2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.1 瞬时变化率(1)学案新人教A版选修2-2.doc
高中数学第一章导数及其应用1.1.2瞬时变化率--导数学案苏教版选修2
1.1.2 瞬时变化率——导数导数定义求函数的导函数.1．瞬时速度(1)在物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为__________．(2)一般地，如果当Δt __________0时，运动物体位移s (t )的平均变化率s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt无限趋近于一个______，那么这个______称为物体在t ＝t 0时的__________，也就是位移对于时间的____________．预习交流1做一做：如果质点A 按规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3 s 时的瞬时速度为__________． 2．瞬时加速度一般地，如果当Δt __________时，运动物体速度v (t )的平均变化率v (t 0＋Δt )－v (t 0)Δt无限趋近于一个_______，那么这个________称为物体在t ＝t 0时的_________，也就是速度对于时间的____________．3．导数(1)设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx无限趋近于一个______A ，则称f (x )在x ＝x 0处______，并称该______A 为函数f (x )在x ＝x 0处的______，记为______．(2)导数f ′(x 0)的几何意义就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的________． (3)若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的________，记作________．预习交流2做一做：设函数f (x )可导，则当Δx →0时，f (1＋Δx )－f (1)3Δx等于__________．预习交流3做一做：函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数是__________．预习交流4利用导数求曲线切线方程的步骤有哪些？预习导引1．(1)平均速度 (2)无限趋近于 常数 常数 瞬时速度 瞬时变化率预习交流1：提示：s (3＋Δt )＝3(3＋Δt )2＝3[9＋6Δt ＋(Δt )2]＝27＋18Δt ＋3(Δt )2.s (3)＝3×32＝27.Δs ＝s (3＋Δt )－s (3)＝18Δt ＋3(Δt )2， ∴Δs Δt ＝18＋3Δt ，当Δt →0时，ΔsΔt→18. 2．无限趋近于0 常数 常数 瞬时加速度 瞬时变化率3．(1)常数 可导 常数 导数 f ′(x 0) (2)斜率 (3)导函数 f ′(x )预习交流2：提示：f (1＋Δx )－f (1)3Δx ＝13·f (1＋Δx )－f (1)Δx，当Δx →0时，f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝f ′(1)，∴原式＝13f ′(1)．预习交流3：提示：∵函数y ＝f (x )＝x ＋1x，∴Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝1＋Δx ＋11＋Δx －1－1＝(Δx )21＋Δx.∴Δy Δx ＝Δx 1＋Δx ，当Δx →0时，Δy Δx →0，即y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数为0. 预习交流4：提示：利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤： (1)求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)；(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)； (3)将所得切线方程化为一般式．一、求瞬时速度一辆汽车按规律s ＝at 2＋1做直线运动，当汽车在t ＝2 s 时的瞬时速度为12 m/s ，求a .思路分析：先根据瞬时速度的求法得到汽车在t ＝2 s 时的瞬时速度的表达式，再代入求出a 的值．1．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2.其中s 的单位是m ，t 的单位是s ，那么物体在3 s 末的瞬时速度是__________．2．子弹在枪筒中运动可以看作是匀变速运动，如果它的加速度是a ＝5×105 m/s 2，子弹从枪口射出时所用的时间为t 0＝1.6×10－3s ．求子弹射出枪口时的瞬时速度．根据条件求瞬时速度的步骤：(1)探究非匀速直线运动的规律s ＝s (t )；(2)由时间改变量Δt 确定路程改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)；(3)求平均速度v ＝ΔsΔt；(4)运用逼近思想求瞬时速度，当Δt →0时，ΔsΔt→v (常数)．二、利用导数的定义求函数的导数已知f (x )＝x 2－3.(1)求f (x )在x ＝2处的导数； (2)求f (x )在x ＝a 处的导数．思路分析：根据导数的定义进行求解．深刻理解概念是正确解题的关键．1．若函数f (x )＝ax －2在x ＝3处的导数等于4，则a ＝__________.2．(1)求函数f (x )＝1x ＋1在x ＝1处的导数；(2)求函数f (x )＝2x 的导数．结合函数，先求出Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，再求ΔyΔx＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，当Δx →0时，求ΔyΔx 的值，即f ′(x 0)．三、导数的几何意义已知y ＝2x 3上一点A (1,2)，求点A 处的切线斜率．思路分析：为求得过点(1,2)的切线斜率，可以从经过点(1,2)的任意一条直线(割线)入手．1．抛物线y ＝14x 2在点Q (2,1)处的切线方程为__________．2．已知曲线y ＝3x 2－x ，求曲线上一点A (1,2)处的切线的斜率及切线方程．1．导数的几何意义是指：曲线y ＝f (x )在(x 0，y 0)点处的切线的斜率就是函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，而切线的斜率就是切线倾斜角的正切值．2．运用导数的几何意义解决曲线的切线问题时，一定要注意所给的点是否是在曲线上，若点在曲线上，则该点的导数值就是该点处的曲线的切线的斜率；若点不在曲线上，则该点的导数值不是切线的斜率．3．若所给的点不在曲线上，应另设切点，然后利用导数的几何意义建立关于所设切点横坐标的关系式进行求解．1．若一物体的运动方程为s ＝2－12t 2，则该物体在t ＝6时的瞬时速度为__________．2．已知曲线y ＝12x 2－2上一点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32，则过点P 的切线的倾斜角为__________． 3．函数f (x )＝1－3x 在x ＝2处的导数为__________．4．一质点按规律s ＝2t 3运动，则t ＝2时的瞬时速度为__________．5．如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线是l ，则f (2)＋f ′(2)＝__________.答案：活动与探究1：解：∵s ＝at 2＋1，∴s (2＋Δt )＝a (2＋Δt )2＋1＝4a ＋4a ·Δt ＋a ·(Δt )2＋1.于是Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝4a ＋4a ·Δt ＋a ·(Δt )2＋1－(4a ＋1)＝4a ·Δt ＋a ·(Δt )2，∴Δs Δt ＝4a ·Δt ＋a ·(Δt )2Δt＝4a ＋a ·Δt . 当Δt →0时，ΔsΔt→4a ，依题意有4a ＝12，∴a ＝3. 迁移与应用：1．5 m/s 解析：s (3＋Δt )＝1－(3＋Δt )＋(3＋Δt )2＝(Δt )2＋5Δt ＋7，所以s (3＋Δt )－s (3)＝(Δt )2＋5Δt ， 故s (3＋Δt )－s (3)Δt＝Δt ＋5，于是物体在3 s 末的瞬时速度，即Δt →0时，ΔsΔt→5(m/s)．2．解：运动方程为s ＝12at 2.∵Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0·Δt ＋12a ·(Δt )2，∴Δs Δt ＝at 0＋12a ·Δt ，∴Δt →0时，ΔsΔt→at 0. 由题意知a ＝5×105(m/s 2)，t 0＝1.6×10－3(s)，故at 0＝8×102＝800(m/s)．即子弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.活动与探究2：解：(1)因为Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝(2＋Δx )2－3－(22－3)Δx＝4＋Δx ，当Δx 无限趋近于0时，4＋Δx 无限趋近于4， 所以f (x )在x ＝2处的导数等于4.(2)因为Δy Δx ＝f (a ＋Δx )－f (a )Δx＝(a ＋Δx )2－3－(a 2－3)Δx＝2a ＋Δx ，当Δx 无限趋近于0时，2a ＋Δx 无限趋近于2a ， 所以f (x )在x ＝a 处的导数等于2a .迁移与应用：1．4 解析：由题意知f ′(3)＝4，而f ′(3)＝Δy Δx ＝a (3＋Δx )－2－(3a －2)Δx＝a ，当Δx →0时，ΔyΔx→a ，故a ＝4.2．解：(1)(导数定义法)∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝12＋Δx －12＝－Δx 2(2＋Δx )，∴ΔyΔx＝－12(2＋Δx )，从而Δx →0时，2＋Δx →2，∴f (x )在x ＝1处的导数等于－14.(导函数的函数值法)∵Δy ＝1x ＋Δx ＋1－1x ＋1＝－Δx (x ＋Δx ＋1)(x ＋1)，∴ΔyΔx＝－1(x ＋Δx ＋1)(x ＋1)，从而Δx →0时，Δy Δx →－1(x ＋1)2，于是f ′(1)＝－1(1＋1)2＝－14.(2)∵Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝2x ＋Δx －2x ，∴Δy Δx ＝2x ＋Δx －2x Δx ＝(2x ＋Δx －2x )(x ＋Δx ＋x )Δx (x ＋Δx ＋x )＝2x ＋Δx ＋x，从而Δx →0时，Δy Δx →1x.活动与探究3：解：设A (1,2)，B (1＋Δx,2(1＋Δx )3)，则割线AB 的斜率为k AB ＝2(1＋Δx )3－2Δx ＝6＋6Δx ＋2(Δx )2，当Δx 无限趋近于0时，k AB 无限趋近于常数6，从而曲线y ＝2x 3在点A (1,2)处的切线斜率为6.迁移与应用：1．x －y －1＝0 解析：∵y ＝14x 2，Δy ＝14(2＋Δx )2－14×22＝Δx ＋14(Δx )2，Δy Δx＝1＋14Δx ， ∴当Δx →0时，Δy Δx →1，即f ′(2)＝1，由导数的几何意义得抛物线y ＝14x 2在点Q (2,1)处的切线的斜率为1.∴切线方程为y －1＝x －2，即x －y －1＝0.2．解：因为Δy Δx ＝3(1＋Δx )2－(1＋Δx )－(3×12－1)Δx＝5＋3Δx ，当Δx 无限趋近于0时，5＋3Δx 无限趋近于5，所以曲线y ＝3x 2－x 在点A (1,2)处的切线斜率是5.切线方程为y －2＝5(x －1)，即5x －y －3＝0. 当堂检测1．－6 解析：Δs Δt ＝s (6＋Δt )－s (6)Δt ＝2－12(6＋Δt )2－(－16)Δt ＝－12Δt －6，∴当Δt →0时，ΔsΔt→－6.2．45° 解析：∵Δy Δx ＝12(1＋Δx )2－2－12×1＋2Δx ＝Δx ＋12(Δx )2Δx ＝1＋12Δx ，当Δx无限趋近于0时，1＋12Δx 无限趋近于1，∴曲线y ＝12x 2－2在点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32处的切线斜率为1，∴倾斜角为45°.3．－3 解析：Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝－3Δx ，Δy Δx ＝－3，则Δx 趋于0时，ΔyΔx＝－3.∴f (x )在x ＝2处的导数为－3.4．24 解析：Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝2(2＋Δt )3－2×23＝2×[8＋6(Δt )2＋12Δt ＋(Δt )3]－16＝24Δt ＋12(Δt )2＋2(Δt )3， ∴Δs Δt ＝24＋12Δt ＋2(Δt )2，则当Δt →0时，Δs Δt →24. 5．98解析：由题图可知，直线l 的方程为9x ＋8y －36＝0. 当x ＝2时，y ＝94，即f (2)＝94.又切线斜率为－98，即f ′(2)＝－98，∴f (2)＋f ′(2)＝98.欢迎您的下载，资料仅供参考！。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 1.1.2 导数的概念同步课件 新人教A版选
(3)求极限，得导数 f′(x0)＝
Δy Δx.
[变式训练] (1)设 f(x)＝ax3＋2，若 f′(－1)＝3，则 a ＝( )
A．－1 B.12 C．1 D.13 (2)求函数 y＝x42在 x＝2 处的导数． (1)解析： 因为 f′(－1)＝ f（－1＋ΔxΔ）x－f（－1）＝
a（ΔxΔ－x1）3＋a＝3a，所以 3a＝3，解得 a＝1. 答案：C
两个自变量的差，即(x0＋Δx)－x0.在求解此类问题时要
严格按照定义，注意分子与分母相应的符号的一致性．
[正确解答] 因为
f（x0－3ΔΔx）x －f（x0）＝
[f（x0－3－Δx3） Δ－ x f（x0）·(－3)]＝－3f′(x0)＝1，
所以 f′(x0)＝－13.
归纳升华 根据已知条件，利用导数定义求函数 y＝f(x)在某一 点 x0 处的导数，关键是牢记导数定义利用已知条件拼凑 出导数定义的形式，从而得到 f′(x0)．
所以
ΔΔst＝
12Δt＋2＝2.
答案：A
类型 2 利用导数的定义求导数
[典例 2] (1)求函数 y＝3x2 在 x＝1 处的导数； (2)求函数 f(x)＝x－1x在 x＝1 处的导数． 解：(1)因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)2－3＝6 Δx＋3(Δx)2， 所以ΔΔxy＝6＋3Δx，
1．瞬时速度 物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．若物体运动的 路程与时间的关系式是 s＝f(t)，当Δt 趋近于 0 时，函数 f(t)在 t0 到 t0＋Δt 之间的平均变化率f（t0＋ΔtΔ）t－f（t0） 趋近于常数，
我们就把这个常数叫做 t0 时刻的瞬时速度．即 v＝
．故瞬时速度就是位移函数对时 间的瞬时变化率．
高中数学第1章导数及其应用1_1_2瞬时变化率——导数互动课堂苏教版选修2-2
高中数学 第1章 导数及其应用 1.1.2 瞬时变化率——导数互动课堂 苏教版选修2-2疏导引导本节课重点是导数的定义和导数的几何意义，难点是利用定义求函数在某点处的导数和在开区间内的导数.一、函数y=f(x)在点x 0处的导数(变化率)是f′(x 0)或y′0|x x =，即 f′(x 0)=0lim→∆x xy∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00，它是函数的平均变化率当自变量的改变量趋向于零时的极限值，如果极限不存在，我们就说函数在点x 0处不可导.疑难疏引 (1)函数应在点x 0的附近有定义，否则导数不存在.(2)在定义导数的极限式中，Δx 趋近于0可正、可负，但不为0，而Δy 可能为0. (3)xy∆∆是函数y=f(x)对自变量x 在Δx 范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线y=f(x)上点(x 0，f(x 0))及点(x 0+Δx，f(x 0+Δx))的割线斜率. (4)导数f′(x 0)= 0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00是函数y=f(x)在点x 0处的瞬时变化率，它反映的函数y=f(x)在点x 0处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线y=f(x)上点(x 0，f(x 0))处的切线的斜率.因此，如果y=f(x)在点x 0可导，则曲线y=f(x)在点(x 0，f(x 0))处的切线方程为y-f(x 0)=f′(x 0)(x-x 0).(5)导数是一个局部概念，它只与函数y=f(x)在x 0及其附近的函数值有关，与Δx 无关. (6)在定义式中，设x=x 0+Δx，则Δx=x -x 0，当Δx 趋近于0时，x 趋近于x 0，因此，导数的定义式可写成f′(x 0)=0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00=0lim x x →∆00)()(x x x f x f --. (7)若极限0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00不存在，则称函数y=f(x)在点x 0处不可导.(8)若f(x)在x 0可导，则曲线y=f(x)在点(x 0，f(x 0))有切线存在.反之不然，若曲线y=f(x)在点(x 0，f(x 0)有切线，函数y=f(x)在x 0不一定可导，并且，若函数y=f(x)在x o 不可导，曲线在点(x 0，f(x 0))也可能有切线，如切线平行与y 轴时. 一般地，0lim →∆x (a+bΔx)=a，其中a ，b 为常数.特别地，0lim →∆x a=a.如果函数y=f(x)在开区间(a ，b)内的每点处都有导数，此时对于每一个x∈(a，b)，都对应着一个确定的导数f′(x)，从而构成了一个新的函数f′(x).称这个函数f′(x)为函数y=f(x)在开区间内的导函数，简称导数，也可记作y′，即 f′(x)=y′=0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(.函数y=f(x)在x 0处的导数y′0|x x =就是函数y=f(x)在开区间(a ，b)上导函数f′(x)在x 0处的函数值，即y′0|x x ==f′(x 0).所以函数y=f(x)在x 0处的导数也记作f′(x 0). 二、注意导数与导函数的区别与联系1.如果函数y=f(x)在开区间(a ，b)内每一点都有导数则称函数y=f(x)在开区间(a ，b)内可导.2.导数与导函数都可称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值.它们之间的关系是函数y=f(x)在点x 0处的导数就是导函数f′(x)在点x 0的函数值.3.求导函数时，只需将求导数式中的x 0换成x 即可，即f′(x)=0lim →∆x xx f x x f ∆-∆+)()(.4.由导数的定义可知，求函数y=f(x)的导数的一般方法是： (1)求函数的改变量Δy=f(x+Δx)-f(x).(2)求平均变化率x y ∆∆=xx f x x f ∆-∆+)()(. (3)取极限，得导数y′=0lim →∆x xy∆∆.三、导数与切线的理解 导数集数与形于一身，新教材在介绍导数几何意义时，利用割线的极限位置来定义了曲线的切线.从代数角度看，平均变化率是由函数上的一点(x 0，f(x 0))到另一点(x 0+Δx，f(x 0+Δx))函数值增量与自变量增量的比值，当Δx 无限趋近于零时，曲线上某点的平均变化率无限趋近于唯一的一个常数，这个常数称为在该点的导数；从几何角度看过曲线上任一定点引曲线的割线，当动点无限趋近于该定点时，割线的斜率无限趋近于唯一的一个常数，割线就变为切线，因此导数的几何意义即为曲线上过该点的切线的斜率.用运动变化的观念分析曲线C:y=f(x)上某点(x 0，y 0)的切线，从点(x 0，y 0)引割线，当另一交点无限趋近某点(x 0,y 0)时，割线就变为切线，割线的斜率趋近于唯一的一个常数，这个常数就是曲线上的某点(x 0,y 0)的导数，其几何意义为切线的斜率，计算方法为Δx→0时，k=x y∆∆=f′(x 0)，或x→x 0时，k=00x x y y --=f′(x 0).特别地，如果曲线y=f(x)在点P(x 0，f(x 0))处的切线平行于y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为x=x 0.四、导数的物理意义瞬时速度是路程对时间的变化率，某时刻的瞬时速度就是路程在某时刻的导数，加速度是速度的导数，动量是动能的导数. 活学巧用1.如果一个质点从定点A 开始沿直线运动的位移函数为y=f(t)=t 3+3. (1)当t 0=4且Δt=0.01时，求Δy 和ty ∆∆; (2)当t 0=4时，求0lim →∆t ty∆∆的值; (3)说明0lim →∆t ty∆∆的几何意义. 解析：(1)Δy=f(4+Δt)-f(4)=(4+Δt)3+3-43-3=(Δt)3+48Δt+12(Δt)2=(0.01)3+48(0.01)+12(0.01)2=0.481 201， ∴t y ∆∆=01.0481201.0=48.120 1. (2)当Δt=0.001时，ty∆∆=48.012 01， 当Δt=0.000 1时，t y∆∆=48.001 201. 所以当Δt→0时，0lim →∆t ty∆∆=48.(3)Δy 是质点由固定点A 开始在Δt 这段时间内的位移，所以ty∆∆是质点A 在Δt 这段时间内的平均速度，而0lim →∆t ty∆∆是质点A 在时间t 0的瞬时速度. 2.已知y=f(x)=x2,求y′及y′|x=1.解析：∵Δy=f(x+Δx)-f(x)=xx ∆+2-x2=xx x x x x •∆+∆+-)(2,∴y′=0lim→∆x x y ∆∆=0lim →∆x x x x x x x x ∆••∆+∆+-)(2=0lim →∆x )()(2x x x x x x x x x x ∆++•∆••∆+∆--=0lim→∆x xx x x x x x x x 22)(2••-=∆++••∆+-=23--x.y′|x =1=f′(1)=23)1(--=-1.点评:函数的导数与在点x 0处的导数不是同一概念,在点x 0处的导数是函数的导数在x=x 0处的函数值.求函数的导数分三个步骤:(1)求函数增量Δy=f(x+Δx)-f(x); (2)求平均变化率x y ∆∆=xx f x x f ∆-∆+)()(; (3)取极限并求极限值,得导数f′(x)=0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(.3.如果曲线y=x 2+x-3的某一条切线与直线y=3x+4平行，求切点坐标与切线方程. 解析：∵切线与直线y=3x+4平行，∴斜率为3. 设切点坐标为(x 0,y 0),则y′0|x x ==3. 又y′0|x x ==0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00=0lim →∆x xx x x x x x ∆+---∆++∆+33)()(020020 =0lim →∆x (Δx+2x 0+1)=2x 0+1,∴2x 0+1=3,从而得⎩⎨⎧-==.1,100y x∴切点坐标为(1，-1)，切线方程为3x-y-4=0.4.在曲线y=x 2+3的图象上取一点P(1，4)及附近一点(1+Δx，4+Δy)，求(1)xy∆∆；(2)Δx→0时，求xy∆∆的值；(3)在点P(1，4)的切线方程. 解析：(1)x y ∆∆=xf x f ∆-∆+)1()1(=xx ∆+-+∆+)31(3)1(22=2+Δx.(2)Δx→0时，xy∆∆=2+Δx→2, 即0lim→∆x x y∆∆=0lim →∆x (2+Δx)=2. (3)由(2)知过点P(1,4)的切线的斜率为2，故在点P(1，4)的切线方程为y-4=2(x-1)，即2x-y+2=0.5.(1)已知质点运动方程是s(t)=221gt +2t-1,求质点在t=4时的瞬时速度，其中s 的单位是m ，t 的单位是s.(2)已知某质点的运动方程是s(t)=3t 2-2t+1,求质点在t=10时的瞬时速度和动能.(设物体的质量为m)分析:瞬时速度是路程对时间的变化率，而动能U=221mv . 解：(1)质点在t=4时的瞬时速度为v (t=4)=0lim →∆t tt s t s ∆-∆+)()4(=0lim →∆t tg t t g ∆+⨯-•--∆++∆+1424211)4(2)4(2122=0lim →∆t ttt g t g ∆∆+∆+∆24212=0lim →∆t (21gΔt+4g+2)=4g+2, 所以质点在t=4时的瞬时速度为4g+2 (m/s). (2)质点在t=10时的瞬时速度为v (t=10)=0lim→∆t ts t s ∆-∆+)10()10(=0lim →∆t t t t ∆-⨯+⨯-+∆+-∆+11021031)10(2)10(322 =0lim →∆t tt t ∆∆+∆5832=0lim →∆t (3Δt+58)=58, 所以质点在t=10时的瞬时速度为v=58 m/s ；质点在t=10时的动能为 U=m mv 21212=×(58)2=1 682m J.。
1[1].1.1变化率问题
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2
65 探究 计算运动员在0 t 这段时间 49 里的平均速度, 并思考下面的问题 :
1 运动员在这段时间里是静止的吗 ? 2 你认为用平均速 度描述 运动员运 动
状态有什么问题吗 ?
h t2 h t1 h v t t2 t1
探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10 65 的图像，结合图形可知， h( ) h(0) ， 49 所以， h
65 探究 : 计算运动员在 0 t 这段时间里的平均速度 49 并思考下面的问题 :
,
1 运动员在这段时间里是 静止的吗 ? 2你认为用平均速 度描述 运动员运 动状态有什么问
题吗 ?
探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合 65 图形可知： h( ) h(0)
题型三：平均变化率的应用 例3：试比较正弦函数y=sinx在x=0和 x 附近的平均变化率哪一个大？
2
练习
1.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临 近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则Δy/Δx=( A.3 )D
B 3Δx-(Δx)2 C . 3-(Δx)2 D . 3-Δx
第一章 导数及其应用
1.1.1 变化率问题
问题1 气球膨胀率
在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气 容量的增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数 学的角度, 如何描述这种现象呢?
我们知道, 气球的体积V 单位 : L 与半径 r (单 4 3 位 : dm)之间的函数关系是V r r , 3
r 1 r 0 0.62cm ,
2020_2021学年高中数学第1章导数及其应用1.1.2瞬时变化率_导数课时素养评价含解析苏教版选
课时素养评价二瞬时变化率——导数(25分钟·60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.在曲线y=x2上切线倾斜角为的点是( )A.(0,0)B.(2,4)C. D.【解析】选D.==2x+Δx,当Δx→0时,→2x,所以2x=tan=1,所以x=. 从而y=.【补偿训练】一质点运动的位移s(m)与时间t(s)的关系式是s=t2+10,则当t=3s时的瞬时速度是____________m/s.【解析】因为Δs=(3+Δt)2+10-32-10=6Δt+(Δt)2,所以=6+Δt.当Δt→0时,→6,所以当t=3 s时的瞬时速度是6 m/s.答案:62.一物体做加速直线运动,假设ts时的速度为v(t)=t2+3,则t=2时物体的加速度为( )A.4B.3C.2D.1【解析】选A.因为==2t+Δt,所以当Δt→0时,➝2t.所以t=2时物体的加速度为4.3.设曲线y=ax2在点(2,4a)处的切线与直线4x-y+4=0垂直,则a=( )A.2B.-C.D.-1【解析】选B.由y=ax2得Δy=a(x+Δx)2-ax2=2axΔx+a(Δx)2,则=2ax+aΔx,所以y′=2ax,当x=2时,y′=4a,又y=ax2在点(2,4a)处的切线与直线4x-y+4=0垂直,所以4a×4=-1,即a=-.4.已知函数f(x)=ax2+b,若f′(1)=2,则a=( )A.4B.2C.1D.0【解析】选C.因为===2ax+a·Δx,当Δx→0时,→2ax,所以f′(x)=2ax,因为f′(1)=2a=2,所以a=1.5.已知曲线y=f(x)在x=5处的切线方程是y=-x+8,则f′(5)等于( )A.5B.3C.0D.-1【解析】选D.由y=f(x)在x=5处的切线方程是y=-x+8,可知切线的斜率为-1,易得f′(5)=-1.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知函数f(x)=,则f′(2)=____________.【解析】===,当Δx→0时,→,所以f′(x)=,故f′(2)==-.答案:-7.已知曲线y=f(x)=2x2+4x在点P处的切线斜率为16,则点P的坐标为____________,点P处的切线方程为____________.【解析】设P(x0,2+4x0),则===2Δx+4x0+4,当Δx→0时,→4x0+4,又因为f′(x0)=16,所以4x0+4=16,所以x0=3,所以点P的坐标为(3,30).所以切线方程为y-30=16(x-3),即16x-y-18=0.答案:(3,30) 16x-y-18=08.曲线y=x2-3x的一条切线的斜率为1,则切点坐标为_______________.【解析】设切点坐标为(x0,y0),===Δx+2x0-3,当Δx→0时,→2x0-3,即k=2x0-3=1,解得x0=2,y0=-3x0=4-6=-2.故切点坐标为(2,-2).答案:(2,-2)三、解答题(每小题10分,共20分)9.若直线y=-x+b为函数y=图象的切线,求b及切点坐标.【解析】==,当Δx→0时,→-,设切点,则k=-=-1,得x0=±1,当x0=1时,切点(1,1),代入y=-x+b得b=2,当x0=-1时,切点(-1,-1),代入y=-x+b得b=-2,综上b=2,切点为(1,1)或b=-2,切点为(-1,-1).10.若抛物线y=4x2上的点P到直线y=4x-5的距离最短,求点P的坐标.【解题指南】利用与已知直线平行且过点P的切线斜率求出切点即为所求.【解析】由点P到直线y=4x-5的距离最短知,过点P的切线方程与直线y=4x-5平行,设P(x0,y0),则===8x+4Δx,当Δx→0时,→8x,由得故所求的点为P.【补偿训练】曲线y=-x2上的点到直线x-y+3=0的距离的最小值为_______________. 【解析】设与直线x-y+3=0平行的直线与曲线y=-x2切于点P(x0,y0),则由==-2x0-Δx,当Δx→0时,→-2x0,由得所以P,点P到直线x-y+3=0的距离d==.答案:(20分钟·40分)1.(5分)若函数f(x)在x=a处的导数为A,则当Δx→0时,→( )A.0B.AC.2AD.A2【解析】选B.因为当Δx→0时,→A,所以→A(用-Δx替换Δx),所以当Δx→0时,=×+×→[A+](当Δx→0时,-Δx→0)→(A+A)=A.【补偿训练】y=f(x)=x3+2x+1在x=1处的导数为____________.【解析】因为Δy=f(1+Δx)-f(1)=(1+Δx)3+2(1+Δx)+1-(13+2×1+1)=5Δx+3(Δx)2+(Δx)3,所以==5+3Δx+(Δx)2,当Δx→0时,→5,所以f′(1)=5.答案:52.(5分)(多选)下面说法不正确的是( )A.若f′(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处没有切线B.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处有切线,则f′(x0)必存在C.若f′(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率不存在D.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处没有切线,则f′(x0)有可能存在【解析】选ABD.根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0,y0)处有导数,则切线一定存在,但反之不一定成立,故A,B,D错误,C正确.3.(5分)若函数y=x2在点P处的导数值等于其函数值,则点P的坐标为____________.【解析】设函数y=x2在点(x0,y0)处的导数值与其函数值相等,因为==2x0+Δx,当Δx→0时,2x0+Δx =2x0,令y0=,所以2x0=,解得x0=0或x0=2,即在x=0或x=2处的导数值与其函数值相等.所以P的坐标为(0,0) 或(2,4).答案:(0,0) 或(2,4)【补偿训练】曲线y=x3在点(1,1)处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积等于____________. 【解析】由导数定义可求得y′=3x2,当x=1时,y′=3,切线方程为3x-y-2=0,与x轴的交点坐标为,与x=2的交点坐标为(2,4),围成的三角形的面积为××4=.答案:4.(5分)若函数y=ax2+1的图象与直线y=x相切,则a=____________.【解析】根据题意,当Δx→0时,===2ax+a·Δx→2ax,设切点为(x0,y0),则2ax0=1,且y0=a+1,y0=x0,解得a=.答案:5.(10分)已知曲线C:f(x)=x3+x.(1)求曲线C在点(1,2)处切线的斜率.(2)设曲线C上任意一点处切线的倾斜角为α,求α的取值X围. 【解析】因为==3x2+3x(Δx)+1+(Δx)2,当Δx→0时,→3x2+1.所以f′(x)=3x2+1.(1)曲线C在点(1,2)处切线的斜率k=f′(1)=4.(2)曲线C在任意一点处切线的斜率k=f′(x)=tan α,所以tan α=3x2+1≥1.又α∈[0,π),所以α∈.即倾斜角α的取值X围是.【补偿训练】设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处切线的倾斜角的取值X围为,求点P横坐标的取值X围.【解析】因为当Δx→0时,=→2x+2.且切线倾斜角θ∈,所以切线的斜率k满足0≤k≤1,即0≤2x+2≤1,所以-1≤x≤-.故点P横坐标的取值X围是.6.(10分)已知曲线y=f(x)=x2+1与y=g(x)=x3+1在x=x0处的切线互相垂直,求x0的值. 【解析】因为==Δx+2x,当Δx→0时,→2x,即f′(x)=2x,==(Δx)2+3xΔx+3x2,当Δx→0时,→3x2,即g′(x)=3x2,所以k1=2x0,k2=3,由题意得k1k2=-1,即6=-1,解得x0=-.。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概
湖北省松滋市高中数学第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.1.1 变化率问题1.1.2 导数的概念导学案新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（湖北省松滋市高中数学第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.1.1 变化率问题1.1.2 导数的概念导学案新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1。
1。
1 变化率问题 1。
1。
2 导数的概念【学习目标】1。
通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景。
2。
会求函数在某一点附近的平均变化率.3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数.重点难点重点：求函数在某点附近的平均变化率.难点：会求函数在某点处的导数。
易混点:准确理解平均变化率和瞬时变化率.【使用说明与学法指导】1。
课前用20分钟预习课本P2-6内容。
并完成书本上练习题及导学案上的问题导学.2。
独立思考，认真限时完成，规范书写。
课上小组合作探究,答疑解惑。
【问题导学】1．函数的变化率2．函数f（x)在x=x0处的导数函数y= f(x) 在x=x0处的称为函数y= f （x)在x=x 0处的导数，记作 ，即【合作探究】探究一 平均变化率的求法求2()21y f x x ==+在区间[]00,x x x +∆上的平均变化率，并求当011,2x x =∆=时平均变化率的值.解：探究二 函数变化率的应用已知正弦函数y=sinx ，求该函数在x=0和x=2π附近的平均变化率，比较平均变化率的大小,并说明其含义。
2020学年高中数学第1章导数及其应用1.1导数的概念1.1.2瞬时变化率——导数(二)课件苏教版选修2_2
4．质点按 s(t)＝3t－t2 做直线运动，当其瞬时速度为 0 时，t＝ ________．
解析：根据导数的定义可求得 s′(t)＝3－2t. 令 s′(t)＝3－2t＝0，得 t＝32.
答案：32
求函数 f(x)在点 x＝x0 处的导数 (1)f(x)＝x2 在 x＝1 处的导数为( )
A．2x
B．2
C．2＋Δx
D．1
(2)已知 f(x)＝2x，且 f′(m)＝－12，则 m 的值等于( )
A．－4
B．2
C．－2
D．±2
【解析】
(1) lim Δx→0
ΔΔxy＝Δlixm→0
f(1＋Δx)－f(1) Δx
＝ lim Δx→0
1＋2Δx＋Δx(Δx)2－1＝Δlixm→0
(2＋Δx)＝2.
所以曲线 y＝1x在 x＝x0 处的切线的斜率为－x120. 故所求直线方程为 y－y0＝－x120(x－x0)． 由点(2，0)在所求的直线上， 得 x20·y0＝2－x0，① 再由 P(x0，y0)在曲线 y＝1x上，得 x0y0＝1，② 联立①②可解得 x0＝1，y0＝1， 所以所求直线方程为 x＋y－2＝0. 【答案】 x＋y－2＝0
经过点(2，0)且与曲线 y＝1x相切的直线方程为________． 【解析】 可以验证点(2，0)不在曲线 y＝1x上， 设切点为 P(x0，y0)， 因为 Δy＝x0＋1 Δx－x10＝－x0(xΔ0＋x Δx)， 所以ΔΔxy＝－x0(x01＋Δx)， 当 Δx 无限趋近于 0 时，ΔΔxy趋近于－x120，
2．“函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)”“导函数 f′(x)”“导数”之 间的区别与联系 (1)函数在一点处的导数 f′(x0)，就是在该点处函数值的改变量与 自变量的改变量之比的无限趋近值，它是一个常数，不是变数． (2)函数的导数是对某一区间内任意点 x 而言的，就是函数 f(x)的 导函数 f′(x)． (3)函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)就是导函数 f′(x)在 x＝x0 处的函 数值．这也是求函数在点 x0 处的导数的方法之一．
高中数学第1章导数及其应用1.1导数的概念1.1.2瞬时变化率——导数(一)222数学
【解】 (1)因为物体在 t∈[3，5]内的时间变化量为 Δt＝5－3＝2， 物体在 t∈[3，5]内的位移变化量为 Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， 所以物体在 t∈[3，5]上的平均速度为ΔΔst＝428＝24(m/s)．
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1．逼近法求曲线上一点处的切线斜率
如图，设曲线 C 上一点 P(x，f(x))，过点 P 的一条割线交曲线 C
于另一点 Q(x＋Δx，f(x＋Δx))，则割线 PQ 的斜率为 kPQ＝ f((xx＋＋ΔΔxx))－－f(xx)＝__f(_x_＋__Δ_Δx_x)_－__f_(x_)_．
【解】 (1)－v ＝s(33)－－0s(0)＝(2×32＋32×3)－0＝8(m/s)， 所以该质点在前 3 s 内的平均速度为 8 m/s. (2)－v ＝s(33)－－2s(2)＝2×32＋2×3－2×22－2×2＝12(m/s)． 所以质点在 2 s 到 3 s 内的平均速度为 12 m/s. (3)因为s(3＋ΔΔt)t－s(3)＝2(3＋Δt)2＋2(3＋ΔΔtt)－(2×32＋2×3) ＝2Δt＋14. 当 Δt 趋于 0 时，2Δt＋14 无限趋近于 14. 所以质点在 3 s 时的瞬时速度为 14 m/s.
hù)
体在 t＝t0 时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率．
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1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 曲 线 上 给 定 一 点 P ， 过 点 P 可 以 作 该 曲 线 的 无 数 条 割 线． ( √ ) (2)过曲线上任一点一定可作出一条切线．( × ) (3)有的曲线过它上面的某一点可作两条切线．( × ) (4)平均速度刻画运动物体在某一时间段内变化的快慢程度，瞬 时速度刻画物体在某一时刻变化的快慢程度．( √ )
2019_2020学年高中数学第1章导数及其应用1.1.1函数的平均变化率1.1.2瞬时速度与导数讲义新人教B版选修2_2
1.1.1 函数的平均变化率1.1.2 瞬时速度与导数一、函数的平均变化率 函数的平均变化率的定义一般地，已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝y 1－y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)， 则当Δx ≠0时，商f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝ΔyΔx称作函数y ＝f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ](或[x 0＋Δx ，x 0])的平均变化率． 二、瞬时速度与导数 1．物体运动的瞬时速度设物体运动路程与时间的关系是s ＝f (t )，当Δt 趋近于0时，函数f (t )在t 0到t 0＋Δt 之间的平均变化率f (t 0＋Δt )－f (t 0)Δt趋近于常数，我们把这个常数称为t 0时刻的瞬时速度．2．函数的瞬时变化率设函数y ＝f (x )在x 0及其附近有定义，当自变量在x ＝x 0附近改变量为Δx 时，函数值相应地改变Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，如果当Δx 趋近于0时，平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 趋近于一个常数l ，那么常数l 称为函数f (x )在点x 0的瞬时变化率．记作：当Δx →0时，f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx→l .还可以说：当Δx →0时，函数平均变化率的极限等于函数在x 0的瞬时变化率l ，记作lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝l .3．函数f (x )在x ＝x 0处的导数函数y ＝f (x )在点x 0的瞬时变化率，通常称为f (x )在点x 0处的导数，并记作f ′(x 0)，即f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .4．函数的导数如果f (x )在开区间(a ，b )内每一点x 都是可导的，则称f (x )在区间(a ，b )可导．这样，对开区间(a ，b )内每个值x ，都对应一个确定的导数f ′(x )．于是，在区间(a ，b )内，f ′(x )构成一个新的函数，把这个函数称为函数y ＝f (x )的导函数．记为f ′(x )或y ′(或y ′x )．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)Δx 表示x 2－x 1，是相对于x 1的一个增量，Δx 的值可正可负，但不可为零． (2)Δy 表示f (x 2)－f (x 1)，Δy 的值可正可负，也可以为零． ( ) (3)ΔyΔx 表示曲线y ＝f (x )上两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))连线的斜率． ( ) (4)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数值与Δx 的正、负无关．( ) (5)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x 1，x 2]上的变化快慢的物理量．[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)× 2.如图，函数y ＝f (x )在[1,3]上的平均变化率为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2[解析]Δy Δx ＝f (3)－f (1)3－1＝－1． [答案] B3．函数f (x )＝x 2在x ＝1处的瞬时变化率是________________． [解析] ∵f (x )＝x 2，∴函数f (x )在x ＝1处的瞬时变化率是 lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0 (1＋Δx )2－12Δx＝lim Δx →0(2＋Δx )＝2.[答案] 2A ．0.40B ．0.41C ．0.43D ．0.44(2)已知函数f (x )＝x ＋1x，分别计算f (x )在自变量x 从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．[思路探究] (1)由Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x ) ＝f (2＋0.1)－f (2)可得．(2)求Δx ＝x 2－x 1→求Δy ＝f (x 2)－f (x 1)→计算ΔyΔx[解析] (1)Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝f (2.1)－f (2)＝2.12－22＝0.41． [答案] B(2)自变量x 从1变到2时，函数f (x )的平均变化率为 f (2)－f (1)2－1＝2＋12－(1＋1)1＝12；自变量x 从3变到5时，函数f (x )的平均变化率为 f (5)－f (3)5－3＝5＋15－⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋132＝1415.因为12<1415，所以函数f (x )＝x ＋1x在自变量x 从3变到5时函数值变化得较快．1．求函数平均变化率的三个步骤 第一步，求自变量的增量Δx ＝x 2－x 1； 第二步，求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)； 第三步，求平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.2．求平均变化率的一个关注点 求点x 0附近的平均变化率，可用f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx的形式．1．函数y ＝x 2＋1在[1,1＋Δx ]上的平均变化率是( ) A ．2 B ．2x C ．2＋ΔxD ．2＋(Δx )2[解析] ∵Δy ＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝2Δx ＋Δx 2，。
(全国通用版)新2020-2020版高中数学第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.1.1变化率问题1.1.2导数
2－ 0 ＝ 2 ＝ 4.
命题角度 2 平均变化率的几何意义
例 2 过曲线 y＝ f ( x) ＝ x2－ x 上的两点 P(1,0) 和 Q(1 ＋Δ x，Δ y) 作曲线的割线，已知割线 PQ 的斜率为 2，求 Δ x 的值．
考点 平均变化率
题点 平均变化率的应用
Δy 解 割线 PQ的斜率即为函数 f ( x) 从 1 到 1＋Δ x 的平均变化率 Δ x.
＝ 3＋Δ t ，
Δs
∴ lim Δt →０
＝ lim (3
t Δ
Δ t →０
＋Δ t ) ＝ 3.
∴物体在 t ＝1 处的瞬时变化率为 3.
即物体在 t ＝1 s 时的瞬时速度为 3 m/s.
引申探究
1．若例 3 中的条件不变，试求物体的初速度．
解 求物体的初速度，即求物体在 t ＝ 0 时的瞬时速度．
梳理 瞬时速度
(1) 物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．
Δs (2) 一般地， 设物体的运动规律是 s＝ s( t ) ，则物体在 t 0 到 t 0＋Δ t 这段时间内的平均速度为 Δ t
s t 0＋Δ t － s t 0
Δs
＝
Δt
. 如果 Δ t 无限趋近于 0 时， Δ t 无限趋近于某个常数 v，我们就说当 Δ t 趋
∵质点 M在 t ＝ 2 附近的平均变化率为
Δ s s 2＋Δ t － s 2 a 2＋Δ t 2－ 4a
Δt＝
Δt
＝
Δt
＝4a＋ aΔ t ，
Δs
∴ lim
＝ 4a＝ 8，即 a＝ 2.
t Δ Δt →０
类型三 导数定义的应用
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高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.1 函数的平均变化率 1.1.2 瞬时速度与导数学业分层测评
高中数学第一章导数及其应用1.1.1 函数的平均变化率1.1.2 瞬时速度与导数学业分层测评新人教B版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章导数及其应用1.1.1 函数的平均变化率1.1.2 瞬时速度与导数学业分层测评新人教B版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1.1.2 瞬时速度与导数（建议用时：45分钟)[学业达标］一、选择题1．函数f(x)＝x2－1在区间［1，m]上的平均变化率为3，则实数m的值为（)A．3 B．2C．1 D．4【解析】由已知得:错误!＝3，∴m＋1＝3,∴m＝2.【答案】B2．一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段［1，1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是（）A．－3 B．3C．6 D．－6【解析】由平均速度和瞬时速度的关系可知,v＝s′（1)＝错误! (－3Δt－6）＝－6。
【答案】D3．已知函数f(x）＝2x2－4的图象上一点(1，－2）及附近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则错误!＝( )A．4 B．4xC．4＋2Δx D．4＋2（Δx）2【解析】因为Δy＝f(1＋Δx)－f（1）＝2(1＋Δx）2－4－（2×12－4）＝4Δx＋2（Δx)2，所以ΔyΔx＝错误!＝4＋2Δx.【答案】C4．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f（x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2（a，b为常数)，则（)A．f′（x）＝a B．f′(x）＝bC．f′（x0)＝a D．f′(x0)＝b【解析】∵f′（x0)＝lim错误!Δx→0＝错误!错误!＝错误!（a＋bΔx)＝a，∴f′（x0）＝a.【答案】C5．设函数y＝f（x）在x＝x0处可导，且错误!错误!＝1,则f′（x0)等于（)A．1 B．－1C．－错误!D。
2019_2020学年高中数学第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.1.3导数的几何意义课件新人教A版
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答案
探究3 导数几何意义的综合应用 例 3 设函数 f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)，若曲线 y＝f(x)的斜率最小的切 线与直线 12x＋y＝6 平行，求 a 的值．
[解] 因为 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0) ＝(x0＋Δx)3＋a(x0＋Δx)2－9(x0＋Δx)－1－(x30＋ax20－9x0－1) ＝(3x20＋2ax0－9)Δx＋(3x0＋a)(Δx)2＋(Δx)3， 所以ΔΔyx＝3x20＋2ax0－9＋(3x0＋a)Δx＋(Δx)2.
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【跟踪训练 3】 已知点 M(0，－1)，F(0,1)，过点 M 的直线 l 与曲线 y ＝13x3－4x＋4 在 x＝2 处的切线平行．
(1)求直线 l 的方程； (2)求以点 F 为焦点，直线 l 为准线的抛物线 C 的方程．
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解
(1)因为 y′＝lim Δx→0
Δy Δx
＝13x＋Δx3－4x＋ΔΔxx＋4－13x3＋4x－4＝x2－4，
所以 y′|x＝2＝0， 所以直线 l 的斜率为 0，其直线方程为 y＝－1.
(2)因为抛物线以点 F(0,1)为焦点，以直线 y＝－1 为准线，所以设抛物线
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答案
拓展提升 (1)导数几何意义的综合应用题的解题关键是对函数进行求导，利用题目 所给的斜率的线性关系、斜率的最值、斜率的范围等已知条件求解题目．此 处常与函数、不等式等知识点结合． (2)本题需要根据已知条件求出原函数在 x0 处的导数 f′(x0)并求出其最小 值，建立等量关系求出 a 的值，再根据 a<0 这一条件对结果进行取舍．
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2019-2020学年高中数学第一章导数及其应用 1.1.1 瞬时变化率（1）
学案新人教A版选修2-2
教学目标：1．了解瞬时速度的定义，能够区分平均速度和瞬时速度，理解导数(瞬时变化率)的概念教学重点：了解瞬时速度的定义，能够区分平均速度和瞬时速度，理解导数(瞬时变化率)的概念教学难点：能够区分平均速度和瞬时速度
么如何精确地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势呢？
结论：①平均变化率只
一点处的变化趋势
2）
例
小结：归纳求在某点处切线的斜率。
1在 _____ 函数 _____
，则，质点在
的规律作直线运动4
地面上从路灯在地面上的射影点
（）求人离开路灯的第一个。