2018中考数学专题复习 几何最值问题综合课(pdf,无答案)
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知识板块
考点一:几何图形中的最小值问题
方法: 1.找对称点求线段的最小值;
步骤:①找已知点的对称点,动点在哪条线上动,就是对称轴;
②连接对称点与另一个已知点;
③与对称轴的交点即是要找的点;通常用勾股定理求线段长;
2.利用三角形三边关系:两边之差小于第三边;
3.转化成其他线段,间接求线段的最小值;例如:用点到直线的距离最短,通过作垂线求最值;
4.用二次函数中开口向上的函数有最小值;
考点二:几何图形中的最大值问题
方法:
1.当两点位于直线的同侧时,与动点所在的直线的交点,这三点在同一直线时,线段差有最大值;
2.当两点位于直线的异侧时,先找对称点,同样三点位于同一直线时,线段差有最大值;
3.利用三角形三边关系:两边之和大于第三边;
4.用二次函数中开口向下的函数有最大值;
例题板块
考点一:几何图形中的最小值问题
例1.如图1,在正方形ABCD 中,E 是AB 上一点,BE=2,AE=3BE ,P 是AC 上一动点,则PB+PE 的最小值是 _________ .
图1 图2 图3
例2.如图2,在锐角△ABC 中,AB=4,∠BAC=45°,∠BAC 的平分线交BC 于点D ,M 、N 分别是AD 和AB 上的动点,则BM+MN
的最小值是 .
例3.如图3,点P 是Rt △ABC 斜边AB 上的一点,PE ⊥AC 于E ,PF ⊥BC 于F ,BC=6,AC=8,则线段EF 长的最小值为 ;
第一节
几何最值问题专项
例4.如图,在Rt △ABC 中,AB=BC=6,点E ,F 分别在边AB ,BC 上,AE=3,CF=1,P 是斜边AC 上的一个动点,则△PEF 周长的最小值为 .
图4 图5 例5.如图,在平面直角坐标系中,Rt △OAB 的顶点A 的坐标为(9,0),点C 的坐标为(2,0),tan ∠BOA=
A .67
B .231 C. 6 D .193+
例6.如图6,等腰Rt △ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC=4,⊙C 的半径为1,点P 在斜边AB 上,PQ 切⊙O 于点Q ,则切线长PQ 长度的最小值为( )
图6 图7 图8 例7.如图7,矩形ABCD 中,AB=4,BC=8,E 为CD 的中点,点P 、Q 为BC 上两个动点,且PQ=3,当CQ= _________ 时,四边形APQE 的周长最小.
考点二:几何图形中的最大值问题
例1.已知点A (1,2)、B (4,-4),P 为x 轴上一动点.
(1)若|PA |+|PB |有最小值时,求点P 的坐标;
(2)若|PB |-|PA |有最大值时,求点P 的坐标.
例2.如图8所示,已知A 11
(,y )2,B 2(2,y )为反比例函数1y x
=图像上的两点,动点P (x,0)在x 正半轴上运动,当线段AP 与线段BP 之差达到最大时,点P 的坐标是 .
例3.如图,在平面直角坐标系中,⊙M过原点O,与x轴交于A(4,0),与y轴交于B(0,3),点C 为劣弧AO的中点,连接AC并延长到D,使DC=4CA,连接BD.
(1)求⊙M的半径;
(2)证明:BD为⊙M的切线;
(3)在直线MC上找一点P,使|DP﹣AP|最大.
练习板块
1.如图1,正方形ABCD的面积为18,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角
线AC上有一动点P,则PD+PE的最小值为_____.
图1 图2 图3 图4
2.如图2,在矩形ABCD中,AB=2,AD=4,E为CD边的中点,P为BC边上的任一点,那么,
AP+EP的最小值为_____.
3.如图3,直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=2,P为斜边AB上一动点.PE⊥BC,PF⊥CA,
则线段EF长的最小值为_______.
4.如图4,∠AOB=30°,点M、N分别在边OA、OB上,且OM=1,ON=3,点P、Q分别在边
OB、OA上,则MP+PQ+QN的最小值是.
5.如下图1,反比例函数x
k y =(x >0)图象上的两点A 、B 的横坐标分别为1,3,点P 为x 轴正半轴上一点,若PA-PB 的最大值为22,则k= .
图1 图2 图3
6.如图2,在△ABC 中,∠C=90°,AC=4,BC=2,点A 、C 分别在x 轴、y 轴上,当点A 在x 轴上运动时,点C 随之在y 轴上运动,在运动过程中,点B 到原点的最大距离是( )
7.如图3,直线l 与半径为4的⊙O 相切于点A ,P 是⊙O 上的一个动点(不与点A 重合),过点P 作PB ⊥l ,垂足为B ,连接PA .设PA=x ,PB=y ,则(x ﹣y )的最大值是 .
8.如图,四边形ABCD 是正方形,△ABE 是等边三角形,M 为对角线BD (不含B 点)上任意一点,将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ,连接EN 、AM 、CM .
(1)求证:△AMB ≌△ENB ;
(2)①当M 点在何处时,AM+CM 的值最小;
②当M 点在何处时,AM+BM+CM 的值最小,并说明理由;
(3)当AM+BM+CM 的最小值为13+时,求正方形的边长.
9.已知:如图,把矩形OCBA 放置于直角坐标系中,OC=3,BC=2,取AB 的中点M ,连接MC ,把△MBC 沿x 轴的负方向平移OC 的长度后得到△DAO .
A .25+
B .62
C .52
D .222+