3.5 函数的极值与最大值最小值
3-5第五节函数的极值与最大值最小值
教
5 9 2 9 22
3
3
案
5
55
2
34
f( ) 3
5
5 25
为极小值
武 由于x=0是不可导点,它的二阶导数不存在,只好用第一判别法.
汉
科 技
f (x) 3 x 2 2 (x 1) 1 5x 2 0,; x 0, f (x) 0;
学 院
3 3x
3 3x
数
理
系
高
等 数
例5 从一块边长为a的正方形铁皮的四角上剪去同样
学 电
大小的小正方形,然后按虚线把四边折起来,组成无盖的
子 教
盒子.问要去多大的小方块使盒子的容积最大?
案
解： :设剪去小方块
武 汉
的边长为x.
a
科
技
学 院
x
数
理
x
系
高
等 数
V x(a 2x)2 , x (0, x / 2)
学
案
定理2 (第一充分条件) 设函数f(x)在点x0连续,且在x0的某
一空心邻域U0(x0,δ)内可导,x ∈U0
武 汉 科
(1)若x<x0时,f’(x)>0;x>x0时,f’(x)<0,则f(x0)为极大值.
技 学 院
(2)若x<x0时,f’(x) < 0;x>x0时,f’(x) > 0,则f(x0)为极小值.
为0.
武 汉
定理1(必要条件) 若函数f(x)在点x0可导且取得极值f(x0),
科
技 学
则f’(x0)=0,
院
数
理
系
高 等
高等数学3.5函数最大值和最小值-精品文档
高等数学
主讲人 宋从芝
3.5 函数的最大值和最小值
本讲概要
闭区间上连续函数的最值
某区间内有唯一极值点 实际问题在开区间内有唯一驻点
一.闭区间上连续函数的最值 存在性
设函数 f(x) 在[a, b]上连续
在闭区间上一定有最大值和最小值。
可能的最值点
y y y
oa
bx
o a
容积最大？
图形：
48 x x 48 (a) 48-2x (b)
48-2x
解 设截去的小正方形的边长为xcm， 铁盒的容积为 据题意，则有 Vcm，
4 Vx 8 2 x 4 0x2 问题归结为：求x为何值时，函数V在区间内(0,24)
2
即，求最大值点。 取得最大值，
x 2 4 82 x 2 V 482x +
2
2 0 0 y 5 kx 4 0 031 k 0 x 0 0值最小,求最小值点。
y 5k x x 400
2
3k
5x3 x2 4 0 0 k x2 4 0 0
令y 0，得
2 5 x3 x 4 0 0
2 2 2 5 x 9 x 4 0 0
x 15 在[0,100]的驻点x=15。
2 0 0 y 5 kx 4 0 031 k 0 x 0 0x1
使用闭区间上求最值的方法， 比较函数值的大小：
y1 5 8 0 k 3
y0 0 0 k 4
最 小 值 为 f 2 8 。
3 2 练习 求函数 fx 在[-2,0]上的 2 x 6 x 1 8 x 7
最大值与最小值。
3.5函数的极值与最大值最小值
做函数 f ( x) 的驻点.
注2: 可导函数 f ( x) 的极值点必定是它的驻点, 但函数的驻点却不一定是极值点.
例如, y x3, y x0 0, 但x 0不是极值点.
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6
2 (第一充分条件)
y f (x) 0
f ( x) 0
f ( x) 0
o
x0
xo
x0
x
求极值的步骤:(不是极值点情形)
(1) 求出导数 f ( x); (2) 求出f ( x)的全部驻点，即方程 f ( x) 0的根;
(3) 考察 f ( x) 在驻点左右的正负号,判断极值点;
(4) 求出各极值点处的函数值.
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0
极
f (x)
大 值
(1,3)
0
3 (3,)
0
0
极 小 值
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9
(4)极大值 f (1) 10, 极小值 f (3) 22. f ( x) x3 3x2 9x 5 图形如下
M
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N
10
3(第二充分条件)设 f ( x)在x0 处具有二阶导数, 且 f '( x0 ) 0, f ''( x0 ) 0, 那末 (1)当 f ''( x0 ) 0时, 函数 f ( x)在 x0 处取得极大值; (2)当 f ''( x0 ) 0时, 函数 f ( x)在 x0 处取得极小值.
（1） 若x0为 极 大 值 点 ， 则x0为 最 大 值 点 ； （2） 若x0为 极 小 值 点 ， 则x0为 最 小 值 点
3.5 函数的极值与最大值最小值
因为在1的左右邻域内f (x)0
所以f(x)在1处没有极值 同理 f(x)在1处也没有极值
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铃
例4已知f(x)x3+ax2bx在x=1处有极值-12,试确定常系数a与b 解 因为f(x)x3+ax2bx,所以 f (x)3x2+2ax+b 因为f(1)=-12为极值点,所以,令f (1)0
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三、数学建模——最优化问题
1.数学建模 数学模型是用数学符号、数学公式、程序、图、表 刻画客观事物的本质的属性、结构与联系。创建一个 数学模型的全过程称为数学建模。为解决一个实际问 题，建立数学模型是一种有效的重要方法．
2.最优化模型 给定一个函数(称为目标函数)，寻找自变量的一个取值使得 对于定义域中所有的情况中，目标函数取得最小值或者最大 值．
f (x)
f(x)
↗
不可导
极大值0
↘
0
极小值
1 2
↗
(4)函数f(x)在区间( 0)和(1 )单调增加, 在区间 (0 1)单调减少. 在点x0处有极大值0，在点x1处有极小值-1/2
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定理3(第二充分条件)
设函数f(x)在点x0处具有二阶导数且f (x0)0 f (x0)0 那么 >>>证明 (2)当f (x0)0时 函数f(x)在x0处取得极小值
M
注意：极值在哪些点处取得？
m
驻点 + 奇点
x1 x2
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x3 x4 x5
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最大值和最小值的求法 (1)求出函数f(x)在(a b)内的驻点和不可导点 设这此点
函数的极值与最大值最小值
x1 x2 x3 x4 x5
定理1(必要条件) 设函数f(x)在点x0处可导, 且在x0处取得极值, 那么f ′(x0)=0. •驻点 使导数f ′(x)为零的点(方程f ′(x)=0的实根)称为函数 f(x)的驻点. 观察与思考： (1) 观察曲线的升降与极值
x1 x2
x3 x4 x5
定理2(第一充分条件)
设函数f(x)在x0处连续, 且在(a, x0)∪(x0, b)内可导. (1)如果在(a, x0)内f ′(x)>0, 在(x0, b)内f ′(x)<0, 那么函数f(x) 在x0处取得极大值; (2)如果在(a, x0)内f ′(x)<0, 在(x0, b)内f ′(x)>0, 那么函数f(x) 在x0处取得极小值; (3)如果在(a, x0)及(x0, b)内 f ′(x)的符号相同, 那么函数f(x) 在x0处没有极值.
1 2 所以当b= d 时, 抗弯截面模量 W 最大, 这时 h = d . 3 3
讨论：
函数f(x)=x4, g(x)=x3在点x=0是否有极值？ >>>
例2 求函数f(x)=(x2−1)3+1的极值. 解 f ′(x)=6x(x2−1)2. 令f ′(x)=0, 求得驻点x1=−1, x2=0, x3=1. f ′′(x)=6(x2−1)(5x2−1). 因为f ′′(0)=6>0, 所以f (x)在x=0处取得极小值, 极小值为f(0)=0. 因为f ′′(−1)=f ′′(1)=0, 所以用定理3无法判别. 因为在−1的左右邻域内f ′(x)<0, 所以f(x)在−1处没有极值. 同理, f(x)在1处也没有极值.
3-5 函数的极值与最大值最小值(高等数学)
§3.5 函数的极值与最大值最小值教学内容：一．函数的极值1．极值的定义：设()f x 在点0x 的某邻域0(,)U x δ内有定义，若对于0(,)U x δ内异于0x 的点x 都满足：（1）0()()f x f x <，则称0()f x 为函数的极大值，0x 称作极大值点；（2）0()()f x f x >，则称0()f x 为函数的极小值，0x 称作极小值点．函数的极大值和极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称作极值点．2．极值的判别法 定理：（极值的必要条件）若可导函数()y f x =在点0x 取得极值，则点0x 一定是其驻点，即0()0f x '=．定理：（极值存在的第一充分条件） 设函数()f x 在0x 处连续，在0x 的某邻域0(,)U x δ内可导，如果满足：（1）当00x x x δ-<<时，()0f x '>；当00x x x δ<<+时，()0f x '<，则()f x 在0x 处取得极大值；（2）当00x x x δ-<<时，()0f x '<；当00x x x δ<<+时，()0f x '>，则()f x 在0x 处取得极小值；（3）当x 在0x 点左右邻近取值时，()f x '的符号不发生改变，则()f x 在点0x 处不取得极值．注：求函数极值的步骤：（1）确定函数的连续区间（初等函数即为定义域）；（2）求导数()f x '并求出函数的驻点和导数不存在的点；（3）利用极值存在的第一充分条件依次判断这些点是否是函数的极值点；（4）求出各极值点处的函数值，即得()f x 的全部极值．定理：（极值存在的第二充分条件）设函数()f x 在0x 点处二阶可导，且0()0f x '=，则（1）若0()0f x ''<，则0()f x 是()f x 的极大值；（2）若0()0f x ''>，则0()f x 是()f x 的极小值；（3）当0()0f x ''=时，0()f x 有可能是极值也有可能不是极值．二．函数的最值1．闭区间上函数的最值（1）设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，根据闭区间上连续函数的性质（最值定理），()f x 在[,]a b 上一定存在最值．而且，如果函数的最值是在区间内部取得的话，那么其最值点也一定是函数的极值点；当然，函数的最值点也可能取在区间的端点上．（2）步骤来求给定闭区间上函数的最值：（i ）在给定区间上求出函数所有可能极值点：驻点和导数不存在的点；（ii ）求出函数在所有驻点、导数不存在的点和区间端点的函数值；（iii ）比较这些函数值的大小，最大者即函数在该区间的最大值，最小者即最小值．2．实际应用中的最值（1）在生产实践和工程技术中，经常会遇到求在一定条件下，怎样才能使“成本最低”、“利润最高”、“原材料最省”等问题．这类问题在数学上可以归结为建立一个目标函数，求这个函数的最大值或最小值问题.（2）对于实际问题，往往根据问题的性质就可以断定函数()f x 在定义区间内部存在着最大值或最小值．理论上可以证明这样一个结论：在实际问题中，若函数()f x 的定义域是开区间，且在此开区间内只有一个驻点0x ，而最值又存在，则可以直接确定该驻点0x 就是最值点，0()f x 即为相应的最值．三．例题讲解例1.求函数32()(1)f x x x =-的极值．例2.求函数22()ln f x x x =-的极值．例3.求函数233()2f x x x =+在区间1[8]8-，上的最大值与最小值．例4.水槽设计问题有一块宽为2a 的长方形铁皮如图3.8所示，将宽所在的两个边缘向上折起，做成一个开口水槽，其横截面为矩形，问横截面的高取何值时水槽的流量最大（流量与横截面积成正比）． 图3.8例5.用料最省问题要做一圆柱形无盖铁桶，要求铁桶的容积V 是一定值，问怎样设计才能使制造铁桶的用料最省？例6.面积最大问题将一长为2L 的铁丝折成一个长方形，问如何折才能使长方形的面积最大．。
高等数学3.5函数的极值与最大值最小值（PDF）
定义 使导数为零的点(即方程 f ( x) 0 的实根)叫 做函数 f ( x) 的驻点.
定理1(必要条件) 设 f ( x) 在 x0 有导数，且在 x0 处
取得极值，则f (x0 ) 0
则 f ( x) 在 x0 取得极大值.
(2) 如果 x ( x0 , x0 ) 有 f ( x) 0 而 x ( x0 , x0 ) 有 f ( x) 0;
则 f ( x) 在 x0 取得 极小值.
y
o
x0
y
(是极值点情形)
xo
x0
x
一、函数极. 值的求法
定理2(第一充分条件)
设f
x
3
x 2, f ( x) 不存在. 但f ( x)在 x 2 连续
当x 2时，f ( x) 0;
M
当x 2时，f ( x) 0.
f (2) 1 是f ( x) 的极大值
一、函数极值的求法
定理1(必要条件) 设 f ( x)在点 x0 处具有导数,且 在 x0处取得极值,那末必定 f '( x0 ) 0.
有 f '( x) 0，则 f ( x)在 x0 处取得极大值. (2)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 )
有 f '( x) 0，则 f ( x)在 x0处取得极小值.
(3)如果当 x ( x0 , x0 )及 x ( x0, x0 )时, f '( x)
若目标函数只有唯一驻点，则该点的函数值 为所求的最值
三、应用举例
例2 敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟 的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的 南岸B处向正东追击，
函数的极值与最值的区别
函数的极值与最值的区别一、前言二、函数的极值函数的极值是指函数在一定区间内取得的最大值或最小值。
根据函数的定义，可以得出一个结论：如果函数在某一点的导数等于0，那么这一点可能成为函数的极值点。
换句话说，在一个函数图像中，函数的极值往往出现在函数图像上呈现出拐点的位置。
回到导数的定义上，导数表示函数随着自变量变化而变化的速率。
在一个函数图像上，如果某一点的导数为0，那么这一点就是函数的极值点。
如果导数为正，那么这一点就是函数的局部最小值，如果导数为负，则是函数的局部最大值。
这种情况通常要注意函数的定义域和值域，还要注意函数的单调性。
函数的最值是指函数在定义域内能够取到的最大值和最小值，包括局部最值和全局最值。
与函数的极值不同的是，函数的最值并不要求函数在某个点的导数等于0，而是所有可能点的函数值的极值。
在数学中，一个函数的最值可以通过指定函数的定义域并计算所有在该定义域内的函数值进行比较而得出。
比如说，对于 +x^2+3x+4 这个函数，其定义域是实数集合，该函数的最小值为（-1,6）时的函数值，最大值为（- \infty，+\infty）时的函数值。
需要注意的是，在某些情况下，函数有可能没有最大值和最小值。
函数的极值一般需要用到导数，因为导数可以告诉我们一个函数在某一点的斜率是多少，从而判断该点是否是局部最大值或最小值。
但是函数的最值并不需要用到导数，而是通过指定定义域并计算所有的函数值进行比较。
函数的极值和最值是非常重要的数学概念，在不同的数学应用场景中都起着重要的作用。
理解这两个概念的异同点，能够对学生们更深入地理解函数及其相关概念。
五、函数极值和最值的应用函数的极值和最值在数学上有着广泛的应用。
其中函数极值主要用于解决函数最大值和最小值的问题，常见的例子包括数学建模中的最优化问题、物理学中的牛顿力学问题和经济学中的生产问题等。
而函数的最值则是应用于优化问题，例如在经济学中，最大化利润和最小化成本都涉及到函数的最值。
函数的极值与最大值最小值
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点.
函数极值的判定法 由费马引理可知可导函数的极值点一定是驻点 .
注意: 1) 函数的极值是函数的局部性质.
2) 对常见函数, 极值可能出现在驻点或导数 不存在的点.
y
3) 函数的最值是函数的全局性质.
x 1 , x4 为极大点 x 2 , x5 为极小点
提示: 利用 f ( x) 单调增加 , 及
f (1) f (0) f ( ) (0 1)
利用导数求函数的最值是导数的又一重要应用.
若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则值的方法: (1) 求 f ( x)在 (a , b) 内的极值可疑点
x1 , x2 , , xm
(2) 最大值
M max f ( x1 ) , f ( x2 ) ,, f ( xm ) , f (a) , f (b)
最小值
m min f ( x1 ) , f ( x2 ) , , f ( xm ) , f (a) , f (b)
特别:
• ●当 f ( x) 在 [a , b]内只有一个极值可疑点时, 若在 此点取极大 (小)值 , 则也是最大 (小)值 . • ●当 f ( x) 在 [a , b]上单调时, 最值必在端点处达到.
(证明略)
例如, 容易验证x=0是 y x2 , x ( , ) 的极小 值点. 而 x=0不是 y x , x ( , ) 的极值点.
3
例3 求函数 f ( x) ( x 1) x 的极值 . 2 x 2 1 2 5 解 1) 求导数 f ( x) x 3 ( x 1) x 3 5 3 3 3x 2) 求极值可疑点 2 令 f ( x) 0 , 得 x1 ; 令 f ( x) , 得 x2 0 5 3) 列表判别
3.5 函数的极值与最大值最小值
19
1 e
练习题
一、 填空题： 1、最值可_____________处取得. 2、函数 y 2 x 3 3 x 2 ( 1 x 4 )的最大值为____ _____；最小值为__________. 3、 函数 y 100 x 2 在[0,8]上的最大值为______ ______；最小值为___________. 54 二、求函数 y x 2 ( x 0)的最值 . x
0
y
y
o
x0
x0 o
x
x
2
(是极值点情形)
设 定理3(第二充分条件 ) f ( x )在 x0 处具有二阶导数, 且 f ' ( x0 ) 0, 那末 '' (1)当 f ( x0 ) 0 时, 函数 f ( x )在 x0 处取得极大值; (2)当 f '' ( x0 ) 0 时, 函数 f ( x )在 x0 处取得极小值; (3)当 f ''(x ) 0 时, 不能确定函数 f ( x )在 x0 处是否取得
0
极值. 证 (1 )
故 fx ( ) fx () 与 x x 异 号 ， 0 0 有 f ( x )f ( x ) 0, 当 x x 0 时 ， 0 0
有 f ( x )f ( x ) 0, 当 x x 0 时 ， 0 0
3 同理可证(2). x f ( x ) 所 以 ， 函 数 在 处 取 得 极 大 值 ． 0
f ( x ) f ( x ) 0 f ( x ) l i m 0, 0 x x 0 x x 0
3 2 例1 求出函数 f ( x ) x 3 x 24 x 20 的极 .
函数的极值与最大值最小值
函数的极值与最大值最小值在数学中，对于一个给定的函数，我们常常关心它的极值以及最大值和最小值。
这些概念在微积分中扮演着重要的角色，不仅在数学理论中有着深刻的意义，也在实际问题中有着广泛的应用。
1. 极值的定义极值是指函数在某个区间内取得的局部最大值或最小值。
具体来说，设函数f(x)在区间I上有定义，若存在$x_0 \\in I$，使得对任意$x\\in I$，有$f(x)\\leqf(x_0)$或者$f(x) \\geq f(x_0)$，则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的一个极大值或极小值。
2. 求极值的方法常见求函数极值的方法有：•导数法：通过求函数的导数（一阶导数或高阶导数）来找到函数的驻点，然后通过二阶导数的符号来判断是极大值还是极小值。
•边界法：求出函数在区间端点处的函数值，以及在可能的间断点处的函数值，然后比较这些值来确定最大值和最小值。
•微分中值定理：借助中值定理的思想，将函数f(x)在区间I上的极值归结为函数导数在该区间上的零点问题。
3. 最大值与最小值与极值类似，函数的最大值和最小值是指函数在定义域内取得的最大值和最小值。
最大值可以是有限值，也可以是无穷大；最小值也可以是有限值，也可以是负无穷。
4. 求最大值最小值的方法确定函数的最大值和最小值，主要采用以下方法：•导数法：同样利用导数的性质来判断函数的最大值和最小值，这一点与求极值的方法类似。
•二次型法：当函数为二次函数时，可以通过完全平方的方式将其转化为标准形式，进而求得最值。
•辅助线法：有时候在求最值的过程中，通过引入一条辅助线，并考虑其和原函数之间的关系，来得到最值的情况。
5. 总结函数的极值和最值是微积分中一个重要的概念，通过对函数的极值和最值进行研究，我们可以更好地理解函数的性质，优化问题和实际问题也经常涉及到函数的极值和最值。
因此，熟练掌握求解函数极值和最值的方法是数学学习中的关键一环。
函数的极值与最大值最小值
∴ f (x) 在 x = ±1处没有极值. 说明 极值的判别法 (定理2 ~ 定理4) 都是充分的. 当这些充分条件不满足时，不能说明极值不存在. 无极值的判断 ① 无可疑极值点的函数必无极值；
② 单调函数无极值； ③ 无定义的点一定不是极值点.
2 x2 的极值. 例5 求函数 f ( x) 2 (1 x)
① 求出 f (x) 在 (a , b) 内的驻点 x1 , x2 , 及不可导点 xm1 , xm2 ,
, xn ;
, xm
② 计算 f ( xi ) (i 1,2, , n) 及 f (a) , f (b) ; ③ 比较大小.
最大值：
M max f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( xn ), f (a), f (b) , f ( xn ), f (a), f (b)
所以，极大值为 f (1) 10 , 极小值为 f (3) 22 .
例4 求函数 f ( x) ( x 2 1)3 1 的极值. 解
f ( x) 6 x ( x 2 1) 2 , f ( x) 6( x 2 1)(5 x 2 1)
令 f ( x) 0, 得驻点 x1 0, x2 1, x3 1
L( x ) R ( x ) C ( x ) ,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
那么生产多少件产品时，利润函数 L(x) 最大？ 解题思路
① 根据题意建立数学模型，即写出利润函数；
② 对利润函数求最值.
例7 已知某厂生产 x 件产品的成本为 1 2 C ( x) 25000 200 x x (元). 40 若产品以每件 500 元售出，要使利润最大，应生产 多少件产品？
1 2 解 利润函数为 L( x) 25000 300 x x 40
函数的极值与最大值最小值
在闭区间 因此也可通过
例4. 铁路上 AB 段的距离为100 km , 工厂C 距 A 处
20
km , AC⊥ AB ,
要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条
公路, 已知铁路与公路每公里货运
价之比为3:5 ,
为使货物从B 运到工
20
厂C 的运费最省,
问D点应如何取?
解: 设
则
总运费
( k 为某常数 )
例7. 一张 1.4 m 高的图片挂在墙上 , 它的底边高
于
观察者的眼睛1.8 m ,
问观察者在距墙多远处看图才最
清楚(视角 最大) ?
解: 设观察者与墙的距离为 x m ,
则
令
得驻点
根据问题的实际意义, 观察者最佳站位存在 ,
唯一, 因此观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚 .
驻点又
例8. 设某工厂生产某产品 x 千件的成本是
即
成本函数 收入函数
即边际收入＝边际成本 （见右图）
亏损最大 收益最大
内容小结
1. 连续函数的极值 (1) 极值可疑点 : (2) 第一充分条件
过 过
使导数为0 或不存在的点
由正变负 由负变正
(3) 第二充分条件
(4) 判别法的推广
定理3
为极大值 为极小值
为极大值 为极小值
定理3
2. 连续函数的最值
定理2 (极值第二判别法)
二阶导数 , 且 则 在点 取极大值 ; 则 在点 取极小值 .
证: (1) 存在
由第一判别法知 (2) 类似可证 .
例2. 求函数
解: 1) 求导数
的极值 .
2) 求驻点 令
3.5函数的极值与最大值最小值
'' ' f ( x ) 0 的驻点用第一充分条件判定 f ( x ) 不存在的点和 5、在
'
小结
极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小
值,极小值可能大于极大值.
驻点和不可导点统称为临界点. 函数的极值必在临界点取得.
f (4) 6(4) 6 18 0,
故有极大值 f ( 4) 60,
f (2) 6 2 6 18 0,
故有极小值 f (2) 48.
f ( x ) x 3 3 x 2 24 x 20 图形如下
y
60 y f ( x )
2 f ( x ) 3 x 6x 9 解: 3( x 1)( x 3), x (, ), 令 f ( x ) 0， 得驻点 x1 1, x2 3. 列表讨论
x
f ( x )
f ( x)
( ,1) 1
( 1, 3)
3
0
极 小 值
当 x 2 时，f ( x ) 0;
y
1
y 1 ( x 2)
2 3
当 x 2 时， f ( x ) 0,
o
1
2 3
x
f (2) 1为 f ( x ) 的极大值.
求函数的极值点和极值的步骤：
1、确定函数的定义域；
2、求 f ( x ) 和 f '' ( x )
定理3(第二充分条件)
设 f ( x )在 x0 处具有二阶导数,
且 f ( x0 ) 0 , f ( x0 ) 0 , 那末
3.5 函数的极值与最大值最小值
3.5函数的极值与 最大值最小值
2 )上的最大值。 下面求V(x)在 (0，
V ( x) 2Cx 4 2 x 2 Cx3 4 x
• 当
在区间内只有一个极值可疑点时,
若在此点取极大(小) 值,则也是最大 (小)值 . • 当 在 上单调时, 最值必在端点处达到.
•
对应用问题, 有时可根据实际意义判别求出的
可疑点是否为最大 值点或最小值点 .
3.5函数的极值与 最大值最小值
例7 从半径为的圆形铁片中剪去一个扇形将剩余部 分围成一个圆锥形漏斗，问剪去的扇形的圆心角多 大时，才能使圆锥形漏斗的容积最大？ 解 设剪后剩余部分的圆心角是 圆锥形漏斗的斜高是R，圆锥底的周长是Rx. Rx 设圆锥的底半径是r，则 r 2 R 2 2 圆锥的高是 R r 4 2 x 2 2 圆锥的底面积为
所以最大值为
最小值为
3.5函数的极值与 最大值最小值 例6 铁路上AB段的距离为100km ,工厂C 距A处20km. AC⊥AB 要在AB线上选定一点D向工厂修一条 , , 公路 已知铁路与公路每公里货运价之比为3:5,为使货 B 问 A x D 物从B 运到工厂C的运费最省, 100 20 D点应如何选取? C 解 设 AD x (km) , 则 CD 202 x 2 , 总运费
2 2
R3 记C V ( x) Cx 2 4 2 x 2 则 2 24
8 2 x 3x3 4 2 x 2
C
2 2 2 得三个驻点0, 2 , 2 2 （0, 2） 3 3 0， 3 2 只剩唯一的驻点x 2 3 已知V（x）在区间内必存在最大值因此V(x)必在
§3-5 极值与最值
一、函数的极值 定义:设f (x) 在某邻域U (x0)内有定义, 对于U (x0)中的任一点x ,
若 (1) f (x) < f (x0), 若 (2) f (x) > f (x0),
则称 x0 为函数 f (x)的极大值点, 称 f (x0)为函数 f (x)的极大值 ;
(最值可能在区间端点处取得，而在端点处不能取得极值)
y
x1 , x4 为极大值点
x 2 , x5 为极小值点
O a x1 x2 x3 x4 x5 b x x3 不是极值点
2
根据费马引理，有以下定理：
定理1 (极值的必要条件) 设f (x)在点 x0 处可导, 且在x0 处取得极值, 则 说明:
(1) 逆定理不一定成立. 驻点可能是极值点，也可能不是.
f (2) 34; f (1) 7;
f (4) 142;
比较得 最大值 f (4) 142，
最小值 f (1) 7.
11
例4. 在数 1, 2, 3 3, , n n, 中求出最大值和最小值. Nhomakorabea1
解: 设 f ( x) x x ( x 1)
则
f ( x)
(e
1 x
的驻点唯一，则该驻点就是最值点。
14
例6.生产产品 x 千件的成本是 C( x) x3 6x2 15x , 售出该产品 x 千件的收入是 R( x) 9x ,
问产量多少时利润最大?
解: 售出 x 千件产品的利润为
L( x) R( x) C( x) x3 6x2 6x
求出的可疑点是否为最大值点或最小值点 .
10
例3 求y 2x3 3x2 12x 14 在[-3,4]上的最大值与最小值.
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3
定理 3 设函数 f x 在 x 0 处具有二阶导数且 f x 0 （1）当 f x 0 （2）当 f x 0 证
0 ， f x 0 0 ，那么
0 时，函数 f x 在 x 0 处取得极大值；
0 时，函数 f x 在 x 0 处取得极小值。
求函数 f x
x 4
3
x
1
2
的极值。
f x 在 R
上连续， f x
5 x 1 33 x 1
在x
1 处无定义。
令 f x
0 ，解得 x 1 ，于是 x 1 可能成为 f x 的极值点。 0 ，在 1,1 内， f x 0 ，
，
当x 当x
0 时， f 0 6 0 ，从而 f x 取得极小值， f 0 0 ； 1 时， f 1 f 1 0 ，从二阶导数无法判定 f x 是否有极值。
U 1 ， f x 0 ，从而 f x 在 x 1 处无极值。
取得极小值； （3）若 x
U x 0 , 时， f x 的符号保持不变，则 f x 在 x 0 处没有极值。
o
定理 1 为可导函数取得极值的必要条件，定理 2 为连续函数取得极值的充 分条件，可结合两个定理讨论函数的极值点。
第三章 微分中值定理与导 数的应用 2
例1 解：
由绝对值函数在零点不可导，可得 f x 在 x 又 f x
1,2 处不可导。
0 ，于是 f x 在 x 1,2 处有最小值 f 1 f 2 0 ，而
x 2 3x 2, x 3,1 2,4 ， f x 2 x 3x 2, x 1,2
1.在 ,1 内， f x 所以 f x 在 x
1 处取得极大值，
0，
2.在 1, 内， f x 所以 f x 在 x 极大值 f 1
1 处取得极小值。
0 ，极小值 f 1 3 3 4
第三章 微分中值定理与导 数的应用
400k
x 0
，y
x 15
380k ， y
x 15
500k 1
1 52
，
15 时， y 取到最小值。
第三章 微分中值定理与导 数的应用
8
f x 在一个区间内可导，且只有一个驻点 x 0 ，并且这个驻点 x 0 是 f x 的极
值点，那么，当 f x 0 是极大值时，f x 0 就是 f x 在该区间上的最大值；当 f x 0 是极小值时， f x 0 就是 f x 在该区间上的最小值。
3 处取得最大值 f 3 20
第三章 微分中值定理与导 数的应用
7
例4
铁路线上 AB 段的距离为 100km。工厂 C 距 A 处为 20km， AC 垂直于 AB 。为
了运输需要，要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修筑一条公路。已知铁路每公里货 运的运费与公路上每公里货运的运费之比为 3：5。为了使货物从供应站 B 运到 工厂 C 的运费最省，问 D 点应选在何处？ 解： 设 AD
x 0 ,x 0 时，f x 0 ，而 x x 0 ,x 0 时，f x 0 ，则 f x 在 x 0 处
o
取得极大值； （2）若 x
x 0 ,x 0 时，f x 0 ，而 x x 0 ,x 0 时，f x 0 ，则 f x 在 x 0 处
第五节 函数的极值与最大值最 小值
一、函数的极值及其求法 定义
o
设函数 f x 在点 x 0 的某邻域 U x 0 内有定义，如果对于去心邻域
U x 0 内的任一 x ，有
f x f x 0 （或 f x f x 0 ） ，
那么就称 f x 0 是函数 f x 的一个极大值（或极小值） 。 函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点 称为极值点。 函数的极大值与极小值概念是局部性的，如果 f x 在点 x 0 上取得 极值 f x 0 ，那只是就 x 0 附近的一个局部范围而言，而对于 f x 的整个 定义域来说， f x 0 未必就是最大值或最小值。
max
1i m , j n 1
min
f x ,f x ,f a ,f b ， f x ,f x ,f a ,f b 。
i j i j
第三章 微分中值定理与导 数的应用
6
例3 解：
求函数 f x
x 2 3x 2 在 3,4 上的最大值与最小值。
这时根据T x 0
0 ，可求得
sin 1
v1
sin 2
v2
，
其中 1 ， 2 分别为 AP 及 PB 与垂直方向的夹角。
第三章 微分中值定理与导 数的应用
10
实际问题中，往往根据问题的性质就可以断定可导函数 最小值，而且一定在定义区间内部取得。这时如果
f x 确有最大值或
f x 在定义区间内只有唯一
驻点 x 0 ，那么不必讨论 f x 0 是不是极值，就可以断定 f x 0 是最值。
例6
把一根直径为 d 的圆木锯成截面为矩形的梁。问矩形截面的高 h 和宽 b 应
如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大？ 解： 抗弯截面模量为W 从而W 故b
1 2 1 bh ，又由 h 2 d 2 b 2 可得W bd 2 b 3 6 6
0 ，从而 f x 与 x x 0 异号，即
x x 0 ,x 0 时， f x 0 ； x x 0 ,x 0 时， f x 0 ，
所以 f x 在 x 0 处取得极大值。 类似地，可证明（2）的情形。
千件的收入是 r x
9x 。问是否存在一个能取得最大利润的生产水平？如果存
在的话，找出这个生产水平。 解： 利润函数 p x
r x c x 处处可导，
故其最大值若存在，则必在驻点上取得。 令 p x
0 ，即 3x 2 12x 6 0 ，解得
x，
第三章 微分中值定理与导 数的应用
9
T x
h12 x 2 v1
h22 l x v2
2
,x 0,l ，
由于
T x
T x
1பைடு நூலகம்
v1
x h x
2 1 2
1
v2
1
l x h l x
2 2 2
,x 0,l ，
x ，则 DB 100 x ， CD
400 x 2
，
设铁路上每公里运费为 3k ，则公路上每公里运费为 5k ，总运费为
y 5k 400 x 2 3k 100 x 0 x 100 ，
导数 y 比较 y 显然 x
5x k 3 ，令 y 0 求得驻点 x 15 ， 2 400 x
1,2, ,m ， f x j j 1,2, ,n 及 f a ， f b ；
（3）比较（2）中诸值的大小，
f x 在 a ,b 上的最大值为 f x 在 a ,b 上的最小值为
1i m , j n 1
第三章 微分中值定理与导 数的应用
4
例2 解：
求函数 f x
x2 1
3
1的极值。
f x 6x x 2 1
，
2
令 f x
0 ，解得 x 1 1 ， x 2 0 ， x 3 1 为 f x 的驻点。
f x 6 x 2 1 5x 2 1
x1 2
2 ， x2 2
2，
又 p x
6x 12 ， p x 1 0 ， p x 2 0 ，
故在 x 2 处达到最大利润，而在 x 1 处发生局部最大亏损。
仅对（1）的情形进行证明。 由于 f x 0
lim
f x f x 0 x x0
x x0
0 ，根据函数极限的局部保号性，
0 ，使得 0 x x 0
时满足
f x f x 0 x x0
0，
而 f x 0
例5
一束光线由空气中 A 点经过水面折射后到达水中 B 点。 已知光在空气中和
水中传播的速度分别是v 1 和v 2 ，光线在介质中总是沿着耗时最少的路径传播。 试确定光线传播的路径。 解： 设 A 点到水面的距离为 AO
h1 ， B
点到水面的距离为 BQ
h2 ， OQ l ，
以水面作为 x 轴，设光线传播路径与 x 轴交于 P 点， OP 于是光线传播路径为折线 APB ，所需时间为
3 d 3
b 0,d ，
1 2 d 3b 2 6
，令W 0 ，解得 b
。
6 d 3
3 d 3
时W 取得最大值，此时 h
d 2 b2
第三章 微分中值定理与导 数的应用
11
例7
假设某工厂生产某产品 x 千件的成本是c x
x 3 6x 2 15x ，售出该产品 x