重庆中考数学26题专训45
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中考26题第二小问专项讲解第一大类:线段最大值一、基本题型：_ _丄2 3 9例1：如图，抛物线J = _7X +T X + 2与兀轴交于A.B两点，与y轴交于C点, P为抛物线上BC±方的一点。
1、过点P作y轴的平行线交BC于M,求PM的最大值。
2、过点P作X轴的平行线交BC于M,求PM的最大值。
二、变式题型1：过点P作y轴的平行线交BC于M,作PN丄BC于N。
3、求PN的最大值，PM+PN的最大值。
4、求APMN周长的最大值。
5、求APMN面积的最大值。
三、变式题型2：P为抛物线上E C上方的一点。
D为E C延长线上的一点且C D = B C 6、求APBC面积的最大值。
7、求APDC面积的最大值。
例2：如图，抛物线与y = -yx2+|x + 2兀轴交于4, B两点，与y轴交于C点,P为抛物线的顶点。
1、M是BC上的一点，求PM + AM最小时M点的坐标。
2、D为点C关于x轴的对称点，M是BC±的一点，求DM+PM最小时M点的坐标。
3、M是BC上的一点，N是AC上的一点，求° OMN周长的最小值及M点的坐标。
4、M. N为直线B C±的动点，N在下方且MN = V5 ,最小值。
5、M. N为直线BC上的动点，N在下方且MN = V5 , D在抛物线上且在D与C对称。
求四边形PMND周长的最小值。
6、M为对称轴上的一点，MN丄y轴于N, D在抛物线上且在D与C对称。
求DM + MN + N A的最小值。
7、M为对称轴上的一点，MN丄y轴于N, D在抛物线上且在D与C对称。
求DM + MN + N B的最小值。
8、M为对称轴上的一点，N为y轴上一点，D在抛物线上且在D与C对称。
求OM + MN + N D第二大类: 线段和的最小值9、M为EC上的一点，求PM + 討的最小值。
求PM + MN + AN 的10、D在抛物线上且在D与C对称，在BC±找一点N, M是x轴上的一点。
2021年重庆中考数学第26题几何证明专题训练
2021年重庆中考数学第26题几何证明专题训练1.如图1，在Rt△ACB中，AC=BC，过B点作BD⊥CD于D点，AB交CD于E．(1)如图1，若AC=6，tan∠ACD=2，求DE的长；(2)如图2，若CE=2BD，连接AD，在AD上找一点F，使CF=DF，在FD上取一点G，使∠EGF=∠CFG，求证：AF=EG；(3)如图3，D为线段BC上方一点，且∠BDC=90°，AC=6，连接AD，将AD绕A点逆时针旋转90°，D点对应点为E点，H为DE中点，求当AH有最小值时，直接写出△ACH 的面积．2.在△ABC中，∠BAC=90°，点E为AC上一点，AB=AE，AG⊥BE，交BE于点H，交BC于点G，点M是BC边上的点．(1)如图1，若点M与点G重合，AH=2，BC=√26，求CE的长；(2)如图2，若AB=BM，连接MH，∠HMG=∠MAH，求证：AM=2√2HM；(3)如图3，若点M为BC的中点，作点B关于AM的对称点N，连接AN、MN、EN，请直接写出∠AMH、∠NAE、∠MNE之间的角度关系．3.如图，在△ABC和△DEF中，AB=AC，DE=DF，∠BAC=∠EDF=120°，线段BC与EF相交于点O．(1)若点O恰好是线段BC与线段EF的中点．①如图1，当点D在线段BC上，A、F、O、E四点在同一条直线上时，已知BC=4√3，DE=√3，求AD的长；②如图2，连接AD，CF相交于点G，连接OG，BG，当BG⊥OG时，求证：BG=√3CG．2(2)若点D与点A重合，CF//AB，H、K分别为OC、AF的中点，连接HK，直接写出HKAE−OF 的值．AC，连接4.在△ABC和△AEF中，∠AFE=∠ABC=90°，∠AEF=∠ACB=30°，AE=12 EC，点G是EC中点，将△AEF绕点A顺时针旋转．(1)如图1，若E恰好在线段AC上，AB=2，连接FG，求FG的长度；(2)如图2，若点F恰好落在射线CE上，连接BG，证明：GB=√3AB+GC；2GC最大时，直接写出直线AB，(3)如图3，若AB=3，在△AEF旋转过程中，当GB−12AC，BG所围成三角形的面积．5.如图，四边形ABCD为正方形，△AEF为等腰直角三角形，∠AEF=90°，连接FC，G为FC的中点，连接GD，ED．(1)如图①，E在AB上，直接写出ED，GD的数量关系．(2)将图①中的△AEF绕点A逆时针旋转，其它条件不变，如图②，(1)中的结论是否成立？说明理由．(3)若AB=5，AE=1，将图①中的△AEF绕点A逆时针旋转一周，当E，F，C三点共线时，直接写出ED的长．6.如图1，在四边形ABCD中，AC交BD于点E，△ADE为等边三角形．(1)若点E为BD的中点，AD=4，CD=5，求△BCE的面积；(2)如图2，若BC=CD，点F为CD的中点，求证：AB=2AF；(3)如图3，若AB//CD，∠BAD=90°，点P为四边形ABCD内一点，且∠APD=90°，连接BP，取BP的中点Q，连接CQ.当AB=6√2，AD=4√2，tan∠ABC=2时，求CQ+√10BQ的最小值．107.已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC．(1)如图①，若AB=BD，AB⊥BD，求证：CD=√2AB；(2)如图②，若AB=AD，AB⊥AD，BC=1，求CD的长；(3)如图③，若AD=BD，AD⊥BD，AB=2√5，求CD的长．8.在△ABC中，∠ABM=45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．(1)如图1，若AB=3√2，BC=5，求AC的长；(2)如图2，点D是线段AM上一点，MD=MC，点E是△ABC外一点，EC=AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF=∠CEF．9.在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于E，过点C作CF⊥CD交AE于点F，连接OF.以OF为直角边作Rt△OFG，其中∠OFG=90°，连接AG．(1)如图1，若∠EAB=30°，OA=2√3，AB=6，则求CE的长度；(2)如图2，若CF=CD，∠FGO=45°，求证：EC=√2AG+2EF；(3)如图3，动点P从点A运动到点D(不与点A、点D重合)，连接FP，过点P作FP的垂线，又过点D作AD的垂线交FP的垂线于点Q，点A′是点A关于FP的对称点，连接A′Q.若AE=2EC，FG=2OF，EF=1，AG=√5，则在动点P的运动过程中，直接写出A′Q的最小值．10.在正方形ABCD中，E为边CD上一点(不与点C、D重合)，垂直于BE的一条直线MN分别交BC、BE、AD于点M、P、N，正方形ABCD的边长为6．(1)如图1，当点M和点C重合时，若AN=4，求线段PM的长度；(2)如图2，当点M在边BC上时，判断线段AN、MB、EC之间的数量关系，并说明理由；(3)如图3，当垂足P在正方形ABCD的对角线AC上运动时，连接NB，将△BPN沿着BN翻折，点P落在点P′处，AB的中点为Q，直接写出P′Q的最小值．11.如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．(1)求∠CPE的度数；(2)如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．12. 如图，在菱形ABCD 中，∠ABC =60°，分别过点B 作BC 的垂线，过点D 作CD 的垂线，两垂线相交于点E ．(1)如图1，若AD =4，连接AE ，BD ，求三角形ADE 的面积；(2)如图2，点F 是DE 延长线上的一点，点G 为EB 延长线上的一点，且EF =BG ，连接BF ，DG ，DG 交FB 的延长线于点H ，连接AH ，试猜想线段AH ，BH ，HD 的数量关系并证明你的结论；(3)如图3，在(2)的条件下，在AH 上取得一点P ，使得HP =3AP ，已知Q 为直线ED 上一点，连接BQ ，连接QP ，当BQ +QP 最小时，直接写出S △QDC S 菱形ABCD 的值．13. 如图，已知△ABC 中，∠ABC =45°，CD 是边AB 上的高线，E 是AC 上一点，连接BE ，交CD 于点F ．(1)如图1，若∠ABE =15°，BC =√3+1，求DF 的长；(2)如图2，若BF =AC ，过点D 作DG ⊥BE 于点G ，求证：BE =CE +2DG ；(3)如图3，若R 为射线BA 上的一个动点，以BR 为斜边向外作等腰直角△BRH ，M 为RH 的中点.在(2)的条件下，将△CEF 绕点C 旋转，得到△CE′F′，E ，F 的对应点分别为E′，F′，直线MF′与直线AB 交于点P ，tan∠ACD =13，直接写出当MF′取最小值时RMPF′的值．14. 如图△ABC 为等腰直角三角形，∠A =90°，D 、E 分别为AB 、AC 边上的点，连接DE ，以DE 为直角边向上作等腰直角三角形DEF ，连接BE 、BF ．(1)如图1，当CE =AD 时，求证：BF ⊥BD ；(2)如图2，H 为BE 的中点，过点D 作DG ⊥BC 于点G ，连接GH.求证：BF =2HG ；(3)如图3，BE 与DF 交于点R ，延长BF 交AC 于点P ，∠APB 的角平分线交BE 于点Q.若点E 为AC 上靠近点A 的三等分点，且tan∠AED =67，请直接写出BR QR 的值．15. 如图，△ABC 是等边三角形，△BDE 是顶角为120°的等腰三角形，BD =DE ，连接CD ，AE ．(1)如图1，连接AD ，若∠ABE =60°，AB =BE =√3，求CD 的长；(2)如图2，若点F 是AE 的中点，连接CF ，DF.求证：CD =2DF ；(3)如图3，在(2)的条件下，若AB =2√3，BD =2，将△BDE 绕点B 旋转，点H 是△AFC 内部的一点，当DF 最大时，请直接写出2HA +HF +√5HC 的最小值的平方．16.如图，点B，C，D在同一条直线上，△BCF和△ACD都是等腰直角三角形.连接AB，DF，延长DF交AB于点E．(1)如图1，若AD=BD，DE是△ABD的平分线，BC=1，求CD的长度；(2)如图2，连接CE，求证：DE=√2CE+AE；(3)如图3，改变△BCF的大小，始终保持点F在线段AC上(点F与点A，C不重合).将ED绕点E顺时针旋转90°得到EP.取AD的中点O，连接OP.当AC=2时，直接写出OP 长度的最大值．17.如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AB=AC且∠CAB=90°，E为BC上一点，且BE=AC，过E作EF⊥BC且EF=EC，连接CF．(1)如图1，已知AB=2，连接AE、AF，求△AEF的面积；(2)如图2所示，D为AB上一点，连接DB，作∠DBH=45°交EF于H点，求证：CD=HF+√2CE；(3)已知△ABC面积为8+4√2，D为射线AC上一点，作∠DBH=45°，交射线EF于H，连接DH，点M为DH的中点，当CM有最小值时，请直接写出△CMD的面积．18.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点E是边BC上的一个动点，点D是射线AC上的一个动点；连接DE，以DE为斜边，在DE右侧作等腰Rt△DFE，再过点D 作DH⊥BC，交射线BC于点H．(1)如图1，若点F恰好落在线段AE上，且∠DEH=60°，CD=3√2，求出DF的长；(2)如图2，若点D在AC延长线上，此时，过F作FG⊥BC于点G，FG与AC边的交点记为M，当AE=DE时，求证：FM+√2MD=AB；(3)如图3，若AB=4√10，点D在AC延长线上运动，点E也随之运动，且始终满足AE=DE，作点E关于DF的对称点E′，连接CF、FE′、DE′，当CF取得最小值时，请直接写出此时四边形CFE′D的面积．19.如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A顺时针旋转90°，得到AE，连接DE．(1)如图1所示，若BC=4，在D点运动过程中，当tan∠BDE=8时，求线段CD的长；11(2)如图2所示，点F是线段DE的中点，连接BF并延长交CA延长线于点M，连接DM，交AB于点N，连接CF，AF，当点N在线段CF上时，求证：AD+BF=CF；(3)如图3，若AB=2√3，将△ABC绕点A顺时针旋转得△AB′C′，连接CC′，P为线段CC′上一点，且CC′=√3PC′，连接BP，将BP绕点B顺时针旋转60°得到BQ，连接PQ，K 为PQ的中点，连接CK，请直接写出线段CK的最大值．20.在△ABC中，AC=BC，D为△ABC外一点，连接CD．(1)如图1，若∠ACB=60°，CD//AB，连接BD交AC于点E，且CD=2AB=2，求S△BCE．EC，(2)如图2，CE=CD，∠ECB=∠DCA，ED交AB于点F，FG垂直平分EC，且FG=12BF．M，N分别为AF，CD中点，连接MN，求证：MN=12(3)如图3，若∠ACB=90°，CD//AB，将AD绕着A点顺时针旋转60°得到AD′，连接DD′，BD′，且AC=√6，求BD′的最小值．21.已知，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为AB边上的一点，连接CD，以CD为斜边向右侧作直角△CDE，连接AE并延长交BC的延长线于点F．(1)如图1，当∠CDE=30°，AD=1，BD=3时，求线段DE的长；(2)如图2，当CE=DE时，求证：点E为线段AF的中点；(3)如图3，当点D与点A重合，AB=4时，过E作EG⊥BA交直线BA于点G，EH⊥BC交直线BC于点H，连接GH，求GH长度的最大值．22.如图，在锐角△ABC中，∠ACB=45°，点D是边BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接DE交AC于点F．(1)如图1，若∠ADC=60°，求证：DF=AF+EF；(2)如图2，在点D运动的过程中，当∠ADC是锐角时，点M在线段DC上，且AM=AD，连接ME，猜想线段ME，MD，AC之间存在的数量关系，并证明你猜想的结论；(3)在点D运动的过程中，当∠ADC是钝角时，点N是线段DE上一动点，连接CN，若AF=m，请直接用含m的代数式表示2CN+√2NE的最小值．CF=3523.如图1，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ACB=∠ADB=90°，∠BAC=60°，CE⊥AB交AB于点E，AE=AD，点F在线段BD上，连接AF．(1)若AC=4，求线段BD的长；(2)如图2，若∠DAF=60°，点M为线段BF的中点，连接CM，证明：2CM=BF+√3AC；(3)如图3，在(2)的条件下，将△ADF绕点A旋转得△AD′F′，连接BF′，点M为线段BF′的中点，连接D′M，当D′M长度取最小时，在线段AB上有一动点N，连接MN，将线段MN绕点M逆时针旋转60°至MN′，连接D′N′，若AC=4，请直接写出(2MN′−√2D′N′)的最小值．。
重庆中考第26题专题专训(教师版)
重庆中考数学第26题专题专训1．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2﹣x﹣2与x轴交于A，B两点（点A 在点B的左侧），交y轴于点C．（1）求直线AC的解析式；（2）点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥AC，垂足为D，当线段PD的长度最大时，点Q从点P出发，先以每秒1个单位的速度沿适当的路径运动到y轴上的点M处，再沿MC以每秒3个单位的速度运动到点C停止，当点Q在整个运动中所用时间t最少时，求点M的坐标；（3）如图2，将△BOC沿直线BC平移，平移后B，O，C三点的对应点分别是B′，O′，C′，点S是坐标平面内一点，若以A，C，O′，S为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的点S的坐标．解：（1）当y=0时，﹣x2﹣x﹣2=0，解这个方程，得：x1=﹣6，x2=﹣1，∴点A（﹣6，0），B（﹣1，0），当x=0时，y=﹣2，∴C（0，﹣2），设直线AC的解析式为：y=ax+b（a≠0），将点A（﹣6，0），C（0，﹣2）代入得：，∴，∴直线AC的解析式为：y=﹣x﹣2；（3分）（2）如图1，过点P作PE∥y轴交直线AC于点E，设P（a，﹣），则点E（a，﹣﹣2），∴PE=（﹣）﹣（﹣﹣2）=﹣﹣2a，∵AO=6，OC=2，∴AC===2，∵∠PDE=∠AOC=90°，∠PED=∠ACO，∴△PDE∽△AOC，∴=，∴PD=PE==﹣﹣，对称轴是：a=﹣3，∵﹣，∴当a=﹣3时，PD的长度最大，此时点P的坐标为（﹣3，2），如图1所示，在x轴上取点F（1，0），连接CF并延长，∴CF===3，∴sin∠OCF==，点M是y轴上一点，过点M作MH⊥CF于点H，由△CHM∽△COF，可知：=，∵t==PM+MH，如图2，当P、M、H在同一直线上时，t的值最小，此时，过P作PK⊥y轴于K，由△PKM∽△COF，可知：=2，∴KM=，∴M（0，），（7分）（3）如图3，当四边形ACSO'是菱形时，过S作SG⊥y轴于G，延长O'C'交x轴于H，∵四边形ACSO'是菱形，∴AO'=AC=SC，AO'∥SC，∴∠AMC=∠BCS，∴∠AO'H+∠MC'O'=∠BCO+∠OCS，∵∠MC'O'=∠BCO，∴∠AO'H=∠OCS，∵∠AHO'=∠CGS，∴△O'AH≌△CSG，∴AH=SG，O'H=CG，Rt△OCB中，sin∠OCB==，∴sin∠BC'H==，设BH=x，则BC'=3x，∴C'H=2x，∴AH=SG=5﹣x，∵O'C'=OC=2，∴C'H=OG=2x，由勾股定理得：AC2=O'A2，∴AO2+OC2=O'H2+AH2，∴=（5﹣x）2+（2+2x）2，解得：x=，当x=时，SG=5﹣x=，OG=2x=，当x=＜0时，不符合题意，舍去，SG=5﹣x=，OG=2x=，此时S的坐标为：或；②如图4，过S作SH⊥AO于H，延长O'B'到y轴交于G，∵SE∥CF，EC∥SF，∴四边形SECF是平行四边形，∴∠ESF=∠ECF，∵四边形ASO'C是菱形，∴∠ASO'=∠ACO'，∴∠ASH=∠O'CG，同理得：△ASH≌△O'CG，∴AH=O'G，SH=CG，sin∠GCB'==，设GB'=x，则CB'=3x，CG=2x，∴O'G=1+x，由勾股定理得：AC2=O'C2，∴62+（2）2=（2x）2+（x+1）2解得：x=，当x=时，SH=CG=2x=，OH=6﹣AH=6﹣O'G=5﹣x=，当x=＜0时，不符合题意，舍去，此时，点S的坐标为：（，）；③如图5，AC为对角线时，同理可得S（，）④如图6，过S作SE⊥x轴于E，延长B'O'交y轴于H，延长O'C'交x轴于G，设GB'=x，则CB'=3x，CG=2x，∴O'G=O'H=1+x，∵∠HO'D=∠O'DA=∠EAS，易得△SEA≌△CHO'，同理可得S（，）；⑤如图7，过S作SH⊥x轴于H，过O'作O'E⊥SH于E，延长C'O'交x轴于G，设OG=x，则BG=1+x，∵O'B'∥BG，∴，∴，∴C'G=2（1+x），∴O'G=C'G﹣C'O'=2x，∴AG=1+x，同理得：62+（2）2=（1+x）2+（2x）2，解得：x1=，x2=（舍），可得S；综上所述，S的坐标为：或或（，）或（，）或（，）．（12分）2．在平面直角坐标系中，已知抛物线322+--=x x y 的图象交x 轴于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），交y 轴于点C ．（1）求直线AC 的解析式；（2）抛物线的对称轴交直线AC 于点E ，直线AC 上方的抛物线上有一动点P ，当△PEC 面积最大时，线段CE 在直线AC 上平移，记线段CE 平移 后为E C ''，求E C P ''∆的周长最小值；（3）抛物线的顶点为D ，连接AD ，将线段AD 沿直线AC 平移，记线段AD 平移后为D A ''，过点D '作x 轴的垂线交x 轴于点G ，当G D A ''∆ 为等腰三角形时，求A A '的长度．解：（1）抛物线y=﹣x 2﹣2x+3，∴A （﹣3，0），B （1，0），C （0，3），∴直线AC 的解析式 y=x+3； （2）∵对称轴为x=﹣1，∴E （﹣1，2），设P （m ，﹣m 2﹣2m+3）， ∴S △PEC =﹣m 2﹣m=﹣（m+）2+，∴当m=﹣时，S △PEC 的有最大值， 即：P （﹣，），将线段PC 平移，使得C 与E 重合，得到线段P'E ， ∴P'（﹣，），P''（﹣，），∴△PC'E'的周长的最小值为PP''+CE=+（3）∵抛物线y=﹣x 2﹣2x+3， ∴D （﹣1，4），设A'（﹣3+n ，n ），D'（﹣1+n ，4+n ），则G （﹣1+n ，0）， ∴AA'=|n|， ∴A'D'2=20，A'G 2=n 2+4，D'G 2=n 2+8n+16，∵△A ′D ′G 为等腰三角形，①当A'D'=A'G时，∴20=n2+4，∴n=±4，∴AA'=4②当A'D'=D'G时，∴20=n2+8n+16，∴n=±2﹣4，∴AA'=2±4③当D'G=A'G时，∴n2+4=n2+8n+16，∴n=﹣，∴AA'=，即：AA′的长度为4或2或．3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC，过点A作AD∥BC交y轴于点D．（1）求平行线AD、BC之间的距离；（2）如图1，点P为线段BC上方抛物线上的一动点，当△PCB的面积最大时，Q从点P出发，先沿适当的路径运动到直线BC上点M处，再沿垂直于直线BC的方向运动到直线AD上的点N处，最后沿适当的路径运动到点B处停止．当点Q的运动路径最短时，求点M的坐标及点Q经过的最短路径的长；（3）如图2，将抛物线以每秒个单位长度的速度沿射线AD方向平移，抛物线上的点A、C平移后的对应点分别记作A′、C′，当△A′C′B是以C′B为底边的等腰三角形时，将等腰△A′C′B 绕点D逆时针旋转一周，记旋转中的△A′C′B为△A″C″B′，若直线A″C″与y轴交于点K，直线A″C″与直线AD交于点I，当△DKI是以KI为底边的等腰三角形时，求出DK2的值．解：（1）如图1中，作AH⊥BC于H．对于抛物线y=﹣x2+x+3，令y=0，得到﹣x2+x+3=0，解得x=﹣或3，∴A（﹣，0），B（3，0），令x=0，得到y=3，∴C（0，3），∴OA=，OB=3，AB=4，OC=3，BC==3，∵S△ABC=•AB•CO=•BC•AH，∴AH==，∵AD∥BC，∴AD与BC之间的距离为．（2）如图2中，设P（m，﹣m2+m+3），S△PBC =S△POB+S△PCO﹣S△BOC=×3×（﹣m2+m+3）+×3×m﹣×3×3=﹣（m﹣）2+，∵﹣＜0，∴m=时，△PBC的面积最大，此时P（，），作B关于直线AD的对称点B′交AD于K，连接PK交BC于M，作MN⊥AD于N，连接BN，则PM+MN+BN 的值最小．∵直线BC的解析式为y=﹣x+3，AD∥BC，∴直线AD的解析式为y=﹣x﹣1，∵BB′⊥BC，∴直线BB′的解析式为y=x﹣6，由，解得，∴K（，﹣），∴直线PK的解析式为y=﹣x+，由，解得，∴M（，），∴点Q经过的最短路径的长=PM+MN+BN=MN+（PM+MK）=MN+PK，∵MN=，PK==，∴点Q经过的最短路径的长为+．4. 抛物线y=﹣x2﹣x+与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D 是该抛物线的顶点．（1）如图1，连接CD，求线段CD的长；（2）如图2，点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC交于点E；将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当PE+EC的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标；（3）如图3，点H是线段AB的中点，连接CH，将△OBC沿直线CH翻折至△O2B2C的位置，再将△O 2B2C绕点B2旋转一周，在旋转过程中，点O2，C的对应点分别是点O3，C1，直线O3C1分别与直线AC，x轴交于点M，N．那么，在△O2B2C的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使△AMN是以MN为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的线段O2M的长；若不存在，请说明理由．解：（1）如图1，过点D作DK⊥y轴于K，当x=0时，y=，∴C（0，），y=﹣x2﹣x+=﹣（x+）2+，∴D（﹣，），∴DK=，CK=﹣=，∴CD===；（4分）（2）在y=﹣x2﹣x+中，令y=0，则﹣x2﹣x+=0，解得：x1=﹣3，x2=，∴A（﹣3，0），B（，0），∵C（0，），易得直线AC的解析式为：y=，设E（x，），P（x，﹣x2﹣x+），∴PF=﹣x2﹣x+，EF=，Rt△ACO中，AO=3，OC=，∴AC=2，∴∠CAO=30°，∴AE=2EF=，∴PE+EC=（﹣x2﹣x+）﹣（x+）+（AC﹣AE），=﹣﹣x+[2﹣（）]，=﹣﹣x﹣x，=﹣（x+2）2+，（5分）∴当PE+EC的值最大时，x=﹣2，此时P（﹣2，），（6分）∴PC=2，∵O1B1=OB=，∴要使四边形PO1B1C周长的最小，即PO1+B1C的值最小，如图2，将点P向右平移个单位长度得点P1（﹣，），连接P1B1，则PO1=P1B1，再作点P1关于x轴的对称点P2（﹣，﹣），则P1B1=P2B1，∴PO1+B1C=P2B1+B1C，∴连接P2C与x轴的交点即为使PO1+B1C的值最小时的点B1，∴B 1（﹣，0），将B 1向左平移个单位长度即得点O 1，此时PO 1+B 1C=P 2C==，对应的点O 1的坐标为（﹣，0），（7分）∴四边形PO 1B 1C 周长的最小值为+3；（8分） （3）O 2M 的长度为或或2+或2．（12分）理由是：如图3，∵H 是AB 的中点，∴OH=，∵OC=，∴CH=BC=2，∴∠HCO=∠BCO=30°，∵∠ACO=60°，∴将CO 沿CH 对折后落在直线AC 上，即O2在AC 上， ∴∠B 2CA=∠CAB=30°， ∴B 2C ∥AB ， ∴B 2（﹣2，），①如图4，AN=MN ，∴∠MAN=∠AMN=30°=∠O 2B 2O 3，由旋转得：∠CB 2C 1=∠O 2B 2O 3=30°，B 2C=B 2C 1， ∴∠B 2CC 1=∠B 2C 1C=75°，过C 1作C 1E ⊥B 2C 于E ， ∵B 2C=B 2C 1=2，∴=B 2O 2，B 2E=，∵∠O 2MB 2=∠B 2MO 3=75°=∠B 2CC 1， ∠B 2O 2M=∠C 1EC=90°， ∴△C 1EC ≌△B 2O 2M ， ∴O 2M=CE=B 2C ﹣B 2E=2﹣；②如图5，AM=MN ，此时M 与C 重合，O 2M=O 2C=，③如图6，AM=MN ，∵B 2C=B 2C 1=2=B 2H ，即N 和H 、C 1重合，∴∠CAO=∠AHM=∠MHO 2=30°，∴O 2M=AO 2=；④如图7，AN=MN ，过C 1作C 1E ⊥AC 于E ， ∴∠NMA=∠NAM=30°，∵∠O 3C 1B 2=30°=∠O 3MA ，∴C 1B 2∥AC ，∴∠C 1B 2O 2=∠AO 2B 2=90°， ∵∠C 1EC=90°， ∴四边形C 1EO 2B 2是矩形， ∴EO 2=C 1B 2=2，，∴EM=，∴O 2M=EO 2+EM=2+， 综上所述，O 2M 的长是或或2+或2．5. 如图，在平面直角坐标系中，点A 在抛物线y=﹣x 2+4x 上，且横坐标为1，点B 与点A 关于抛物线的对称轴对称，直线AB 与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点，点E 的坐标为（1，1）． （1）求线段AB 的长；（2）点P 为线段AB 上方抛物线上的任意一点，过点P 作AB 的垂线交AB 于点H ，点F 为y 轴上一点，当△PBE 的面积最大时，求PH+HF+FO 的最小值；（3）在（2）中，PH+HF+FO 取得最小值时，将△CFH 绕点C 顺时针旋转60°后得到△CF′H′，过点F'作CF′的垂线与直线AB 交于点Q ，点R 为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S ，使以点D ，Q ，R ，S 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S 的坐标，若不存在，请说明理由．解：（1）由题意A （1，3），B （3，3）， ∴AB=2．（2）如图1中，设P （m ，﹣m 2+4m ），作PN ∥y 轴J 交BE 于N ．∵直线BE 的解析式为y=x ， ∴N （m ，m ）， ∴S △PEB =×2×（﹣m 2+3m ）=﹣m 2+3m ， ∴当m=时，△PEB 的面积最大，此时P （，），H （，3），∴PH=﹣3=，作直线OG 交AB 于G ，使得∠COG=30°，作HK ⊥OG 于K 交OC 于F ， ∵FK=OF ，∴PH+HF+FO=PH+FH+FK=PH+HK ，此时PH+HF+OF 的值最小， ∵•HG•OC=•OG•HK，∴HK==+， ∴PH+HF+OF 的最小值为+． （3）如图2中，由题意CH=，CF=，QF=，CQ=1，∴Q （﹣1，3），D （2，4），DQ=，①当DQ 为菱形的边时，S 1（﹣1，3﹣），S 2（﹣1，3+），②当DQ 为对角线时，可得S 3（﹣1，8）， ③当DR 为对角线时，可得S 4（5，3） 综上所述，满足条件的点S 坐标为（﹣1，3﹣）或（﹣1，3+）或（﹣1，8）或（5，3）．6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为点D ，过点B 作BC 的垂线，交对称轴于点E ．（1）求证：点E 与点D 关于x 轴对称；（2）点P 为第四象限内的抛物线上的一动点，当△PAE 的面积最大时，在对称轴上找一点M ，在y 轴上找一点N ，使得OM+MN+NP 最小，求此时点M 的坐标及OM+MN+NP 的最小值；（3）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点D 在射线AD 上移动，点D 平移后的对应点为D′，点A 的对应点A′，设抛物线的对称轴与x 轴交于点F ，将△FBC 沿BC 翻折，使点F 落在点F′处，在平面内找一点G ，若以F′、G 、D′、A′为顶点的四边形为菱形，求平移的距离．（1）证明：如图1中，令y=0，得到x2﹣x﹣3=0，解得x=﹣或3，∴A（﹣，0），B（3，0），令x=0，可得y=﹣3，∴C（0，﹣3），∵y=x2﹣x﹣3=（x﹣）2﹣4，∴顶点D（，﹣4），设对称轴与x轴交于F，则BF=2，∵△EFB∽△BOC，∴=，∴=，∴EF=4，∴E（，4），∴E、D关于x轴对称．（2）过点P作PQ∥y轴，交直线AE于点Q．∵yAE=x+2，∴设P（a，a2﹣a﹣3），Q（a，a+2），（0＜a＜3），7．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线2y x x=-与x轴交于A、B两点(点A在点B 的左侧)，与y轴交于点C．(1)求直线AC的解析式；(2)如图2，点E(a，b)是对称轴右侧抛物线上一点，过点E垂直于y轴的直线与AC交于点D(m，n)．点P是x轴上的一点，点Q是该抛物线对称轴上的一点，当a m+最大时，求点E的坐标，并直接写出23EQ PQ PB++的最小值；(3)如图3，在(2)的条件下，连结OD，将△AOD沿x轴翻折得到△AOM，再将△AOM沿射线CB 的方向以每秒3个单位的速度沿平移，记平移后的△AOM为△A O M'''，同时抛物线以每秒1个单位的速度沿x 轴正方向平移，点B 的对应点为B '．△A B M '''能否为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点M '的坐标；若不能，请说明理由．8．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线423412++-=x x y 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B左侧），与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的对称轴及△ABC 的周长；（2）点D 是线段AC 的中点，过点D 作BC 的平行线，分别与x 轴、抛物线交于点E 、F ，点P 为直线BC 上方抛物线上的一动点，连接PD 交线段BC 于点G ，当四边形PGEF 面积最大时，点Q 从点P 出发沿适当的路径运动到x 轴上的点M 处，再沿射线DF 方向运动5个单位到点N 处，最后回到直线BC 上的点H 处停止，当点Q 的运动路径最短时，求点Q 的最短运动路径长及点H 的坐标；（3）如图2，将△AOC 绕点O 顺时针旋转至△A 1OC 1的位置，点A 、C 的对应点分别为点A 1、C 1，且点A 1落在线段AC 上，再将△A 1OC 1沿y 轴平移得△A 2O 1C 2，其中直线O 1C 2与x 轴交于点K ，点T 是抛物线对称轴上的动点，连接KT 、O 1T ，△O 1KT 能否成为以O 1K 为直角边的等腰直角三角形?若能，请直接写出所有符合条件的点T 的坐标；若不能，请说明理由．9.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x 2-3x+4交x 轴于A 、D 两点(点A 在点B 的左例), 交y 轴于点C,顶点为点D,连接BC,作直线AC.(1)求点D 的坐标和直线BC 的解析式；(2)若点P 为BC 上方抛物线上的一个动点,连接PC 、PB,过P 作PE ⊥y 轴于点E,当△PBC 面积最大时,将△PEC 绕平面内一点逆时针方向旋转90°后得到△111C E P .点P 、E 、C 的对应点分别是点1P 、1E 、1C ,当点C 1C 落在线段AC 上时,连接PP 1,求A C C P PP 111122++的最小值，并求出此时点1C 的坐标；(3)在(2)的条件下,将△111C E P 沿射线AC 以每秒2个单位长度的速度平移,记平移后的△111C E P 为△222C E P 点1P 、1E 、1C 的对应点分别是点2P 、2E ,C 2,设平移时间为秒,当△CD P2为等腰三角形时,求t 的值.10.如图，在平面直角坐标系中，抛物线)0≠(++=2a c bx ax y 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，AO=CO=4，BO=6，点D 是第四象限抛物线上一点，且点F 的纵坐标为-4.(1)求抛物线的解析式和直线CF 的解析式； (2)如图1，点P 是直线CF 上方抛物线上一点，点E 在直线CF 上，点E 的横坐标为3，当△PCF 的面积最大时,在y 轴有一动点M ，在x 轴有一动点N ，当PM+MN+NE 的值最小时，求出PM+MN+NE 的最小值.(3)如图2，点D 为线段BO 的中点，连接CD ，将C D O∆绕着点D 顺时针旋转α度得到对应''C DO ∆()0180α︒<<︒.设直线'C D 和直线''C O 分别与直线BC 交于H 、G 两点,当三角形C ′HG 是等腰三角形11.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线c bx x y ++-=2的图像与x 轴交于点A 和点B （5,0），与y 轴交于点C ，点D （1,8）是抛物线上一点.（1）求抛物线和直线AD 的解析式；（2）点Q 是抛物线一象限内一动点，过点Q 作QN ∥AD 交BC 于N ，QG ⊥AB 交BC 与点M ，交AB 于点G （如图1），当QNM ∆的周长最大时，求QNM ∆周长的最大值；此时，在直线BC 上有两动点P 、H ，且PH=22（P 在H 的右边），K （2,0），当HK PQ -最大时求点P 的坐标（3）直线AD 与y 轴交于点F ，点E 是点C 关于对称轴的对称点，点P 是线段AE 上的一动点，将AFP ∆沿着FP 所在的直线翻折得到FP A '∆（点A 的对应点为点A '）（如图2），当FP A '∆与AED ∆重叠部分为直角三角形时，求AP 的长.(第26题1) (第26题2) (第26题备用图)13．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2﹣x﹣2与x轴交于A，B两点（点A 在点B的左侧），交y轴于点C．（1）求直线AC的解析式；（2）点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥AC，垂足为D，当线段PD的长度最大时，点Q从点P出发，先以每秒1个单位的速度沿适当的路径运动到y轴上的点M处，再沿MC以每秒3个单位的速度运动到点C停止，当点Q在整个运动中所用时间t最少时，求点M的坐标；（3）如图2，将△BOC沿直线BC平移，平移后B，O，C三点的对应点分别是B′，O′，C′，点S是坐标平面内一点，若以A，C，O′，S为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的点S的坐标．解：（1）当y=0时，﹣x 2﹣x ﹣2=0，解这个方程，得：x 1=﹣6，x 2=﹣1， ∴点A （﹣6，0），B （﹣1，0）， 当x=0时，y=﹣2，∴C （0，﹣2），设直线AC 的解析式为：y=ax+b （a ≠0）， 将点A （﹣6，0），C （0，﹣2）代入得：， ∴，∴直线AC 的解析式为：y=﹣x ﹣2；（3分）（2）如图1，过点P 作PE ∥y 轴交直线AC 于点E ， 设P （a ，﹣），则点E （a ，﹣﹣2）， ∴PE=（﹣）﹣（﹣﹣2）=﹣﹣2a ，∵AO=6，OC=2， ∴AC===2，∵∠PDE=∠AOC=90°，∠PED=∠ACO ， ∴△PDE ∽△AOC ，∴=， ∴PD=PE==﹣﹣，对称轴是：a=﹣3， ∵﹣，∴当a=﹣3时，PD 的长度最大，此时点P 的坐标为（﹣3，2），如图1所示，在x 轴上取点F （1，0），连接CF 并延长， ∴CF===3，∴sin ∠OCF==，点M 是y 轴上一点，过点M 作MH ⊥CF 于点H ， 由△CHM ∽△COF ，可知：=，∵t==PM+MH，如图2，当P、M、H在同一直线上时，t的值最小，此时，过P作PK⊥y轴于K，由△PKM∽△COF，可知：=2，∴KM=，∴M（0，），（7分）（3）如图3，当四边形ACSO'是菱形时，过S作SG⊥y轴于G，延长O'C'交x轴于H，∵四边形ACSO'是菱形，∴AO'=AC=SC，AO'∥SC，∴∠AMC=∠BCS，∴∠AO'H+∠MC'O'=∠BCO+∠OCS，∵∠MC'O'=∠BCO，∴∠AO'H=∠OCS，∵∠AHO'=∠CGS，∴△O'AH≌△CSG，∴AH=SG，O'H=CG，Rt△OCB中，sin∠OCB==，∴sin∠BC'H==，设BH=x，则BC'=3x，∴C'H=2x，∴AH=SG=5﹣x，∵O'C'=OC=2，∴C'H=OG=2x，由勾股定理得：AC2=O'A2，∴AO2+OC2=O'H2+AH2，∴=（5﹣x）2+（2+2x）2，解得：x=，当x=时，SG=5﹣x=，OG=2x=，当x=＜0时，不符合题意，舍去，SG=5﹣x=，OG=2x=，此时S的坐标为：或；②如图4，过S作SH⊥AO于H，延长O'B'到y轴交于G，∵SE∥CF，EC∥SF，∴四边形SECF是平行四边形，∴∠ESF=∠ECF，∵四边形ASO'C是菱形，∴∠ASO'=∠ACO'，∴∠ASH=∠O'CG，同理得：△ASH≌△O'CG，∴AH=O'G，SH=CG，sin∠GCB'==，设GB'=x，则CB'=3x，CG=2x，∴O'G=1+x，由勾股定理得：AC2=O'C2，∴62+（2）2=（2x）2+（x+1）2解得：x=，当x=时，SH=CG=2x=，OH=6﹣AH=6﹣O'G=5﹣x=，当x=＜0时，不符合题意，舍去，此时，点S的坐标为：（，）；③如图5，AC为对角线时，同理可得S（，）④如图6，过S作SE⊥x轴于E，延长B'O'交y轴于H，延长O'C'交x轴于G，设GB'=x，则CB'=3x，CG=2x，∴O'G=O'H=1+x，∵∠HO'D=∠O'DA=∠EAS，易得△SEA≌△CHO'，同理可得S（，）；⑤如图7，过S作SH⊥x轴于H，过O'作O'E⊥SH于E，延长C'O'交x轴于G，设OG=x，则BG=1+x，∵O'B'∥BG，∴， ∴，∴C'G=2（1+x ），∴O'G=C'G ﹣C'O'=2x ， ∴AG=1+x ，同理得：62+（2）2=（1+x ）2+（2x ）2， 解得：x 1=，x 2=（舍）， 可得S ；综上所述，S 的坐标为：或或（，）或（，）或（，）．（12分）。
2021年重庆市中考二轮复习数学第26题几何证明专练专题(四)
重庆市中考二轮复习数学第26题几何证明专练专题（四）1.如图(甲),在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.(1)求证:CE=CF;(2)在如图(甲)中,若G在AD上,且∠GCE=45°,则GE=BE+GD成立吗?证明你的结论.(3)运用(1)(2)解答中积累的经验和知识,完成下题:如图(乙)四边形ABCD中,AD∥BC(BC＞AD),∠B=90°,AB=BC=6,点E是AB上一点,且∠DCE=45°,BE=2,求DE的长.2.如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,DE∥AC,CE∥BD,连接OE.(1)求证:OE=CD;(2)探究:当∠ABC等于多少度时,四边形OCED是正方形?并证明你的结论.3.已知,在平行四边形ABCD中,AC=AD,AE⊥CD于点E,BF⊥AC分别交AC、AE于点G、点F,连接GE,若BF=BC.(1)若BE=12,求平行四边形ABCD的面积.(2)求证:GE=2AG.4,如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,E是对角线AC上任意一点,F是线段BC延长线上一点,且CF=AE,连接BE、EF.(1)如图1,当E是线段AC的中点,且AB=2时,求△ABC的面积;(2)如图2,当点E不是线段AC的中点时,求证:BE=EF;(3)如图3,当点E是线段AC延长线上的任意一点时,(2)中的结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.5.已知,在平行四边形ABCD中,E为AD上一点,且AB=AE,连接BE交AC于点H,过点A作AF⊥BC于F,交BE于点G.(1)若∠D=50°,求∠EBC的度数.(2)若AC⊥CD,过点G作GM∥BC交AC于点M,求证:AH=MC.6.正方形ABCD中,E是BC上一点,F是CD延长线上一点,BE=DF,连接AE,AF,EF,G为EF中点,连接AG,DG.(1)如图1:若AB=3,BE=1,求DG;(2)如图2:延长GD至M,使GM=GA,过M作MN∥FD交AF的延长线于N,连接NG,若∠BAE=30°,求证:NM+NA=3NG.7.如图,在平行四边形ABCD 中,AC=BC,E 是AB 中点,G 在AD 延长线上,连接CE 、BG 相交于点F.(1)若BC=6,∠ABC=75°,求平行四边形ABCD 的面积;(2)若∠GBC=∠ECB,求证:GF=BF+2EF.8.在菱形ABCD 中,∠B=60°,E 是边CD 上一点,以CE 为边作等边△CEF .(1)如图1,当CE⊥AD,CF=32时,求菱形ABCD 的面积;(2)如图2,过点E 作∠CEF 的平分线交CF 于H,连接DH,并延长DH 与AC 的延长交于点P,若∠ECD=15°,求证:CF=26CP9.如图,平行四边形ABCD中,CG⊥AB于点G,∠ABF=45°,F在CD上,BF交CD于点E,连接AE,AE⊥AD.(1)若BG=1,BC=1O,求EF的长度;(2)求证:CE+2BE=AB.10.如图,在矩形ABCD中,点E为AD上一点,连接BE、CE∠ABE=45°.(1)如图1,若BE=32,BC=4,求DE.(2)如图2,点P是EC的中点,连接BP并延长交CD于点F,H为AD上一点,连接HF,且∠DHF=∠CBF,求证:BP=PF+FH.11.在平行四边形ABCD中,AE⊥BC于点E,F为AB边上一点,连接CF,交AE于点G,CF=CB=AE.(1)若AB=22,BC=7,求CE的长.(2)求证:BE=CG-AG.12.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=120°,E为AB边上一点,过E作EG⊥BC于点G,交对角线BD于点F.(1)如图(1),若∠ACE=15°,BC=6,求EF的长.(2)如图(2),H为CE的中点,连接AF,求证:AF=2FH.13.已知平行四边形ABCD ，过点A 作BC 的垂线，垂足为点E ，且满足AE ＝EC ，过点C 作AB 的垂线，垂足为点F ，交AE 于点G ，连接BG ．（1）如图1，若AC ＝，CD ＝4，求BC 的长度；（2）如图2取AC 上一点Q ，连接EQ ，在△QEC 内取一点，连接QH ，EH ，过点H 作AC 的垂线，垂足为点P ，若QH ＝EH ，∠QEH ＝45°．求证：AQ ＝2HP ．14.如图，在平行四边形 ABCD 中， A C 为对角线，过点 D 作 DE ⊥ DC 交直线 AB 于点 E ，过点 E 作 EH ⊥ AD 于点 H ，过点 B 作 BF ⊥ AD 于点 F ．（1）如图 1，若∠BAD = 60︒ ， AF = 3 ， AH = 2 ，求 AC 的长；（ 2 ）如图 2 ，若 BF = DH ，在 AC 上取一点 G ， 连接 DG 、 GE ，若 ∠DGE = 75︒ ，∠CDG = 45︒ - ∠CAB ，求证： DG =26CG15.如图,正方形ABCD中,E为AB边上一点,过点D作DF⊥DE,与BC延长线交于点F,连接EF,与CD边交于点G,与对角线BD交于点H.(1)若BF=BD=2,求BE的长:(2)若∠ADE=2∠BFE,求证:FH=HE+HD。
重庆中考数学25题二次函数专项训练：平行四边形的存在性
第二讲 平行四边形的存在性例1、（2022•重庆A ）如图，在平面直角坐标系中，抛物线c bx x y ++=221与直线AB 交于点A （0，4-），B （4，0）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点，过点P 作x 轴的平行线交AB 于点C ，过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点D ，求PC+PD 的最大值及此时点P 的坐标；（3）在（2）中PC+PD 取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点E 为点P 的对应点，平移后的抛物线与y 轴交于点F ，M 为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N ，使得以点E ，F ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程．练习1、（2022•重庆B ）如图，在平面直角坐标系中，抛物线c bx x y ++-=243与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点B （0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P 为直线AB 上方抛物线上一动点，过点P 作PQ⊥x 轴于点Q ，交AB 于点M ，求PM+56AM 的最大值及此时点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，点P′与点P 关于抛物线c bx x y ++-=243的对称轴对称．将抛物线c bx x y ++-=243向右平移，使新抛物线的对称轴l 经过点A ．点C 在新抛物线上，点D 在l 上，直接写出所有使得以点A 、P′、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形的点D 的坐标，并把求其中一个点D 的坐标的过程写出来．练习2、如图1，抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴交于A （4-，0），B （1，0）两点，交y 轴于点C （0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P 为直线AC 上方且抛物线对称轴左侧的抛物线上一点，过点P 作x 轴的平行线交抛物线于点D ，过点P 作y 轴的平行线交AC 于点H ，求PD+PH 的最大值及此时点P 的坐标；（3）把抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 向右平移23个单位，再向上平移165个单位得新抛物线，在新抛物线对称轴上找一点M ，在新抛物线上找一点N ，直接写出所有使得以点A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形的点M 的坐标，并把求其中一个点M 的坐标的过程写出来．练习3、（选讲）在平面直角坐标系中，抛物线)0(32≠++=a bx ax y 与x 轴的交点为A(1-，0)，B(3，0)，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的函数解析式；（2）如图1，连接AC ，BC ，P 是第一象限内抛物线上一动点，过点P 作PT ⊥x 轴交BC 于点T ，过点P 作PR//AC 与BC 交于点R ．求△PRT 的周长的最大值以及此时点P 的坐标；（3）如图2，将抛物线沿CA 方向平移，使得新抛物线'y 刚好经过点A ，设M 为新抛物线上一点，N 为原抛物线对称轴上一点，当点B ，C ，M ，N 组成的四边形为平行四边形时，直接写出点N 的纵坐标．自我巩固1、（2021•重庆B ）如图，在平面直角坐标系中，抛物线)0(42≠-+=a bx ax y 与x 轴交于点A （1-，0），B （4，0），与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）直线l 为该抛物线的对称轴，点D 与点C 关于直线l 对称，点P 为直线AD 下方抛物线上一动点，连接PA ，PD ，求⊥PAD 面积的最大值．（3）在（2）的条件下，将抛物线)0(42≠-+=a bx ax y 沿射线AD 平移24个单位，得到新的抛物线1y ，点E 为点P 的对应点，点F 为1y 的对称轴上任意一点，在1y 上确定一点G ，使得以点D ，E ，F ，G 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G 的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．。
最新重庆中考数学第26题专题训练
N MPCBA 1.如图，抛物线y=﹣x 2﹣2x+3 的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点．（1）求A 、B 、C 的坐标；（2）点M 为线段AB 上一点（点M 不与点A 、B 重合），过点M 作x 轴的垂线，与直线AC 交于点E ，与抛物线交于点P ，过点P 作PQ ∥AB 交抛物线于点Q ，过点Q 作QN ⊥x 轴于点N ．若点P 在点Q 左边，当矩形PQMN 的周长最大时，求△AEM 的面积；（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ 的周长最大时，连接DQ ．过抛物线上一点F 作y轴的平行线，与直线AC 交于点G （点G 在点F 的上方）．若FG=2DQ ，求点F 的坐标．2.如图，已知抛物线223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，连接BC 。
（1）求A 、B 、C 三点的坐标；（2）若点P 为线段BC 上的一点（不与B 、C 重合），PM ∥y 轴，且PM 交抛物线于点M ，交x 轴于点N ，当△BCM 的面积最大时，求△BPN 的周长；（3）在（2）的条件下，当BCM 的面积最大时，在抛物线的对称轴上存在点Q ，使得△CNQ 为直角三角形，求点Q 的坐标。
3．如图，对称轴为直线x 1=-的抛物线()2y ax bx c a 0=++≠与x 轴相交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为（－3，0）。
（1）求点B 的坐标；（2）已知a 1=，C 为抛物线与y 轴的交点。
①若点P 在抛物线上，且POC BOC S 4S ∆∆=，求点P 的坐标；②设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值。
4.如图，已知抛物线y=x 2+bx+c 的图象与x 轴的一个交点为B （5，0），另一个交点为A ，且与y 轴交于点C （0，5）．（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．5.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线233334y x x=-++交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点W，顶点为C，抛物线的对称轴与x轴的交点为D。
重庆中考26题专题训练
1. 已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3．过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G．如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为65，那么EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2. 已知：如图，抛物线)0(22≠+-=a c ax ax y 与y 轴交于点C （0，4），与x 轴交于点A 、B ，点A 的坐标为（4，0）。
（1）求该抛物线的解析式；（2）点Q 是线段AB 上的动点，过点Q 作QE ∥AC ，交BC 于点E ，连接CQ 。
当△CQE 的面积最大时，求点Q 的坐标；（3）若平行于x 轴的动直线l 与该抛物线交于点P ，与直线AC 交于点F ，点D 的坐标为（2，0）。
问：是否存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
Y XE C A D Q B O 28题图3.如图28-1所示，一张三角形纸片ABC ，∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边AB 的中线CD 把这张纸片剪成11AC D ∆和22BC D ∆两个三角形（如图28-2所示）.将纸片11AC D ∆沿直线2D B （AB ）方向平移（点12,,,A D D B 始终在同一直线上），当点1D 于点B 重合时，停止平移.在平移过程中，11C D 与2BC 交于点E,1AC 与222C D BC 、分别交于点F 、P.(1) 当11AC D ∆平移到如图28-3所示的位置时，猜想图中的1D E 与2D F 的数量关系，并证明你的猜想； (2) 设平移距离21D D 为x ，11AC D ∆与22BC D ∆重叠部分面积为y ，请写出y 与x 的函数关系式，以及自变量的取值范围；(3) 对于（2）中的结论是否存在这样的x 的值；若不存在，请说明理由.CB D A 28-1图P E F A D 1B C 1D 2C 228-3图 C 2D 2C 1B D 1A 28-2图4.如图1，在平面直角坐标系中有一个Rt △OAC ，点A （6，8），点C （6，0），将其沿直线AC 翻折，翻折后图形为△BAC ．动点P 从点O 出发，沿折线O →A →B 的方向以每秒2个单位的速度向B 运动，同时动点Q 从点B 出发，在线段BO 上以每秒1个单位的速度向点O 运动，当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动的时间为t （秒）．（1）设△OPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；（2）如图2，固定△OAC ，将△ACB 绕点C 逆时针旋转，旋转后得到的三角形为△''CB A ，设''B A 与AC 交于点D ，当∠'BCB =∠CAB 时，求线段CD 的长；（3）如图3，在△ACB 绕点C 逆时针旋转的过程中，若设C A '所在直线与OA 所在直线的交点为E ，是否存在点E 使△ACE 为等腰三角形，若存在，求出点E 的坐标，若不存在，请说明理由.图1 图2 图3备用图42251015BEB'A'OCAxyx642251015DB'A'OCBAyxy42251015OCBAx422451015Q POCBAy5.如图1，抛物线24y x x c =-+交x 轴于点A 和(1,0),B -交y 轴于点C ，且抛物线的对称轴交x 轴于点D ． (1)求这个抛物线的解析式；(2)若点E 在抛物线上，且位于第四象限，当四边形ADCE 面积最大时，求点E 的坐标；(3)如图2，在抛物线上是否存在这样的点P ，使PAB ∆中的内角．．中有一边与x 轴所夹锐角．．的正切值为12？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由.6. 如图1，矩形OABC 的顶点O 为原点，点E 在AB 上，把CBE ∆沿CE 折叠，使点B 落在OA 边上的点D 处，点A D 、坐标分别为(10,0)和(6,0)，抛物线215y x bx c =++过点C B 、. (1)求C B 、两点的坐标及该抛物线的解析式；(2)如图2，长、宽一定的矩形PQRS 的宽1PQ =，点P 沿(1)中的抛物线滑动，在滑动过程中x PQ //轴，且RS 在PQ 的下方，当P 点横坐标为-1时，点S 距离x 轴511个单位，当矩形PQRS 在滑动过程中被x 轴分成上下．．两部分的面积比为2:3时，求点P 的坐标；(3)如图3，动点M N 、同时从点O 出发，点M 以每秒3个单位长度的速度沿折线ODC 按C D O →→的路线运动，点N 以每秒8个单位长度的速度沿折线OCD 按D C O →→的路线运动，当M N 、两点相遇时，它们都停止运动．设M N 、同时从点O 出发t 秒时，OMN ∆的面积为S ．①求出S 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围：②设0S 是①中函数S 的最大值，那么0S = .。
重庆中考数学第26题专题专训(学生版)
重庆中考数学第26题专题专训1．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2﹣x﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C．（1）求直线AC的解析式；（2）点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥AC，垂足为D，当线段PD的长度最大时，点Q从点P出发，先以每秒1个单位的速度沿适当的路径运动到y轴上的点M处，再沿MC以每秒3个单位的速度运动到点C停止，当点Q在整个运动中所用时间t最少时，求点M的坐标；（3）如图2，将△BOC沿直线BC平移，平移后B，O，C三点的对应点分别是B′，O′，C′，点S是坐标平面内一点，若以A，C，O′，S为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的点S的坐标．2．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=﹣x2﹣2x+3的图象交x轴于A，B 两点（点A在点B左侧），交y轴于点C．（1）求直线AC的解析式；（2）抛物线的对称轴交直线AC于点E，直线AC上方的抛物线上有一动点P，当△PEC面积最大时，线段CE在直线AC上平移，记线段CE平移后为C′E′，求△PC′E′的周长最小值；（3）抛物线的顶点为D，连接AD，将线段AD沿直线AC平移，记线段AD 平移后为A′D′，过点D′作x轴的垂线交x轴于点G，当△A′D′G为等腰三角形时，求AA′的长度．3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC，过点A作AD∥BC交y轴于点D．（1）求平行线AD、BC之间的距离；（2）如图1，点P为线段BC上方抛物线上的一动点，当△PCB的面积最大时，Q 从点P出发，先沿适当的路径运动到直线BC上点M处，再沿垂直于直线BC的方向运动到直线AD上的点N处，最后沿适当的路径运动到点B处停止．当点Q的运动路径最短时，求点M的坐标及点Q经过的最短路径的长；（3）如图2，将抛物线以每秒个单位长度的速度沿射线AD方向平移，抛物线上的点A、C平移后的对应点分别记作A′、C′，当△A′C′B是以C′B为底边的等腰三角形时，将等腰△A′C′B绕点D逆时针旋转一周，记旋转中的△A′C′B为△A″C″B′，若直线A″C″与y轴交于点K，直线A″C″与直线AD 交于点I，当△DKI是以KI为底边的等腰三角形时，求出DK2的值．4. 抛物线y=﹣x2﹣x+与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y 轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）如图1，连接CD，求线段CD的长；（2）如图2，点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC交于点E；将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当PE+EC的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标；（3）如图3，点H是线段AB的中点，连接CH，将△OBC沿直线CH翻折至△O2B 2 C的位置，再将△O2B2C绕点B2旋转一周，在旋转过程中，点O2，C的对应点分别是点O3，C1，直线O3C1分别与直线AC，x轴交于点M，N．那么，在△O2B2C的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使△AMN是以MN为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的线段O2M的长；若不存在，请说明理由．5. 如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=﹣x2+4x上，且横坐标为1，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为（1，1）．（1）求线段AB的长；（2）点P为线段AB上方抛物线上的任意一点，过点P作AB的垂线交AB于点H，点F为y轴上一点，当△PBE的面积最大时，求PH+HF+FO的最小值；（3）在（2）中，PH+HF+FO取得最小值时，将△CFH绕点C顺时针旋转60°后得到△CF′H′，过点F'作CF′的垂线与直线AB交于点Q，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使以点D，Q，R，S为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由．6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D，过点B作BC的垂线，交对称轴于点E．（1）求证：点E与点D关于x轴对称；（2）点P为第四象限内的抛物线上的一动点，当△PAE的面积最大时，在对称轴上找一点M，在y轴上找一点N，使得OM+MN+NP最小，求此时点M的坐标及OM+MN+NP的最小值；（3）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点D在射线AD上移动，点D平移后的对应点为D′，点A的对应点A′，设抛物线的对称轴与x轴交于点F，将△FBC沿BC翻折，使点F落在点F′处，在平面内找一点G，若以F′、G、D′、A′为顶点的四边形为菱形，求平移的距离．7．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线2y x x =-与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ．(1)求直线AC 的解析式；(2)如图2，点E(a ，b )是对称轴右侧抛物线上一点，过点E 垂直于y 轴的直线与AC 交于点D(m ，n )．点P 是x 轴上的一点，点Q 是该抛物线对称轴上的一点，当a m +最大时，求点E 的坐标，并直接写出23EQ PQ PB ++的最小值；(3)如图3，在(2)的条件下，连结OD ，将△AOD 沿x 轴翻折得到△AOM ，再将△AOM 沿射线CB 的方向以每秒3个单位的速度沿平移，记平移后的△AOM 为△A O M '''，同时抛物线以每秒1个单位的速度沿x 轴正方向平移，点B 的对应点为B '．△A B M '''能否为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点M '的坐标；若不能，请说明理由．8．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线423412++-=x x y 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的对称轴及△ABC 的周长；（2）点D 是线段AC 的中点，过点D 作BC 的平行线，分别与x 轴、抛物线交于点E 、F ，点P 为直线BC 上方抛物线上的一动点，连接PD 交线段BC 于点G ，当四边形PGEF 面积最大时，点Q 从点P 出发沿适当的路径运动到x 轴上的点M处，再沿射线DF 方向运动5个单位到点N 处，最后回到直线BC 上的点H 处停止，当点Q 的运动路径最短时，求点Q 的最短运动路径长及点H 的坐标；（3）如图2，将△AOC 绕点O 顺时针旋转至△A 1OC 1的位置，点A 、C 的对应点分别为点A 1、C 1，且点A 1落在线段AC 上，再将△A 1OC 1沿y 轴平移得△A 2O 1C 2，其中直线O 1C 2与x 轴交于点K ，点T 是抛物线对称轴上的动点，连接KT 、O 1T ，△O 1KT 能否成为以O 1K 为直角边的等腰直角三角形?若能，请直接写出所有符合条件的点T 的坐标；若不能，请说明理由．9.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x 2-3x+4交x 轴于A 、D 两点(点A 在点B 的左例),交y 轴于点C,顶点为点D,连接BC,作直线AC.(1)求点D 的坐标和直线BC 的解析式；(2)若点P 为BC 上方抛物线上的一个动点,连接PC 、PB,过P 作PE ⊥y 轴于点E,当△PBC 面积最大时,将△PEC 绕平面内一点逆时针方向旋转90°后得到△111C E P .点P 、E 、C 的对应点分别是点1P 、1E 、1C ,当点C 1C 落在线段AC 上时,连接PP 1,求A C C P PP 111122++的最小值，并求出此时点1C 的坐标； (3)在(2)的条件下,将△111C E P 沿射线AC 以每秒2个单位长度的速度平移,记平移后的△111C E P 为△222C E P 点1P 、1E 、1C 的对应点分别是点2P 、2E ,C 2,设平移时间为秒,当△CD P 2为等腰三角形时,求t 的值.10.如图，在平面直角坐标系中，抛物线)0≠(++=2a c bx ax y 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，AO=CO=4，BO=6，点D 是第四象限抛物线上一点，且点F 的纵坐标为-4.(1)求抛物线的解析式和直线CF 的解析式；(2)如图1，点P 是直线CF 上方抛物线上一点，点E 在直线CF 上，点E 的横坐标为3，当△PCF 的面积最大时,在y 轴有一动点M ，在x 轴有一动点N ，当PM+MN+NE 的值最小时，求出PM+MN+NE 的最小值.(3)如图2，点D 为线段BO 的中点，连接CD ，将C D O ∆绕着点D 顺时针旋转α度得到对应''C DO ∆ ()0180α︒<<︒.设直线'C D 和直线''C O 分别与直线BC 交于H 、G 两点,当三角形C ′HG 是等腰三角形11.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线c bx x y ++-=2的图像与x 轴交于点A 和点B （5,0），与y 轴交于点C ，点D （1,8）是抛物线上一点.（1）求抛物线和直线AD 的解析式；（2）点Q 是抛物线一象限内一动点，过点Q 作QN ∥AD 交BC 于N ，QG ⊥AB 交BC 与点M ，交AB于点G （如图1），当QNM ∆的周长最大时，求QNM ∆周长的最大值；此时，在直线BC 上有两动点P 、H ，且PH=22（P 在H 的右边），K （2,0），当HK PQ -最大时求点P 的坐标（3）直线AD 与y 轴交于点F ，点E 是点C 关于对称轴的对称点，点P 是线段AE 上的一动点，将AFP ∆沿着FP 所在的直线翻折得到FP A '∆（点A 的对应点为点A '）（如图2），当FP A '∆与AED ∆重叠部分为直角三角形时，求AP 的长.13．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2﹣x﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C．（1）求直线AC的解析式；（2）点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥AC，垂足为D，当线段PD的长度最大时，点Q从点P出发，先以每秒1个单位的速度沿适当的路径运动到y轴上的点M处，再沿MC以每秒3个单位的速度运动到点C停止，当点Q在整个运动中所用时间t最少时，求点M的坐标；（3）如图2，将△BOC沿直线BC平移，平移后B，O，C三点的对应点分别是B′，O′，C′，点S是坐标平面内一点，若以A，C，O′，S为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的点S的坐标．。
2023重庆中考数学b卷压轴题26题
2023重庆中考数学b卷压轴题26题题目：已知二次函数y=x²-2x-3一、对题目进行分析，这道题主要考察二次函数的性质和图像，需要理解二次函数的表达式，掌握其对称轴和开口方向等信息。
二、解题步骤：1. 根据二次函数表达式，我们可以得到对称轴为直线x=1，开口向上。
2. 在B卷压轴题中，通常需要考生进行一些复杂的计算和推理。
首先，我们需要找到函数图像与x轴的交点，这可以通过令y=0来求解。
解方程x²-2x-3=0，得到x₁=3，x₂=-1。
也就是说，函数图像与x轴有两个交点(-1,0)和(3,0)。
3. 将已知的两个交点坐标代入图像中，可以得到图像大致呈抛物线形状，开口向上，与x轴有两个交点(-1,0)和(3,0)。
对称轴为直线x=1。
4. 接下来，我们需要根据题目要求，求出函数图像与直线y=4的交点坐标。
将直线y=4代入二次函数表达式中，得到一元二次方程x²-2x-7=0。
解得，该方程的两个解分别为x₃=5和x₄=-2。
也就是说，图像与直线y=4有两个交点(5,4)和(-2,4)。
5. 最后，根据题目要求，求出图像与直线y=-2的交点与对称轴的间距。
由于题目中未给出具体的坐标值，因此需要进行一些简单的代数计算。
综上，通过以上步骤的推理和计算，我们可以得出以下结论：当x=1时，y=2当x=-2时，y=-5当x=5时，y=4因此，函数图像与直线y=-2的交点坐标为(5,4)，该点与对称轴的距离为4。
三、总结：这道题考察了二次函数的性质和图像，需要考生具备一定的数学基础和推理能力。
解题的关键在于理解二次函数的表达式，掌握其对称轴和开口方向等信息，并能够进行一些复杂的计算和推理。
同时，考生还需要注意题目中的细节和要求，确保解题的准确性和完整性。
23年重庆中考数学a卷26题解析
23年重庆中考数学a卷26题解析【提纲】1.题目概述2018年重庆中考数学A卷第26题是一道几何题，主要考察了学生的三角形全等判定和几何计算能力。
题目如下：已知三角形ABC和DEF分别为等边三角形，边长为2，点G为△ABC的重心，点H为△DEF的重心，现将△ABC和△DEF拼接在一起，组成一个八边形AGBHCDEF。
请问：八边形AGBHCDEF的面积是多少？2.解题思路首先，我们需要明确题目所给出的信息，包括两个等边三角形ABC和DEF 的边长为2，以及点G和点H分别是两个三角形的重心。
接下来，我们需要找到八边形AGBHCDEF的面积与三角形ABC和DEF的面积之间的关系。
3.解题步骤（1）根据重心的性质，可以得到GH // BC，且GH = 2/3 * BC = 2/3 * 2 = 4/3。
（2）由于△GHF ∽ △ABC，可以得到比例关系：GH / AB = FH / BC = 1 / 2。
进而求得FH = BC / 2 = 1。
（3）同理，由于△EHG ∽ △ABC，可以得到EG / AB = GH / BC = 1 / 2。
求得EG = AB / 2 = 1。
（4）计算八边形AGBHCDEF的面积。
八边形可以分割成四个小三角形，分别为△AGB、△ACH、△BHC和△DEF。
每个小三角形的面积可以通过海伦公式计算，然后将四个小三角形的面积相加即可得到八边形的面积。
4.解题要点（1）掌握三角形重心的性质，如重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍。
（2）熟练运用相似三角形的判定和性质，如相似三角形的边长比例相等，对应角度相等。
（3）熟悉海伦公式，用于计算三角形的面积。
5.类似题型练习建议针对这类题目，建议同学们多加练习，熟练掌握三角形全等判定、相似三角形判定和几何计算方法。
在解题过程中，注意观察图形的特征，善于发现规律，灵活运用所学知识。
重庆中考26题专题训练
1、已知：在梯形ABCD中，CD∥AB，AD=DC=BC=2，AB=4．点M从A开始，以每秒1个单位的速度向点B运动；点N从点C出发，沿C→D→A方向，以每秒1个单位的速度向点A运动，若M、N同时出发，其中一点到达终点时，另一个点也停止运动．运动时间为t秒，过点N作NQ⊥CD交AC于点Q．（1）设△AMQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．（2）在梯形ABCD的对称轴上是否存在点P，使△PAD为直角三角形？若存在，求点P到AB的距离；若不存在，说明理由．（3）在点M、N运动过程中，是否存在t值，使△AMQ为等腰三角形？若存在，求出t值；若不存在，说明理由．2、如图，四边形OABC为正方形，点A在x轴上，点C在y轴上，点B（8，8），点P在边OC上，点M在边AB上．把四边形OAMP沿PM对折，PM为折痕，使点O落在BC边上的点Q处．动点E从点O出发，沿OA边以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，运动时间为t，同时动点F从点O出发，沿OC边以相同的速度向终点C运动，当点E到达点A时，E、F同时停止运动．（1）若点Q为线段BC边中点，直接写出点P、点M的坐标；（2）在（1）的条件下，设△OEF与四边形OAMP重叠面积为S，求S与t的函数关系式；（3）在（1）的条件下，在正方形OABC边上，是否存在点H，使△PMH为等腰三角形，若存在，求出点H的坐标，若不存在，请说明理由；（4）若点Q为线段BC上任一点（不与点B、C重合），△BNQ的周长是否发生变化，若不发生变化，求出其值，若发生变化，请说明理由．3、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，DC=5，AB=，∠B=45°，动点M从点B出发，沿线段BC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发，沿C→D→A，以同样速度向终点A运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t秒．（1）求线段BC的长度；（2）求在运动过程中形成的△MCN的面积S与运动的时间t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；并求出当t为何值时，△MCN的面积S最大，并求出最大面积；（3）试探索：当M，N在运动过程中，△MCN是否可能为等腰三角形？若可能，则求出相应的t值；若不可能，说明理由．4、如图1，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO=，∠ABO=30°．动点P在线段AB上从点A向终点B以每秒个单位的速度运动，设运动时间为t秒．在直线OB 上取两点M、N作等边△PMN．（1）求当等边△PMN的顶点M运动到与点O重合时t的值．（2）求等边△PMN的边长（用t的代数式表示）；（3）如果取OB的中点D，以OD为边在Rt△AOB 内部作如图2所示的矩形ODCE，点C在线段AB上．设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S，请求出当0≤t≤2秒时S与t的函数关系式，并求出S的最大值．（4）在（3）中，设PN与EC的交点为R，是否存在点R，使△ODR是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．5、如图（1），将Rt△AOB放置在平面直角坐标系xOy中，∠A=90°，∠AOB=60°，∠A=90°，∠AOB=60°，，斜边OB在x轴的正半轴上，点A在第一象限，∠AOB的平分线OC交AB于C．动点P从点B出发沿折线BC﹣CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO﹣Oy以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动．（1）OC、BC的长；（2）设△CPQ的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）当P在OC上、Q在y轴上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．6、如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=2，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP=3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO 返回；另一动点F从P点发发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD 在射线PA的同侧．设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；（2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．7、已知：如图（1），在平面直角坐标xOy中，边长为2的等边△OAB的顶点B在第一象限，顶点A 在x轴的正半轴上．另一等腰△OCA的顶点C在第四象限，OC=AC，∠C=120°．现有两动点P、Q分别从A、O两点同时出发，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿A→O→B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止．（1）求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并写出自变量t的取值范围；（2）在等边△OAB的边上（点A除外）存在点D，使得△OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；（3）如图（2），现有∠MCN=60°，其两边分别与OB、AB交于点M、N，连接MN．将∠MCN绕着C点旋转（0°＜旋转角＜60°），使得M、N始终在边OB和边AB上．试判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．8、已知：RT△ABC与RT△DEF中，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，EF=8cm，AC=16cm，BC=12cm．现将RT△ABC和RT△DEF按图1的方式摆放，使点C与点E重合，点B、C（E）、F在同一条直线上，并按如下方式运动．运动一：如图2，△ABC从图1的位置出发，以1cm/s的速度沿EF方向向右匀速运动，DE与AC相交于点Q，当点Q与点D重合时暂停运动；运动二：在运动一的基础上，如图3，RT△ABC绕着点C顺时针旋转，CA与DF交于点Q，CB与DE 交于点P，此时点Q在DF上匀速运动，速度为，当QC⊥DF时暂停旋转；运动三：在运动二的基础上，如图4，RT△ABC以1cm/s的速度沿EF向终点F匀速运动，直到点C 与点F重合时为止．设运动时间为t（s），中间的暂停不计时，解答下列问题（1）在RT△ABC从运动一到最后运动三结束时，整个过程共耗时_________ s；（2）在整个运动过程中，设RT△ABC与RT△DEF的重叠部分的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；（3）在整个运动过程中，是否存在某一时刻，点Q正好在线段AB的中垂线上，若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．9、将一张矩形纸片沿对角线剪开（如图1），得到两张三角形纸片△ABC、△DEF（如图2），量得他们的斜边长为6cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，且点A、C、E、F 在同一条直线上，点C与点E重合．△ABC保持不动，OB为△ABC的中线．现对△DEF纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决．（1）将图3中的△DEF沿CA向右平移，直到两个三角形完全重合为止．设平移距离CE为x（即CE 的长），求平移过程中，△DEF与△BOC重叠部分的面积S与x的函数关系式，以及自变量的取值范围；（2）△DEF平移到E与O重合时（如图4），将△DEF绕点O顺时针旋转，旋转过程中△DEF的斜边EF交△ABC的BC边于G，求点C、O、G构成等腰三角形时，△OCG的面积；（3）在（2）的旋转过程中，△DEF的边EF、DE分别交线段BC于点G、H（不与端点重合）．求旋转角∠COG为多少度时，线段BH、GH、CG之间满足GH2+BH2=CG2，请说明理由．10、如图，以Rt△ABO的直角顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA=4，OB=3，一动点P从O出发沿OA方向，以每秒1个单位长度的速度向A点匀速运动，到达A点后立即以原速沿AO返回；点Q从A点出发沿AB以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动．当Q到达B时，P、Q两点同时停止运动，设P、Q运动的时间为t秒（t＞0）．（1）试求出△APQ的面积S与运动时间t之间的函数关系式；（2）在某一时刻将△APQ沿着PQ翻折，使得点A恰好落在AB边的点D处，如图①．求出此时△APQ 的面积．（3）在点P从O向A运动的过程中，在y轴上是否存在着点E使得四边形PQBE为等腰梯形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．（4）伴随着P、Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线DF交PQ于点D，交折线QB﹣BO﹣OP于点F．当DF经过原点O时，请直接写出t的值．备用图'B'O B .C'AAB'C图3'B.GFEHIOBC'C'AABP 图2 'B 'O B.C'A AB'C11、如图1，△ABC 和△A ’B ’C ’是两个全等的等腰直角三角形，且'CC ∠=∠=90°，AC BC ==，其中D 、E 分别为△ABC 中AC ，BC 的中点，现将两三角形如图所示放置，A 点与'B 重合，且'',,,A A B B 在同一条直线上，现将△A ’B ’C ’沿射线AB 方向向右匀速运动，速度为1/cm s ，直到E 点落在''B C 上停止运动．⑴试写出在运动过程中△A ’B ’C ’与四边形DABE 重叠部分的面积S 与时间t 的函数关系式； ⑵ 如图2， 若O 为△ABC 内角平分线的交点，在⑴的运动中当△A ’B ’C ’平移到'C 与C 重合时，让△ABC 保持不动将△A ’B ’C ’绕点O 顺时针方向旋转，在旋转过程中，直线''A B 与直线AC 相交于点K ,则是否存在这样的点K 使得△ABK 为等腰三角形，若存在，试求出△ABK 的面积，若不存在，请说明理由；⑶ 如图3，在⑵的前提下，当将△A ’B ’C ’绕点O 顺时针方向旋转45°时，如图，试求出△ABC 和△A ’B ’C ’重叠部分的面积是多少？备用图('B )'CCBEDA'A('B )CBEDA'A 'C图1。
23年重庆中考数学a卷26题解析
题目：23年重庆中考数学a卷26题解析在本篇文章中，我将针对23年重庆中考数学a卷26题展开详细的解析，并从浅入深地深入探讨这一题目。
通过本文的阅读，读者将能够更加全面、深刻地理解这道数学题目的解题思路和方法。
【题目简介】题目26的内容是：已知函数f(x) = x^2 - 4x + a，对于任意的实数x，恒有f(x) ≥ -2，则a的取值范围是？【解题思路】我们需要对给出的函数进行分析。
根据题目所给的条件，即f(x) ≥ -2，我们可以列出不等式x^2 - 4x + a ≥ -2。
接下来，我们需要通过一系列的数学推导和分析来确定a的取值范围。
【数学推导】1. 我们将x^2 - 4x + a ≥ -2转化为标准的一元二次不等式形式，即x^2 - 4x + a + 2 ≥ 0。
2. 我们可以利用一元二次不等式的判别式来确定a的取值范围。
判别式的公式为△ = b^2 - 4ac，其中a=1，b=-4，c=a+2。
3. 根据不等式△ ≥ 0，我们可以得出关于a的一元二次不等式，即(-4)^2 - 4*1*(a+2) ≥ 0。
4. 对式子进行化简得到16 - 4a - 8 ≥ 0，进一步化简可得-4a + 8 ≥ -16，即-4a ≥ -24。
5. 最终得到a ≤ 6。
【解题结论】综合以上的数学推导和分析，我们可以得出结论：当a的取值范围为a ≤ 6时，对于任意的实数x，函数f(x) = x^2 - 4x + a恒有f(x) ≥ -2。
a的取值范围为a ≤ 6。
【个人观点】对于这道题目的解析，我认为最关键的是要将给出的不等式转化为标准形式，并利用一元二次不等式的判别式来进行分析。
需要注意对不等式进行化简和推导，以得出最终的结论。
这道题目考查了对一元二次不等式的理解和运用，是一道具有一定难度的数学题目。
总结：通过本文的解析，我们对23年重庆中考数学a卷26题有了更深入的理解。
从转化不等式到求解不等式，我们逐步推导出了a的取值范围，并且对一元二次不等式的应用有了更加清晰的认识。
2018年重庆中考数学第26题专题训练
（2）点P为直线x=1右方抛物线上的 一点（点P不与点B重合），记A、B、C、P四点所构成的四边形面积为 ，若 ，求点P的坐标；
（3）点Q是线段BD上的动点，将△DEQ沿边EQ翻折得到△ ，是否存在点Q使得△ 与△BEQ的重叠部分图形为直角三角形，若存在，请求出BQ的长，若不存在，请说明理由．
8.如图1，已知抛物线 与 轴交于 两点（点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，点 是点 关于抛物线对称轴的对称点，连接 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 交 的延长线于点 .
（1）求线段 的长度；
（2）如图2，试在线段 上找一点 ，在线段 上找一点P，且点 为直线 上方抛物线上的一点，求当 的周长最小时， 面积的最大值是多少；
设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值。
4.如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．
（1）求直线BC与抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；
1.如图，抛物线y=﹣x2﹣2x+3 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
（1）求Aபைடு நூலகம்B、C的坐标；
（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形PQMN的周长最大时，求△AEM的面积；
（3）如图2，以AC为对角线作正方形AMCN，将正方形AMCN在平面内平移得正方形A′M′C′N′．当正方形A′M′C′N′有顶点在△ABC的边AC上（不含端点）时，正方形A′M′C′N′与△ABC重叠部分得到的多边形能否为轴对称图形，如果能，求出此时重叠部分面积S的值，或重叠部分面积S的取值范围；如果不能，请说明理由．
最新[精华]重庆中考数学试题第26题具体解答优秀名师资料
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[精华]2011重庆中考数学试题第26题具体解答2011重庆中考数学试题第26题详细解答(2011•重庆)如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=2，点O是AB的中点，点P在AB 的延长线上，且BP=3(一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回;另一动点F从P点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边?EFG，使?EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧(设运动的时间为t秒(t?0)((1)当等边?EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值; (2)在整个运动过程中，设等边?EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围;(3)设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使?AOH是等腰三角形,若存在，求出对应的t的值;若不存在，请说明理由(考点: 相似三角形的判定与性质;根据实际问题列二次函数关系式;等腰三角形的性质;等边三角形的性质;矩形的性质;解直角三角形(专题: 代数几何综合题;动点型;分类讨论(分析: (1)当边FG恰好经过点C时，?CFB=60?，BF=3,t，在Rt?CBF中，解直角三角形可求t的值;(2)按照等边?EFG和矩形ABCD重叠部分的图形特点，分为0?t,1，1?t,3，3?t,4，4?t,6四种情况，分别写出函数关系式;(3)存在(当?AOH是等腰三角形时，分为AH=AO=3，HA=HO，OH=OA三种情况，分别画出图形，根据特殊三角形的性质，列方程求t的值(解答: 解:(1)当边FG恰好经过点C时，?CFB=60?，BF=3,t，在Rt?CBF中，BC=2，tan?CFB=，即tan60?=，即=，解得t=1，?当边FG恰好经过点C时，t=1;(2)如图1，过点M作MN?AB于点N，当0?t,1时，?tan60?===，?EN=2，EB=3+t，NB=3+t,2=1+t，?MC=1+t，S=(MC+EB)×BC=2t+4;如图2，当1?t,3时，?MN=2，EF=OP=6，?GH=6×=3，?=，?MK=2，?EB=3+t，BF=3,t，BQ=BF=(3,t)，CQ=2,BQ=t,，2?S=S,S=,t+3t+; 梯形MKPE?QBP如图3，当3?t,4时，?MN=2，EF=6,2(t,3)=12,2t，?GH=6×=3，?，?MK=4,t，S=,4t+20;如图4，当4?t,6时，2?EF=12,2t，高为:EF•sin60?=EF，S=t,12t+36;综上所述，S=;(3)存在(理由如下:在Rt?ABC中，tan?CAB==，??CAB=30?，又??HEO=60?， ??HAE=?AHE=30?，?AE=HE=3,t或t,3，1)当AH=AO=3时，(如图5)，过点E作EM?AH于M，则AM=AH=，在Rt?AME中，cos?MAE=，即cos30?=，?AE=，即3,t=或t,3=， ?t=3,或t=3+，2)当HA=HO时，(如图6)则?HOA=?HAO=30?，又??HEO=60?，??EHO=90?，EO=2HE=2AE，又?AE+EO=3，?AE+2AE=3，AE=1，即3,t=1或t,3=1，?t=2或t=4;3)当OH=OA时，(如图7)，则?OHA=?OAH=30?，??HOB=60?=?HEB，?点E和点O重合， ?AE=AO=3，当E刚开始运动时3,t=3，当点E返回O时是:t,3=3，即3,t=3或t,3=3，t=6(舍去)或t=0;综上所述，存在5个这样的t值，使?AOH是等腰三角形，即t=3,或t=3+或t=2或t=4或t=0(点评: 本题考查了特殊三角形、矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的有关知识(关键是根据特殊三角形的性质，分类讨论(。
2021重庆中考26题专题复习及答案1
重庆中考数学第26题专题1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．证明：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°，∵CG平分∠ACB，∴∠ACG＝∠BCG＝45°，∴∠A＝∠BCG，在△BCG和△CAF中，∵，∴△BCG≌△CAF（ASA），∴CF＝BG；（2）如图2，∵PC∥AG，∴∠PCA＝∠CAG，∵AC＝BC，∠ACG＝∠BCG，CG＝CG，∴△ACG≌△BCG，∴∠CAG＝∠CBE，∵∠PCG＝∠PCA+∠ACG＝∠CAG+45°＝∠CBE+45°，∠PGC＝∠GCB+∠CBE＝∠CBE+45°，∴∠PCG＝∠PGC，∴PC＝PG，∵PB＝BG+PG，BG＝CF，∴PB＝CF+CP；（3）解法一：如图3，过E作EM⊥AG，交AG于M，∵S△AEG＝AG•EM＝3，由（2）得：△ACG≌△BCG，∴BG＝AG＝6，∴×6×EM＝3，EM＝，设∠FCH＝x°，则∠GAC＝2x°，∴∠ACF＝∠EBC＝∠GAC＝2x°，∵∠ACH＝45°，∴2x+x＝45，x＝15，∴∠ACF＝∠GAC＝30°，在Rt△AEM中，AE＝2EM＝2，AM＝＝3，∴M是AG的中点，∴AE＝EG＝2，∴BE＝BG+EG＝6+2，在Rt△ECB中，∠EBC＝30°，∴CE＝BE＝3+，∴AC＝AE+EC＝2+3+＝3+3．解法二：同理得：∠CAG＝30°，AG＝BG＝6，如图4，过G作GM⊥AC于M，在Rt△AGM中，GM＝3，AM＝＝＝3，∵∠ACG＝45°，∠MGC＝90°，∴GM＝CM＝3，∴AC＝AM+CM＝3+3．2、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△ADB，可推证△CEF 是等腰直角三角形，从而求得∠DCE＝135°．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．解：[问题初探]如图2，过点E作EF⊥BC交直线BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝135°，故答案为：ADB，等腰直角，135；[继续探究]如图3，过点E作EF⊥BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝45°；[拓展延伸]如图4，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，∴∠ACB＝45°当点D在射线BC上时，由[问题初探]知，∠BCM＝135°，∴∠ACM＝∠BCM﹣∠ACB＝90°，当点D在线段CB的延长线上时，由[继续探究]知，∠BCE＝45°，∴∠ACN＝∠ACB+∠BCM＝90°，∴点E是过点C垂直于AC的直线上的点，∴当BE⊥MN时，BE最小，∵∠BCE＝45°，∴∠CBE＝45°＝∠BCE，∴BE＝CE，∴BE最小＝BC＝，即：BE的最小值为．3、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．（1）如图1，求证：AD＝2DC．（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．证明：（1）如图1，过点D作DE⊥AB，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠ACB＝90°，∴DC＝DE，∵∠A＝30°，DE⊥AB，∴AD＝2DE，∴AD＝2DC；（2）如图2，过点M作ME∥BD，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝30°，∵BM平分∠CBD，∴∠CBM＝15°＝∠DBM，∵ME∥BD，∴∠MEC＝∠CBD＝30°，∠EMB＝∠DBM＝∠MBE，∴ME＝BE，∵∠MEC＝30°，∠C＝90°∴CE＝MC＝，ME＝2MC＝2＝BE，∴BC＝+2，∵∠CBD＝30°，∠C＝90°，∴BC＝CD，∴CD＝1+，∴DM＝，∴△DBM的面积＝××（+2）＝1+；（3）若点N在CD上时，AD＝DG+DN，理由如下：如图3所示：延长ED使得DW＝DN，连接NW，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，∴∠ADE＝∠BDE＝60°，AD＝BD，∵DN＝DW，且∠WDN＝60°∴△WDN是等边三角形，∴NW＝DN，∠W＝∠WND＝∠BNG＝∠BDN＝60°，在△WGN和△DBN中，∴△WGN≌△DBN（SAS），∴BD＝WG＝DG+DN，∴AD＝DG+DN．（3）若点N在AD上时，AD＝DG﹣DN，理由如下：如图4，延长BD至H，使得DH＝DN，连接HN，由（1）得DA＝DB，∠A＝30°．∵DE⊥AB于点E．∴∠2＝∠3＝60°．∴∠4＝∠5＝60°．∴△NDH是等边三角形．∴NH＝ND，∠H＝∠6＝60°．∴∠H＝∠2．∵∠BNG＝60°，∴∠BNG+∠7＝∠6+∠7．即∠DNG＝∠HNB．在△DNG和△HNB中，∴△DNG≌△HNB（ASA）．∴DG＝HB．∵HB＝HD+DB＝ND+AD，∴DG＝ND+AD．∴AD＝DG﹣ND．。
2023年重庆中考第26题压轴题专题：几何变换综合题
2023年重庆中考第26题压轴题专题：几何变换综合题1．（2023•重庆）如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一动点（不与A，D重合），连接BE，CE，将CE绕点C顺时针旋转60°得到线段CF，连接AF．（1）如图1，求证：∠CBE＝∠CAF；（2）如图2，连接BF交AC于点G，连接DG，EF，EF与DG所在直线交于点H，求证：EH＝FH；（3）如图3，连接BF交AC于点G，连接DG，EG，将△AEG沿AG所在直线翻折至△ABC所在平面内，得到△APG，将△DEG沿DG所在直线翻折至△ABC所在平面内，得到△DQG，连接PQ，QF．若AB＝4，直接写出PQ+QF的最小值．2．（2023•渝中区校级二模）如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为AB边上一点，连接CD，AE ⊥CD于E点．（1）如图1，过B作BF⊥AB交AE的延长线于点F．若BD＝1，BF＝2，求AE的长度；（2）如图2，将AE绕A点逆时针旋转90°到AF，连接BF交AE于点H，猜想AH和CE之间存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，在第（2）问的条件下，将△ABH沿着AB翻折得到△ABP，连接PC，当线段PC取得最大值，请直接写出的值．3．（2023•渝中区校级一模）如图，△ABC是等边三角形，D为AB上一点，连接CD，将CD绕点C顺时针旋转120°至CE，连接BE，分别交AC、CD于点F、G．（1）若AD＝3，BD＝1，求△BCE的面积；（2）请猜想线段AF，BD，CF之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）当△BCE周长最小时，请直接写出的值．4．（2023•沙坪坝区校级一模）在等腰三角形ABC中，AB＝AC．点E为AC上一点，连接BE．（1）如图1，若∠BAC＝90°，过点C作CD⊥BE交BE延长线于点D，连接AD，过点A作AF⊥AD交BD于点F，连接CF，求证：FC2＝FB2+2FA2；（2）如图2，过A作AD∥BC交BE延长线于点D，将AD绕着点A逆时针旋转至AN，连接DN，使得DN⊥AC于点G，AN与BD交于点M，若点M为BD的中点，且∠DAM＝∠DMA，猜想线段AM与DE之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，若∠BAC＝60°，，将AC沿着AP翻折得到AC′（∠CAC′＜120°），点C′落在BE延长线上，BC′交AP于点P，点Q、R分别是射线AC、AB上的点，连接CP、PQ、QR，满足，当BP取得最大值时，直接写出的最小值的平方．。
二次函数与线段有关的问题27题专题训练)24年中考数学二轮复习满分冲刺题型突破(全国通用)(解析版)
类型二二次函数与线段有关的问题（专题训练）(1)求该抛物线的表达式；(2)点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PD点P的坐标；(3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点y Q设211,344P t t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，则∴231344PQ t t ⎛=--- ⎝∵AQE PQD ∠=∠，∠【点睛】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，待定系数法求解析式，二次函数的平移，线段周长问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．2．（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，已知抛物线与与y 轴交于点C ．直线33y x =-+过抛物线的顶点(1)求抛物线的函数解析式；(2)若直线(5x m m =-<①当EF 取得最大值时，求②当EFC 是等腰三角形时，求点【答案】(1)24y x x =--或()25622--，2②设直线x m =与x 轴交于∴5BH m =+，HF m =∴BH HF =，∴BHF 是等腰直角三角形，∴45EFC BFH =∠=∠如图3-2所示，当EF EC =∴90FEF =︒∠，即CE ⊥如图3-3所示，当EF CF =同理可证CFG △是等腰直角三角形，∴FG CG m ==-，∴22CF CG m ==-，∴252m m m --=-，∴()2520m m +-=，【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判断，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．3.小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体ACB 是抛物线的一部分，抛物线的顶点C 在y 轴上，杯口直径4AB =，且点A，B 关于y 轴对称，杯脚高4CO =，杯高8DO =，杯底MN 在x 轴上．（1）求杯体ACB 所在抛物线的函数表达式（不必写出x 的取值范围）．（2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯体A CB ''所在抛物线形状不变，杯口直径//A B AB ''，杯脚高CO 不变，杯深CD '与杯高OD '之比为0.6，求A B ''的长．【答案】（1）24y x =+；（2）【分析】（1）确定B 点坐标后，设出抛物线解析式，利用待定系数法求解即可；（2）利用杯深CD′与杯高OD′之比为0.6，求出OD′，接着利用抛物线解析式求出B'或A'横坐标即可完成求解．【详解】解：（1）设24y ax =+，∵杯口直径AB=4，杯高DO=8，∴()2,8B 将2x =，8y =代入，得1a =，24y x ∴=+．（2）0.6CD OD ''= ，0.64CD CD '∴=+'，6CD ∴'=，10OD '=，当10y =时，2104x =+，1x =或2x =A B ∴''=，即杯口直径A B ''的长为．【点睛】本题考查了抛物线的应用，涉及到待定系数法求抛物线解析式、求抛物线上的点的坐标等内容，解决本题的关键是读懂题意，找出相等关系列出等式等．(1)如图2，若抛物线经过原点O ．①求该抛物线的函数表达式；②求BE EC的值．(2)连接,PC CPE ∠与BAO ∠能否相等？若能，求符合条件的点P 的横坐标；若不能，试说明理由．【答案】(1)①235352y x x =-+；②13；(2)能，6或23或67-或143-．【分析】（1）①先求顶点的坐标，然后待定系数法求解析式即可求解；设直线BC 为5y kx =+，把()2,0C 代入，得解得52k =-，∴直线BC 为552y x =-+．同理，直线OP 为352y x =．由55,2y x ⎧=-+⎪⎪⎨②如图2-2，当02t <≤时，存在CPE ∠=记,CPE BAD APD αβ∠=∠=∠=．∵PDC ∠为PAD 的外角，∴PDC αβ∠=+．∴PCD PDC αβ∠=∠=+∴APC ACP ∠=∠．∴4AP AC ==．过点P 作PF x ⊥轴于点F ，则2AF t =+在Rt APF 中，2cos 3AF BAO AP ∠==，∴2243t +=，解得23t =．③如图2-3，当20t -<≤时，存在CPE ∠=∠∵PC PD =，∴1122PDC PCD CPE α∠=∠=∠=．∴1122APD BAO PDC αα∠=∠-∠=-=．∴APD PDA ∠=∠．∴2AD AP t ==-．过点P 作PF x ⊥轴于点F ，则2AF t =+．∴1122APC BAO PCD ααα∠=∠-∠=-=．∴4PA CA ==．过点P 作PF x ⊥轴于点F ，则2AF t =--．在Rt APF 中，2cos 3AF PAF AP =∠=，∴2243t --=，解得143t =-．∴点P 的横坐标为143-．26145.如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED 和矩形ABCD 构成，矩形的一边BC 为12米，另一边AB 为2米．以BC 所在的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．(1)求此抛物线对应的函数表达式；(2)在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点1P ，4P 在x 轴上，MN 与矩形1234P P P P 的一边平行且相等．栅栏总长l 为图中粗线段12PP ，23P P ，34P P ，MN 长度之和．请解决以下问题：（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点2P ，3P 在抛物线AED 上．设点1P的横坐标为()06m m <≤，求栅栏总长l 与m 之间的函数表达式和l 的最大值；（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“”型或“”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形1234PP P P 面积的最大值，及取最大值时点1P 的横坐标的取值范围（1P 在4P 右侧）．【答案】(1)y＝16-x 2＋8(2)（ⅰ）l＝12-m 2＋2m＋24，l 的最大值为26；（ⅱ）方案一：1；方案二：92≤P 1【分析】（1）通过分析A 点坐标，利用待定系数法求函数解析式；（2）（ⅰ）结合矩形性质分析得出P 2的坐标为（m，－16m 2＋8），然后列出函数关系式，利用二次函数的性质分析最值；（ⅱ）设P 2P 1＝n，分别表示出方案一和方案二的矩形面积，利用二次函数的性质分析最值，从而利用数形结合思想确定取值范围．(1)由题意可得：A（－6，2），D（6，2），又∵E（0，8）是抛物线的顶点，设抛物线对应的函数表达式为y＝ax 2＋8，将A（－6，2）代入，（－6）2a＋8＝2，解得：a＝16-，∴抛物线对应的函数表达式为y＝16-x 2＋8；(2)（ⅰ）∵点P 1的横坐标为m （0＜m≤6），且四边形P 1P 2P 3P 4为矩形，点P 2，P 3在抛物线AED 上，∴P 2的坐标为（m，16-m 2＋8），∴P 1P 2＝P 3P 4＝MN＝16-m 2＋8，P 2P 3＝2m，∴l＝3（16-m 2＋8）＋2m＝12-m 2＋2m＋24＝12-（m－2）2＋26，∵12-＜0，∴当m＝2时，l 有最大值为26，即栅栏总长l 与m 之间的函数表达式为l＝12-m 2＋2m＋24，l 的最大值为26；（ⅱ）方案一：设P 2P 1＝n，则P 2P 3＝18－3n，∴矩形P 1P 2P 3P 4面积为（18－3n）n＝－3n 2＋18n＝－3（n－3）2＋27，∵－3＜0，∴当n＝3时，矩形面积有最大值为27，此时P 2P 1＝3，P 2P 3＝9，令16-x 2＋8＝3，解得：x＝，∴此时P1的横坐标的取值范围为1，方案二：设P 2P 1＝n，则P 2P 3＝9－n，∴矩形P 1P 2P 3P 4面积为（9－n）n＝－n 2＋9n＝－（n－92）2＋814，∵－1＜0，∴当n＝92时，矩形面积有最大值为814，此时P 2P 1＝92，P 2P 3＝92，令16-x 2＋8＝92，解得：x＝∴此时P1的横坐标的取值范围为92≤P 1【点睛】本题考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式，准确识图，确定关键点的坐标，利用数形结合思想解题是关键．(1)初步感知：如图1，当点P 由点C 运动到点①当1t =时，S =_______．②S 关于t 的函数解析式为_______．(2)当点P 由点B 运动到点A 时，经探究发现的图象请根据图象信息，求S 关于t 的函数解析式及线段(3)延伸探究：若存在3个时刻123,,t t t （1t t <①12t t +=_______；【点睛】本题主要考查了二次函数与图形运动问题，等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键．7.在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A（－1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．(1)求抛物线的解析式；(2)求点P 的坐标；(3)将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P 落在点E 的位置，在y 轴上是否存在点M，使得MP＋ME 的值最小，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)2y x 2x 3=-++(2)(2,3)P (3)存在，1(0,3M 【分析】（1）根据点,A B 的坐标，利用待定系数法即可得；（2）先求出抛物线的对称轴，再设点D 的坐标为(1,)(4)D a a <，则4CD a =-，根据旋转的性质可得90,4CDP PD CD a ∠=︒==-，从而可得(5,)P a a -，将点P 代入抛物线的解析式求出a 的值，由此即可得；（3）先根据点坐标的平移规律求出点(1,1)E -，作点E 关于y 轴的对称点E '，连接PE '，从而可得PE '与y 轴的交点即为所求的点M ，再利用待定系数法求出直线PE '的解析式，由此即可得出答案．(1)解：将点(1,0),(0,3)A B -代入2y x bx c =-++得：103b c c --+=⎧⎨=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩，则抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++．(2)解：抛物线2223(1)4y x x x =-++=--+的对称轴为直线1x =，其顶点C 的坐标为(1,4)C ，设点D 的坐标为(1,)(4)D a a <，则4CD a =-，由旋转的性质得：90,4CDP PD CD a ∠=︒==-，(14,)P a a ∴+-，即(5,)P a a -，将点(5,)P a a -代入2(1)4y x =--+得：2(51)4a a ---+=，解得3a =或4a =（舍去），当3a =时，5532a -=-=，所以点P 的坐标为(2,3)P ．(3)解：抛物线2y x 2x 3=-++的顶点C 的坐标为(1,4)C ，则将其先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度恰好落在原点O ，这时点P 落在点E 的位置，且(2,3)P ，(21,34)E ∴--，即(1,1)E -，恰好在对称轴直线1x =上，如图，作点E 关于y 轴的对称点E '，连接PE '，则MP ME MP ME '+=+，由两点之间线段最短可知，PE '与y 轴的交点即为所求的点M ，此时MP ME '+的值最小，即MP ME +的值最小，由轴对称的性质得：(1,1)E '--，设直线PE '的解析式为y kx m =+，将点(2,3)1,(,1)E P '--代入得：231k m k m +=⎧⎨-+=-⎩，解得4313k m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则直线PE '的解析式为4133y x =+，当0x =时，13y =，故在y 轴上存在点M ，使得MP ME +的值最小，此时点M 的坐标为1(0,)3M ．【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、旋转的性质、点坐标的平移规律等知识点，熟练掌握待定系数法和二次函数的图象与性质是解题关键．=-上，∵点P在y x在OA 上方作OMQ ，使得∵4OC BC ==，BC ⊥9.如图，在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--与x 轴相交于点A、B（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C，连接,AC BC ．(1)求线段AC 的长；(2)若点Р为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA PC =时，求点P 的坐标；(3)若点M 为该抛物线上的一个动点，当BCM 为直角三角形时，求点M 的坐标．(2)()11，-(3)()14-，或()25-，或1522⎛+ ⎪ ⎪⎝⎭或1522⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据解析式求出A，B，C 的坐标，然后用勾股定理求得AC 的长；（2）求出对称轴为x=1，设P（1，t），用t 表示出PA 2和PC 2的长度，列出等式求解即可；（3）设点M （m,m 2-2m-3），分情况讨论，当222CM BC BM +=，222BM BC CM +=，222BM CM BC +=分别列出等式求解即可．(1)223y x x =--与x 轴交点：令y=0，解得121,3x x =-=，即A（-1，0），B（3，0），223y x x =--与y 轴交点：令x=0，解得y=-3，即C（0，-3），∴AO=1,CO=3,∴AC ==(2)抛物线223y x x =--的对称轴为：x=1，设P（1，t），∴()()22221104PA t t =++-=+，()()()222210313PC t t =-++=++，∴24t +()213t =++∴t=-1，∴P（1，-1）；(3)设点M（m,m 2-2m-3），()()()()22222223230323BM m m m m m m =-+---=-+--，()()()222222202332CM m m m m m m =-+--+=+-，()()222300318BC =-++=,①当222CM BC BM +=时，()()()222222218323m m m m m m +-+=-+--，解得，10m =（舍），21m =，∴M（1，-4）；②当222BM BC CM +=时，()()()222222323182m m m m m m -+--+=+-，解得，12m =-，23m =（舍），∴M（-2，5）；③当222BM CM BC +=时，()()()222222323218m m m m m m -+--++-=，解得，152m ±=，∴M 1522⎛++ ⎪ ⎪⎝⎭或1522⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；综上所述：满足条件的M 为()14-，或()25-，或1522⎛+ ⎝⎭或1522⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了与坐标轴交点、线段求值、存在直角三角形等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想，属于中考压轴题．此时，210,104x y m ==-+=，解得2m =或2-（舍）．（ii ）当抛物线2C 过点(2,1)-时，如图所示，此时，212,(2)114x y m ==--+=-，解得222m =+或222-（舍），综上，2222m ≤≤+，②同①考虑满足题意的两种临界情形：（i ）当抛物线2C 过点(0,1)-时，如图所示，此时，210,114x y m ==-+=-，解得22m =或22-（舍）（ii ）当抛物线2C 过点(2,0)时，如图所示，此时，212,(2)104x y m ==--+=，解得4m =或0（舍）综上224m ≤≤，如图，由圆的性质可知，点E 、F 在线段AB 的垂直平分线上．11.如图，已知抛物线2:L y x bx c =++经过点(0,5),(5,0)A B -．（1）求,b c 的值；（2）连结AB ，交抛物线L 的对称轴于点M．①求点M 的坐标；②将抛物线L 向左平移(0)m m >个单位得到抛物线1L ．过点M 作//MN y 轴，交抛物线1L 于点N．P 是抛物线1L 上一点，横坐标为1-，过点P 作//PE x 轴，交抛物线L 于点E，点E 在抛物线L 对称轴的右侧．若10PE MN +=，求m 的值．【答案】（1）4,5--；（2）①(2,3)-；②1或1652-+．【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可；（2）①求出直线AB 的解析式，抛物线的对称轴方程，代入求解即可；②根据抛物线的平移方式求出抛物线1L 的表达式，再分三种情况进行求解即可．【详解】解：（1）把点(0,5),(5,0)A B -的坐标分别代入2y x bx c =++，得5,2550.c b c =-⎧⎨++=⎩．解得4,5.b c =-⎧⎨=-⎩,b c ∴的值分别为4,5--．（2）①设AB 所在直线的函数表达式为()0y kx n k =+≠，把(0,5),(5,0)A B -的坐标分别代入表达式，得5,50.n k n =-⎧⎨+=⎩解得1,5.k n =⎧⎨=-⎩AB ∴所在直线的函数表达式为5y x =-．由（1）得，抛物线L 的对称轴是直线2x =，当2x =时，53y x =-=-．∴点M 的坐标是(2,3)-．②设抛物线1L 的表达式是2(2)9y x m =-+-，//MN y 轴，∴点N 的坐标是()22,9m -．∵点P 的横坐标为1,-∴点P 的坐标是()21,6m m --，设PE 交抛物线1L 于另一点Q，∵抛物线1L 的对称轴是直线2,//x m PE x =-轴，∴根据抛物线的轴对称性，点Q 的坐标是()252,6m m m --．（i）如图1，当点N 在点M 下方，即06m <≤时，52(1)62PQ m m =---=-，()22396MN m m =---=-，由平移性质得,QE m =，∴626PE m m m=-+=-10PE MN +=Q ，∴26610m m -+-=，解得12m =-（舍去），21m =．（ii）图2，当点N 在点M 上方，点Q 在点P 右侧，63m <≤时，26,6PE m MN m =-=-，10PE MN +=Q ，26610m m ∴-+-=，解得11412m +=（舍去），21412m =（舍去）．（ⅲ）如图3，当点N 在点M 上方，点Q 在点P 左侧，即3m >时，2,6PE m MN m ==-，10PE MN +=Q ，2610m m ∴+-=，解得11652m --=（舍去），21652m -+=．综上所述，m 的值是1或1652-+．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、抛物线的平移规律和一元二次方程等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质是解题的关键．(1)求该抛物线的表达式；(2)若点H 是x 轴上一动点，分别连接MH ，DH ，求MH (3)若点P 是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点四边形是平行四边形？若存在，请直接．．写出所有满足条件的点明理由．【答案】(1)223y x x =-++；(2)37；(3)存在，(1,3Q∵()0,2D '-，()1,4M ，∴()22142D M '=++=即：MH DH +的最小值为：（3）解：存在；∵(223y x x x =-++=--设(),P p t ，()1,Q n ，当以D ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形时：①DM 为对角线时：10142p t n +=+⎧⎨+=+⎩，∴06p t n =⎧⎨+=⎩，当0p =时，3t =，∴3n =，∴()1,3Q ；②当DP 为对角线时：01124p t n +=+⎧⎨+=+⎩，∴224p t n =⎧⎨+=+⎩，当2p =时，222233t =-+⨯+=，∴1n =，∴()1,1Q ；③当MP 为对角线时：10142p t n +=+⎧⎨+=+⎩，∴02p n t =⎧⎨-=⎩，当0p =时，3t =，∴3n =，∴()1,5Q ；综上：当以D ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形时，()1,3Q 或()1,1Q 或()1,5Q ．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，是中考常见的压轴题．正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．13.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 为正方形，点A ，B 在x 轴上，抛物线2y x bx c =++经过点B ，()4,5D -两点，且与直线DC 交于另一点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）F 为抛物线对称轴上一点，Q 为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形．若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）P 为y 轴上一点，过点P 作抛物线对称轴的垂线，垂足为M ，连接ME ，BP ．探究EM MP PB ++是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）223y x x =+-；（2）存在以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形，点F 的坐标为(-或(1,-或(1,5-或(1,5-；（3）EM MP PB ++1+，此时点M 的坐标为51,4⎛⎫- ⎪⎝⎭．【分析】（1）由题意易得5AD AB ==，进而可得()4,0A -，则有()10B ,，然后把点B、D 代入求解即可；（2）设点()1,F a -，当以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形时，则根据菱形的性质可分①当BF BE =时，②当EF BE =时，然后根据两点距离公式可进行分类求解即可；（3）由题意可得如图所示的图象，连接OM、DM，由题意易得DM=EM，四边形BOMP 是平行四边形，进而可得OM=BP，则有1EM MP PB DM MO ++=++，若使EM MP PB ++的值为最小，即1DM MO ++为最小，则有当点D、M、O 三点共线时，1DM MO ++的值为最小，然后问题可求解．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 为正方形，()4,5D -，∴5AD AB ==，()4,0A -，∴4AO =，∴OB=1，∴()10B ,，把点B、D 坐标代入得：164510b c b c -+=⎧⎨++=⎩，解得：23b c =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =+-；（2）由（1）可得()10B ,，抛物线解析式为223y x x =+-，则有抛物线的对称轴为直线1x =-，∵点D 与点E 关于抛物线的对称轴对称，∴()2,5E ，∴由两点距离公式可得()()222120526BE =-+-=，设点()1,F a -，当以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形时，则根据菱形的性质可分：①当BF BE =时，如图所示：∴由两点距离公式可得22BF BE =，即()()2211026a ++-=，解得：a =∴点F 的坐标为(-或(1,-；②当EF BE =时，如图所示：∴由两点距离公式可得22EF BE =，即()()2221526a ++-=，解得：517a =∴点F 的坐标为(1,517-或(1,517-+；综上所述：当以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形，点F 的坐标为(22-或(1,22--或(1,517--或(1,517-+；（3）由题意可得如图所示：连接OM、DM，由（2）可知点D 与点E 关于抛物线的对称轴对称，()10B ,，∴1OB =，DM=EM，∵过点P 作抛物线对称轴的垂线，垂足为M ，∴1,//PM OB PM OB ==，∴四边形BOMP 是平行四边形，∴OM=BP，∴1EM MP PB DM MO ++=++，若使EM MP PB ++的值为最小，即1DM MO ++为最小，∴当点D、M、O 三点共线时，1DM MO ++的值为最小，此时OD 与抛物线对称轴的交点为M，如图所示：∵()4,5D -，∴224541OD =+=∴1DM MO ++411+，即EM MP PB ++411+，设线段OD 的解析式为y kx =，代入点D 的坐标得：54k =-，∴线段OD 的解析式为54y x =-，∴51,4M ⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质，熟练掌握二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质是解题的关键．14．（2023·四川内江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于()4,0B ，()2,0C -两点．与y 轴交于点()0,2A -．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点，过点P 作x 轴的平行线交AB 于点K ，过点P作y 轴的平行线交x 轴于点D ，求与12PK PD +的最大值及此时点P 的坐标；∵抛物线211242y x x =--的对称轴为直线∴设()11,M n ，()222112AM n ∴=++245n n =++，2222420AB =+=，()222141BM n =-+21AM BM ∥ ，且经过()0,2A -，∴直线2AM 解析式为22y x =--，∴当1x =时，2124y =-⨯-=-，()21,4M ∴-；综上所述：存在，M 的坐标为()1,6或()1,4-．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数中动点最值问题，直角三角形的判定，勾股定理等，掌握解法及找出动点坐标满足的函数解析式是解题的关键．15.如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴分别相交于A、B 两点，与y 轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点(,)x y 的坐标值：x…1-0123…y …03430…（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M 的坐标；（2）PQ 是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P 在点Q 上方），求AQ QP PC ++的最小值；（3）如图2，点D 是第四象限内抛物线上一动点，过点D 作DF x ⊥轴，垂足为F，ABD △的外接圆与DF 相交于点E．试问：线段EF 的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．【答案】（1）()214y x =--+；()1,4M ；（2）1+；（3）是，1．【分析】（1）依据表格数据，设出抛物线的顶点式，利用待定系数法求解即可；（2）利用平移和找对称点的方式，将AQ QP PC ++的长转化为1PE PC ++，再利用两点之间线段最短确定PE PC +的最小值等于CE 的长，加1后即能确定1PE PC ++的最小值；（3）设出圆心和D 点的坐标，接着表示出E 点的坐标，利用圆心到B 点的距离等于圆心到D 点的距离，求出q 和e 的关系，得到E 点的纵坐标，进而确定EF 的长为定值．【详解】解：（1）由表格数据可知，顶点坐标为（1,4）设抛物线解析式为：()214y a x =-+，将点（0,3）代入解析式得：3=a+4，∴1a =-，∴抛物线解析式为：()214y x =--+，顶点坐标()1,4M ．（2）由表格可知，抛物线经过点A（-1,0），C（0,3），如图3，将A 点向上平移一个单位，得到()'1,1A -，则'//'=AA PQ AA PQ ，，∴四边形'AA PQ 是平行四边形，∴'=PA QA ，作'A 关于MQ 的对称点E，则()3,1,E ∴'=PA PE ，∴=1AQ QP PC PE PC ++++，当P、E、C 三点共线时，PE PC +最短，设直线CE 的解析式为：y mx n =+，将C、E 两点坐标代入解析式可得：331n m n =⎧⎨+=⎩，∴323n m =⎧⎪⎨=-⎪⎩，∴直线CE 的解析式为：233y x =-+，令1x =，则73y =，∴当713P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，时，P、E、C 三点共线，此时=PE PC EC +最短，∴AQ QP PC ++1．（3）是；理由：设,D p q （），因为A、B 两点关于直线x=1对称，所以圆心位于该直线上，所以可设ABD △的外接圆的圆心为()'1,O e ，作'O N DF ⊥，垂足为点N，则,N p e （），由DF x ⊥轴，∴,2E p e q -（），∵'='O D O B ，且由表格数据可知()3,0B ∴()()()()2222310=1e p q e -+--+-，化简得：()()22241e p q e +=-+-，∵点D 是第四象限内抛物线上一动点，且抛物线解析式为()214y x =--+，∴()214q p =--+，∴()214p q -=-，∴()2244e q q e +=-+-，∵0q ≠，∴21e q -=-，∴,1E p -（），∴1EF =，即EF 的长不变，为1．【点睛】本题涉及到了动点问题，综合考查了用待定系数法求抛物线解析式、点的平移、勾股定理、平行四边形的判定与性质、最短路径问题、圆的性质等内容，解决本题的关键是理解并掌握相关概念与公式，能将题干信息与图形相结合，挖掘图中隐含信息，本题有一定的计算量，对学生的综合分析与计算能力都有较高的要求，本题蕴含了数形结合的思想方法等．(1)直接写出结果；b =_____，c =_____，点A 的坐标为_____，tan ABC ∠=(2)如图1，当2PCB OCA ∠=∠时，求点P 的坐标；(3)如图2，点D 在y 轴负半轴上，OD OB =，点Q 为抛物线上一点，QBD ∠F 分别为BDQ △的边DQ DB 上的动点，QE DF =，记BE Q F +的最小值为①求m 的值；②设PCB 的面积为S ，若214S m k =-，请直接写出k 的取值范围．【答案】(1)32，2，()1,0-，12；(2)()2,3；(3)217m =，1317k ≤≤（3）解：①如图2，作DH ⊥∵90BQD BDQ ︒∠+∠=，HDF ∠∴QD HDF ∠=∠，∵QE DF =，DH BQ =，∴(SAS)BQE HDF ≌，。
2019重庆中考第26题二次函数综合问题探索举例(含解题思路提示)
P若A(m,n)，则C(-n,m)OA=OC1x 2019重庆中考26题二次函数综合问题探索举例二次函数综合问题，是重庆历届中考必考题，在解答此类问题时，除二次函数、一次函数等必备的知识外，还涉及到如下一些知识：1.两点的所有连线中，线段最短，简单说成：两点之间，线段最短 （新人教版七上基础知识）2.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短. （新人教版七下基础知识）3.两点P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2)的距离公式：P 1P 2 =212212)y y ()x x (-+- （新人教版八下拓展知识）特别：当P 1P 2∥y 轴时，P 1P 2 =12y y -. 当P 1P 2∥x 轴时，P 1P 2 =12x x -.4.两直线y=k 1x+b 1，y=k 2x+b 2平行的条件：k 1=k 2，且b 1≠b 2. （新人教版八下拓展知识）5.两直线y=k 1x+b 1，y=k 2x+b 2垂直的条件：k 1k 2=-1. （新人教版八下拓展知识）如图，直线y=k 1x ，y=k 2x 垂直的条件是：k 1k 2=-1.6.常见图形的计算、性质、判定等.答图1图1典例探索例1.（2019重庆B 卷）在平面直角坐标系中，抛物线y=32x 23x 432++-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ，对称轴与x 轴交于点Q.（1）如图1，连接AC ，BC.若点P 为直线BC 上方抛物线上一动点，过点P 作PE ∥y 轴交BC 于点E ，作PF ⊥BC 于点F ，过点B 作BG ∥AC 交y 轴于点G.点H ，K 分别在对称轴和y 轴上运动，连接PH ，HK.当△PEF 的周长最大时，求PH+HK+23KG 的最小值及点H 的坐标. （2）如图2，将抛物线沿射线AC 方向平移，当抛物线经过原点O 时停止平移，此时抛物线顶点记为D /，N 为直线DQ 上一点，连接点D /，C ，N ，△D /CN 能否构成等腰三角形？若能，直接写出满足条件的点N 的坐标；若不能，请说明理由.思路：点坐标→PH+HK+23KG 的最小值→H 的坐标. （2）由条件→新抛物线→设出N 的坐标求得D /N ，D /C ，CN →建立方程求出N 的坐标.提示：（1）易求A(-2,0)，B(4,0)，C(0,32)，D(1,439)，△PEF ∽△BOC. ∴当PE 最大时，△PEF 的周长最大.易求直线BC 的解析式为y=32x 23+- 设P(x, 32x 23x 432++-)，则E(x, 32x 23+-) ∴PE=32x 23x 432++--(32x 23+-)=x 3x 432+- ∴当x=2时，PE 有最大值. ∴P(2, 32)，此时，如图将直线OG 绕点G 逆时针旋转60 °得到直线l ，过点P 作PM ⊥l 于点M ，过点K 作KM /⊥l 于M /.则PH+HK+23KG= PH+HK+KM /≥PM ，易知∠POB=60°.POM 在一直线上.易得PM=10，H(1,3)（2）易得直线AC 的解析式为y=32x 3+，过D 作AC 的平行线，易求此直线的解析式为y=435x 3+，所以可设D /(m, 435m 3+)，平移后的抛物线y 1=435m 3)m x (432++--.将（0，0）代入解得m 1=-1（舍），m 2=5.所以D /(5,4325). 设N(1,n)，又C(0,32)，D /(5,4325). 所以NC 2=1+(n-32)2，D /C 2=22)324325(5-+=161267，D /N 2=22)n 4325()15-+-（. 分NC 2= D /C 2；D /C 2= D /N 2；NC 2= D /N 2.列出关于n 的方程求解.答案N 1(1,4139338+)，N 2(1, 4139338-)，N 3(1,41011325+)，N 4(1, 41011325-)，N 5(1,1363641). 例2.（2019重庆A 卷）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x 2-2x-3与x 轴交于点A ，B（点A 在点B 的左侧）交y 轴于点C ，点D 为抛物线的顶点，对称轴与x 轴交于点E. （1）连结BD ，点M 是线段BD 上一动点（点M 不与端点B ，D 重合），过点M 作MN ⊥BD 交抛物线于点N （点N 在对称轴的右侧），过点N 作NH ⊥x 轴，垂足为H ，交BD 于点F ，点P 是线段OC 上一动点，当MN 取得最大值时，求HF+FP+31PC 的最小值； （2）在（1）中，当MN 取得最大值，HF+FP+31PC 取得最小值时，把点P 向上平移22个单位得到点Q ，连接AQ ，把△AOQ 绕点O 顺时针旋转一定的角度α(0°<α<360°)，得到△A /OQ /，其中边A /Q /交坐标轴于点G ，在旋转过程中，是否存在一点G ，使得∠Q /=∠Q /OG ？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q /的坐标；若不存在，请说明理由.思路：（1）MN 取得最大值→FN 最大→点F 坐标及HF 的值→HF+FP+31PC 的最小值. （2）由P 的坐标→Q 点坐标→注意∠Q /=∠AQO 构成直角三角形，求出Q /的坐标.提示：（1）易得A(-1,0)，B(3,0)，C(0,-3)，D(1,-4)，E(1,0).直线BD 的解析式为y=2x-6. 易得△MNF ∽△EBD ，所以要MN 取最大值，只要FN 设N(x, x 2-2x-3)，F(x,2x-6). 则FN=-x 2+4x-3，∴当x=2时，FN 最大，此时MN 最大，F(2,-2)，HF=2. ∴当FP+31PC 最小时，HF+FP+31PC 最小. 如图，以PC 为斜边，31PC 的长为直角边，作Rt △CRP ，其中PR=31PC 因此，当点F ，P ，R 在一条 直线上时，FP+31PC 最小.此时，过F 作y 为S ，则△CPR ∽△FPS.又易得FS=2. S(0,-2) SP=22，FP=223，PC=CS-PS=222-，所以PR=31PC=622-.答案3247+（2）由（1）知SP=22，将P 向上平移22个单位得到的Q 点即为S 点，所以OQ=2. 如图，过Q /作Q /T ⊥x 轴于T.在Rt △OQ /T 中，易得∠Q /OT 的正切为一定值.结合勾股定理及方程思想求出两直角边.552)，(552,554-).例3.（2019重庆中考考试说明题型示例）在平面直角坐标系中，抛物线y=22x 23x 422-+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C.（1）如图甲所示，点D 是抛物线第二象限上一点，且满足22x x A D =-，过点D 作AC 的平行线，分别与x 轴、射线CB 交于点F 、E ，点P 为直线AC 下方抛物线上的一动点，连接PD 交线段AC 于点Q ，当四边形PQEF 面积最大时，在y 轴上找一点M ，x 轴上找一点N ，使得PM+MN-53NB 取得最小值； （2）如图乙所示，将△BOC 沿直线AC 平移得到△B /O /C /，再将△B /O /C /沿B /C /翻折得到△B /O //C /，连接C /B ，O //B ，则△C /BO //能否构成等腰三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点O //的坐标；若不能，请说明理由.思路：（1）四边形PQEF 面积最大→△PDF 的面积最大→P 点坐标→PM+MN-53NB 最小值. （2）由条件表达出C /，B ，O //的坐标→求得C /B ，O //B ，O //C /→建立方程求出O //的坐标. 提示：（1）易得A(24-,0)，B(2,0)，C(0,22-)，又点D 是抛物线第二象限上一点，且满足22x x A D =-，∴D(26-,27).易得直线AC 的解析式y=22x 21--，∴直线DF 的解析式为y=24x 21+-，易得直线CB 的解析式为y=22x 2-. ∴易得F(28,0)，E(2512,2514). ∵四边形PQEF 面积=△PDF 的面积－△DQE 的面积.而平行线得，△DQE 的面积=△DAE 的面积.而△DAE 的面积为定值，∴当△PDF 的面积最大时，四边形PQEF 面积最大. 过P 作PT ⊥x 轴，交DF 于点T ，则当PT 最大时，△PDF 的面积最大. 设P(x, 22x 23x 422-+)，则T(x, 24x 21+-).PT=24x 21+--(22x 23x 422-+)=26x 2x 422+--， ∴当x=22-时，PT 最大，此时P(22-,23-). △PDF 的面积最大，四边形PQEF 面积最大.如图，作点P 关于y 轴的对称点P /(22,23-).过点B 作直线l : y=243x 43-(针对53NB) 过P /作直线l ////PM+MN-53NB 5即为所求的最小值.易求直线l /的解析式为y=32x 34--，∴W(52,523-)，∴P /W=23.答案23.（2）易得直线AC 的解析式为y=22x 21--，直线OO /的解析式为y=x 21-，直线BB /解析式为y=22x 21+-.直线BC 的解析式为y=22x 2- . AC ⊥BC.设O /(t, t 21-)，则C /(t, 22t 21--)，B /(2t +,t 21-)， 则直线B /C /的解析式为y=22t 25x 2--， 所以O /O //与B /C /的交点坐标为(524t (+,522t 21--)，所以O //(528t +,524t 21--). ∴C /B 2=22)22t 21()2t (++-=10t 452+. O //C / 2=O /C / 2=OC 2=8. O //B 2=22)524t 21()2528t (++-+=2t 22t 452++.若C /B=O //C /.则10t 452+=8，此无解，舍去.若C /B=O //B.则10t 452+=2t 22t 452++，解得t=22.∴O //(5281,529-). 若O //B= O //C /.则2t 22t 452++=8，解得t 1=538224+-，t 2=538224--∴O //(538224+,53822+-)，O //(538224-,53822--). 答案O //(5281,529-)或O //(538224+,53822+-)或O //(538224-,53822--).图1图2答图如下 例 4.（2019重庆中考考试说明参考试卷）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=3x 332x 332--与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴与x 轴交于点D ，点E(4,n)在抛物线上.（1）点P 为直线CE 下方抛物线上的一点，连接PC ，PE.当△PCE 的面积最大时，连接CD ，CB ，点K 是线段CB 的中点，点M 是CP 上的一点，点N 是CD 上的一点，求KM+MN+NK 的最小值；（2）点G 是线段CE 的中点，将抛物线y=3x 332x 332--沿x 轴正方向平移得到新抛物线y /，y /经过点D ，y /的顶点为点F. 在新抛物线y /的对称轴上，是否存在一点Q ，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，请直接写出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由.思路：（1）△PCE 的面积最大→P 点坐标→KM+MN+NK 的最小值.（2）由条件→新抛物线→设Q 点坐标→求出FG ，GQ ，FQ →建立方程求出Q 点的坐标. 提示：（1）易得A(-1,0)，B(3,0)，C(0,3-)，D(1,0)，E(4,335).则易得直线CE 的解析式为y=3x 332-.过P 作x 轴的垂线交直线CE 于T ，则当PT 最大时，△PCE 的面积最大. 设P(x, 3x 332x 332--)， T(x, 3x 332-).PT=3x 332--(3x 332x 332--)=x 334x 332+-. ∴当x=2时，PT 最大，△PCE 的面积最大，此时P(2, 3-). 由OC=3，OB=3，易得∠OCB=60°.又易得DB=DC=2.CP ∥x 轴，K 关于CD 对称的点就是点O. 设K 关于CP 对称的点K /.连接OK /交CP 于M ，交DC 于N.则此时的M 、N 使得KM+MN+NK 最小.答案KM+MN+NK 最小值是3. （2）易得F(3,334-)，G(2,33)，设Q(3,t).则FG 2=328. GQ 2=2)33t (1-+=34t 332t 2+-. QF 2=2)334t (+=316t 338t 2++. 若GQ=FG ，则34t 332t 2+-=328，解得t=32或t=334-(此时Q 与F 重合，舍). 若GQ=QF ，则34t 332t 2+-=316t 338t 2++，解得t=532-. 若QF=FG ，则316t 338t 2++=328，解得t=321234+-或t=. 答案Q(3, 32)或(3, 532-)或(3, 321234+-)或(3, 321234--).例5.（2019重庆巴蜀三诊）如图1，抛物线x 63y 2+-=A 、B 两点（点A 在点B 的右侧），与y 轴相交于点C ，对称轴与x 轴相交于点H ，与AC 相交于点T. （1）点P 是线段AC 上方抛物线上一点，过点PQ ∥AC 交抛物线的对称轴于点Q ，当△AQH 面积最大时，点M 、N 在y 轴上（点M 在点N 的上方），MN=3，点G 在直线AC 上，求PM+NG+21GA 的最小值. （2）点E 为BC 中点，EF ⊥x 轴于F ，连接EH ，将△EFH 沿EH 翻折得△EF /H ，如图2所示，再将△EF /H 沿直线BC 平移，记平移中的△EF /H 为△E /F //H /，在平移过程中，直线E /H /与x 轴交于点R ，则是否存在这样的点R ，使得△RF /H /为等腰三角形，若存在，求出R 点坐标.思路：（1）△AQH 面积最大→△APT 面积最大→P 的坐标→PM+NG+21GA 的最小值. （2）由条件表达出F /，H /，R 的坐标→求出F /H /，F /R ，H /R →建立方程求出R 的坐标.提示：（1）由题意得B(-2,0)，A(6,0)，C(0,32)，设AC 与对称轴交于T ，连接AQ ，PT ，PA.如图.∵S △AQH =S △ATH + S △AQT 而S △ATH 为定值338. ∴△AQH 的面积最大，即△AQT 的面积最大. 又PQ ∥AC ，∴S △AQT =S △APT . 过点P 作PR ∥y 轴交AC 于R. 易求得AC 的解析式为y=32x 33+-设P(m, 32m 332m 632++-)，则R(m, 32m 33+-)S △APT =4)m 3m 63(212⨯+-⨯=m 32m 332+-.∴当m=3时面积最大，此时P(3,235). 过点G 作GE ⊥x 轴交x 轴于E ，作x 轴关于直线AC 的对称直线l ，E 的对称点为E /，将PM 沿y 轴 向下平移3个单位至P /N ，作点P /关于y 轴的对称 点P //，作P //S ⊥l 于点S.如图所示，则有PM+NG+21GA=P //N+NG+GE //≥P //S.易求P //S=4315 （2）易得△ABC ，△BOC ，△EFH 均为含30E(-1,3)，F(-1,0)，H(2,0)，F /(21,233). 易得直线BC 的解析式为y=32x 3+， 直线HH /的解析式为y=32x 3-， 直线EH 的解析式为y=332x 33+-. 将△EF /H 沿直线BC 平移，设在水平方向上记平移|t|个单位.则平移后的△E /F //H /中易得E /(t-1,3t 3+)，H /(t+2,t 3)， 易得直线E /H /的解析式为y=332t 334x 33++-. ∴R(4t+2,0). ∴(F /H /)2=22)233t 3()212t (-+-+=4t 2-6t+9.(H /R)2=22)t 30()]2t ()2t 4[(-++-+=12t 2. (F /R)2=22)2330()212t 4(-+-+=16t 2+12t+9.图1若F /H /= H /R ，4t 2-6t+9=12t 2.解得t=43或t=23-， 此时R(5,0)（此时F /、H /、R 共线，舍）或R(-4,0). 若F /H /= F /R ，4t 2-6t+9=16t 2+12t+9，解得t=0或t=23-， 此时R(2,0)（此时H /、R 重合，舍）或R(-4,0). 若H /R= F /R ，12t 2=16t 2+12t+9.解得t 1=t 2=23-，此时R(-4,0).答案R(-4,0). 例6.（2019重庆南开测试四）如图，在平面直角坐标系中，抛物线3x 49x 43y 2++-=与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ；连接BC.点P 为线段BC 上方抛物线上的一动点，连接OP 交BC 于点Q.（1）如图1，当OQ PQ值最大时，点E 为线段AB 上一点，在线段BC 上有两动点M ，N （M在N 上方），且MN=1，求PM+MN+NE-53BE 的最小值； （2）如图2，连接AC ，将△AOC 沿射线CB 方向平移，点A ，C ，O 平移后的对应点分别记作A 1，C 1，O 1，当C 1B=O 1B 时，连接A 1B ，O 1B ，将△A 1O 1B 绕点O 1沿顺时针方向旋转90°后得△A 2O 1B 1，在直线x=21上是否存在点K ，使得△A 2B 1K 为等腰三角形？若存在，直接写出点K 的坐标；若不存在，请说明理由.思路：（1）OQ PQ值最大→P 点坐标→PM+MN+NE-53BE 的最小值.（2）由条件表达出A 2，B 1，K 的坐标→求出A 2B 1，B 1K ，A 2K →建立方程求出K 的坐标. 提示：（1）易得A(-1,0)，B(4,0)，C(0,3).直线BC 的解析式为y=3x 43+-. 过点P 作PH ∥y 轴交BC 于H.令P(a,3a 49a 432++-)，则H(a, 3a 43+-)，∴PH=a 3a 432+-.易得△PQH ∽△OQC ，∴OQ PQ =O CPH=3a3a 432+-=a a 412+-∴当a=2时，OQPQ最大，此时P(2,29)将P 沿MN 方向平移1个单位（即向右平移54，向下平移53）得P /(514,1093).过点A 作AJ ∥CB.过点E 作EK ⊥AJ 于K ，过点P /作P /K /⊥AJ 于K /.则 PM+MN+NE-53BE= PM+MN+NE-53(AB-AE)= PM+MN+NE+53AE-53AB =P /N+NE+EK-2≥P /K /-2=2527-=517. 注：MN=1，EK=53AE ，53AB=3，易得直线AJ 的解析式为y=43x 43--，直线P /K /的解析式为y=61x 34+，∴K /(2511-,5021-），P /K /=527. 答案最小值为517. （2）易得直线AA 1的解析式为y=43x 43--，直线OO 1的解析式为y=x 43-，又直线BC 的解析式为y=3x 43+-.设A 1(t-1,t 43-)，则C 1(t,3t 43+-)，O 1(t, t 43-).又B(4,0)， ∴当C 1B=O 1B 时，22)3t 43()4t (+-+-=22)t 43()4t (-+-，解得：t=2. ∴A 1(1,23-)，O 1(2, 23-)，∴A 2(2,21-)，B 1(27,27-) 设K(21,y)，则A 2K 2=22)y 21()212(--+-=25y y 2++，A 2B 12=45， B 1K 2=22)y 27()2127(--+-=485y 7y 2++. 若A 2K= A 2B 1，25y y 2++=445，解得y=25或y=27-. 若A 2B 1=B 1K ，445=485y 7y 2++，解得y=-2或y=-5. 若A 2K= B 1K ，25y y 2++=485y 7y 2++，解得y=825- 答案K 1(21,25)(此时K 1、A 2、B 1在一直线上，舍去)， K 2(21,27-)，K 3(21,-2)，K 4(21,-5)，K 5(21,825-). 反思：重庆中考二次函数的综合题，一般设计两个问：第（1）问，通常是线段（均可转化为线段）取最值时，求几条线段和差的最值. 第（2）问，通常是在图形变换下，出现特殊情况时，直接写出坐标.看视较难，其实还是有一定的解题思路:（1）把动点产生的最值问题，转化为动线段的最值，确定其动点取最值时的坐标，再把几条线段和差转化为几何图形的有关最值，或把几条线段和差转化为代数问题求最值.（2）在经历图形变换后，需要求出相关线段的长度，利用方程思想求出其中未知数的值，写出坐标.车到山前必有路，船到桥头自然直，山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村.只要不断向前做，定会发现新思路.。
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2．将一张矩形纸片沿对角线剪开（如图1），得到两张三角形纸片ABC ∆、DEF ∆（如图2），量得他
们的斜边长为6cm ，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，且点A 、C 、E 、F 在同一条直线上，点C 与点E 重合.
ABC ∆保持不动，OB 为ABC ∆的中线. 现对DEF ∆纸片进行如下操
作时遇到了三个问题，请你帮助解决.（1）将图3中的DEF ∆沿CA 向右平移，直到两个三角形完全重合为止.设平移距离CE 为x （即CE 的长），求平移过程中，DEF ∆与BOC ∆重叠部分的面积S 与x 的函数关系式，以及自变量的取值范围；（2）DEF ∆平移到E 与O 重合时（如图4），将D E F ∆绕点O 顺时针旋转，旋转过程中DEF ∆的斜边EF 交ABC ∆的BC 边于G ，求点C 、O 、G 构成等腰三角形时，OCG ∆的面积； （3）在（2）的旋转过程中，△DEF 的边EF 、DE 分别交线段．．BC 于点G 、H （不与端点重合）．求旋转角COG ∠为多少度时，线段BH 、GH 、CG 之间满足222CG BH GH =+，请说明理由．
图4
B
A D
）（E F O
图5
B A
D
）（E F
O
G
A C
B 图1
B
A
C
D
F 图2
A
C ）
（E
图3
3. 如图，已知：△ABC 为边长是34的等边三角形，四边形DEFG 为边长是6的正方形.
现将等边△ABC 和正方形DEFG 按如图1的方式摆放，使点C 与点E 重合，点B 、C （E ）、F 在同一条直线上，△ABC 从图1的位置出发，以每秒1个单位长度的速度沿EF 方向向右匀速运动，当点C 与点F 重合时暂停运动，设△ABC 的运动时间为t 秒(0≥t ). （1）在整个运动过程中，设等边△ABC 和正方形DEFG 重叠部分的面积为S ，请直接写出S 与t 之间的函数关系式；
（2）如图2，当点A 与点D 重合时，作ABE ∠的角平分线EM 交AE 于M 点，将△ABM
绕点A 逆时针旋转，使边AB 与边AC 重合，得到△ACN .在线段AG 上是否存在H 点，使得△ANH 为等腰三角形.如果存在，请求出线段EH 的长度；若不存在，请说明理由.(3)如图3，若四边形DEFG 为边长为34的正方形，△ABC 的移动速度为每秒3个单位长度，其余条件保持不变.△ABC 开始移动的同时，Q 点从F 点开始，沿折线FG-GD 以每秒32个单位长度开始移动，△ABC 停止运动时，Q 点也停止运动.设在运动过程中，DE 交折线BA-AC 于P 点，则是否存在t 的值，使得EQ PC ⊥，若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由.
26题图1
F
G
26题图2
G
26题图3
A
C
B （D ） E
F
26题图
4．已知等边△ABC 和Rt △DEF 按如图所示的位置放置，点B ，D 重合，且点Ｅ、B (D )、
C 在同一条直线上．其中∠E =90°, 30EDF ∠=
,AB DE ==，现将△DEF
沿直线BC
个单位向右平移，直至E 点与C 点重合时停止运动，设运动时 间为t 秒．
(1) 试求出在平移过程中，点F 落在△ABC 的边上时的t 值；
(2) 试求出在平移过程中△ABC 和Rt △DEF 重叠部分的面积s 与t 的函数关系式；
(3) 当D 与C 重合时，点H 为直线DF 上一动点，现将△DBH 绕点D 顺时针旋转60°得到 △ACK ，则是否存在点H 使得△BHK
的面积为CH 的值；若不存在，请说明理由．
A
C
B D
E
F
26题备用图
A
C B （
D ）
（E ）
F
26题备用图。