且3133S a =+，利用等差数列的前n 项和公式求解.【详解】因为{}n a 是公差为d 的等差数列，且3133S a =+，所以113333a d a +=+，解得1d =，故选：C3．D【分析】先由椭圆方程求出a =.【详解】由椭圆2213x y +=，得：a =由题意可得ABC 的周长为:221224AC CF F B BF a a a +++=+==.故选：D.4．A【分析】根据两直线平行则两直线斜率相等截距不相等可得答案.【详解】0a =时，两直线为10y -=、直线10x +=，显然不平行；所以0a ≠，两直线为1y ax =-+，1(1)=-+y x a， 所以1a a -=-，且11a -≠， 解得1a =．故选：A.5．C【分析】根据直线的性质及直线与圆的关系对选项一一判断即可.【详解】对于①，直线l 的倾斜角的取值范围为[0,)π，与角a 的不同，故①错误；对于①，(0,0)1=，则无论a 为何值，直线l 总与221x y +=相切，故①正确；对于①，若直线l 与两坐标轴都相交，则截距分别为1sin a ，1cos a -，则与两坐标轴围成的三角形的面积为111112sin cos sin 2a a a⋅=≥，故①正确； 对于①，由①知直线l 总与221x y +=相切，则直线l 上的点到原点的距离大于等于1，即221x y +≥，故①正确；综上所述，①①①共3个正确；故选：C6．A【分析】根据题意，结合椭圆与双曲线的几何性质，列出方程，求得,a b 的值，即可求解. 【详解】由椭圆的标准方程为221123x y +=，可得21239c =-=，即3c =， 因为双曲线C 的焦点与椭圆221123x y +=的焦点相同，所以双曲线C 中，半焦距3c =，又因为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>满足b a =，即b =，又由222+=a b c ，即229a ⎫⎪⎪⎝⎭+=，解得24a =，可得25b =， 所以双曲线C 的方程为22145x y -=. 故选：A ．7．C【分析】由题知圆心为(),1,4C m r =，进而根据三角形面积公式得ABC 面积最大时，AB =，圆心C 到直线AB 的距离为4PC ≤<即可得答案.【详解】解：圆222:22150C x y mx y m +--+-=，即圆()()22:116C x m y -+-=，即圆心为(),1,4C m r =， 所以ABC 的面积为21sin 8sin 82ABC S r ACB ACB =∠=∠≤△，当且仅当2ACB π∠=，此时ABC 为等腰直角三角形，AB =C 到直线AB 的距离为= 因为点()3,1P -在圆222:22150C x y mx y m +--+-=内，所以4PC ≤<，即4<，所以，28(3)416m ≤-+<，解得31m -≤或53m ≤<+所以，实数m 的取值范围是][(35,3-⋃+故选：C8．B【分析】在直角三角形中利用几何关系即可获解【详解】圆C 即22(1)(2)2x y -+-=,半径r =因为CA CB ⊥,所以2AB ==又P 是AB 的中点,所以112CP AB == 所以点P 的轨迹方程为22(1)(2)1x y -+-=故选：B9．BC【分析】显然0a ≠，再分30a -=与30a -≠两种情况讨论，若30a -≠，求得直线在,x y 轴上的截距，即可得到方程，解得即可；【详解】解：依题意可知0a ≠，所以当30a -=，即3a =时，直线30ax y a -+-=化为30x y -=，此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当30a -≠，即3a ≠时，直线30ax y a -+-=在x 轴上的截距为3a a-，在y 轴上的截距为3a -，故33a a a -=-，解得1a =-； 综上所述，实数3a =或1a =-.故选：BC10．AC【分析】由抛物线的性质依次计算各选项所求，即可得出结果.【详解】抛物线24y x =，()1,0F .对于A ，()1,2P ，2PF ，A 正确；对于B ，设(,P x ±，()22143x x -+=，2x =，P 的坐标为(2,±.B 错误；对于C,()min PA PF AF +==正确；对于D ，直线:22l y x =-，联立24y x =，得：2310x x -+=，3A B x x +=,2=5B A x x AB ++=,D 错误. 故选：AC.11．ABC【分析】根据曲线的对称性，可判定A 正确；联立方程组求得A 的坐标，求得ABCD 的面积为13S =，可判定B 正确；由直线1,1x y =±=±围成的正方形的面积可判定C 正确；由232OA =，得出圆的方程，可判定D 错误．【详解】由题意，椭圆221:13+=x C y 和222:13y C x +=，根据曲线的对称性， 可得四边形ABCD 为正方形，选项A 正确；联立方程组，求得A ，所以正方形ABCD 的面积为13S =， 所以阴影部分的面积大于3，选项B 正确：由直线1,1x y =±=±围成的正方形的面积为2=4S ，所以阴影部分的面积小于4，选项C 正确；由232OA =，所以四边形ABCD 的外接圆方程为2232x y +=，选项D 错误． 故选：ABC .12．ACD【解析】根据题意，圆()()222:12C x m y m ++-+=⎡⎤⎣⎦与圆()222:14A x y ++=相交，再由两圆圆心距大于两圆半径之差，小于两圆半径之和，列出不等式，解得即可.【详解】由题知，圆()()222:12C x m y m ++-+=⎡⎤⎣⎦与圆()222:14A x y ++=相交，所以，4242CA -<<+，即26，解得()()1,20,171m ∈--，即m 的值可以为：1或3-或5-.故选：ACD.【点睛】本题体现了转化的数学思想，解题的关键在于将问题转化为两圆相交，属于基础题. 13．0e <≤【分析】由题设易知222||a PF c c≥-，结合椭圆离心率的性质即可得离心率的取值范围. 【详解】由题设，222||2a PF c c c=≥-，则22223c e a =≤，而01e <<，所以0e <≤故答案为：0e <≤14．12##0.5 【分析】由递推关系依次求出数列的前几项，归纳出周期后可得结论．【详解】由题意12a =，211122a =-=，311112a =-=-，41121a =-=-， 所以数列{}n a 是周期数列，周期为3，所以202136732212a a a ⨯+===． 故答案为：12．15【分析】由2123PF PF =和双曲线定义可得12,46a PF a PF ==，再结合余弦定理和c e a ==122cos 3F PF ∠=，利用面积公式1212121||||sin 2PF F S PF PF F PF =∠=a =. 【详解】由题意，221123PF PF PF PF ∴=> 由双曲线定义可知，122PF PF a -=21,46a PF a PF ==∴222222221212122212||||||36164524cos 2||||4848PF PF F F a a c a c F PF PF PF a a +-+--∴∠===又122cos 3c e c F PF a ===∴∠=又1212(0,)sin F PF F PF π∠∈∴∠=122121211||||sin 2422PF F S PF PF F PF a =∠=⨯=221,a ∴=又0a a >∴=故双曲线C16． ()1,0##0.5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭； 9. 【分析】由抛物线的解析式可知22p =，即可得出焦点坐标为1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭；过A 、B 、P 作准线的垂线且分别交准线于点M 、N 、K ，根据抛物线的定义可知AM BN AF BF +=+，由梯形的中位线的性质得出()1942212AM BN PK +==+=，进而可求出AF BF +的结果. 【详解】解：由抛物线2:2C y x =，可知22p =，则122p =， 所以抛物线2:2C y x =的焦点坐标为1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 如图，过点A 作AM 垂直于准线交准线于M ，过点B 作BN 垂直于准线交准线于N ，过点P 作PK 垂直于准线交准线于K ，由抛物线的定义可得AM BN AF BF +=+，再根据()4,1P 为线段AB 的中点，而四边形AMNB 为梯形， 由梯形的中位线可知()1942212AM BN PK +==+=， 则9AM BN +=，所以9AF BF +=. 故答案为：1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭；9. 17．(1)an ＝8﹣2n ；(2)27n S n n =-+.【分析】（1）应用等差数列通项公式求基本量，进而写出通项公式； （2）由等差数列前n 项和公式求Sn . （1）设等差数列{an }的公差为d ，由a 1＝6，a 3+a 5＝0，则6+2d +6+4d ＝0，解得d ＝﹣2， 因此an ＝a 1+（n ﹣1）d ＝8﹣2n ， 所以{an }的通项公式为an ＝8﹣2n ． （2）由题意知：()21172n n n S na d n n -=+=-+，18．(x -5)2＋(y -6)2＝10【分析】根据题意，求得圆心和半径，即可直接写出圆的标准方程.【详解】因为线段AB 为直径，所以线段AB 的中点C 为该圆的圆心，即C (5, 6)．又因为AB ，所以所求圆的半径r ＝2AB， 因此，所求圆的标准方程为(x －5)2＋(y －6)2＝10. 19．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】通过两直线垂直的充要条件得到22n m m =+，然后两边同时除以m ，使用不等式即可解决. 【详解】因为12l l ⊥，所以()()210m m n ++⨯-=，所以22n m m =+，因为0m >，所以2221m m m m n m +==+． 因为0m >，所以22m +>，所以11022m <<+，故m n 的取值范围为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭． 20．(1)x +2y -9=0 (2)4y x =-+ (3)12【分析】（1）求得BC k ，根据垂直关系可得12AD k =-，再根据点斜式求解高AD 所在直线的方程即可；（2）根据中点坐标公式，结合两点式方程求解即可；（3）根据两点式方程可得边BC 所在直线的方程，再根据点到线的距离公式可得点A 到直线BC 的距离，进而根据三角形的面积公式求解即可. （1） 因为7(1)23(1)BC k --==--，所以12AD k =-，从而边BC 上的高AD 所在直线的方程为()1512y x -=-+，即x +2y -9=0（2）因为M 是BC 的中点，所以M （1，3），从而边BC 上的中线AM 所在直线的方程为315311y x --=---，即4y x =-+ （3）由题意知，边BC 所在直线的方程为()()()()117131y x ----=----，即210,x y BC -+==所以点A 到直线BC 的距离h ==ABC 的面积1122BC h =⋅=.21．(1)24y x =(2)存在，()44，【分析】（1）利用抛物线的焦半径公式求得点M 的横坐标，进而求得p,可得答案;（2）根据题意可设直线方程，和抛物线方程联立，得到根与系数的关系式，利用直线NA 与NB 的斜率互为倒数列出等式，化简可得结论. (1)（1）0(,4)M x 设 则05||22p pMF x =+=， 02x p ∴=， 2416p ∴=，0,2p p >∴=，故C 的方程为：24y x = ；(2)假设存在定点N ，使得直线NA 与NB 的斜率互为倒数， 由题意可知，直线AB 的斜率存在，且不为零，(4)AB x m y =+设的方程为，2011220(,),(,),(,)4y A x y B x y N y ，()244x m y y x ⎧=+⎨=⎩由， 24160y my m --=得，所以{Δ>0y 1+y 2=4m y 1y 2=−16m ， 即4m <- 或0m > ，01020102222222000012010212441444444NA NB y y y y y y y y k k y y y y y y y y y y x x ----∴⋅=⋅=⋅=⋅=++---- 2001212()16y y y y y y ∴+++=，200(416)160y m y ∴-+-=恒成立，则024160160y y -=⎧⎨-=⎩ ，04y ∴=， (4,4),N ∴存在定点使得直线NA 与NB 的斜率互为倒数. 22．(1)2211612x y +=；(2)（i ）证明见解析；（ii ）存在，且()13,0D -、()21,0D -.【分析】（1）根据已知条件得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，可得出椭圆C 的方程； （2）（i ）分析可知直线PQ 不与x 轴重合，设设直线PQ 的方程为2x my =+，设点()00,P x y 、()11,Q x y ，写出点M 的坐标，化简直线l 的方程，即可得出直线l 所过定点的坐标；（ii ）点(),B x y ，写出点B 的坐标，利用相关点法求出点B 的轨迹方程，可知点B 的轨迹为椭圆，求出椭圆的两个焦点坐标，结合椭圆的定义可得出结论. (1)解：由题意可得222121222c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪⋅⋅=⎨⎪=+⎪⎪⎩42a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 因此，椭圆C 的方程为2211612x y +=. (2)解：（i ）易知点()2,0F 、()4,0A -，若PQ 与x 轴重合，则P 或Q 与点A 重合，不合乎题意，设直线PQ 的方程为2x my =+，设点()00,P x y 、()11,Q x y ，点M 的坐标为004,22x y -⎛⎫⎪⎝⎭，直线MB 的方程为00422x y x m y -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭且002x my =+， 所以，直线l 的方程为1x my =-，因此，直线l 过定点()1,0-. （ii ）因为B 为AQ 的中点，则114,22x y B -⎛⎫ ⎪⎝⎭，且有221111612x y +=， 设点(),B x y ，则11422x x y y -⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得11242x x y y =+⎧⎨=⎩， 所以，()()2224211612x y ++=，即()222143x y ++=，即点B 的轨迹方程为()222143x y ++=，因为椭圆22143x y +=的两个焦点坐标分别为()1,0-、()1,0， 椭圆()222143x y ++=可由椭圆22143x y +=向左平移2个单位得到， 故椭圆()222143x y ++=的两个焦点坐标别为()3,0-、()1,0-， 故存在定点()13,0D -、()21,0D -使得124BD BD +=为定值. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.。
2010～2011学年度第一学期期中考试高二数学试题及答案(理科)
2010～2011学年度第一学期期中考试高二数学试题及答案（理科）2010～2011学年度第一学期期中考试高二数学试题（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
请把答案填写在答题卡相应的位置上. 学科网 1．已知命题，则 : . 2．“ ”是“直线与圆相交”的条件。
（充分而不必要条件、必要而不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件） 3. 函数，的单调递增区间是． 4. 有下列四个命题：（1）“若，则”的逆命题；（2）“全等三角形的面积相等”的否命题；（3）“若，则有实根” 的逆命题；（4）“若，则”的逆否命题。
其中真命题的个数是________. 5．若，则等于 6．已知数列{an}的前n项和，则数列{an}成等比数列的充要条件是r＝． 7．计算 8．观察下列等式：,……，根据上述规律，第五个等式为¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬ ____ ________. 9．已知复数满足 =2，则的最大值为． 10．设… ，则 . 11．已知函数在处有极大值，则 = 。
12. 已知函数f(x) 在R上满足f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8，则f’(1)= .13．已知扇形的圆心角为（定值），半径为（定值），分别按图一、二作扇形的内接矩形，若按图一作出的矩形面积的最大值为，则按图二作出的矩形面积的最大值为 . 14.若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于 .二、解答题 15.（本小题满分14分）已知为复数，和均为实数，其中是虚数单位．（Ⅰ）求复数；（Ⅱ）若复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围．16．（本小题满分14分）已知 p：，q：．⑴ 若p是q充分不必要条件，求实数的取值范围；⑵ 若“非p”是“非q”的充分不必要条件，求实数的取值范围．17. (本题满分15分) 已知a、b∈（0，+∞），且a+b=1, 求证：(1) ab≤ (2) + ≥8; (3) + ≥ . (5分+5分+5分)18. (本题满分15分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=n2an （n∈N*）. （1）试求出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式； (7分) （2）用数学纳法证明你的猜想，并求出an的表达式. (8分) 19.（本小题满分16分）两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065. （1）按下列要求建立函数关系式：（i）设（rad），将表示成的函数；并写出函数的定义域. (5分) （ii）设（km），将表示成的函数；并写出函数的定义域. (5分) （2）请你选用（1）中的一个函数关系确定垃圾处理厂的位置，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？ (6分) 20．（本小题满分16分）已知函数的图象过点，且在点处的切线与直线垂直． (1) 求实数的值； (6分) (2) 求在（为自然对数的底数）上的最大值； (5分) (3) 对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点，使得是以为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？ (5分) 2010～2011学年度第一学期期中考试高二数学试题（理科）参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
【优质文档】2010—2011第一学期高二数学期中试题
17． (本小题满分 12 分 )比较 x6 1与 x 4 x2 的大小，其中 x R .
y 轴反射后到点
B( 1,6) ，
18． (本小题满分 12 分 )已知直线 l 满足下列两个条件： （1） 过直线 y x 1和 y 2x 4 的交点；（2） 与直线 x 3 y 2 0垂直，求直
线 l 的方程 .
2010—— 2011 第一学期高二数学期中试题
第 I 卷（选择题 共 60 分）
一、选择题 （本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
1．已知 a、 b、 c R ,下列命题中正确的是
A ． a > b ac2 > bc2
B ． ac 2 > bc2
a> b
（）
C． a3 > b3
1< 1 ab
（
4
1 A． 或 3
3
1 B． 或 3
3
1 C． 或 3
3
D． 1 或 3 3
5．若直线 (2a 5) x (a 2) y 4 0 与直线 (2 a)x ( a 3) y 1 0 互相垂直，则
为（ ）
） a 的值
A． a 2
B． a 2
C． a 2或 a 2 D ． a 2,0, 2
6．若 M ( x, y) 在直线 x 2 y 1 0 上移动时 , 则 2x 4 y 的最小值是
9．点 P1 (x1, y1 ) 是直线 l : f ( x, y) 0 上一点，直线 l 外一点 P2 (x2, y2) ，则方程
f ( x, y) f (x1, y1) f ( x2, y2 ) 0 表示的直线是
（）
A ．与 l 重合
B．过 P1 与 l 垂直 C．过 P2 与 l 平行
高二上数学期中考试(含答案)
2010～2011学年度上学期期中阶段测试高二理科数学试卷考试时间；120分钟 试卷满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每题四个选项中只有一个选项是符合题目要求的）1、命题“若b a >，则88->-b a ”的逆否命题是 A 、若b a <，则88-<-b a B 、若88->-b a ，则b a > C 、若b a ≤，则88-≤-b a D 、若88-≤-b a ，则b a ≤2、若实数c b a ,,满足||||b c a <-，则下列不等式中成立的是 A 、||||||c b a ->B 、||||||c b a +<C 、b c a ->D 、c b a +<3、已知条件2|1:|>+x p ，条件a x q >:，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围是A 、1-≥aB 、1≤aC 、1≥aD 、3-≤a4、“3>k ”是“方程13322=+--k y k x 表示双曲线”的（ ）条件 A 、充分不必要B 、必要不充分C 、充要D 、既不充分也不必要5、在平面直角坐标系中，设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧--≤>>)4(00x n y y x 所表示的平面区域记为D n ，记D n 内的整数点的个数为n a )(*N n ∈，则2a 是 A 、6B 、8C 、10D 、126、命题"1||1||||R ,:"的充分不必要条件是，则若>+>+∈b a b a b a p ，命题)"1,0(1|1|:"的解集为不等式->-x x x x q ，则有 A 、是假命题q p ∨ B 、是真命题q p ∧ C 、是假命题q p ∨⌝D 、是真命题q p ∨⌝7、如果椭圆193622=+y x 的弦被点（4,2）平分，则这条弦所在直线方程是 A 、02=-y xB 、042=--y xC 、01232=-+y xD 、082=-+y x8、过双曲线的一个焦点F 2作垂直于实轴的弦PQ ，F 1是另一个焦点，若21π=∠Q PF ，则双曲线的离心率e 为 A 、12-B 、2C 、12+D 、22+9、命题甲：“22,2,211x x x-⎪⎭⎫ ⎝⎛是等比数列”，命题乙：“)3lg(),1lg(,lg ++x x x 是等差数列”，则甲是乙成立的（ ）条件 A 、必要不充分 B 、充分不必要C 、充要D 、既不充分也不必要10、如图，目标函数y ax u -=的可行域为四边形OACB （含边界），若点C ⎪⎭⎫⎝⎛54,32是该目标函数的最优解，则a 的取值范围是 A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡--125,310 B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡--103,512C 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡512,103D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-103,512 11、已知F 1、F 2是椭圆17922=+y x 的两个焦点，A 为椭圆上一点，且︒=∠4521F AF ，则21F AF △的面积是A 、7B 、47 C 、27 D 、257 12、若21,b b 都满足关于x 的不等式021<--a x a x 且2121,a a b b <<，则下列结论正确的是 A 、2211b a b a <<< B 、2211a b a b <<< C 、2211a b b a <<<D 、2211b a a b <<<二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13、21,72<<<<-b a ，则ba的取值范围是_____________ 14、∅≠⋂≤≤=+-==+-+=B A x y x y x B y mx x y x A },20,01|),{(},02|),{(2且，则实数m 的取值范围是____________15、不等式224142xx -<-的解集为_______________16、已知D 是由不等式组2030x y x y -≥⎧⎨+≥⎩，所确定的平面区域，则圆 224x y +=在区域D内的弧长为_______________三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17、（本小题满分12分）已知命题02:221=--mx x x x p 是方程和的两个实根，不等式||35212x x a a -≥--对任意实数]1,1[-∈m 恒成立；命题有解不等式012:2>-+x ax q ，若p 是真命题，q 是假命题，求a 的取值范围 18、（本小题满分12分）如图，过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 的直线与抛物线相交于M 、N 两点，自M 、N 向准线l 作垂线，垂足分别为11,N M ， （1）求证：11FN FM ⊥；（2）记1111FNN N FM FMM 、△、△△的面积分别为321S S S 、、，试判断31224S S S =是否成立，并证明你的结论。
2024学年上海市松江区高二数学上学期期中练习卷及答案解析
2024学年上海市松江区高二数学上学期期中练习卷考试时间：120分钟试卷满分：150分一、填空题（本大题满分54分，第1~6题，每空4分；第7~12题，每空5分）1.已知空间向量()1,0,2a =-，()0,3,1b =-，则⋅=a b _________________.2.直线与平面所成角的范围是_________________.3.已知球的半径为3，则球的表面积为_______________4.若A ∈面α，B ∉面α，C ∉面α，则平面ABC 与平面α的位置关系_________.5.已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图是圆心角等于π的扇形，则该圆锥的体积为_____________.6.如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱BC ，1CC 的中点，则异面直线EF 与11B D 所成的角为______.7.如图，PA ⊥圆O 所在平面，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，其中3AC =，4PA =，5BC =，则PB 与平面PAC 所成角的正弦值为_____________.8.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则二面角11B AC D --的大小为_____________.（结果用反三角函数表示）9.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为1CC 上的动点，则1D E EB +的最小值为___________.10.圆柱底面半径为1，高为2，AB为上底底面的直径，点C是下底底面圆弧上的一个动点，点C绕着下底底面旋转一周，则ABCV面积的范围是___________________.11.已知圆柱的底面半径为1，高为2，AB，CD分别为上、下底面圆的直径，当AB CD⊥，则四面体ABCD的体积为_____________.12.如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放小球的最大半径为r.若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为a，则r a=___________.二、选择题（本大题满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）13.“平面α内有一条直线l，则这条直线上的一点A必在这个平面内”用符号语言表述是（）A.lAA lαα⊂⎫⇒⊂⎬⊂⎭B.lAA lαα⊂⎫⇒∈⎬∈⎭C.lAA lαα∈⎫⇒∈⎬⊂⎭D.lAA lαα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭14.若用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如下图的一个正方形，则原来图形是（）A.B.C.D.15.设m，n是两条不同的直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A.若m//α，n⊂α，则m//nB.若m//α，m⊥n，则n⊥αC.若m⊥α，m⊥n，则n//αD.若m⊥α，n//α，则m⊥n16.如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，侧面11CDD C 上有一个小孔E ，E 点到CD 的距离为3，若该正方体水槽绕CD 倾斜（CD 始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面11CDD C 与桌面所成的锐二面角的正切值为（）A.55B.12C.255D.2三、解答题（本大题共5题，满分78分）17.如图，长方体1111ABCD A B C D -中，11,2AB AD AA ===，点P 为1DD 的中点.（1）求证:直线1//BD 平面PAC ;（2）求异面直线1BD 、AP 所成角的大小.18.如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是6cm ，圆柱筒长2cm .（1）求“浮球”的体积：（2）要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需要胶多少克？19.如图，已知点P 在圆柱1OO 的底面圆O 上，120AOP ∠=o ，圆O 的直径4AB =，圆柱的高13OO =.（1）求点A 到平面1A PO 的距离；（2）求二面角1A PB O --的余弦值大小.20.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱2PA PD ==PA PD ⊥，底面ABCD 为直角梯形，其中//BC AD ，AB AD ⊥，1AB BC ==，O 为AD 的中点.（1）求直线PB 与平面POC 所成角的余弦值；（2）求B 点到平面PCD 的距离；（3）线段PD 上是否存在一点Q ，使得二面角Q AC D --的余弦值为63？若存在，求出PQ QD 的值；若不存在，请说明理由.21.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD △是正三角形，CD ⊥平面PAD ，E ，F ，G ，O 分别是PC ，PD ，BC ，AD 的中点.（1）求证：⊥PO 平面ABCD ；（2）求平面EFG 与平面ABCD 所成的锐二面角的大小；（3）在线段PA 上是否存在点M ，使得直线GM 与平面EFG 所成角为π6，若存在，求线段PM 的长度：若不存在，说明理由.2024学年上海市松江区高二数学上学期期中练习卷考试时间：120分钟试卷满分：150分一、填空题（本大题满分54分，第1~6题，每空4分；第7~12题，每空5分）1.已知空间向量()1,0,2a =-，()0,3,1b =-，则⋅=a b _________________.【答案】2【解析】【分析】根据空间向量数量积运算可求得结果.【详解】因为()1,0,2a =-，()0,3,1b =- ，所以()()1003212a b ⋅=⨯+⨯+-⨯-=故答案为：22.直线与平面所成角的范围是_________________.【答案】π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】利用直线与平面所成角的定义可得结论.【详解】直线和平面所成的角，应分三种情况：①直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；②直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90︒；③直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0︒．显然，斜线和平面所成角的范围是π(0,2；直线和平面所成的角的范围为π[0,]2．故答案为：π[0,2．3.已知球的半径为3，则球的表面积为_______________【答案】36π【解析】【分析】由球的表面积公式计算即可.【详解】因为球的半径为3，所以球的表面积为224π4π336πS r ⨯===.故答案为：36π.4.若A ∈面α，B ∉面α，C ∉面α，则平面ABC 与平面α的位置关系_________.【答案】相交【解析】【分析】根据给定条件利用平面的基本事实直接判断即可.【详解】因A ∈面α，B ∉面α，C ∉面α，则面ABC 与面α有公共点A ，且不重合，所以面ABC 与面α的位置关系是相交.故答案为：相交5.已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图是圆心角等于π的扇形，则该圆锥的体积为_____________.【答案】3【解析】【分析】首先根据展开图和圆锥的关系，可设圆锥的底面半径为r ，则在展开图扇形中有ππ2rl=，求得r ，求得圆锥的高为h =，利用圆锥的体积公式即可得解.【详解】设圆锥的底面半径为r ，则展开图扇形的弧长为2πr ，展开图的半径为母线长2l =，所以2πππ22r rl ==，解得1r ===，所以211π1333V S h ==⨯⨯⨯ .故答案为：3π3.6.如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱BC ，1CC 的中点，则异面直线EF 与11B D 所成的角为______.【答案】60︒【解析】【分析】先利用平行关系找到11AD B ∠为异面直线EF 和11B D 所成的角或其补角，再利用正方体性质求角的大小即可.【详解】连接1BC ，1AD ，1AB ，则EF 为1BCC 的中位线，∴1//EF BC .又∵AB //CD //11C D ，∴四边形11ABC D 为平行四边形，∴11//BC AD .∴1//EF AD .∴11AD B ∠为异面直线EF 和11B D 所成的角或其补角.正方体1111ABCD A B C D -中，易知，1111AB B D AD ==，∴11AB D 为正三角形，∴1160AD B ∠=︒.∴EF 与11B D 所成的角为60︒.故答案为：60︒.7.如图，PA ⊥圆O 所在平面，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，其中3AC =，4PA =，5BC =，则PB 与平面PAC 所成角的正弦值为_____________.【答案】2【解析】【分析】首先证明⊥BC 平面PAC ，然后可得PB 与平面PAC 所成角为BPC ∠，然后可得答案.【详解】因为PA ⊥平面ABC ，⊂BC 平面ABC ，所以PA BC ⊥，因为BC AC ⊥，,,AC PA A AC PA =⊂ 平面PAC ，所以⊥BC 平面PAC ，所以PB 在平面上的射影为PC ，所以PB 与平面PAC 所成角为BPC ∠，因为3,4,5AC PA BC ===，所以5PC ==，PB ==所以sin2BPC ∠==故答案为：28.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则二面角11B AC D --的大小为_____________.（结果用反三角函数表示）【答案】1arccos 3【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求平面法向量，利用公式求解即可.【详解】如图，以D 为原点建立空间直角坐标系，则(2,0,0),(0,2,0)A C ，11(2,2,2),(0,0,2)B D ，∴11(2,2,0),(0,2,2),(2,0,2)AC AB AD =-==-.设平面1B AC 的法向量为(,,)n x y z = ，则220220x y y z -+=⎧⎨+=⎩，令1x =，则1,1y z ==-，故(1,1,1)n =-，同理可得平面1ACD 的法向量为(1,1,1)m =，∴1cos ,3m n m n m n ⋅==，二面角11B AC D --的大小为1arccos 3.故答案为：1arccos3.9.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为1CC 上的动点，则1D E EB +的最小值为___________.【解析】【分析】将正方形11DCC D 、11BCC B 铺平在同一平面上，当1,,D E B 三点共线时，1D E EB +最小，然后可得答案.【详解】如图，将正方形11DCC D 、11BCC B 铺平在同一平面上，当1,,D E B 三点共线时，1D E EB +=10.圆柱底面半径为1，高为2，AB 为上底底面的直径，点C 是下底底面圆弧上的一个动点，点C 绕着下底底面旋转一周，则ABC V 面积的范围是___________________.【答案】⎡⎣【分析】据题意，设上底面圆心为O ，下底面圆心为O '，连接OC ，过C 作CM AB ⊥，垂足为M ，由于AB 为定值，故ABC V 面积的大小随CM 的长度的变化而变化，由图可知，当点M 与点O 重合时以及当点M 与点B 重合时，分别求出CM 的最大值和最小值，即可求出ABC V 面积的范围.【详解】如图1，设上底面圆心为O ，下底面圆心为O '，连接OC ，过C 作CM AB ⊥，垂足为M ，则12ABC S AB CM =⨯⨯△，据题意，AB 为底面直径，是定值，故ABC V 面积的大小随CM 的长度的变化而变化，由图2可知，当点M 与点O 重合时，CM OC ===此时ABC S 取得最大值为122⨯=如图3所示，当点M 与点B 重合时，2CM BC ==，此时ABC S 取得最小大值为12222⨯⨯=，综上所述，ABC V 面积的范围为⎡⎣.故答案为：⎡⎣11.已知圆柱的底面半径为1，高为2，AB ，CD 分别为上、下底面圆的直径，当AB CD ⊥，则四面体ABCD 的体积为_____________.【答案】43【解析】【分析】通过圆柱的特征可得线面垂直，把四面体看做两个共底面的三棱锥即可求体积.【详解】如图所示，圆柱底面圆心记为12,O O ，连接11,CO DO ，∵AB CD ⊥，12AB O O ⊥，122CD O O O =，CD ⊂平面1CDO ，12O O ⊂平面1CDO ，∴AB ⊥平面1CDO ，∴11111142223323ABCD A CDO B CDO CDO V V V S AB --=+=�创创=△.故答案为：43.12.如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放小球的最大半径为r.若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为a，则r a=___________.【答案】)312-【解析】【分析】画出截面图，设储物盒所在球的半径为R，从而利用R表达出小球最大半径r和正方体棱长a，进而求出比值.【详解】设储物盒所在球的半径为R，如图，小球最大半径r满足)1r R+=，所以)1r R==，正方体的最大棱长a满足)2222a R⎛⎫+=⎪⎝⎭，解得：23a R=，∴)131223ra==，故答案为：)312-二、选择题（本大题满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）13.“平面α内有一条直线l，则这条直线上的一点A必在这个平面内”用符号语言表述是（）A.lAA lαα⊂⎫⇒⊂⎬⊂⎭B.lAA lαα⊂⎫⇒∈⎬∈⎭C.lAA lαα∈⎫⇒∈⎬⊂⎭D.lAA lαα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭【答案】B【解析】【分析】根据点与线、点与面的关系是元素和集合的关系，线与面的关系是集合与集合的关系判断即可.⊂，【详解】 平面α内有一条直线l，∴lα点A在直线l上，∴A l∈，∴Aα∈.故选：B.14.若用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如下图的一个正方形，则原来图形是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用斜二测画法判断.【详解】解：由斜二测画法知：平行或与x轴重合的线段长度不变，平行关系不变，平行或与y轴重合的线段长度减半，平行关系不变，故选：A15.设m，n是两条不同的直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A.若m//α，n⊂α，则m//nB.若m//α，m⊥n，则n⊥αC.若m⊥α，m⊥n，则n//αD.若m⊥α，n//α，则m⊥n【答案】D根据线面关系的性质依次判断即可.【详解】对于A，若m//α，n⊂α，则m//n或,m n异面，故A错误；对于B，若m//α，m⊥n，则n与α相交、平行或n在α内，故B错误；对于C，若m⊥α，m⊥n，则n//α或n在α内，故C错误；对于D，若m⊥α，n//α，则m⊥n，故D正确.故选：D.16.如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，侧面11CDD C 上有一个小孔E ，E 点到CD 的距离为3，若该正方体水槽绕CD 倾斜（CD 始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面11CDD C 与桌面所成的锐二面角的正切值为（）A.55B.12C.255D.2【答案】D 【解析】【分析】根据题意，当水恰好流出时，即由水的等体积可求出正方体倾斜后，水面N 到底面B 的距离，再由边长关系可得四边形1NPC H 是平行四边形，从而侧面11CDD C 与桌面所转化成侧面11CDD C 与平面11HD C 所成的角,进而在直角三角形中求出其正切值.【详解】由题意知，水的体积为44232⨯⨯=，如图所示，设正方体水槽绕CD 倾斜后，水面分别与棱1111,,,AA BB CC DD 交于,,,M N P Q ，由题意知3PC =，水的体积为32BCPN S CD = ，所以322NB PC BC CD +⨯⨯=，即344322NB +⨯⨯=，解得1BN =，在平面11BCC B 内，过点1C 作1C H NP 交于H ，则四边形1NPC H 是平行四边形，且11NH PC ==，又侧面11CDD C 与桌面所成的角即侧面11CDD C 与水面MNPQ 所成的角，即侧面11CDD C 与平面11HD C 所成的角,其平面角为111HC C B HC ∠=∠，在直角三角形11B HC 中，111114tan 22B C B HC B H ∠===.故选：D.【点睛】思路点睛：利用定义法求二面角，在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条垂线所成的角即为二面角的平面角.三、解答题（本大题共5题，满分78分）17.如图，长方体1111ABCD A B C D -中，11,2AB AD AA ===，点P 为1DD 的中点.（1）求证:直线1//BD 平面PAC ;（2）求异面直线1BD 、AP 所成角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）π6【解析】【分析】（1）设AC 和BD 交于点O ，则O 为BD 的中点，证得1//PO BD ，结合线面平行的判定定理，即可求解；（2）由（1）知，1//PO BD ，得到异面直线1BD 与AP 所成的角就等于PO 与AP 所成的角，在直角APO△中，即可求解.【小问1详解】由题意得O 为BD 的中点，连结PO ，又因为P 是1DD 的中点，故1//PO BD ，又因为PO ⊂平面PAC ，1⊄BD 平面PAC ，所以直线1//BD 平面PAC .由（1）知，1//PO BD ，所以异面直线1BD 与AP 所成的角就等于PO 与AP 所成的角，故APO ∠即为所求；因为11,2AB AD AA ===，P 为1DD 的中点，则1PD =，则易知1222PA PC AO AC ====，因为O 为AC 中点，则PO AO ⊥，在直角APO △中，可得212sin 2AO APO AP ∠===，又因为π0,2APO ⎛⎤∠∈ ⎥⎝⎦，所以π6APO ∠=.18.如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是6cm ，圆柱筒长2cm .（1）求“浮球”的体积：（2）要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需要胶多少克？【答案】（1）354πcm （2）1200π克【解析】【分析】（1）分别求出两个半球的体积1V ，和圆柱体的体积2V ，即可求出“浮球”的体积；（2）先求出一个“浮球”的表面积，再求出2500个的面积，即可求解.该半球的直径6cm d =，柱筒高2cm h =，所以“浮球”的圆柱筒直径也是6cm ，得球的半径与圆柱底面半径均为3cm R =，所以两个半球的体积之和为33144ππ2736πcm 33V R ==⋅=，而322ππ9218πcm V R h =⋅=⨯⨯=，该“浮球”的体积是31236π18π54πcm V V V =+=+=；【小问2详解】上下两个半球的表面积是224π4π936πcm 球表==⨯⨯=S R ，而“浮球”的圆柱筒侧面积为22π2π3212πcm 圆柱侧==⨯⨯⨯=S Rh ，所以1个“浮球”的表面积为24436π12π48πm 1010+==S ，因此，2500个“浮球”的表面积的和为244825002500π12πm 10=⨯=S ，因为每平方米需要涂胶100克，所以总共需要胶的质量为：10012π=1200π⨯（克）．19.如图，已知点P 在圆柱1OO 的底面圆O 上，120AOP ∠=o ，圆O 的直径4AB =，圆柱的高13OO =.（1）求点A 到平面1A PO 的距离；（2）求二面角1A PB O --的余弦值大小.【答案】（1）32；（2）277.【解析】【分析】（1）根据等体积法，由11A AOP A A OP V V --=即可求出点A 到平面1A PO 的距离；（2）先证明PB AP ⊥，1PB AA ⊥，由线面垂直的判定定理可得PB ⊥面1AA P ，进而可得1A PA ∠即为所求二面角的平面角，在1Rt A PA 中，计算11cos APA PA A P∠=即可求解.【详解】（1）因为113AA OO ==，122AO AB ==，所以1AO ===在AOP中，由余弦定理可得：AP ===所以1A P ==，2OP =，在1AOP中，由余弦定理可得2221111cos 27A P OP A O A PO A P OP +-∠==⋅，所127sin 7A PO ∠=，所以11227A OP S =⨯= ，设点A 到平面1A PO 的距离为d ，由11A AOP A A OP V V --=，得111133AOP AO P S AA S d ⋅⋅=⋅⋅ ，即1111233223d ⨯⨯⨯⨯=⨯，解得：32d =，所以点A 到平面1A PO 的距离为32；（2）二面角1A PB O --即二面角1A PB A --，因为AB 是圆O 的直径，点P 在圆柱1OO 的底面圆O 上，所以PB AP ⊥，因为1AA ⊥面ABP ，PB ⊂面ABP ，可得1PB AA ⊥，因为1AP AA A ⋂=，所以PB ⊥面1AA P ，因为1A P ⊂面1AA P ，AP ⊂面1AA P ，所以PB ⊥AP ，PB ⊥1A P ，所以1A PA ∠即为二面角1A PB O --的平面角，在1Rt A PA中，1A P =，AP =所以1127cos 7AP A PA A P ∠==，所以二面角1A PB O --的余弦值为7.20.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA PD ==PA PD ⊥，底面ABCD 为直角梯形，其中//BC AD ，AB AD ⊥，1AB BC ==，O 为AD 的中点.（1）求直线PB 与平面POC 所成角的余弦值；（2）求B 点到平面PCD 的距离；（3）线段PD 上是否存在一点Q ，使得二面角Q AC D --的余弦值为3？若存在，求出PQ QD 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）63（2）3（3）存在，且12PQ QD =【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质可推得⊥PO 平面ABCD .根据已知得出OC AD ⊥.以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，得出点以及向量的坐标.根据线面垂直的判定定理得出OA ⊥平面POC ，求出,P OA B的坐标，即可根据向量法求出答案；（2）求出平面PCD 的法向量，根据向量法即可得出距离；（3）假设存在，设()01PQ PD λλ=≤≤，得出()0,,1Q λλ-.求出平面CAQ 的法向量，根据二面角结合向量，列出方程，求解即可得出λ的值，进而得出答案.【小问1详解】在PAD △中，PA PD =，O 为AD 的中点，所以PO AD ⊥.又因为面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，所以，⊥PO 平面ABCD .在PAD △中，PA PD ⊥，PA PD ==所以，2AD ==，112OP AD ==.在直角梯形ABCD 中，O 为AD 的中点，所以112OA AD BC ===.又//OA BC ，所以四边形OABC 为平行四边形，OC //AB .因为，AB AD ⊥，所以OC AD ⊥.以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，OD 所在直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则()0,0,0O，()0,0,1P ，()0,1,0A -，()1,1,0B -，()1,0,0C ，()0,1,0D ，所以()1,1,1PB =--.因为OA OP ⊥，OA OC ⊥，OP OC O ⋂=，OP ⊂平面POC ，OC ⊂平面POC ，所以OA ⊥平面POC ，所以()0,1,0OA =- 为平面POC 的法向量.因为cos ,3PB OA PB OA PB OA⋅==⋅，所以PB 与平面POC所成角的正弦值为3，余弦值为3=.【小问2详解】由（1）可得()1,1,1PB =--，()1,0,1PC =- ，()0,1,1PD =- ，设平面PCD 的法向量为(),,u x y z =r，则0u PC x z u PD y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取1z =，得()1,1,1u =.所以，B 点到平面PCD的距离3PB u d u⋅===.【小问3详解】假设存在，且设()01PQ PD λλ=≤≤.因为()0,1,1PD =-，所以()0,,OQ OP PQ λλ-==-，()0,,1OQ λλ=- ，()0,,1Q λλ-.设平面CAQ 的法向量为()111,,m x y z = ，()1,1,0AC =，()0,1,1AQ λλ=+- ，则()()11110110m AC x y m AQ y z λλ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++-=⎪⎩ ，取11z λ=+，得()1,1,1m λλλ=--+.因为OP ⊥平面ABCD ，所以平面CAD 的一个法向量为()0,0,1n =.因为二面角Q AC D --的余弦值为63，所以cos ,m n m n m n⋅=⋅3=，整理化简，得231030λλ-+=，解得13λ=或3λ=（舍去），所以，线段PD 上存在满足题意的点Q ，且12PQ QD =.21.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD △是正三角形，CD ⊥平面PAD ，E ，F ，G，O 分别是PC ，PD ，BC ，AD 的中点.（1）求证：⊥PO 平面ABCD ；（2）求平面EFG 与平面ABCD 所成的锐二面角的大小；（3）在线段PA 上是否存在点M ，使得直线GM 与平面EFG 所成角为π6，若存在，求线段PM 的长度：若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）π3（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）通过证明PO AD ⊥和PO CD ⊥，结合线面垂直的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，求出平面EFG 和平面ABCD 的法向量，根据面面角的向量求法求解即可；（3）首先假设存在点M 满足条件，设PM PA λ=uuu r uu r ，[]0,1λ∈，得到()2,4,GM λ=- ，根据线面角的向量求法得到22320λλ-+=，由方程无解，得到假设不成立.【小问1详解】因为PAD △是正三角形，O 是AD 的中点，所以PO AD ⊥，又因为CD ⊥平面PAD ，PO ⊂平面PAD ，所以PO CD ⊥，AD CD D = ，,AD CD ⊂平面ABCD ，所以⊥PO 面ABCD ；【小问2详解】如图，以O 点为原点，分别以OA ，OG ，OP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0)O ，(2,0,0)A ，(2,4,0)B ，(2,4,0)C -，(2,0,0)D -，(0,4,0)G ，(0,0,P ，(E -，(F -，则(0,2,0)EF =- ，(1,2,EG =，设平面EFG 的法向量为(,,)m x y z = ，因为00mEFm EG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以2020y x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令1z =，则)m = ，又平面ABCD 的法向量(0,0,1)n = ，设平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角为θ，所以1cos 2m n m n θ⋅=== ，则π3θ=，所以平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角为π3；【小问3详解】假设存在点M ，使得直线GM 与平面EFG 所成角为π6，设PM PA λ=uuu r uu r ，[]0,1λ∈，则()2,4,GM PM PG PA PG λλ=-=-=- ，由（2）知平面EFG的一个法向量为m = ，则π1sin cos ,62m GM m GM m GM ⋅===⋅，整理得22320λλ-+=，因为70∆=-<，所以方程无解，假设不成立.所以不存在点M ，使得直线GM 与平面EFG 所成角为π6.。
上海高二上学期期中数学试题(解析版)
一、填空题1．“点A 在直线上”用符号语言可以表示为_____________.l 【答案】∈A l 【分析】根据立体几何中，符号语言的表示规则直接写出答案.【详解】A 在直线上，即l ∈A l 故答案为：∈A l 2．直线与直线为两条异面直线，已知直线，那么直线与直线的位置关系为________．a b //l a l b 【答案】异面或相交【分析】根据空间中直线与直线的位置关系即可得出结果.【详解】由题意可知，与直线为两条异面直线，若，a b //l a 由平行直线的传递性可知，直线与直线不可能平行，l b 故直线与直线的位置关系为异面或相交.l b 故答案为：异面或相交3．圆台的轴截面上､下底边长分别为2和4，母线长为2，则圆台的体积是___________.【分析】根据圆台的轴截面的长度关系，可得到2,1,22DC AB R r h AE ======体积公式，即得解 【详解】如图所示，不妨设圆台的轴截面为，过分别作于ABCD ,A B ,AE CD BF CD ^^,E F 由于圆台的轴截面为等腰梯形，因此 4212DE CF -===AE ∴==由圆台的体积公式， 221()3V h R r R r π=++⋅其中，2,1,22DC AB R r h AE ======221(2121)3V π∴=++⋅=4．正方体的棱长为2，是的中点，则到平面的距离______．1111ABCD A B C D -E 11A B E 11ABC D【分析】利用线面平行，将点到平面的距离，转化为到平面的距离来求解.E 11ABC D 1B 11ABC D 【详解】由于，所以平面，因此到平面的距离等于到平面11//A B AB 11//A B 11ABC D E 11ABC D 1B 的距离.连接，交点为，由于，所以平面，所11ABC D 11,BC B C O 111,B O BC B O AB ⊥⊥1B O ⊥11ABC D以为所求点到面的距离，由正方形的性质可知1B O 111122B O B C ==⨯【点睛】本小题主要考查空间点到面的距离，考查线面平行的判定，考查空间想象能力，属于基础题.5．正三角形的边长为，如图，为其水平放置的直观图，则的面积为ABC 2cm A B C '''∆A B C '''∆__________.【分析】根据平面图形的直观图画法，求出，再由斜二测的特点求出高，即可求解''O C h【详解】根据斜二测画法基本原理，应将高长度变为原来的一半，再向右倾斜45°得到右图，横长不OC AB发生变化，则， ''2A B =1''2O C OC ==则，则的面积为'''sin 45h O C =⋅︒==A B C '''∆122S =⨯=【点睛】本题考查平面图形斜二测的基本画法及对应边长的求法，属于基础题6．一个圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则这个圆锥的底面积是________ R 【答案】 214R π【分析】根据展开后半圆的弧长等于原圆锥底面的周长求解即可.【详解】由题,展开图半圆的弧长为.设圆锥的底面半径为则,故. R πr 2r R ππ=12r R =故底面积为. 221124R R ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭故答案为： 214R π【点睛】本题主要考查了圆锥侧面展开图中的运算,注意展开后半扇形的弧长等于原圆锥底面的周长计算.属于基础题.7．若两个平行平面距离为1，其中一个平面截半径为5的球得到的截面面积为，则另一平面O 16π截球得到的截面面积为_________O 【答案】或9π21π【分析】将题中问题具体化，然后抓住以下两点求解：①用平面去截一个球，截面必为圆；②球心的半径，截面圆圆心的半径以及球心与截面圆圆心的连线构成一直角三角形.【详解】用平面去截一个球，截面必为圆，作出过球心，截面圆圆心的截面.设平面截半径为5的球得到的截面为圆，且圆面积为，αO 1O 1O 16π则圆的半径为，1O 14r =3=设平面平行平面，且两平面的距离为1，βα记平面截半径为5的球得到的截面为圆，半径为，βO 2O 2r当有，解得或.211OO OO -=22OO =24OO =当时，的面积为；22OO =2r ==2O 21π当时，，圆的面积为.24OO =23r ==2O 9π综上可知，所求截面面积为或.9π21π故答案为：或.9π21π8．刍甍，中国古代算数中的一种几何形体，《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也，甍，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”如图为一个刍瓷的五面体，其中四边形为矩形，和都是等ABCD ADE V BCF △腰三角形，，，若，且，则异面直线AE ED BF CF ====//EF AB 3AB EF =2AD EF =AE 与所成角的大小为______.CF【答案】π3##60°【分析】作平行四边形，得到，异面直线与所成角为，求出AGFE //AE GF AE CF GFC ∠GFC 的边长求角即可.【详解】设，在上取点满足，如图，1EF =AB G 1AG EF ==故且，故四边形是平行四边形，故//AG EF AG EF =AGFE //AE GF异面直线与所成角为或其补角 ，AE CF GFC ∠GF CF ==CG ===故为等边三角形GFC 故 3GFC π∠=故答案为：3π9．有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为（）．用它们拼成2a 345a a a ，，0a >一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情况中，全面积最小的是一个四棱柱，则的取值范围是a _______．【答案】0a <<【分析】由题意拼成一个三棱柱,分3种情况求出表面积；拼成一个四棱柱,3种情况分别求出表面积,然后求出a 的范围.【详解】①拼成一个三棱柱时,有三种情况：将上下底面对接,其全面积为：； ()21423434512482S a a a a a a a=⨯⨯⨯+++⨯=+三棱柱表面积3a 边可以合在一起时, ； ()212223425424362S a a a a a a=⨯⨯⨯⨯++⨯=+三棱柱表面积4a 边合在一起时， . ()212223425324322S a a a a a a=⨯⨯⨯⨯++⨯=+三棱柱表面积②拼成一个四棱柱,有三种情况：就是分别让边长为3a ,4a ,5a 所在的侧面重合,其上下底面积之和都是，但侧面积分别为:, ,212234242a a a ⨯⨯⨯⨯=()224536a a a +⨯=()223532a a a +⨯=， ()223428a a a+⨯=显然，三个是四棱柱中全面积最小的值为：. ()212223423424282S a a a a a a=⨯⨯⨯⨯++⨯=+四棱柱表面积由题意得：，解得：2224281248a a +<+0a <<故答案为 ：0a <<【点睛】（1）求解以由多个几何体构成组合体的体积的关键是确定组合体的形状以及组合体图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．10．一矩形的一边在轴上，另两个顶点在函数的图象上，则此矩形绕轴旋转而x 2(0)1x y x x =>+x 成的几何体的体积的最大值为___________. 【答案】4π【分析】设矩形在上的两个项点坐标为，利用是关于的方程21x y x =+()()12,,,x y x y 12,x x x 21x y x =+的两根，求得，然后同体积公式得，结合二次函数知识得最大值．12x x -212V y x x π=-【详解】设矩形在上的两个项点坐标为， 21x y x =+()()12,,,x y x y 由，知是方程的两个根. ()2201x y yx x y x*=⇒-+=+12,x x ()*，，， 121x x y +=121=x x 2212121221()()44x x x x x x y -=+-=-212V y x x y ππ∴=-==当且仅当时，. 218y =max 4V π=故答案为：． 4π二、单选题11．设，为空间的两条直线，，为空间的两个平面，下列命题中真命题的个数为（ ） m n αβ（1）若，，则；（2）若，，则；//m α//m β//αβm α⊥m β⊥//αβ（3）若，，则；（4）若，，则．//m α//n α//m n m α⊥n α⊥//m n A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】利用立体几何中直线与平面的平行与垂直关系进行判断即可.【详解】（1）若，，则与相交或平行，故（1）不正确；//m α//m βαβ（2）若，，则，故（2）正确；m α⊥m β⊥//αβ（3）若，，则与平交、平行或异面，故（3）不正确；//m α//n αm n （4）若，，则，故（4）正确；m α⊥n α⊥//m n 综上：（2）（4）正确，（1）（3）不正确，故真命题的个数为2.故选：B ．12．对关于的一元二次方程，通过掷骰子确定其中的系数，第一次出现的数作为x 20x bx c ++=b ，第二次出现的数作为（一颗骰子有6个面，分别刻有1、2，3、4、5、6六个数，每次扰掷，c 各数出现的可能性相同），那么，这个方程有解的概率是（ ）A ．B ．C ．D ． 4912193659【答案】C【分析】记事件 “方程有实根”．由，得：，利用列举法得到A =20x bx c ++=240b c ∆=-…24b c …事件包含的基本事件的个数，又总的基本事件共个，由古典概型概率公式求出方程有解A 6636⨯=的概率．【详解】记事件 “方程有实根”．A =20x bx c ++=由，得：240b c ∆=-…24b c …又基本事件共个，6636⨯=其中事件包含19个基本事件，列举如下：A ，，，，，，,,，，，，(2,1)(3,1)(3,2)(4,1)(4,2)(4,3)(44),(51)(5,2)(5,3)(5,4)，，，，，，，(5,5)(5,6)(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)所以， 19()36P A =故选：C. 13．平行六面体的六个面都是菱形，那么点在面上的射影一定是1111ABCD A B C D -1A 11AB D 11AB D 的________心，点在面上的射影一定是的________心（ ）1A 1BC D 1BC DA ．外心、重心B ．内心、垂心C ．外心、垂心D ．内心、重心【答案】C【解析】将三棱锥、三棱锥分离出来单独分析，根据线段长度以及线线关系证111A AB D -11A BC D -明的射影点分别是和的哪一种心.1A 11AB D 1BC D 【详解】三棱锥如下图所示：记在面上的射影点为，连接，111A AB D -1A 11AB D O 11,,AO B O D O因为，又平面，11111AA A D A B ==1A O ⊥11AB D所以 11111AA A D A B ===所以，所以为的外心；11AO OB OD ==O 11AB D 三棱锥如下图所示：记在面上的射影点为，连接，11A BC D -1A 1BC D 1O 1111,,BO C O DO因为，且四边形是菱形，所以，所以，11//BC AD 11ADD A 11AD A D ⊥11BC A D ⊥又因为平面，所以，11A O ⊥1BC D 1111111,A O BC A O A D A ⊥= 所以平面，又因为平面，所以，1BC ⊥11AO D 1DO ⊂11AO D 11DO BC ⊥同理可知：，所以为的垂心，1111,BO DC C O DB ⊥⊥1O 1BC D 故选：C.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过的射影点去证明线段长度的关系、线段位置的关1A 系，借助线面垂直的定义和判定定理去分析解答问题.三、解答题14．在一只袋子中装有若干个红玻璃球和绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红玻璃球的概率为，取得两个绿玻璃球的概率为. 715115(1)求取得两个同颜色的玻璃球的概率；(2)求至少取得一个红玻璃球的概率.【答案】(1) 815(2)1415【分析】（1）利用互斥事件的概率公式求解即可；（2）利用间接法及对立事件的概率公式即可得解.【详解】（1）设“取得两个红玻璃球”为事件，“取得两个绿玻璃球”为事件，A B 则，，即事件互斥， ()()71,1515P A P B ==()0P AB =,A B 所以取得两个同颜色的玻璃球的概率为. ()()()718151515P A B P A P B ⋃=+=+=（2）至少取得一个红玻璃球的的对立事件为事件，B 所以其概率为. ()114111515P B -=-=15．如图，在长方体中，，；1111ABCD A B C D -13BB BC ==4AB =（1）求证：平面平面；11//AB D 1BDC （2）求与平面所成的角．11A B 11AB C D 【答案】（1）证明见详解；（2） 3arctan 4【分析】（1）根据面面平行的判定定理，直接证明，即可得出结论成立；（2）过点作于点，证明平面，得到为与平面所1A 1A O ⊥1AB O 1A O ⊥11AB C D 11∠A B A 11A B 11AB C D 成的角，再由题中数据，即可求出结果.【详解】（1）因为在长方体中，易知：且，且1111ABCD A B C D -11//BB DD 11BB DD =11//AB C D ，11AB C D =所以四边形为平行四边形，四边形也是平行四边形；11BB D D 11ABC D 因此，；11//BD B D 11//AD BC 又平面，平面；平面，平面；BD ⊂1C BD 11B D ⊄1C BD 1BC ⊂1C BD 1AD ⊄1C BD 所以平面；平面；11//B D 1C BD 1//AD 1C BD 又平面，平面，，11B D ⊂11AB D 1AD ⊂11AB D 1111AD B D D ⋂=所以平面平面；11//AB D 1BDC （2）过点作于点，1A 1A O ⊥1AB O 因为在长方体中，易知：平面，1111ABCD A B C D -AD ⊥11B BAA 所以，又平面，平面，1⊥AD A O 1AB ⊂11AB C D AD ⊂11AB C D 所以平面，1A O ⊥11AB C D 因此，为与平面所成的角；11∠A B A 11A B 11AB C D 又在长方体中，，，1111ABCD A B C D -13BB BC ==4AB =因此， 111113tan 4∠==A A A B A A B 所以； 113arctan 4∠=A B A 即与平面所成的角为. 11AB 11ABCD 3arctan 4【点睛】本题主要考查面面垂直的证明，以及求直线与平面所成的角，熟记面面垂直的判定定理，以及直线与平面所成角的几何求法即可，属于常考题型.16．一块边长为的正三角形薄铁片，按如图所示设计方案，裁剪下三个全等的四边形（每个12cm 四边形中有且只有一组对角为直角），然后用余下的部分加工制作成一个“无盖”的正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）形容器．(1)请将加工制作出来的这个“无盖”的正三棱柱形容器的容积表示为关于的函数，并标明其定义V x 域；(2)若加工人员为了充分利用边角料，考虑在加工过程中，使用裁剪下的三个四边形材料恰好拼接成这个正三棱柱形容器的“顶盖”．（i ）请指出此时的值（不用说明理由），并求出这个封闭的正三棱柱形容器的侧面积； x S （ii ）若还需要在该正三棱柱形容器中放入一个金属球体，试求该金属球体的最大体积．V '【答案】(1) ()321301282V x x x =-+<<(2)（i ），；（ii ） 6x =2S =3cm V '=【分析】（1）利用表示出三棱柱的高和底面三角形面积，根据棱柱体积公式可得函数关系式； x （2）（i ）利用减掉的三个四边形面积之和等于棱柱底面三角形面积可构造方程求得，进而根据棱x 柱侧面积求法可求得；S （ii ）根据底面三角形内切圆半径和棱柱的高可确定当球的直径与棱柱高相等时，球的体积最大，由此可得所求球的半径，利用球的体积公式可求得结果.【详解】（1）如图所示，，又，， 12622x x DF -==-π6EDF ∠=πtan 662x EF DF ⎫∴=⋅=-⎪⎭即三棱柱的高，又棱柱底面积， 62x h ⎫=-⎪⎭221πsin 23S x x =⋅=三棱柱容器的体积， ∴232136282x V Sh x x ⎫==-=-+⎪⎭即所求函数关系式为. ()321301282V x x x =-+<<（2）（i ）减掉的三个四边形材料面积之和为， 2213266222x x ⎫⎫⨯⨯-=-⎪⎪⎭⎭，解得：， 2262x ⎫-=⎪⎭()6cm x =三棱柱容器的侧面积； ∴)2363cm S =⨯=（ii ）正三棱柱容器底面三角形内切圆半径为， )16cm 3⨯=若球的体积最大，则直径应与三棱柱的高相等，球的半径， ∴∴R =球体的最大体积. ∴()334πcm 3V R '==17．已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，母线长为4，OA 、OB 是底面半径，且PO =，M 为线段AB 的中点，如图所示.0OA OB ⋅=（1）求圆锥的表面积；（2）求异面直线PM 与OB 所成的角的大小.【答案】（1）；（2）12π【分析】（1）根据题意，求得圆锥底面圆的半径，根据圆锥表面积公式代入数值求解即可；（2）取中点，联结、，与所成角即为所求，求得各边的长，可得该OA E PE EM EM PM PEM ∆三角形为直角三角形，与所成的角即tan PE PME EM ∠===PM OBPME ∠=【详解】（1）圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，母线长为4，，，PO =2OA ∴==.242412S r rl πππππ=+=+⨯=表面积（2）取OA 中点E ，连接PE 、EM ，E 为OA 的中点，M 为AB 的中点，，与所成角为所求，//EM OB ∴EM ∴PM ，，0OA OB ⋅= OA OB ∴⊥ 为线段的中点，M AB， ，2OA OB ==OM ∴=在中，Rt POM PM =， ==在中，Rt POE △PE ===， 121EM OB ==，， 2221+= PE EM ∴⊥tan PE PME EM ∠===PME ∴∠=答：异面直线PM 与OB 所成的角的大小为【点睛】本题考查圆锥的表面积公式，以及异面直线所成角的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题．18．如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为2的正方形（及其内部）以边所ABCD AB 在直线为旋转轴顺时针旋转得到的，是的中点． 23πG DF(1)求此几何体的体积；(2)设是上的一点，且，求的大小； P CEAP BE ⊥CBP ∠(3)当，时，求二面角的大小．3AB =2AD =E AG C --【答案】(1) 83π(2)30CBP ∠= (3)．60【分析】(1)由题意可知该几何体为圆柱的三分之一，根据计算圆柱体积即可得出此几何体的体积；(2)利用线面垂直的判定定理可得平面，然后结合几何体的结构特征计算可得的大BE ⊥ABP CBP ∠小；(3)建立空间直角坐标系，用空间向量法即可求出二面角的余弦值，从而可得二面角的大E AG C --小.【详解】（1）此几何体的体积； 2182233V ππ=⋅⋅=（2）因为，，，平面，， AP BE ⊥AB BE ⊥AB AP ⊂ABP AB AP A =I 所以平面， 又平面， 所以， BE ⊥ABP BP ⊂ABP BE BP ⊥又，因此120EBC ∠= 30CBP ∠= （3）以为坐标原点，分别以所在的直线为轴， B ,,BE BP BA ,,x y z 建立如图所示的空间直角坐标系．由题意得，(0,0,3),(2,0,0),(A E G C -故，，， (2,0,3)AE =-AG = (2,0,3)CG = 设是平面的一个法向量．111(,,)m x y z = AEG 由，得，取，则， 00m AE m AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩11112300x z x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩12z=113,x y ==得平面的一个法向量．AEG (3,m =设是平面的一个法向量． 222(,,)n x y z = ACG 由，得，取，则， 00n AG n CG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩22220230x x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩22z =-113,x y ==得平面的一个法向量．ACG (3,2)n =- 所以． 1cos ,||||2m n m n m n ⋅<>==⋅ 因此二面角的大小为．E AG C --60。
上海市松江二中2010届高三数学上学期期中考试沪教版
松江二中2010届高三第一学期期中考试试题数学一、填空题：（每题4分，共14题） 2009.11.91、化简行列式：sin sin cos cos αβαβ= 。
2、已知数列的通项52n a n =-+，其前n 项和为n S , 则2lim n n Sn →∞= 。
3、已知关于t 的方程220t t a -+=的一个根为1()a R +∈，则实数a 的值是 。
4、函数13()2log f x x =+(3)x ≥的反函数的定义域是 。
5、函数x x x x f cos )cos (sin )(+=（R x ∈）的最小正周期为_______________。
6、袋中有5个白球和若干个黑球（球的大小均相同），从中任取2个球，设每取得一个黑球得0分，每取得一个白球得1分，已知得0分的概率为61，则袋中黑球的个数为 。
7、一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm ，则球的表面积是 。
8、一质点在直角坐标平面上沿直线匀速行进，上午7时和9时该动点的坐标依次为()2,1和()2,3-，则下午5时该点的坐标是 。
9、方程lg(325)lg(43)xx⋅-=-的解是 。
10、已知双曲线2221(0)x y a a-=>的左焦点在抛物线216y x =的准线上，则a = 。
11、若()3211nn x x ax bx +=+++++，且3a b =，则n =_____ ____。
12、已知函数2()f x x x =-，若31log (2)1f f m ⎛⎫< ⎪+⎝⎭，则实数m 的取值范围是 。
13、定义区间)](,[2121x x x x <的长度为12x x -,已知函数|log |)(21x x f =的定义域为],[b a ,值域为]2,0[,则区间],[b a 的长度的最大值与长度的最小值的差为 。
14、对于各数互不相等的正数数组()n i i i ,,,21 （n 是不小于2的正整数），如果在q p <时有p q i i >，则称p i 与q i 是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为此数组的“逆序数”。
上海市高二上学期期中数学试卷含答案(共3套)
上海市高二第一学期数学期中考试试卷（满分：100分 考试时间：90分钟）一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每小 题填对得3分，否则一律得零分.1. 已知()1,3a =-，则a =___________.2. 方程组21320x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为_______________________.3. 行列式101213131--- 中3-的代数余子式的值为___________.4. 已知R a ∈，若11321lim22=+--+∞→n n n an n ,则=a ___________． 5. 1134lim 34n nn n n ++→∞-=+____________． 6. 若首项为2的无穷等比数列{}n a 的各项的和为10，则公比q =___________.7. 已知3a =，4b =，5a b +=，则a 与b 的夹角为 . 8. 已知()1,2a =，(),4b m =，()||2a a b +，则实数m 的值为_____________. 9. 设向量()3,0a =-，()2,6b =-，则b 在a 上的投影为______________. 10. 已知数列}{n a 是首项为1，公差为2的等差数列，n S 是其前n 项和，则=∞→2limnnn a S __________．11. 已知向量a ，b 是同一平面内的两个向量，其中()1,2a =，()1,1b =，a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是____________________.12. 如图所示：矩形n n n n A B P Q 的一边n n A B 在x 轴上，另两个顶点,n n P Q 在函数22()(0)1xf x x x =>+的图像上（其中点n B 的坐标为()*,0(2,)n n n N ≥∈），矩形n n n n A B P Q 的面积记为n S ，则lim n n S →∞= .二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的.13. 下列命题中，真命题为………………………………………………………（ ）（A ）若0 =a ，则0=a； （B ）若b a =，则b a =或b a -=；（C ）若a 与b 是平行的向量，则a 与b是相等的向量；（D ）若a b -=，则0=+b a ． 14. 数列{}n a 的通项公式是1(1)2nn a +-=，则此数列…………………………（ ）（A ）有极限，其值是整数； （B ）有极限，其值是分数； （C ）有两个极限； （D ）lim n n a →∞不存在．15. 在数列{}n a 中，111111234212n a n n=-+-++--，则1k a +=…………（ ） (A) 121k a k ++ (B) 112224k a k k +-++ (C) 122k a k ++ (D)112122k a k k +-++ 16. 有下列四个命题：①若22lim A a n n =∞→，则A a n n =∞→lim ； ②若0>n a ，A a n n =∞→lim ，则0>A ；③若()0lim =-∞→n n n b a ，则n n n n b a ∞→∞→=lim lim ；④若A a n n =∞→lim ，则22lim A a n n =∞→.其中正确命题的个数是……………………………………………………………（ ） （A ）1个 （B ） 2个 （C ） 3个 （D ）4个三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17.（本题满分10分）已知)10,5(),4,3(---B A ，O 为坐标原点， (1) 求向量AB 的坐标及AB ；(2) 若OB OA OC +=，求与OC 同向的单位向量的坐标．18.（本题满分10分）用行列式的方法解关于x 、y 的二元一次方程组1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩，并对解的情况进行讨论.19. （本题满分10分）已知O 为坐标原点，()3,4OA =-，()6,3OB =-，()5,3OC m m =---. （1）若A ，B ，C 三点共线，求m 的值；（2）若△ABC 是以角A 为直角顶点的直角三角形，求m 的值以及此时三角形的面积.20．（本题满分10分）已知等比数列{}n a ，首项为1a ，公比为q ，11lim()12n n a q q →∞-=+，求首项1a 的取值范围.21.（本题满分12分）已知点的序列(),0,*,n n A x n N ∈，其中()120,0,x x a a ==>，3A 是线段12A A 的中点，4A 是线段23A A 的中点，n A 是线段21n n A A --的中点，（1）写出n x 与12,n n x x --之间的关系式()3n ≥；（2）设1n n n a x x +=-，计算123,,,a a a 由此推测数列{}n a 的通项公式，并加以证明.第一学期高二数学期中考试试卷答案及评分细则注：填空题结果只要等价就得分；解答题其他解法相应给分。
2010-2011-高二上期中.doc
高二数学学科期中试卷一、填空题（每题4分，共48分） 1．若1312,2433A B -⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，则=-B A 3 ． 2．设()()2,3,1,1a b →→=-=-，→c 是与→→-b a 同向的单位向量，则→c 的坐标是 ． 3．已知等比数列{}n a 中，,81,341==a a 则该数列的通项=n a ．4．计算：22342lim (21)n n n n →∞+-+= ．5．设(22,4)a k →=+，(1,8)b k →=+，若→a //b →，则k 的值为 ． 6．等差数列{}n a 中，148121520a a a a a ++++=，则=15S ． 7．已知向量5,3,7a b a b →→→→==-=，那么=⋅→→b a ．8．已知()(),2,3,5,2-N M 点P 在直线→MN 上，且满足→→=PN MP 3．则点P 的坐标为 ． 9．平行四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 交于O ，若,,→→→→==b BD a AC 那么用→→b a ,表示的→AB 为 ． 10．设()111126121n S n n =+++++，且134n n S S +⋅=，则=n ．11．若数列{}n a 是等差数列，则数列na a ab n n +++=21（*∈N n ）也为等差数列；类比上述性质，相应地，若数列{}n c 是等比数列，且0>n c ，则有=n d 也是等比数列．12．在数列{}n a 中，如果存在非零常数T ，使得m T m a a =+对于任意非零正整数m 均成立，那么就称数列{}n a 为周期数列，其中T 叫做数列{}n a 的周期．已知周期数列{}n x 满足11n n n x x x +-=-(*2,n n N ≥∈)且11x =，2x a =(),0a R a ∈≠，当{}n x 的周期最小时，该数列前2005项和是 ．二、选择题（每题3分，共12分）13．下列命题中，真命题是 （ ）()A 若→a 与→b 互为负向量，则0=+→→b a ()B 若0=⋅→→b a ，则→→=0a 或→→=0b()C 若→→b a ,都是单位向量，则1=⋅→→b a ()D 若k 为实数且,0→→=a k 则0=k 或→→=0a14．用数学归纳法证明：111131224n n n n +++>+++(*2,n n N ≥∈)的过程中，从“k 到1+k ”左端需增加的代数式为 （ ）()121+k A ()221+k B ()221121+++k k C ()221121+-+k k D15．等差数列{a n }中，15a =-，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下10项的平均值是4，则抽取的是 （ ）()A 11a ()B 10a ()C 9a ()D 8a16．一条曲线是用以下方法画成：ABC ∆是边长为1的正三角形，曲线1CA 、1223A A A A 、分别以A B C 、、为圆心，12AC BA CA 、、为半径画的弧， 123CA A A 为曲线的第1圈，然后又以A 为圆心，3AA 为半径画弧，这样画到第n 圈，则所得曲线12332313n n n CA A A A A A --的总长度n S 为 （ ）()A (31)n n π+ ()B (1)3n n π+ ()C 2(31)n π- ()D (1)n n π+三、解答题（每题8分，共40分）17．已知()2,1a →=，()0,1b →=-，c a k b →→→=+，d a b →→→=-，若→→⊥d c ，求实数k 的值．18． 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．A19．已知正数数列{}n a 的前n 项和n S 与通项n a 满足1n a =+，求n a ．20．某市2003年共有一万辆燃油型公交车．现计划于2004年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50％，试问：()1该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？()2到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的?3121．若有穷数列12,,...,n a a a （n 是正整数），满足1n a a =，21n a a -=，....，1n a a =，即1i n i a a -+=（i 是正整数，且1i n ≤≤），就称该数列为“对称数列”．（1）已知数列{}n b 是项数为7的对称数列，且1234,,,b b b b 成等差数列，142,11b b ==，试写出{}n b 的每一项．（2）已知{}n c 是项数为()211k k -≥的对称数列，且121,...k k k c c c +-构成首项为50，公差为4-的等差数列，数列{}n c 的前21k -项和为21k S -，则当k 为何值时，21k S -取到最大值？最大值为多少？ （3）对于给定的正整数1m >，试写出所有项数不超过2m 的对称数列，使得211,2,2...2m -成为数列中的连续项；当1500m >时，试求其中一个数列的前2008项和2008S ．2010度第一学期高二数学学科期中考试试卷一、填空题（每题4分，共48分）1．若,3321,4231⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A 则=-B A 3⎪⎪⎭⎫⎝⎛15374．2．设()(),1,1,3,2-=-=→→b a ，→c 是与→→-b a 同向的单位向量，则→c 的坐标是34(,)55-． 3．已知等比数列{}n a 中，,81,341==a a 则该数列的通项=n a ()*nn 3N∈．4．计算：22342lim (21)n n n n →∞+-+=43．5．设{}{},8,1,4,22+=+=→→k b k a 若→a //,→b 则k 的值为1-． 6．等差数列{}n a 中，,201512841=++++a a a a a 则=15S 60． 7．已知向量,7,3,5=-==→→→→b a b a 那么=⋅→→b a 215-． 8．已知()(),2,3,5,2-N M 点P 在直线→MN 上，且满足→→=PN MP 3．则点P 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-41,411 ． 9．平行四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 交于O ，若,,→→→→==b BD a AC 那么用→→b a ,表示的→AB 为→→-b a 2121．10．设(),111216121+++++=n n S n L 且,431=⋅+n n S S 则=n 6． 11．若数列{}n a 是等差数列，则数列na a ab nn +++=21（*∈N n ）也为等差数列；类比上述性质，相应地若数列{}n c 是等比数列，且0>n c ，则有=n d )*n N ∈也是等比数列．12．在数列{}n a 中，如果存在非零常数T ,使得m T m a a =+对于任意的非零自然数m 均成立，那么就称数列{}n a 的周期数列，其中T 叫做数列{}n a 的周期．已知周期数列{}n x 满足(),,2*11N n n x x x n n n ∈≥-=-+且()0,,121≠∈==a R a a x x ，当数列{}n x 的周期最小时，该数列前2005项和是1337．二、选择题（每题3分，共12分）13．下列命题中，真命题是 （ D ）.A 若→a 与→b 互为负向量，则0=+→→b a .B 若0=⋅→→b a ，则→→=0a 或→→=0b.C 若→→b a ,都是单位向量，则1=⋅→→b a .D 若k 为实数且,0→→=a k 则0=k 或→→=0a14．用数学归纳法证明：()*,224131312111N n n n n n n n ∈≥>++++++++ 的过程中，从＂k 到1+k ＂左端需增加的代数式为 （ D ）121.+k A 221.+k B 221121.+++k k C 221121D.+-+k k15．等差数列{a n }中，15a =-，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下10项的平均值是4，则抽取的是 （ A ） A ．11a B ．10a C ．9a D ．8a16．一条曲线是用以下方法画成：ABC ∆是边长为1的正三角形，曲线11223CA A A A A 、、分别以A B C 、、为圆心，12AC BA CA 、、为半径画的弧， 123CA A A 为曲线的第1圈，然后又以A 为圆心，3AA 为半径画弧，这样画到第n 圈，则所得曲线12332313n n n CA A A A A A --的总长度n S 为（ A ）A ．(31)n n π+B ．(1)3n n π+ C ．2(31)n π- D ．(1)n n π+ 三、解答题（每题8分，共40分）17．已知()(),,,2,3,1,2→→→→→→→→-=+=-==b a d b k a c b a 若→→⊥d c ，求实数k 的值． 解：由条件得()k k b k a 21,32c -+=+=→→→，()3,1-=-=→→→b a d ，→→⊥d c 0=⋅∴→→d c ，()()()0321132=⨯-+-⨯-∴k k ，31=∴k ． 18． 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．解：设四个数分别为x y y x --16,12,,，根据题意得⎩⎨⎧-=-=-+2)12()16(2)12(y x y y y x ，解得⎩⎨⎧==40y x 或⎩⎨⎧==915y x ，所以这四个数为0、4、8、16或为15、9、3、1．20．某市2003年共有一万辆燃油型公交车．有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50％，试问：()1该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？A()2到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的?3121．若有穷数列12,...n a a a （n 是正整数），满足1211,....n n n a a a a a a -===即1i n i a a -+=（i 是正整数，且1i n ≤≤），就称该数列为“对称数列”． （1）已知数列{}n b 是项数为7的对称数列，且1234,,,b b b b 成等差数列，142,11b b ==，试写出{}n b 的每一项 （2）已知{}n c 是项数为()211k k -≥的对称数列，且121,...k k k c c c +-构成首项为50，公差为4-的等差数列，数列{}n c 的前21k -项和为21k S -，则当k 为何值时，21k S -取到最大值？最大值为多少？ （3）对于给定的正整数1m >，试写出所有项数不超过2m 的对称数列，使得211,2,2...2m -成为数列中的连续项；当1500m >时，试求其中一个数列的前2008项和2008S解：（1）设{}n b 的公差为d ，则1132314=+=+=d d b b ，解得 3=d ，∴ 数列{}n b 为25811852，，，，，，． （2）12112112-+--+++++++=k k k k k c c c c c c S k k k k c c c c -+++=-+)(2121 ，50134)13(42212-⨯+--=-k S k ，∴当13=k 时，12-k S 取得最大值．12-k S 的最大值为626．。
上海市高二上学期期中考试数学试卷含答案(共3套)
上海市行知中学第一学期期中考试高二年级 数学试卷题类 一 二 19 20 2l 22 23 总分 得分值一、填空题：(本题共14小题，每小题4分，满分56分) 1．若1225PP PP =-，设121PP PP λ=，则λ的值为 。
2．已知{n a }是等比数列，则方程组124568a x a y a a x a y a +=⎧⎨+=⎩的解的个数是 。
3．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P(-3，3)，则行列式sin tan 1cos ααα的值为 。
4．等边△ABC 边长为1，则AB BC BC CA CA AB ++= 。
5．向量x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭经矩阵0110⎛⎫ ⎪⎝⎭变换后得到矩阵23⎛⎫⎪⎝⎭，则x y -= 。
6．执行如图所示的程序框图，若输入P 的值是7，则输出S 的值是 。
7．如果131lim 3(1)3n n n x a +→∞=++，那么a 的取值范围是 。
8．用数学归纳法证明“(1)(2)...()213...(21)nn n n n n +++=-”，从“k 到1k +”左端需增乘的代数式为 。
9．已知等差数列{n a }前n 项和为n S ，若10071008OB a OA a OC =+，且A ，B ，C 三点共线(不过原点)，则2014S = 。
10．已知a 与b 均为非零向量，给出下列命题：①22()()()a b a b =； ②2||()a a a =； ③若a c b c =，则a b =； ④()()a c b a c b =， 上述命题中，真命题的个数是 。
11．在等差数列{n a }中，113a =，前n 项和为n S ，且311S S =，则使得n S 最大的正整数n 为 。
12．已知A ，B ，C ，D 四点的坐标分别为A(-1，0)，B(1，0)，C(0，1)，D(2，0)，P 是线段CD 上的任意一点，则AP BP 的最小值是 。
上海市重点中学高二上学期期中数学试题(解析版)
一、填空题1．空间中，直线在平面上用集合语言表示为__________．l α【答案】l ⊂α【分析】利用直线在平面上，及元素与集合的关系符号、集合与集合的关系符号表达即可．【详解】直线在平面上，用集合语言表示为l ⊂α．l α故答案为 l ⊂α．【点睛】本题考查了点、线、平面的位置关系的表示，点与直线的关系是元素与集合的关系，包括属于、不属于两种关系，直线和平面的关系是2个集合间的关系，包括真含于、不真含于两种关系．2．已知向量，且与互相垂直，则的值是__． 11,,2,(2,1,)2a b k ⎛⎫==- ⎪⎝⎭a b k 【答案】## 34-0.75-【分析】两向量垂直，数量积为0，列方程求解.【详解】因为与互相垂直，所以，解得． a b 112(1)202a b k ⋅=⨯+⨯-+= 34k =-故答案为： 34-3．在长方体中，若，，，则与平面所成的角可1111ABCD A B C D -2AB =1BC =13AA =1BC 11BB D D θ用反三角函数值表示为__．θ=【答案】【分析】过点作的垂线，垂足为点，可证明平面，找到线面角，再利用几何1C 11B D O 1OC ⊥11BB D D 关系求出结果.【详解】过点作的垂线，垂足为点，连接，在长方体中由，，1C 11B D O BO 2AB =1BC =由长方体的性质得面，从而有，且，平面1BB ⊥1111D C B A 11OC BB ⊥1111BB B D B ⋂=111,BB B D ⊂，11BB D D所以平面，则为则与平面所成角，1OC ⊥11BB D D 1C BO ∠1BC 11BB D D 在中，1Rt BOC △11111111C D C B OC BC B D ⋅===所以111sin OC OBC BC ∠===故与平面所成的角 1BC 11BB D D θ=故答案为：4．如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建1111ABCD AB C D -D D 立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为________1DB (4,3,2)1AC【答案】(4,3,2)-【详解】 如图所示，以长方体的顶点为坐标原点，1111ABCD A B C D -D 过的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，D 因为的坐标为，所以,1DB (4,3,2)()()14,0,0,0,3,2A C 所以.1(4,3,2)AC =-5．如图，平面，且，则异面直线与所成角的大小PA ⊥ABC 90ACB ∠=︒1PA AC BC ===PB AC 是__．【答案】．【分析】过作，，则（或其补角）即为所求，由线线垂直证平面B //BD AC BD AC =PBD ∠DB ⊥，再证，即可在中求值.PAD BD PD ⊥Rt PDB A 【详解】过作，且，因为，所以四边形为矩形， B //BD AC BD AC =90ACB ∠=︒ADBC 则（或其补角）即为所求．PBD ∠因为，所以，，1PA AC BC ===1AD =1BD =因为平面，平面，，，所以PA ⊥ABC AD DB Ì、ABC PA DB ⊥PA AD ⊥PD ==；又因为，平面，所以平面，DB AD ⊥,AD PA A AD PA =Ì 、PAD DB ⊥PAD ∵平面，所以．PD ⊂PAD BD PD ⊥在中，与所成的角为 Rt PDB A tan PBD ∠==PB AC故答案为：6．已知点A ，B 到平面的距离分别是4，6，则线段AB 的中点M 到平面的距离是_______.αα【答案】1或5【分析】分别讨论两点位于平面同侧和两侧的情况得到结果.,A B 【详解】若位于平面同侧，则中点到平面距离为,A B αAB M α4652+=若位于平面两侧，则中点到平面距离为,A B αAB M α6412-=故答案为：或15【点睛】本题考查点到面的距离问题，关键是能够对问题进行准确分类，属于基础题.7．如图，在三棱柱中，，，分别为，，的中点，设三棱锥111A B C ABC -D E F AB AC 1AA体积为，三棱柱的体积为，则_______F ADE -1V 111A B C ABC -2V 12:V V =【答案】 124【详解】试题分析：因为D ，E ，分别是AB ，AC 的中点，所以S △ADE ：S △ABC=1：4， 又F 是AA 1的中点，所以A 1到底面的距离H 为F 到底面距离h 的2倍．即三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的高是三棱锥F-ADE 高的2倍．所以V 1：V 2=S △ADE•h/S △ABC•H ＝=1：24 13124【解析】棱柱、棱锥、棱台的体积8．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，若点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，则______． EF DC ⋅= 【答案】 14-【分析】根据题意，得A-BCD 为正四面体，根据其几何性质，结合数量积公式，即可得答案.【详解】连接AC 、BD ，由题意得A-BCD 为正四面体，底面为等边三角形，BCD △因为点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，所以，且， EF BD ∕∕1122EF BD ==所以. 121cos ,1cos 234EF DC EF DC EF DC π⋅=⋅⋅<>=⨯⨯=- 故答案为： 14-9．直线与平面所成角为，则与所成角的取值范围是l α,,,6l A m A m παα⋂=⊂∉m l ________．【答案】 62ππ⎡⎤⎢⎣⎦，【分析】根据直线与平面所成角是直线与平面 内所有直线成的角中最小的一个，直线与l αl αl 平面所成角的范围，即可求出结果．α【详解】由于直线与平面所成角为，l α6π直线与平面所成角是直线与平面 内所有直线成的角中最小的一个，l αl α而异面直线所成角的范围是， 02π⎛⎤ ⎝⎦，由，可知 与直线异面，,,l A m A m αα⋂=⊂∉m l 故与所成角的取值范围是， m l 62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为： 62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，10．已知正三棱柱的底面边长为1，高为8，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面111ABC A B C -A 绕行两周到达的最短路线的长为___________.1A 【答案】10【分析】将三棱柱的侧面展开两次，结合矩形的对角线长，进而求得最短距离，得到答案.【详解】将正三棱柱的侧面展开两次，再拼接到一起，111ABC A B C -其侧面展开图，如图所示的矩形，连接，1AA 因为正三棱柱的底面边长为1，高为8，可得矩形的底边长为，高为，111ABC A B C -68所以.110AA ==故答案为：.1011．如图所示，在中，，，.在三角形内挖去半圆（圆心O 在ABC A 90ACB ︒∠=30BAC ︒∠=1BC =边AC 上，半圆与BC ，AB 相切于点C ，M ，与AC 交于点N ），则图中阴影部分绕直线AC 旋转一周所得旋转体的体积为________.【解析】几何体是图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体，是一个圆锥内挖去一个球后剩余AC 部分，求出圆锥的体积减去球的体积，可得几何体的体积.【详解】几何体是图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体，AC 是一个圆锥内挖去一个球后剩余部分，且球是圆锥的内切球，所以圆锥的底面半径是1，r可以得到 tan 30OC r BC ===所以圆锥的体积为， 2113π⋅⋅=球的体积为， 343π⋅=所以阴影部分绕直线， AC. 【点睛】该题考查的是有关旋转体的体积的求解问题，在解题的过程中，注意分析几何体的特征，涉及到的知识点有锥体的体积公式和球的体积公式，属于简单题目.12．有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为，，，用它们拼2a3a 4a 5(0)a a >成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个三棱柱，则的取值范围是a __．【答案】．⎫+∞⎪⎪⎭【分析】由不同的拼接方式，分别计算棱柱全面积，根据全面积最小值的情况列不等式求的取值a 范围.【详解】①拼成一个三棱柱时，全面积有三种情况，将上下底面对接，其全面积为． ()21423434512482S a a a a a a a=⨯⨯⨯+++⨯=+边可以合在一起时，其全面积为． 3a ()212223425424362S a a a a a a=⨯⨯⨯⨯++⨯=+边合在一起时，其全面积为． 4a ()212223425324322S a a a a a a=⨯⨯⨯⨯++⨯=+②拼成一个四棱柱，有四种情况，其中全面积有三种情况，就是分别让边长为，，所在的侧面重合，3a 4a 5a 其上下底面积之和都是， 212234242a a a ⨯⨯⨯⨯=但侧面积分别为， 2222(45)36,2(35)32,2(34)28a a a a a a a a a+⨯=+⨯=+⨯=显然，三个四棱柱中全面积最小的值为． ()212223423424282S a a a a a a=⨯⨯⨯⨯++⨯=+由题意得，解得 2212482428a a +<+a >所以的取值范围为．a ⎫+∞⎪⎪⎭故答案为：⎫+∞⎪⎪⎭【点睛】关键点点睛：本题除了考查棱柱全面积的计算外，重点在三棱柱和四棱柱的拼接方式，要考虑全面，不能有遗漏.二、单选题13．“直线与直线没有交点”是“直线与直线为异面直线”的（ ）a b a b A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据空间两直线的位置关系判断即可得出结论.【详解】两条直线没有交点 ，说明这两条直线的位置关系为平行或异面而两条直线为异面直线时，它们必没有交点，所以选项B 正确，选项ACD 错误.故选：B.14．已知为两条不同的直线,为两个不同的平面,下列四个命题中正确的是（ ） m n 、αβ、A ．若且则m α∥，n α∥，m n A B ．若在上,且则m n 、αm n ββ∥，∥，αβ∥C ．若且在上,则αβ⊥，m αm β⊥D ．若且在外,则m αββ⊥⊥，，m αm αA 【答案】D【分析】A ．当和为异面直线时，也可满足条件，即可判断出；m n B ．利用面面平行的判定定理即可判断出；C ．利用面面垂直的性质定理即可判断出；D ．利用线面垂直的性质定理即可得出．【详解】解：A ．若且则或和为异面直线，因此不正确；m α∥，n α∥，m n A m n B ．若在上,且只有当和相交时，才能推出，因此不正确； m n 、αm n ββ∥，∥，m n αβ∥C ．若且在上，只有垂直与和的交线时才能推出，因此不正确； αβ⊥，m αm αβm β⊥D ．若且在外，则内有一条垂直于和交线的直线和垂直，又m αββ⊥⊥，，m αααβγβm β⊥，利用线面垂直的性质定理，又在外，即可得出，正确．m γ∥m αm αA 综上可得：只有D 正确．故选D ．【点睛】本题考查了线面与面面平行、垂直的性质定理，考查了推理能力，属于中档题． 15．下列命题：①有两个面平行，其他各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱；②有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱；③过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形；④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱．其中正确命题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A【分析】①②③④均可举出反例.【详解】①如图1，满足有两个面平行，其他各面都是平行四边形，显然不是棱柱，故①错误；②如图2，满足两侧面与底面垂直，但不是直棱柱，②错误；11ABB A③如图3，四边形为矩形，11ACC A即过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形可能是矩形，③错误；④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱不一定是正四棱柱，因为两底面不一定是正方形，④错误． 故选：A16．如图，P 为正方体中与的交点，则在该正方体各个面上的射影1111ABCD A B C D -1AC 1BD PAC ∆可能是A ．①②③④B ．①③C ．①④D ．②④【答案】C 【分析】从三个角度对正方体进行平行投影，首先确定关键点P 、A ，C 在各个面上的投影，再把它们连接起来，即得△PAC 在该正方体各个面上的射影．【详解】由题意知，P 为正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的中心，则从上向下投影时，点P 的影子落在对角线AC 上，故△PAC 在下底面上的射影是线段AC ，是第一个图形；当从前向后投影时，点P 的影子应落在侧面CDC 1D 1的中心上，A 点的影子落在D 上，故故△PAC 在面CDC 1D 1上的射影是三角形，是第四个图形；当从左向右投影时，点P 的影子应落在侧面BCB 1C 1的中心上，A 点的影子落在B 上，故故△PAC 在面CDC 1D 1上的射影是三角形，是第四个图形．故选C ．【点睛】本题主要考查了平行投影和空间想象能力，关键是确定投影图得关键点，如顶点等，再一次连接即可得在平面上的投影图，主要依据平行投影的含义和空间想象来完成．三、解答题17．若圆锥的侧面积为，且母线与底面所成的角为，求该圆锥的体积. 20π4arccos5【答案】.48π【分析】直接代入圆锥侧面积公式，根据反三角定义与圆锥的体积公式即可求解.【详解】设该圆锥的底面半径为，高为，母线为，如图所示： r h l因为圆锥的侧面积为，且母线与底面所成的角为， 20π4arccos 5所以，所以，所以， 4π20π,5r rl l ==4,5r l ==3h ==故该圆锥的体积.2π48πV r h ==18．已知正三棱柱的底面边长为3cm ，高为3cm ，M 、N 、P 分别是、、111ABC A B C -1AA AC 11B C 的中点.(1)用“斜二测”画法，作出此正三棱柱的直观图（严格按照直尺刻度）；(2)在（1）中作出过M 、N 、P 三点的正三棱柱的截面（保留作图痕迹）.【答案】(1)作图见解析；(2)作图见解析.【分析】（1）利用斜二测法画出棱柱底面的直观图，再根据斜二测画图的原则确定三111A B C ,,A B C 点，即可得直观图；（2）应用平面的基本性质画出截面即可.【详解】（1）①平面直角坐标系中作边长为3cm 的等边三角形，原点为中点，如下111A B C O 11A B 图，②在线段上找到中点，过作与x 轴成45°的轴，并在轴找点使，此时直1OC Q O y 'y '1C 1OC OQ =观图底面确定；111A B C③过向上作与x 轴垂直的射线，并在各射线上找一点使cm ，连111,,A B C ,,A B C 1113A A B B C C ===接，即得正三棱柱的直观图.,,AB BC BA（2）①过作直线分别交射线于，连接，分别交于，MN 111,C A C C ,E D ,EP DP 11,A B BC ,G F②连接，则截面即为所求.,MG NF FNMGP 19．如图所示，正四棱锥底面的四个顶点，，，在球的同一个大圆上，点P ABCD -A B C D O P 在球面上，且已知． 163P ABCD V -=（1）求球的表面积；O（2）设为中点，求异面直线与所成角的大小．M BC AM PC【答案】（1）（2） 16πarc 【分析】（1）由题意可知，平面，并且是半径，由体积求出半径，然后求出球的表面PO ⊥ABCD 积．（2）以，，为，，轴建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，进一步求出OA OB OP x y z 的坐标，利用向量的数量积公式求出的夹角余弦，得到异面直线与所成角,AM PC ,AM PC AM PC 的大小．【详解】解：（1）解：如图，正四棱锥底面的四个顶点，，，在球的同一个P ABCD -A B C D O 大圆上，点在球面上，底面，，，， P PO ⊥ABCD PO R =22ABCD S R =163P ABCD V -=所以，， 2116233R R =A 2R =球的表面积是O 2416S R ππ==（2）以，，为，，轴建立空间直角坐标系，则OA OB OP x y z ，0，，，0，，，2，，，0，，，1，，(0P 2)(2A 0)(0B 0)(2C -0)(1M -0)，，(3,1,0)AM =- (2,0,2)PC =--所以cos ,AM PC <>=所以异面直线与． AM PC所以异面直线与所成角的大小为． AM PC【点睛】本题考查球的内接体问题，球的表面积、体积，考查学生空间想象能力，通过建立空间直角坐标系，将异面直线所成的角通过向量的数量积来解决，属于中档题．20．如图，四面体中，，ABCD 2CA CB CD BD ====AB AD ==(1)求直线与平面所成角的大小；AC BCD (2)求点到平面的距离． B ACD 【答案】(1)； π6【分析】（1）根据线面垂直判定定理，结合勾股定理和等腰三角形的性质，可得平面，AO ⊥BCD 利用定义法找到线面角，从而在直角三角形中求出角的大小；（2）根据等体积法，结合三角形面积公式，可得答案. 【详解】（1）取中点，连接、，因为，，所以．BD O OA OC BO DO =BA AD =AO BD ⊥因为，，所以，BO DO =BC CD =CO BD ⊥在中，，， AOC ∆112AO BD ==CO ==2AC =所以，所以．222AO CO AC +=AO OC ⊥因为，且平面，平面，所以平面.BD OC O ⋂=BD ⊂BCD OC ⊂BCD AO ⊥BCD 故直线与平面所成角为，AC BCD ACO ∠在中，， Rt AOC A 1si n 2A O A C O A C ∠==所以直线与平面所成角为； AC BCD π6（2）因为，所以， 2AD AC CD ==2223cos 24AC CD AD C AC CD +-==⋅所以，所以 sin C ==1sin 2ACD S CA CD C =⋅=A 设点到平面的距离为，B ACD h又，由等体积法得， 22BCD S ==A 1AO =B ACD A BCD V V --=所以，所以1133ACD BCD S h S AO ⋅=⋅A A h ==21．如图，是圆的直径，点是圆上异于、的点，直线平面，，分别AB O C O A B PC ⊥ABC E F 为，的中点．PA PC(1)记平面与平面的交线为，试判断与平面的位置关系，并加以说明；BEF ABC l l PAC (2)设（1）中的直线与圆的另一个交点为，且点满足，记直线与平面所l O D Q 2DQ CP =PQ ABC 成的角为，异面直线与所成的锐角为，求证：．θPQ EF αsin sin BF CF θα=【答案】(1)直线平面，答案见解析 //l PAC (2)证明见解析【分析】（1）根据中位线当定理，结合线面平行判定以及判定，可得答案；（2）利用数形结合，作图，利用线面角与异面直线夹角，根据锐角正弦与余弦的定义，可得答案.【详解】（1）直线平面，证明如下：//l PAC 连接， EF因为、分别是、的中点，所以．E F PA PC //EF AC 又平面，且平面，所以平面．EF ⊂/ABC AC ⊂ABC //EF ABC 而平面，且平面平面，所以．EF ⊂BEF BEF I =ABC l //EF l因为平面，平面，所以直线平面； l ⊂/PAC EF ⊂PAC //l PAC （2）如图，连接，BD 由（1）得交线即为直线，且．l BD //l AC 因为是的直径，所以，于是．AB O A AC BC ⊥l BC ⊥已知平面，而平面，所以．PC ⊥ABC l ⊂ABC PC l ⊥而，且平面，所以平面，连接、， PC BC C ⋂=,PC BC ⊂PBC l ⊥PBC BE BF 因为平面，所以．BF ⊂PBC l BF ⊥故就是二面角的平面角，设．CBF ∠E l C --CBF β∠=由，作且，连接、， 2DQ CP = //DQ CP 12DQ CP =PQ DF 因为是的中点，，所以，F CP 2CP PF =DQ PF =从而四边形是平行四边形，．DQPF //PQ FD 连接，因为平面，所以是在平面内的射影， CD PC ⊥ABC CD FD ABC 故就是直线与平面所成的角，即． CDF ∠PQ ABC CDF θ∠=又平面，且平面，有，得为锐角， BD ⊥PBC BF ⊂PBC BD BF ⊥BDF ∠故为异面直线与所成的角，即， BDF ∠PQ EF BDF α∠=于是在，，中，分别得，， Rt DCF A Rt FBD A Rt BCF A sin CF DF θ=sin BF DF α=，从而， sin CF BF β=sin sin sin CF BF CF BF DF DFαβθ=⋅==即． sin sin BF CF θα=。
上海市高二上学期期中数学试题(解析版)
一、填空题1．两条异面直线所成角的取值范围是________【答案】 (0,2π【分析】由异面直线所成角的定义求解．【详解】解：由异面直线所成角的定义可知：过空间一点，分别作相应直线的平行线，两条相交直线所成的直角或锐角为异面直线所成的角，故两条异面直线所成的角的取值范围是 0,2π⎛⎤ ⎝⎦故答案为： 0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，同时还考查了转化思想，属于基础题．2．设等差数列的前项和为整数，若，则公差________.{}n a n ,n S n 132,12a S ==d =【答案】2【分析】根据等差数列的前项和公式求解即可.n 【详解】因为是等差数列,{}n a 所以， 31132333122S a d a d ⨯=+=+=又因为，所以.12a =2d =故答案为:.23．已知直线、及平面，若且，则与平面的位置关系为________.a b β//a b //a βb β【答案】或//b βb β⊂【分析】根据已知条件结合线面位置关系判断可得出结论.【详解】因为且，直线与平面的位置关系为或.//a b //a βb β//b βb β⊂故答案为：或.//b βb β⊂4．若数列是等比数列，其前项和，为正整数，则实数的值为____.{}n a n 2n n S a =-n a 【答案】1【分析】利用与的关系结合等比数列的前项和公式求解.n a n S n 【详解】当时，，当时，，1n =12a a =-2n ≥112n n S a --=-所以，()()111122222n n n n n n n n a S S a a ----=-==-=---又是等比数列，所以是以为首项，为公比的等比数列，{}n a {}n a 12此数列的前项和，则的值为. n 122112n n n S -==--a 1故答案为：1.5．若数列为等比数列，且________.（其中为正{}n a 12,a q ==13521n a a a a -+++++= n 整数）【答案】4【分析】求出新等比数列的公比代入求和公式即可.【详解】因为数列为等比数列，. {}n a 12,a q =212q =则.1352124112n a a a a -+++++==- 故答案为：4.6．若一个圆锥的侧面是半径为6的半圆围成，则这个圆锥的表面积为________.【答案】27π【分析】求出底面半径，代入公式即可.【详解】因为圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，6所以圆锥的母线长为，6l =设圆锥的底面半径为，则，所以，r 26r ππ=⨯3r =所以圆锥的表面积为.227S r rl πππ=+=故答案为：.27π7．如图所示，在地面上两点测得建筑物的仰角为，，若，则,A B PO 45 30 90,60m OAB AB ∠== 该建筑物的高度为________.PO m【答案】【分析】先将未知量转化到同一个三角形中，再利用勾股定理即可求解.【详解】因为在地面上两点测得建筑物的仰角为，,A B OP 45 30所以，即，45,30PAO PAO ∠=∠= ,OP OA OB ==又因为，所以，90,60m OAB AB ∠== 222OA AB OB +=所以，所以2236003OP OP +=OP =即该建筑物的高度为..OP m 故答案为：8．有一个细胞团开始时有4个细胞，每次分裂前死去1个，再由剩余的每个细胞分裂成2个，则（为正整数）次分裂之后共有细胞的个数是_______.n n 【答案】122n ++【分析】设次分类后共有个细胞,则根据题意可得递推公式,n n a ()121n n a a +=-通过构造等比数列即可求得通项公式.【详解】由题意可设次分类后共有个细胞，n n a 则第次分裂后共有细胞个数为，1n +()121n n a a +=-即,且，122n n a a +=-()12416a =-=对数列等式两端同时减去2,可得，()1222n n a a +-=-即,， 1222n n a a +-=-12624a -=-=所以数列是以为首项,为公比的等比数列，{}2n a -124a -=2所以,化简可得，1242n n a --=⨯122n n a +=+即次分裂之后共有个细胞.n 122n ++故答案为:122n ++9．梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形，则原梯形的面积为OA B C '''_______.【答案】4【分析】根据原图形面积是直观图面积的.【详解】设直观图的上下底为，高为，则直观图的面积为， ,a b h 1()2a bh +则原梯形的上下底为，高为， ,a b 2sin 45h h '=⨯=所以原梯形的面积等于, 11()()22a b h a b h '+=+即原图形面积是梯形的面积OA B C '''因为梯形，所以原梯形的面积是.OA B C '''4故答案为:4.10．已知函数，数列满足，为正整数，若，则实数的2log ,()1,x x a f x x x a >⎧=⎨-+≤⎩{}n a ()n a f n =n 3n a a ≥a 取值范围是_______.【答案】[3,4)【分析】根据分段函数的单调性与数列的最小值联系即可求解.【详解】当时，函数严格单调递减，x a ≤()f x 当时，函数严格单调递增，x a >()f x 所以当时，取到最小值，x a =()f x 因为数列满足，{}n a *(),n a f n n =∈N 若，则是数列的最小项，3n a a ≥3a 所以，故实数的取值范围是.34a ≤<a [3,4)故答案为: .[3,4)11．中，边上的中垂线分别交于，若，则_______. ABC BC ,BC AC ,D M6,2AM BC AB ⋅==AC =【答案】4【分析】利用平面向量的基本定理和余弦定理即可求解.【详解】因为，所以，DM BC ⊥0DM BC ⋅= 且， 1,62AM AB BC DM AM BC =++⋅= 所以， 221116222AB BC DM BC AB BC BC BA BC BC ⎛⎫++⋅=⋅+=-⋅+= ⎪⎝⎭所以，且，2212BA BC BC ⋅=- 2AB =在中，由余弦定理得即ABC 2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅， ()22222241216AC AB BC BA BC BC BC =+-⋅=+--=所以.4AC = 故答案为:4.12．定义，设函数，数列是等比数列，公比，且,0,0ab ab a b a ab b≥⎧⎪⊗=⎨<⎪⎩2()log f x x x =⊗{}n a 0q >，则首项_______. ()()()()()5011239991000131,a f a f a f a f a f a a =+++++=- 1a =【答案】##0.125 18【分析】根据题设对函数的定义结合等比数列运算求解. ()f x 【详解】因为对任意实数，定义， ,a b ,0,0ab ab a b a ab b ≥⎧⎪⊗=⎨<⎪⎩函数， 222log ,1()log log ,01x x x f x x x x x x≥⎧⎪=⊗=⎨<<⎪⎩数列是公比大于的等比数列，且.{}n a 05011a =①当时，因为，1q >5011a =所以，[)1235005035025010001,,,,(0,1),,,,,1,a a a a a a a a ∈∈+∞ 由等比数列通项公得，所以， 50050111a a q==51001a q =整个数列为， 2500499498499111,,,,1,,,,q q q q q q因为， ()()()()()123999100013f a f a f a f a f a a +++++=- 所以代入得 50010001000350023221222121log log log log 30log a a a a a a a a a a a +++++-=+ 即 500499498222225004994981111log log log log log q q q q q q q q q q+++++2249949950022log log 3(i)q q q q q +++=- 由对数运算499499499498498498222249949811log log 0,log log 0(ii)q q q q q q q q +=+=⋯所以式化简得，即，所以. ()i 50050025001log 3q q q =-500328q ==1500118a q ==②当时，，1q =12310001a a a a ==== 此时.()()()()()12399910000f a f a f a f a f a ====== ，所以不成立.()()()()()123499100003f a f a f a f a f a +++++=≠-③当时，，所以， 01q <<50050111a a q==51001a q =整个数列为， 2500499498499111,,,,1,,,,q q q q q q所以，[)()1235015025031000,,,,1,,,,,0,1a a a a a a a ∞∈+∈ 因为， ()()()()()991231000913f a f a f a f a f a a +++++=- 代入得 25021212223235002500502log log log log log 0a a a a a a a a a a ++++++， 25032100050310001log log 3a a a a a +++=- 即 49822225005004994994982log 1111111log log log log q q q q q q q q q q+++++ 2499500222499log log 3(iii)q q q q q+++=- 由对数运算，499499499498498498222249949811log log 0,log log 0q q q q q q q q +=+=⋯所以式化简得. (iii)500250050011log 3q q q=-因为当时，，所以等式左边大于，等式右边小于，方程无解. 1q <150011a q =>00综上所述，. 118a =故答案为：. 18二、单选题13．“数列为等差数列”是“数列为等比数列”的（ ） {}n a {}2n a A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【分析】根据等差数列和等比数列的定义,结合充要条件定义判断即可.【详解】充分条件:若“数列为等差数列” 成立，则有（常数），{}n a 1n n a a d +-=所以(常数)，所以数列为等比数列. 112222n n n n a a a d a ++-=={}2n a 必要条件:若“数列为等比数列”，所以为常数， {}2n a 11222n n n n a a a a ++-=所以为常数，所以数列为等差数列，1n n a a +-{}n a所以数列为等差数列是数列为等比数列的充要条件. {}n a {}2n a 故选:.C 14．在梯形中，，，.将梯形绕所在直ABCD 90ABC ∠=︒//AD BC 222BC AD AB ===ABCD AD 线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为A ．B ．C ．D ．23π43π53π2π【答案】C【详解】由题意可知旋转后的几何体如图:直角梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为1，母线长为2的圆柱挖去一个底面半径同样是1、高为1的圆锥后得到的组合体，所以该组合体的体积为 2215121133V V V πππ=-=⨯⨯-⨯⨯⨯=圆柱圆锥故选C.【解析】1、空间几何体的结构特征；2、空间几何体的体积.15．实数a ，b 满足a •b ＞0且a ≠b ，由a 、b 、按一定顺序构成的数列（ ） 2a b +A ．可能是等差数列，也可能是等比数列B ．可能是等差数列，但不可能是等比数列C ．不可能是等差数列，但可能是等比数列D ．不可能是等差数列，也不可能是等比数列【答案】B【分析】由实数a ，b 满足a•b ＞0且a≠b ，分a ，b ＞0和a ，b ＜0，两种情况分析根据等差数列的定义和等比数列的定义，讨论a 、b 、2a b +件的a ，b 的值，最后综合讨论结果，可得答案．【详解】（1）若a ＞b ＞0则有a ＞ b 2a b +若能构成等差数列，则a+b= 2a b +2a b +解得a=b （舍），即此时无法构成等差数列若能构成等比数列，则a•b=， 2a b +2a b +=解得a=b （舍），即此时无法构成等比数列（2）若b ＜a ＜0，2a b a b +>>>，得2a b b a +=+于是b ＜3a4ab=9a 2-6ab+b 2得b=9a ，或b=a （舍）当b=9a 时这四个数为-3a ，a ，5a ，9a ，成等差数列．于是b=9a ＜0，满足题意＜0，a•＞0，不可能相等，故仍无法构成等比数列 2a b +故选B【点睛】本题考查的知识点是等差数列的确定和等比数列的确定，熟练掌握等差数列和等比数列的定义和性质是解答的关键．16．如图所示，在正方体中，分别是的中点，有下列结论：①1111ABCD A B C D -,E F 11,AB BC ；②平面；③与所成角为；④平面，其中正确1EF BB ⊥EF ⊥11BCC B EF 1C D 45 //EF 1111D C B A 的序号是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【答案】B【分析】利用线面垂直可得线线垂直即可判断①；利用线面垂直可判断②；利用异面直线的夹角可判断③；利用线面平行的判定定理可判断④.【详解】连接，则交于，又因为为中点，1A B 1A B 1AB E F 1BC得，由平面，平面,11//EF A C 1B B ⊥1111D C B A 11AC ⊂1111D C B A 得，得，故①正确；111B B A C ⊥1B B EF ⊥由平面，得平面，1111//,EF A C A C ⊥11BDD B EF ⊥11BDD B 而平面与平面不平行，所以平面错误，11BDD B 11BCC B EF ⊥11BCC B 故②错误；因为与所成角就是，连接,EF 1C D 11A C D ∠1A D 则为等边三角形，11AC D 所以，故③错误；1160AC D ∠= 由分别是的中点，得，,E F 11,AB BC 11//EF A C 平面，平面，EF ⊄1111D C B A 11AC ⊂1111D C B A 得平面，//EF 1111D C B A 故④正确；故选:B.三、解答题17．在中，.ABC 1,3AB AC AB BC ⋅=⋅=- (1)求证：；tan 3tan B A =(2)求的长；AB【答案】(1)证明见解析(2)2AB =【分析】(1)利用向量的数量积公式和正弦定理结合求解；(2)利用向量的减法运算求解即可.【详解】（1）因为，所以，1,3AB AC AB BC ⋅=⋅=- 3AB AC BA BC ⋅=⋅ 所以，即，cos 3cos cb A ca B =cos 3cos b A a B =由正弦定理得，， sin sin b a B A=sin cos 3sin cos B A A B =又因为，所以，0πA B <+<cos 0,cos 0>>A B 在等式两边同时除以，得；cos cos A B tan 3tan B A =（2）由题意得，4AB AC AB BC ⋅-⋅= ()4AB AC BC ⋅-= 所以，即.4AB AB ⋅= 2AB =18．《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图所示，四面体 PABC 中，平面是棱的中点.PA ⊥,,ABC AC BC D =AB(1)证明：，并判断四面体是否为鳖臑？若是，写出其每个面的直角；若不是，说CD PB ⊥PACD 明理由；(2)若四面体是鳖臑，且，求直线与平面所成角的大小.PABC 2AP AB ==AP PCD 【答案】(1)证明见解析，四面体是鳖臑，直角分别为，和PACD PAC ∠,PAB ADC ∠∠PDC ∠(2)【分析】(1)利用线面垂直的判定定理和线面垂直的性质即可说明；(2)利用等体积法求出椎体的高，进而利用三角函数值求线面夹角的正弦值.【详解】（1）因为平面平面，所以，PA ⊥,ABC CD ⊂ABC PA CD ⊥因为是棱的中点，所以，,AC BC D =AB CD AB ⊥又平面，所以平面，,,PA AB A PA AB ⋂=⊂PAB CD ⊥PAB 因为平面，所以，所以四面体是鳖臑，PB ⊂PAB CD PB ⊥PACD 直角分别为，和.PAC ∠,PAB ADC ∠∠PDC ∠（2）设到平面的距离为，A PCD h 因为平面，所以 PA ⊥ABC 1133P ACD ACD PCD V S PA S h -=⋅=⋅ 因为四面体是鳖臑，，是棱的中点，，PABC AC BC =D AB 2AP AB ==所以，所以，，1AC BC AD ==PD =CD AB ⊥因为，所以平面，平面，则，AD PA A ⋂=CD ⊥PAD PD ⊂PAD CD PD ⊥即，所以 111111213232h ⨯⨯⨯⨯=⋅⨯h =设直线与平面所成角为， AP PCD 0,2πθθ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭所以， sin h AP θ===所以直线与平面所成角的大小为AP PCD 19．西部某地区有沙地亩，从年开始每年在沙地植树造林，第一年年底共植树亩，22002015100以后每一年年底比上一年年底多植树亩.50(1)假设所植树苗全部成活，则到哪一年年底植树后可将沙地全部绿化？(2)若每亩所植树苗木材量为立方米，每年所值树木，从它种下的第二年起，木材量自然增长率为2，求沙地全部绿化后的那年年底该山林的木材总量 (精确到整数).20%【答案】(1)年2022(2)立方米9060【分析】（1）利用等差数列求和公式即可求解；（2）利用等比数列求和公式即可求解【详解】（1）设植树年年底后可将沙地全部绿化，记第年年底植树量为，n n n a 由题意得数列是首项为，公差的等差数列，{}n a 1100a =50d =所以，所以， (1)1005022002n n n -+⨯=23880n n +-=所以，因为，所以，(11)(8)0n n +-=*n ∈N 8n =所以到年年底植树后可以将荒山全部绿化.2022（2）设年初木材存量为，到年底木材存量增加为， 2015312a m 20228312 1.2a m ⨯年初木材存量为，到年底木材存量增加为， 2016322a m 20227322 1.2a m ⨯，年初木材存量为，到年底木材存量增加为 .⋯2022382a m 2022382 1.2a m ⨯则到年年底木材总量为202287612382 1.22 1.22 1.22 1.2S a a a a =⨯+⨯+⨯+⋯+⨯2678900 1.2800 1.2400 1.2300 1.2200 1.2S =⨯+⨯+⋯+⨯+⨯+⨯237981.2900 1.2800 1.2400 1.2200 1.2300 1.2S ⨯=⨯+⨯+⋯+⨯+⨯+⨯两式作差得()92380.2200 1.21001.2 1.2 1.2900 1.2S =⨯++++-⨯ ，所以，8840 1.21800840 4.318001812=⨯-≈⨯-=39060S m =答：到全部绿化后的那一年年底，该山林的木材总量立方米. 906020．已知四棱锥中，平面，底面是边长为的菱形，，P ABCD -PA ⊥ABCD ABCD 2120°∠=BAD .1AP =(1)求证：平面；BD ⊥PAC (2)求到平面的距离；A PBD (3)设与交于点，为中点，求二面角的大小.AC BD O M OC O PM D --【答案】(1)证明见解析(3)【分析】(1)根据线面垂直判定定理证明;(2)应用等体积法计算可求;(3)应用线面垂直的判定定理,结合二面角平面角定义,找到平面角计算即可.【详解】（1）因为四边形是菱形，所以，ABCD AC BD ⊥因为平面，在平面内，PA ⊥ABCD BD ABCD 所以，BD PA ⊥又因为，平面,平面.所以平面. PA AC A = PA ⊂PAC AC ⊂PAC BD ⊥PAC （2）设到平面的距离为，A PBD h 因为平面，所以 PA ⊥ABCD 11,33P ABD A PBD ABD PBD V V S PA S h --=⋅=⋅ 因为底面是边长为的菱形，，. ABCD 2120BAD ∠= 1PA =所以，BD PB PD ===所以，解得11112213232h ⨯⨯⨯=⨯⨯h =（3）过作交于，连接，O OH PM ⊥PM H HD由(1)因为平面，平面,,,平面,平面,DO ⊥PAC PM ⊂PAC DO ⊥PM OH PM ⊥DO ⊂DOH OH ⊂DOH 所以平面,平面得， DO OHO = PM ⊥DOH DH ⊂DOH DH PM ⊥平面,平面,所以为的平面角， DH ⊂PMD OH ⊂PMO OHD ∠O PM D --因为底面是边长为的菱形，，ABCD 2120BAD ∠=1PA =所以，13,22OD OM AM ===sin OH PA OMH OM PM ∠==从而，OM AP OH PM ⋅====所以，又二面角为锐角， tan OD OHD OH ∠===O PM D --所以二面角的平面角大小为O PM D --21．已知数列的各项均为正数，且，对任意的正整数，都有.{}n a 11a =n 121n n a a +=+(1)求证：是等比数列，并求出的通项；{}1n a +{}n a (2)设，若数列中去掉的项后，余下的项组成数列，求()22log 11n n b a =+-{}n b {}n a {}n c ；12100c c c +++(3)在（2）中，设，数列的前项和为，是否存在正整数、且，使11n n n d b b +=⋅{}n d n n S m n 1m n <<得、、依次成等差数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.1S m S n S m 【答案】(1)证明见解析，()21N n n a n *=-∈(2)11202(3)存在，2m =【分析】（1）由已知可得出，结合等比数列的定义可证得结论成立，确定数列()1121n n a a ++=+的首项和公比，可求得数列的通项公式，进而可得出数列的通项公式； {}1n a +{}1n a +{}n a （2）求出数列的通项公式，分析可得出，，进而可得出{}n b 647127b a ==71078a b a <<，结合分组求和法可求得结果； ()()1210012107127c c c b b b a a a +++=+++-+++ （3）利用裂项求和法可求得，根据等差数列的定义可得出，可得出，n S 12m n S S S =+152041m n m -=>-求出的取值范围，结合且可求得的值，并求出的值，即可得出结论.m N m *∈1m >m n 【详解】（1）解：因为，且，所以，且， 121n n a a +=+11a =()1121n n a a ++=+112a +=故数列为等比数列，且首项为，公比为， {}1n a +112a +=2所以，，故.11222n n n a -+=⨯=()21N n n a n *=-∈（2）解：，且 ，()22log 121121n n b n =+--=- 11b =其中（常数）， ()()1211212n n b b n n +-=+---=⎡⎤⎣⎦所以数列是以为首项、为公差的等差数列， {}n b 12，，，， 111b a == 64127b =106211b =107213b =由（1）得，，，因为，， 7127a =8255a =647127b a ==71078a b a <<所以()()1210012107127c c c b b b a a a +++=+++-+++ ()()()71272121071213107214222772212-⨯+⨯⎡⎤=-+++-=-+⎣⎦- .2810729=-+=11202（3）解：， ()()111112*********n n n n n n n d b b +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝=⋅⎭111111111121335212122121n n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 其中，，， 113S =21m m S m =+21n n S n =+假设存在正整数、且，使得、、依次成等差数列， m n 1m n <<1S m S n S 则有，即，所以，解得， 12m n S S S =+2121321m n m n =+++152041m n m -=>-1542m <<又因为，，所以，此时， *N m ∈1m >2m =7n =所以存在满足题设条件的、，.m n 2m =。
上海市高二上学期期中考试数学试卷含答案(共3套)
上海市行知中学第一学期期中考试高二年级 数学试卷题类 一 二 19 20 2l 22 23 总分得分值一、填空题： (本题共 14 小题，每小题 4 分，满分 56 分)21. 若 P 1PPP 2 ，设 5P 1P 2 PP 1 ，则 的值为 。
a 1x a 2 y a 42. 已知 { a n } 是等比数列，则方程组的解的个数是 。
a 5 x a 6 y a 83. 已知角 的顶点在原点，始边与 x 轴的正半轴重合，终边经过点P(-3，sintan 3 )，则行列式1cos的值为。
4. 等边△ ABC 边长为 1，则 AB BC BC CA CA AB =。
5. 向量x 经矩阵y0 1 变换后得到矩阵1 02 ，则 x y。
36. 执行如图所示的程序框图，若输入P 的值是 7，则输出 S 的值是。
7. 如果 3nlimn 11 n，那么 a 的取值范围是。
x3(a 1)38. 用数学归纳法证明 “ (n1)(n 2)...(n n) 2n1 3...(2 n 1) ”，从“ k到 k1 ”左端需增乘的代数式为。
9. 已知等差数列 { a n } 前 n 项和为S n ，若 OB a 1007 OA a 1008 OC ，且 A ， B ， C 三点共线 (不过原点 )，则S 2014 =。
10. 已知 a 与 b 均为非零向量， 给出下列命题： ①( a b) ( a) 2(b)2；② | a | a (a)2； ③若 a c b c ，则 a b ；④ (a c) b a (c b) ，上述命题中，真命题的个数是。
11. 在等差数列 { a n } 中， a 113 ，前 n 项和为 S n ，且 S 3 S 11 ，则使得 S n 最大的正整数 n 为。
12. 已知 A ， B ， C ， D 四点的坐标分别为 A(-1 ， 0)， B(1 ， 0)，C(0 ， 1)， D(2 ， 0)， P 是线段 CD 上的任意一点，则 AP BP 的最小值是。
高二上数学期中考试(含答案)
（1） 求实数a的值组成的集合A； （2） 设关于x的方程的两个非零实根为，试问：是否存在实数m，使得 不等式对任意恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理 由。
20、（本小题满分12分） 已知数列是公差的等差数列，其前n项和为，
（1） 求证：点在同一条直线上； （2） 过点作直线，设的夹角为，求证。
，此式恒成立。 故 成立。 证法2：如图，设直线 M的倾角为 ， 则由抛物线的定义得
于是
在 和 中，由余弦定理可得 由（I）的结论，得
即ห้องสมุดไป่ตู้，得证。
C、10
D、12
6、 命题，命题，则有
A、
B、
C、
D、
7、 如果椭圆的弦被点（4,2）平分，则这条弦所在直线方程是
A、
B、
C、
D、
8、 过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，F1是另一个焦点，
若，则双曲线的离心率e为
A、
B、
C、
D、
9、 命题甲：“是等比数列”，命题乙：“是等差数列”，则甲是乙成立的
三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过
程或演算步骤）
17、 （本小题满分12分） 已知命题的两个实根，不等式对任意实数恒成立；命题，若p是真命
题，q是假命题，求a的取值范围
18、（本小题满分12分） 如图，过抛物线的焦点F的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、
N向准线l作垂线，垂足分别为， （1） 求证：； （2） 记的面积分别为，试判断是否成立，并证明你的结论。
（ ）条件
A、 必要不充分 B、充分不必要 C、充要
D、既不充分也
上海市某中学高二上学期期中检测数学试题含答案
高二第一学期期中考试数学试卷 2012.11一、填空题：（本大题共12小题，每小题4分，满分48分）1.数列{}n a 满足：()*11,0N n n a a a n n ∈+==+，则数列{}n a 的通项公式=n a2.如图1所示算法流程图输出的结果是3.已知数列{}n a 的前n 项和12++=n s nn ，则=+31a a4.如图2给出一个数阵，其中每行每列均为等差数列，且数阵从左至右以及从上到下都有无限个数．①第三列前n 项和为 ；②数阵中数100共出现 次5.数列{}n a 中，1,273==a a ，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n a 是等差数列，则=11a6.设{}n a 是等比数列，公比2=q ,n s 为{}n a 的前n 项和.记n T =1217+-n n n a S S ，*N n ∈.设0n T 为数列{}=0n T n 的最大项，则7.甲、乙两人于同一天分别携款1万元到银行储蓄，甲存五年期定期储蓄，年利率为2.88%，乙存一年期定期储蓄，年利率为2.25%，并在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄，按规定每次计息时，储户须交纳利息的20%作为利息税，若存满五年后两人同时从银行取出存款，则甲与乙所得本息之和的差为 元．（假定利率五年内保持不变，结果精确到1分） 8.给出数列{}n a 的条件如下：①设n n a b 2=，{}n b 是等差数列；②设)2(11≥+=--n a a b n n n ，{}n b 是等差数列；③前n 项的和12+=n S n ；④设12-=n n a b ，数列{}n b 前n 项和为2n ．其中使数列{}n a 是等差数列的条件的正确序号是9.在1，2之间插入n 个正数,21,......,,n a a a ，使这n+2个数成等比数列，则=n a a a a (321)图1图210.正项无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1lim1=+∞→n nn S S ，则其公比q 的取值范围是11.数列()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-12121n n 的前n 项和为n S ，使T S n <恒成立的最小正数T 是12.2n 个正数排成n 行n 列，如图3，其中每行 数都成等比数列，每列数都成等差数列，且所 有公比都相等，已知,18,6,5565424===a a a 则=+1422a a二、选择题：（本大题共4小题，每小题4分，每题有且只有一个正确答案，满分16分） 13.用数学归纳法证明不等式6412721......412111>++++-n ,*N n ∈成立，起始值至少应取为（ ）A.7B.8C.9D.1014.设命题甲：△ABC 的一个内角为60°，命题乙：△ABC 的三内角的度数成等差数列．那么（ ） A ．甲是乙的充分条件，但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件，但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件15.已知{}n a 为等比数列，下面结论中正确的是（ ）A.2312a a a ≥+B.2223212a a a ≥+ C.若31a a =，则21a a = D.若13a a >，则24a a >16.若矩阵726967656259817468645952857976726964228219211204195183A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是表示我校学生高二上学期的期中成绩矩阵，A 中元素(1,2,3,4;1,2,3,4,5,6)ij a i j ==的含义如下：1i =表示语文成绩，2i =表示数学成绩，3i =表示英语成绩，4i =表示语数外三门总分成绩*,j k k N =∈表示第50k 名分数。
2009-2010-高二上期中-松江一中
高二数学一、填空题（每小题3分，共36分） 1．74lim35n n n →∞+-＝ ．2．将0.2∙化为最简分数后，分子与分母之和为 ．3．已知向量(2,3)a =，(4,1)b x =-，且//a b ，则实数x = ．4．若621,16()1,72n n n n a n N n *--≤≤⎧⎪=∈⎨≥⎪⎩，则lim n n a →∞＝ ． 5．已知数列{}n a 为等差数列，若169a a +=，47a =，则9a = ． 6．化简=+--BD AC CD AB _________．7、在数列{}n a 和{}n b 中，21=a ，)(031*∈=-+N n a a n n ，n b 是n a 与1+n a 的等差中项，则=3b _________．8．已知数列{}n a 的首项12a =，且121n n a a +=-，则通项公式n a = ． 9．两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且7453n n A n B n +=+，则77a b = ． 10．若221log (9)log ()13x x +-=，则2lim(1)n n x x x →∞+++＝ ．11．已知向量33(cos,sin )22x x a =，(cos ,sin )22x xb =-，[0,]x π∈，则a b +的取值范围为____________________．12．把数列121n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的所有数按照从大到小的原则写成如下数表：113 15 17 19 111 113115 117 119... (1)29… … … 第k 行有12k -个数，第t 行的第s 个数（从左数起）记为(,)A t s ，则(8,17)A ＝ 。
二、选择题（每小题4分，共16分）13．已知等差数列{}n a 中，前n 项和215n S n n =-，则使n S 有最小值的n 是（ ）A 、7B 、78或C 、8D 、9 14．用数学归纳法证明22111(1)1n n x x x xx x++-++++=≠-，在验证当1n =等式成立时，其左边为…………（ ）A 、1B 、1x +C 、21x x ++ D 、231x x x +++ 15．若,5221PP P -=且,121P P λ=则λ得值为……………………（ ） A 、35- B 、35 C 、32- D 、3216．若数列}{n a 前8项的值各异，且n 8n a a =+对任意的N n ∈都成立，则下列数列中可取遍}{n a 前8项值的数列为…………………………………（ ） A 、}{12+k aB 、}{13+k aC 、}{14+k aD 、}{16+k a三、解答题（8+8+9+11+12）17．已知)12,5(),4,3(---B A ，O 为坐标原点，(1) 求AB ；(2) 若OB OA OC +=，求OC 的单位向量的坐标．18．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，6,123221-=+=+a a a a ， 求 (1) {}n a 的通项公式；(2) n n S ∞→lim ．19．设在数列{}n a 中，33,2111+==+n n n a a a a ， (1) 求432,,a a a ；(2) 根据(1)猜测n a 的表达式； (3) 用数学归纳法证明上述n a 的表达式．20． 据有关资料，2000年我国工业废弃垃圾达8104.7⨯吨，占地562.4平方千米。
上海市上海中学高二上学期期中考试数学试题
上海中学高二期中数学卷2016.11一. 填空题1. 已知(4,6)A 、(3,1)B --、(5,5)C -三点，则经过点A 且与BC 平行的直线l 的点方向式 方程为2. 已知||1a =，||2b =，且()(2)a b a b λλ+⊥-，a 与b 夹角为60︒，则λ=3. 直线20x +=与直线10x +=的夹角为4. 设变量,x y 满足约束条件01030y x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则2x y +的最大值为5. 圆心为(1,2)且与直线51270x y --=相切的圆的方程为6. 关于x 、y 的二元线性方程组2532x my nx y +=⎧⎨-=⎩的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为 103011⎛⎫ ⎪⎝⎭，则m n = 7. 对任意实数m ，圆2224620x y mx my m +--+-=恒过定点，则其坐标为 8. 行列式274434651xx --中，第3行第2列的元素的代数余子式记作()f x ，则1()y f x =+ 的零点是9. 已知定点(0,5)A -，P 是圆22(2)(3)2x y -++=上的动点，则当||PA 取到最大值时， P 点的坐标为 10. 已知P 是△ABC 内的一点，且满足350PA PB PC ++=，记△ABP 、△BCP 、 △ACP 的面积依次为1S 、2S 、3S ，则123::S S S =11. 若直线y x b =+与曲线3y =b 的取值范围是12. 已知1a >，1x ≥，1y ≥，且224444log log log ()log ()a a a a x y a x a y +=+，则log ()a xy的取值范围是二. 选择题13. 已知直线方程为13510231xy =-，则下列各点不在这条直线上的是（ ）A. (2,3)-B. (4,7)C. (3,5)D. (0.5,4)14. 直线2360x y +-=关于点(1,1)-对称的直线方程是（ ）A. 2370x y ++=B. 3220x y -+=C. 2380x y ++=D. 32120x y --=15. 设O 是△ABC 所在平面上的一点，且满足()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，则 △ABC 的形状一定是（ ）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 以上都不对16. 若方程210tan sin x x θθ+-=有两个不等实根a 和b ，则过点2(,)A a a 与2(,)B b b 的直 线与圆221x y +=的位置关系是（ ）A. 相交B. 相切C. 相离D. 随θ值变化三. 解答题17. 利用行列式解关于,x y 的二元一次方程组1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩；18. 设两个向量,a b 满足||2a =，||1b =，,a b 的夹角为60︒，若向量27ta b +与向量 a tb +的夹角为钝角，求实数t 的取值范围；19. 已知直线l 过点(1,3)，且与x 轴、y 轴都交于正半轴，求：（1）直线l 与坐标轴围成面积的最小值及此时直线l 的方程；（2）直线l 与两坐标轴截距之和的最小值及此时直线l 的方程；20. 已知(0,2)A 是定圆22:16C x y +=内的一个定点，D 是圆上的动点，P 是线段AD 的 中点，求：（1）P 点所在的曲线方程E ；（2）过点A 且斜率为34-的直线与曲线E 交于M 、N 两点，求线段MN 的长度；21. 平面直角坐标系中，以原点O 为圆心，r (0)r >为半径的定圆1C ，与过原点且斜率为 k (0)k ≠的动直线交于P 、Q 两点，在x 轴正半轴上有一个定点(,0)R m ，P 、Q 、R 三 点构成三角形，求：（1）△PQR 的面积1S 的表达式，并求出1S 的取值范围；（2）△PQR 的外接圆2C 的面积2S 的表达式，并求出2S 的取值范围；参考答案一. 填空题1. 4684x y --=- 2. 1- 3. 60︒ 4. 6 5. 22(1)(2)4x y -+-= 6. 35- 7. (1,1)、17(,)558. 1x =-9. (3,2)- 10. 5:1:3 11. [1- 12. [24++二. 选择题13. B 14. C 15. A 16. B三. 解答题17. 当0m =，无解；当3m =-，无穷解；当0m ≠且3m ≠-，唯一解，1x m=，2y =-；18. 141(7,(,)2---；19.（1）min 6S =，:360l x y +-=；（2）min 4S =+，1l =；20.（1）22(1)4x y +-=；（2）5； 21.（1）1S =，1(0,)S mr ∈；（2）略；。
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上海松江一中2009学年度第一学期期中考试试卷
高二数学
命题教师 周钢 曹素玲
2009.11
一、填空题（每小题3分，共36分） 1．74
lim
35
n n n →∞+-＝ ．
2．将0.2∙
化为最简分数后，分子与分母之和为 ．
3．已知向量(2,3)a = ，(4,1)b x =-
，且//a b ，则实数x = ．
4．若6
21,16()1
,72
n n n n a n N n *--≤≤⎧⎪
=∈⎨≥⎪⎩，则lim n n a →∞＝ ． 5．已知数列{}n a 为等差数列，若169a a +=，47a =，则9a = ． 6．化简=+--_________．
7、在数列{}n a 和{}n b 中，21=a ，)(031*∈=-+N n a a n n ，n b 是n a 与1+n a 的等差中项，则=3b _________．
8．已知数列{}n a 的首项12a =，且121n n a a +=-，则通项公式n a = ． 9．两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且
745
3
n n A n B n +=
+，则7
7
a b = ． 10．若221
log (9)log ()13
x x +-=，则2lim(1)n
n x x x →∞
+++ ＝ ．
11．已知向量33(cos ,sin )22x x a = ，(cos ,sin )22
x x
b =- ，[0,]x π∈，则a b + 的取值范围为____________________． 12．把数列121n ⎧⎫
⎨
⎬-⎩⎭
的所有数按照从大到小的原则写成如下数表：
1
13 15 17 19 1
11 113
115 117 119 ... (1)
29
… … … 第k 行有1
2
k -个数，第t 行的第s 个数（从左数起）记为(,)A t s ，则(8,17)
A ＝ 。
二、选择题（每小题4分，共16分）
13．已知等差数列{}n a 中，前n 项和215n S n n =-，则使n S 有最小值的n 是（ ）
A 、7
B 、78或
C 、8
D 、9 14．用数学归纳法证明2
2
1
11(1)1n n x x x x
x x
++-++++=≠- ，在验证当1n =等式成立时，其左边为……………………………………………………（ ）
A 、1
B 、1x +
C 、2
1x x ++ D 、2
3
1x x x +++ 15．若,52
21PP P -
=且,121P P λ=则
λ得值为……………………（ ） A 、35- B 、35 C 、32- D 、32
16．若数列}{n a 前8项的值各异，且n 8n a a =+对任意的N n ∈都成立，则下列数列中可取遍}{n a 前8项值的数列为…………………………………（ ） A 、}{12+k a
B 、}{13+k a
C 、}{14+k a
D 、}{16+k a
三、解答题（8+8+9+11+12）
17．已知)12,5(),4,3(---B A ，O 为坐标原点，
(1) 求；(2) 若+=，求的单位向量的坐标．
18．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，6,123221-=+=+a a a a ，
求 (1) {}n a 的通项公式；(2) n n S ∞
→lim ．
19．设在数列{}n a 中，3
3,21
11+=
=
+n n n a a a a ， (1) 求432,,a a a ；(2) 根据(1)猜测n a 的表达式； (3) 用数学归纳法证明上述n a 的表达式．
20． 据有关资料，2000年我国工业废弃垃圾达8
104.7⨯吨，占地562.4平方千米。
若环保部门每回收或处理1吨废旧物资，则相当于处理和减少4吨工业废弃垃圾，并可节约开采各种矿石20吨，设环保部门2001年回收10万吨废旧物资，计划以后每年递增20%的回收量。
试问：
(1) 2005年回收废旧物资多少吨？
(2) 从2001年至2005年可节约开采矿石多少吨？
(3) 从2001年至2005年可节约多少平方千米土地？（精确到0.01）
21．我们在下面的表格内填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为q 的数列{}n a 依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其它空格．
(1) 设第2行的数依次为n B B B ,,,21 ，试用q n ,表示n B B B +++ 21的值； (2) 设第3列的数依次为n c c c c ,,,,321 ，求证：对于任意非零实数q ，231
2c c c >+．
(3) 能否找到q 的值，使得(2) 中的数列n c c c c ,,,,321 的前m 项m c c c ,,,21 (3≥m ) 成为等比数列？若能找到，m 的值有多少个？若不能找到，说明理由．
松江一中2009学年度第一学期期中考答案
高二数学
一、 填空题
1、
7
3
； 2、11 ； 3、7； 4、0； 5、 32； 6、0 ； 7、724
； 8、1
21n -+；
9、172； 10、3； 11、[0,2]； 12、1287
二、 选择题
13. B ；14.C ；15. D ；16.B
三、 解答题
17、（1）(8,8)AB =-
，AB = ；（2
）(6565-
18、（1）1
124()2n n a -=- （2）16 19、解：（1） 237a =，338a =，41
3a =；
（2）3
5
n a n =+；
（3）
都成立切）可知，上述猜想对一）（由（等式也成立
时，则当时，等式成立，即假设当等式成立时，当证明：*1121,5)1(3
6335
359
33153
)2(,2
1
5131)1(N n k k k k a a a k n k a k n a n k k k k ∈++=+=+++=+=+=+=
==+=
=+
20、
21、（1）22
n n
nq -+； （2）22132242420c c c q q q q +-=++--=>，故1322c c c +>。
（3）3m =可以，12
q =-。
【先设321,,c c c 成等比数列，由2
231c c c =，得 22)2(23q q q +=++，2
1-
=q . 此时 11=c ，4
9,2332==
c c ，所以321,,c c c 是一个公比为23
的等比数列.
如果4≥m ，m c c c ,,,21 为等比数列，那么321,,c c c 一定是等比数列. 由上所述，此时21
-=q ，11=c ，49,2
332=
=c c ，8
23
4=c ，… 由于2334≠c c ，
因此，对于任意4≥m ，m c c c c ,,,,321 一定不是等比数列. 综上所述，当且仅当3=m 且2
1
-=q 时，数列m c c c c ,,,,321 是等比数列.】
平方千米）（（吨吨26.242.1102.1101010
4.74.562)31488320)2.1102.11010(20)2(207360
%)201(10)1(48
4
4
≈⨯⨯++⨯+⨯⨯=⨯++⨯+⨯=+⨯。