福建省闽侯第六中学2018届高三上学期期末考试理数试题 (word版含答案)

福建省闽侯第六中学2018届高三上学期期末数学考试试题 理 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0)1(|>+=x x x A ，{}1|-==x y x B ，则=B A |（ ）A ．{}0|>x xB ．{}1|≥x xC ．{}10|≤<x xD ．R 2.已知复数z 满足i iz 32+=,则z 对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3.下列有关命题的说法中错误的是（ ）A ．命题：“若)(x f y =是幂函数，则)(x f y =的图象不经过第四象限”的否命题是假命题B ．设 R b a ∈,，则”“b a >是“||||b b a a >”的充要条件C ．命题“**∈∈∀N n f N n )(,且()n n f ≤” 的否定形式是“**∉∈∃N n f N n )(,00且()00n n f ≥”D.若q p ∨为假命题，则q p ,均为假命题4.已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（ ）A ．33+B ．63+ C. 321+ D ．321+ 5.设n m 、是两条不同的直线，βα、是两个不同的平面，有下列四个命题： ①如果αβα⊂m ,//，那么β//m ②如果αβα⊥⊥,m ，那么β//m③如果βα//,,n m n m ⊥⊥那么βα⊥ ④如果n a m m =⋂⊂βαβ,,//，那么n m //其中正确的命题是( )A ．①②B ．①③ C.①④ D ．③④6.已知b a >，二次三项式022≥++b x ax 对于一切实数x 恒成立，又R x ∈∃0，使02020=++b x ax 成立，则ba b a -+22的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C.2 D ．22 7.已知函数()12+-=xx f ，定义域数()()⎩⎨⎧<->=0),(0,x x f x x f x F ，则()x F 是（ ）A ．奇函数B ．偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数 8.将函数()2cos 2sin3x x x f -=的图象向右平移32π个单位长度得到函数()x g y =的图象，则函数()x g y =的一个单调递减区间是（ ） A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,4ππ B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ，2 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛--4,2ππ D ．⎪⎭⎫⎝⎛ππ223， 9.函数()ax xx f +=2的图象可能是（ ）A ．（1）（3）B ．（1）（2）（4） C.（2）（3）（4） D ．（1）（2）（3）（4）10.在菱形ABCD 中，3,60==AB A ,将ABD ∆折起到PBD ∆的位置，若三棱锥BCDP -的外接球的体积为677π,则二面角C BD P --的正弦值为（ ） A ．31 B ．21 C. 23 D ．37 11.若锐角ϕ满足22cos sin =-ϕϕ，则函数())(sin 2ϕ+=x x f 的单调增区间为（ ） A ．)(122,1252Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ B ．)(12,125Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ C.)(1272,122Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ D ．)(127,12Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ 12.设y x c xy p b y xy x a +==+-=,,22，若对任意的正实数y x ,，都存在以c b a ,,为三边长的三角形，则实数p 的取值范围是（ ）A ．()31，B ．(]21， C.⎪⎭⎫⎝⎛2721， D ．以上均不正确第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知平面向量),2(),2,1(m -==== ．14.已知⎰-=3)12(dx x n ，则nx x ⎪⎭⎫⎝⎛-33的展开式中2x 的系数为 ．15.若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤+-≥+-08010502y x y x y x 所表示的平面区域存在点()00,y x ，使0200≤++ay x 成立，则实数a 的取值范围是 ．16.在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且满足A A sin 332cos22=，C B C B sin cos 4)sin(=-，则=cb． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. ABC ∆中，角角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且a c C b 2cos 2=+ (I)求角B 的大小；(II)若BD 为AC 边上的中线，71cos =A ，2129=BD ,求ABC ∆的面积 18. 为增强市民的节能环保意识，汕头市面向全市征召义务宣传志愿者，从符合条件的 500 名志愿者中随机抽取 100 名，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区是：[][][][][]45404035353030252520，，，，，，，，，，(1)求图中x 的值，并根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在[]4035，岁的人数； (2)在抽出的 100 名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取 10 名参加人民广场的宣传活动，再从这 10 名志愿者中选取 3 名担任主要负责人．记这 3 名志愿者中“年龄低于 35 岁”的人数为 X ，求X 的分布列及数学期望.19.已知四棱锥ABCD P -中，平面⊥PCD 平面ABCD ，且BC CD PC PD 2222===， ABD BCD ∆=∠,32π是等边三角形，AC E BD =. (1)证明：⊥PC 平面PAD ； (2)求二面角C AB P --的余弦值.20. 已知动圆过定点)2,0(R ,且在x 轴上截得线段MN 的长为 4，直线)0(:>+=t t kx y l 交y 轴于点Q .(1)求动圆圆心的轨迹E 的方程；(2)直线l 与轨迹E 交于B A ,两点，分别以B A ,为切点作轨迹E 的切线交于点P ，APB =∠.试判断实数t 所满足的条件，并说明理由. 21. 已知函数())(ln R a x ax x f ∈+=有两个零点21,x x . (1)求a 的取值范围；(2)是否存在实数λ， 对于符合题意的任意21,x x ，当0)1(210>-+=x x x λλ 时均有()0'<x f ?若存在，求出所有λ的值；若不存在，请说明理由．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，已知圆C 的圆心坐标为)0,2(，半径为2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的参数方程为：⎩⎨⎧+=-=t y tx 1（t 为参数）(1)求圆C 和直线l 的极坐标方程； (2)点P 的极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛2,1π，直线l 与圆C 相较于B A ,,求PB PA +的值. 23.选修4-5：不等式选讲设函数())(|3||2|R m m x x x x f ∈---+-=. (I)当4-=m 时，求函数()x f 的最大值； (II)若存在R x ∈0，使得()410-≥mx f ，求实数m 的取值范围．高三理科数学期末考试试题参考答案一、选择题1-5:BDCBC 6-10: DACCC 11、12：BA 二、填空题13.5 14.1 15. 1-≤a 16.61+ 三、解答题17.解：(1)a c C b 2cos 2=+，由正弦定理，得A C C B sin 2sin cos sin 2=+，π=++C B A∴C B C B C B A sin cos cos sin )sin(sin +=+=)sin cos cos (sin 2sin cos sin 2C B C B C C B +=+ C B C sin cos 2sin =因为π<<C 0,所以0sin ≠C ，所以21cos =B ， 因为π<<B 0,所以3π=B .(2)法一：在三角形ABD 中，由余弦定理得A b c b c cos 2222129222⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 所以bc b c 714412922-+= (1) 在三角形ABC 中，由正弦定理得BbC c sin sin =，由已知得734sin =A 所以1435sin cos cos sin )sin(sin =+=+=B A B A B A C ， 所以b c 75=(2) 由(1),(2)解得⎩⎨⎧==57c b所以310sin 21==A bc S ABC 法二：延长BD 到E ，BD DE =，连接AE ，ABE ∆中，32π=∠BAE , BAE AE AB AE AB BE ∠⋅⋅⋅-+=cos 2222因为BC AE =，c a a c ⋅++=22129 (1)由已知得，734sin =A ,所以1435)sin(sin =+=B A C ， 85sin sin =∠∠=BAC ACB a c (2) 由(1)(2)解得8,5==a c ，310sin 21=∠⋅⋅=∆ABC a c S ABC 18.解：(I)∵小矩形得面积等于频率，∴除[)4035，外得频率和为0.70，∴06.0570.01=-=x 500名志愿者中，年龄在[)4035，岁的人数为15050050.06=⨯⨯（人）(II)用分层抽样的方法，从中选取 10 名，则其中年龄“低于 35 岁”的人有 6 名，“年龄不低于35 岁”的人有 4 名，故X 的可能取值为 0，1，2，3.301)0(31034===C C X P ,103)1(3102416===C C C X P ,21)2(3101426===C C C X P ,61)3(31036===C C X P .故X 的分布列为所以56322101300=⨯+⨯+⨯+⨯=EX . 19.解:(1)在ABCD ∆中，BC CD BCD ==∠,120,所以30=∠=∠CBD BDC , 又ABD ∆是等边三角形，所以60=∠ADB ,所以90=∠+∠=∠BDC ADB ADC ,即DC AD ⊥,又因为平面⊥PCD 平面ABCD ，平面PCD 平面CD ABCD =，所以⊥AD 平面PCD ，故PC AD ⊥.在PCD ∆中，CD PC PD 22==. 所以PC PD ⊥.又因为AD D PD =,所以⊥PC 平面PAD .(2)解法一：如图，取CD 的中点H ，连接PH .则在等腰PDC Rt ∆中，DC PH ⊥.又因为平面⊥PCD 平面ABCD ,平面PCD 平面CD ABCD =，所以⊥PH 平面ABCD .过点D 作PH 的平行线l ，则⊥l 平面ABCD .由(1)知DC AD ⊥,故以D 为坐标原点O ，以直线l DC DA 、、分别作为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.设2=DC ,则在PDC Rt ∆中，2==PC PD ,1=PH . 又在BCD ∆中，120,=∠=BCD BC CD ,所以12120cos 22222cos 222222=⨯⨯⨯-+=∠⋅-+=BCD CB CD CB CD BD ，故32=BD .又因为ABD ∆是等边三角形，所以32=AD .所以)1,1,0(P ,)0,0,32(A ,)0,2,0(C ,)0,30cos 32,60cos 32(B ，即()033，，B . 所以)1,1,32(-=AP ,)0,3,3(-=AB ,)1,0,0(=HP . 设平面PAB 的法向量为),,(z y x n =，则由⎩⎨⎧=⋅=⋅0AB n AP n ，得⎩⎨⎧=+-=++-033032y x z y x .令3=x ，得5,1==z y .故)5,1,3(=n 为平面PAB 的一个法向量. 因为⊥PH 平面ABCD ，故)1,0,0(=HP 为平面ABCD 的一个法向量.故()292952951513150103||||,cos 222==⨯++⨯+⨯+⨯=⨯⋅>=<HP n HP n HP n . 设二面角C AB P --为θ，则由图可知)2,0(πθ∈,所以29295,cos cos>=<=HP n θ.解法二：取CD 的中点H ，连接PH ，连接HE 并延长，交AB 于F ，连接PF .则在等腰PDC Rt ∆中，DC PH ⊥.又因为平面⊥PCD 平面ABCD ，平面PCD 平面CD ABDC =, 所以⊥PH 平面ABCD .设2=DC ,则在PDC Rt ∆中，1,2===PH PC PD . 又在BCD ∆中，120,=∠=BCD BC CD ， 所以BCD CB CD CB CD BD ∠⋅-+=cos 222212120cos 2222222=⨯⨯⨯-+=，故32=BD .BCD ∆中，HC DH EB DE ==,，所以BC EH //，且121==BC EH .故30=∠=∠CBD HED ,又HED BEF ∠=∠,且60=∠DBA , 所以90=∠+∠BEF DBA ,故AB EF ⊥.又因为⊥PH 平面ABCD ，由三垂线定理可得AB PF ⊥, 所以PFH ∠为二面角C AB P --的平面角. 在BEF Rt ∆中，321==BD BE ,所以23233sin =⨯=∠=DBA BE EF . 故25=+=EF HE HF .所以在PHF Rt ∆中，2292512222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=HF PH PF ,故2929522925cos ===∠PFHF PFH∴二面角C AB P --的余弦值为29295.20.解：(1)设动圆圆心的坐标为),(y x ，半径r ，)0(>r ，∵动圆过定点），（20R ，且在x 轴上截得线段MN 的长为4，∴⎩⎨⎧=+=-+222224)2(ry r y x ，消去r 得y x 42=， 故所求轨迹E 的方程为 y x 42=； (2)实数t 是定值，且1=t ，下面说明理由， 不妨设()()212211,,,,x x y x B y x A ≠，()00,y x P ，由题知)1,0(Q ，由⎩⎨⎧=+=yx t kx y 42，消去y 得0442=--t kx x ，∴⎩⎨⎧-==+tx x k x x 442121，轨迹E 在A 点处的切线方程为)(2:1111x x x y y l -=-，即42211x x x y -=， 同理，轨迹E 在B 处的切线方程为42:2221x x x y l -=， 联立21,l l ：的方程解得交点坐标)4,2(2121x x x x P +，即),2(t k P -，APB S APB ∆==∠2, 得⊥,即0=⋅,)2,2(t k PQ -=，)4,(212212x x x x --=， ∴042)(2212212=-⋅+--x x t x x k ， 即0)1)((212=--t x x k ，则0)1(2=-t k ，则1=t ，故实数t 是定值，且1=t .21.【解答】解：(1))0(1)('>+=x xa x f ， 当0≥a 时，0)('>x f 对0>x 恒成立，与题意不符，当0<a ，x ax x a x f 11)('+=+=， ∴ax 10-<<时0)('<x f ， 即函数)(x f 在)1,0(a -单调递增，在),1(+∞-a单调递减， ∵0→x 和+∞→x 时均有()-∞→x f ， ∴0)1ln(1)1(>-+-=-a a f ，解得：01<<-a e ， 综上可知：a 的取值范围)0,1(e -；(2)由(1)可知)01(10)('00<<-->⇔<a ea x x f ， 由21,x x 的任意性及0)(')('21<⋅x f x f 知，0≠λ，且1≠λ，⎩⎨⎧=+=+0ln 0ln 2211x ax x ax ∴1212ln ln x x x x a ---=， 故1212210ln ln )1(x x x x x x x -->-+=λλ， 又∵121212ln 1)1(x x x x x x ->-+λλ，令12x x t =，则1,0≠>t t ，且0ln 1)1(>->-+t t t λλ恒成立， 令)0()1(1ln )(>-+--=t tt t t g λλ，而0)1(=g ， ∴1>t 时，()10,0<<>t t g 时，()()*<.0t g ∴22222])1([)1]()1([)1(])1([11)('t t t t t t t g λλλλλλλ-+----=-+-=，令22)1(λλμ-=， 若1<μ，则1<<t μ时，0)('<t g ，即函数在)1,(μ单调递减， ∴()()01=>g t g ，与()*不符；若1>μ，则μ<<t 1时，0)('<t g ，即函数)(t g 在),1(μ单调递减， ∴()()01=<g t g ，与()*式不符；若1=μ，解得21=λ，此时0)('≥t g 恒成立，)10)('(=⇔=t t g ， 即函数)(t g 在),0(+∞单调递增，又0)1(=g ，∴1>t 时，0)(>t g ；10<<t 时，()0<t g 符合()*式， 综上，存在唯一实数21=λ符合题意. 22.解：圆C 的直角坐标方程为()2222=+-y x⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 代入圆C 得：()2sin 2cos 222=+-θρθρ 化简得圆C 的极坐标方程：02cos 4-2=+θρρ由⎩⎨⎧+=-=ty t x l 1:得1=+y x ∴l 的极坐标方程为1sin cos =+θρθρ (2)由)2,1(πP 得点P 的直角坐标为)1,0(P∴直线l 的参数的标准方程可写成t t y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=22122（t 为参数） 代入圆C 得：2)221()222(22=++--t t 化简得：03232=++t t⎩⎨⎧=⋅-=+∴3232121t t t t ∴0,021<<t t ∴23)(2121=+-=+=+t t t t PB PA23.解：(I)当4-=m 时，()⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤≤---<+=+--+-=3,5,32,1,2,33432x x x x x x x x x x f∴函数()x f 在(]3,∞-上是增函数，在()∞+，3上是减函数， 所以()()23max ==f x f .(II) ()410-≥m x f ，即mm x x x 1432000+≥+--+-， 令()432+--+-=x x x x g ，则存在R x ∈0，使得()m m x g 10+≥成立， ∴()max 1x g mm ≤+， 由(I)知()x g 最大值为2 ∴21≤+m m ， ∴当0>m 时，原不等式为()012≤-m ，解得1=m ， 当0<m 时，原不等式为()012≥-m ，解得0<m ， 综上所述，实数m 的取值范围是(){}10,U ∞-.。