【精编】2017-2018年湖南省益阳六中高二(上)数学期中试卷和参考答案(文科)

2017-2018学年湖南省益阳六中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={1，2，3}，集合B={﹣2，2}，则A∩B=（）A．∅B．{2}C．{﹣2，2}D．{﹣2，1，2，3}2．（5分）“x2＞16”是“x＞4”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）如表是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是，则a等于（）A．11.5 B．6.15 C．6.2 D．6.254．（5分）若焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率是，则m等于（）A．B．C．D．5．（5分）2014年3月，为了调查教师对第十二届全国人民代表大会二次会议的了解程度，安庆市拟采用分层抽样的方法从A，B，C三所不同的中学抽取60名教师进行调查．已知A，B，C学校中分别有180，270，90名教师，则从C学校中应抽取的人数为（）A．10 B．12 C．18 D．246．（5分）在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）（n≥2，x1，x2，…，x n不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（）A．﹣1 B．0 C．D．17．（5分）下列各组数中最小的数是（）A．1111（2） B．210（6）C．1000（4）D．101（8）8．（5分）若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是（）A．91.5和91.5 B．91.5和92 C．91和91.5 D．92和929．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出S的值为（）A．1 B．2 C．3 D．410．（5分）从数字1，2，3，4，5这五个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是（）A．B．C．D．11．（5分）下列判断错误的是（）A．命题“若q则p”与命题“若p则q”互为逆命题B．”am2＜bm2”是”a＜b”的充要条件C．“矩形的两条对角线相等”的否定为假D．命题：”∅⊆{1，2}或4∉{1，2}为真”（其中∅为空集）12．（5分）为了了解某校高三学生的视力情况，随机抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组频数和为62，设视力在4.6到4.8之间的学生数为a，最大频率为0.32，则a 的值为（）A．64 B．54 C．48 D．27二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知命题p：∃x∈R，e x＜0，则¬p是．14．（5分）从2男3女共5名同学中任选2名（每名同学被选中的机会均等），这2名都是男生或都是女生的概率等于．15．（5分）求123和48的最大公约数．16．（5分）设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为求（1）双曲线C的方程；（2）写出双曲线的离心率、实轴长、虚轴长、渐近线方程．18．（12分）袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2．（Ⅰ）从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；（Ⅱ）现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．19．（12分）设命题p：函数的定义域为R；命题q：不等式3x﹣9x＜a对一切x∈R均成立．（1）如果p是真命题，求实数a的取值范围；（2）如果命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．20．（12分）北京市为了缓解交通压力，计划在某路段实施“交通限行”，为调查公众对该路段“交通限行”的态度，某机构从经过该路段的人员中随机抽查了80人进行调查，将调查情况进行整理，制成表：（1）若经过该路段的人员对“交通限行”的赞成率为0.40，求x的值；（2）在（1）的条件下，若从年龄在[45，60），[60，75）内的两组赞成“交通限行”的人中在随机选取2人进行进一步的采访，求选中的2人中至少有1人来自[60，75）内的概率．21．（12分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据．（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=x+；（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据第2题求出的回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）22．（12分）如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线上．（Ⅰ）写出该抛物线的方程及其准线方程；（Ⅱ）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率．2017-2018学年湖南省益阳六中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={1，2，3}，集合B={﹣2，2}，则A∩B=（）A．∅B．{2}C．{﹣2，2}D．{﹣2，1，2，3}【解答】解：∵集合A={1，2，3}，集合B={﹣2，2}，∴A∩B={2}．故选：B．2．（5分）“x2＞16”是“x＞4”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由x2＞16，解得：x＞4或x＜﹣4，故x2＞16是x＞4的必要不充分条件，故选：B．3．（5分）如表是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是，则a等于（）A．11.5 B．6.15 C．6.2 D．6.25【解答】解：∵==2.5，==4.5线性回归方程是=﹣0.7x+a，∴a=+0.7 =4.5+0.7×2.5=4.5+1.75=6.25故选：D．4．（5分）若焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率是，则m等于（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，则，化简后得m=1.5，故选：B．5．（5分）2014年3月，为了调查教师对第十二届全国人民代表大会二次会议的了解程度，安庆市拟采用分层抽样的方法从A，B，C三所不同的中学抽取60名教师进行调查．已知A，B，C学校中分别有180，270，90名教师，则从C学校中应抽取的人数为（）A．10 B．12 C．18 D．24【解答】解：根据分层抽样的特征，从C学校中应抽取的人数为；故选：A．6．（5分）在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）（n≥2，x1，x2，…，x n不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（）A．﹣1 B．0 C．D．1【解答】解：由题设知，所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，∴这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1，故选：D．7．（5分）下列各组数中最小的数是（）A．1111（2） B．210（6）C．1000（4）D．101（8）=23+22+21+20=15．【解答】解：1111（2）210（6）=2×62+1×6=78；1000（4）=1×43=64；101（8）=82+80=65；最小，故1111（2）故选：A．8．（5分）若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是（）A．91.5和91.5 B．91.5和92 C．91和91.5 D．92和92【解答】解：由茎叶图可知：这组数据为87，89，90，91，92，93，94，96，所以其中位数为=91.5，平均数为（87+89+90+91+92+93+94+96）=91.5，故选：A．9．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出S的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵输入n的值为3，∴当i=1时，满足继续循环的条件，执行完循环体后，S=1，i=2；当i=2时，满足继续循环的条件，执行完循环体后，S=2，i=3；当i=3时，满足继续循环的条件，执行完循环体后，S=4，i=4；当i=4时，不满足继续循环的条件，故输出的S值为4，故选：D．10．（5分）从数字1，2，3，4，5这五个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵从五个数中随机抽取2个不同的数有C52种不同的结果，而这2个数的和为偶数包括2、4，1、3，1、5，3、5，四种取法，由古典概型公式得到P===，故选：B．11．（5分）下列判断错误的是（）A．命题“若q则p”与命题“若p则q”互为逆命题B．”am2＜bm2”是”a＜b”的充要条件C．“矩形的两条对角线相等”的否定为假D．命题：”∅⊆{1，2}或4∉{1，2}为真”（其中∅为空集）【解答】解：根据互为逆命题的题设和结论要互换位置，得到A答案正确；根据当m=0时，不等式不成立，得到B不正确；矩形的两条对角线相等的逆命题是对角线相等的四边形是矩形，这是一个假命题，得到原命题的否命题是假命题，得到C正确；根据或命题的真假判断，看出组成或命题的两个命题都是真命题，得到或命题是真命题，D正确，综上可知假命题是B．12．（5分）为了了解某校高三学生的视力情况，随机抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组频数和为62，设视力在4.6到4.8之间的学生数为a，最大频率为0.32，则a 的值为（）A．64 B．54 C．48 D．27【解答】解：前两组中的频数为100×（0.05+0.11）=16．∵后五组频数和为62，∴前三组频数和为38．∴第三组频数为22．又最大频率为0.32，故频数为0.32×100=32，∴a=22+32=54，故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知命题p：∃x∈R，e x＜0，则¬p是∀x∈R，e x≥0．【解答】解：∵命题p：∃x∈R，e x＜0是特称命题，∴￢p：∀x∈R，e x≥0，故答案为：∀x∈R，e x≥014．（5分）从2男3女共5名同学中任选2名（每名同学被选中的机会均等），这2名都是男生或都是女生的概率等于．【解答】解：从2男3女5名学生中任选2名学生有=10种选法；其中选出的2名都是女同学的有=3种选法，其中选出的2名都是男同学的有=1种选法，∴这2名都是男生或都是女生的概率是=，故答案为：．15．（5分）求123和48的最大公约数3．【解答】解：辗转相除法求最大公约数的过程如下：（建立带余除式）123=2×48+27，48=1×27+21，27=1×21+6，21=3×6+3，6=2×3+0最后6能被3整除，得123和48的最大公约数为3．故答案为：3．16．（5分）设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于．【解答】解：连接AF1，∵OD∥AB，O为F1F2的中点，∴D为BF1的中点，又AD⊥BF1，∴|AF1|=|AB|．∴|AF1|=2|AF2|．设|AF2|=n，则|AF1|=2n，|F1F2|=n，∴e=====．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为求（1）双曲线C的方程；（2）写出双曲线的离心率、实轴长、虚轴长、渐近线方程．【解答】（1）解：设双曲线方程为（a＞0，b＞0）．由已知得．故双曲线C的方程为．（2）解：双曲线C的方程为．a=，b=1；离心率；实轴长；虚轴长2b=2；渐近线方程．18．（12分）袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2．（Ⅰ）从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；（Ⅱ）现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．【解答】解：（I）从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2．其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有红1蓝1、红1蓝2、红2蓝1，共3种情况，故所求的概率为．（II）加入一张标号为0的绿色卡片后，共有六张卡片，从六张卡片中任取两张，有红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2，红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝2绿0，蓝2绿0，共有15种情况，1其中颜色不同且标号之和小于4的有红1蓝1，红1蓝2，红2蓝1，红1绿0，红绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，共8种情况，2所以概率为．19．（12分）设命题p：函数的定义域为R；命题q：不等式3x﹣9x＜a对一切x∈R均成立．（1）如果p是真命题，求实数a的取值范围；（2）如果命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）若p为真，即恒成立，则，有∴a＞2（2）令，由x∈R得3x＞0，∴y=3x﹣9x的值域是．若q为真，则．由命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，知p，q，一真一假．当p真q假时，a不存在：当p假q真时，．20．（12分）北京市为了缓解交通压力，计划在某路段实施“交通限行”，为调查公众对该路段“交通限行”的态度，某机构从经过该路段的人员中随机抽查了80人进行调查，将调查情况进行整理，制成表：（1）若经过该路段的人员对“交通限行”的赞成率为0.40，求x的值；（2）在（1）的条件下，若从年龄在[45，60），[60，75）内的两组赞成“交通限行”的人中在随机选取2人进行进一步的采访，求选中的2人中至少有1人来自[60，75）内的概率．【解答】解：（1）经过该路段的人员中对“交通限行”赞成的人数为12+14+x+3，因为样本中的赞成率为0.40，所以=0.40，解得x=3．（2）记“选中的2人中至少有1人来自[60，75）内”为事件M．设年龄在[45，60）内的3为调查者分别为A，B，C，年龄在[60，75）内的3为调查者分别为a，b，c，则从这6位被调查者中抽出2人的情况有：{a，b}，{a，c}，{a，A}，{a，B}，{a，C}，{b，c}，{b，A}，{b，B}，{b，C}，{c，A}，{c，B}，{c，C}，{A，B}，{A，C}，{B，C}，共15个基本事件，且每个基本事件等可能发生．其中事件M包括{a，b}，{a，c}，{a，A}，{a，B}，{a，C}，{b，c}，{b，A}，{b，B}，{b，C}，{c，A}，{c，B}，{c，C}，共12个基本事件．所以选中的2人中至少有1人来自[60，75）内的概率P（M）=．21．（12分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据．（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=x+；（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据第2题求出的回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）【解答】解：（1）把所给的四对数据写成对应的点的坐标，在坐标系中描出来，得到散点图如下；（2）由对照数据，计算得=×（3+4+5+6）=4.5，=×（2.5+3+4+4.5）=3.5，=32+42+52+62=86，x i y i=3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5，∴回归方程的系数为==0.7，=3.5﹣0.7×4.5=0.35，∴所求线性回归方程为=0.7x+0.35；（3）由（2）的线性回归方程，估计生产100吨甲产品的生产能耗为0.7×100+0.35=70.35（吨），∴90﹣70.35=19.65吨，预测比技改前降低了19.65吨标准煤．22．（12分）如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线上．（Ⅰ）写出该抛物线的方程及其准线方程；（Ⅱ）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率．【解答】解：（I）由已知条件，可设抛物线的方程为y2=2px∵点P（1，2）在抛物线上∴22=2p×1，得p=2故所求抛物线的方程是y2=4x准线方程是x=﹣1（II）设直线PA的斜率为k PA，直线PB的斜率为k PB则，∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补∴k PA=﹣k PB由A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，得y12=4x1（1）y22=4x2（2）∴∴y1+2=﹣（y2+2）∴y1+y2=﹣4由（1）﹣（2）得直线AB 的斜率赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：BAPl运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。