对数的定义及运算性质

1 = 16
(3)lg100 = x
x=2
(4) − ln e
2
= x.
x = −2
练习5 练习5.填空
1.设 log a 2 = m, log a 3 = n, 则a
2 m +3n
= 108
1+ log 3 2
2.计算：3
+ 100
1 lg 9 2
= 15
对数运算性质如下： 对数运算性质如下： 如果a>0,且a≠1,M>0,N>0 ,那么： 且 那么： 如果 那么
底数
（1）开方运算、对数运算都是指数运算的逆运算。 ）开方运算、对数运算都是指数运算的逆运算。 （2）弄清对数式与指数式的互换是掌握对数意义 ） 及运算的关键
2.对数的基本性质: 2.对数的基本性质: 对数的基本性质
①零和负数没有对数. 零和负数没有对数
(在loga N = b中 a > 0, a ≠ 1, N > 0 , ）
(1).2
log 2 4 log 3 27 lg 7
(2).3 (4).5 (5).e
(3).10
log 5 1 =2
求下列各式中x的值 的值: 例 求下列各式中 的值
2 (1)log64x = − ; 3
x = 64
− 2 3
(2)logx 8 = 6;
⇔ x6 = 8 ⇔ x=6 8= 2
(4). ln10 = 2.303 ⇔ e
2.303
= 10
练习3 练习3.求下列各式的值：
(1) log 2 4; ( 2) log 3 27; ( 3) log 5 125; (4) lg 1000; (5) lg 0.001.
=2 =3 =3 =3 = −3
练习4 计算下列各式的值: 练习4.计算下列各式的值:
②loga1=0
③logaa=1
3.对数恒等式 3.对数恒等式： 对数恒等式
a
loga N
=N
b
log a a = n
n
证明：设 a = N 证明：
⇒ b = log a N
⇒a
log a N
=N
3.对数恒等式 3.对数恒等式： 对数恒等式
a
loga N
=N
n
log a a = n
n
证明：设a = N
⇒ log a a = n
n
⇒ log a N = n
4.常用对数与自然对数的定义 4.常用对数与自然对数的定义: 常用对数与自然对数的定义 (1)以10为底的对数叫做常用对数 以 为底的对数叫做常用对数 为底的对数叫做常用对数. 为了方便,N的常用对数 为了方便 的常用对数log10N 的常用对数 简记为:lgN. 简记为 (2)以e为底的对数叫做自然对数 为底的对数叫做自然对数. 以 为底的对数叫做自然对数 为了方便,N的自然对数 为了方便 的自然对数logeN 的自然对数 简记为:lnN. (e=2.71828…) 简记为
2
表示下列各式： 例 用 log a x, log a y, log a z 表示下列各式：
(1)
xy log a ; z
(2)
log a
x
2 3
y z
.
(1)原式 = log a x + log a y − log a z
1 1 (2)原式 = 2 log a x + log a y − log a z 2 3
则ax=N 又c>0,c≠1,∴logcax=logcN 即xlogca=logcN 一数等于两数比。 一数等于两数比。
log c N ∴x = log c a
log c N 即 log a N = log c a
相对位置不改变， 相对位置不改变，
新的底数可随意。 非1正数） 新的底数可随意。 正数） （ 正数
练习: 已知log95=m,log37=n,用m,n表示log359. 解:∵log935=log9(5×7)=log95+log97
1 1 又log95=m, log9 7 = log32 7 = log3 7 = n 2 2
1 ∴ log 9 35 = m + n 2
n n
小结
1.掌握指数式与对数式的互化 掌握指数式与对数式的互化. 掌握指数式与对数式的互化 2.会由指数运算求简单的对数值 会由指数运算求简单的对数值. 会由指数运算求简单的对数值 3.掌握对数恒等式及其应用 掌握对数恒等式及其应用. 掌握对数恒等式及其应用 4.换底公式及其推论 换底公式及其推论 作业布置： 作业布置：P75 第1、2、3题 、 、 题
练习1 把下列指数式写成对数式： 练习1.把下列指数式写成对数式： 指数式写成对数式
(1).5 = 625 ⇔ log5 625 = 4
4
⇔ log2 64 = 6 1 1 1 − 1 3 ⇔ log27 = − ( 3).27 = 3 3 3 x (4).1.08 = 2 ⇔ log1.08 2 = x
公 式 应 用：
求证： 求证：log a b ⋅ log b c = log a c
log a b ⋅ log b a = 1
log 2 10 ⋅ lg 2 =1 化简： 化简： ln 2 ⋅ log 3 10 ⋅ lg e ⋅ log 2 3 =1
公 式 应 用：
m 求证： 求证： log a n b = log a b n
求下列各式的值： 练习 求下列各式的值： (1)
log 2 (4 × 2 );
7 5
(2)
= 14 + 5 = 19
2 lg 100 . = 5
5
换底公式及其证明: 换底公式及其证明
logc N loga N = ( N > 0, a > 0, a ≠ 1, c > 0, c ≠ 1) logC a 换底公式不难记， 换底公式不难记， 证明:设logaN=x
( 2).2 = 64
6
练习2 把下列对数式写成指数式： 练习2.把下列对数式写成指数式： 对数式写成指数式
1 1 −3 (1). log2 = −3 ⇔ 2 = 8 8 3 (2). log5 125 = 3 ⇔ 5 = 125 (3). lg 0.001 = −3 ⇔ 10−3 = 0.001
m
5 练习: (1)log49×log332=_____
10 (2)log89×log332= 3
不要产生下列的错误： 不要产生下列的错误：
(1). log a ( M + N ) = log a M + log a N M log a M (2). log a = N log a N (3). log a ( MN ) = log a M ⋅ log a N (4). log a M = (log a M )
(1)
log a (M ⋅ N) = log a M + log a N;
(2)
M log = log a M − log a N; a N
log a M = n log a M (n ∈ R ).
n
(3)
例、计算下列各式
(1) log 2 6 − log 2 3 1 ( 2 ) log 5 3 + log 5 3
对数及其运算
学 习 内 容
1.对数的定义 对数的定义. 对数的定义 2.对数的基本性质 对数的基本性质. 对数的基本性质 3.对数恒等式 对数恒等式. 对数恒等式 4.常用对数、自然对数的概念. 常用对数、 常用对数
5.对数的基本运算
6.换底公式及其变式 换底公式及其变式
问题一： 问题一：
假设2000年我国国民经济生产总 年我国国民经济生产总 假设 值为a亿元 如果平均每年增长率 亿元,如果平均每年增长率为 值为 亿元 如果平均每年增长率为8.2%, 年后国民经济生产总值是2000年的 求5年后国民经济生产总值是 年后国民经济生产总值是 年的 多少倍 多少倍？ 解：y=a(1+8.2%)5 =1.0825a 年的1.0825（约等于 约等于1.483）倍 答：是2000年的 年的 ）
3
log3 7 + 3 ⋅ log3 2 log3 56 log3 (7 × 23 ) 另：log 42 56 = = = log3 42 log3 (2 × 3× 7) log3 7 + log3 2 + 1
∵log23=a,∴log32=1/a 又log37=b
3 b+ a = ab + 3 ∴ log 42 56 = 1 b + + 1 ab + a + 1 a
比较指数式、根式（ ）、对数式 对数式： 比较指数式、根式（分数指数幂）、对数式：
表达形式
a
底数 方根
b
指数
N
幂
对应的运算
ab=N
N =a
1 b
乘方， 乘方， 由a，b求N ， 求 开方， 开方， 由N，b求a ， 求 对数， 对数， 由a，N求b ， 求
根指数 被开方数 对数 真数
logaN=b
2 log 5 2 + log 5 3 (3) 1 1 log 5 10 + log 5 0.36 + log 5 8 2 3
6 = log 2 = log 2 2 = 1 = log 3 ⋅ 1 = log 1 = 0 5 5 3 3
log 5 2 ⋅ 3 = =1 3 log 5 10 ⋅ 0.36 ⋅ 8
问题二： 问题二：
假设2000年我国国民经济生产总值 年我国国民经济生产总值 假设 亿元,如果平均每年增长率为 为a亿元 如果平均每年增长率为8.2%, 亿元 如果平均每年增长率 多少年后国民生产总值是 问经过多少年后国民生产总值是2000年 问经过多少年后国民生产总值是 年 的2倍？ 倍