高考调研北师大版数学必修5课时25高考调研精讲精练

课时作业(二十五)1．有5辆6吨的汽车，4辆4吨的汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为( ) A ．z ＝6x ＋4y B ．z ＝5x ＋4y C ．z ＝x ＋y D ．z ＝4x ＋5y答案 A解析 设需x 辆6吨汽车，y 辆4吨汽车，则运输货物的吨数为z ＝6x ＋4y ，即目标函数z ＝6x ＋4y.2．(2015·新余高二检测)某服装制造商有10 m 2的棉布料，10 m 2的羊毛料和6 m 2的丝绸料，做一条裤子需要1 m 2的棉布料，2 m 2的羊毛料和1 m 2的丝绸料，做一条裙子需要1 m 2的棉布料，1 m 2的羊毛料和1 m 2的丝绸料，做一条裤子的纯收益是20元，一条裙子的纯收益是40元，为了使收益达到最大，若生产裤子x 条，裙子y 条，利润为z ，则生产这两种服装所满足的数学关系式与目标函数分别为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，2x ＋y ≤10，x ＋y ≤6，x ，y ∈N ，z ＝20x ＋40y B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥10，2x ＋y ≥10，x ＋y ≤6，x ，y ∈N ，z ＝20x ＋40y C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，2x ＋y ≤10，x ＋y ≤6，z ＝20x ＋40yD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，2x ＋y ≤10，x ＋y ≤6，x ，y ∈N ，z ＝40x ＋20y答案 A3．某学校用800元购买A ，B 两种教学用品，A 种用品每件100元，B 种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A ，B 两种用品应各买的件数为( ) A ．2件，4件 B ．3件，3件 C ．4件，2件 D ．不确定答案 B解析 设买A 种用品x 件，B 种用品y 件，剩下的钱为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧100x ＋160y ≤800，x ≥1，y ≥1，x ，y ∈N *，求z ＝800－100x －160y 取得最小值时的整数解(x ，y)，用图解法求得整数解为(3，3)．4．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为( ) A ．2 000元 B ．2 200元 C ．2 400元 D ．2 800元答案 B解析 设需使用甲型货车x 辆，乙型货车y 辆，运输费用z 元，根据题意，得线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋10y ≥100，0≤x ≤4，0≤y ≤8，目标函数z ＝400x ＋300y ，画图可知，当平移直线400x ＋300y ＝0至经过点(4，2)时，z 取最小值2 200.5．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的23倍，且对每个项目的投资不能低于5万元．对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( ) A ．36万元 B ．31.2万元 C ．30.4万元 D ．24万元答案 B6．(2015·揭阳高二检测)某汽车公司有两家装配厂，生产甲、乙两种不同型的汽车，若A 厂每小时可完成1辆甲型车和2辆乙型车；B厂每小时可完成3辆甲型车和1辆乙型车．今欲制造40辆甲型车和40辆乙型车，若要使所费的总工作时数最少，那么这两家工厂工作的时间分别为()A．16，8 B．15，9C．17，7 D．14，10答案 A7．(2015·中山高二检测)某厂生产甲、乙两种产品每吨所需的煤、电和产值如表所示：多450千瓦，则该厂最大日产值为()A．120万元B．124万元C．130万元D．135万元答案 B8．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为()A．50，0 B．30，20C ．20，30D ．0，50答案 B9．(2015·西安高二检测)某所学校计划招聘男教师x 名，女教师y 名，x 和y须满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥5，x －y ≤2，x ≤6.则该校招聘的教师人数最多是________名． 答案 1310．(2015·德州高二检测)某公司计划用不超过50万元的资金投资A ，B 两个项目，根据市场调查与项目论证，A ，B 项目的最大利润分别为投资的80%和40%，而最大的亏损额为投资的40%和10%，若要求资金的亏损额不超过8万元，且使利润最大，投资者应投资A 项目________万元，投资B 项目________万元． 答案 10 4011．铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表：22(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)． 答案 1512．一农民有农田2亩，根据往年经验，若种水稻，则每亩产量为400千克；若种花生，则每亩产量为100千克．但水稻成本较高，每亩240元，而花生只需80元，且花生每千克5元，稻米每千克3元．现该农民手头有400元．(1)设该农民种x 亩水稻，y 亩花生，利润z 元，请写出约束条件及目标函数；(2)问两种作物各种多少，才能获得最大收益？ 解析 (1)约束条件为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，240x ＋80y ≤400，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，3x ＋y ≤5，x ≥0，y ≥0，目标函数为：z ＝(3×400－240)x ＋(5×100－80)y ＝960x ＋420y. (2)作出可行域如图所示．把z ＝960x ＋420y 变形为y ＝－167x ＋z 420，得到斜率为－167，在y 轴上的截距为z 420，随z 变化的一组平行直线；当直线y ＝－167x ＋z420经过可行域上的点B 时，截距z420最大，即z 最大．所以解方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝2，3x ＋y ＝5得⎩⎨⎧x ＝1.5，y ＝0.5，即B 的坐标是(1.5，0.5)，故当x ＝1.5，y ＝0.5时，z max ＝960×1.5＋420×0.5＝1 650(元)． 答：该农民种1.5亩水稻，0.5亩花生时，能获得最大利润，最大利润为1 650元．13．某工厂用两种不同的原料均可生产同一种产品，若采用甲种原料，每吨成本1 000元，运费500元，可得产品90 kg ，若采用乙种原料，每吨成本1 500元，运费400元，可得产品100 kg.如果每月原料的总成本不超过6 000元，运费不超过2 000元，那么工厂每月最多可生产多少产品？解析 将已知数据列成下表：设此工厂每月甲乙两种原料各用x(t)，y(t)，生产z(kg)产品，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，1 000x ＋1 500y ≤6 000，500x ＋400y ≤2 000.即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，2x ＋3y ≤12，5x ＋4y ≤20.z ＝90x ＋100y. 作出以上不等式组表示的平面区域，即可行域． 作直线l ：90x ＋100y ＝0，即9x ＋10y ＝0.把l 向右上方移动到位置l 1时，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大，此时z ＝90x ＋100y 取得最大值． ∴z max ＝90×127＋100×207＝440. 因此工厂最多每天生产440 kg 产品．某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？解析 方法一 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费用为z 元，则依题意得：z ＝2.5x ＋4y ，且x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.z 在可行域的四个顶点A(9，0)，B(4，3)，C(2，5)，D(0，8)处的值分别是z A ＝2.5×9＋4×0＝22.5， z B ＝2.5×4十4×3＝22， z C ＝2.5×2＋4×5＝25， z D ＝2.5×0＋4×8＝32.比较之，z B 最小，因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．方法二 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费用为z 元，则依题意得：z ＝2.5x ＋4y ，且x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.让目标函数表示的直线2.5x ＋4y ＝z 在可行域上平移，由此可知z ＝2.5x ＋4y 在B(4，3)处取得最小值．因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．1．(2013·北京)设a ，b ，c ∈R ，且a>b ，则( ) A ．ac>bc B.1a <1b C ．a 2>b 2 D ．a 3>b 3答案 D解析 A 项中，若c 小于等于0则不成立；B 项中，若a 为正数b 为负数则不成立；C 项中，若a ，b 均为负数则不成立．故选D 项． 2．(2013·安徽)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<－1或x>12}，则f(10x )>0的解集为( ) A ．{x|x<－1或x>－lg2} B ．{x|－1<x<－lg2} C ．{x|x>－lg2} D ．{x|x<－lg2} 答案 D解析 由题意知－1<10x<12，所以x<lg 12＝－lg2，故选D 项．3．(2014·安徽)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为( ) A.12或－1 B ．2或12 C ．2或1 D ．2或－1答案 D解析 作出约束条件满足的可行域，根据z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，通过数形结合分析求解．如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a>0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2；当a<0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.4．(2014·山东)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z＝ax ＋by(a ＞0，b ＞0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( ) A ．5 B ．4 C. 5 D ．2答案 B解析 方法一：不等式组表示的平面区域如图所示，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A(2，1)处取得最小值，故2a ＋b ＝25，两端平方得4a 2＋b 2＋4ab ＝20，又4ab ＝2×a ×2b ≤a 2＋4b 2，所以20≤4a 2＋b 2＋a 2＋4b 2＝5(a 2＋b 2)，所以a 2＋b 2≥4，即a 2＋b 2的最小值为4，当且仅当a ＝2b ，即b ＝25，a ＝45时等号成立．方法二：把2a ＋b ＝25看作平面直角坐标系aOb 中的直线，则a 2＋b 2的几何意义是直线上的点与坐标原点距离的平方，显然a 2＋b 2的最小值是坐标原点到直线2a ＋b ＝25距离的平方，即⎝⎛⎭⎪⎪⎫|－25|52＝4. 5．(2013·湖北)某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( ) A ．31 200元 B ．36 000元 C ．36 800元 D ．38 400元答案 C解析 设需A ，B 型车分别为x ，y 辆(x ，y ∈N )，则x ，y 需满足⎩⎪⎨⎪⎧36x ＋60y ≥900，y －x ≤7，x ＋y ≤21，x ∈N ，y ∈N ，设租金为z ，则z ＝1 600x ＋2 400y ，画出可行域如图阴影部分所示，根据线性规划中截距问题，可求得最优解为x ＝5，y ＝12，此时z 最小等于36 800，故选C 项．6．(2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )A.245B.285 C ．5 D ．6答案 C解析 ∵x ＋3y ＝5xy ，∴15y ＋35x ＝1.∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y)×1＝(3x ＋4y)(15y ＋35x )＝3x 5y ＋95＋45＋12y 5x ≥135＋23x 5y ·12y5x ＝5，当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时等号成立．7．(2014·湖南)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥k ，且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k ＝________．答案 －2解析 画出可行域(图略)，由题意可知不等式组表示的区域为一三角形，平移参照直线2x ＋y ＝0，可知在点(k ，k)处z ＝2x ＋y 取得最小值，故z min ＝2k ＋k ＝－6，解得k ＝－2.8．(2014·上海)若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________． 答案 2 2 解析 ∵x 2＋2y 2≥2x 2·2y 2＝22xy ＝22，当且仅当x ＝2y 时取“＝”，∴x 2＋2y 2的最小值为2 2.9．(2013·四川)已知函数f(x)＝4x ＋a x (x>0，a>0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________． 答案 36解析 由基本不等式可得4x ＋a x ≥24x·a x ＝4a ，当且仅当4x ＝ax 即x ＝a 2时等号成立，∴a2＝3，a ＝36.10．(2013·江苏)已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x 2－4x ，则不等式f(x)>x 的解集用区间表示为________． 答案 (－5，0)∪(5，＋∞)解析 ∵函数f(x)为奇函数，且x>0时，f(x)＝x 2－4x ，则f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x>0，x ，x ＝0，－x 2－4x ，x<0，∴原不等式等价于⎩⎨⎧x>0，x 2－4x>x ，或⎩⎨⎧x<0，－x 2－4x>x. 由此可解得x>5或－5<x<0. 故应填(－5，0)∪(5，＋∞)．11．(2013·新课标全国)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤3，－1≤x －y ≤0，则z ＝2x －y 的最大值为________． 答案 3解析 画出可行域如图阴影部分所示．画出直线2x －y ＝0，并平移，当直线经过点A(3，3)时，z 取最大值，且最大值为z ＝2×3－3＝3.12．(2013·大纲全国)记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域为D.若直线y ＝a(x ＋1)与D 有公共点，则a 的取值范围是________．答案 [12，4]解析 作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．∵直线y ＝a(x ＋1)过定点C(－1，0)，由图并结合题意可知k BC ＝12，k AC ＝4，∴要使直线y ＝a(x ＋1)与平面区域D 有公共点，则12≤a ≤4. 13．(2012·山东)若不等式|kx －4|≤2的解集为{x|1≤x ≤3}，则实数k ＝________． 答案 2解析 不等式|kx －4|≤4可化为－2≤kx －4≤2，即2≤kx ≤6，而不等式的解集为{x|1≤x ≤3}，所以k ＝2.。