说题比赛--导数
说题比赛--导数 课题
原题展示
已知f (x) 1 x2 ex.
1讨论f (x)的单调性； (2)当x 0时，f x ax 1,求实数a的取值范围.
本题选自2017年全国新课标卷2(文科) 解答题 第21题. 分值：12分. 数据分析：
题号 21
人数 56625
满分人 数
120
零分人 数
29815
平均分 方差 标准差 难度 1.9647 6.4294 2.5356 0.1637
g( x) 0有解（ x>0）
三、说讲解
• 解后反思： • 此题是一个套路题。实质上先探究结论成立
的充分条件，再利用逆否命题证明其必要性。这 类问题一般都不能分参，因为分离了参变量，也 无法求到新函数的最值。 • 全国卷已经在此处题背景：人教B版选修1-1，95页练习B第二、三题
21.单调性，单变量 不等式恒成立
表 2 2016-2017年全国课标卷Ⅱ函数与导数考点分布统计表( 理科)
选择题
填空题
解答题
2016年
2017年 12 函数性质
16 函数性质、几 21 单调性、不等
何意义
式证明、构造函
数解不等式
16 分段函数
21 单调性、构造 函数解不等式
高考重点考查的部分，分值22分以上
综上，a的取值范围是1， .
因式分解可得 必要性的证明
三、说解法（ 解后反思 ）
• 逻辑关系整理：
x 0, g x 0恒成立 x 0, g x g 0 0
g x g0 0当a 1时
当a 1时，x 0, g(x) 0不恒成立
g x 0有解 g x g 0 0有解
(五) 说拓展
(一) 说立意
获奖说课稿：导数的概念
导数的概念(说课稿)人教社·普通高级中学教科书（选修Ⅱ）第三章第一节《导数的概念》导数是近代数学中微积分的核心概念之一，是一种思想方法，这种思想方法是人类智慧的骄傲.《导数的概念》这一节内容，大致分成四个课时，我主要针对第三课时的教学，谈谈我的理解与设计，敬请各位专家斧正.一、教材分析1.1编者意图《导数的概念》分成四个部分展开，即：“曲线的切线”，“瞬时速度”，“导数的概念”，“导数的几何意义”，编者意图在哪里呢？用前两部分作为背景，是为了引出导数的概念；介绍导数的几何意义，是为了加深对导数的理解.从而充分借助直观来引出导数的概念；用极限思想抽象出导数；用函数思想拓展、完善导数以及在应用中巩固、反思导数，教材的显著特点是从具体经验出发，向抽象和普遍发展，使探究知识的过程简单、经济、有效.1.2导数概念在教材的地位和作用“导数的概念”是全章核心.不仅在于它自身具有非常严谨的结构，更重要的是，导数运算是一种高明的数学思维，用导数的运算去处理函数的性质更具一般性，获得更为理想的结果；把运算对象作用于导数上，可使我们扩展知识面，感悟变量，极限等思想，运用更高的观点和更为一般的方法解决或简化中学数学中的不少问题；导数的方法是今后全面研究微积分的重要方法和基本工具，在在其它学科中同样具有十分重要的作用；在物理学，经济学等其它学科和生产、生活的各个领域都有广泛的应用.导数的出现推动了人类事业向前发展.1.3 教材的内容剖析知识主体结构的比较和知识的迁移类比如下表：表1. 知识主体结构比较表2. 知识迁移类比（导数像速度）通过比较发现：求切线的斜率和物体的瞬时速度，这两个具体问题的解决都依赖于求函数的极限，一个是“微小直角三角形中两直角边之比”的极限，一个是“位置改变量与时间改变量之比”的极限，如果舍去问题的具体含义，都可以归结为一种相同形式的极限，即“平均变化率”的极限.因此以两个背景作为新知的生长点，不仅使新知引入变得自然，而且为新知建构提供了有效的类比方法.1.4 重、难点剖析重点：导数的概念的形成过程. 难点：对导数概念的理解.为什么这样确定呢？导数概念的形成分为三个的层次：f (x )在点x 0可导→f (x )在开区间（a ，b ）内可导→f (x )在开区间（a ，b ）内的导函数→导数，这三个层次是一个递进的过程，而不是专指哪一个层次，也不是几个层次的简单相加，因此导数概念的形成过程是重点；教材中出现了两个“导数”，“两个可导”，初学者往往会有这样的困惑，“导数到底是个什么东西？一个函数是不是有两种导数呢？”，“导函数与导数是怎么统一的？”.事实上：（1）f (x )在点x 0处的导数是这一点x 0到x 0+△x 的变化率xy∆∆的极限，是一个常数，区别于导函数. （2）f (x )的导数是对开区间内任意点x 而言，是x 到x +△x 的变化率xy∆∆的极限,是f (x )在任意点的变化率，其中渗透了函数思想. （3）导函数就是导数！是特殊的函数：先定义f (x )在x 0处可导、再定义f (x )在开区间（a ，b ）内可导、最后定义f (x )在开区间的导函数. （4）y = f (x )在x 0处的导数就是导函数)(x f '在x =x 0处的函数值，表示为0|x x y ='这也是求f ′(x 0)的一种方法.初学者最难理解导数的概念，是因为初学者最容易忽视或混淆概念形成过程中几个．．关键词．．．的区别和联系，会出现较大的分歧和差别，要突破难点，关键是找到“f (x )在点x 0可导”、“f (x )在开区间的导函数”和“导数”之间的联系，而要弄清这种联系的最好方法就是类比！用“速度与导数”进行类比.二、目的分析2.1 学生的认知特点. 在知识方面，对函数的极限已经熟悉，加上两个具体背景的学习，新知教学有很好的基础；在技能方面，高三学生，有很强的概括能力和抽象思维能力；在情感方面，求知的欲望强烈，喜欢探求真理，具有积极的情感态度.2.2 教学目标的拟定. 鉴于这些特点,并结合教学大纲的要求以及对教材的分析,拟定如下的教学目标:知识目标：①理解导数的概念.②掌握用定义求导数的方法.③领悟函数思想和无限逼近的极限思想.能力目标：①培养学生归纳、抽象和概括的能力.②培养学生的数学符号表示和数学语言表达能力.情感目标：通过导数概念的学习，使学生体验和认同“有限和无限对立统一”的辩证观 点.接受用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题的积极态度.三、过程分析设计理念：遵循特殊到一般的认知规律，结合可接受性和可操作性原则，把教学目标的落实融入到教学过程之中，通过演绎导数的形成,发展和应用过程，帮助学生主动建构概念.设计意图：创设情景，提出课题.演示曲线的割线变切线的动态过程，为学生提供一个 联想的“源”，从变量分析的角度，巧妙设问，把学习任务转移给学生.问题：割线的变化过程中， ①△x 与△y 有什么变化？②xy ∆∆有什么含义？③x y ∆∆在△x →0时是否存在极限？3.2 概括抽象设计意图：回顾实际问题，抽象共同特征，自然提出：f (x )在x 0处可导的定义．．，完成“导 数”概念的第一层次.曲线的切线的斜率 抽象⇓舍去问题的具体含义归结为一种形式相同的极限0limx yx∆→∆∆ 即f ′(x 0)= 0lim x yx ∆→∆∆=0000()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆（在黑板上清晰完整的板书定义，并要求学生表述、书写，以培养学生的数学符号表示和数学语言表达能力.）设计意图：设置两个探究问题，分析不同结果的原因，并引导学生提出新的问题或猜想，鼓励学生进行数学交流，激发学生进一步探究的热情，从而找到推进解决问题的线索——提出：f (x )在开区间（a ，b ）内可导的定义，完成“导数概念”的第二个层次.. ①研究：函数y =2x +5在下列各点的变化率：（1）x =1，（2）x =2，（3）x =3 ②研究：函数y =x 2 在下列各点的变化率： （1）x =1，（2）x =2，（3）x =3 定义：函数f (x )在开区间．．(a ，b )内每一点可导．．．．．．，就说f (x )在开区间．．．．(a ，b )内可导．．．. 3.4 类比拓展设计意图：回顾“瞬时速度的概念”，渗透类比思想和函数思想．．．．．．．．．．．.让学生产生联想，拓展出：f (x )在开区间（a ，b ）内的导函数的定义，完成“导数”概念的第三层次. 已有认知：物体在时刻t 0的速度： 00000()()limlim .t t s t t s t sv t t∆→∆→+∆-∆==∆∆物体在时刻t 的速度．．00()()lim lim .t t s s t t s t v t t∆→∆→∆+∆-==∆∆新认知：函数f (x )在开区间．．(a ，b )内每一点可导．．．．．．，就说f (x )在开区间．．．．(a ，b )内可导．．．. ⇓点拨：映射→函数对于（a ，b ）内每一个确定的值x 0，对应着一个确定的导数值)(0x f '，这样就在开区间（a ，b ）内构成一个新函数⇓导函数（导数）00()()()limlim x x y f x x f x f x y x x∆→∆→∆+∆-''===∆∆3.5 概念导析设计意图：引导学生用辨析和讨论的方式，反思导数概念的实质，从而突破难点，促成学生形成合理的认知结构.辨析：（1）f ′(x 0)与0(())f x '相等吗？（2）000(2)()limx f x x f x x∆→+∆-∆与f ′(x 0) 相等吗？试讨论:f ′(x 0)与)(x f '区别与联系.反思：“f (x )在点x 0处的导数”，“f (x )在开区间（a ，b ）内的导函数”和“导数”之间的区别和联系.板书：导数概念主体结构示意图f (x )在点x 0处可导↓f (x )在开区间（a ，b ）内可导↓f (x )在开区间（a ，b ）内的导函数↓ 导数3.6 回归体验——体现“导数”的应用价值设计意图：通过随堂提问和讨论例题，增强师生互动，让学生在 “做”中“学”，体验求导的结果表示的实际意义，体验导数运算的作用,体会用导数定义求导的两种方法,产生认可和接受“导数”的积极态度,并养成规范使用数学符号的习惯.想一想：（1）导数的本质是什么？你能用今天学过的方法去解决上次课的问题吗？（第109页练习1、2，第111页练习1、2）有什么感想？（2）“切线的斜率”、“物体的瞬时速度”的本质都是什么？怎样表示？ k =00|)(x x y x f ='='或k =)(x f ' v 0＝00|)(t t s t s ='=' 或 v =)('t s（3）导数还可以解决实际生活中那些问题？你能举例说明吗？例题A 组：①已知S =πr 2，求rS ' ②已知V =34π3R ，求RV ' ③已知y =x 2+3x 求（1）y '；(2) 求y '︱x =2 例题B 组：④已知y =，求y '，并思考y '的定义域与函数在开区间可导的意义3.7引导小结设计意图：引导学生进行自我小结，用联系的观点将新学内容在知识结构、思想方法等 方面进行概括，巩固新知，形成新的认知结构.知识结构：（1）导数的概念（语言表达；符号表示；“f (x )在点x 0处的导数”，“导函数”和“导数” 之间的联系和区别.）；（2）主要数学思想：极限思想、函数思想；（3）用定义求导的方法，步骤； （4）导数的作用.3.8分层作业设计意图：注意双基训练与发展能力相结合,设计递进式分层作业以满足不同学生的多样化学习需求，使他们得到最全面的发展.把教材的第112页的关于“可导必连续”的命题调整为选做题既不影响主体知识建构,又能满足学生的进一步的探究需求.必 做 题:1.教材第114页，第2，3，4题. 2．若f ′(x 0)=a ， （1）求0000()()limx f x x f x x ∆→-∆-∆的值.（2）求000()()lim x f x x f x x x∆→+∆--∆∆的值.思 考 题：1.已知y =x 3 求 （1）y '；（2）y '︱x =0；（3）求曲线在（0，0）处的切线方程.2.讨论y =|x |在x =0处是否可导？ 选 做 题：求证：如果函数y =f (x )在x 0处可导，那么函数y =f (x )在点x 0处连续.四、教法分析依据：循序渐进原则和可接受原则.设计理念:把教学看作是一个由教师的“导”、学生的“学”及其教学过程中的“悟”为三个子系统组成的多要素的和谐整体.教法：支架式过程法，即：a ×b =学习a ：教师启发、诱导、激励、评价等为学生的学习搭建支架，把学习的任务转移给学生.b ：学生接受任务，探究问题，完成任务.a ×b ：以问题为核心，通过对知识的发生、发展和运用过程的演绎、揭示和探究，组织和推动教学.图3：a ×b =“导”×（“学”+“悟”）=“教”ד学”=学习 图4：“学”接 受 | 探 究 |完成4.1 “导” ——引导学生用变量观点去认识△x ，△y 和xy ∆∆, ——引导学生用函数的思想去认识f ′(x 0)向 f ′(x )拓展的过程. ——引导学生联系的观点弄清导数概念之间的区别和联系 “学”——通过具体的导数背景提出问题．．．．. ——通过类比、联想分析问题．．．．. ——通过交流，体验，反思解决问题．．．．“悟”——通过教师的“导”，学生的“学”，“悟”出导数的本质.4.2 借助多媒体显示直观、体现过程的优势来展示割线的动态变化，向学生渗透无限逼近的极限思想，为抽象出导数的概念作必要的准备.4.3 板书设计§3.1.3 导数的概念（主线）1. 定义：函数y=f(x)在x0处可导①研究②研究辨析2. 定义：函数y=f(x)在（a，b）可导例题A组：例题B组：3. 定义：函数y=f(x)在（a，b）内的导函数（导数）4. 区别与联系5. 用导数的定义求f(x)在（a，b）内的导数的方法比较与鉴别6. 小结（知识，方法，思想）区别与联系作业五、评价分析评价模式：围绕教学目标的落实情况，以过程性评价为主，形成性评价为辅，采取及时点评、延时点评与学生自评三结合.既充分肯定学生的思维，赞扬学生的思路，激励学生的思辨，又必须以科学的态度引导学生服从理性，追求真理.主要手段：1．通过“概念导析”，“回归与体验”，进行点评和互评，考察学生对“导数概念”及“导数运算”的掌握情况；考察学生归纳，抽象和概括的能力是否形成，并进行有争对性的及时调整和补充.2．通过引导小结情况，考察学生是否突破了难点,及时调整“问题”导向.3．通过分层作业的完成情况，考察的总体知识结构的同化过程是否完成；通过B组例题和思考题的完成情况，考察学生的数学符号表示和解决实际问题的能力是否形成.调整和补充下一课时的教程.对选做题的完成情况，主要评价优生的个体发展情形.这就是我对这一课时的理解、涉及观点和方法，可能有不当之处，敬请各位专家批评与斧正，谢谢大家！几点说明.本次说课有如下几个基本的特点.1．“以学生为本”的教育观是教学设计的根本指导思想.对学生学习与发展的关系作了认真思考.强调学生的“经历”，“体会”，“感受”的过程学习；从学生的发展出发，通过对学生的“情感”，“态度”，“理性精神”的关注与培养，来优化学生的思维品质.在作业设计方面尽量满足多样化的学习需求.2．在难点的突破上采取了有效的分解策略．．．．．．．.2.1．通过对学生已有的认知结构和学生最近发展区的剖析，充分利用挖掘教材的背景材料，找准了“瞬时速度”与“导函数”，“速度”与“导数”的类比，为学生对导数的理解创设了先机，打开学生从情感上认可和接受．．．.．．．．．．．．．．．．．“．导数．．”．的通道2.2．对导数概念中的几个“重要的关键词．．．．．．”的理解作了恰当的引导和作了精准的导析，搞清它们之间的区别和联系，才能使学生真正的理解“导数”，为学生同化“导数的概念”指明了方向.2.3．在过程分析中设计了“回归体验”，强调注重学生对新知的体验，突出了导数的应用价值，有利于实现情感目标，加快了学生同化概念的进程.2.4．在引导学生小结的过程中，考察学生是否突破了难点，以便进行及时的纠正和补充，分层作业中专门设计突破难点的习题，使突破难点得到了保证.3．形式和内容得到统一，具有很强的操作性.3.1．通过对教材内容、学生情况的分析，较好地解决了“教什么？”--设计中明确指出了知识、能力、情感方面的三维目标；选择了较为恰当的支架过程教法并设计了有操作性的，说出了“怎么教”的具体措施. 教师的组织者、引导者、合作者的身份没有动摇学生的主体地位，更没有否定学生智力发展需要有意识的培养.既不高估学生的理解力，也不抹杀学生所具有创造性.3.2．在教学的第一环节借助了多媒体显示直观、体现过程的优势来展示割线的动态变化，向学生渗透极限思想．．．．．．，为抽象出导数的概念做了积极的准备，这是传统的黑板和粉笔难以做到的.二元一次不等式表示平面区域一、教材分析⒈教材的地位和作用本节课主要内容是新教材高二上第七章第4节第一课时：二元一次不等式表示平面区域。
导数试题竞赛
导数试题竞赛一、选择题（每题3分，共15分）1. 函数 \( f(x) = x^2 \) 在 \( x = 1 \) 处的导数是：A. 0B. 1C. 2D. 32. 若 \( y = \sin(x) \)，则 \( y' \) 在 \( x = \frac{\pi}{2} \) 处的值为：A. 0B. 1C. -1D. 不存在3. 函数 \( g(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 7 \) 的导数 \( g'(x) \) 是：A. \( 9x^2 - 4x + 5 \)B. \( 9x^2 + 4x + 5 \)C. \( 3x^2 - 4x + 5 \)D. \( 3x^2 + 4x - 5 \)4. 已知 \( h(t) = t^3 + t \)，求 \( h'(t) \cdot h''(t) \) 在\( t = 1 \) 处的值是：A. 12B. 13C. 14D. 155. 函数 \( F(x) = \ln(x) \) 的导数 \( F'(x) \) 是：A. \( \frac{1}{x} \)B. \( \frac{x}{x} \)C. \( x \)D. \( \frac{1}{x^2} \)二、计算题（每题10分，共30分）6. 求函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \) 在 \( x = 2 \) 处的导数，并计算该点的切线斜率。
7. 给定函数 \( G(x) = e^x - x^2 \)，求 \( G'(x) \) 并找出\( G'(x) \) 在区间 \( [0, 1] \) 内的最小值。
8. 已知 \( H(x) = \frac{1}{x} \)，求 \( H'(x) \) 并讨论\( H(x) \) 在 \( x > 0 \) 时的单调性。
三、解答题（每题25分，共50分）9. 考虑函数 \( P(x) = 2x^4 - 5x^3 + 3x^2 + 4 \)，求 \( P(x) \) 的导数，并利用导数研究函数 \( P(x) \) 在 \( x > 0 \) 时的增减性。
导数说题——16年全国卷21题ppt课件
(x
1)
令g(x)
(2 x)ex (x 1)2
,
g'(x)
ex (x - 2)2 (x 1)3
1
又因为ex 0, (x - 2)2 1 0,
所以x (,1)时，g' (x) 0, g(x)单调递增；
x (1， )时，g' (x) 0, g(x)单调递减.(x 1).
又x 1时，g(x) ；x 时，g(x) 0；g(2) 0.
14
拓展变式：
1、2015年山东卷理科数学
(21)设函数f (x) ln( x 1) a(x2 x),其中a R. (1)讨论函数f (x)极值点的个数，并说明理由； (2)若x 0, f (x) 0成立，求a的取值范围。
2、2016年山东卷理科数学
(20)已知f
(x)
a(x
ln
x)
2x x2
1
,
a
R.
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)当a 1时，证明 f (x) f ' (x) 3 对于任意的 x 1,2成立。
2
15
题目价值：
• 凭借导数的性质及其应用解决函数问题已经成为 高考数学解答题的必考题型，纵观近几年高考题 ，我们发现导数题年年变，但形变质不变。所以 ，学生解决数学问题，一定要追根溯源，提炼出 题目想要考察的的最原始的数学思想、技巧、方 法和知识点；而教师一定要注重对学生的启发和 引导，引导学生回归教材，研究教材，在此基础 上加强训练学生一题多解，多题一解的能力，使 学生做到举一反三，以不变应万变
故当x (1,)时，f '(x) 0, f (x)在(1,)上单点递增. 又当x 1时，f (x) 0,所以f (x)不存在两个零点； (2)若a e ,则ln(2a) 1,
高中物理竞赛专题 第2讲 导数的应用
知识模块第二讲导数的应用如果你学完上一讲有隔岸观火、雾里看花的感觉，甚至有神魂颠倒、飘飘欲仙的感觉，请不要害 怕，不要彷徨，因为包括牛顿在内的大师们当年的感觉，和你们是一样一样的。
也不要害怕掌握不熟， 对以后学习有什么影响，我们帮你把今后要用的东西给你准备好了：( f (x ) ± g (x ))' = f '(x ) ± g '(x ) ； ( f (x ) ⋅ g (x ))' = f '(x )g (x ) + f (x )g '(x ) ；( f (x )) ' = g (x )f '(x )g (x ) - f (x )g '(x )； f (g (x )) ' = g (x )2f '(g )g '(x ) ；(x n ) ' = nx n -1 ； (sin x ) ' = cos x ； (cos x ) ' = - sin x ； (ln x ) ' = 1； (e x ) ' = e xx在本讲讲详细介绍导数的各种应用。
在练习中体会深化巩固求导的概念和运算。
洛比达法则：这是计算极限的一种常用方法，也可以用来比较小量的阶数. 函数求极值：掌握极值和最值的区别，体会能量取极值的意义。
多元函数极值和条件极值：这是导数与实际生活联系最紧密的领域。
不仅物理问题，许多经济学问题，生活问题都可以用这些方法解决。
小量展开：这是导数在物理竞赛中应用得最多的部分。
小量展开体现的一种逐阶展开、通过 抓住主要矛盾来抽象物理本质的思想。
在使用小量展开中注意体会小量阶数的比较与取舍的关 系。
讲义的风格与上将类似，一个类目的纯数学例题尽量只有一个，但复杂的提供自学例题课后复习 提高。
第一部分 洛比达法则知识点睛有时候会遇到 0/0 型的极限式，即分子分母的极限分别为 0，例如 lim x 2+ x。
全国青年教师素养大赛一等奖导数的概念
当堂监测: f ( x0 2x) f ( x0 ) lim 2 , 1.设 f ( x)是可导函数,若 x 0 ' x f ( x ) B 则 ( )
0
A. -1 B.1 C.0 D.-2 2.若函数 f ( x)在区间 ( a, b) 内可导,且 x0 (a, b) ,
归纳
s s(t1 ) s(t0 ) 物体在t0时刻的平均速度为: t t1 t0
函数值 y 关于 x 的平均变化率为:
y f ( x1 ) f ( x0 ) x x1 x0
当 x1趋于 x0，即x 0 ，如果平均变化率趋于有一 个固定的值，那么这个值就是函数 y f ( x) 在 x0点的瞬 时变化率. (这个值称为:当x 0 时,平均变化率的 极限.) 在数学中，称瞬时变化率为函数 y f ( x) 在 x0 点 在数学中,如果某个变化的量无 的导数. ' 通常用符号 f ( x0 )限地逼近于一个确定的数值，那 表示，记作 么该定值就叫做变化的量的极限. f ( x1 ) f ( x0 ) f ( x0 x) f ( x0 ) ' f ( x0 ) lim lim x1 x0 x 0 x1 x0 x
当 x 0 ,平均变化率趋于3; f
'(2) 3
∴ 水管中的水在2秒时的瞬时水量是3m3/s .
' f 总结: ( x0 ) 反映函数 y f ( x)在 x0处变化快慢程度.
当堂练习:
2 求 f ( x) x 在 x 1 的导数值.
解:
(1 x)2 12 y f (1 x) f (1) x x x 2 x x 2 2 x x ' ' f (1)=2 f (1) lim (2 x)
《导数》优质课比赛说课教案(优秀教学设计)
导数一、教材分析（一）内容分析1.历史背景与作用导数是微积分的基本概念之一，始于17世纪，创始人牛顿和莱布尼兹；它的产生是由于天文学、物理学的发展以及数学自身研究切线、最值和求曲线的弧长、平面图形的面积、几何体的体积的需要；它的产生又大大地推动数学和科学技术的发展，是近现代科学的基础和工具．2.在高中数学中的地位是研究切线、方程、不等式、最值、函数单调性的重要工具，在考纲中是B 级要求．3.思想方法主要有“以直代曲”、“逼近”新的思想方法，用有限认识无限，体现了转化的数学思想，研究问题中几何与代数有机结合，体现了数形结合的思想．二、学情分析1. 有利因素：学生刚刚学过曲线切线的斜率、瞬时速度以及物理学中的速度与加速度，并积累了大量的关于函数变化率的经验；另外，我班学生对数学新内容的学习，有相当的兴趣和积极性，这为本课的学习奠定了基础．2. 不利因素：导数概念建立在极限基础之上，学生没有极限的基础，超乎学生的直观经验，抽象度高；再者，本课内容思维量大，对类比归纳，抽象概括，联系与转化的思维能力有较高的要求，学生学习起来有一定难度．三、目标分析1. 教学目标分析（1）知识与技能目标：①理解导数的概念.②掌握用定义求导数的方法. （2）过程与方法目标：通过让学生感受导数概念的形成过程，让学生掌握从具体到抽象，特殊到一般的思维方法；领悟逼近思想和以直代曲思想；提高类比归纳、抽象概括、联系与转化的思维能力．（3）情感、态度与价值观目标：①通过合作与交流，让学生感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，激发学生对数学知识的热爱，养成实事求是的科学态度．②培养学生正确认识量变与质变、运动与静止等辩证唯物主义观点，形成正确的数学观．2. 教学重、难点【确定依据】依据教学大纲和考试大纲的要求，结合本节内容和本班学生的实际重点：导数的定义和用定义求导数的方法．难点：发现、理解导数的定义及导数几何意义的应用．【难点突破】本课设计上从瞬时速度、切线的斜率两个具体模型出发，由特殊到一般、从具体到抽象利用类比归纳的思想学习导数概念；把新知的核心“可导”和“导数”两个问题结合起来，利用转化的思想与学生已有的对逼近认识相联系，将问题化归为考察一个关于自变量x ∆的函数00()f ()()f x x x F x x+∆-∆=∆当0→x ∆时极限是什么的问题.四、教学方法分析1. 教法、学法：引导发现式教学法，类比探究式学习法教学中遵循“学生为主体，教师为主导，知识为主线，发展思维为主旨”的“四主”原则．以恰当的问题为纽带，给学生创设自主探究、合作交流的空间，指导学生类比探究归纳总结形成导数概念．引导学生经历数学知识再发现的过程，让学生在参与中获取知识，发展思维，感悟数学．2. 教学手段：多媒体辅助教学【设计意图】通过多媒体弥补传统教学的不足，增强教学效果的直观性，帮助学生更好地理解无限逼近和以直代曲的思想，揭示导数本质．五、教学过程分析【确定依据】为更好落实教学目标, 把数学知识的“学术形态”转化为数学课堂的“教学形态”，为学生创设探究空间,让学生充分经历、体验数学知识再发现的过程,从中获取知识,发展思维,感受探索的乐趣.（一）教学环节设计（说明：由于学生最近发展区是曲线切线的斜率、瞬时速度，因此考虑用复习引入比较合理，而复习中用数学的问题情景可以激发学生探索精神和求知欲望，根据导数的概念特征，用类比的方法容易让学生头脑中产生概念的雏形，引入概念就水到渠成了，学生再通过概念的辨析使学生更深刻的认识与理解概念，再通过例题与练习使学生掌握导数的概念并能用概念求导数，从而能较好的完成教学目标．）（二）教学过程（三）板书设计（板书附后）【设计意图】本课使用了电脑投影屏幕，黑板上的板书保留勾勒本课知识发展的主要线索，呈现完整的知识结构体系，用彩色粉笔突出重点，强化学生对新信息的纳入，同时对新学的符号语言的规范使用进行示范.【板书设计】例1．。
市说课比赛：全国卷1导数说课稿(定稿)(word和ppt配套,同名)
导数作为高考考查的知识点已经不是新内容了，随着高考制度不断的完善成熟，导数大题出现了很多经典试题，特别是近几年全国卷重的导数试题，亮点更多。纵观三年来的全国卷试题，导数大题都出现在了压轴题的位置上，且难度有加大的趋势。主要考查特点有：
1，以函数的单调性为铺垫，考查函数的极值和最值
三（2016年全国I高考）已知函数 有两个零点.
（I）求a的取值范围；
（II）设x1，x2是 的两个零点，证明： +x2<2.
【考查目标】第1问考查由零点个数求参数范围问题，解法较多，可直接讨论（较麻烦），可分离参数转化成水平直线与曲线交点个数问题，也可转化成两个函数图像的交点个数问题。第2问证明和自变量有关的不等式，一般考察构造新函数，难度稍大。另外综合考查考生的推理能力、运算能力。
【解题思路】
【试题评价】
2014年全国卷的导数题入手易上受难，很多同学在解决这个问题认为是恒成立问题，直接研究函数 的单调性，但是对函数 求导之后发现 的复杂程度超乎了同学们的接受能力，思维受到限制，不知如何下手。但是把函数 做了一个简单的转换之后，思路就豁然开朗。本题与2012年山东卷的导数题非常的类似，思路基本一样。
2，以曲线的切线为铺垫，考查函数的零点
3，以曲线的切线为铺垫，考查函数中参数的取值范围。
4，以曲线的切线为铺垫，考查不等式的证明
下面我根据近三年全国卷导数大题的考查情况谈一下我自己的认识：
一、2014全国一卷21（12分）
设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 （I）求 （II）证明：
【考查目标】本题主要考查导数的几何意义、不等式的证明，考查分类讨论，利用导数求函数的最值。等价转换，数形结合的数学思想，意在考查学生的逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力。本题的第二问有一定的难度，需要所给的函数进行变形，才能得出要证的结论，考查考生发散思维。
说题比赛-导数课件
【说试题解法】
第二问解法很多，不同的解法体现不同的思维层次和思考角度， 要求学生要有一种勇于探索，敢于实践的精神.
【说试题解法】
方法一 应用分离参数法和洛必达法则
将不等式参变分离，再转化为利用导数求右侧的最大值问题，
但是在求最大值时遇到障碍，原因是右侧取得最值时是
0 0
型，使
得这种方法继续成为困难，本题的高等背景是洛必达法则型问题，
f x f 0 f 0 x f 0 x2 f 0 xn
即ex
1
x
x2
xn
2!，故
ex
n!
x 1
.这样就不难理解本题
2!
n!
的命制过程了
转化与化归的数学思想
ex x 1 e-x -x 1 1 ex 1- x 1- x2 ex x 1
用-x换x
同时乘以 e x
同时乘以x+1
恒成立问题，这是一个重要的信息，可以预判函数在x 0单调递 减时均满足题意。这也是利用导数证明不等式和考查函数单调性
及最值的常见方法）
求导得， gx 1 x2 2x ex a
（而学生通常的想法是令gx 0 求根来求最值，而gx 0无法 求解，那么看看能不能直接判断 gx 的符号，发现不能一下看出
正、负，那么通常采用二次求导来处理这个问题）
【说试题解法】
令 hx 1 x2 2x ex a，求导得 hx x2 4x 1 ex
当 x 0 时， hx 0 ，所以 hx在（0， ）单调递减， 故 hx h0 1 a ，即 gx1 a 。
（i）当 1 a 0 ，即 a 1 时，gx 0
hx
px
x2
0
x2 lim x 0
用导数求解一道物理竞赛题
用导数求解一道物理竞赛题江苏省新海高级中学 李庆 222006第28届全国中学生物理竞赛预赛试卷的最后一题，求MA 绕M 点转动的角速度。
参考解答与评分标准中给出的是“在与M 点固连的参考系中”，建立坐标系进行求解。
对于高二学生，已经学过了导数。
用导数求角速度，更符合高二学生的思维习惯。
为了便于说明，现将原题及参考解答叙述如下：题目：在海面上有三艘轮船，船A 以速度u 向正东方向航行，船B 以速度2u 向正北方向航行，船C 以速度22u 向东偏北45°方向航行。
在某一时刻，船B 和C 恰好同时经过船A 的航线并位于船A 的前方，船B 到船A 的距离为a ，船C 到船A 的距离为2a ，若以此时刻作为计算时间的零点，求在t 时刻B 、C 两船间距离的中点M 到船A 的连线MA 绕M 点转动的角速度。
参考解答：以t = 0时刻船A 所在的位置为坐标原点O ，作如图1所示平面直角坐标系Oxy ，x 轴指向正东，y 轴指向正北。
可以把船C 的速度分解成正东方向的分速度v x 和沿正北方向的分速度v y 两个分量。
根据题意有：v x = v y = 2u （1）在t 时刻，三船的位置如图1所示。
B 、C 二船在y 方向位移相等，两船的连线BC 与x 轴平行，两船间的距离：BC = a + 2 u t （2） BC 的中点M 到B 的距离为：a / 2 + u t 。
中点M 的坐标分别为 x M = a + a / 2 + u t = 3 a / 2 + u t （3）y M = 2 u t （4） 可见M 点沿x 方向的速度为u ，沿y 方向的速度为2u ，在t = 0时刻BC 的中点在x 轴上，其x 坐标为3 a / 2。
在与M 点固连的参考系中考察，并建立以M 为原点的直角坐标系M x / y / ，x / 轴x 轴平行，y / 轴y 轴平行，则相对M ，船A 的速度只有沿负y / 方向的分量，有u AM = u AM y '= －2 u （5） 在时刻t ，船A 在坐标系M x / y / 中的坐标为： x /A = －3 a / 2 （6） y /A = u AM t （7） 可以把A 船的速度分解为沿连线MA 方向的分量u AM1和垂直于连线MA 方向的分量u AM2两个分量，u AM1使连线MA 的长度增大，u AM2使连线MA 的方向改变，如图2所示。
2020-2022年全国新高考导数说题
【解析】
法一：在曲线 y ex 上任取一点 P t,et ，对函数 y ex 求导得 y ex ，
所以，曲线 y ex 在点 P 处的切线方程为 y et et x t ，即 y et x 1t et ， 由题意可知，点 a,b 在直线 y et x 1tet 上，可得 b aet 1tet a 1tet ， 令 f t a 1tet ，则 f t a tet . 当 t a 时， f t 0 ，此时函数 f t 单调递增， 当 t a 时， f t 0 ，此时函数 f t 单调递减， 所以， f t f a ea ，
p2m p1 p2m
，
又 p1 1,
p2
1,, p2m 1 ，
p1 p2m
p2 p2m1
p1 p2m
H (Y ) H (X ) 0 ，H (X ) H (Y ) ，故 D 错误．故选： AC
5.（2022 年第 7 题）设 a 0.1e0.1, b 1，c ln 0.9 ，则（ ） 9
2、（2022·新高考Ⅰ卷 T15）若曲线 y (x a)ex 有两条过坐标原点的切线，则 a
的取值范围是______________． 【分析】此题考查导数的几何意义，充分体现了数学运算核心素养，属于中档题。
【解析】∵ y ( x a)ex ，∴ y (x 1 a)ex ，
设切点为 x0, y0 ,则 y0 x0 aex0 ,切线斜率 k x0 1 aex0 , 切线方程为： y x0 aex0 x0 1 aex0 x x0 , ∵切线过原点，∴ x0 aex0 x0 1 aex0 x0 ,
最为简单。在注意到敏感数字 0.1，故将三个数用 0.1 来表示得：
b= 1 9
1 10 1
导数小题分享教案模板范文
课时：1课时年级：高中学科：数学教学目标：1. 理解导数的概念，掌握导数的求法。
2. 学会运用导数解决实际问题，提高解题能力。
3. 培养学生合作交流、探究发现的能力。
教学重点：1. 导数的概念及求法。
2. 导数在实际问题中的应用。
教学难点：1. 导数的概念的理解。
2. 导数在实际问题中的应用。
教学过程：一、导入1. 复习函数的概念，引导学生回顾函数的增减性、最值等性质。
2. 提出问题：如何研究函数的增减性、最值等问题？二、新课讲授1. 引入导数的概念：导数是研究函数在某一点处变化率的一个数学工具。
2. 举例说明导数的求法，如求直线、二次函数、指数函数等的导数。
3. 强调导数的几何意义：导数表示函数在某一点处的切线斜率。
三、课堂练习1. 基础练习：求下列函数的导数。
（1）f(x) = x^2（2）g(x) = e^x（3）h(x) = ln(x)2. 应用练习：利用导数解决实际问题。
（1）已知函数f(x) = x^3 - 3x，求f(x)在x=2处的切线方程。
（2）已知函数f(x) = 2x^2 - 4x + 1，求f(x)在区间[1,3]上的最大值和最小值。
四、讨论与交流1. 学生分组讨论，交流导数的概念、求法及在实际问题中的应用。
2. 邀请学生代表分享自己的解题思路和心得。
五、总结与作业1. 总结本节课所学内容，强调导数的概念、求法及在实际问题中的应用。
2. 布置作业：完成课后习题，巩固所学知识。
教学反思：1. 本节课通过引入实际问题，引导学生理解导数的概念，提高学生对导数的认识。
2. 通过课堂练习和讨论，培养学生的合作交流、探究发现的能力。
3. 注重实际应用，让学生体会到导数在解决实际问题中的重要性。
板书设计：一、导数的概念1. 定义：导数是研究函数在某一点处变化率的一个数学工具。
2. 几何意义：导数表示函数在某一点处的切线斜率。
二、导数的求法1. 直线的导数：斜率2. 二次函数的导数：2x3. 指数函数的导数：e^x4. 对数函数的导数：1/x三、导数在实际问题中的应用1. 求切线方程2. 求函数的最值。
解题比赛之导数课件-江西省上饶市2020年度数学教师教学能力比赛
④试题立意
1、以数学基础知识和基本技能立意的试题
数学基础知识是指数学概念系统和数学命题系统。数学基本技能是指建立在数学基本概念、 基本性质和重要定理等基础上的程序技能，包括运算技能、画图技能、推理技能和运用数 学工具技能。以数学基础知识和基本技能立意的试题一般可由课本的例题、习题和复习题 加工、改造、整合而成。此类题平和、平常，贴近教学实际，是学生熟悉的题型。第18题 考查了极值点，解一元二次不等式，向量数量积的坐标运算，有限集子集的个数以及集合 的交、并、补运算能力。
对于命题q,由A有唯一子集，知A 即a(x2 2x) 9 0无解. 1、当a 0时,方程显然无解,即a 0符合题意； 2、当a 0时,方程要无解则 4a2 36a 0 0a9 即q为真时, a的取值范围是0 a 9
由p q为真, p q为假, 命题p和q一真一假 方法一: 1、当p真q假时, 有aa02或或aa97 a 2或a 9
2、以数学思想为立意的试题
数学思想是在数学知识的认知、数学思维的形成和数学方法的掌握过程中形成对数学科学 的宏观把握和对其精神实质的领悟。此题考查的数学思想有转化化归思想，分类讨论思想 等。
⑤题目变式
1、最后的条件改为: p q为真, p q为真,求实数a的取值范围.
2、命题p中的一个条件改为: m [1,2]，不等式a2 4a 8 | x1 x2 | 恒成立. 3、最后的条件改为：命题p和命题q的真假性相同.求实数a的取值范围.
②分析思路 对f (x)求导可得: f '(x) x2 2m x 9.令f '(x) 0,再由韦达定理
可得x1 x2 2m; x1x2 9从而得到| x1 - x2 | 4m2 36.题中的不 等式则转化为a2 5a 8 | x1 - x2 |min,从而解出一元二次不等式.对 于第二个命题，集合A有唯一的子集得出A ,再由向量的数量 积坐标运算得a(2x2 2x) 9 0无解,分a 0和a 0且 0两类讨 论求出a的取值范围.最后再围绕p和q一真一假得出最后a的取值范 围.
赛前指导：导数第1讲(主讲人：刘蒋巍)
赛前指导：导数第1讲主讲人：刘蒋巍1. 当[3,3]x ∈-时，函数3()|3|f x x x =-的最大值为_____.【答案】18 【解析】设3()3,[3,3]g x x x x =-∈-，2()333(1)(1)g x x x x '=-=-+.因为(1)2g -=，(1)2g =-，(3)18g =，(3)18g -=-，根据()g x 的单调性结合绝对值的性质知3()3f x x x =-的最大值为18.2. 已知直线l 是函数f (x ) = 2ln x + x 2图象的切线，当l 的斜率最小时，l 的方程是 .【答案】4x - y - 3 = 0 【解析】函数2()2ln f x x x =+的导函数2()2,0f x x x x'=+>，从而2()24f x x x'=+≥，当且仅当x = 1时等号成立. 所以直线l 的斜率最小值为4，此时切点为(1,1)，切线方程为4x - y - 3 = 0. 3. 函数()()()221f x x x =-+在区间[]0,2上的最大值是 ，最小值是 . 【答案】0，-4 【解析】极小值－4，端点函数值f (2)=0，f (0)=－2，最小值－4，最大值0.4. 已知,a b 为实数，2a >，函数()|ln |(0)af x x b x x=-+>. 若(1)1,(2)ln 212ef e f =+=-+. (1) 求实数,a b ； (2) 求函数()f x 的单调区间； (3) 若实数,c d 满足,1c d cd >=，求证：()()f c f d <. 【答案】(1) 由题设f (1) = e + 1，f (2) =2e-ln2 + 1得 |a | + b = e + 1，|ln2-2a | + b =2e- ln2 + 1， 因为a > 2，所以a > 2ln2，从而a + b = e + 1，且2a + b =2e+ 1， 解得a = e ，b = 1. .......................................................... 5分 (2) 由(1)得f (x ) = |ln x -e x | + 1. 因为ln x -e x 在(0,+∞)上均单调递增，ln e -ee= 0. 令g (x ) = ln x -ex，所以有： 当x > e 时，g (x ) > g (e ) = 0，从而f (x ) = ln x -ex + 1单调递增； 当0 < x < e 时，g (x ) < g (e ) = 0，从而f (x ) = ln x -ex+ 1单调递减.故f (x )的单调递减区间为(0,e )；单调递增区间为(e,+∞). ................................ 15分 (3) 因为c > d ，cd = 1，所以1d c=，c > 1，于是f (c ) = |e c - ln c | + 1，f (d ) = f (1c) = |ec + ln c | + 1 = ec + ln c + 1.又因为当c > 1时，ec + ln c > ln c +e c > |ln c -ec|，所以f (c ) < f (d ).命题得证. ....................................................................................... 20分5. 设实数a ，b 满足1012a b ≤≤≤≤. 证明：2()cos cos b a a b ππ-≤-． 【答案】设f (x ) = 2x +cos πx ，欲证不等式转化为f (b ) ≤ f (a ).由于f ′(x ) = 2-πsin πx ，f ″(x ) = - π2cos πx .当x ∈(0,12)时，f ″(x ) = - π2cos πx ＜0，当x ∈(12,1)时，f ″(x ) = - π2cos πx ＞0， 所以f ′(x )在区间[0,12]上单调减，在区间[12,1]上单调增.因为f ′(0) = f ′(1) = 2和f ′(12) = 2-π＜0，所以存在α和β，0＜α＜12＜β＜1，使得f ′(α) = f ′(β) = 0，f ′(x )＜0当且仅当x ∈(α,β). ..................................10分 于是函数f (x )在区间[0,α]和[β,1]上单调增，在区间[α,β]上单调减.因为f (0) = f (12) = f (1) = 1，故对于x ∈[0,12]有f (x )≥1，对于x ∈[12,1]有f (x )≤1. 特别地，f (b ) ≤ 1 ≤ f (a ). .......................................................20分6. 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线xbax y +=2(a ，b 为常数)过点)5,2(-P ，且该曲线在点P 处的切线与直线0327=++y x 平行，则b a +的值是 .【答案】3- 【解析】曲线2b y ax x =+过点(2,5)P -，则452ba +=-①， 又22b y ax x '=-，所以7442b a -=-②，由①、②解得1,2.a b =-⎧⎨=-⎩所以3a b +=-.7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数f (x ) = e x (x > 0)的图象上的动点，该图象在P处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是 .【答案】11()2e e -+ 【解析】设00(,),x P x e 则000:()x x l y e e x x -=-，∴00(0,(1))x M x e -. 过点P 作l 的垂线000()x x y e e x x --=--，∴000(0,)x x N e x e -+.∴00000000011[(1)]()22x x x x x x t x e e x e e x e e --=-++=+-，0001()(1)2x x t e e x -'=+-，所以，t 在(0,1)上单调增，在(1,)+∞单调减，∴01x =，max 11()2t e e =+.8. 将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S = (梯形的周长)2梯形的面积，则S 的最小值是 .【解析】如图，△ABC 是边长为1的正△，EF ∥BC ，四边形BCFE 为梯形；设AE =x (0 < x < 1)，则梯形BCFE 周长 = 3-x ，梯形BCFE 面积=(1-x 2)34，所以据题意知： S =(3－x)234(1－x 2)=4(3－x)23(1－x 2)(0 < x <1).对S (x )求导，令S '(x )=0，联系0<x <1得x =13，又0<x <13，S '(x )<0，13<x <1，S '(x )>0.所以当x =13时，S (x )有最小值S (13) = 3233.9. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线3:103C y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 . 【答案】(-2,15)10. 设函数3()31()f x ax x x R =-+∈，若对于任意的x ∈[-1,1]都有()0f x ≥成立，则实数a的值为 .【答案】4 【解析】①若0x =，则不论a 取何值，()0f x …显然成立； ②当0x >，即(]0,1x ∈时，()3310f x ax x =-+…可化为2331a x x -…， 设()2331g x x x =-，则()()4312'x g x x -=，所以()g x 在区间10,2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增， 在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故()max 142g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，从而4a …；③当0x <，即[)1,0x ∈-时，()3310f x ax x =-+…可化为2331a x x-…， ()()4312'0x g x x-=>，()g x 在区间[)1,0-上单调递增，因此()()max 14g x g =-=，从而4a …． 综上所述4a =．1B。
导数典型例题(含答案)
导数典型例题导数作为考试内容的考查力度逐年增大.考点涉及到了导数的所有内容，如导数的定义，导数的几何意义、物理意义，用导数研究函数的单调性，求函数的最（极）值等等，考查的题型有客观题（选择题、填空题）、主观题（解答题）、考查的形式具有综合性和多样性的特点.并且，导数与传统内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的综合考查成为新的热点.一、与导数概念有关的问题【例1】函数f (x )=x (x -1) (x -2)…(x -100)在x=0处的导数值为 A.0 B.1002 C.200 D.100！ 解法一 f ＇(0)=xf x f x ∆-∆+→∆)0()0(lim=xx x x x ∆--∆-∆-∆∆→∆0)100()2)(1(lim=lim 0→∆x (Δx -1)(Δx -2)…(Δx -100)=（-1）（-2）…（-100）=100！ ∴选D.解法二 设f (x )=a 101x 101+ a 100x 100+…+ a 1x +a 0，则f ＇(0)= a 1，而a 1=（-1）（-2）…（-100）=100！. ∴选D.点评 解法一是应用导数的定义直接求解，函数在某点的导数就是函数在这点平均变化率的极限.解法二是根据导数的四则运算求导法则使问题获解.【例2】 已知函数f (x )=nn n k k n n n n x c nx c k x c x c c 1121221++++++ ，n ∈N *，则 x x f x f x ∆∆--∆+→∆)2()22(lim= .解 ∵xx f x f x ∆∆--∆+→∆)2()22(lim=2xf x f x ∆-∆+→∆2)2()22(lim+[]xf x f x ∆--∆-+→∆-)2()(2lim=2f ＇(2)+ f ＇(2)=3 f ＇(2)，又∵f ＇(x )=1121--+++++n n n k k n n n x c x c x c c ，∴f ＇(2)=21（2nn n k n k n n c c c c 222221+++++ ）=21[(1+2)n -1]= 21(3n -1). 点评 导数定义中的“增量Δx ”有多种形式，可以为正也可以为负，如xm x f x m x f x ∆--∆-→∆-)()(000lim，且其定义形式可以是xm x f x m x f x ∆--∆-→∆)()(000lim，也可以是00)()(limx x x f x f x --→∆（令Δx =x -x 0得到），本题是导数的定义与多项式函数求导及二项式定理有关知识的综合题，连接交汇、自然，背景新颖.【例3】 如圆的半径以2 cm/s 的等速度增加，则圆半径R =10 cm 时，圆面积增加的速度是 .解 ∵S =πR 2，而R =R (t )，t R '=2 cm/s ，∴t S '=t R )π(2'=2πR ·t R '=4πR ，∴t S '/R =10=4πR/R =10=40π cm 2/s.点评 R 是t 的函数，而圆面积增加的速度是相当于时间t 而言的（R 是中间变量），此题易出现“∵S =πR 2，S ＇=2πR ，S ＇/R =10=20π cm 2/s ”的错误.本题考查导数的物理意义及复合函数求导法则，须注意导数的物理意义是距离对时间的变化率，它是表示瞬时速度，因速度是向量，故变化率可以为负值.2004年高考湖北卷理科第16题是一道与实际问题结合考查导数物理意义的填空题，据资料反映：许多考生在求出距离对时间的变化率是负值后，却在写出答案时居然将其中的负号舍去，以致痛失4分.二、与曲线的切线有关的问题【例4】 以正弦曲线y =sin x 上一点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是A.⎦⎤⎢⎣⎡4π,0∪⎥⎦⎤⎢⎣⎡π,4π3 B. []π,0 C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡4π3,4π D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4π,0∪⎦⎤⎢⎣⎡4π3,2π 解 设过曲线y =sin x 上点P 的切线斜率角为α，由题意知，tan α=y ＇=cos x . ∵cos x ∈[-1，1]， ∴tan α∈[-1，1]，又α∈[)π,0，∴α∈⎦⎤⎢⎣⎡4π,0∪⎥⎦⎤⎢⎣⎡π,4π3.故选A.点评 函数y =f (x )在点x 0处的导数f ＇(x 0)表示曲线，y =f (x )在点（x 0，f (x 0)）处的切线斜率，即k =tan α(α为切线的倾斜角)，这就是导数的几何意义.本题若不同时考虑正切函数的图像及直线倾斜角的范围，极易出错.【例5】 曲线y =x 3-ax 2的切线通过点（0，1），且过点（0，1）的切线有两条，求实数a 的值.解 ∵点（0，1）不在曲线上，∴可设切点为（m ,m 3-am 2）.而y ＇=3x 2-2ax ， ∴k 切=3m 3-2am ，则切线方程为y =(3m 3-2am )x -2m 3-am 2. ∵切线过（0，1），∴2m 3-am 2+1=0.(*)设（*）式左边为f (m )，∴f (m )=0，由过（0，1）点的切线有2条，可知f (m )=0有两个实数解，其等价于“f (m )有极值，且极大值乘以极小值等于0，且a ≠0”.由f (m )=2m 3-am 2+1，得f ＇(m )= 6m 3-am 2=2m (3m -a )，令f ＇(m )=0，得m =0，m =3a， ∴a ≠0，f (0)·f (3a )=0，即a ≠0，-271a 3+1=0，∴a =3.点评 本题解答关键是把“切线有2条”的“形”转化为“方程有2个不同实根”的“数”，即数形结合，然后把三次方程（*）有两个不同实根予以转化.三次方程有三个不同实根等价于“极大值大于0，且极小值小于0”.另外，对于求过某点的曲线的切线，应注意此点是否在曲线上.三、与函数的单调性、最（极）值有关的问题【例6】 以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是A.①、②B.①、③C.③、④D.①、④解 由题意知导函数的图像是抛物线.导函数的值大于0，原函数在该区间为增函数；导函数的值小于0，原函数在该区间为减函数，而此抛物线与x 轴的交点即是函数的极值点，把极值点左、右导数值的正负与三次函数在极值点左右的递增递减结合起来考虑，可知一定不正确的图形是③、④，故选C.点评 f ＇(x )>0（或<0）只是函数f ＇(x )在该区间单递增（或递减）的充分条件，可导函数f ＇(x )在(a ，b )上单调递增（或递减）的充要条件是：对任意x ∈(a ，b )，都有f ＇(x )≥0(或≤0)且f ＇(x )在(a ，b )的任意子区间上都不恒为零.利用此充要条件可以方便地解决“已知函数的单调性，反过来确定函数解析式中的参数的值域范围”问题.本题考查函数的单调性可谓新颖别致.【例7】函数y =f (x )定义在区间（-3，7）上，其导函数如图所示，则函数y =f (x )在区间（-3，7）上极小值的个数是 个.解 如图，A 、O 、B 、C 、E 这5个点是函数的极值点，观察这5个极值点左、右导数的正、负，可知O 点、C 点是极小值点，故在区间（-3，7）上函数y =f (x )的极小值个数是2个.点评 导数f ＇(x )=0的点不一定是函数y =f (x )的极值点，如使f ＇(x )=0的点的左、右的导数值异号，则是极值点，其中左正右负点是极大值点，左负右正点是极小值点.本题考查函数的极值可以称得上是匠心独运.【例8】 设函数f (x )与数列{a n }满足关系：①a 1>α，其中α是方程f (x )=x 的实数根；②a n+1=f (a n )，n ∈N *；③f (x )的导数f ＇(x )∈（0，1）.（1）证明：a n >α，n ∈N *；（2）判断a n 与a n+1的大小，并证明你的结论. （1）证明：（数学归纳法）当n =1时，由题意知a 1>α，∴原式成立. 假设当n =k 时，a k >α，成立. ∵f ＇(x )>0，∴f (x )是单调递增函数.∴a k+1= f (a k )> f (α)=α，（∵α是方程f (x )= x 的实数根）即当n =k +1时，原式成立.故对于任意自然数N *，原式均成立.（2）解：g (x )=x -f (x ),x ≥α，∴g ＇(x )=1-f ＇(x )，又∵0< f ＇(x )<1，∴g ＇(x )>0. ∴g ＇(x )在[)+∞,α上是单调递增函数.而g ＇(α)=α-f (α)=0，∴g ＇(x )>g (α) (x >α)，即x >f (x ). 又由（1）知，a n >α，∴a n >f (a n )=a n+1.点评 本题是函数、方程、数列、导数等知识的自然链接，其中将导数知识融入数学归纳法，令人耳目一新.四、与不等式有关的问题【例9】 设x ≥0，比较A =xe -x ，B =lg(1+x )，C =xx +1的大小.解 令f (x )=C -B=xx +1-lg(1+x )，则f ＇(x )=xx x ++-+1)1(2)11(2>0，∴f (x )为[)+∞,0上的增函数，∴f (x )≥f (0)=0，∴C ≥B .令g (x )=B -A =lg(1+x )-xe -x，则当x ≥0时，g ＇(x )=xx e x +---1)1(12≥0，∴g (x )为[)+∞,0上的增函数，∴g (x )≥g (0)=0，∴B ≥A .因此，C ≥B ≥A （x =0时等号成立）.点评 运用导数比较两式大小或证明不等式，常用设辅助函数法，如f (a )=φ(a )，要证明当x >a 时，有f (a )=φ(a )，则只要设辅助函数F (x )= f (a )-φ(a )，然后证明F (x )在x >a 单调递减即可，并且这种设辅助函数法有时可使用多次，2004年全国卷Ⅱ的压轴题就考查了此知识点.五、与实际应用问题有关的问题【例10】 某汽车厂有一条价值为a 万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值，经过市场调查，产品的增加值y 万元与技术改造投入x 万元之间满足：①y 与(a -x )和x 2的乘积成正比；②当2ax =时，y =a 3.并且技术改造投入比率：)(2x a x-∈(]t ,0,其中t 为常数，且t ∈(]2,0.（1）求y =f (x )的解析式及定义域；（2）求出产品的增加值y 的最大值及相应的x 值. 解：（1）由已知，设y =f (x )=k (a -x )x 2，∵当2a x =时，y = a 3，即a 3=k ·2a ·42a ，∴k =8，则f (x )=8-(a -x )x 2.∵0<)(2x a x-≤t ，解得0<x ≤122+t at .∴函数f (x )的定义域为0<x ≤122+t at .（2）∵f ＇(x )= -24x 2+16ax =x (-24x +16a )，令f ＇(x )=0，则x =0（舍去），32ax =，当0<x <32a 时，f ＇(x )>0，此时f (x )在（0，32a）上单调递增；当x >32a 时，f ＇(x )<0，此时f (x )是单调递减.∴当122+t at ≥32a 时，即1≤t ≤2时，y max =f (32a )=32732a ；当122+t at <32a 时，即0<t <1时，y max =f (122+t at )=323)12(32+t t a . 综上，当1≤t ≤2时，投入32a 万元，最大增加值是32732a ，当0<t <1时，投入122+t at万元，最大增加值是323)12(32+t t a .点评 f ＇(x 0)=0，只是函数f (x )在x 0处有极值的必要条件，求实际问题的最值应先建立一个目标函数，并根据实际意义确定其定义域，然后根据问题的性质可以断定所建立的目标函数f (x )确有最大或最小值，并且一定在定义区间内取得，这时f (x )在定义区间内部又只有一个使f ＇(x 0)=0的点x 0，那么就不必判断x 0是否为极值点，取什么极值，可断定f (x 0)就是所求的最大或最小值.。
联赛-函数导数及其他2
例设实数，且满足：
，求最大值。
（2011年全国高中数学联合竞赛B卷加试）
解答方法一根据条件知：
因为，所以。
我们令，，，其中，，则。
显然函数（）为上凸函数，根据琴生不等式知：，所以。
于是知最大值为6，当且仅当时，等号成立。
解答方法二根据条件知：
令，则，于是原题等价于：设实数C≥1、m≥0、n≥2，且满足：
，求的最大值。
由于，所以C＜4。
于是
于是知。
令，则，于是
，当且仅当时，等号成立。
也即原题中最大值为6，当且仅当
时，等号成立。
类题演练：
已知，，求的最小值。
解答：由于。
我们令，，
，其中，且，。
此时。
我们令，。
则，。
所以，即。
令，因为，所以。
记，则。
又，当时，，即在上单调递增。
所以。
当时，取得最小值。
导数(竞赛辅导)
( x 100), 求 f (50).
f ( x) 1 ( x 1)( x 2)
x( x 1)
( x 100) ( x 100)
( x 49) 1 ( x 51)
x( x 1) ( x 99) 1 f (50) 50 49 1 (1) (50) (50!) 2
在
f ( x) f (0) 所以 lim x 0 x0
即 在 处可导。
x x0
lim f ( x) f ( x0 )
x x0
例6. 设
求
解: 因为
1 f (1 ( x)) f (1) lim 2 x 0 ( x)
所以 。
f ( x0 ) lim f ( x) f ( x0 ) lim f ( x0 h) f ( x0 )
f (50) 50 49 1 (1)
( x 49)( x 51) (50) (50!) 2
f1 ( x) f 2 ( x) f1 ( x) f 2 ( x) f1 ( x) f 2 ( x)
例9. 设 f ( x) x ( x 1)( x 2)
f ( x ) f ( x ) 0 lim x x0 x x0
例4.
解
是偶函数，在
处可导，求
f (0)
f (0) (1) f (0) f (0) 0 f (0)
例5. 设
在 证：因为 又
在 处可导.
处连续, 且
存在，证明:
存在， 则有 处连续, 故 存在
2
y e 2 x
例14.
证明：两条心形线
a(1 cos ) , a(1 cos )
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四、说题目思想方法
• 函数方程思想 • 转化化归思想 • 分类 0 ，hx 单调递减， 故hx h0 1 a 即 g 'x 1 a 。
要使 f x ax 1 0 在 x 0 时恒成立，需要1 a 0 ，即a 1 。
此时 gx g0 0 ，所以 a 1
综上所述，a 的取值范围是 1, 。
（2）解法2
f x 1 x1 xex
沈阳市数学说题比赛
说题目出处 说题目立意 说题目背景 说题目解法 说题目思想方法
题目出处：2017年普通高等学校招生全国统一考试卷II卷文数21题
• 设函数 f x 1 x2 ex
• （1）讨论f(x)的单调性；
• （2）当x 0时，f(x) ax+1，求实数a的取值范
围.
说题目出处 说题目立意 说题目背景 说题目解法 说题目思想方法
在 2 1, 2 1 上单调递增；
三、说题目解答
（2）令 gx f x ax 1 1 x2 ex ax 1
令 x 0 ，可得 g 0 0 。 求导得， g'x 1 x2 2x ex a
令hx 1 x2 2x ex a 求导得 h'x x2 4x 1 ex
①当a》1时，设函数 hx 1 xex, h'x xex 0x 0, 因此 h'x 在 0, 单调递减
而 h0 1hx 1 所以 f x 1 xhx x 1 ax 1
②当0<a<1时，设函数 gx ex x 1, g 'x ex 1 0x 0
所以gx在 0, 单调递增 而 g0 0ex x 1
说题目出处 说题目立意 说题目背景 说题目解法 说题目思想方法
三、说题目解答
f x 1 x2 ex 求导得 f ' x x2 2x 1 ex 其中 ex 0 恒成立，令
gx x2 2x 1
对称轴 x 1 与 x 轴交点横坐标为 x1 2 1 x2 2 ，1
在 , 2 1 和 2 1, 上 gx 0 有f ' x 0 ， 在 2 1, 2 1 上 gx 0 相应的 f 'x 0 所以，函数 f x 在 , 2 1 和 2 1, 单调递减
当0<x<1 f x 1 x1 x2, 1 x1 x2 ax 1 x 1 a x x2
取 x0
5
4a 2
1
则x0
0,1.1
x0
1
x0
2
ax0-1
0.
f
x0
ax0
1
③当a《0时，取 x0
5 1, 2
f
x0
1
x0 1
x0
2
1
ax0
1
综上，a的取值范围 1,
说题目出处 说题目立意 说题目背景 说题目解法 说题目思想方法
一、说题目立意
1考查对函数求导运算， 根据导函数 的取值情况判断函数的单调性； 2 对函数 进行二次求导，根据函数在 特殊点的取值，判断要使 函数在 某 个特定条件下恒成立所需要的条件。
说题目出处 说题目立意 说题目背景 说题目解法 说题目思想方法
二、说题目背景
本题是2017年普通高等学校招生全国统一 考试卷II卷文数21题，导数是高中数学最 重要的内容之一，也是高中数学的重难点， 在教学和高考中占有重要地位，本题体现 了近年来高考试题 “追根溯源，回归课 本”，“源于课本，高于课本”的理念。