4.1 成比例线段 第2课时 等比的性质
等比定理及其应用 教学设计
等比定理）。
探究一：通过从图形的角度找出这些线段对应的比值及作和之后的比值。
感知等比性质,为下面等比性质的得出做铺垫。
探究二：已知,a,b,c,d,e,f六个数成比例，能不2.变式拓展：（四道具有典型意义的习题，所花的时这个结论成立吗？为什么？本节课教学以学生自主探究为主，教师引导为辅，因此我选用“引导式探索发现法”进行教学。
学生采用“自主式合作探究”的学习方法，通过成比例线段性质的学习，使学生体会数学知识的探究过程和实际运用，并渗透多种数学思想方法。
1、要根据学生实际合理的使用教材：学生在前一节课的学习中，学习了线段成比例在生活中有着广泛的应用，如工程图纸的设计、地图的绘制、照片的缩放等，他们已经了解了成比例线段及比的基本性质。
本节课教学时，可先让学生通过做游戏有趣味的做一些相应的练习题，不仅巩固了上节课的知识，还激发了学生的学习兴趣，本节教学将重点放在理解和掌握比例的等比性质及其简单应用上。
2、学生是学习的主人：上课比较活跃是初中学生的一大特点，为了展现学生的才华，调动学生学习积极性，课堂上要充分让学生发扬合作交流的意识，最后在小组中自选代表上台发言，采用希沃白板5播放游戏、希沃授课助手手机拍照投屏学生的作品和解题过程以及学生板书讲解的多种多媒体教学手段，让学生在高效的课堂环境中学习知识、提高各方面能力。
各小组讨论结束后，展示成果，教师适当点拨，画龙点睛，充分体现以教师为主导，学生为主体的教学宗旨。
3、改进教学方面：在等比定理推导和试题中都引入比例k，这是本节课的难点。
学生可能理解不好，要把握好这个环节的教学。
对于定理的应用，教师在教学时，可补充一些练习做为随堂练习，以巩固这几个性质，达到当堂消化的目的。
“成比例线段”这一节是本章的开头，学好这一节，为后续学习黄金分割、相似多边形、相似三角形等奠定更好的基础。
新北师大版九年级数学上册第四章4.1成比例线段第2课时等比性质教学设计1版
设 ＝ ＝ ＝k，那么a＝bk，c＝dk，e＝fk.代入得 ＝ ＝ ＝k＝ .
【探究2】如果 ＝ ＝…＝ (b＋d＋…＋n≠0)，那么 ＝ 吗？
课件出示：
设 ＝ ＝…＝ ＝k，那么a＝bk，c＝dk，…，m＝nk.代入得 ＝ ＝ ＝k＝ .
师生交流后，得出等比性质并板书：
如果 ＝ ＝…＝ (b＋d＋…＋n≠0)，那么 ＝ .
1.教学时，放手让学生自主探究，通过运算验证结论的正确性，同时，要引导学生思考：为什么要说明(b＋d＋f≠0)呢？
2．本环节重在引导学生由具体的“形”转入“数”和由“有限”到“无限”等方式来过渡到“等比性质”．符合认知的规律，同时也能较好地了解知识的来龙去脉.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例在△ABC与△DEF中，已知 ＝ ＝ ＝ ，且△ABC的周长为18cm，求△DEF的周长．
1.学生很容易回答边长的比，也很容易回答周长的比，重在让学生交流“周长的比为什么和边长的比相等”这一数学问题．处理时，可再继续口头引申正n边形的情景.
2.通过这一活动，了解学生对上节课的掌握情况，同时借此活动引入等比性质，为下面的学习奠定基础，并由此引入课题.
活动
二：
实践
探究
交流新知
【探究1】已知a，b，c，d，e，f六个数．如果 ＝ ＝ (b＋d＋f≠0)，那么 ＝ 成立吗？为什么？
[变式题]如图4－1－21，已知点D，E分别在△ABC的边AB，AC上， ＝ ＝ ＝ ，且△ABC与△ADE的周长之差为15cm，求△ABC与△ADE的周长.
图4－1－21
本例不仅是巩固等比的性质，同时更是强化学生对推理过程的认识，也就是说，我们不仅关注计算结果，而且更关注利用等比的性质进行合理推理，并能将推理过程写清楚。
4.1线段成比例
一.知识要点：
（一）比例线段
1.线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别是m ，n ，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成 ,其中a 叫做比的前项;b 叫做比的后项。
2.成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．
3.比例的项：已知四条线段ａ，ｂ，ｃ，ｄ，如果 ，那么ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做组成比例的项，线段ａ，d 叫做比例外项，线段ｂ，ｃ叫做比例内项，线段ｄ还叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例项．
4.比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c 或
，那么线段ｂ叫做线段ａ和
ｃ的比例中项．
（二）比例的性质：
(1)比例的基本性质：
(2)反比性质：
(3)更比性质:
或 (4)合比性质: (5)等比性质: 且 二、例题：
1.已知线段a=2，b=3，c=6，线段d 是a ，b ，c 的第四比例项，求d 的值。
2.已知3
2f e d c b a ===，且4f d 3-b 2=+，求e c 3-a 2+的值。
3.四边形ABCD 和四边形EFGH 中，AB:EF=BC:FG=CD:GH=DA:HE=3：2，若四边形ABCD 的周长为15，求四边形EFGH 的周长。
4.已知：线段a ，b ，c ，且
4c 3b 2a ==（1）求b b a +的值；（2）如线段a ，b ，c 满足a+b+c=27，求a ，b ，c 的值。
5.如果k z
y x y x z x z y =+=+=+，求k 的值。
4.1.2成比例线段(2)导学案
北师版九数上册第四章图形的相似4.1成比例线段（2） 主备人： 审核人： 学生姓名： 使用日期： 学习目标 掌握比例的基本性质的简单应用，掌握设比值法，熟练运用等比性质。
教学重点：等比性质的推导过程 教学难点：熟练运用等比性质学习过程一、知识链接1、什么是线段的比？什么是成比例线段？2、四条线段a 、c 、 d 、b 是成比例线段，则可表示为 。
3、若3m=2n ，你能得到m/n= ；n/m= . 二、自主探究阅读教材79---80页内容，思考下列问题：1、如果f e d c b a ==,那么ba f db ec a =++++成立吗？为什么？ 2、如果d c b a =,那么dd c b b a ±=±成立吗？为什么？ 3、如果d c b a ==…=n m （b +d +…+n ≠0）,那么b a n d b m c a =++++++ 成立吗？为什么. 4、试猜想n m fe dc b a =⋅⋅⋅===（0≠+⋅⋅⋅+++n fd b ）与n f d b me c a +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++相等吗？能否证明你的猜想？、让同学们讨论、交流、验证，从中得出结论：归纳：等比性质：如果n m d c b a =⋅⋅⋅==（0≠+⋅⋅⋅++n d b ），那么nd b m c a +⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++＝ba ． 等比性质中，为什么要0≠+⋅⋅⋅++n db 这个条件？北师版九数上册第四章图形的相似三、课堂检测A 组：1、已知0432≠==c b a ,则c b a +的值为( )A.54B.45C.2D.21 2、如果x ∶(x ＋y )＝3∶5，那么x y ＝( ) A.32 B.38 C.23 D.853、若32=y x ，则3x －2y=（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0、4、已知2=yx ，则=+y y x ；=-x y x . 5、已知,32===f e d c b a 则fb e a ++=___________. 6、已知2=-+b a b a ，那么b a 的值是 ； 3x =6y ，则y ：x=________ . 7、若2x =3y =4z ≠0，则z y x 32+=________ B 组：1、已知2723=+b b a ，求b a 的值 2、已知a ∶b ∶c =4∶3∶2,且a +3b －3c =14.（1）求a ,b ,c （2）求4a －3b +c 的值.3、已知 3a=2b, 5b=4c,那么a:b:c=_______________四、谈收获。
北师大数学九上课件4.1成比例线段(2)
b
c
d
d
,
你认为这个结论正确吗？为什么？
由 a c k 得 a kb, c kd bd
ab b
kb b b
(k
1)b b
k
1
cd d
k
d
d
(k
1)d d
k 1
a
b
b
c
d
d
你能证明吗a ？b b
c
d
d
a
b
b
c
d
e f
a b
a b
c d
e f
设 a c e k 得 a kb, c kd, e kf bd f
a c e kb kd kf k(b d f ) k
bd f bd f
bd f
ace a bd f b
e f
m n
(b
d
n 0)
。a b
c d
m n
a b
2、合比性质：
如果，那么a 。 c bd
ab cd bd
合作交流
ⅰ、已知：如图，在矩形ABCD和矩形HEFG中，
A
D
H
G
B
C
E
F
AB HE
BC EF
CD FG
AD HG
2,
你能求出
AB BC CD AD HE EF FG HG
的值吗？由此你能得出什么结论？
新北师大版九年级数学上册第四章4.1成比例线段第2课时等比性质教学设计2版
第四章图形的相似1．成比例线段（二）一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：这节课是“成比例线段”的第二课时，学生已经通过第一节课的学习，观察了大量的图片，列举了许多现实生活中的情境，认识了线段的比的知识，知道了选用同一单位长度量线段的长度，从而求出两条线段的比。
也学会了运用比例线段的基本性质解决实际问题，并通过图片创设的问题情境，重现了现实生活中的比例模型，初步掌握了解决有关比的问题的方法。
在这个基础上，进一步来学习成比例线段的有关性质，学生不会感到陌生，反而容易接受本节课的继续学习。
学生活动经验基础：上一节课，学生已经收集了一些相似图形的图片，如大小不同的两张中国地图、国旗，同底相片等。
已经感受了数学知识源于生活，用于生活。
各小组展示并讨论过线段比的事例，具有了一定的合作交流的基础和能力。
难点处理：比例的基本性质的推理是本节课的难点，教学中要尽量让学生发扬小组合作的精神，在小组中展开讨论，教师参与指点。
二、教学任务分析教科书在学生认识线段的比的基础上，进一步提出了本节课的具体要求：理解并掌握比例的基本性质及其简单应用。
学好了本节课，既承接了全等三角形的内容，又为本章的后续学习相似三角形和相似多边形奠定了基础。
在知识技能方面，要求学生了解线段的比和成比例线段；理解并掌握比例的基本性质及其简单应用；发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力。
学生经历运用线段的比解决问题的过程，在观察、计算、讨论、想象等活动中获取知识。
通过本节课的教学，培养学生的数学应用意识，体会数学与现实生活的密切联系。
教学目标：（一）知识目标：了解线比例线段的基本性质；理解并掌握比例的基本性质及其简单应用；发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力。
（二）能力目标：经历运用线段的比解决问题的过程，在观察、计算、讨论、想象等活动中获取知识。
（三）情感与价值观目标：通过本节课的教学，培养学生的数学应用意识，体会数学与现实生活的密切联系。
4.1 成比例线段 第2课时 等比性质
例题解析：
a 2 a b a -b (1)、已知 , 求 与 ； b 3 b b AB BC CA 3 (2)、在ABC 与DEF中，若 , DE EF FD 4 且ABC 的周长为18cm，求DEF的周长。
A
BE CF 如图，已知 = ， AB AC E AE AF 那么 AB = AC ， 理由： B BE CF AC CF AC –CF = = = AB AC AB BE AB –BE AC–CF AC AF AC = = AB–BE AB AE AB AB–BE≠0 AF AE AE AF = = . AC AB AB AC
么样的关系？在求解过程中，你有什么发现？
已知，a，b，c，d，e，f六个数。
a c a b cd (1)如果 , 那么 和 b d b d a b c d 成立吗？为什么？ b d
(2)
AB BC CD AD 如图， , , , HE EF FG HG
AB BC CD AD 的值相等吗？ HE EF FG HG
第三 章
图形的相似
第2课时 等比性质
1、成比例线段定义
2、比例的基本性质 3、若 3m = 2n
n 呢？ m
m ，你可以得到 n
的值吗？
(1)、如图已知
BD CE 1 ，你能求出 BD AD 与 CE AE AD AE 2 AD AE
AB AB AB BD AC CE有怎 的值吗？如果 , 那么 与 BC CE BD CE
的值又是多少？在求解过程中，你有什么发现？
已知，a，b，c，d，e，f六个数。
a c e (2)如果 (b d f 0), b d f ace a 那么 成立吗？为什么？ bd f b
北师大版-数学-九年级上册-教案4.1 成比例线段
4．1 成比例线段第1课时 线段的比和比例的基本性质1．了解线段的比和比例线段的概念．2．掌握比例的基本性质，会求两条线段的比，并应用线段的比解决实际问题．(重点)阅读教材P76～79，完成下列内容：(一)知识探究1．线段的比：如果选用同一个长度单位量得两条线段AB ，CD 的长度分别是m ，n ，那么这两条线段的比(ratio)就是它们________的比，即AB ∶CD ＝m ∶n ，或写成AB CD ＝m n.其中，线段AB ，CD 分别叫做这个线段比的________和________．如果把m n 表示成比值k ，那么AB CD＝k 或AB ＝k ·CD.两条线段的比实际上就是两个数的比．2．四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即________，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称________．3．比例的基本性质如果a b ＝c d，那么ad ＝________. 如果ad ＝bc(a ，b ，c ，d 都不等于0)，那么a b＝________. (二)自学反馈1．下列各组线段(单位：cm)中，成比例线段是( )A ．1，2，3，4B ．1，2，2，4C ．3，5，9，13D ．1，2，2，32．把mn ＝pq 写成比例式，错误的是( )A.m p ＝q nB.p m ＝n qC.q m ＝n pD.m n ＝p q活动1 小组讨论例 如图，一块矩形绸布的长AB ＝a m ，宽AD ＝1 m ，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即AE AD ＝AD AB，那么a 的值应当是多少？解：根据题意可知，AB ＝a m ，AE ＝13a m ，AD ＝1 m. 由AE AD ＝AD AB，得 13a 1＝1a， 即13a 2＝1. ∴a 2＝3.开平方，得a ＝3(a ＝－3舍去)．本例提供了应用比例基本性质的一个具体情境，应注意阅读和理解题意，然后由比例式得到等积式，再通过计算求得结果．易错提示：开平方后求得的结果，需要检验是否符合题意．活动2 跟踪训练1．等边三角形的一边与这边上的高的比是( )A.3∶2B.3∶1C ．2∶ 3D ．1∶ 32．若四条线段a 、b 、c 、d 成比例，且a ＝3，b ＝4，c ＝6，则d ＝( )A ．2B ．4C ．4.5D ．83．在比例尺为1∶900 000的安徽黄山交通图中，黄山风景区与市政府所在地之间的距离是4 cm ，这两地的实际距离是( )A ．2 250厘米B ．3.6千米C ．2.25千米D ．36千米4．A 、B 两地之间的高速公路为120 km ，在A 、B 间有C 、D 两个收费站，已知AD ∶DB ＝11∶1，AC ∶CD ＝2∶9，则C 、D 间的距离是________km.5．如图，已知AD DB ＝AE EC，AD ＝6.4 cm ，DB ＝4.8 cm ，EC ＝4.2 cm ，求AC 的长． 活动3 课堂小结1．线段的比的概念、表示方法；前项、后项及比值k.2．两条线段的比是有序的；与采用的单位无关，但要选用同一长度单位．3．两条线段的比在实际生活中的应用．【预习导学】(一)知识探究1．长度 前项 后项 2.a b ＝c d 比例线段 3.bc c d(二)自学反馈1．B 2.D【合作探究】活动2 跟踪训练1．C 2.D 3.D 4.905．∵AD DB ＝AE EC ，∴6.44.8＝AE 4.2.解得AE ＝5.6.∴AC ＝AE ＋EC ＝5.6＋4.2＝9.8(cm)．第2课时 等比性质1．理解并掌握等比性质．(重点)2．运用等比性质解决有关问题．(难点)阅读教材P79～80，自学“例2”，完成下列内容：(一)知识探究等比性质：如果a b ＝c d ＝…＝m n (b ＋d ＋…n ≠0)，那么a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n＝________. 注意在运用等比性质时，前提条件是：分母b ＋d ＋…＋n ≠0.(二)自学反馈如果a b ＝c d ＝52(b ＋d ≠0)，那么a ＋c b ＋d＝________.活动1 小组讨论例 在△ABC 与△DEF 中，若AB DE ＝BC EF ＝CA FD ＝34，且△ABC 的周长为18 cm ，求△DEF 的周长． 解：∵AB DE ＝BC EF ＝CA FD ＝34， ∴AB ＋BC ＋CA DE ＋EF ＋FD ＝AB DE ＝34. ∴4(AB ＋BC ＋CA)＝3(DE ＋EF ＋FD)，即DE ＋EF ＋FD ＝43(AB ＋BC ＋CA)． 又∵△ABC 的周长为18 cm ，即AB ＋BC ＋CA ＝18 cm ，∴DE ＋EF ＋FD ＝43(AB ＋BC ＋CA)＝43×18＝24(cm)， 即△DEF 的周长为24 cm.在应用等比性质时，要抓住题目已知条件：三角形ABC 的周长，即三边之和为18 cm.活动2 跟踪训练1．已知a b ＝c d ＝e f＝4，且a ＋c ＋e ＝8，则b ＋d ＋f 等于( ) A ．4 B ．8C ．32D ．22．若a ＋b c ＝b ＋c a ＝c ＋a b＝k ，且a ＋b ＋c ≠0，则k 的值为( ) A ．2 B ．－1C ．2或－1D ．不存在3．已知a b ＝c d ＝e f ＝23，则a ＋e b ＋f＝________. 4．如果a b ＝c d ＝e f＝k(b ＋d ＋f ≠0)，且a ＋c ＋e ＝3(b ＋d ＋f)，那么k ＝________.5．已知a b ＝c d ＝e f ＝23，b ＋2d －3f ≠0，求a ＋2c －3e b ＋2d －3f的值． 活动3 课堂小结等比性质：如果a b ＝c d ＝…＝m n (b ＋d ＋…n ≠0)，那么a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n ＝a b.【预习导学】(一)知识探究 a b(二)自学反馈52【合作探究】活动2 跟踪训练1．D 2.A 3.234.3 5．∵a b ＝c d ＝e f ＝23，b ＋2d －3f ≠0，∴a b ＝2c 2d ＝－3e －3f ＝23.∵b ＋2d －3f ≠0，∴a ＋2c －3e b ＋2d －3f ＝23.。
4.1 成比例线段
► 知识点三
a c ＝ b d
成比例线段
四条线段a，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比， 即
____，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线
段，简称比例线段．
我们说a，b，c，d四条线段是成比例线段，它们对应的关系 a c 式是 ＝ 或a∶b＝c∶d，这是有一定顺序的．一般我们称a b d 为第一比例项，b为第二比例项，c为第三比例项，d为第四 比例项．有时a，d又称为比例外项，b，c称为比例内项．不 要误认为四条线段中任意两线段的比等于另外两线段的 比．如：线段a＝2，b＝4，c＝3，d＝6，有a∶b＝1∶2， a c c∶d＝1∶2，即 ＝ ，所以a，b，c，d是成比例线段．但 b d a b a∶d＝1∶3，b∶c＝4∶3，显然 ≠ ，所以a，d，b，c不是 d c 成比例线段．
重难互动探究
探究问题 比例性质的运用
2a－3b＋c 例 已知a∶b∶c＝3∶4∶5，求 的值． a
a b c 解：方法一：由a∶b∶c＝3∶4∶5，得 ＝ ＝ ， 3 4 5 －3b 2a c 所以 ＝ ＝ ， 2×3 （－3）×4 5 2a－3b＋c 2a－3b＋c a a 所以 ＝ ，所以 ＝ ，所以 3 3 2×3－3×4＋5 －1 2a－3b＋c －1 1 ＝ ＝－ . a 3 3
a b c 方法二：由a∶b∶c＝3∶4∶5，得 ＝ ＝ . 3 4 5 a b c 设 ＝ ＝ ＝k，则a＝3k，b＝4k，c＝5k， 3 4 5 2a－3b＋c 2×3k－3×4k＋5k －k 1 所以 ＝ ＝ ＝－ . a 3k 3k 3
[归纳总结] 本题有两种方法，一是直接利用比例的性质将比 例式变形；二是引入参数k表示比的值，然后求得a，b，c(用
3a，然后再求高与边长的比．
北师大版九年级数学上册说课稿：4.1成比例线段
北师大版九年级数学上册说课稿：4.1 成比例线段一. 教材分析北师大版九年级数学上册的“4.1 成比例线段”一节，是在学生已经掌握了比例的性质，以及线段的基本知识的基础上进行的一节内容。
这一节主要向学生介绍成比例线段的定义及其性质，以及如何通过成比例线段来解决一些实际问题。
教材通过生活中的实例，引出成比例线段的定义，接着通过大量的练习，让学生加深对成比例线段的理解。
在这一节的内容中，学生需要掌握成比例线段的定义，以及如何判断两条线段是否成比例，同时，还需要学会如何通过成比例线段来解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于比例的性质和线段的知识有一定的了解。
但是，对于成比例线段的定义及其应用，可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我将会以学生已有的知识为基础，引导学生逐步理解成比例线段的定义，并通过大量的练习，让学生掌握成比例线段的性质和应用。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：理解成比例线段的定义，掌握成比例线段的性质，能够判断两条线段是否成比例，并能够运用成比例线段来解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生体验到数学在生活中的应用。
四. 说教学重难点1.教学重点：成比例线段的定义及其性质。
2.教学难点：如何判断两条线段是否成比例，以及如何运用成比例线段来解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作法等，引导学生主动探究，积极参与。
2.教学手段：利用多媒体课件，为学生提供丰富的学习资源，提高教学效果。
六. 说教学过程1.导入：通过生活中的实例，引出成比例线段的定义。
2.新课导入：讲解成比例线段的性质，让学生通过观察、操作、思考，理解并掌握成比例线段的性质。
3.练习巩固：布置一些相关的练习题，让学生通过练习，加深对成比例线段的理解。
2024年北师大版九年级上册教学第四章 图形的相似成比例线段
第1课时成比例线段课时目标1.了解相似图形、线段的比的概念;会求两条线段的比,运用线段的比解决实际问题.2.掌握比例的基本性质,提高解决问题的能力,培养学生的数学应用意识,体会数学与自然、社会的密切联系.学习重点理解成比例线段的概念并会求解.学习难点了解比例的基本性质及其简单应用.课时活动设计情境引入通过用幻灯片展示生活中的图片,突出每组图片形状相同的特点.设计意图:引发学生思考每组图片的特征,激发学生的学习兴趣.探究新知1.你能在下面这些图形中找出形状相同的图形吗?这些形状相同的图形有什么不同?教师提出问题,学生以小组的形式进行讨论交流,教师随机选取学生回答问题,引出学生线段的比的必要性.形状相同而大小不同的两个平面图形,较大的图形可以看作是由较小的图形“放大”得到的,较小的图形可以看成是由较大的图形“缩小”得到的.在这个过程中,两个图形上的相应线段也被“放大”或“缩小”.因此,对于形状相同而大小不同的两个图形,我们可以用相应线段长度的比来描述它们的大小关系.2.归纳小结.如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别是m,n,那么就说这两条线段的比就是它们长度的比,即AB∶CD=m∶n,或写成ABCD =mn.其中,AB,CD分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把mn 表示成比值k,那么ABCD=k,或AB=k·CD.两条线段的比实际上就是两个数的比.如图,五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'形状相同,AB=5 cm,A'B'=3 cm.AB∶A'B'=5∶3,53就是线段AB与线段A'B'的比,这个比值刻画了这两个五边形的大小关系.3.想一想.两条线段长度的比与所采用的长度单位有没有关系?通过上面的活动学生应该对这个问题有了一定的认识:两条线段长度的比与所采用的长度单位无关.4.做一做.如图,设小方格的边长为1,四边形ABCD与四边形EFGH的顶点都在格点上,那么AB,AD,EF,EH的长度分别是多少?分别计算ABEF ,ADEH,ABAD,EFEH的值.你发现了什么?学生独立解答,师生共同订正答案,然后教师引导学生发现这四组对应线段的比相等,进而引出比例线段的概念.四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于c与d的比,即ab =cd,那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段,简称比例线段.在图中AB,EF,AD,EH是成比例线段,AB,AD,EF,EH也是成比例线段.5.议一议.如果a,b,c,d四个数成比例,即ab =cd,那么ad=bc吗?反过来,如果ad=bc,那么a,b,c,d四个数成比例吗?学生在小组内交流,教师及时给予提示,最后进行总结归纳.小结:比例的基本性质:如果ab =cd,那么ad=bc.如果ad=bc(a,b,c,d都不等于0),那么ab =cd .设计意图:通过发现这些形状相同的图形的不同点,引出线段的比的概念.学生实际操作并进行讨论后得出:两条线段长度的比与所采用的长度单位没有关系.引入成比例线段的概念,进而研究比例的基本性质.典例精讲如图,一块矩形绸布的长AB=a m,宽AD=1 m,按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗,且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同,即AEAD =ADAB,那么a的值应当是多少?解:根据题意可知,AB=a m,AE=13a m,AD=1 m.由AEAD =ADAB,得13 a 1=1a ,即13a2=1.∴a2=3.开平方,得a=√3(a=-√3舍去).设计意图:通过教材上的例题,让学生利用所学的知识来解决实际生活中的问题.巩固训练1.一条线段的长度是另一条线段长度的5倍,则这两条线段之比是5∶1.2.一条线段的长度是另一条线段长度的35,则这两条线段之比是3∶5.3.已知a,b,c,d是成比例线段,a=4 cm,b=6 cm,d=9 cm,则c= 6 cm.4.如果2x=5y,那么xy =52.5.把mn=pq写成比例式,错误的是(D)A.mq =pnB.pm=nqC.qm=npD.mn=pq6.已知a∶b∶c=2∶3∶4,且a+b+c=15,则a=103,b=5,c=203.7.判断下列四条线段是否成比例.(1)a=2,b=√5,c=√15,d=2√3;(2)a=√2,b=3,c=2,d=√3;(3)a=4,b=6,c=5,d=10;(4)a=12,b=8,c=15,d=10.解:(1)否;(2)否;(3)否;(4)是.设计意图:通过有梯度的练习,巩固课堂上所学的知识,加深学生对线段的比和成比例线段的认识.课堂小结这节课我们学习了哪些知识?你有什么收获?你有什么发现、探索?设计意图:让学生回顾本节课的学习内容,提高学生归纳总结的能力.课堂8分钟.1.教材第79页习题4.1第1,2题.2.七彩作业.第1课时成比例线段1.两条线段的比.如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别是m,n,那么就说这两条线段的比就是它们长度的比,即AB∶CD=m∶n,或写成ABCD =mn.其中,AB,CD分别叫做这个线段比的前项和后项.2.成比例线段.四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于c与d的比,即ab =cd,那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段,简称比例线段.3.比例的基本性质.如果ab =cd,那么ad=bc.如果ad=bc(a,b,c,d都不等于0),那么ab =cd .教学反思第2课时等比性质课时目标1.理解比例的等比性质;理解并掌握比例的基本性质及其简单应用;发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力.2.经历运用线段的比解决问题的过程,在观察、计算、讨论、想象等活动中获取知识.3.通过本节课的教学,培养学生的数学应用意识,体会数学与现实生活的密切联系.学习重点让学生理解并掌握比例的性质及其简单应用.学习难点运用比例的性质解决有关问题.课时活动设计复习回顾复习:1.成比例线段的定义;2.比例的基本性质;3.若3m=2n,你可以得到mn 的值吗?nm呢?设计意图:学生思考回顾上节课的内容,更好地进入本节课的学习.探究新知1.如图,已知BDAD =CEAE=12,你能求出BD+ADAD与CE+AEAE的值吗?它们有怎样的关系?如果ABBD =ACCE,那么AB-BDBD与AC-CECE有怎么样的关系?在求解过程中,你有什么发现?教师提出问题,学生先独立完成计算,再在小组内交流自己的计算结果及发现,组内达成共识后在班内展示,教师给予正确引导.议一议:已知a,b,c,d,e,f六个数.如果ab =cd,那么a+bb=c+dd和a-bb=c-dd成立吗?为什么?学生独立完成,教师随机选择学生进行回答.2.如图,ABHE ,BCEF,CDFG,ADHG的值相等吗?AB+BC+CD+ADHE+EF+FG+HG的值又是多少?在求解过程中,你有什么发现?议一议:已知a,b,c,d,e,f六个数.如果ab =cd=ef(b+d+f≠0),那么a+c+eb+d+f=ab成立吗?为什么?学生独立完成,教师随机选择学生进行回答.如果ab =cd=…=mn(b+d+…+n≠0),那么a+c+…+mb+d+…+n=ab吗?学生尝试总结a,b,…,n之间的关系,教师多媒体展示.注意事项:要强调等比性质中,分母b+d+…+n≠0.设计意图:通过由特殊到一般的方法归纳出合比性质与等比性质,加深对成比例线段的理解.典例精讲 1.已知a b =23,求a+b b与a -b b的值.解:∵a b =23,∴a+b b=a b +1=23+1=53.∵a b =23,∴a -b b =ab -1=23-1=-13.2.在△ABC 与△DEF 中,若AB DE =BC EF =CA FD =34,且△ABC 的周长为18 cm,求△DEF 的周长.解:∵AB DE =BC EF =CA FD =34, ∴AB+BC+CA DE+EF+FD =AB DE =34.∴4(AB +BC +CA )=3(DE +EF +FD ),即DE +EF +FD =43(AB +BC +CA ). 又∵△ABC 的周长为18 cm,即AB +BC +CA =18 cm,∴DE +EF +FD =43(AB +BC +CA )=43×18=24(cm),即△DEF 的周长为24 cm . 设计意图:学到的知识要会应用升华,在这个环节中,让学生灵活运用比例的合比性质及等比性质.解决实际问题.师生互动,主要还是学生的动,要体现教师的主导作用,学生的主体作用.让学生会主动学习,遇到问题,要善于分析思考.巩固训练1.已知a b =c d =23(b +d ≠0),求a+cb+d 的值. 解:a+c b+d =23. 2.若x+y y =179,则x y = 89 .3.若a b =14,则3a+b 2b的值为 78 .4.已知a 3=b 5=c7. (1)求a+b+c b的值; (2)求a+2b -3c a+c的值.解:(1)∵a 3=b 5=c7, ∴a b =35,c b =75. ∴a+b+c b =a b +1+cb =3.(2)设a3=b5=c7=k,∴a=3k,b=5k,c=7k.∴a+2b-3ca+b =3k+2×5k-3×7k3k+5k=-8k8k=-1.5.如图,已知每个小方格的边长均为1,求AB,DE,BC,DC,AC,EC的长,并计算△ABC与△EDC的周长比.解:由勾股定理,得AB=2√5,DE=√5,BC=2√10,DC=√10,AC=2√13,EC=√13,△ABC的周长=AB+BC+AC=2(√5+√10+√13),△EDC的周长=DE+DC+EC=√5+√10+√13,所以△ABC与△EDC的周长比等于2∶1.设计意图:通过有针对性的练习,加深学生对合比性质与等比性质的理解,进一步巩固本堂课所学知识,提高应用能力.课堂小结谈谈本节课的收获,与同伴进行交流.设计意图:复习比例的基本性质,合比性质,等比性质,巩固本节课所学的内容.课堂8分钟.1.课本第81页习题4.2第3题.2.七彩作业.第2课时等比性质合比性质如果ab =cd,那么a±bb=c±dd等比性质如果ab=cd=…=mn(b+d+…+n≠0),那么a+c+…+mb+d+…+n=ab教学反思。
新北师大版九年级数学上册第四章4.1成比例线段第2课时等比性质备课素材版
第四章图形的相似1成比例线段第2课时比例的性质素材一新课导入设计情景导入类比导入悬念激趣如图4－1－15①所示，这两个正六边形边长的比和周长的比各是多少？你是怎么想的？如图②，这两个正八边形边长的比和周长的比各是多少？你是怎么想的？图4－1－15[说明与建议] 说明：思维往往从人的动作、活动参与开始的，而动手操作及量一量活动，则最易激发学生的想象、思维和发现．在量一量中增强自己的感性认识与经验，进而上升到理性观察、思考与推理论证．建议：在学生操作时，教师要引导学生进行思考、分析，为进一步学习积累数学活动经验做好铺垫．你还记得八年级上册中“变化的鱼”吗？如果将点的横坐标和纵坐标都乘(或除以)同一个非零数，那么用线段连接这些点所围成的图形的边长如何变化？图4－1－16①中的鱼是将坐标为(0，0)，(5，4)，(3，0)，(5，1)，(5，－1)，(3，0)，(4，－2)，(0，0)的点O，A，B，C，D，B，E，O用线段依次连接而成的；图②中的鱼是将图①中鱼上每个点的横坐标、纵坐标都乘2得到的．图4－1－16(1)线段CD与HL，OA与OF，BE与GM的长度分别是多少？(2)线段CD与HL的比，OA与OF的比，BE与GM的比分别是多少？它们相等吗？(3)你还能找到其他比相等的线段吗？[说明与建议] 说明：利用前面学习过的知识——“变化的鱼”来引导学生找到两个图形间的共同之处．借助图形的直观性来调动学生的学习兴趣，并通过三个问题引出新课．建议：可以让学生认真观察，先独立思考，后小组交流，为本节课的学习做好铺垫．素材二 教材母题挖掘80页例2在△ABC 与△DEF 中，已知AB DE ＝BC EF ＝CA FD ＝34，且△ABC 的周长为18 cm ，求△DEF 的周长．【模型建立】根据比例中的等比性质，知各个比例式的分子之和与分母之和的比等于其中任意一个比例式．一定要注意它的前提条件：各分母之和不等于0.【变式变形】1．已知x a ＝y b ＝z c ＝2(2a －3b ＋c≠0)，求2x －3y ＋z2a －3b ＋c的值．[答案：2]2．如图4－1－17，已知每个小方格的边长均为1，求线段AB ，DE ，BC ，DC ，AC ，EC 的长，并计算△ABC 与△EDC的周长比．图4－1－17[答案：AB ＝25，DE ＝5，BC ＝210，DC ＝10，AC ＝213，EC ＝13，△ABC 与△EDC 的周长比为2∶1]素材三 考情考向分析[命题角度1] 利用比例的性质求代数式的值比例的性质包含基本性质、等比性质和合比性质．在遇到相关问题时，要注意考虑选择适当的方法． 例 [凉山中考] 已知b a ＝513，则a －ba ＋b的值是(D )A .23B .32C .94D .49[命题角度2] 比例中的双解问题比例线段是相似三角形的基础，是沟通代数与几何计算的桥梁，但在具体处理有关比例线段的问题时，因缺乏慎重考虑，时常出现各种各样的错误，特别是在运用等比性质时忽略分母之和不等于0的前提条件．例 若a b ＋c ＝b c ＋a ＝c a ＋b ＝k ，求k 的值．[答案：12或－1]素材四 教材习题答案 P80随堂练习已知a b ＝c d ＝23(b ＋d ≠0)，求a ＋c b ＋d的值．解：a ＋cb ＋d ＝23. P81习题4.21．已知a b ＝c d ＝e f ＝23(b ＋d ＋f ≠0)，求a ＋c ＋eb ＋d ＋f的值．解：a ＋c ＋eb ＋d ＋f ＝23.2．如图，已知每个小方格的边长均为1，求AB ，DE ，BC ，DC ，AC ，EC 的长，并计算△ABC 与△EDC 的周长比．解：AB ＝25，DE ＝5，BC ＝210，DC ＝10，AC ＝213，EC ＝13，l △ABC ∶l △EDC ＝2∶1.3．如果a b ＝c d ，那么a ＋b b ＝c ＋d d ，a －b b ＝c －dd.你认为这个结论正确吗？为什么？解：正确．理由：∵a b ＝c d ，∴a b ＋1＝c d ＋1，a b －1＝c d －1，即a ＋b b ＝c ＋d d ，a －b b ＝c －dd.素材五 图书增值练习专题 综合运用比例性质 1. 若32a +＝4b ＝65c +，且2a －b ＋3c ＝21，求4a －3b ＋c 的值．2．如图，已知BE AB ＝ME AM ＝CE AC ，求证：BCCA BC AB ++＝ME AE ．【知识要点】1．成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，我们就把这四条线段叫做成比例线段．2．比例的基本性质(1)如果a b ＝c d ，那么ad ＝bc ， (2)如果a b ＝b c ，那么b 2＝ac ， (3)如果a b ＝c d，那么a ±b b ＝c ±dd.【温馨提示】四条线段的长度单位不统一时，要化成统一的长度单位后，再计算判断是否成比例，防止出错． 【方法技巧】1．比例式是等式，故可利用等式性质将比例式变形． 2．遇到比例式时，可设辅助未知数k ，即设这些比的比值为k ，这种借助另一个未知数的解题方法叫辅助未知数法． 3．利用比例的基本性质可求长度，通常是“知三求一”，有时也可以设适当未知数列方程求解． 参考答案： 1．解：设32a +＝4b ＝65c +＝k ，则a ＋2＝3k ，b ＝4k ，c ＋5＝6k ，即a ＝3k －2，b ＝4k ，c ＝6k －5．∵2a －b ＋3c ＝21，∴2（3k －2）－4k ＋3（6k －5）＝21， ∴k ＝2．∴a ＝4，b ＝8，c ＝7． ∴4a－3b ＋c ＝4×4－3×8＋7＝－1．2．证明：∵BE AB ＝ME AM ＝CE AC ，∴ CEBE AC AB ++＝EM AM ， 即BC AC AB +＝ME AM ，∴BC CA BC AB ++＝MEME AM +， 即BCCA BC AB ++＝ME AE ．素材六 数学素养提升比例线段错解诊所在学习比例线段时，时常出现各种各样的错误，为了方便同学们学习，现就常见的错解问题举例说明. 一、对比的概念认识模糊 例1 因为a b ＝43，所以a ＝4，b ＝3，你认为这种说法正确吗？为什么？ 错解 正确.因为a ＝4，b ＝3，所以a b ＝43，反过来则有a b ＝43，即a ＝4，b ＝3.剖析 a b ＝43仅表示a 、b 在同一长度单位下的比值，并不表示a ＝4，b ＝3.正解 这种说法是错误的.因为a b ＝43仅表示a 、b 在同一长度单位下的比值，它表示a ＝4k ，b ＝3k (k ＞0)，所以这种说法是错误的.二、对线段比的单位认识不足例2 有两条线段，它们的长度之比为a ∶b ＝5∶3，则a ＝5cm ，b ＝3cm ，你认为这种说法正确吗？为什么？错解 正确.因为a ＝5cm ，b ＝3cm ，所以它们的长度之比为a ∶b ＝5∶3，即这种说法是正确的. 剖析 比值是没有单位的，它与采用共同单位无关.正解 这种说法是错误的.因为a ∶b ＝5∶3仅表示a 、b 的比值，它表示a ＝5k ，b ＝4k (k ＞0)，所以这种说法是错误的.三、忽视单位的统一例3 A 、B 两地的实际距离AB ＝250m ，画在纸上的距离A ′B ′＝5cm ，求纸上距离与实际距离的比. 错解 纸上距离与实际距离的比是A ′B ′∶AB ＝5∶250＝1∶50.剖析 求两条线段的比，就是求出这两条线段用统一单位量得的线段长度之比，这里要注意有三点：①两条线段的比与采用的长度单位无关，因此一般线段的长度单位可不写；②如果给出的线段长度单位不同，则必须化为同一长度单位后再求线段的比；③两线段的比值总是正数，如在运算中出现负数，必须舍去，结果一般化为最简整数比.由此我们可以发现本题的错解是没有将单位化同一.正解 因为AB ＝250m ＝25000 cm ，所以纸上距离与实际距离的比是A ′B ′∶AB ＝5∶25000＝1∶5000. 四、错误认为两个分式相等就有分子与分母分别相等例4 若y y x -＝mn ，求x y的值. 错解 因为y y x -＝mn ，所以,.y m y x n =⎧⎨-=⎩解得,.x m n y m =-⎧⎨=⎩所以x y ＝m n m -. 剖析 这里错把两个分数相等，则它们的分子、分母分别相等，而事实上如24＝12，分子上的2与1、分母上的4与2都是不相等的，虽然结果是正确的，但是过程是错误的.正解 设y y x -＝mn ＝k (k ≠0)，所以y ＝(y －x )k ，即xk ＝yk －y ＝y (k －1)，所以x y ＝1k k -＝1m n m n-＝m n m -.五、忽视使用性质的条件 例5 若a b c +＝b c a +＝c a b+＝k .求k 的值. 错解 因为a b c +＝b c a +＝c a b +＝k ，所以由等比性质，得()2a b c a b c ++++＝k ，即k ＝12.剖析 运用等比性质的条件是分母之和不等于0，而这里并没有说明a +b +c ≠0，所以应分情况讨论. 正解 当a +b +c ≠0时，由等比性质，得()2a b c a b c ++++＝k ，即k ＝12；当a +b +c ＝0时，则有a +b ＝－c ，或a +c＝－b ，或b +c ＝－a ，无论哪一种情况都有k ＝－1，所以k 的值为12或－1. 六、错误地运用设k 法解题例6 已知x ∶y ∶z ＝3∶5∶6，且2x －y +3z ＝38，求3x +y －2z 的值.错解 设x ∶y ∶z ＝3∶5∶6＝k ，则x ＝3k ，y ＝5k ，z ＝6k ，又2x －y +3z ＝38，所以6k －5k +18k ＝38，即k ＝2，所以3x +y －2z ＝9k +5k －12k ＝2k ＝4.剖析 本题不能用“设x ∶y ∶z ＝3∶5∶6＝k ”的方法求解，因为“3∶5∶6＝k ”这个式子是错误的，所以虽然结果正确，但开始的设法就是错误的.正解 因为x ∶y ∶z ＝3∶5∶6，所以可设3x ＝5y ＝6z＝k ，则x ＝3k ，y ＝5k ，z ＝6k ，又2x －y +3z ＝38，所以6k －5k +18k ＝38，即k ＝2，所以3x +y －2z ＝9k +5k －12k ＝2k ＝4.七、忽视成线段成比例的顺序性例7 已知线段a ＝3 cm ，b ＝5 cm ，c ＝7 cm.试求a 、b 、c 的第四比例项x .错解 因为a 、b 、c 的第四比例项是x ，所以有x ∶a ＝b ∶c ，即x ＝abc，又a ＝3 cm ，b ＝5 cm ，c ＝7 cm ，所以x ＝357⨯＝157.剖析要求a、b、c的第四比例项x，就表示四条线段a、b、c、x成比例，即有a∶b＝c∶x，所以x＝bca，就是说线段成比例得讲究一个顺序性，错解正是忽略了这一点.正解因为四条线段a、b、c、x成比例，即有a∶b＝c∶x，所以x＝bca，又a＝3 cm，b＝5 cm，c＝7 cm，所以x＝573＝353.。
新北师大版九年级数学上册第四章4.1成比例线段第2课时等比性质学案版
第四章图形的相似1.第2课时比例的性质学习目标：了解线比例线段的基本性质；理解并掌握比例的基本性质及其简单应用;学习重点：让学生理解并掌握比例的基本性质及其简单应用。
学习难点：运用比例的基本性质解决有关问题。
学习过程：一、复习：（1）成比例线段定义（2）比例的基本性质nιH（3）若3/7/=2/7,你可以得到一的值吗？一呢？n m二、新课探究（一）合比性质：（1）已知纟=£二3, 求旦和旦hd hd（2）如果-=-=k（A为常数），那么凹=旦成立吗？bd bd（3）如果-= 那么口=□成立吗？为什么？bd bd归纳：如果-=那么。
bd【基础练习1]1、若兰±上=12,则兰=y9yCid3ΓM Q+Z? a-b2、--------------- 已知一=一，则 -- = ___________ , = ,b4b b（二）等比性质ABBCCDAD AB + BC + CD + AD如图，HE'EF'FG'HG的值相等吗？HE+EF+FG+HG的值又是多少？在求解过程中,你有什么发现？【基础练习2] a-c + 2e b-d+2f等比性质：如果—・上 bdn（決於∙∙∙+z?HO ） ,那么 6Z ÷ c , ÷ • —Fmb+d ------- nCI ~b已知f=—=£=丄,且Q+c-e=3,贝1JZ?+J-f=(三)随臺检丽f2填空：1、如果乎弓那么干---- 。
厶若亠丄,则沁的值为b42b3、己知Δ=2,则q=____-4、已知也=?,则纟=_j4y Ci一b3bClCe4r C—2α+3幺厂厂77'则兀亦3?解答题：1、己知爲：力：c=4：3：2,且a-Δ+c=6.(1)求a,b,c的值。
(2)求4日一3決C的值。
2、•若T旦冲",求k的值。
αCb3、已知3 5 7求(i)a+b+c的值b2、5、ωa+2⅛-3c的值a+c。
北师大版九年级数学上册《成比例线段》第2课时示范公开课教学课件
等比性质
如果 ， 那么 .
注意：等比性质的使用条件是分母相加之和不为零，缺少这一条件不能直接使用，需要进行分类讨论.
已知a、b、c、d、e、f 六个数，如果 那么 成立吗？为什么？
设 k 值法.
设 ，用含 k 的式子表示出a、c、e，再代入求解.
解法一：设k值法
证明：设 ，
则 a=kb，c=kd.
解法一：设k值法
解法二：根据等式的性质计算
证明：
合比性质
如果 ， 那么 ， .
B
1∶2
解：当 时， ∴ 当 时，根据等比性质， 有 ∴ k =-1或 k =2.
成比例线段
如果 ， 那么 ， .
若 ，则 的值是多少？
先设 ，然后用k表示出x、y、z，最后代入求解.
分析：
解：设 ，则x=2k、y=3k、z=4k， 那么
解：通过数方格的方式可以得出：
AB=CD=6，AD=BC=10，EF=HG=5，EH=FG=3.
对应边的比值相等，且对应周长的比值相等！
H
E
G
F
解题思路：利用比例式求出线段之间的关系，代入求解即可.
解：由已知得：
AB=2HE，BC=2EF，CD=2FG，AD=2HG，
＝
＝
＝2.
若两个图形对应边的比值相等，则对应周长的比也等于这个值！
注意：等比性质的使用条件是分母相加之和不为零，缺少这一条件不能直接使用，需要进行分类讨论.
如果 ， 那么 .
教科书第81页习题4.2第1、2题
证明：∵ 令 ∴ ∴
题目中为什么要求
已知a、b、c、d、e、f 六个数，如果 那么 成立吗？为什么？
4.1.2等比性质 课件 北师大版数学九年级上册
小组讨论
+
已知a，b，c分别是三角形ABC的三边，满足
=
+
=
+
，且
a+b+c=12
（1）试求 a，b，c 的值；
解: (1)设
所以
+
=
+
+++++
++
=
+
= ,即
= ,
++ + ++
++
= .
因为 + + = ,所以 = ,
自主探究
4.完成以下习题：
+
−
(1)已知 = ,那么
= __________,
= __________.
Biblioteka
++
(2)如果 = = = ,那么
= _____________.
++
+
(3)若
= ,那么 = ________.
九年级北师上册
第2课时 等比性质
学习目标
1.通过阅读课本能熟记等比的基本性质，培养学生的符号意
识；
2.通过合作学习交流，能利用等比的性质进行简单的计算和
证明，培养学生的数感；
3.通过现实情境，进一步培养学生从数学的角度提出、分析
和解决问题的能力，培养学生的数学应用意识，体会数学
4.1 成比例线段 第2课时 等比的性质 公开课获奖课件
11．已知a、b、c为△ABC的三边长，且a＋b＋c＝36，
a 3
＝
b 4
＝
c 5
，求
△ABC三边的长．
解：∵3a＝b4＝5c＝3a＋ ＋b4＋ ＋c5＝a＋1b2＋c＝3162＝3，∴a＝9，b＝12，c＝15
12．若2a＝3b＝4c，且abc≠0，则ca－＋2bb的值是( B )
A．2 B．－2 C．3 D．－3
3．已知x4＝y5＝z7，则下列等式成立的是( D ) A.xx－＋yy＝19 B.x＋zy＋z＝176 C.xx＋＋yy＋－zz＝83 D．y＋z＝3x 4．若ba＝dc＝ef＝2，且b＋d＋f＝4，则a＋c＋e＝__8__．
5．已知a、b、c满足3a＝b4＝6c，a、b、c都不为0，则ac＋ －bb＝_72___． 6．已知x∶y∶z＝2∶3∶4.求2x＋33xy－5z的值．
(2)①当a＋b＋c≠0时，b＋a c＝a＋b c＝a＋c b＝t＝2（aa＋＋bb＋＋cc）＝2，∴t2－t
－2＝22－2－2＝0
②当a＋b＋c＝0时，b＋c＝－a，a＋c＝－b，a＋b＝－c，∴
b＋c a
＝
a＋c b
＝a＋c b＝t＝－1.∴t2－t－2＝0.综上所述，t2－t－2的值为0
方法技能： 已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用 所设的未知数表示出来，实现消元． 易错提示： 注意等比性质成立的条件．
北师版
第四章 图形的相似
4.1 成比例线段
第2课时 等比的性质
知识点一：等比性质
1．已知2a＝b3＝c4，则a＋c b的值是( D )
4 A.5
7 B.4
C．1
5 D.4
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17．我们知道：若ba＝dc，且b＋d≠0，那么ba＝cd＝ba＋＋cd. (1)若b＋d＝0，则a、c满足什么关系？ (2)若b＋a c＝a＋b c＝a＋c b＝t，求t2－t－2的值．
解：(1)∵ab＝dc，b＋d＝0，∴ba＝－cb，即a＝－c.∴a＋c＝0
(2)①当a＋b＋c≠0时，b＋a c＝a＋b c＝a＋c b＝t＝2（aa＋＋bb＋＋cc）＝2，∴t2－t
13．(达州期中)若5a＝b7＝8c，且3a－2b＋c＝3，则2a＋4b－3c的值是( D )
A．14
B．42
C．7
14 D. 3
14．若x2＝y7＝5z，设A＝x＋yy＋z，B＝x＋y z，C＝x＋xy－z，则A，B，C 的大小顺序为( B )
A．A>B>C B．A<B<C C．C>A>B D．A<C<B
知识点二：等比性质的简单应用 8．如果三角形三边长a，b，c满足a3＝b4＝5c且周长为24 cm，那么a，b，c 的长度分别是( B ) A．5 cm，9 cm，10 cm B．6 cm，8 cm，10 cm C．8 cm，6 cm，10 cm D．10 cm，8 cm，6 cm 9．如果ba＝dc＝ef＝k(b＋d＋f≠0)，且a＋c＋e＝3(b＋d＋f)，那么k＝_3___．
＝
54××2233tt＋－63××2211tt－＋79××99tt＝8595
16．阅读下面的解题过程，然后解题：
题目：已知a－x b＝b－y c＝c－z a(a、b、c互相不相等)，求x＋y＋z的值．
解：设a－x b＝b－y c＝c－z a＝k，则x＝k(a－b)，y＝k(b－c)，z＝k(c－a)，于
11．已知a、b、c为△ABC的三边长，且a＋b＋c＝36，
a 3
＝
b 4
＝
c 5
，求
△ABC三边的长．
解：∵3a＝b4＝5c＝3a＋＋b4＋＋c5＝a＋1b2＋c＝3162＝3，∴a＝9，b＝12，c＝15
12．若2a＝3b＝4c，且abc≠0，则ca－＋2bb的值是( B )
A．2 B．－2 C．3 D．－3
北师版
第四章 图形的相似
4.1 成比例线段
第2课时 等比的性质
知识点一：等比性质
1．已知2a＝b3＝c4，则a＋c b的值是( D )
4 A.5
7 B.4
பைடு நூலகம்
C．1
5 D.4
2．已知ba＝dc，则下列式子中正确的是( C )
A．a∶b＝c2∶d2
B．a∶d＝c∶b
C．a∶b＝(a＋c)∶(b＋d)
D．a∶b＝(a－d)∶(b－d)
3．已知x4＝y5＝z7，则下列等式成立的是( D ) A.xx－＋yy＝19 B.x＋zy＋z＝176 C.xx＋＋yy＋－zz＝83 D．y＋z＝3x 4．若ba＝dc＝ef＝2，且b＋d＋f＝4，则a＋c＋e＝__8__．
5．已知a、b、c满足3a＝b4＝6c，a、b、c都不为0，则ac＋－bb＝_72___． 6．已知x∶y∶z＝2∶3∶4.求2x＋33xy－5z的值．
解：由题意，设x＝2k，y＝3k，z＝4k(k≠0)，则
3x 2x＋3y－5z
＝
2×2k＋33××23kk－5×4k＝－67
7．若x2＝y3＝5z，且3x＋2y－z＝14，求x，y，z的值．
解：设x2＝y3＝5z＝k，则x＝2k，y＝3k，z＝5k.∵3x＋2y－z＝14，∴6k＋ 6k－5k＝14.解得k＝2.∴x＝4，y＝6，z＝10
－2＝22－2－2＝0
②当a＋b＋c＝0时，b＋c＝－a，a＋c＝－b，a＋b＝－c，∴
b＋c a
＝
a＋c b
＝a＋c b＝t＝－1.∴t2－t－2＝0.综上所述，t2－t－2的值为0
方法技能： 已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用 所设的未知数表示出来，实现消元． 易错提示： 注意等比性质成立的条件．
15．已知a－2 b＝b－32c＝3c－4 a，求代数式54aa＋－63bb－＋79cc的值．
解：设a－2 b＝b－32c＝3c－4 a＝t，则（a－b）＋（2b＋－32＋c）4 ＋（3c－a）＝t，
即c＝9t.将c＝9t代入
b－2c 3
＝
3c－a 4
＝t，解得b＝21t，a＝23t.∴
5a＋6b－7c 4a－3b＋9c
10．已知在△ABC和△A′B′C′中，AA′BB′＝BB′CC′＝AA′CC′＝23，且△A′B′C′的周长 为80 cm，求△ABC的周长．
解：∵A′B′＋B′C′＋A′C′≠0，根据等比性质，得
AB＋BC＋AC A′B′＋B′C′＋A′C′
＝
2 3
，即
C△8A0BC＝23，∴C△ABC＝1360 cm
是，x＋y＋z＝k(a－b＋b－c＋c－a)＝k·0＝0，
依照上述方法解答下列问题：已知：
y＋z x
＝
z＋x y
＝
x＋y z
(x＋y＋z≠0)，求
xx－＋yy－＋zz的值．
解：设y＋x z＝z＋y x＝x＋z y＝k， 则y＋z＝xk，z＋x＝yk，x＋y＝zk， ∴2(x＋y＋z)＝k(x＋y＋z)， 解得k＝2， ∴y＋z＝2x，z＋x＝2y，x＋y＝2z， 解得x＝y＝z， 则xx－＋yy－＋zz＝－13