关于含有Wallis公式的双边不等式及其应用
介绍Wallis公式及其应用知识分享
介绍W a l l i s公式及其应用/?ref=toolbar_logoWallis公式及其应用本文讲述Wallis公式，以及它的推导过程。
然后讲述Wallis公式的两个重要应用，即推导Stirling公式和求解Euler-Poisson积分。
Contens1. 什么是Wallis公式2. Wallis公式的推导过程3. 利用Wallis公式推导Stirling公式4. 利用Wallis公式求解Euler-Poisson积分1. 什么是Wallis公式Wallis公式是关于圆周率的无穷乘积的公式，公式内容如下其中，开方后还可以写成2. Wallis公式的推导过程Wallis公式的推导采用对在区间内的积分完成，令用部分积分法得到如下推导过程进一步得到所以继续得到所以最终得到由的单调性可知即得到由两边夹挤准则得到这样就推导出了Wallis公式。
3. 利用Wallis公式推导Stirling公式斯特林公式如下接下来利用Wallis公式来推导斯特林公式。
借助函数的图像面积，通常有三种求法，分别是积分法，内接梯形分割法，外切梯形分割法。
实际上最准确的是第一种，后面两种都有一定误差。
对于积分法求面积有对于内接梯形分割法有很容易知道，令，很容易证明为有界递增序列，则接下来令，则有极限，设则根据Wallis公式得到进一步化简得到所以最终得到带入原式得到斯特林公式4. 利用Wallis公式求解Euler-Poisson积分在上面，我通过Wallis公式完美地推导了斯特林公式，接下来继续看Wallis公式的另一个应用，即求解Euler-Poisson积分。
Euler-Poisson积分是无限区间上的非正常积分它在概率论等数学分支以及其它自然科学中都有重要应用，由于它的被积函数的原函数不能用初等函数表示，因此不能用牛顿-莱布尼兹公式求它的值。
现在我就用上面学到的Wallis公式来求解。
借助函数在时取得最大值1，因此对于任何，都有，从而得到和，所以对任意自然数都有由于那么，我们又知道即得到不等式为同时取平方后得到由Wallis公式可以推出，在的情况下，两边都是以为极限，由两边夹挤准则得到/ACdreamers/article/details/41451591/ACdreamers/article/details/41451591http://bl /ACdreamers/article/details/41451591/ACdreamers/article/details/41451591http://blog.csdn. net/ACdreamers/article/details/41451591/ACdreamers/article/details/41451591。
应用含参量定积分证明Wallis公式
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类似 可证 得
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收 稿 日期 ： ２ ０ １ ２—１ ０—２ ３
基 金项 目 ： 怀 化 学 院教 改 项 目（ ２ ０ １ ０ ３ １ ） 作 者简 介 ： 何郁波 （ １ ９ ７ ９一 ） ， 男， 湖 南 岳 阳人 ， 怀化学 院数学 系讲师 ， 硕士， 主 要 从 事 非 线 性 互 补 问 题 与 微 分 方 程 数 值
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Ｗａ ｌ ｌ ｉ ｓ 公 式揭 示 了无理 数 兀 与 整数 之 间的一 种很 不 寻常 的关 系 ， 在 定积 分 的计 算 、 广义 积 分 的判 敛 、 级数 的
判敛性方面应用非常广泛． 关于其证明方法有很多口 ］ ， 一般都是利用积分 ． ， 一Ｉ ｓ ｉ ｎ ” ｘ ｄ ｘ—Ｉ ‘ ｃ ０ ｓ ” ｘ ｄ ｘ
关键词 ： Ｗａ ｌ ｌ ｉ ｓ 公 式； 含参量定积分 ； 迫 敛 性 中图分类号 ： Ｏｌ ７ ８ 文献标志码 ： Ａ Ｄ Ｏ Ｉ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ ７ — ２ ９ ８ ５ ． ２ ０ １ ３ ． ０ ２ ． ０ ０ ４
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第 ３ ４卷
第 ２期
吉首大学学报（ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ｏ ｕｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｊ ｉ ｓ ｈ ｏ ｕ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ（ Ｎａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎｃ ｅ Ｅｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ）
柯西—施瓦茨不等式的推广与应用
柯西—施瓦茨不等式的推广与应用柯西—施瓦茨不等式是一个重要的几何不等式。
它表示一个轨迹在某个方向上的最大距离只能多于给定的固定距离。
这一不等式在许多不同的领域都有着广泛的应用，例如信息论、机器学习、几何优化等。
在信息论领域内，柯西—施瓦茨不等式提供了一种快速估计有效容量的方法，也就是可以根据柯西—施瓦茨不等式快速计算出通信信道的容量。
在机器学习领域，柯西—施瓦茨不等式用来计算给定数据集的最佳分类面，以此实现分类任务。
同时，柯西—施瓦茨不等式还可以用来求解很多优化问题，例如局部最小值搜索，梯度下降法等，它们都可以通过求解柯西—施瓦茨不等式来解决。
总之，柯西—施瓦茨不等式在不同领域都有着重要而深远的影响，它是几何不等式中的一颗明珠，在许多重要的计算机科学领域里都可以找到它的直接应用。
柯西—施瓦茨不等式（Kleene-Schwartz Inequality）是一个重要的数学不等式，它通过有限个变量的总和来比较他们的积和平方和的大小。
这个不等式最初是由美国数学家斯坦尼斯·柯西（Stephen Kleene）和俄国数学家谢尔盖·施瓦茨（Sergei Schwartz）在1934年提出的。
它最初是用来比较单变量的总和和它们的积和平方和的大小，但是它也可以推广到有限个变量的情况。
柯西—施瓦茨不等式的推广形式如下：∑_(i=1)^n▒〖a_i(x_i-y_i)〗^2≤2∑_(i=1)^n▒〖a_i(x_i-μ_i)〗^2+2∑_(i=1)^n▒〖a_i(μ_i-y_i)〗^2其中，a_i 是正常量，x_i 和 y_i 是两个变量，μ_i 表示变量 x_i 和 y_i 的中值。
该不等式有广泛的应用，其中最重要的是它可以用来分析不同变量之间的关系。
它可以用来分析两个变量之间的相关性，即检测它们之间是线性相关还是非线性相关。
此外，它还可以用来检验观测数据的正确性，以及分析观测数据中存在的潜在模式。
kruskal-wallis检验公式
kruskal-wallis检验公式Kruskal-Wallis检验公式在统计学中，Kruskal-Wallis检验是一种非参数检验方法，用于比较两个或多个独立样本的中位数是否相等。
该检验可以看作是对方差分析的非参数版本，适用于数据不满足正态分布或方差齐性的情况。
Kruskal-Wallis检验的原假设是所有样本中位数相等，备择假设是至少有两个样本的中位数不相等。
在进行Kruskal-Wallis检验前，需要先对数据进行排序，并为每个数据点分配一个秩次。
然后，使用以下公式计算检验统计量H：H = (12 / (n(n+1))) * Σ(Ri - (n+1)/2)^2 / ni其中，H为检验统计量，n为总样本数，Ri为第i个样本的秩次之和，ni为第i个样本的样本大小。
在进行Kruskal-Wallis检验时，需要计算出H的值，并与临界值进行比较，以判断是否拒绝原假设。
临界值的选择依赖于显著性水平和样本大小，可以通过查找Kruskal-Wallis检验的临界值表获得。
如果计算得到的H值大于临界值，则可以拒绝原假设，认为至少有两个样本的中位数不相等。
反之，如果H值小于等于临界值，则无法拒绝原假设，不能得出样本中位数不相等的结论。
Kruskal-Wallis检验的优点是可以处理非正态分布和方差不齐的数据，适用于多个独立样本的比较。
它不依赖于总体分布的具体形式，而是基于秩次的比较，因此在样本大小较小时也能保持较好的统计性能。
然而，Kruskal-Wallis检验也有一些限制。
首先，它只能检验多个样本的中位数是否相等，不能提供关于哪些样本之间存在差异的具体信息。
其次，由于使用了秩次，可能会丢失一些原始数据的信息。
此外，Kruskal-Wallis检验对异常值比较敏感，可能导致统计结果的失真。
Kruskal-Wallis检验是一种非参数的统计方法，用于比较多个独立样本的中位数是否相等。
通过计算检验统计量H并与临界值比较，可以判断是否拒绝原假设。
kruskal wallis 检验公式
kruskal wallis 检验公式Kruskal-Wallis检验公式是一种非参数统计方法，用于比较三个或多个独立样本的中位数是否存在差异。
它是对方差分析的一种推广，适用于数据不满足正态分布的情况。
本文将详细介绍Kruskal-Wallis检验公式的原理和应用。
Kruskal-Wallis检验公式的原理基于秩次转换，即将每个样本的观测值按照大小顺序排列，并用相应的秩次替代原始值。
这样，我们可以将原始数据转化为秩次数据，从而避免了对数据分布的假设。
接下来，我们将根据秩次数据计算出一个统计量H，该统计量反映了不同样本之间的差异程度。
Kruskal-Wallis检验公式的计算过程如下：1. 将每个样本的观测值按照大小顺序排列，并为每个值分配一个秩次。
如果有多个相同的值，可以为它们分配相同的秩次，计算方法为将相同值的秩次相加后除以相同值的个数。
2. 计算每个样本的秩次和，记为Ri。
3. 计算每个样本的秩次平方和，记为Ri^2。
4. 计算样本的秩次平方和之和，记为T。
5. 计算统计量H的值，公式为H = 12 * T / (N * (N + 1)) - 3 * (N + 1)，其中N为总样本量。
6. 根据样本量和显著性水平选择相应的临界值，比较统计量H的值与临界值的大小关系。
7. 如果统计量H的值大于临界值，则拒绝原假设，即认为样本之间存在差异；反之，接受原假设，即认为样本之间不存在差异。
Kruskal-Wallis检验公式的应用场景广泛。
例如，在医学研究中，可以使用Kruskal-Wallis检验来比较不同治疗组的疗效差异；在市场调研中，可以使用Kruskal-Wallis检验来比较不同品牌产品的受欢迎程度；在教育研究中，可以使用Kruskal-Wallis检验来比较不同教学方法的效果差异。
需要注意的是，Kruskal-Wallis检验公式对样本间的方差齐性假设比较敏感。
如果样本方差不齐，可能会导致检验结果的偏误。
课题开题报告
对课题实施和完成条件的论证：负责人的研究水平、组织 能力和时间保证；参加者的研究水平和时间保证；资料、 设备、科研手段；课题组人员分工。 本课题负责人及课题组成员均长期从事高中教育教学 管理与科研工作，其中，中学高级教师1人，中学一级教 师2人，中学二级教师2人；100%具有大学本科学历。课 题组成员年富力强，受过较好的学术训练；课题组的所有 成员，除正常的教学工作以外，有充足的时间可以用于本 课题研究，学校图书馆有充足的图书资料和电子资料可供 查阅、学习，对问卷调查和访谈所获得资料可以利用先进 的数学软件进行科学地分析。卿大海负责高中教务工作， 可以从实践中获取大量的实验资料；杨佳友、卿大海、隆 建军等承担实验班班主任和教学工作，可以获取大量的对 比试验、验证资料，为课题的研究提供了理论和实践支持。 即便是教学工作，也可以按照教学与科研相统一的原则， 将本课题的研究与相关的教学工作结合起来，在教学过程 中进行研究，将研究的过程和成果渗透到教学过程中，促 进学生成绩。 本课题组成员都长期从事教育教学和学术研究工作， 具有一定的研究能力，同时在长期的教学工作中积累了相 关的经验。
研究难点： 高中生良好自主学习能力的培养和应用。 国外自主学习研究现状： 在国外明确提倡自主学习的主张可以追溯到上世纪70 年代；而涉及自主学习教育思想的观念可以追溯到更久远。 20世纪80年代以来，国外研究者基于对影响自主学习的诸 多因素的分析和整合，陆续提出了一些自主学习模型，对 自主学习的内在机制作了深入的剖析：麦考姆斯是自主学 习的现象派的代表人物之一，1989年，他在其论文《自主 学习和学业成绩：一种现象学的观点》一文中，提出了一 个自主学习模型。对自我系统的结构成分和过程成分在自 主学习中的作用作了描述；20世纪90年代以后，自主学习 的认知学派的巴特勒和温内提出了一个更为详尽的自主学 习模型，从信息加工角度来阐释自主学习的内在机制。巴 特勒等认为：一个完整的自主学习过程应该包括四个阶段， 即任务界定阶段，目标设置和计划阶段，策略执行阶段和 元认知调节阶段。学专利示范校》研究结束，正准备结题。 已获奖或发表的教育教学论文和学术论文有： 杨佳友： 1、《发展中的仁和旅游》在“四川省第七届教师优 秀论文评选活动”中荣获二等奖2006.9
Wallis公式的几个应用
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15.张国铭 关于Wallis不等式的上界和下界[期刊论文]-高等数学研究 2007(5)
相似文献(3条)
1.期刊论文 赵德钧 关于含有Wallis公式的双边不等式 -数学的实践与认识2004,34(7)
得到了含有Wallis公式的一个简洁且更为精细的双边不等式.
2.期刊论文 应玮婷.YING Wei-ting 含Wallis公式的双边不等式的一个新证明 -台州学院学报2008,30(3)
ｏｆ∑７１＝缸Ｊ］．Ｔｈｅ ［８］Ｂｏｏ Ｒｉｍ Ｃｈｏｅ．Ａｎ Ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ Ｐｒｏｏｆ
Ａｍｅｒｉｃａｎ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｍｏｎｔｈｌｙ，１９８７，
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９４（７）：６６２—６６３．
［９］陈纪修，於崇华，金路．数学分析（下册）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０００。９４—９５． ［１０］华东师范大学数学系．数学分析（上册，第三版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００１，２２６—２２７． ［１１］Ｒ．柯朗，Ｆ．约翰著，张鸿林。周民强译．微积分和数学分析引论（第一卷，第一册）［Ｍ］．北京：科学出版社，
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（２九）！
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客（扎竺惫）＝押１一湍）
kruskal-wallis检验公式
kruskal-wallis检验公式Kruskal-Wallis检验公式在统计学中，Kruskal-Wallis检验是一种用于比较三个或更多独立样本的非参数检验方法。
它可以判断多个样本是否来自同一总体分布。
Kruskal-Wallis检验公式的原理和应用将在本文中详细阐述。
我们要了解非参数检验的概念。
相对于参数检验，非参数检验不需要对总体的分布形态做出任何假设。
这使得非参数检验在样本数据缺乏正态分布或方差齐性的情况下仍然有效。
Kruskal-Wallis检验就是一种常用的非参数方法。
Kruskal-Wallis检验的原假设是：多个样本的中位数相等。
而备择假设则是：多个样本的中位数不全相等。
Kruskal-Wallis检验的计算步骤如下：1. 将所有样本的数据合并成一个大的数据集，并为每个数据点标记所属组别。
2. 对合并后的数据进行排序，计算每个数据点的秩次。
3. 计算每个组别的秩次和，得到各组的秩次和值。
4. 根据公式计算检验统计量H：H = (12 / (N(N+1))) * (∑(R_i^2 / n_i) - 3(N+1))其中，N为样本总数，R_i为第i组的秩次和，n_i为第i组的样本数。
5. 根据样本总数N和自由度k-1（k为组别数）查找Kruskal-Wallis检验的临界值。
6. 比较计算得到的检验统计量H和临界值，进行假设检验。
- 如果H小于临界值，则接受原假设，即多个样本的中位数相等。
- 如果H大于等于临界值，则拒绝原假设，即多个样本的中位数不全相等。
Kruskal-Wallis检验的应用广泛，特别适用于以下场景：1. 当样本数据不满足正态分布假设时，可以使用Kruskal-Wallis 检验替代方差分析（ANOVA）。
2. 当样本数据存在极端值或异常值时，Kruskal-Wallis检验更具鲁棒性。
3. 当样本数据的方差不满足齐性假设时，Kruskal-Wallis检验也是一种可靠的选择。
Wallis公式的几个应用
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・ 收 稿 日期 ；０ ７— ０ — １ ； 改 日期 ：０ ８ ０ — １ ２０ ４ ６修 ２０ — ４ ５ ＊ 基 金项 目：０ ６年 黑龙 江 省 教 育 厅 科 学 技 术 研 究 项 目（ １ １ ４３ ＊ ２０ １ ５ １２ ）
又可 以写 为
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摘
要 搜 集 了 若 干 与 Ｗ ａ ｉ公 式 有 关 的 例 子 ， 述 了 Ｗ ａ ｉ公 式 在 其 上 的 应 用 ｌｓ ｌ 论 ｌｓ ｌ
中 图分 类 号 Ｏ１ １ Ｏ１ ２ ２ Ｏ１ ３ １ ７ ； ７ ， ； ７ ，
关于Wallis不等式的一种改进
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廊坊 师范学院学报 （ 自然科学版 ）
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含wallis公式的双边不等式的一个新证明
含wallis公式的双边不等式的一个新证明随着数学和科学的发展，关于双边不等式的研究变得越来越重要。
在这方面，Wallis公式是一个经典的结果，它可以用来求解复杂的双边不等式。
本文将结合实际应用，介绍关于Wallis公式的一个新证明。
Wallis公式的历史可以追溯到17世纪，由英国数学家John Wallis推导出来，即：t 2/1×2/3×4/3×4/5=π/2从历史上讲，Wallis公式有着重要的意义，因为它是第一个用于求解双边不等式的工具，这个公式可以帮助我们解决许多复杂的问题。
由于Wallis公式的重要性，它已经被广泛应用在工程和科学研究中，尤其是在计算机领域。
一般来说，当我们需要解决某个双边不等式时，可以使用Wallis公式。
本文就是基于Wallis公式的一种应用，即双边不等式的一个新证明。
首先，本文准备提出一个新的双边不等式：2a<=(2+a)^2下面，我们开始对此双边不等式进行推导。
由定义知，设a∈(0,2)，则有：2(2+a)<=(2+a)^2同时，我们可以将左侧式子化简为：2a+4<=(2+a)^2据此，可以证明本文的双边不等式的真实性：证明：让a∈(0,2)，将上面的式子乘以4，可得：8a+16<=(2+a)^2×4根据Wallis公式，将右侧式子分解为：8a+16<=(2+a)×2×2×2于是，双边不等式的真实性得证。
总结证明，本文提出的一个新的双边不等式：2a<=(2+a)^2，可以通过Wallis公式证明其真实性。
通过本文，可以看出，Wallis公式在双边不等式的求解中发挥着重要的作用，此外，其经典性也为更多的研究者和数学家提供了极大的启发。
以上就是关于《含Wallis公式的双边不等式的一个新证明》的详细内容，本文概述了Wallis公式的历史、应用场景以及基于Wallis 公式的双边不等式的一种新的证明。
Gronwall不等式在微分方程中的应用
目录
• Grönwall不等式的简介 • Grönwall不等式在微分方程中的应
用 • Grönwall不等式的证明 • Grönwall不等式的实际应用 • Grönwall不等式的局限性和未来发
展 • 结论
01 Grönwall不等式的简介
Grönwall不等式的定义
VS
详细描述
首先，根据实际问题建立数学模型，将问 题转化为不等式形式；然后，利用 Grönwall不等式对不等式进行求解；最 后，将求解结果应用于实际问题中，得出 结论并进行验证。
04 Grönwall不等式的实际 应用
在物理中的应用
量子力学
Grönwall不等式在量子力学中用于描述粒子波函数的演化，特别是在处理含时薛定谔方程时，确保波函数的范数在时 间演化过程中保持不变。
的不等式。
解释
形式一是Grönwall不等式的 常见形式，用于研究函数的单 调递减性质；形式二则是研究
函数的单调递增性质。
02 Grönwall不等式在微分 方程中的应用
一阶微分方程
总结词
Grönwall不等式可以用于处理一阶微分方程，确保解的存在性和唯一性。
详细描述
对于形如 (y' = f(t, y)) 的一阶微分方程，其中 (f) 是连续函数，Grönwall不等式 可以用于证明解的存在性和唯一性。通过构造适当的辅助函数，利用Grönwall不 等式的性质，可以证明解的存在性和唯一性。
Grönwall不等式的形式
形式一
如果$u(t) leq k(t) + int_{0}^{t} f(s) u(s) ds$，其 中$k(t)$和$f(t)$是已知函数， 那么我们称$u(t)$满足形式一
应用含参量定积分证明wallis公式
应用含参量定积分证明wallis公式
Wallis公式是一种非常重要的数学形式，被用于求解积分的精确值。
它是由英国
数学家威利斯（John Wallis）于17世纪制定的，并受益于他的诸多数学研究成果。
它曾经在多门学科的解法中发挥了广泛的作用，它的推导是特别复杂的。
一般而言，可以表达为，当函数 f(x) 在区间[a, b]上具有可积性，则：
∫a^bf(x)dx=2(b-a) ∂([∫akf(x)dx]/∂k)
k=1/2
在中文来说，Wallis公式是指当定积分的上下限为[a,b]时，积分可以被表达
为两积分的和，这两个积分分别为[a,k]和[k,b]，而k是一个权重系数，它是由[a,b]确定的。
威利斯发现，如果将[a,b]上的积分拆分成两个子集，每个子集中的积分之和
的乘积就是所求的积分的值。
也就是说，将积分分解为二倍积分，即[a,k]和[k,b]和，并用系数k去将二倍积分合并在一起，就可以得出定积分的解。
以上就是Wallis公式的推导原理。
Wallis公式在数学解法和科学研究中起着重要作用，它可以在条件一定的情
况下帮助我们准确的求解定积分的值，进而节约我们的计算量。
因此，Wallis公
式不但是一个数学结构而且也可以被视为一种数学计算工具，具有无穷的价值。
柯西施瓦茨不等式
柯西施瓦茨不等式柯西-施瓦茨不等式是数学中一个重要的不等式，它由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西和德国数学家卡尔·施瓦茨独立发现，因此也被称为柯西-施瓦茨定理。
这个不等式在线性代数和某些数学领域中发挥着重要作用，为我们理解向量空间、内积空间以及二次型等提供了重要的工具。
柯西-施瓦茨不等式的表述如下：“对于任意两个向量x和y在内积空间中，有|<x, y>| ≤ ||x|| ||y||（其中||x||和||y||分别表示向量x和y的范数）”。
也就是说，向量x与向量y的内积的绝对值不超过二者范数的乘积。
柯西-施瓦茨不等式可以应用于多个领域，其中最为常见的应用是在几何学和概率论中。
在几何学中，柯西-施瓦茨不等式被用于证明一些重要的性质，如三角不等式和向量的正交性质等。
在概率论中，它被用于证明一些重要的不等式，如马尔可夫不等式和切比雪夫不等式等。
对于任意两个向量x和y，柯西-施瓦茨不等式告诉我们它们的内积的绝对值不会大于它们范数的乘积。
这个不等式可以通过几何直观地理解：两个向量的内积可以表示它们的夹角的余弦值，夹角越小，余弦值越接近1，而向量的范数表示向量的长度，长度越长，范数的值越大。
因此，柯西-施瓦茨不等式可以看作是夹角和向量长度之间的关系，它告诉我们，夹角越小，向量长度越大，两个向量的内积的绝对值也就越接近它们长度的乘积。
柯西-施瓦茨不等式在实际问题中具有广泛的应用。
例如，在信号处理中，我们可以使用柯西-施瓦茨不等式来估计信号的功率谱密度。
在机器学习中，柯西-施瓦茨不等式被用于证明一些学习算法的收敛性和容量界限等。
在金融学中，柯西-施瓦茨不等式被用于证明一些金融模型的有效性和风险控制等。
总之，柯西-施瓦茨不等式是一个重要的数学工具，在多个领域有广泛的应用。
它的发现和证明拓宽了我们对向量空间和内积空间的理解。
通过研究和应用柯西-施瓦茨不等式，我们可以深入探索数学和其他领域中的一些重要问题，并为实际问题的解决提供有力的支持。
毕业论文沃利斯公式的证明及其应用
毕业论文-沃利斯公式的证明及其应用盐城师范学院毕业论文沃利斯公式的证明及其应用学生姓名学院数学科学学院专业数学与应用数学班级 10（2）班学号 10211255 指导教师韩诚2014年 5 月 25 日沃利斯公式的证明及其应用摘要Wallis公式在求Euler-Poisson积分和推导Stirling公式的过程中扮演了很重要的角色．近几年来，国内很多数学分析的教材都引入Wallis公式，但教材中关于其应用的论述很少．本文针对Wallis公式的证明并将Wallis公式进行两个简单推广，从数列极限计算、积分计算以及级数收敛性判断几个方面探讨Wallis公式的应用，为微积分教学提供有意义的素材和思路．【关键词】Wallis公式；极限；积分Proof and Its Applications of Wallis FormulaAbstractThe formula of Wallis plays an important role in the process to obtain the Euler- Poisson integral and the derivation of Stirling formula. In recent years, many domestic analysis mathematics textbooks into Wallis formula, but little about the applications of the teaching material. This paper proves that the little Wallis formula and the Wallis formula is two simple promotion, as well as the series convergence judgment application aspects of Wallis formula from the sequence limit calculation, integral calculation, to provide significant material and ideas for the teaching of calculus.[Key words] Wallis formula, limit, integral目录引言 (1)1 沃利斯公式的证明及推广 (1)1.1沃利斯公式的新证明 (1)1.1.1有限次代数方程根与系数的关系类比到无限次方程 (1)1.1.2应用含参量积分证明沃利斯公式 (3)1.2沃利斯公式的推广 (4)1.2.1含参数的沃利斯公式 (4)1.2.2含沃利斯公式的不等式 (5)2 沃利斯公式的应用 (7)2.1 沃利斯公式在极限计算中的应用 (7)2.2 沃利斯公式在积分计算中的应用 (9)2.3 沃利斯公式在级数收敛判别中的应用 (11)3 总结 (13)参考文献 (14)引 言近几年来，国内很多数学分析教材都引入Wallis 公式，关于其证明方法有很多种，一般都是利用积分sin d cos d n n n J x x x x ==⎰⎰证明的，本文将借助类比思维，分别利用根与系数关系的思维方法和含参量定积分来证明Wallis 公式．此外，教材中关于其应用论述的很少，这是为什么呢？因为很多可以应用Wallis 公式的“高地”被斯特林公式占领了．但本文搜集到一些不能应用斯特林公式却可以能应用Wallis 公式的例子．且Wallis 公式在推导斯特林公式中扮演很重要的角色，从加深理解Wallis 公式的角度探求其一些简单推广以及其在极限计算、积分计算和级数收敛判别方面的应用．1 沃利斯公式的证明及推广1.1沃利斯公式的新证明沃利斯公式[]1指的是2124(2)lim 2113(21)2n n n n π→∞⎛⎫⋅= ⎪+⋅-⎝⎭. 经过开平方后，则Wallis 公式可以写为22n n =现引入这样的数学记号：135(21)(21)!!n n ⋅⋅-=-，246(2)(2)!!n n ⋅⋅=，则Wallis公式又可以写成21(2)!!lim 21(21)!!2n n n n n π→∞⎛⎫== ⎪+-⎝⎭或.（1-1）1.1.1有限次代数方程根与系数的关系类比到无限次方程类比的思维是人们把个别问题解决后所得到的经验用来解决其他近似问题的一种类似联想的思维的方法，类比这个重要的数学思想方法，曾被波利亚称为科学发现的“伟大引路人”[2]，被17世纪德国著名天文学家和数学家开普勒视为“知道大自然一切秘密”的“导师”.在这我们也将采用类比思维.对于有限次代数方程20120n n b b x b x b x ++++=，00b ≠ 假如有n 个不同的根1,k 2,k 3,k ,n k ，那么左边的多项式就可以表示为k 线性因子乘积，即20121231111n n n x x x x b b x b x b x k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=---- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 比较这个恒等式两边x 的同次幂的系数，就可以得到根和系数的关系. 特别是偶数次方程242012(1)0n n n a a x a x a x -+++-=有2n 个不相同的根1122,,,,,,n n αααααα---，则有242012(1)nn n a a x a x a x -+++-=2222022221231111n x x x x a a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，我们比较二次项系数有1022212111n a a ααα⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭.根据幂级数展开式[]1，在0x ≠，则2468sin 13!5!7!9!x x x x x x =-+-++.利用无穷多项方程2468103!5!7!9!x x x x -+-++=.（1-2）由于方程（1-2）的根为：,2,3,4,5,6ππππππ±±±±±±，则246822222222221sin 1111113!5!7!9!(2)(3)()()n x x x x x x x x x x x n n πππππ∞=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++=--⨯--=- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∏即221sin 1n x x x n ππ∞=⎛⎫=- ⎪⎝⎭∏.（1-3）因为221()n x n π∞=∑绝对收敛，所以这无穷乘积是绝对收敛的. 在（1-3）中令12x =，得22211(2)21(2)!!1lim lim 2(21)(21)2121(21)!!21t t t n n n n t n n n n t t π∞→∞→∞==⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪-+-+-+⎝⎭⎝⎭∏∏, 沃利斯公式（1-1）得证.1.1.2应用含参量积分证明沃利斯公式引理1[]3 设20(,)sin cos d (,)m n J m n x x x m n π*=∈Z ⎰，则有11(,)(,2)(2,)n m J m n J m n J m n m n m n--=-=-++.定理1设10n I x x =⎰，n *∈N ，证明212n n n I I n --=+. 证明 令sin x t =，根据引理1得2222211sin cos d (,2)(2,2)sin cos d 22nn n n n I t t t J n J n t t t n n ππ---===-=++⎰⎰ sin t x =令2112200111222n n n n n n x x x x I n n n ------==+++⎰⎰. 由于04I x π==⎰，11013I x ==⎰，因此当2(1,2,)n m m ==时，即2212331(21)!!222644(22)!!2m m m m I m mm ππ---=⋅⋅⋅=++. 当21(0,1,2,)n m m =+=时，21222421(2)!!2321753(23)!!m m m m I m m m +-=⋅⋅⋅=+++. 则1(21)!!,(22)!!2(2)!!,(23)!!n m m I x x m m π-⎧⎪+⎪==⎨⎪⎪+⎩⎰ 2.2,1n m n m ==+ 另一方面，由定积分的保不等式性质知，当(0,1)x ∈时，有1112220m m xx xx x x +-<<⎰⎰⎰,从而得到(2)!!(21)!!(22)!!(23)!!(22)!12(21)!!m m m m m m π--<<+++， 从上式可得到22(2)!!122(2)!!122(21)21232(21)!!2121m m m m m m m m m m π⎛⎫⎛⎫++⋅⋅<<⋅⋅ ⎪ ⎪-++-++⎝⎭⎝⎭.在上式中，令2(2)!!1(21)!!21m m A m m ⎛⎫=⋅ ⎪-+⎝⎭，则 2212223221m m m m A m π++<<++. 由于2222limlim 12321m m m m m m →∞→∞++==++，因此根据迫敛性可知1lim 12m mA π→∞⋅=，因而lim 2m m A π→∞=⇒2(2)!!1lim (21)!!212m m m m π→∞⎛⎫= ⎪-+⎝⎭. Wallis 公式（1-1）得证. 1.2沃利斯公式的推广 1.2.1含参数的沃利斯公式对任意非负实数x 和正整数n ，则有2(2)(4)(2)1lim (1)(3)(21)21n x x n x x x n x n x →∞⎡⎤+++=⎢⎥++-+++⎣⎦1(1)xxI x I ++（1-4）其中20sin d x x I t tπ=⎰[4].证明 由分部积分法知，当2u ≥时，则有12200sin d sin d cos uu u I t t t t ππ-==-⎰⎰ 2(1)(1)u u u I u I -=---.因此有21u u u I I u--=. 于是2212312222n x x n x n x xI I n x n xx+-+-++=⋅+-++，211222221213n x x n x n xxI I n x n x x++++-++=⋅++-++， 从而212210n x n x n x I I I +++-+≤≤≤，即21212122121n x n x n x n xI I n xn x I I ++++-+++=≤≤++，令n →∞，利用夹逼定理并整理得到（1-4）式.注1 令0x =，可以得到著名的Wallis 公式 1.2.2含沃利斯公式的不等式关于Wallis公式(21)!!(2)!!n n nπ-的研究一直以来都受数学家的关注[5]，1956年Kazarinoff 给出了如下含Wallis 公式形式的不等式[6](21)!!(2)!!n n-<<本文将含Wallis 公式不等式推广为 当2K ≥时，有下列式子成立 12112K K nKK K nK---≤⋅≤,（1-5）或21211K KnK K K nK ≤⋅≤+++.（1-6）证明 如果1K=，式（1-5）显然成立.如果2K ≥，用数学归纳法证明，式（1-5）左边 当1n =时，显然成立.假设对式子（1-5）的左边对于正整数n 成立，则下面证明对于1n +同样成立，由归纳假设，只要证明(1)1(1)n K n K+-≤+, 即证明[][]1(1)1(1)k kn n K n K n++-≥+,亦即 1111(1)kn n n K ⎡⎤+-≥⎢⎥+⎣⎦. （1-7）根据伯努利不等式[7](1)1k x Kx +≥+ (1,10)x K K >-><或. 令1(1)x n K=-+，则1111111(1)1kn n n n K n n ⎡⎤++⎡⎤-≥-=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦. 所以式（1-7）成立.因此，对任意正整数n ，式子（1-5）的左边成立.下面证明式（1-5）的右边成立.当1n =时，要证明(1-5)的右边成立，只要证明1K K -≤即可，化简可知这个不等式成立的充要条件为2k K K ≥，又由于2K ≥时，有12(2)0k k K K K K --=-≥.因此，此时式（1-5）的右边成立 .假设式（1-5）的右边对于正整数n ，下面证明1n +同样成立，只要证明(1)1(1)n K n K +-≤+, 而此不等式成立的充要条件为[][][][](1)(1)1(1)1(1)1(1)kkn K K n K n K K n K +++-+-≤++-+,即[]{}[][]{}[]{}(1)1(1)(1)1(1)1(1)11kkn K n K n K n K n n K +-+++⋅+-≤+-+⋅+-+（1-8）但是，由Newton 二项式公式，式子（1-8）的右边不小于下面的式子：[]{}[][][]12(1)(1)1(1)1(1)1(1)12kk k K K n K n n K K n K n K ---⎧⎫+-+⋅+-++-++-⎨⎬⎩⎭[][][]11(1)(1)1()(1)1(1)12k k k K K n K n K n K nK n K +--⎡⎤≥+-+++-+++-⎢⎥⎣⎦[][][][]11(1)1()(1)1(1)(1)1k k k n K n K n K K nK n K +-≥+-+++-+-++-[][]1(1)1(1)(1)1k kn K n K n K +=+-++++-[]{}[](1)1(1)(1)1kn K n K n K =+-+++⋅+-.所以式子（1-8）成立.因此，对任意正整数n ,式子（1-5）的右边成立.2 沃利斯公式的应用2.1 沃利斯公式在极限计算中的应用由于沃利斯公式和极限有关，所以在计算一些极限的问题可以通过沃利斯公式会很容易出来.例1 求极限135(21)lim246(2)n n n →∞⋅⋅-⋅⋅.解 利用沃利斯公式（1.3），可得135(21)lim246(2)n n n →∞⋅⋅⋅-=⋅⋅(21)!!lim (2)!!n n n →∞-(21)!!lim (2)!!n n n→∞⎛-= ⎝ (21)!!lim (2)!!n n n n→∞⎛-=⋅ ⎝00==.例2 设1)!!!!n n a n -=（n ∈N ），试证lim n n a →∞=lim nn a →∞=解 由于22221122n n a na n ++==>+， 21212121n n a n a n +-==>+，因此{}2n a ，{}21n a +是递增数列.根据沃利斯公式，则2lim n n a →∞=21lim n n a +→∞=.得证.例3 求极限268(24)lim 57(23)n n n →∞⎛⎫⋅+⎪⋅+⎝⎭.解 由沃利斯（Wallis ）公式的推广（1-4），则有2(2)(4)(2)1lim (1)(3)(21)21n x x n x x x n x n x →∞⎛⎫+++ ⎪++-+++⎝⎭2120sin d (1)sin d x x t tx t tππ+=+⎰⎰.令4x =则2(2)(4)(2)lim (1)(3)(21)n x x n x x x n x →∞⎛⎫+++ ⎪++-+⎝⎭268(24)lim 57(23)n n n →∞⎛⎫⋅+=⎪⋅+⎝⎭420520sin d lim(25)5sin d n t tn t tππ→∞=⋅+⋅⎰⎰9lim(25)128n n π→∞=⋅+=∞.例4 求极限2111lim 1925(21)n n →∞⎛⎫++++⎪+⎝⎭.解 因为1'22(arcsin )(1)x x -==-24611111()(1)()(1)(2)1222221()22!3!x x x --------=--+-+246231131351222!23!x x x ⋅⋅⋅=++++⋅⋅ 21(21)!!1(2)!!nn n x n ∞=-=+∑，(1,1)x ∈-.因此 201(21)!!arcsin (1)(2)!!nn n x x dx n ∞∞=-=+∑⎰211(21)!!(2)!!21n n n x x n n +∞=-=+⋅+∑（2-1）由于当1x =时，级数1(21)!!1(2)!!21n n n n ∞=-⋅+∑在1x =处收敛[8]（本文下面给予证明），又由于函数项级数M-检验法知，级数(1)在[]1,1-上一致收敛.在（2-1）中，令sin ()22x t t ππ=-≤≤，有211(21)!!sin sin (2)!!21n n n tt t n n +∞=-=+⋅+∑，（2-2）对（2-2）所在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦取积分，并且由逐项积分公式，则有212220001(21)!!sin d sin d (2)!!(21)n n n tdt t t t t n n πππ∞+=-=+⋅+∑⎰⎰⎰， 221201(21)!!1sin d 8(2)!!(21)n n n t t n n ππ∞+=-=+⋅+∑⎰，又由沃利斯公式可知，2120(2)!!sin d (21)!!n n t t n π+=+⎰，于是21(21)!!(2)!!18(2)!!(21)(21)!!n n n n n n π∞=-=+⋅++∑2200111(21)(21)n n n n ∞∞===+=++∑∑ 即22111lim(1)925(21)8n n π→∞++++=+. 2.2 沃利斯公式在积分计算中的应用对于一些不易用积分法求出原函数的积分，但是利用沃利斯公式却可能很容易解决这些问题.例5[9]求积分2x I e dx +∞-=⎰.解 假设0x ≠，由2462224211112!3!1x x x x x e x x x+<++++=<+++==, 可知222111x x e x--<<+, 注意，前者仅对01x <<正确，而后者对任一0x >都对，由此可得22(1)nnx x e--< (01)x <<，221(1)nx ne x -<+ (0)x >. 取积分2211220(1)(1)nnx nx ndxx dx eex ∞∞---<<<+⎰⎰⎰⎰.但用替换u =可得2d nxe x I ∞-=⎰. 又122120246(22)(2)(1)sin d 135(21)nn n n x dx t t n π+⋅⋅-⋅-==⋅⋅+⎰⎰,即22220013(23)sin (1)24(22)2n n dx n tdt x n ππ∞-⋅-==+⋅-⎰⎰, 所以246(22)(2)13(23)135(21)24(22)2n n n I n n n π⋅⋅-⋅-<<⋅⋅⋅⋅+⋅-.平方得222222(24(22)(2))(13(23))(21)21(135(21))(21)21(24(21))4n n n n n n I n n n n n π⋅-⋅--⎛⎫<<⋅ ⎪+⋅⋅-+-⋅-⎝⎭.由沃利斯公式得22(24(22)(2))lim (135(21))(21)2n n n n n π→∞⋅-=⋅⋅-+. 可知，当n →∞时2112222I ππ⋅≤≤⋅, 即24I π=.因此2d xe x ∞-=⎰例6 求10100sin d J x x x π=⎰的值.解 102100sin d J x x ππ=⎰9753108644ππ=⋅⋅⋅⋅⋅23152560π=. 例7 求积分35221(54)d x x x x -+-⎰的值.解 3355222211(54)d 9(2)d x x x x x x x --⎡⎤+-=--⎣⎦⎰⎰ 令23sin x θ-=,则3cos d dx θ=.原式32222(23sin )(99sin )(3cos d )ππθθθθ-=+-⎰322(23sin )27cos 3cos d ππθθθθ-=+⋅⋅⎰42281(23sin )cos d ππθθθ-=+⎰442222162cos d 243cos sin d ππππθθθθθ--=+⎰⎰4201622cos d 0πθθ=⋅+⎰3!!3244!!2π=⋅⋅2434π=. 2.3 沃利斯公式在级数收敛判别中的应用对于一些级数收敛性的判别问题，文献[10]指出若利用沃利斯公式可能会起到事半功倍的效果.例8 判别正项级数1(21)!!(2)!!sn n n ∞=⎡⎤-⎢⎥⎣⎦∑，（s R ∈）的敛散性. 证 由于通项(21)!!(2)!!sn n u n ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦含有双阶乘的运算，原则上想到运用比式判别法，但是由于1lim1n n nu u +→∞=，因此比式判别法失效.若运用拉贝判别法，由于122lim (1)lim 121s nn n n a n n n a n →∞→∞+⎡⎤+⎛⎫⋅-=⋅-⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦1lim 11212n s sn n n ο→∞⎡⎤⎛⎫=⋅++-= ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦，所以当12s>时，即2s >时收敛，当2s <时则发散，但当2p =时拉贝判别法则无法进行判别.但如果利用沃利斯公式，不仅对于2s >和2s <时的情况可以判别，而且对2s =时的情况也能判别.比如： 由沃利斯公式得12(21)!!1()(2)!!21n n n n nππ-⋅⋅→∞+.则正项级数1(21)!!(2)!!sn n n ∞=⎡⎤-⎢⎥⎣⎦∑与正项级数121sn n∞=∑的敛散性相同.由上分析可得正项级数1(21)!!(2)!!sn n n ∞=⎡⎤-⎢⎥⎣⎦∑当2s >时收敛，当2s ≤时发散 . 例9 二项式级数1(1)(1)(1)1!mnn m m m n x x n ∞=--++=+∑当1x =，10m -<<时条件收敛 .证 令01u =，n u 表示二项式级数在1x =时的通项，则 ()(1)1(1)(1,2,3)!nn m m m n u n n ++-=-=，故此二项式级数是一交错级数，且1n n u u +>(0,1,2)n =， 由于01m <<，则必存在两个正整数K 和J ，使11K m J K-≤≤， 再结合沃利斯公式的推论中式子（1-5）可得111(1)1!n K K K n K K K u n ---⎛⎫++- ⎪⎝⎭≤12112K K nK K KnK---=⋅ ≤即lim 0n n u →∞=，由Leibniz 判别法可知级数0n n u ∞=∑收敛.又11111!n n J J J u n ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥ 沃利斯公式推广中公式(1-6)得11(1)12n J n J u J JnJ+-+≥⋅ 1211121J J nJ J J nJ nJ +++⎡⎤=⋅⋅⎢⎥+⎣⎦ 212J n≥>.再由调和级数11n n ∞=∑发散可知级数1n n u ∞=∑发散.所以当1x =，10m -<<时二项式级数条件收敛.3 总 结本文针对沃利斯公式的应用进行研究，给出了沃利斯公式在求某些极限计算、积分计算、级数收敛的简便之处.并且将沃利斯公式进行简单的推广，在证明某些级数收敛性问题时，运用达朗贝尔法与拉贝判别法时会失效，但运用沃利斯公式会很简单有效的解决这类问题，此外我们知道在有关二项式级数在收敛区间端点的收敛性是一个较为困难的问题，有的教材对此置之不理，有的则要借助于几何级数来解决，本文利用对沃利斯公式的推广能有效的解决一些此类型的问题.当然还有更多问题值得我们探讨，例如对含参数的沃利斯公式的更多应用以及含沃利斯公式的双边不等式的推广可以给出更为精确的结果，以及沃利斯公式在二项式2n n C 的上下界的研究等，这些问题将另文研究.参考文献[1] 华东师范大学数学系．数学分析上册（第四版）．北京：高等教育出版社，2001． [2] 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Elementary Combinatorial-Probabilistic Proof of the WallisFormulas. Journal of Mathematics and Statistics,2009,5:408-409.[4] 李建军.一种含参数的Wallis 公式与Stirlin g 公式.数学理论与应用,2008,3:52-53.[5] 赵德钧.关于含Wallis 公式的双边不等式.数学的实践与认识，2004,34(7):167-168.[6] D.k Kazarinoff. On Wallis’ formula . Edinburgh Math Notes,1956,40:19-21. [7] 张文亮.一个不等式的探讨.2004,3:19-21. [8] JeffreyH.Wallis’formulafor.Methods of MathematicalPhysics,1988,3:468-467.[9] 王振芳,陈慧琴.沃利斯(Wallis )公式及其应用.山西大同大学学报,2011,10:5-6.[10] 张国铭.Wallis 公式的几个应用.高等数学研究,2008,9:37-40.。
关于含有WalIiS公式的双边不等式及其应用隆建军
关于含有WalIiS公式的双边不等式及其应用隆建军隆建军【摘要】得到了合有Wallis公式的一个简洁而更为精细的双边不等式，作为应用有效地解决了一些幂级数的收敛性问题．%Aconciseand sharpertwo-sided inequality involvingwallis＇s formula is obtained, as a applicating, solvedtheproblemofconvergence about some serieseffectively.【期刊名称】《四川职业技术学院学报》【年(卷),期】2012(022)001【总页数】3页(P157-159)【关键词】不等式;WaUis公式;积分不等式;级数;收敛性【作者】隆建军【作者单位】攀枝花市大河中学,四川攀枝花617061【正文语种】中文【中图分类】O173.1关于Wal l is乘积公式：的研究，一直以来倍受数学家们的关注，1965年D. K.Kazarnof f[2]给出了如下形式的Wal l is公式的不等式链：定理1.12004年，赵德钧[3]得到：定理1.22006年，赵岳清，吴庆标[4]得到：定理1.32008年，应玮婷利[5]用数列的单调收敛性得到一个含Wal l is公式的更精细的双边不等式：定理1.4本文得到了一个较现有文献更为精细的双边不等式，作为应用有效地解决了一些幂级数的收敛性问题.引理2.1当t＞1时，有证明：利用分部积分并结合放缩法得(由2.2的证明易得)由（2.2）和（2.3）知式（2.1）成立.定理3.1当时n≥1时，有证明：作辅助函数在（3.2）式两边取自然对数，有又由Wal l is乘积公式有现在我们来求无穷级数的收敛性.由于所以由Cauchy判别法知无穷级数绝对收敛，在(3.3)式中含参数α的函数f(n,α)，当n→∞时，很显然有f(∞,α)=0 （3.4）对函数f(x,α)求关于x的导数，有化简得令，很显然g(y)绝对收敛.且g(0)=0，从而有把（3.6）式代入（3.5）式有当α=时，利用(2.1)的左半部分有又由8x2-(2x2+x/4-3/128)＞0所以fx(x,)＜0，结合（3.4）式知当x≥1时，恒有f(x,)＞0，从而有即即定理的左边得证.当α=时，利用(2.1)的右半部分有又由于＞0（x≥1），所以fx(x,)＞0结合（3.4）式知当x≥1时，恒有fx(x,)＞0，从而有即即定理的右边成立.由（3.7）式和（3.8）式知定理1成立. 证毕定理4.1 级数，当p＞2时收敛，当p≤2时发散.证明：由广义调和级数，当p＞1时收敛，当p≤1时发散.令所以有级数，当＞1即P＞2时收敛，当≤1即P≤2时发散.同样有级数Cn，当＞1即P＞2时收敛，当≤1即P≤2时发散.故由定理1和级数的迫敛性知级数，当P＞2时收敛，当P≤2时发散.下面我们再来讨论两道幂级数展式的收敛性，例如：【相关文献】易知，它们的收敛半径为1，则由定理4.1知在端点x=1处（1）和（2）均收敛，在x=-1处（1）收敛，（2）发散.[1]华东师范大学数学系.数学分析(上册)[M].第三版.北京：高等教育出版社，2001:227.[2]Mit rinovic DS.V asic PM.分析不等式[M].赵汉宾,译.南宁：广西人民出版社，1986.[3]赵德钧．关于含有WaUis公式的双边不等式[J]．数学的实践与认识，2004，34(7)：166—188．[4]赵岳清，吴庆标．Wal lis不等式的一个推广[J]．浙江大学学报(理学版)，2006，33(4)：372—375．[5]应玮婷.含Wal l is公式的双边不等式的一个新证明[J].台州学院学报，2008,30(3):1-3.。
一个与Wallis不等式有关的单调减少数列
一个与Wallis不等式有关的单调减少数列杨天虎;李玉宏【摘要】证明了｛√n(64n3+16n2+ 72n+15)/64n3-16n2+ 72n-15∫π/20sinnxdx}为严格单调减少数列,且极限为√π/2,因而得√n(64n3-16n2+72n+15)/2n(64n3+16n2+ 72n-15)＜∫π/2 0sinnxdx＜√π(64n3+208n2+ 296n+167)/2(n+1)(64n3+176n2+ 232n+105),将Wallis不等式改进为√512n3-64n2+ 144n-15)/πn(512n3+64n2+ 144n+15)＜(2n-1)!!/(2n)!!＜√512n3+832n2+ 592n+167/π(n+0.5)(512n3+ 704n2-464n+105).【期刊名称】《大学数学》【年(卷),期】2018(034)005【总页数】6页(P48-53)【关键词】Wallis不等式;单调数列;数列极限【作者】杨天虎;李玉宏【作者单位】酒泉职业技术学院新能源工程系,甘肃酒泉735000;酒泉职业技术学院甘肃省太阳能发电系统工程重点实验室,甘肃酒泉735000;酒泉职业技术学院甘肃省太阳能发电系统工程重点实验室,甘肃酒泉735000【正文语种】中文【中图分类】O178本文讨论的一个与Wallis不等式有关的单调减少数列的性质可归纳为以下定理.定理对于正整数n，设数列则(i) {pn}为严格单调减少数列，且1 预备知识1.1 基本公式[1]当n≥2时，由(1),(2)式得1.2 不等式[2]1.3 设有函数(5)因当时，x, x-2, 16x2(4x-1)+18(4x-1)+3, 64(x-2)3+16(x-2)2+72(x-2)+15 各项均大于0，且严格单调增加，同时所以当时，为严格单调增加函数.2 证明定理2.1 求数列{pn}的极限由(4)式得所以由(6)式得2.2 证明数列{pn}的单调性=其中n≥3，由(5)式得设有数列即由(8)式，以及f(x)为严格单调增加函数，可得所以，{Jn}为严格单调增加数列.由(7)式得因{Jn}为严格单调增加数列，且所以即p2n-1>p2n.(9)设有数列即同样由(8)式，以及f(x)为严格单调增加函数，可得所以，{Kn}也为严格单调增加数列.同样由(7)式得因{Kn}为严格单调增加数列，且所以即p2n>p2n+1.(10)由(9),(10)式得p2n-1>p2n>p2n+1.(11)综合(7),(11)式，{pn}为严格单调减少数列，且定理的结论(i)得证. 2.3 由定理的结论(i)，可得则同时由(1),(2)式得设有数列由(13),(14)式得因数列{pn}为严格单调减少数列，且所以数列是严格单调增加数列，且因此则由(12),(15)式得定理的结论(ii)得证，定理证毕.3 误差分析与计算设因UnSn =n(64n3+16n2+72n+15)(64n3+208n2+296n+167)=4096n7+14336n6+26880n5+31360n4+27104n3+16464n2+2505n，VnRn =(64n3-16n2+72n-15)(n+1)(64n3+176n2+232n+105)=4096n7+14336n6+26880n5+31360n4+27104n3+16464n2+2505n-1575. 所以，(16)式的估值误差为同样可得(4)式的估值误差小于文献[3]给出的不等式为也同样可得(18)式的估值误差小于显然，(16)式优于(4)、(18)式.4 Wallis不等式由(1),(16)式得(19)式就是本文改进的Wallis不等式，显然，由(17)式得，估值误差小于文献[4]将Wallis不等式改进为估值误差小于文献[5]将Wallis不等式改进为估值误差小于文献[6]将Wallis不等式改进为(20)式与(19)式左边相同，右边可由(1),(18)式得出，估值误差小于显然，(19)式优于文献[4]、[5]、[6]给出的结果.由(2),(16)式得(21)显然, 由(17)式得，(21)式的估值误差也小于注在Mathematica软件下计算的部分结果In[1]∶=Expand[(x-1)2(64x3+16x2+72x+15)(64(x-2)3-16(x-2)2+72(x-2)-15)] Out[1]=-11025-17310x+115023x2-194432x3+224224x4-197120x5+109312x6-32768x7+4096x8In[2]∶=Expan d[x*(x-2)(64x3-16x2+72x-15)(64(x-2)3+16(x-2)2+72(x-2)+15)] Out[2]=-17310x+115023x2-194432x3+224224x4-197120x5+109312x6-32768x7+4096x8In[3]∶=Expand[64(x+1)3+16(x+1)2+72(x+1)+15]Out[3]=167+296x+208x2+64x3In[4]∶=Expand[64(x+1)3-16(x+1)2+72(x+1)-15]Out[4]=105+232x+176x2+64x3In[5]∶=Expand[x*(64x3+16x2+72x+15)(64x3+208x2+296x+167)]Out[5]=2505x+16464x2+27104x3+31360x4+26880x5+14336x6+4096x7 In[6]∶=Expand[(x+1)(64x3-16x2+72x-15)(64x3+176x2+232x+105)]Out[6]=-1575+2505x+16464x2+27104x3+31360x4+26880x5+14336x6+4096x7 In[7]∶=Expand[64(2x)3+16(2x)2+72(2x)+15]Out[7]=15+144x+64x2+512x3In[8]∶=Expand[64(2x)3-16(2x)2+72(2x)-15]Out[8]=-15+144x-64x2+512x3In[9]∶=Expand[64(2x)3+208(2x)2+296(2x)+167]Out[9]=167+592x+832x2+512x3In[10]∶=Expand[64(2x)3+176(2x)2+232(2x)+105]Out[10]=105+464x+704x2+512x3In[11]∶=Expand[64(2x+1)3+16(2x+1)2+72(2x+1)+15]Out[11]=167+592x+832x2+512x3In[12]∶=Expand[64(2x+1)3-16(2x+1)2+72(2x+1)-15]Out[12]=105+464x+704x2+512x3In[13]∶=Expand[64(2x+1)3+208(2x+1)2+296(2x+1)+167]Out[13]=735+1808x+1600x2+512x3In[14]∶=Expand[64(2x+1)3+176(2x+1)2+232(2x+1)+105]Out[14]=577+1552x+1472x2+512x3[参考文献]【相关文献】[1] 复旦大学数学系(欧阳光中，朱学炎，金福临，陈传璋,等).数学分析(上) [M]. 3版.北京：高等教育出版社,2007:310-311.[2] 杨天虎.一个有极限的单调减少数列[J].大学数学，2017，33(6):59-62.[3] 杨天虎.一个有极限的单调增加数列[J].大学数学，2018，34(2):80-84.[4] 张国铭.关于Wallis不等式的上界和下界[J].数学的实践与认识，2007，37(5):111-116[5] 齐玉霞.Wallis不等式的新改进[J].数学的实践与认识，2009，39(8):224-227.[6] 田芳松，饶建洪.关于Wallis不等式的新改进 [J].汕头大学学报(自然科学版)，2012，27(1):10-13,23.。
john wallis公式
john wallis公式约翰·沃利斯公式是数学中的一种级数展开方法，可以用来计算圆周率的近似值。
它是由英国数学家约翰·沃利斯于1655年提出的。
沃利斯公式的形式如下：π/2 = (2/1) * (2/3) * (4/3) * (4/5) * (6/5) * (6/7) * (8/7) * (8/9) * ...在这个公式中，分子部分的数列为2，4，6，8...，分母部分的数列为1，3，5，7...。
通过将这两个数列的部分项相乘，并将所有乘积相加，就可以得到π/2的近似值。
沃利斯公式的推导过程相对较为复杂，涉及到级数展开和数学分析的知识。
这里不再详细介绍推导过程，而是着重讨论沃利斯公式的应用及其意义。
沃利斯公式可以用来计算圆周率的近似值。
通过将沃利斯公式中的分数部分相乘并求和，可以得到π/2的近似值。
当将这个近似值乘以2，就可以得到π的近似值。
虽然沃利斯公式只能给出π的近似值，但是通过增加公式的项数，可以得到更加精确的近似值。
沃利斯公式是级数展开的一种方法，可以用来近似计算其他的数学函数。
例如，通过对沃利斯公式进行适当的变形和扩展，可以得到正弦函数和余弦函数的级数展开形式。
这使得我们可以用级数的形式来计算正弦函数和余弦函数的值，从而简化了计算的过程。
沃利斯公式还具有一些重要的性质。
例如，沃利斯公式中的分子部分是偶数数列，分母部分是奇数数列。
这种特殊的数列形式使得沃利斯公式在计算时具有良好的收敛性。
另外，沃利斯公式中的每一项都是正数，因此公式的收敛速度较快。
沃利斯公式的推导和应用不仅仅是数学研究的范畴，它还与其他领域有着广泛的联系。
例如，在物理学中，沃利斯公式可以用来计算电磁场中的电势分布。
在工程学中，沃利斯公式可以用来计算电路中的电流和电压。
在计算机科学中，沃利斯公式可以用来进行数值计算和优化算法设计。
约翰·沃利斯公式是数学中的一种级数展开方法，可以用来计算圆周率的近似值。
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关于含有Wallis 公式的双边不等式及其应用隆建军(攀枝花市大河中学，四川 攀枝花617061)摘要：得到了含有Wallis 公式的一个简洁而更为精细的双边不等式，作为应用有效地解决了一些幂级数的收敛性问题.关键词：不等式；Wallis 公式；积分不等式；收敛性；级数中图分类号：O173.11 引言关于Wallis 乘积公式[1]：(21)!!~(2)!!n n -的研究，一直以来倍受数学家们的关注，1965年D.K.Kazarnoff [2]给出了如下形式的Wallis 公式的不等式链： 定理1.1()21!!(2)!!n n -<<（1.1）2004年，赵德钧[3]得到： 定理1.2(21)!!(2)!!n n -<<(1.2) 2006年，赵岳清，吴庆标[4]得到： 定理1.3(21)!!(2)!!n n -<<(1.3)2008年，应玮婷利[5]用数列的单调收敛性得到一个含Wallis 公式的更精细的双边不等式： 定理 1.4(21)!!(2)!!n n -<<(1.4)本文得到了一个较现有文献更为精细的双边不等式，作为应用有效地解决了一些幂级数的收敛性问题.2 引理引理2.1 当1t >时，有()()122011112412141t x dx t t xt t -<<-+++⎰ (2.1)证明：利用分部积分并结合放缩法得()111112000011111121t t t tx x x x dx dx dx dx x x t x t t x -===-++++⎰⎰⎰⎰ ()11201121t x xdx t t x -=-+⎰ （()21x x +中的x 取值为1） 112011112424t x dx t t t t->-=-⎰（2.2）⎰⎰⎰+-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+++1011011011111dx x x t dx x x x dx x x t t tt (由2.2的证明易得) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+<2)1(41)1(2111t t t()()2141121t t +++=（2.3）由（2.2）和（2.3）知式（2.1）成立.3 主要结论及其证明定理 3.1 当1≥n 时，有(21)!!(2)!!n n -<<（3.1）证明：作辅助函数 ⎪⎭⎫⎝⎛-+-=ααn n n n n F 411!)!2(!)!12(),(（3.2）在（3.2）式两边取自然对数，有∑=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=n i i n n n F 1211ln 411ln 21ln 21),(ln αα∑-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111ln 21211ln 411ln 21211ln n i i i n n α又由Wallis 乘积公式有∑∞=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=111ln 21211ln 411ln 21211ln ln ),(ln i i i n n n F απα()∑∞=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=111ln 21211ln 411ln 21211ln ln i i n i n n n απ ),(ln απn f +-=∆(3.3)现在我们来求无穷级数∑∑∞=∞=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=1011ln 21)(211ln i i i i n i n a 的收敛性.又由于2)(1~11ln 21)(211ln i n i n i n +⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-，所以由Cauchy 判别法知无穷级数∑∞=0i ia绝对收敛，在(3.3)式中含参数α的函数),(αn f ，当∞→x 时，很显然有0),(=∞αf （3.4）对函数),(αx f 求关于x 的导数，有∑∞=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++-+-+---+--=1)1)((21))(122(1)4)(14(2)12(1),(i x i x i x i x i x x x x x x f ααα化简得∑∞=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+--+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---++=11211414)1(12121),(i x i x i x x x x x f ααα （3.5） 令∑∞=+-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--+=12121)(i k x k x i x y i x y y g ，很显然)(y g 绝对收敛.且0)0(=gt y y y g x x x --=-1)(21，从而有⎰⎰+=--=-y xy xx dt tt dt t t t y g 02021121)( ⎰∑+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--+=∞=1021121211)1(dt t t i x i x g xi （3.6）把（3.6）式代入（3.5）式有()⎰+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+-=10212414112121),(dt tt x x x x f x x ααα 当41=α时，利用(2.1)的左半部分有 ⎰+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=10212161116312121)41,(dt t t x x x x f x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--++<2161412161116312121x x x x x 12834218122-+-=x x x 又由()0128342822>-+-x x x所以0)41,(<x f x 结合（3.4）式知当1≥x 时，恒有0)41,(>x f ，从而有πln )41,(ln ->x F ，π141411!)!2(!)!12(>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-∴n n n n(21)!!(2)!!n n -<(3.7)即定理的左边得证.当51=α时，利用(2.1)的右半部分有⎰+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=1021220115112121)51,(dt tt x x x x f x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+->2)12(21)12(21220115112121x x x x x )15)(120(50)12(234212-++++-=x x x x x 又由于0)12(234212>++-=x x x （1≥x ） ， 所以0)51,(>x f x结合（3.4）式知当1≥x 时，恒有0)51,(>x f ，从而有πln )51,(ln -<x F π151411!)!2(!)!12(<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-∴n n n n即(21)!!(2)!!n n -<（3.8）即定理的右边成立. 由（ 3.7）式和（ 3.8）式知定理1成立.证毕4 定理的应用定理4.1 级数∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1!)!2(!)!12(n pn n ，当2>p 时收敛，当2≤p 时发散. 证明：由广义调和级数∑∞=11n pn，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散. 令pn n n a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=!)!2(!)!12(，2414111p n n n c ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=π，2514111p n n n b ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=π 所以有级数∑∞=1n n b ，当12>p 即2>p 时收敛，当12≤p即2≤p 时发散. 同样有级数∑∞=1n n c ，当12>p 即2>p 时收敛，当12≤p即2≤p 时发散. 故由定理1和级数的迫敛性知级数∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1!)!2(!)!12(n pn n ，当2>p 时收敛，当2≤p 时发散.下面我们再来讨论两道幂级数展式的收敛性，例如： （1）()() +--++-+=+-!)!2(!)!32(182111221n x n x x x nn ；（2）()() +--+++-=+--!)!2(!)!12(1832111221n x n x x x n n易知，它们的收敛半径为1，则由定理4.1知在端点1=x 处（1）和（2）钧收敛，在1-=x 处（1）收敛，（2）发散. 参考文献：[1]华东师范大学数学系编.数学分析(上册，第三版)[M].北京：高等教育出版社，2001:227.[2]Mitrinovic D S.Vasic PM著，赵汉宾译.分析不等式[M]广西：广西人民出版社，1986.[3] 赵德钧．关于含有Wallis公式的双边不等式[J]．数学的实践与认识，2004，34(7)：166—188．[4] 赵岳清，吴庆标．Wallis不等式的一个推广[J]．浙江大学学报(理学版)，2006，33(4)：372—375．[5]应玮婷.含Wallis公式的双边不等式的一个新证明[J].台州学院学报，2008,30(3):1-3.On a Two-sided Inequality InvolvingWallis's Formula and Its ApplicationLONG Jian-jun(Dahe Middle School of Panzhihua ,Sichuan Panzhihua617061china) Abstract:Aconcise and sharper two-sided inequality involving wallis's formula is obtained,as a applicating,solved the problem of convergence about some series effectively.Key Words:inequality;wallis's formula;integral inequality;convergence;series该文发表于《四川职业技术学院学报》2012年2月第1期第157-159页。